Skip to content

Commit

Permalink
添加环境相关信息 111qqz/hugo-blog@cf532a9
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@111qqz
111qqz committed Jan 16, 2024
1 parent d562b87 commit e9bcd93
Show file tree
Hide file tree
Showing 8 changed files with 841 additions and 15 deletions.
127 changes: 119 additions & 8 deletions 2015/08/index.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,20 +1,30 @@
<!doctype html><html lang=en data-figures class=page>
<head>
<title>.虚 | 111qqz的小窝</title>
<title>筛法求素数（转载） | 111qqz的小窝</title>
<meta charset=utf-8>
<meta name=viewport content="width=device-width,initial-scale=1,maximum-scale=1,user-scalable=no">
<meta http-equiv=x-ua-compatible content="IE=edge">
<script async src="https://www.googletagmanager.com/gtag/js?id=UA-219255388-1"></script>
<script>window.dataLayer=window.dataLayer||[];function gtag(){dataLayer.push(arguments)}gtag('js',new Date),gtag('config','UA-219255388-1')</script>
<meta property="og:locale" content="en">
<meta property="og:type" content="article">
<meta name=description content="。">
<meta name=description content="TAG 素数 数论
素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。
基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。
如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。
一般的线性筛法 首先先介绍一般的线性筛法求素数
[cpp] view …">
<meta name=twitter:card content="summary">
<meta name=twitter:creator content>
<meta name=twitter:title content=".虚">
<meta name=twitter:title content="筛法求素数（转载）">
<meta property="og:url" content="https://111qqz.com/2015/08/">
<meta property="og:title" content=".虚">
<meta property="og:description" content="。">
<meta property="og:title" content="筛法求素数（转载）">
<meta property="og:description" content="TAG 素数 数论
素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。
基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。
如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。
一般的线性筛法 首先先介绍一般的线性筛法求素数
[cpp] view …">
<meta property="og:image" content="https://111qqz.com/images/thumbnail.png">
<link rel=apple-touch-icon sizes=180x180 href=https://111qqz.com/icons/apple-touch-icon.png>
<link rel=icon type=image/png sizes=32x32 href=https://111qqz.com/icons/favicon-32x32.png>
Expand Down Expand Up @@ -99,14 +109,115 @@
<main>
<div class="grid-inverse wrap content">
<article class=post_content>
<h1 class=post_title>.虚</h1>
<h1 class=post_title>筛法求素数（转载）</h1>
<div class=post_meta>
<span><svg class="icon"><use xlink:href="#calendar"/></svg></span>
<span class=post_date>
Aug 20, 2015</span>
<span class=post_time> · 1 min read</span>
<span class=post_time> · 2 min read</span>
</div>
<div class=post_body><p>。</p>
<div class=post_body><p>TAG 素数 数论</p>
<p>素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。</p>
<p>基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。</p>
<p>如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。</p>
<h2 id=一般的线性筛法>一般的线性筛法</h2>
<p>首先先介绍一般的线性筛法求素数</p>
<p><strong>[cpp]</strong> <a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>view plain</a><a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>copy</a></p>
<ol>
<li>void make_prime() {</li>
<li>memset(prime, 1, sizeof(prime));</li>
<li>prime[0]=false;</li>
<li>prime[1]=false;</li>
<li>int N=31700;</li>
<li>for (int i=2; i</li>
<li>if (prime[i]) {</li>
<li>primes[++cnt ]=i;</li>
<li>for (int k=i*i; k</li>
<li>prime[k]=false;</li>
<li>}</li>
<li>return;</li>
<li>}</li>
</ol>
<p>这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i<em>i , 比 i</em>2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。</p>
<p>但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2<em>15筛了一次；在i=5，k=5</em>6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。</p>
<h2 id=heading></h2>
<h2 id=快速线性筛法>快速线性筛法</h2>
<p>快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以"几乎"是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码</p>
<p><strong>[cpp]</strong> <a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>view plain</a><a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>copy</a></p>
<ol>
<li>#include</li>
<li>using namespace std;</li>
<li>const long N = 200000;</li>
<li>long prime[N] = {0},num_prime = 0;</li>
<li>int isNotPrime[N] = {1, 1};</li>
<li>int main()</li>
<li>{</li>
<li>for(long i = 2 ; i &lt; N ; i ++)</li>
<li>{</li>
<li>if(! isNotPrime[i])</li>
<li>prime[num_prime ++]=i;</li>
<li>//关键处1</li>
<li>for(long j = 0 ; j &lt; num_prime && i * prime[j] &lt; N ; j ++)</li>
<li>{</li>
<li>isNotPrime[i * prime[j]] = 1;</li>
<li>if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2</li>
<li>break;</li>
<li>}</li>
<li>}</li>
<li>return 0;</li>
<li>}</li>
</ol>
<p>首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。</p>
<p>不管 i 是否是素数，都会执行到"关键处1"，</p>
<p>①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等</p>
<p>②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1<em>p2</em>...*pn, pi都是素数（2&lt;=i&lt;=n）， pi&lt;=pj ( i&lt;=j )</p>
<p>p1是最小的系数。</p>
<p>根据"关键处2"的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。</p>
<p>我们可以直观地举个例子。i=2<em>3</em>5</p>
<p>此时能筛除 2<em>i ,不能筛除 3</em>i</p>
<p>如果能筛除3<em>i 的话，当 i' 等于 i'=3</em>3<em>5 时，筛除2</em>i' 就和前面重复了。</p>
<h3 id=需要证明的东西>需要证明的东西：</h3>
<ol>
<li>一个数会不会被重复筛除。</li>
<li>合数肯定会被干掉。</li>
</ol>
<p>根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。</p>
<p>设这个数为 x=p1<em>p2</em>...*pn, pi都是素数（1&lt;=i&lt;=n) , pi&lt;=pj ( i&lt;=j )</p>
<p>当 i = 2 时，就是上面①的情况，</p>
<p>当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。</p>
<p>证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。</p>
<p>类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1&lt;=i&lt;=n, 1&lt;=j&lt;=n,</p>
<p>我们会这么写</p>
<p>for (i=1; i</p>
<p>for (j=i+1; j&lt;=n; ++j)</p>
<p>{</p>
<p>/////</p>
<p>}</p>
<p>我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。</p>
<p>1楼提供的方法，我整理下</p>
<p>//偶数显然不行，所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。</p>
<p>//不过这种方法不太直观，不太好理解。</p>
<p><strong>[cpp]</strong> <a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>view plain</a><a href=http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550>copy</a></p>
<pre><code>1. 我推荐这个算法！ 易于理解。 只算奇数部分，时空效率都还不错！
2. half=SIZE/2;
3. int sn = (int) sqrt(SIZE);
4. for (i = 0; i &lt; half; i++)
5. p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3
6. for (i = 0; i &lt; sn; i++) {
7. if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
8. {
9. for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j &lt; half; j+=k)
10. // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
11. // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
12. // 下标 i k*i+k+i
13. //对应数值 k=i+i+3 k^2
14. p[j]=false;
15. }
16. }
17. //素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
18. //举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....
19.
</code></pre>
</div>
<div class=post_comments>
<script src=https://utteranc.es/client.js repo=111qqz/111qqz.github.io issue-term=pathname theme=github-light crossorigin=anonymous async></script>
Expand Down
Loading

0 comments on commit e9bcd93

Please sign in to comment.