[AL] Add Produto Interno e Ortogonalidade (#1004)

Co-authored-by: ist1109493 <[email protected]>
Co-authored-by: Diogo Correia <[email protected]>

content/al/0600-produto-interno-ortogonalidade.md

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+---
+title: Produto Interno e Ortogonalidade
+description: >-
+  Produto interno usual (real e complexo)
+  Propriedades do produto interno
+  Conceitos associados ao produto interno
+  Vetores ortogonais
+  Conjuntos Ortogonais
+  Ortogonalização de Gram-Schmidt
+  Projeção ortogonal
+
+path: /al/produto-interno-ortogonalidade
+type: content
+---
+
+# Produto Interno e Ortogonalidade
+
+Apesar da introdução a álgebra linear ter sido realizada até agora
+através de sistemas lineares, existe uma diversidade enorme de
+aplicações geométricas desta área.
+Podemos por isso, generalizar muitas noções geométricas a qualquer
+espaço linear, não só a $\R^n$ mas a qualquer espaço linear.
+
+```toc
+
+```
+
+## Produto interno usual em $\R^n$
+
+O produto interno usual em $\R^n$ pode ser definido simplesmente por
+
+:::info[Definição]
+Sejam $x$, $y$ vetores de $\R^n$, tal que $x=(x_1,x_2,x_3,... , x_n)$
+e $y=(y_1,y_2,y_3,..., y_n)$
+
+$$
+\langle x,y \rang =x_1y_1 +x_2y_2+...+x_ny_n
+$$
+
+ou seja,
+
+$$
+\langle x,y \rang = \begin{bmatrix}
+   x_1 & x_2 & ... & x_n
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+   y_1 \\
+   y_2 \\
+   ... \\
+   y_n
+\end{bmatrix}
+= x^Ty
+$$
+
+:::
+
+## Produto interno em $\C^n$
+
+O produto interno usual em $\C^n$ é em muito similar ao produto em $\R^n$, mas com algumas diferenças.  
+Segue-se a fórmula deste:
+
+:::info[Definição]
+Sejam $x$, $y$ vetores de $\C^n$, tal que $x=(x_1,x_2,x_3,... , x_n)$
+e $y=(y_1,y_2,y_3,..., y_n)$
+
+$$
+\langle x,y \rang =\bar{x}_1y_1 +\bar{x}_2y_2+...+\bar{x}_ny_n
+$$
+
+ou seja,
+
+$$
+\langle x,y \rang = \begin{bmatrix}
+   \bar{x}_1 & \bar{x}_2 & ... & \bar{x}_n
+\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
+   y_1 \\
+   y_2 \\
+   ... \\
+   y_n
+\end{bmatrix}
+= \bar{x}^Ty
+$$
+
+:::
+
+**Nota:** Verifica-se que se a fórmula do produto interno usual for aplicada
+aos números reais, que se obtém a fórmula do produto interno usual dos números
+reais pois $\bar{x}=x, \forall x \in \R$.
+
+## Propriedades do Produto Interno
+
+Qualquer que seja o produto interno, este seguirá sempre as seguintes propriedades:
+
+:::info[Simetria]
+$\langle x,y \rang = \langle y,x \rang$ (em $\R$) ou $\langle x,y \rang =  \overline{\langle y,x \rang}$ (em $\C$)
+:::
+:::info[Linearidade]
+$ \langle x,\alpha y + \beta z \rang = \alpha \langle x,y\rang + \beta \langle x,z\rang$
+:::
+:::info[Positividade]
+$ \langle x,x \rang \geqslant 0 $ e $ \langle x,x \rang = 0 $ apenas quando $ x=0$
+:::
+
+A partir destas características fundamentais pode-se definir o conceito de espaço Euclidiano.
+
+:::info[Espaço Euclidiano]
+Espaço linear munido de munido de produto interno
+:::
+
+Num espaço euclidiano definem-se os seguintes conceitos:
+
+:::info[Norma]
+
+$$
+\parallel x\parallel = \langle x,x \rang
+$$
+
+:::
+:::info[Distância]
+
+$$
+\op{dist}(u,v) = \parallel u-v\parallel
+$$
+
+:::
+
+### Matriz de Gram
+
+:::info[Matriz de Gram]
+Seja $W$ um espaço linear real (resp. complexo) munido de um produto interno
+e $B=(v_1,v_2,...,v_n)$ uma base ordenada de $W$.
+A matriz $G={[\langle v_i,v_j\rang]}_{(i,j=1,...,n)}$ dos produtos internos
+dos vetores da base $B$ é designada por _matriz de Gram_ ou _matriz da métrica_,
+relativa a essa mesma base.
+A matriz $G$ verifica:
+
+1. $G$ é simétrica (respetivamente Hermitiana);
+2. $G$ é definida positiva, isto é, $x^T_BGx_b>0$ para todo $x \not = 0$
+   (resp. $ x^H_BGy_B>0$, para todo $x \not = 0$), ou seja, os valores próprios
+   da matriz $G$ têm de ser todos positivos.
+
+Em relação à base $B$, o produto interno em $W$ escreve-se na forma
+
+$$
+\langle x,y \rang = x^T_BGy_B
+$$
+
+onde $x_B$ e $y_B$ são respetivamente, os vetores de coordenadas de $x$ e $y$ na base $B$.
+:::
+
+### Desigualdade de Cauchy-Schwarz
+
+Num espaço euclidiano qualquer verifica-se que
+
+$$
+\large{\dfrac{| \langle u,v\rang |}{\| u \| \|v \|}} \leqslant 1
+$$
+
+Esta desigualdade permite diretamente chegar à noção de ângulo entre vetores.
+
+:::info[Ângulo entre vetores]
+
+$$
+\large{\dfrac{ \langle u,v\rang }{\| u \| \|v \|}} =\cos \theta, \quad \theta \in [0, \pi]
+$$
+
+:::
+
+## Ortogonalidade
+
+Com todas as noções previamente discutidas, torna-se possível discutir ortogonalidade entre dois vetores.
+
+:::info[Definição]
+
+$$
+u \perp v \Leftrightarrow \langle u,v\rang=0
+$$
+
+:::
+
+Com a definição de ortogonalidade, pode-se concluir que o **Teorema de Pitágoras**
+é válido, tal que, se $u \perp v$ então $\|u-v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$.
+
+Com a ortogonalidade entre vetores definida sai a definição de conjunto ortogonal.
+
+:::info[Conjunto Ortogonal]
+$ S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ é ortogonal se os vetores de $S$ são ortogonais 2 a 2, isto é:
+
+$\langle v_i, v_j \rang= 0$ para $i \not= j$
+
+:::
+
+De forma muito similar,
+:::info[Conjunto Ortonormado]
+$S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ é ortonormado se os vetores de $S$ são ortogonais 2 a 2
+e se a norma de todos os vetores for 1, isto é:
+
+$$
+\langle v_i, v_j \rang= \begin{cases}
+0 &\text{se } i \not = j \\
+1 &\text{se } i = j
+\end{cases}
+$$
+
+:::
+
+:::info[Proposição]
+Um conjunto ortogonal $S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ que não contenha o vetor nulo é linearmente independente.
+:::
+
+:::info[Projeção ortogonal]
+Num espaço linear $W$ munido de um produto interno, a _projeção ortogonal_ do vetor
+$u \isin W$ sobre o vetor não nulo $v \isin W$ é definida por
+
+$$
+\op{proj}_u v =\dfrac{ \langle u,v\rang }{\| u \|^2}
+$$
+
+:::
+
+:::info[Desigualdade Triangular]
+
+$$
+\|u+v\|\le \|u\|+\|v\|
+$$
+
+:::
+
+### Complemento ortogonal
+
+Dois subespaços $U$ e $V$ dizem-se _subespaços complementares_ se qualquer vetor
+de $W$ se escreve na forma $w=u+v$ e se a interseção dos subespaços é nula ($U\cap V=\{\empty \}$).
+
+Tendo em conta esta definição,
+
+$$
+\dim W= \dim U+ \dim V
+$$
+
+Pode-se expandir esta noção, criando a noção de **complemento ortogonal**.
+
+:::info[Complemento Ortogonal]
+Seja $W$ um espaço linear munido de um produto interno e $S$ um subespaço de $W$
+O _complemento ortogonal_ de $S$ é o conjunto de todos os vetores de $W$ que são ortogonais a qualquer vetor de $S$. Designamos o complemento ortogonal do subespaço $S$ por $S^\perp$.
+:::
+
+:::info[Proposição]
+O complemento ortogonal $S^\perp$ do subespaço $S$ é um subespaço.
+:::
+
+:::info[Proposição]
+Seja $S$ um subespaço e $S^\perp$ o seu complemento ortogonal. Verifica-se que:
+
+$$
+S \cap S^\perp=\{\empty\}
+$$
+
+:::
+
+Tendo em conta que a interseção de um subespaço com o seu complemento ortogonal
+é o vazio, e tendo em conta que a sua união é o espaço, fica a questão de se
+qualquer vetor do espaço pode ser decomposto em vetores dos dois espaços. (Sim, e faz-se da seguinte forma)
+
+:::info[Teorema da decomposição ortogonal]
+Seja $W$ um espaço euclidiano e $S$ um subespaço de $W$.
+Qualquer vector $x\in W$ escreve-se de forma única como a soma de
+um vetor $x_S$ de $S$ com um vetor $x_{S^\perp}$ do complemento ortogonal de $S$.
+Isto é, $x=x_S+x_{S^\perp}$ com $x_S \in S$ e $x_{S^\perp}$.
+
+Define-se a projeção ortogonal de $x$ sobre o subespaço $S^\perp$ como $\op{proj}_{S^\perp}x=x_{S^\perp}$
+:::
+
+:::info[Hiperplano]
+Num espaço linear de dimensão $n$, chama-se _hiperplano_ a um subespaço de dimensão $(n-1)$
+:::
+
+:::info[Teorema da melhor aproximação]
+Sendo $W$ um espaço euclidiano e $S$ um subespaço de $W$ e $v$ um vetor de $W$, então
+
+$$
+\| x-\op{proj}_Sx\|\le \|x-u\|
+$$
+
+para qualquer $u \in S$
+:::
+
+:::info[Distância a um subespaço]
+Seja $W$ um espaço linear, $S$ um subespaço de $W$ e $x$ um vetor de $W$. A distância de $x$ a $S$ é:
+
+$$
+dist(x,S)= \|\op{proj}_{S^\perp}x\|
+$$
+
+:::
+
+:::info[Ortogonalidade dos subespaços fundamentais de uma Matriz]
+
+$$
+(EL(A))^\perp=N(A) \quad \text{e} \quad (EC(A))^\perp=N(A^T)
+$$
+
+:::
+
+### Ortogonalização de Gram-Schmidt
+
+Expressar vetores numa base ortonormada é relativamente simples,
+mas fica a questão de como obter uma tal base, a partir de um
+conjunto já existente de vetores.
+Para tal pode-se usar o método de ortogonalização de Gram Schmidt.
+
+:::info[Ortogonalização de Gram Schmidt]
+Seja $V=\{v_1,v_2,...,v_k\}$, com $k>1$, um conjunto linearmente independente
+de um espaço euclidiano.
+O conjunto $U=\{u_1,u_2,...,u_k\}$ formado pelos vetores
+
+$$
+\begin{aligned}
+u_1 &= v_1 \\
+u_2 &= v_2-\frac{\langle u_1,v_2\rang}{\|u_1\|^2} \\
+    &= \dots \\
+u_k &= v_k-\op{proj}_{u_1}v_k-\op{proj}_{u_2}v_k-\dots-\op{proj}_{u_{k-1}}v_k
+\end{aligned}
+$$
+
+é ortogonal.
+
+Os conjuntos $U$ e $V$ geram o mesmo espaço.
+:::