optimtool

The fundamental package for scientific research in optimization.^[?]

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项目介绍

optimtool采用了北京大学出版的《最优化：建模、算法与理论》这本书中的部分理论方法框架，运用了Numpy包高效处理数组间运算等的特性，巧妙地应用了Sympy内部支持的jacobian等方法，并结合Python内置函数dict与zip实现了Sympy矩阵到Numpy矩阵的转换，最终设计了一个用于最优化科学研究领域的Python工具包。研究人员可以通过简单的pip指令进行下载与使用。

如果你在研究中使用 optimtool，欢迎引用它在你的参考资料中（按照下面的格式）。

林景. optimtool: The fundamental package for scientific research in optimization. 2021. https://pypi.org/project/optimtool/.

下载最新版：

git clone https://github.com/linjing-lab/optimtool.git
cd optimtool
pip install -e . --verbose

下载稳定版：

pip install optimtool --upgrade

下载没有更改库架构的版本：

pip install optimtool==2.3.5

下载优化库架构并增加typing变量的版本：

pip install optimtool>=2.4.0

下载改进h2h函数的版本：

pip install optimtool>=2.4.2

下载增强文档表达和检测非法输入的版本：

pip install optimtool>=2.5.0rc0

下载支持hybrid算法的版本：

pip install optimtool>=2.5.0

下载更好地支持numpy的版本：

pip install optimtool>=2.6.0

下载改进算法细节的版本：

pip install optimtool>=2.7.0

下载优化内存和架构的版本:

pip install optimtool>=2.8.0

建议：如果对自定义输入函数的需求比高版本中允许的输入类型检查更为强烈，推荐下载v2.4.4；如果需要在_convert.py和_typing.py中做可扩展的输入函数类型（基于sympy.core中所实现的类型），那么高版本中所作出的优化可以得到保留与体现。

项目结构

|- optimtool
    |-- constrain
        |-- __init__.py
        |-- equal.py
        |-- mixequal.py
        |-- unequal.py
    |-- example
        |-- __init__.py
        |-- Lasso.py
        |-- WanYuan.py
    |-- hybrid
        |-- __init__.py
        |-- approt.py
        |-- fista.py
        |-- nesterov.py
    |-- unconstrain
        |-- __init__.py
        |-- gradient_descent.py
        |-- newton.py
        |-- newton_quasi.py
        |-- nonlinear_least_square.py
        |-- trust_region.py  
    |-- __init__.py
    |-- _convert.py
    |-- _drive.py
    |-- _kernel.py
    |-- _proxim.py
    |-- _search.py
    |-- _typing.py
    |-- _utils.py
    |-- _version.py
    |-- base.py

因为在求解不同的目标函数的全局或局部收敛点时，不同的求取收敛点的方法会有不同的收敛效率以及不同的适用范围，而且在研究过程中不同领域的研究方法被不断地提出、修改、完善、扩充，所以这些方法成了现在人们口中的最优化方法。此项目中的所有内部支持的算法，都是在范数、导数、凸集、凸函数、共轭函数、次梯度和最优化理论等基础方法论的基础上进行设计与完善的。

optimtool内置了诸如Barzilar Borwein非单调梯度下降法、修正牛顿法、有限内存BFGS方法、截断共轭梯度法-信赖域方法、高斯-牛顿法等无约束优化领域收敛效率与性质好的算法，以及用于解决约束优化问题的二次罚函数法、增广拉格朗日法等算法。

开始使用

无约束优化算法（unconstrain）

import optimtool.unconstrain as ou
ou.[方法名].[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

梯度下降法（gradient_descent）

ou.gradient_descent.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
solve(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	通过解方程的方式来求解精确步长
steepest(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	使用线搜索方法求解非精确步长（默认使用wolfe线搜索）
barzilar_borwein(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="Grippo", c1: float=0.6, beta: float=0.6, M: int=20, eta: float=0.6, alpha: float=1., epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	使用Grippo与ZhangHanger提出的非单调线搜索方法更新步长

牛顿法（newton）

ou.newton.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
classic(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	通过直接对目标函数二阶导矩阵（海瑟矩阵）进行求逆来获取下一步的步长
modified(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	修正当前海瑟矩阵保证其正定性（目前只接入了一种修正方法）
CG(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", eps: float=1e-3, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	采用牛顿-共轭梯度法求解梯度（非精确牛顿法的一种）

拟牛顿法（newton_quasi）

ou.newton_quasi.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
bfgs(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	BFGS方法更新海瑟矩阵
dfp(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	DFP方法更新海瑟矩阵
L_BFGS(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", m: int=6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	双循环方法更新BFGS海瑟矩阵

非线性最小二乘法（nonlinear_least_square）

ou.nonlinear_least_square.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
gauss_newton(funcr: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False,, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="wolfe", epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	高斯-牛顿提出的方法框架，包括OR分解等操作
levenberg_marquardt(funcr: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, lamk: float=1., eta: float=0.2, p1: float=0.4, p2: float=0.9, gamma1: float=0.7, gamma2: float=1.3, epsk: float=1e-6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	Levenberg Marquardt提出的方法框架

信赖域方法（trust_region）

ou.trust_region.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
steihaug_CG(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, r0: float=1., rmax: float=2., eta: float=0.2, p1: float=0.4, p2: float=0.6, gamma1: float=0.5, gamma2: float=1.5, epsk: float=1e-6, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	截断共轭梯度法在此方法中被用于搜索步长

约束优化算法（constrain）

import optimtool.constrain as oc
oc.[方法名].[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [不等式约数表], [初始迭代点])

等式约束（equal）

oc.equal.[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadratice(funcs: FuncArray, args: FuncArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", sigma: float=10., p: float=2., epsk: float=1e-4, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
lagrange_augmentede(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", lamk: float=6., sigma: float=10., p: float=2., etak: float=1e-4, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

不等式约束（unequal）

oc.unequal.[函数名]([目标函数], [参数表], [不等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadraticu(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", sigma: float=10., p: float=0.4, epsk: float=1e-4, epsilon: float=1e-6, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
lagrange_augmentedu(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", muk: float=10., sigma: float=8., alpha: float=0.2, beta: float=0.7, p: float=2., eta: float=1e-1, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

混合等式约束（mixequal）

oc.mixequal.[函数名]([目标函数], [参数表], [等式约束表], [不等式约束表], [初始迭代点])

方法头	解释
penalty_quadraticm(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", sigma: float=10., p: float=0.6, epsk: float=1e-6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	增加二次罚项
penalty_L1(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", sigma: float=1., p: float=0.6, epsk: float=1e-6, epsilon: float=1e-10, k: int=0) -> OutputType	L1精确罚函数法
lagrange_augmentedm(funcs: FuncArray, args: ArgArray, cons_equal: FuncArray, cons_unequal: FuncArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, method: str="newton", lamk: float=6., muk: float=10., sigma: float=8., alpha: float=0.5, beta: float=0.7, p: float=2., etak: float=1e-3, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	增广拉格朗日乘子法

方法的应用（example）

import optimtool.example as oe

Lasso问题（Lasso）

oe.Lasso.[函数名]([矩阵A], [矩阵b], [因子mu], [参数表], [初始迭代点])

方法头	解释
gradient(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, delta: float=10., alp: float=1e-3, epsilon: float=1e-3, k: int=0) -> OutputType	光滑化Lasso函数法
subgradient(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, alphak: float=2e-2, epsilon: float=1e-3, k: int=0) -> OutputType	次梯度法Lasso避免一阶不可导
approximate_point(A: NDArray, b: NDArray, mu: float, args: ArgArray, x_0: PointArray, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-3, k: int=0) -> OutputType	邻近算子更新

曲线相切问题（WanYuan）

oe.WanYuan.[函数名]([直线的斜率], [直线的截距], [二次项系数], [一次项系数], [常数项], [圆心横坐标], [圆心纵坐标], [初始迭代点])

问题描述：

给定直线的斜率和截距，给定一个抛物线函数的二次项系数，一次项系数与常数项。 要求解一个给定圆心的圆，该圆同时与抛物线、直线相切，若存在可行方案，请给出切点的坐标。

方法头	解释
solution(m: float, n: float, a: float, b: float, c: float, x3: float, y3: float, x_0: tuple, verbose: bool=False, draw: bool=False, eps: float=1e-10) -> str	使用高斯-牛顿方法求解构造的7个残差函数

混合优化算法（hybrid）

import optimtool.hybrid as oh

近似点算法（approt）

oh.approt.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点], [正则化参数], [邻近算子名])

方法头	解释
grad(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	基于梯度方法的邻近近似

FISTA算法（fista）

oh.fista.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点], [正则化参数], [邻近算子名])

方法头	解释
normal(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	两步计算一个新点
variant(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	normal法的等价变形
decline(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	基于函数下降趋势的变体

Nesterov算法（nesterov）

oh.nesterov.[函数名]([目标函数], [参数表], [初始迭代点], [正则化参数], [邻近算子名])

方法头	解释
seckin(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	第二类Nesterov加速法
accer(funcs: FuncArray, args: ArgArray, x_0: PointArray, mu: float=1e-3, proxim: str="L1", lk: float=0.01, tk: float=0.02, verbose: bool=False, draw: bool=True, output_f: bool=False, epsilon: float=1e-4, k: int=0) -> OutputType	复合优化算法的加速框架

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