diff --git a/01-Probabilidad.qmd b/01-Probabilidad.Rmd similarity index 100% rename from 01-Probabilidad.qmd rename to 01-Probabilidad.Rmd diff --git a/02-VariablesAleatorias_y_Distribuciones.qmd b/02-VariablesAleatorias_y_Distribuciones.Rmd similarity index 100% rename from 02-VariablesAleatorias_y_Distribuciones.qmd rename to 02-VariablesAleatorias_y_Distribuciones.Rmd diff --git a/03-Distribuciones_multivariantes.qmd b/03-Distribuciones_multivariantes.Rmd similarity index 100% rename from 03-Distribuciones_multivariantes.qmd rename to 03-Distribuciones_multivariantes.Rmd diff --git a/_bookdown.yml b/_bookdown.yml index f6c1063..a229371 100644 --- a/_bookdown.yml +++ b/_bookdown.yml @@ -1,7 +1,7 @@ output_dir: docs delete_merged_file: true -edit: https://github.com/ASPteaching/FundamentosInferencia/edit/main/%s -view: https://github.com/ASPteaching/FundamentosInferencia/blob/main/%s +edit: https://github.com/ASPteaching/FundamentosInferencia-Ejercicios/edit/main/%s +view: https://github.com/ASPteaching/FundamentosInferencia-Ejercicios/blob/main/%s language: ui: chapter_name: "Capítulo " diff --git a/_main.log b/_main.log new file mode 100644 index 0000000..b7b0264 --- /dev/null +++ b/_main.log @@ -0,0 +1,781 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.26 (MiKTeX 24.4) (preloaded format=pdflatex 2024.10.16) 24 OCT 2024 09:27 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + %&-line parsing enabled. +**./_main.tex +(_main.tex +LaTeX2e <2024-06-01> patch level 2 +L3 programming layer <2024-08-30> +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\article.cls +Document Class: article 2024/02/08 v1.4n Standard LaTeX document class +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\size10.clo +File: size10.clo 2024/02/08 v1.4n Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count194 +\c@section=\count195 +\c@subsection=\count196 +\c@subsubsection=\count197 +\c@paragraph=\count198 +\c@subparagraph=\count199 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+\leftroot@=\count270 +LaTeX Info: Redefining \overline on input line 398. +LaTeX Info: Redefining \colon on input line 409. +\classnum@=\count271 +\DOTSCASE@=\count272 +LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 495. +LaTeX Info: Redefining \dots on input line 498. +LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 619. +\Mathstrutbox@=\box52 +\strutbox@=\box53 +LaTeX Info: Redefining \big on input line 721. +LaTeX Info: Redefining \Big on input line 722. +LaTeX Info: Redefining \bigg on input line 723. +LaTeX Info: Redefining \Bigg on input line 724. +\big@size=\dimen144 +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 742. +LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 743. +\macc@depth=\count273 +LaTeX Info: Redefining \bmod on input line 904. +LaTeX Info: Redefining \pmod on input line 909. +LaTeX Info: Redefining \smash on input line 939. +LaTeX Info: Redefining \relbar on input line 969. +LaTeX Info: Redefining \Relbar on input line 970. +\c@MaxMatrixCols=\count274 +\dotsspace@=\muskip17 +\c@parentequation=\count275 +\dspbrk@lvl=\count276 +\tag@help=\toks18 +\row@=\count277 +\column@=\count278 +\maxfields@=\count279 +\andhelp@=\toks19 +\eqnshift@=\dimen145 +\alignsep@=\dimen146 +\tagshift@=\dimen147 +\tagwidth@=\dimen148 +\totwidth@=\dimen149 +\lineht@=\dimen150 +\@envbody=\toks20 +\multlinegap=\skip52 +\multlinetaggap=\skip53 +\mathdisplay@stack=\toks21 +LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2953. +LaTeX Info: Redefining \] on input line 2954. +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/amsfonts\amssymb.st +y +Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/amsfonts\amsfonts.sty +Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support +\symAMSa=\mathgroup4 +\symAMSb=\mathgroup5 +LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' +(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. +)) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/iftex\iftex.sty +Package: iftex 2022/02/03 v1.0f TeX engine tests +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\fontenc.sty +Package: fontenc 2021/04/29 v2.0v Standard LaTeX package +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\inputenc.sty +Package: inputenc 2024/02/08 v1.3d Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks22 +\inpenc@posthook=\toks23 +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\textcomp.sty +Package: textcomp 2024/04/24 v2.1b Standard LaTeX package +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/lm\lmodern.sty +Package: lmodern 2015/05/01 v1.6.1 Latin Modern Fonts +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/m/n --> OT1/lmr/m/n on input line 22. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `normal' +(Font) OML/cmm/m/it --> OML/lmm/m/it on input line 23. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `normal' +(Font) OMS/cmsy/m/n --> OMS/lmsy/m/n on input line 24. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 25. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `operators' in version `bold' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 26. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `letters' in version `bold' +(Font) OML/cmm/b/it --> OML/lmm/b/it on input line 27. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `symbols' in version `bold' +(Font) OMS/cmsy/b/n --> OMS/lmsy/b/n on input line 28. +LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold' +(Font) OMX/cmex/m/n --> OMX/lmex/m/n on input line 29. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal' +(Font) OT1/cmr/bx/n --> OT1/lmr/bx/n on input line 31. +LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathsf' in version `normal' +(Font) 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+(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/microtype\microtype.s +ty +Package: microtype 2024/03/29 v3.1b Micro-typographical refinements (RS) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics\keyval.sty +Package: keyval 2022/05/29 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks24 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/etoolbox\etoolbox.sty +Package: etoolbox 2020/10/05 v2.5k e-TeX tools for LaTeX (JAW) +\etb@tempcnta=\count280 +) +\MT@toks=\toks25 +\MT@tempbox=\box54 +\MT@count=\count281 +LaTeX Info: Redefining \noprotrusionifhmode on input line 1061. +LaTeX Info: Redefining \leftprotrusion on input line 1062. +\MT@prot@toks=\toks26 +LaTeX Info: Redefining \rightprotrusion on input line 1081. +LaTeX Info: Redefining \textls on input line 1392. +\MT@outer@kern=\dimen151 +LaTeX Info: Redefining \textmicrotypecontext on input line 2013. +\MT@listname@count=\count282 + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/microtype\microtype-p +dftex.def +File: microtype-pdftex.def 2024/03/29 v3.1b Definitions specific to pdftex (RS) + +LaTeX Info: Redefining \lsstyle on input line 902. +LaTeX Info: Redefining \lslig on input line 902. +\MT@outer@space=\skip54 +) +Package microtype Info: Loading configuration file microtype.cfg. + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/microtype\microtype.c +fg +File: microtype.cfg 2024/03/29 v3.1b microtype main configuration file (RS) +)) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/xcolor\xcolor.sty +Package: xcolor 2023/11/15 v3.01 LaTeX color extensions (UK) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics-cfg\color.cf +g +File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration +) +Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 274. + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics-def\pdftex.d +ef +File: pdftex.def 2024/04/13 v1.2c Graphics/color driver for pdftex +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics\mathcolor.lt +x) +Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1350. +Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1354. +Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1366. +Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1368. +Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1369. +Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1370. +Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1371. +Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1372. +Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1373. +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/geometry\geometry.sty +Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/iftex\ifvtex.sty +Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead. +) +\Gm@cnth=\count283 +\Gm@cntv=\count284 +\c@Gm@tempcnt=\count285 +\Gm@bindingoffset=\dimen152 +\Gm@wd@mp=\dimen153 +\Gm@odd@mp=\dimen154 +\Gm@even@mp=\dimen155 +\Gm@layoutwidth=\dimen156 +\Gm@layoutheight=\dimen157 +\Gm@layouthoffset=\dimen158 +\Gm@layoutvoffset=\dimen159 +\Gm@dimlist=\toks27 + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/geometry\geometry.cfg +)) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/fancyvrb\fancyvrb.sty +Package: fancyvrb 2024/01/20 4.5c verbatim text (tvz,hv) +\FV@CodeLineNo=\count286 +\FV@InFile=\read2 +\FV@TabBox=\box55 +\c@FancyVerbLine=\count287 +\FV@StepNumber=\count288 +\FV@OutFile=\write3 +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/framed\framed.sty +Package: framed 2011/10/22 v 0.96: framed or shaded text with page breaks +\OuterFrameSep=\skip55 +\fb@frw=\dimen160 +\fb@frh=\dimen161 +\FrameRule=\dimen162 +\FrameSep=\dimen163 +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/tools\longtable.sty +Package: longtable 2024-04-26 v4.20 Multi-page Table package (DPC) +\LTleft=\skip56 +\LTright=\skip57 +\LTpre=\skip58 +\LTpost=\skip59 +\LTchunksize=\count289 +\LTcapwidth=\dimen164 +\LT@head=\box56 +\LT@firsthead=\box57 +\LT@foot=\box58 +\LT@lastfoot=\box59 +\LT@gbox=\box60 +\LT@cols=\count290 +\LT@rows=\count291 +\c@LT@tables=\count292 +\c@LT@chunks=\count293 +\LT@p@ftn=\toks28 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/booktabs\booktabs.sty +Package: booktabs 2020/01/12 v1.61803398 Publication quality tables +\heavyrulewidth=\dimen165 +\lightrulewidth=\dimen166 +\cmidrulewidth=\dimen167 +\belowrulesep=\dimen168 +\belowbottomsep=\dimen169 +\aboverulesep=\dimen170 +\abovetopsep=\dimen171 +\cmidrulesep=\dimen172 +\cmidrulekern=\dimen173 +\defaultaddspace=\dimen174 +\@cmidla=\count294 +\@cmidlb=\count295 +\@aboverulesep=\dimen175 +\@belowrulesep=\dimen176 +\@thisruleclass=\count296 +\@lastruleclass=\count297 +\@thisrulewidth=\dimen177 +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/tools\array.sty +Package: array 2024/06/14 v2.6d Tabular extension package (FMi) +\col@sep=\dimen178 +\ar@mcellbox=\box61 +\extrarowheight=\dimen179 +\NC@list=\toks29 +\extratabsurround=\skip60 +\backup@length=\skip61 +\ar@cellbox=\box62 +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/tools\calc.sty +Package: calc 2023/07/08 v4.3 Infix arithmetic (KKT,FJ) +\calc@Acount=\count298 +\calc@Bcount=\count299 +\calc@Adimen=\dimen180 +\calc@Bdimen=\dimen181 +\calc@Askip=\skip62 +\calc@Bskip=\skip63 +LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 80. +LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 81. +\calc@Ccount=\count300 +\calc@Cskip=\skip64 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/footnotehyper\footnot +ehyper.sty +Package: footnotehyper 2021/08/13 v1.1e hyperref aware footnote.sty (JFB) +\FNH@notes=\box63 +\FNH@width=\dimen182 +\FNH@toks=\toks30 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics\graphicx.sty +Package: graphicx 2021/09/16 v1.2d Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics\graphics.sty +Package: graphics 2024/05/23 v1.4g Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics\trig.sty +Package: trig 2023/12/02 v1.11 sin cos tan (DPC) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/graphics-cfg\graphics +.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 106. +) +\Gin@req@height=\dimen183 +\Gin@req@width=\dimen184 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/bookmark\bookmark.sty +Package: bookmark 2023-12-10 v1.31 PDF bookmarks (HO) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hyperref\hyperref.sty +Package: hyperref 2024-07-10 v7.01j Hypertext links for LaTeX + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/kvsetkeys\kvsetkeys.s +ty +Package: kvsetkeys 2022-10-05 v1.19 Key value parser (HO) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/kvdefinekeys\kvdefi +nekeys.sty +Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/pdfescape\pdfescape +.sty +Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/ltxcmds\ltxcmds.sty +Package: ltxcmds 2023-12-04 v1.26 LaTeX kernel commands for general use (HO) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/pdftexcmds\pdftexcm +ds.sty +Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO +) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/infwarerr\infwarerr +.sty +Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO) +) +Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available. +Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found. +)) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hycolor\hycolor.st +y +Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO) +) (C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hyperref\nameref.st +y +Package: nameref 2023-11-26 v2.56 Cross-referencing by name of section + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/refcount\refcount.sty +Package: refcount 2019/12/15 v3.6 Data extraction from label references (HO) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/gettitlestring\gett +itlestring.sty +Package: gettitlestring 2019/12/15 v1.6 Cleanup title references (HO) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/kvoptions\kvoptions.s +ty +Package: kvoptions 2022-06-15 v3.15 Key value format for package options (HO) +)) +\c@section@level=\count301 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/stringenc\stringenc +.sty +Package: stringenc 2019/11/29 v1.12 Convert strings between diff. encodings (HO +) +) +\@linkdim=\dimen185 +\Hy@linkcounter=\count302 +\Hy@pagecounter=\count303 +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hyperref\pd1enc.def +File: pd1enc.def 2024-07-10 v7.01j Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO) +Now handling font encoding PD1 ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/intcalc\intcalc.sty +Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO) +) +\Hy@SavedSpaceFactor=\count304 +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hyperref\puenc.def +File: puenc.def 2024-07-10 v7.01j Hyperref: PDF Unicode definition (HO) +Now handling font encoding PU ... +... no UTF-8 mapping file for font encoding PU +) +Package hyperref Info: Option `unicode' set `true' on input line 4040. +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4157. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4162. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4165. +Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4172. +Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4177. +Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined. +Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4424. +\c@Hy@tempcnt=\count305 +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/url\url.sty +\Urlmuskip=\muskip18 +Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc. +) +LaTeX Info: Redefining \url on input line 4763. +\XeTeXLinkMargin=\dimen186 +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/bitset\bitset.sty +Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/bigintcalc\bigintca +lc.sty +Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO +) +)) +\Fld@menulength=\count306 +\Field@Width=\dimen187 +\Fld@charsize=\dimen188 +Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6042. +Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6047. +Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6050. +Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6057. +Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6062. +Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6067. +Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6072. + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\atbegshi-ltx.sty +Package: atbegshi-ltx 2021/01/10 v1.0c Emulation of the original atbegshi +package with kernel methods +) +\Hy@abspage=\count307 +\c@Item=\count308 +\c@Hfootnote=\count309 +) +Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex. +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/hyperref\hpdftex.def +File: hpdftex.def 2024-07-10 v7.01j Hyperref driver for pdfTeX + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/base\atveryend-ltx.st +y +Package: atveryend-ltx 2020/08/19 v1.0a Emulation of the original atveryend pac +kage +with kernel methods +) +\Fld@listcount=\count310 +\c@bookmark@seq@number=\count311 + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/rerunfilecheck\rerunf +ilecheck.sty +Package: rerunfilecheck 2022-07-10 v1.10 Rerun checks for auxiliary files (HO) + +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/generic/uniquecounter\uniqu +ecounter.sty +Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO) +) +Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2 +85. +) +\Hy@SectionHShift=\skip65 +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/bookmark\bkm-pdftex.d +ef +File: bkm-pdftex.def 2023-12-10 v1.31 bookmark driver for pdfTeX and luaTeX (HO +) +\BKM@id=\count312 +)) 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Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Font Info: Checking defaults for PU/pdf/m/n on input line 120. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 120. +LaTeX Info: Redefining \microtypecontext on input line 120. +Package microtype Info: Applying patch `item' on input line 120. +Package microtype Info: Applying patch `toc' on input line 120. +Package microtype Info: Applying patch `eqnum' on input line 120. +Package microtype Info: Applying patch `footnote' on input line 120. +Package microtype Info: Applying patch `verbatim' on input line 120. +Package microtype Info: Generating PDF output. +Package microtype Info: Character protrusion enabled (level 2). +Package microtype Info: Using protrusion set `basicmath'. +Package microtype Info: Automatic font expansion enabled (level 2), +(microtype) stretch: 20, shrink: 20, step: 1, non-selected. +Package microtype Info: Using default expansion set `alltext-nott'. +LaTeX Info: Redefining \showhyphens on input line 120. +Package microtype Info: No adjustment of tracking. +Package microtype Info: No adjustment of interword spacing. +Package microtype Info: No adjustment of character kerning. +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/latex/microtype\mt-cmr.cfg +File: mt-cmr.cfg 2013/05/19 v2.2 microtype config. file: Computer Modern Roman +(RS) +) +(C:\Users\Usuario\AppData\Local\Programs\MiKTeX\tex/context/base/mkii\supp-pdf. +mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] 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+Package pdftex.def Info: _main_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf used +on input line 1062. +(pdftex.def) Requested size: 469.75386pt x 325.2142pt. + + +[16 <./_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-14-1.pdf>] + +[17 <./_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf>] + +[18] + +[19] + +[20] + +[21] + +[22] + +[23] + +[24] + +[25] + +[26] + +LaTeX Warning: Command \textquestiondown invalid in math mode on input line 172 +3. + + + +[27] + +[28] (_main.aux) + *********** +LaTeX2e <2024-06-01> patch level 2 +L3 programming layer <2024-08-30> + *********** + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 14754 strings out of 473899 + 234043 string characters out of 5725555 + 671914 words of memory out of 5000000 + 37053 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 619733 words of font info for 165 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 89i,12n,93p,1004b,560s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s + +Output written on 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b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-14-1.pdf new file mode 100644 index 0000000..5c9df02 Binary files /dev/null and b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-14-1.pdf differ diff --git a/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf new file mode 100644 index 0000000..f8851de Binary files /dev/null and b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf differ diff --git a/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-7-1.pdf b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-7-1.pdf new file mode 100644 index 0000000..0101e9f Binary files /dev/null and b/_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-7-1.pdf differ diff --git a/docs/404.html b/docs/404.html index 242630a..5c0f07d 100644 --- a/docs/404.html +++ b/docs/404.html @@ -52,6 +52,70 @@ + - - - - - - - - - - - -
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Agradecimiento y fuentes utilizadas

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Salvo que uno desee escribir un libro sobre algo muy extraño, siempre habran otros libros o manuales similares al que se está planteando.

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La respuesta a la pregunta, “Y entonces, ¿porque hacer un nuevo matrerial?” suele ser más una excusa que una explicación sólida.

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Una posible razón puede ser para ajustarlo al máximo al perfil del curso para al que se destinan dichos materiales, condición que otros textos, pensados para cursos y audiencias distintas, pueden no satisfacer. En este caso adoptaremos esta explicación y el tiempo decidirá si el objetivo se alcanza.

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Dicho esto, debemos agradecer a las distintas fuentes utilizadas, el que hayan puesto a disposición sus materiales para poder reutilizarlos. Entre estos destacamos:

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El proyecto Statmedia

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Statmedia es un grupo de innovación docente de la Universidad de Barcelona, cuyo objetivo es desarrollar nuevas herramientas que ayuden en la enseñanza de la estadística aplicada, mejorando así el rendimiento académico de los alumnos y su motivación hacia la estadística.

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Partiendo de la idea que el aprendizaje debe basarse en casos prácticos para motivar y fomentar la participación de los estudiantes. Se desarrolló primer proyecto, Statmedia I, un texto multimedia de estadística que además de los contenidos, relativamente ampliados, para un curso de introducción a la estadística, incorporaba:

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    -
  • Una serie de casos para motivar e ilustrar los conceptos introducidos.
    • -
  • Un conjunto de gadgets interactivos con los que interactuar y experimentar y
    • -
  • Ejercicios de respuesta múltiple para verificar los conceptos trabajados.
    • -
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Aunque el proyecto Statmedia ha seguido evolucionando en múltiples direcciones, Statmedia I, como tantos otros, no sobrevivió al desarrollo tecnológico, y la evolución (o decadencia) del lenguaje Java lo llevó a dejar de ser funcional.

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Para estos apuntes hemos recuperado, y en ocasiones adaptado o modificado, algunos de los contenidos de Statmedia I, que habían estado escritos con gran pulcritud. Esto se ha hecho siguiendo las indicaciones de la licencia (CC-Share-alike) que permite adaptar contenidos atribuyendolo a sus autores y citando la fuente.

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Los gadgets originales ya no son funcionales pero muchos de ellos han sido re-escritos en R como aplicaciones Shiny (disponibles en: https://grbio.upc.edu/en/software/teaching_apps) y se enlazaran desde los puntos necesarios del texto.

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Dejando aparte (además) de la licencia, vaya nuestro agradecimiento explícito al equipo de profesores del Departamento de Estadística de la Universidad de Barcelona, redactor de la versión inicial del proyecto, que es la que hemos utilizado: Antonio Arcas Pons, Miquel calvo Llorca, Antonio Miñarro Alonso, Sergi Civit Vives y Angel Vilarroya del Campo.

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Antoni Arcas, Antonio Miñarro and Miguel Calvo (2008) Statmedia projects in Statistical Education

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- - - - - - - - - - - - - - - diff --git "a/docs/caso-pr\303\241ctico-lanzamiento-de-dos-dados.html" "b/docs/caso-pr\303\241ctico-lanzamiento-de-dos-dados.html" deleted file mode 100644 index af17b64..0000000 --- "a/docs/caso-pr\303\241ctico-lanzamiento-de-dos-dados.html" +++ /dev/null @@ -1,869 +0,0 @@ - - - - - - - Capítulo 3 Caso práctico: Lanzamiento de dos dados | Referencias - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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Capítulo 3 Caso práctico: Lanzamiento de dos dados

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3.1 Espacio muestral

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Supongamos que estamos realizando un experimento consistente en el lanzamiento simultáneo de dos dados y en la observación del resultado -obtenido.

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El conjunto de resultados posibles forma el espacio muestral \(\Omega\) asociado a dicho experimento. Sus elementos serán como los que se -muestran a continuación:

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En total, el espacio muestral estaría formado por 36 resultados posibles -que, en principio y suponiendo los dados regulares, son todos ellos -equiprobables con probabilidad \(1 / 36\).

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Nótese que consideramos diferentes resultados del tipo: un uno en el -primer dado y un dos en el segundo o un dos en el primer dado y un uno -en el segundo.

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Una vez fijados los enunciados anteriores, es fácil asignar -probabilidades a diferentes sucesos observables, por ejemplo:

- - - - - - - - - - - - - - - - - -
SucesoProbabilidad
Que aparezcan dos cifras iguales\(6 \cdot 1 / 36=1 / 6\)
Que la suma sea 10\(3 \cdot 1 / 36=1 / 12\)
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No entramos en detalles de la obtención de las probabilidades dado que -se ha estudiado suficientemente en el tema anterior.

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3.2 Representación numérica

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Continuando con el experimento anterior, podemos representar los -resultados obtenidos al lanzar dos dados por valores numéricos. ¿Cómo -hacerlo? Definiendo una regla de asignación numérica para cada -resultado.

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Una posible regla sería, por ejemplo, asignar a cada resultado la suma -de puntos de las caras. Este enunciado nos define una variable que -representa cada suceso elemental por un valor numérico.

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Los 36 posibles resultados del experimento se transforman en 11 posibles -valores numéricos para la variable: \(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\) y 12 .

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Este conjunto de valores forman el recorrido de la variable suma de -puntos de las caras. A partir de las probabilidades definidas sobre los -sucesos observables es fácil extender las probabilidades a los -diferentes resultados de la variable.

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Por ejemplo, la probabilidad de que la variable tome el valor 10 es -equivalente a la probabilidad del suceso observable que la suma sea 10 , -calculada anteriormente e igual a \(1 / 12\).

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La variable considerada hasta el momento es sólo una de las múltiples -variables que podríamos definir sobre el mismo experimento. Por ejemplo, -podemos estar interesados no en la suma de puntos sino en el punto más -bajo de cada tirada, de forma que podríamos construir una nueva variable -a partir del enunciado o regla de asignación asignar a cada resultado el -menor de los puntos de las dos caras. Tenemos una nueva variable sobre -el mismo espacio anterior.

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El recorrido, en este caso, está formado por los valores: \(1,2,3,4,5\) y -6 . Las dos variables estudiadas y otras muchas que se podrían definir -sobre este experimento son ejemplos absolutamente equivalentes desde el -punto de vista formal.

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3.3 Algunas probabilidades

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En el ejemplo de los dados vamos a centrarnos en la variable aleatoria

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\[ -X=\text { Suma de puntos de las caras } -\]

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El recorrido de la variable está formado por los números -\(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\) i 12\(\}\). Vamos a calcular algunas -probabilidades:

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    -
  • \(P(X \leq 1)=P\{\varnothing\}=0\) (Ningún resultado tiene asignado un -valor menor o igual a 1)
    • -
  • \(P(X \leq 2)=P\{(1,1)\}=1/36\) (Sólo hay un caso al que se le asigne -un valor inferior o igual a 2).
    • -
  • \(P(X \leq 3.5)=P\{(1,1), (1,2), (2,1)\}=3/36\) (Tres resultados -elementales tienen asignado un valor menor o igual a 3.5)
    • -
-

Ahora podéis intentar calcular por vosotros mismos algunas -probabilidades: (a) \(P(X \leq 6)\) (b) \(P(X \leq 8,2)\); (c) -\(P(X \leq 12)\); (d) \(P(X \leq 20)\) i (e) \(P(2,2<X \leq 7)\)

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3.4 Función de distribución

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Para calcular la función de distribución de la variable X \(=\) Suma de -puntos de las caras :

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necesitamos conocer el recorrido de la variable, que es: -\(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12\}\) y, utilizando este recorrido como pauta, -determinar para todo punto \(x\) de la recta real la probabilidad -\(P(X \leq x)\).

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En nuestro ejemplo:

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\[ -F(x)=P(X \leq x)= \begin{cases}0 & x<2 \\ 1 / 36 & 2 \leq x<3 \\ 3 / 36 & 3 \leq x<4 \\ 6 / 36 & 4 \leq x<5 \\ 10 / 36 & 5 \leq x<6 \\ 15 / 36 & 6 \leq x<7 \\ 21 / 36 & 7 \leq x<8 \\ 26 / 36 & 8 \leq x<9 \\ 30 / 36 & 9 \leq x<10 \\ 33 / 36 & 10 \leq x<11 \\ 35 / 36 & 11 \leq x<12 \\ 36 / 36=1 & x \geq 12\end{cases} -\]

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Acabamos de construir la función de distribución de la variable suma de -la puntuación al lanzar dos dados.

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Vamos a ver su representación gráfica:

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Ejercicio : Haced lo mismo para la variable aleatoria el menor de los -puntos de las dos caras al lanzar dos dados.

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3.5 Clasificación de las variables

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En el experimento que estamos considerando, lanzar simultáneamente dos -dados, cualquiera de las dos variables aleatorias que hemos considerado -hasta el momento:

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\[ X=\text {Suma los puntos de las dos caras } \]

-

\[ -Y=\text { El menor de los puntos de las dos caras } -\]

-

se clasifican dentro del tipo de variables aleatorias discretas, puesto -que en ambos casos el recorrido es finito: -\(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12\}\) para la variable \(X\) y -\(\{1,2,3,4,5, 6\}\) para la variable \(Y\).

-

También son discretas aquellas variables aleatorias con recorrido -infinito numerable.

-

Ejercicio: ¿Sabríais construir una variable aleatoria discreta con -recorrido infinito numerable basada en el experimento que consiste en el -lanzamiento de dos dados?

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-

3.6 Función de densidad discreta

-

Para calcular la función de densidad de la variable

-

\[ -X=\text { suma de puntos de las caras } -\]

-

-

necesitamos conocer el recorrido de la variable, es decir: -\(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12\}\) y, a partir del recorrido, determinar -para todo punto del recorrido la probabilidad \(P(X=x)\).

-

En nuestro ejemplo

-

\[ -f(x)=P(X=x)= \begin{cases}1 / 36 & x=2 \\ 2 / 36 & x=3 \\ 3 / 36 & x=4 \\ 4 / 36 & x=5 \\ 5 / 36 & x=6 \\ 6 / 36 & x=7 \\ 5 / 36 & x=8 \\ 4 / 36 & x=9 \\ 3 / 36 & x=10 \\ 2 / 36 & x=11 \\ 1 / 36 & x=12\end{cases} -\]

-

Acabamos de construir la función de densidad de la variable suma de la -puntuación al lanzar dos dados.

-

Vamos a ver su representación gráfica: -

-

Hemos optado por la representación con barras en lugar de puntos para -permitir una visualización de la función óptima.

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Ejercicio: Haced lo mismo para la variable aleatoria el menor de los -puntos de las dos caras al lanzar dos dados.

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3.7 Probabilidad de intervalos

-

Vamos a centrarnos en la variable

-

\[ -X=\text { Suma de puntos de las caras } -\]

-

Las funciones de distribución y de densidad son, respectivamente,

-

\[ -F(x)=P(X \leq x)=\left\{\begin{array}{ll} -0 & x<2 \\ -1 / 36 & 2 \leq x<3 \\ -3 / 36 & 3 \leq x<4 \\ -6 / 36 & 4 \leq x<5 \\ -10 / 36 & 5 \leq x<6 \\ -15 / 36 & 6 \leq x<7 \\ -21 / 36 & 7 \leq x<8 \\ -26 / 36 & 8 \leq x<9 \\ -30 / 36 & 9 \leq x<10 \\ -33 / 36 & 10 \leq x<11 \\ -35 / 36 & 11 \leq x<12 \\ -36 / 36=1 & x \geq 12 -\end{array} \quad f(x)=P(X=x)= \begin{cases}1 / 36 & x=2 \\ -2 / 36 & x=3 \\ -3 / 36 & x=4 \\ -4 / 36 & x=5 \\ -5 / 36 & x=6 \\ -6 / 36 & x=7 \\ -5 / 36 & x=8 \\ -4 / 36 & x=9 \\ -3 / 36 & x=10 \\ -2 / 36 & x=11 \\ -1 / 36 & x=12\end{cases}\right. -\]

-

Puede observarse cómo los valores de la función de distribución se -obtienen acumulando los valores de la función de densidad -correspondientes.

-

Vamos a calcular algunas probabilidades utilizando las funciones -anteriores. Compárese con los resultados obtenidos con anterioridad -basados directamente en los resultados elementales.

-
    -
  • \(P(X \leq 1)=F(1)=0\)
    • -
  • \(P(X \leq 3,5)=F(3,5)=3 / 36=f(2)+f(3)\)
    • -
  • \(P(X<6)=F(6)-f(6)=15 / 36-5 / 36=10 / 36=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)\)
    • -
  • \(P(2,2<X \leq 7)=F(7)-F(2,2)=21 / 36-1 / 36=20 / 36=f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)\)
    • -
  • \(P(2<X<7)=F(7)-f(7)-F(2)=21 / 36-6 / 36-1 / 36=14 / 36=f(3)+f(4)+f(5)+f(6)\)
    • -
-
-
-

3.8 Esperanza

-

Supongamos que estamos interesados en determinar cual sería el valor -medio teórico de la variable

-

\[ -X=\text { Suma de puntos de las caras } -\]

-

La función de densidad es:

-

\[ -f(x)=P(X=x)= \begin{cases}1 / 36 & x=2 \\ 2 / 36 & x=3 \\ 3 / 36 & x=4 \\ 4 / 36 & x=5 \\ 5 / 36 & x=6 \\ 6 / 36 & x=7 \\ 5 / 36 & x=8 \\ 4 / 36 & x=9 \\ 3 / 36 & x=10 \\ 2 / 36 & x=11 \\ 1 / 36 & x=12\end{cases} -\]

-

La misma función de densidad nos da información sobre el recorrido de la -variable. Calcular el valor medio teórico de la variable quiere decir -calcular la esperanza. A partir de la fórmula de la esperanza para -variables discretas, tenemos

-

\[ -\begin{aligned} -E(X) &=2 \cdot 1 / 36+3 \cdot 2 / 36+4 \cdot 3 / 36+5 \cdot 4 / 36+6 \cdot 5 / 36+\\ -& + 7 \cdot 6 / 36+8 \cdot 5 / 36+9 \cdot 4 / 36+\\ -&+ 10 \cdot 3 / 36+ -11 \cdot 2 / 36+12 \cdot 1 / 36=\\ -& =7 -\end{aligned} -\]

-

Por tanto, 7 es la esperanza de la variable \(X=\) Suma de puntos de las -caras. Fijaos que la esperanza para la variable Puntuación de un dado -sería

-

\[ -1 \cdot 1 / 6+2 \cdot 1 / 6+3 \cdot 1 / 6+4 \cdot 1 / 6+5 \cdot 1 / 6+6 \cdot 1 / 6=3,5 -\]

-

y que se puede considerar la variable Suma de puntos de las dos caras -como la suma de dos variables que representen la puntuación de cada -dado. La esperanza de la suma es, efectivamente, la suma de las -esperanzas de cada variable sumada.

-

En la aplicación siguiente, podéis calcular la esperanza de la variable -Puntuación de un dado y modificar las probabilidades de las diferentes -caras, de este modo se modifica la esperanza.

-

Ejercicio: ¿Podríais hacer lo mismo para la variable \(X=\) El menor de -los puntos de las dos caras al lanzar dos dados?

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-
-

3.9 Esperanza de un juego

-

Imaginemos que alguien os propone el juego siguiente: lanzad dos dados, -si la suma obtenida es menor o igual a 6 ganáis 100 euros, sin embargo, -si la suma obtenida es mayor que 6 tenéis que pagar 100 euros. ¿Nos -conviene jugar a este juego?

-

Veamos, podemos considerar el resultado del juego como una variable -aleatoria discreta que toma dos valores: +100 si ganamos y -100 si -perdemos. Nos interesa conocer las probabilidades de los diferentes -resultados. Consideremos la variable \(X=\) Suma de puntos de las caras, -cuya función de densidad conocemos:

-

\[ -f(x)=P(X=x)= \begin{cases}1 / 36 & x=2 \\ 2 / 36 & x=3 \\ 3 / 36 & x=4 \\ 4 / 36 & x=5 \\ 5 / 36 & x=6 \\ 6 / 36 & x=7 \\ 5 / 36 & x=8 \\ 4 / 36 & x=9 \\ 3 / 36 & x=10 \\ 2 / 36 & x=11 \\ 1 / 36 & x=12\end{cases} -\]

-

A partir de aquí es fácil ver que la función de densidad de la variable -\(Y=\) Resultado del juego será la siguiente:

-

\[ -f(100)=15 / 36 ; f(-100)=21 / 36 -\]

-

Por tanto, la esperanza del juego, que puede ser interpretada como la -ganancia media por jugada, será

-

\[ -E(Y)=100 \cdot 15 / 36-100 \cdot 21 / 36=-100 / 6 \approx-16,667 -\]

-

Es decir, la ganancia media por jugada es negativa, por tanto no es -favorable dicho juego para el jugador, es un juego no equitativo.

-
-
-

3.10 Esperanza con recorrido infinito

-

Vamos a tratar de calcular la esperanza de la siguiente variable -aleatoria: \(X=\) Número de lanzamientos que hemos de hacer para conseguir -que aparezca un doble seis La variable que acabamos de definir es una -variable discreta con recorrido infinito numerable. El recorrido sería -el siguiente:

-

\[ -\{1,2,3,4, \ldots\} -\]

-

Vamos a ver como calculamos la función de densidad: \(P(X=1)=\) -Probabilidad de que aparezca un doble seis en el primer lanzamiento -\(=1 / 36\) \(P(X=2)=\) Probabilidad de que el doble seis no aparezca en el -primer lanzamiento y sí en el segundo = -\(35 / 36 \cdot 1 / 36=35 / 36^{2}\) \(P(X=3)=\) Probabilidad de que el -doble seis no aparezca ni en el primer ni en el segundo lanzamientos y -sí en el tercero \(=35 / 36 \cdot 35 / 361 / 36=35^{2} / 36^{3}\)

-

En general, \(P(X=k)=35^{k-1} / 36^{k}\) Para simplificar, vamos a llamar -\(p=1 / 36\) y \(q=1-p=35 / 36\), con esta nomenclatura -\(P(X=\mathrm{k})=q^{k-1} p\). Por tanto, la esperanza será:

-

\[ -\begin{aligned} -E(X)& =\sum_{i=1}^{\infty} i q^{i-1} p=p \sum_{i=1}^{\infty} i q^{i-1}=p \frac{d}{d q} \sum_{i=1}^{\infty} q^{i}= \\ -&= p \frac{d}{d q}\left(\frac{q}{1-q}\right)=p \frac{1}{(1-q)^{2}}=\\ -& = \frac{1}{p} -\end{aligned} -\]

-

En nuestro ejemplo el número medio de tiradas antes de salir un doble -seis será 36 .

-
-
-

3.11 Esperanza infinita

-

Ahora calcularemos la esperanza del juego siguiente: lanzamos un dado -hasta que aparece un número par, el jugador gana \(2^{n}\) unidades -monetarias si aparece un número par por primera vez en la tirada nésima.

-

El recorrido de la variable aleatoria \(X=\) Ganancia del juego, está -formado por todos los números de la forma \(2^{n}\) con \(n=1,2,3, \ldots\) -La probabilidad de cada valor del recorrido es la probabilidad de que -aparezca un número par por primera vez en la tirada nésima, es decir -\((1 / 2)^{n-1} \cdot(1 / 2)=(1 / 2)^{n}\). Por tanto, la esperanza del -juego es la siguiente:

-

\[ -E(X)=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}(1 / 2)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} 1=\infty -\]

-

Como vemos, la variable aleatoria \(X\) no tiene esperanza finita. El -enunciado presentado es una versión del problema presentado alrededor de -1730 por el matemático Daniel Bernouilli a la Academia de San -Petersburgo y conocido como la paradoja de San Petersburgo, dado que la -esperanza del juego es aparentemente infinita.

-
-
-

3.12 Varianza

-

Si ahora queremos calcular la varianza de la variable

-

\[ -X=\text { Suma de puntos de las caras } -\]

-

con función de densidad:

-

\[ -f(x)=P(X=x)= \begin{cases}1 / 36 & x=2 \\ 2 / 36 & x=3 \\ 3 / 36 & x=4 \\ 4 / 36 & x=5 \\ 5 / 36 & x=6 \\ 6 / 36 & x=7 \\ 5 / 36 & x=8 \\ 4 / 36 & x=9 \\ 3 / 36 & x=10 \\ 2 / 36 & x=11 \\ 1 / 36 & x=12\end{cases} -\]

-

Podemos aplicar la fórmula

-

\[ -\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2} -\]

-

La esperanza ya la tenemos calculada con anterioridad

-

\[ -\begin{aligned} -E(X) & =2 \cdot 1 / 36+3 \cdot 2 / 36+4 \cdot 3 / 36+5 \cdot 4 / 36+\\ -& +6 \cdot 5 / 36+7 \cdot 6 / 36+8 \cdot 5 / 36+9 \cdot 4 / 36+\\ -& +10 \cdot 3 / 36+ 11 \cdot 2 / 36+12 \cdot 1 / 36=\\ -& =7 -\end{aligned} -\]

-

Necesitamos calcular la esperanza de la variable al cuadrado, que en -este caso resulta:

-

\[ -\begin{aligned} -E\left(X^{2}\right)& =2^{2} \cdot 1 / 36+3^{2} \cdot 2 / 36+4^{2} \cdot 3 / 36+5^{2} \cdot 4 / 36+6^{2} \cdot 5 / 36+\\ -& + 7^{2} \cdot 6 / 36+8^{2} \cdot 5 / 36+9^{2} \cdot 4 / 36+ 10^{2} \cdot 3 / 36+\\ -& + 11^{2} \cdot 2 / 36+12^{2} \cdot 1 / 36=329 / 6 \\ -&\approx 54,833 -\end{aligned} -\]

-

Con lo que la varianza resulta ser

-

\[ -\operatorname{Var}(X)=329 / 6-7^{2}=35 / 6 \approx 5,833 -\]

-

Nuevamente, para la variable Puntuación de un dado, la varianza se -obtendría de la manera siguiente:

-

\[ -\begin{aligned} -E(X)& =1 \cdot 1 / 6+2 \cdot 1 / 6+3 \cdot 1 / 6+4 \cdot 1 / 6+5 \cdot 1 / 6+6 \cdot 1 / 6= \\& =3,5\\ -E \left(X^{2}\right)&=1^{2} \cdot 1 / 6+2^{2} \cdot 1 / 6+3^{2} \cdot 1 / 6+4^{2} \cdot 1 / 6+\\ -& + 5^{2} \cdot 1 / 6+6^{2} \cdot 1 / 6=91 / 6\\ & \approx 15,167 \\ -\operatorname{Var}(X)&=91 / 6-3,5^{2}=35 / 12 \approx 2,9167 -\end{aligned} -\]

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y se cumple que la varianza de la variable Suma de puntos de las dos -caras es la suma de las varianzas de las puntuaciones de cada dado por separado. Recordemos que esto sólo sucede si las variables sumadas son independientes, como así ocurre con las puntuaciones de cada dado por separado.

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- - - - - - - - - - - - - - - diff --git "a/docs/computaci\303\263n-intensiva-y-multiple-testing.html" "b/docs/computaci\303\263n-intensiva-y-multiple-testing.html" deleted file mode 100644 index 59a8515..0000000 --- "a/docs/computaci\303\263n-intensiva-y-multiple-testing.html" +++ /dev/null @@ -1,523 +0,0 @@ - - - - - - - Capítulo 10 Computación Intensiva y Multiple Testing | Fundamentos de Inferencia Estadistica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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Capítulo 10 Computación Intensiva y Multiple Testing

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Este capítulo está pendiente de ser introducida en los apuntes.

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La versión actualizada estará disponible en el momento de inicio de la actividad, durante el semestre actual (2024-25-S1).

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Se introducen distintos métodos cuyo nexo común es la computación intensiva.

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10.1 Tests de permutaciones; ¿Qué?, ¿Cuándo?, ¿Cómo?

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10.2 El bootstrap en contraste de hipótesis

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10.3 El problema de las comparaciones múltiples

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10.4 Métodos de control de error: FWER y FDR

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- - - - - - - - - - - - - - - diff --git a/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales-1.html b/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales-1.html new file mode 100644 index 0000000..3a8d848 --- /dev/null +++ b/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales-1.html @@ -0,0 +1,492 @@ + + + + + + + Capítulo 13 Distribuciones de probabilidad multidimensionales | _main.knit + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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Capítulo 13 Distribuciones de probabilidad multidimensionales

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+

13.1 Ejercicio 1

+ +

Se tienen dos estudios clínicos importantes, cuyos análisis genéticos deben ser asignados aleatoriamente a uno o más de tres laboratorios, A, B y C. Denote con \(Y_{1}\) el número de estudios asignados al laboratorio A y con \(Y_{2}\) el número de estudios asignados al laboratorio B. Cada laboratorio puede recibir 0, 1 o 2 estudios.

+
    +

  1. Encuentre la función de probabilidad conjunta para \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\).

    2. +

  2. Encuentre \(F(1,0)\), es decir, la probabilidad de que el laboratorio A reciba como máximo un estudio y el laboratorio B no reciba ninguno.

    3. +
+
+
+

13.2 Ejercicio 2

+ +

Tres monedas balanceadas se lanzan en forma independiente al aire. Una de las variables de interés es \(Y_{1}\), el número de caras. Denote con \(Y_{2}\) la cantidad de dinero ganado en una apuesta colateral en la siguiente forma. Si la primera cara aparece en el primer tiro, usted gana 1€. Si la primera cara aparece en el tiro segundo o en el tercero gana 2€ o 3€, respectivamente. Si no aparece una cara, usted pierde 1€ (esto es, gana - 1€ ). +a Encuentre la función de probabilidad conjunta para \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\). +b ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres caras y usted gane 1€ o menos? [Esto es, encuentre \(F(2,1)\).

+
+
+

13.3 Ejercicio 3

+

En el Ejercicio 1 determinamos que la distribución conjunta de \(Y_{1}\), el número de análisis asignados al laboratorio A, y \(Y_{2}\), el número de análisis asignados al laboratorio B , está dada por las entradas en la siguiente tabla.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
\(y_{1}\)
\(y_{2}\)012
0\(1 / 9\)\(2 / 9\)\(1 / 9\)
1\(2 / 9\)\(2 / 9\)0
2\(1 / 9\)00
+
    +

  1. Encuentre la distribución de probabilidad marginal de \(Y_{1}\).

    2. +

  2. De acuerdo con los resultados vistos anteriormente \(Y_{1}\) tiene una distribución binomial con \(n=2\) y \(p=1 / 3\). ¿Hay algún conflicto entre este resultado y la respuesta dada en el punto a?

    3. +
+
+
+

13.4 Ejercicio 4

+

Un ingeniero ambiental mide la cantidad (en peso) de partículas contaminantes en muestras de aire de cierto volumen recolectado en dos chimeneas en una planta de energía alimentada con carbón. Una de las chimeneas está equipada con un aparato limpiador. Denote con \(Y_{1}\) la cantidad de contaminante por muestra recolectada arriba de la chimenea que no tiene aparato limpiador y denote con \(Y_{2}\) la cantidad de contaminante por muestra recolectada arriba de la chimenea que está equipada con el aparato limpiador.

+

Suponga que el comportamiento de frecuencia relativa de \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\) puede ser modelado por

+

\[ +f\left(y_{1}, y_{2}\right)= \begin{cases}k, & 0 \leq y_{1} \leq 2,\quad 0 \leq y_{2} \leq 1, \quad 2 y_{2} \leq y_{1} \\ 0, & \text { en cualquier otro punto. }\end{cases} +\]

+

Esto es, \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\) están uniformemente distribuidas sobre la región dentro del triángulo limitado por \(y_{1}=2, y_{2}=0\) y \(2 y_{2}=y_{1}\).

+
    +

  1. Encuentre el valor de \(k\) que haga de ésta una función de densidad de probabilidad.

    2. +

  2. Encuentre \(P\left(Y_{1} \geq 3 Y_{2}\right)\). Esto es, encuentre la probabilidad de que el aparato limpiador reduzca la cantidad de contaminante en un tercio o más.

    3. +
+
+
+

13.5 Ejercicio 5

+

En el Ejercicio 4 hemos establecido que

+

\[ +f\left(y_{1}, y_{2}\right)= \begin{cases}k, & 0 \leq y_{1} \leq 2,\quad 0 \leq y_{2} \leq 1, \quad 2 y_{2} \leq y_{1} \\ 0, & \text { en cualquier otro punto. }\end{cases} +\]

+

es una función de densidad de probabilidad conjunta válida para \(Y_{1}\), la cantidad de contaminante por muestra recolectada arriba de la chimenea que no tenía el aparato limpiador, y para \(Y_{2}\), la cantidad recolectada arriba de la chimenea con el aparato limpiador.

+

a, Si consideramos la chimenea con el limpiador instalado, encuentre la probabilidad de que la cantidad de contaminante en una muestra determinada sea mayor que \(0.5\).

+
    +
  1. Dado que se observa que la cantidad de contaminante en una muestra tomada arriba de la chimenea con el limpiador es 0.5 , encuentre la probabilidad de que la cantidad de contaminante exceda de 1.5 arriba de la otra chimenea (la que no tiene limpiador).
    2. +
+
+
+

13.6 Ejercicio 6

+ +

En el ejercicio 1 determinamos que la distribución conjunta de \(Y_{1}\), el número de análisis asignados al laboratorio A, y \(Y_{2}\), el número de análisis asignados al laboratorio B , está dada por las entradas en la siguiente tabla.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
\(y_{1}\)
\(y_{2}\)012
0\(1 / 9\)\(2 / 9\)\(1 / 9\)
1\(2 / 9\)\(2 / 9\)0
2\(1 / 9\)00
+
    +

  1. Encuentre \(\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right) \cdot{ }_{¿}\)

    2. +

  2. Le sorprende que \(\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\) sea negativa? \({ }_{\text {¿Por qué? }}\)

    3. +
+
+
+

13.7 Ejercicio 7

+ +

Las variables aleatorias \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\) son tales que \(E\left(Y_{1}\right)=4, E\left(Y_{2}\right)=-1, V\left(Y_{1}\right)=2\) y \(V\left(Y_{2}\right)=8\).

+
    +

  1. ¿Cuál es \(\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{1}\right)\) ?

    2. +

  2. Suponiendo que las medias y las varianzas sean correctas, ¿es posible que \(\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right)=7\) ? [Sugerencia: \(\operatorname{si} \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right)=7\), ¿cuál es el valor de \(\rho\), el coeficiente de correlación?]

    3. +

  3. Suponiendo que las medias y las varianzas sean correctas, ¿cuál es el máximo valor posible para \(\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right) ? \operatorname{Si} \operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\) alcanza este valor máximo, ¿qué implica eso acerca de la relación entre \(Y_{1}\) y \(Y_{2}\) ?

    4. +
+
+
+

13.8 Ejercicio 8

+ +

Un experimento de aprendizaje requiere que una rata corra por un laberinto (una red de pasillos) hasta que localice una de tres posibles salidas. La salida 1 presenta una recompensa de alimento, no así las salidas 2 y 3. (Si la rata finalmente selecciona la salida 1 casi siempre, puede tener lugar el aprendizaje.) Denote con \(Y_{i}\) el número de veces que la salida \(i\) es seleccionada en corridas sucesivas. Para lo siguiente, suponga que la rata escoge una salida aleatoriamente en cada corrida.

+
    +

  1. Encuentre la probabilidad de que \(n=6\) corridas resulte en \(Y_{1}=3, Y_{2}=1\) y \(Y_{3}=2\).

    2. +

  2. Para \(n\) general, encuentre \(E\left(Y_{1}\right)\) y \(V\left(Y_{1}\right)\).

    3. +

  3. Encuentre \(\operatorname{Cov}\left(Y_{2}, Y_{3}\right)\) para \(n\) general.

    4. +

  4. Para comprobar la preferencia de la rata entre las salidas 2 y 3 , podemos buscar en \(Y_{2}-Y_{3}\). Encuentre \(E\left(Y_{2}-Y_{3}\right)\) y \(V\left(Y_{2}-Y_{3}\right)\) para \(n\) general.

    5. +
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+ + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales.html b/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales.html index ad4547d..fca0cc8 100644 --- a/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales.html +++ b/docs/distribuciones-de-probabilidad-multidimensionales.html @@ -4,34 +4,32 @@ - Capítulo 4 Distribuciones de probabilidad multidimensionales | Fundamentos de Inferencia Estadistica - - + Capítulo 12 Distribuciones de probabilidad multidimensionales | _main.knit + + - + - + - - - - + + @@ -138,269 +136,106 @@