Allen-Cahn-MindSpore

概述

计算流体动力学是21世纪流体力学领域最重要的技术之一。通过数值方法求解流体力学控制方程，可以实现流动分析、预测和控制。传统的有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）由于仿真过程复杂（物理建模、网格划分、数值离散、迭代求解等）且计算成本较高，效率低下。因此，有必要利用人工智能来提高流体模拟的效率。

近年来，在经典理论和具有计算机性能的数值方法发展趋于平稳的同时，机器学习方法将大量数据与神经网络相结合，实现了流场的快速模拟。这些方法可以获得接近传统方法的精度，为流场求解提供了新的思路。

本实验基于MindSpore，利用MindFLow流体模拟套件并基于物理驱动的PINNs方法求解Allen Cahn方程。

问题描述

Allen-Cahn方程（以John W.Cahn和Sam Allen命名）是数学物理的反应扩散方程，描述了多组分合金系统中的相分离过程，包括有序-无序转变。该方程描述了域$\Omega$上标量值状态变量$\eta$在时间间隔$T$内的时间演化。 Allen Cahn方程的形式如下：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5(u - u^3), x\in [-1, 1], t \in [0, 1]$$

其中，$u$表示相分数，$x$是空间变量，$t$是时间变量。

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks，简称PINNs）是一种结合了深度学习和物理学原理的神经网络模型，主要用于求解偏微分方程。PINNs的核心思想是在神经网络的损失函数中加入一个项，该项表示网络输出与物理方程的偏差。这样做可以使网络不仅能够拟合数据，还能满足物理定律。具体来说，PINNs通常由以下几部分组成：

• 数据拟合项：确保网络输出与观测数据相匹配。
• 物理约束项：确保网络输出符合相关的物理方程。

本实验使用狄利克雷边界条件和初始条件，形式如下

$$\begin{aligned} u(-1, t)&=u(1, t)=-1 \\\ u(x, 0)&=x^2cos(\pi x) \end{aligned}$$

本实验利用PINNs方法学习位置和时间到相应物理量的映射(x,t)$\to$u(𝑥,𝑡)$\to$𝑢，实现Allen Cahn方程的求解。

快速开始

环境安装

环境要求（MindSpore和MindFlow版本要对应）

• MindSpore >= 2.0.0

• MindFlow >=0.1.0

本实验使用的是mindspore==2.0.0rc1，mindflow==0.1.0rc1

• 可参考MindSpore快速安装
• 可下载mindspore.whl、mindflow.whl之后使用pip安装

代码准备

git clone https://github.com/ysysys666/Allen-Cahn-MindSpore.git

数据准备

从dataset 中下载验证所需要的数据集，并保存在./dataset目录下。

训练

训练方式一

python train.py --mode GRAPH --device_target GPU --device_id 0 --config_file_path ./configs/allen_cahn_cfg.yaml

其中， --mode表示运行的模式，'GRAPH'表示静态图模式, 'PYNATIVE'表示动态图模式，详见MindSpore官网，默认值'GRAPH'；

--device_target表示使用的计算平台类型，可以选择'Ascend'或'GPU'，默认值'Ascend'；

--device_id表示使用的计算卡编号，可按照实际情况填写，默认值0；

--config_file_path表示参数文件的路径，默认值'./configs/allen_cahn_cfg.yaml'；

训练方式二

可以使用Jupyter Notebook逐行运行训练和验证代码。

验证

python test.py

要验证的checkpoint需要在config_file中指定，本实验默认是最后的checkpoint，结果默认保存在images文件夹

结果展示

时空图解释

时空图位于顶部，横轴表示时间 $t$ 从 0 到 1，纵轴表示空间变量 $x$ 从 -1 到 1。颜色表示函数 $u(x,t)$ 的值，颜色条显示了函数值从 -1（紫色）到 1（红色）的变化。

在这个时空图中，初始状态 $t=0$ 时，解的空间分布开始从 $u(x,0)=x^2cos⁡(\pi x)$ 这一较为复杂的形态发展，随后解逐渐演化，尝试达到一个更稳定的状态。

时间剖面图解释

下方三个图展示了 $t=0.25, 0.5, 0.75$ 时刻 $u(x,t)$ 的空间分布：

• $t=0.25$ 图：解的波动开始减少，但仍然保持较为复杂的结构。这显示了解正在响应方程的非线性动力学。
• $t=0.5$ 图：此时的解更加集中和尖锐，两个峰值开始显现，这可能是向两个稳定状态（即 $u=±1$ ）的过渡。
• $t=0.75$ 图：解的波动进一步减少，接近两个清晰的稳定状态，显示为两个尖锐的峰值。