исправленный функан

Funkan3.tex

@@ -503,7 +503,7 @@ \section{Принцип сжимающих отображений}
 Теперь рассмотрим стандартную метрику $$\rho(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}.$$ Тогда $$\rho^2(y',y'')=\sum\limits_{i=1}^n\left(\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x'_j+b_i\right)-\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x''_j+b_i\right)\right)^2=$$ $$=\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}(x'_j-x''_j)\right)^2\leq$$ $$\text{ используя неравенство Коши-Буняковского }$$ $$\leq\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a^2_{ij}\right)\left(\sum\limits_{j=1}^n (x'_j-x''_j)^2\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a^2_{ij}\right)\rho(x',x'').$$ Отсюда, получаем условие $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a^2_{ij}<1$.
 
 Рассмотрим еще один важный пример. Пусть дано дифференциальное уравнение $y'=f(x,y)$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$. Предположим, что $f(x,y)$ --- определена и непрерывна в некоторой области $G$, содержащей точку $(x_0,y_0)$. Более того, $f(x,y)$ удовлетворяет условию Липшица по $y$, т.е. существует $K$ такое, что $$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|$$ для любых $(x,y_1), (x,y_2)\in G$. Поскольку $f(x,y)$ --- непрерывно, то $|f(x,y)|<M$ в области $G'\subset G$. Теперь рассмотрим прямоугольную область $G''=\{[x_0-d,x_0+d]\times[y_0-Md,y_0+Md]\}\subset G'$. Более того, $dK<1$. Пусть $C^*$ --- пространство непрерывных функций на $[x_0-d,x_0+d]$ таких, что $|\varphi(x)-y_0|\leq Md$. Зададим метрику на $C^*$, $$\rho(\varphi_1,\varphi_2)=\max\limits_{x\in[x_0-d;x_0+d]}|\varphi_1(x)-\varphi_2(x)|.$$ Заметим, что пространство $C^*$ полно (оно является замкнутым подмножеством полного пространства).
-Рассмотрим отображение $A$, определяемое $$\psi(x)=A(\varphi)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t))dt.$$ Заметим, что $A$ переводит $C^*$ в себя. Действительно, пусть $\varphi\in C^*$. Тогда $$|\psi(x)-y_0|=\left|\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t))dt\right|\leq K d.$$ Пусть $\varphi_1 \varphi_2\in C^*$ и $\psi_1=A(\varphi_1), \psi_2=A(\varphi_2)$. Тогда $$|\psi_1(x)-\psi_2(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x (f(t,\varphi_1(t))-f(t,\varphi_2(t)))dt\right|\leq$$ $$\leq\int\limits_{x_0}^x |f(t,\varphi_1(t))-f(t,\varphi_2(t))|dt\leq\int\limits_{x_0}^x K|\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|dt\leq$$ $$\leq Kd\max\limits_{x\in[x_0-d;x_0+d]}|\varphi_1(x)-\varphi_2(x)|=Kd\rho(\varphi_1,\varphi_2).$$ Поскольку $Kd<1$, то $A$ сжимающее отображение. Следовательно, существует единственная функция $\varphi(x)$ такая, что $$\varphi(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t)dt.$$ Тогда $\varphi(x)$ является решением дифференциального уравнения $y'=f(x,y)$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$.
+Рассмотрим отображение $A$, определяемое $$\psi(x)=A(\varphi)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t))dt.$$ Заметим, что $A$ переводит $C^*$ в себя. Действительно, пусть $\varphi\in C^*$. Тогда $$|\psi(x)-y_0|=\left|\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t))dt\right|\leq M d.$$ Пусть $\varphi_1 \varphi_2\in C^*$ и $\psi_1=A(\varphi_1), \psi_2=A(\varphi_2)$. Тогда $$|\psi_1(x)-\psi_2(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x (f(t,\varphi_1(t))-f(t,\varphi_2(t)))dt\right|\leq$$ $$\leq\int\limits_{x_0}^x |f(t,\varphi_1(t))-f(t,\varphi_2(t))|dt\leq\int\limits_{x_0}^x K|\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|dt\leq$$ $$\leq Kd\max\limits_{x\in[x_0-d;x_0+d]}|\varphi_1(x)-\varphi_2(x)|=Kd\rho(\varphi_1,\varphi_2).$$ Поскольку $Kd<1$, то $A$ сжимающее отображение. Следовательно, существует единственная функция $\varphi(x)$ такая, что $$\varphi(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi(t)dt.$$ Тогда $\varphi(x)$ является решением дифференциального уравнения $y'=f(x,y)$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$.
 
 \begin{remark}
 Предыдущий пример является доказательством теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
@@ -529,7 +529,7 @@ \section{Компактные пространства}
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-Пусть $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств $X$ и пусть $X$ компактно. Множества $B_{\alpha}=X\setminus A_{\alpha}$ --- открыты. Поскольку для любого конечного набора $A_i$ $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\neq \emptyset$, то $B_i$ не покрывают все пространство. Тогда $B_{\alpha}$ не покрывают все пространство. Следовательно, $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$. Обратно, пусть $\{B_{\alpha}\}$ --- открытое покрытие пространства $X$. Пусть $A_{\alpha}=X\setminus B_{\alpha}$. Поскольку $B_{\alpha}$ --- покрытие, то $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$. Следовательно, система $\{A_{\alpha}\}$ не может быть центрированной. Тогда существуют множества $A_1,A_2,\ldots A_n$ такие, что $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i= \emptyset$. Отсюда, $\bigcup\limits_{i=1}^n B_i=X.$
+Пусть $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств $X$ и пусть $X$ компактно. Множества $B_{\alpha}=X\setminus A_{\alpha}$ --- открыты. Поскольку для любого конечного набора $A_i$ $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\neq \emptyset$, то $B_i$ не покрывают все пространство. Тогда $B_{\alpha}$ не покрывают все пространство. Следовательно, $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$. Обратно, пусть $\{B_{\alpha}\}$ --- открытое покрытие пространства $X$. Пусть $A_{\alpha}=X\setminus B_{\alpha}$. Поскольку $B_{\alpha}$ --- покрытие, то $\bigcap A_{\alpha}= \emptyset$. Следовательно, система $\{A_{\alpha}\}$ не может быть центрированной. Тогда существуют множества $A_1,A_2,\ldots A_n$ такие, что $\bigcap\limits_{i=1}^n A_i= \emptyset$. Отсюда, $\bigcup\limits_{i=1}^n B_i=X.$
 \end{proof}
 
  \begin{corollary}