refactor: review and cleanup text

content/fis-i/0004-work.md

@@ -1,9 +1,8 @@
 ---
 title: Trabalho de Forças
 description: >-
-  Trabalho de uma Força (Simples)
-  Trabalho de uma Força (Geral)
-  Trabalho como Variação de Energia
+  Trabalho de uma Força para 1 Dimensão e para n Dimensões.
+  Trabalho como Variação de Energia.
 path: /fis-i/work
 type: content
 ---
@@ -14,17 +13,18 @@ type: content
 
 ```
 
-Nas seções anteriores falámos de vários tipos diferentes de forças e vimos que cada força atua sobre um corpo de uma maneira diferente.  
+Nas secções anteriores falámos de vários tipos diferentes de forças e vimos que
+cada força atua sobre um corpo de uma maneira diferente.  
 Vamos agora definir essa interação através do **trabalho**.
 
-## Trabalho de uma Força (Simples)
+## Trabalho de uma Força (1 dimensão)
 
 O **trabalho de uma força** é a energia transformada ou transferida a um corpo ao aplicar-lhe uma força.
 No secundário aprendemos a fórmula para o **trabalho** quando a força aplicada e o movimento eram simples:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-W_F = F\cos\varTheta \Delta x && \Delta x = x_f - x_i
+W_F = F \cdot \cos\varTheta \cdot \Delta x && \Delta x = x_f - x_i
 \end{darray}
 $$
 
@@ -35,15 +35,16 @@ Apenas as componentes da força com a mesma direção do movimento do corpo ao q
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\text{Se } \varTheta = 0 \text{ então } W_f = 0
+\text{Se } \varTheta = 90\op{deg} \text{ então } W_f = 0
 \end{darray}
 $$
 
 :::
 
-## Trabalho de uma Força (Geral)
+## Trabalho de uma Força (n dimensões)
 
-A forma anterior serve perfeitamente para sistemas simples mas quando o sistema começa a ficar mais complicado, ao acrescentar eixos por exemplo, é preciso uma formula mais geral:
+A forma anterior serve perfeitamente para sistemas de 1 dimensão mas quando o sistema
+tem $n$ dimensões, ao acrescentar eixos por exemplo, é preciso uma fórmula mais geral:
 
 ### Coordenadas Cartesianas
 
@@ -69,7 +70,7 @@ $$
 
 ### Coordenadas Polares
 
-![Trabalho da força geral](./assets/0004-polar-coordenates-work.png#dark=2)
+![Trabalho da força geral](./assets/0004-polar-coordinates-work.png#dark=2)
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
@@ -93,66 +94,66 @@ $$
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\vec{e_x} = \;\,\, sen\varTheta\, \vec{e_r} + cos\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
-\vec{e_y} = -cos\varTheta\, \vec{e_r} + sen\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
+\vec{e_x} = \;\,\, \sin\varTheta\, \vec{e_r} + \cos\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
+\vec{e_y} = -\cos\varTheta\, \vec{e_r} + \sin\varTheta\, \vec{e_\varTheta}\\
 \end{darray}
 $$
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-x = \enspace\,rsen\varTheta \enspace\rArr\enspace dx = \>\,\,sen\varTheta\, dr + rcos\varTheta\, d\varTheta\\
-y = -rcos\varTheta \enspace\rArr\enspace dy = -cos\varTheta\, dr + rsen\varTheta\, d\varTheta\\
+x = \enspace\,r\sin\varTheta \enspace\rArr\enspace \d x = \>\,\,\sin\varTheta\, \d r + r\cos\varTheta\, \d \varTheta\\
+y = -r\cos\varTheta \enspace\rArr\enspace \d y = -\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d \varTheta\\
 \end{darray}
 $$
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\text{Portanto, se }d\vec{r} = dx\,\vec{e_x} + dy\,\vec{e_y}:\\
+\text{Portanto, se }\d\vec{r} = \d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y}:\\
 \text{ }\\
-\vec{F}\cdot d\vec{r} \>= \vec{F}\,(dx\,\vec{e_x} + dy\,\vec{e_y})\\
+\vec{F}\cdot \d\vec{r} \>= \vec{F}\,(\d x\,\vec{e_x} + \d y\,\vec{e_y})\\
 
-\qquad\>\>\, = \vec{F}\,((sen\varTheta\, dr + rcos\varTheta\, d\varTheta)(sen\varTheta\,\vec{e_r} + cos\varTheta\,\vec{e_\varTheta}) \space + \\
-\qquad\qquad\quad\, (-cos\varTheta\, dr + rsen\varTheta\, d\varTheta)(-cos\varTheta\,\vec{e_r} + sen\varTheta\,\vec{e_\varTheta}))\\
+\qquad\>\>\, = \vec{F}\,((\sin\varTheta\, dr + r\cos\varTheta\, d\varTheta)(\sin\varTheta\,\vec{e_r} + \cos\varTheta\,\vec{e_\varTheta}) \space + \\
+\qquad\qquad\quad\, (-\cos\varTheta\, \d r + r\sin\varTheta\, \d\varTheta)(-\cos\varTheta\,\vec{e_r} + \sin\varTheta\,\vec{e_\varTheta}))\\
 
-\qquad\>\>\, = \vec{F}\,(dr\,\vec{e_r} + r\,d\varTheta\,\vec{e_\varTheta})\\
+\qquad\>\>\, = \vec{F}\,(\d r\,\vec{e_r} + r\,\d \varTheta\,\vec{e_\varTheta})\\
 
-\qquad\>\>\, = F_r\,dr + F_\varTheta\,d\varTheta
+\qquad\>\>\, = F_r\,\d r + F_\varTheta\,\d\varTheta
 \end{darray}
 $$
 
 :::
 
-:::details[Exemplo]
+:::info[Exemplo]
 Podemos agora calcular o trabalho da força gravítica enquanto um corpo cai em direção à terra:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-d\vec{r} = dr\,\vec{e_r}\\
+\d \vec{r} = \d r\,\vec{e_r}\\
 
-W_G = \int^{r_f}_{r_i}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int^{r_f}_{r_i} -\frac{GM_Tm}{R²}\,\vec{e_r}\cdot\vec{e_r}\,dr = \frac{GM_Tm}{r_f} - \frac{GM_Tm}{r_i}
+W_G = \int^{r_f}_{r_i}\vec{F}\cdot \d\vec{r} = \int^{r_f}_{r_i} -\frac{GM_Tm}{R^2}\,\vec{e_r}\cdot\vec{e_r}\,\d r = \frac{GM_Tm}{r_f} - \frac{GM_Tm}{r_i}
 \end{darray}
 $$
 
 :::
 
 :::warning[Atenção]
-O trabalho de uma força conservativa apenas depende da posiçao inicial e final, sendo o trajeto feito para chegar de um ponto para o outro irrelevante
+O trabalho de uma força conservativa apenas depende da posição inicial e final,
+sendo o trajeto feito para chegar de um ponto para o outro irrelevante
 :::
 
 ## Trabalho como Variação de Energia
 
-<!--### Trabalho de uma Força Conservativa-->
-
 A força gravítica é conservativa podendo assim ser expressa como uma variação de enrgia potencial.  
-Se fizermos corresponder a cada ponto do espaço uma energia potencial $\;E_p = -\frac{GM_tm}{R}\;$ podemos definir o trabalho da força gravítica entre dois pontos como:
+Se fizermos corresponder a cada ponto do espaço uma energia potencial
+$\;E_p = -\frac{GM_tm}{R}\;$ podemos definir o trabalho da força gravítica entre dois pontos como:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
 W_F = -\,(\,E_f - E_i\,)
 \end{darray}
 $$
 
-Conseguímos ainda expressar a força gravítica como gradiente de uma energia potencial:
+Conseguimos ainda expressar a força gravítica como gradiente de uma energia potencial:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
@@ -166,7 +167,7 @@ $$
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\vec{\nabla}U = \frac{\partial U}{\partial r}\,\vec{e_r} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial U}{\partial \sigma}\,\vec{e_\sigma} + \frac{1}{rsen\sigma}\,\frac{\partial U}{\partial \phi}\,\vec{e_\phi}
+\vec{\nabla}U = \frac{\partial U}{\partial r}\,\vec{e_r} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial U}{\partial \sigma}\,\vec{e_\sigma} + \frac{1}{r\sin\sigma}\,\frac{\partial U}{\partial \phi}\,\vec{e_\phi}
 \end{darray}
 $$
 
@@ -181,7 +182,7 @@ W_F = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 - \frac{1}{2}\,m\,v_i^2
 \end{darray}
 $$
 
-ou, em termos de energia potêncial:
+ou, em termos de energia potencial:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
@@ -237,14 +238,15 @@ $$
 
 :::
 
-:::details[Exemplo 1]
-Uma pedra foi lançada verticalmente com velocidade $v_i$. Calcule a altura máxima que atinge:
+:::info[Exemplo 1]
+
+**Uma pedra foi lançada verticalmente com velocidade $v_i$. Calcule a altura máxima que atinge.**
 
-Podemos usar a conservação de energia uma vez que estamos apenas a considerar que a única força aplicada no corpa é a força gravítica:
+Podemos usar a conservação de energia uma vez que estamos apenas a considerar que a única força aplicada no corpo é a força gravítica:
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-E_{Total} = const \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 + mgh_{max}
+E_{Total} = \text{const} \implies \frac{1}{2}\,m\,v_i^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_f^2 + mgh_{max}
 \end{darray}
 $$
 
@@ -256,11 +258,13 @@ $$
 \end{darray}
 $$
 
-A energia cinética transforma-se em potêncial.
+A energia cinética transforma-se em potencial.
 :::
 
-:::details[Exemplo 2]
-Uma pedra foi lançada ao ar com velocidade extremamente grande. Qual a velociade de escape, isto é, a velocidade mínima para chegar ao infinito?
+:::info[Exemplo 2]
+
+**Uma pedra foi lançada ao ar com velocidade extremamente grande.
+Qual a velocidade de escape, isto é, a velocidade mínima para chegar ao infinito?**
 
 Usamos novamente a conservação de energia considerando apenas a força gravítica como força aplicada à pedra:
 
@@ -278,7 +282,9 @@ $$
 \end{darray}
 $$
 
-Como o raio e massa da Terra são valores conhecidos é possivel calcular a velocidade de escape um corpo na Terra $\, v_i \backsimeq 11 \,Km\text{\textbackslash}s \,$ ignorando a rotação da Terra.
+Como o raio e massa da Terra são valores conhecidos é possível calcular a
+velocidade de escape um corpo na Terra $\, v_i \backsimeq 11 \,\op{km/s} \,$,
+ignorando a rotação da Terra.
 
 A velocidade de escape de um buraco negro é igual à velocidade da luz.
 :::

content/fis-i/0005-momentum.md

@@ -1,11 +1,11 @@
 ---
 title: Momento
 description: >-
-  Momento Linear
-  Centro de Massa
-  Corpo Rigido: Momento de Inércia
-  Momento Angular
-  Momento de Forças
+  Momento Linear.
+  Centro de Massa.
+  Corpo Rigido: Momento de Inércia.
+  Momento Angular.
+  Momento de Forças.
 path: /fis-i/momentum
 type: content
 ---
@@ -36,7 +36,7 @@ A lei de Newton diz que
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\vec{F} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} \iff \vec{F} = m\,\vec{a} \quad\text{,\quad se }\;\; m = const
+\vec{F} = \frac{\partial \vec{P}}{\partial t} \iff \vec{F} = m\,\vec{a} \quad\text{,\quad se }\;\; m = \op{const}
 \end{darray}
 $$
 
@@ -60,39 +60,60 @@ ou seja
 
 $$
 \begin{darray}{ll}
-\frac{\partial}{\partial t}[m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}] = 0 \implies \vec{P_T} = const
+\frac{\partial}{\partial t}[m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}] = 0 \implies \vec{P_T} = \op{const}
 \end{darray}
 $$
 
 Quando consideramos um objeto a cair na Terra geralmente vemos que o seu momento não se conserva porque não estamos a considerar a Terra no nosso sistema, do qual a Terra teria de fazer parte para para o momento do sistema se conservar.
 
 ### Colisões
 
-#### Colisões Totalmente Inelásticas
+#### Colisões (Totalmente) Inelásticas
+
+Uma [colisão inelástica](color:green) é aquela em que há **perda** de
+energia cinética do sistema. Quando ocorre uma perda máxima de energia cinética,
+isto é, quando ambos os corpos ficam com a mesma velocidade, dá-se o nome de
+colisão **totalmente** inelástica.
+
+:::info[Exemplo]
 
 ![Colisão Inelástica](./assets/0005-completely-inelastic-colision.png#dark=2)
 
-Sabemos que $P$ é constante e que a velocidade final das duas massas é igual, logo
+Numa colisão totalmente inelástica, a velocidade final das duas massas é igual.
+Além disso, como estamos perante um sistema isolado, o momento linear, $P$, também
+se conserva. Considerando que ambas as esferas têm igual massa (i.e. $m_1 = m_2$)
+e que a esfera 2 está em repouso inicialmente, temos,
 
 $$
-\begin{darray}{cc}
-mv_i = 2mv_f \implies v_f = \frac{v_i}{2}
-\end{darray}
+\begin{aligned}
+P_i = P_f &\Leftrightarrow m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \\
+&\Leftrightarrow mv_i = 2mv_f \\
+&\Leftrightarrow v_f = \frac{v_i}{2}
+\end{aligned}
 $$
 
-Como não existe conservação de energia
+Podemos agora descobrir qual foi a variação de energia (cinética) do sistema:
 
 $$
-\begin{darray}{cc}
-E_i = \frac{1}{2}mv_i^2\\
-\,\\
-E_i = \frac{1}{2}\,2mv_f^2 = m\left(\frac{v_i}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}mv_i^2
+\begin{darray}{l}
+E_i = \frac{1}{2}mv_i^2 \\\\
+E_f = 2 \left(\frac{1}{2}mv_f^2\right) = m\left(\frac{v_i}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}mv_i^2 \\\\
+\Delta E = E_f - E_i
 \end{darray}
 $$
 
+:::
+
 #### Colisões Elásticas
 
-Consideremos uma colisão elástica entre duas bolas de bilhar uma com velocidade inicial $v_i$ e outra parada. Observa-se uma colisão frontal que, como é elástica, conserva a energia cinética.
+Uma [colisão elástica](color:orange) é aquela em que há **conservação** de
+energia cinética do sistema.
+
+:::info[Exemplo]
+
+Consideremos uma colisão elástica entre duas bolas de bilhar uma
+com velocidade inicial $v_i$ e outra parada.
+Observa-se uma colisão frontal que, como é elástica, conserva a energia cinética.
 
 ![Colisão Elástica](./assets/0005-completely-elastic-colision.png#dark=2)
 
@@ -124,6 +145,8 @@ v_1 = v_i
 \end{darray}
 $$
 
+:::
+
 :::tip[Colisão Elástica (Geral)]
 Para uma colisão elástica em que os corpos têm massa diferente
 
@@ -171,7 +194,8 @@ $$
 \end{darray}
 $$
 
-Ao escolher o referencial com o centro no centro de massa temos que $\,\sum m_i\vec{v^*}_i = 0\,$. Em relação a este sistema o objeto, composto por várias partículas, move-se como um único ponto:
+Ao escolher o referencial com o centro no centro de massa temos que $\,\sum m_i\vec{v^*}_i = 0\,$.
+Em relação a este sistema o objeto, composto por várias partículas, move-se como um único ponto:
 
 $$
 \begin{darray}{cc}
@@ -187,7 +211,7 @@ $$
 \end{darray}
 $$
 
-Disto podemos tambem definir
+Disto podemos também definir
 
 $$
 \begin{darray}{cc}
@@ -205,6 +229,18 @@ $$
 
 ## Corpo Rígido: Momento de Inércia
 
+:::warning[Secção Incompleta]
+De momentos não existem conteúdos nesta secção. Aceitam-se contribuições.
+:::
+
 ## Momento Angular
 
+:::warning[Secção Incompleta]
+De momentos não existem conteúdos nesta secção. Aceitam-se contribuições.
+:::
+
 ## Momento de Forças
+
+:::warning[Secção Incompleta]
+De momentos não existem conteúdos nesta secção. Aceitam-se contribuições.
+:::