问题4: 将 $\frac{1}{3}$ x 和 1 个单位的和乘以 $\frac{1}{4}$ x和 1 个单位的和，得到乘积数值 20。

花拉子米解法如下：

你用 $\frac{1}{3}$ x 乘以 $\frac{1}{4}$ x 时，得到 $\frac{1}{6}$ x² 的 $\frac{1}{2}$，
接着，使用一个单位乘以 $\frac{1}{4}$ x得到 $\frac{1}{4}$ x;
同样，使用一个单位乘以 $\frac{1}{3}$ x得到 $\frac{1}{3}$ x;
然后，一个单位乘以一个单位得到一个单位。
然后得到的乘积结果是： $\frac{1}{6}$ x² 的 $\frac{1}{2}$, 加上 $\frac{1}{3}$ x, $\frac{1}{4}$ x 和 1个单位的和等于20个单位。
你从20个单位中减去一个单位，得到19个单位等于 $\frac{1}{6}$ x² 的 $\frac{1}{2}$, 加上 $\frac{1}{3}$ x，再加上 $\frac{1}{4}$ x。
现在要使平方完整，要将所有的项都乘以 12。
这样就得到了 x²和 7x的和等于228。
然后取 x的系数的一半并将他乘以自身，得到12+ $\frac{1}{4}$
你把它加到228上，你会得到 240+ $\frac{1}{4}$。
取这个数的平方根，得到15+ $\frac{1}{2}$，减去 3+ $\frac{1}{2}$，得到12。即是组成平方的根。
因此这个问题归为六类情况中的第四类，实际上就是"平方加根等于数"。

现代的代数演算过程如下：

∵ ( $\frac{1}{3}$ x + 1)( $\frac{1}{4}$ x + 1) = 20 (问题中假定的等式)
又∵ $\frac{1}{3}$ x × $\frac{1}{4}$ x = $\frac{1}{3}$ x × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × x = $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$
又∵ 1 × $\frac{1}{4}$ x = $\frac{1}{4}$ x; 1 × $\frac{1}{3}$ x = $\frac{1}{3}$ x; 1 × 1 = 1
⇒ $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ x + $\frac{1}{4}$ x + 1 = 20
⇒ $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ x + $\frac{1}{4}$ x + 1 - 1 = 20 - 1 (等式的基本性质)
⇒ $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ x + $\frac{1}{4}$ x = 19
⇒ ( $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ x + $\frac{1}{4}$ x) × 12= 19 × 12 (等式的基本性质)
⇒ $\frac{1}{6}$ x² × $\frac{1}{2}$ × 12 + $\frac{1}{3}$ x × 12 + $\frac{1}{4}$ x × 12 = 228 (乘法分配律)
⇒ x²+ 4x + 3x = 228
⇒ x²+ 7x = 228
⇒ x²+ 7x + $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ - $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ = 228
⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² - $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ = 228
⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² - $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ + $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ = 228 + $\frac{7}{2}$× $\frac{7}{2}$ (等式的基本性质)
⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² = 228 + 49/4 = 240+ $\frac{1}{4}$
⇒ x + $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$
⇒ x + $\frac{7}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ (等式的基本性质)
⇒ x = 12

实验材料

在坐标板上找到六个点A(0,0), B(12,0), C(12, 12), D(0,12), E(19,0), F(19, 12)，使用水性笔和直尺绘出线段AB, BC, CD, AD, BE, EF和CF。
用带刻度的直尺分别量出线段AB, BC, CD, AD, BE, EF和CF的长度，可以量出AB = BC = CD = AD = EF = 12cm, BE = CF = 7cm。

⇒ □ ABCD的面积 = 12cm × 12cm = 144 cm² (即: 144个1cm²的 □ 格子)。

⇒ ▭ BCFE的面积 = 12cm × 7cm = 84 cm² (即: 84个1cm²的 □ 格子)。

⇒ ▭ AEFD的面积 = □ ABCD的面积 + ▭ BCFE的面积 = 144 cm² + 84 cm² = 228 cm² (即: 228个1cm²的 □ 格子)。

假设相等长度的AB, BC, CD, AD和EF的具体的长度数值为x, 在线段AB, BC, CD, AD和EF的边上写上x。同时已经预先知道 □ ABCD的面积和 ▭ BCFE的面积之和为228 cm² (即: 228个1cm²的 □ 格子)。即: x×x + 7x = 228。

把 ▭ BCFE的两个7cm的边都均分成4份（每个边有3个均分点），分别连接两个边的3对均分点，得到3条长度相等的线段，从而得到均分的四个面积相等的 ▭ 。每个均分的线段的长度都是(7/4)cm，得出均分的四个面积相等的 ▭ 为(7/4)x cm²（分别用红色的马克笔标号为 ①②③④）。
把这四个标号为 ①②③④的 ▭ 分别放在 □ ABCD的四条边AB, BC, CD和AD上，构成了一个缺失四个 □ 边角的形状，可知这个形状的面积是228cm²，这四个 □ 边角的面积均为：(7/4)cm × (7/4)cm = 49/16cm²。随后在所有的四个 □ 边角上绘出 □ 的另外两条边，那么整体又构成了一个边长为 x + (7/4) × 2 cm的大 □ 。
这个大 □ 的面积 = 228 + (7/4)² × 4。

⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² = 228 + (7/4)² × 4

⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² = 228 + ( $\frac{7}{2}$)²

⇒ x + $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$

⇒ x + $\frac{7}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ (等式的基本性质)

⇒ x = 12

把 ▭ BCFE的两个7cm的边都均分成两份（每个边有1个均分点），分别连接两个边的均分点，得到一条线段，从而得到均分的两个面积相等的 ▭ 。每个均分的线段的长度都是( $\frac{7}{2}$)cm，得出均分的两个面积相等的 ▭ 为( $\frac{7}{2}$)x cm²（分别用红色的马克笔标号为 ①②）。
把这两个标号为 ①②的 ▭ 分别放在 □ ABCD的两条相邻边AB和BC的外侧，构成了缺失一个 □ 边角的形状，可知这个形状的面积是228cm²，这个 □ 边角的面积为：( $\frac{7}{2}$)cm × ( $\frac{7}{2}$)cm = 49/4cm²。随后在这个 □ 边角上绘出 □ 的另外两条边，那么整体又构成了一个边长为 x + $\frac{7}{2}$ cm的大 □ 。
这个大 □ 的面积 = 228 + ( $\frac{7}{2}$)²。

⇒ (x + $\frac{7}{2}$)² = 228 + ( $\frac{7}{2}$)²

⇒ x + $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$

⇒ x + $\frac{7}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = 15+ $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ (等式的基本性质)

⇒ x = 12