离散1/电子学 (PKUanonym#16)

* 离散数学（A）

* 电子学基础2018-2019期末考试题

大一上/离散数学(1)/exam/离散数学 (A) 2018年机经.md

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+# 离散数学 (A) 2018年机经
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+by 相逢有时 @学习部
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+考试时间：2019年01月11日
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+## 总体情况
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+题量和16年差不多，难度比16年和样卷都要大得多。不仅考察了细枝末节的各类知识点（比如良序集、求闭包的顺序等，考点几乎没有死角），而且要求灵活运用所学知识，有较高思维难度，题目的综合性和交叉性很大。
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+考完基本上是跪了，所调查范围内的同学没有一位表示做完了题目，最后两题没做是常态，普遍表示整体难度都很大。（笔者也是在心态爆炸中艰难地写完本片机经的orz）
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+某大佬的做题感言：
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+> 五教气候温暖宜人，试卷印刷清晰，考试氛围良好，明年还会继续体验。
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+## 选择题
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+- 有一个关于命题的定义的，有点坑。答案似乎是选“含命题变项”的一项
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+- 有一个关于集合对称差的，简单
+- 有一个关于存在、任意两次的使用的，简单
+- 关于关系的题目，较难：设xRy表示x是y的父亲，xSy表示x是y的母亲。问以下哪种关系表示x是y的妻子？
+  1. R o S^-1
+  2. S o R^-1
+  3. R^-1 o S
+  4. S^-1 o S
+- 关于集合运算的题目，选择错误的一项，较难。
+- 关于连续统假设和集合基数的问题，中等。
+- ……
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+## 判断题
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+- 集合 A∈B 等价于 P(A) ∈ P(B)
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+- 良序集不一定是全序集（虽然良序集好像不在考纲里，但他还是考了orzorz）
+- ……
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+## 填空题
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+- 波兰表达式：!P V (Q ^ !R) V !!Q（大概是）
+- 基数运算题，简单。（如 ∩{23, 43} )
+- 给一个10元素的集合，给一种划分{{1,2,3,4}, {5,6,7}, {8,9}, {10}}，问等价关系中有序对的个数。(30)
+- 关系的计数，较难。问，对于元素个数为n的集合A，A上的以下关系分别有多少种？（用n表示）
+  - 自反关系
+  - 反自反关系
+  - 对称关系
+  - 反对称关系
+  - 非自反且非反自反关系
+  - 自反并且对称的关系
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+## 大题
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+题量大，笔者写满了整个答卷orz。难度阶梯明显
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+- 有一个关于容斥原理，简单：给了三个集合A、B、C中A和B的元素个数，给了全集元素个数，给了ABC任意两个的交的元素个数，给了A交B交C的元素个数，叫你求C的元素个数。
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+- 有一个主合取、主析取范式的题目，较简单：命题很长，直接化简十分麻烦（含双箭头和很多单箭头），但是整个式子只含P、Q两个命题，所以可以直接打表（枚举4次就完了，很简单）或者写成极小式再析取。
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+- 有一个命题形式化的题目，第一个难度较大：
+  - 过平面上的不共线的三点，有且仅有一个圆。（注意三点不共线、有且仅有、三点共圆的形式化）
+  - 数列A（下标从0到n-1）是升序列。
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+- 证明： (A-B)对称差(A-C) = ∅ 等价于 A∩B = A∩C
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+- 证明：左边是一个前束范式，右边是一个范式。简单。
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+- 哈斯图，难度较大。
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+  定义集合 $ A = \{2, 2^2, ..., 2^{12}\} $ 偏序关系 $ R = \{<x,y> | x \in \N_+ \and y \in \N_+ \and (\exist p) (p \in \N_+ \and y = x^p)\} ​$
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+  1. 求 $ R_1 = (A \times A) \cap R​$ 的哈斯图（建议表示成2的指数形式，这样容易发现指数之间是简单的整除关系）
+  2. 求 $R_1$ 最小元、最大元、极小元、极大元。
+  3. 在 $ \N_+ $ 上求 $<A, R_1>$ 的上下界、上下确界。（用最小公倍数和最大公约数来求解）
+  4. 求所有最长链、最长反链（这个有点多，要仔细数）
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+- 函数构造题，综合性、难度较大。（4分）
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+  设 $\N \to \Z$ 的函数 $f(t) = a t^2 + c$ ，其中a、c都是可以调节的自然数。试构造 $\N \to \Z$ 的**不依赖于a、c的取值**的函数$g(t)$，使得对于**任意**的 $a, c \in \N$ ，始终存在 $t_0 \in \N$，使得 $f(t_0) = g(t_0)$
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+  例如，当c = 0时，可以构造 $g(t) = t^3​$，这样对于任意的a，可以取$t_0 = a​$，$f(t_0) = g(t_0) = a^3​$
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+  1. 设 $c \in \{0, 1\}​$，构造 g(t)
+  2. 设 c 可以是任何自然数，构造 g(t) 
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+  （思路大概是要构造 $\N \to \Z^2​$ 的双射，by耀神）
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+- 用罗素公理系统证明 $ p \leftrightarrow p $ 是重言式。卷尾给了3条定义、4条公理、7条定理。较难。（5分）