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4.2 损失函数

本章代码：

https://github.com/zhangxiann/PyTorch_Practice/blob/master/lesson4/loss_function_1.py

https://github.com/zhangxiann/PyTorch_Practice/blob/master/lesson4/loss_function_1.py

这篇文章主要介绍了损失函数的概念，以及 PyTorch 中提供的常用损失函数。

损失函数

损失函数是衡量模型输出与真实标签之间的差异。我们还经常听到代价函数和目标函数，它们之间差异如下：

损失函数(Loss Function)是计算一个样本的模型输出与真实标签的差异

Loss $=f\left(y^{\wedge}, y\right)$
代价函数(Cost Function)是计算整个样本集的模型输出与真实标签的差异，是所有样本损失函数的平均值

$\cos t=\frac{1}{N} \sum_{i}^{N} f\left(y_{i}^{\wedge}, y_{i}\right)$
目标函数(Objective Function)就是代价函数加上正则项

在 PyTorch 中的损失函数也是继承于nn.Module，所以损失函数也可以看作网络层。

在逻辑回归的实验中，我使用了交叉熵损失函数loss_fn = nn.BCELoss()，$BCELoss$的继承关系：nn.BCELoss() -> _WeightedLoss -> _Loss -> Module。在计算具体的损失时loss = loss_fn(y_pred.squeeze(), train_y)，这里实际上在 Loss 中进行一次前向传播，最终调用BCELoss()的forward()函数F.binary_cross_entropy(input, target, weight=self.weight, reduction=self.reduction)。

下面介绍 PyTorch 提供的损失函数。注意在所有的损失函数中，size_average和reduce参数都不再使用。

nn.CrossEntropyLoss

nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')

功能：把nn.LogSoftmax()和nn.NLLLoss()结合，计算交叉熵。nn.LogSoftmax()的作用是把输出值归一化到了 [0,1] 之间。

主要参数：

weight：各类别的 loss 设置权值
ignore_index：忽略某个类别的 loss 计算
reduction：计算模式，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

下面介绍熵的一些基本概念

自信息：$\mathrm{I}(x)=-\log [p(x)]$
信息熵就是求自信息的期望：$\mathrm{H}(\mathrm{P})=E_{x \sim p}[I(x)]=-\sum_{i}^{N} P\left(x_{i}\right) \log P\left(x_{i}\right)$
相对熵，也被称为 KL 散度，用于衡量两个分布的相似性(距离)：$\boldsymbol{D}{K L}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})=\boldsymbol{E}{\boldsymbol{x} \sim p}\left[\log \frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x})}{Q(\boldsymbol{x})}\right]$。其中$P(X)$是真实分布，$Q(X)$是拟合的分布
交叉熵：$\mathrm{H}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})=-\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \log \boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)$

相对熵展开可得：

$\begin{aligned} \boldsymbol{D}{K L}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}) &=\boldsymbol{E}{\boldsymbol{x} \sim p}\left[\log \frac{P(x)}{Q(\boldsymbol{x})}\right] \ &=\boldsymbol{E}{\boldsymbol{x} \sim p}[\log P(\boldsymbol{x})-\log Q(\boldsymbol{x})] \ &=\sum{i=1}^{N} P\left(x_{i}\right)\left[\log P\left(\boldsymbol{x}{i}\right)-\log Q\left(\boldsymbol{x}{i}\right)\right] \ &=\sum_{i=1}^{N} P\left(\boldsymbol{x}{i}\right) \log P\left(\boldsymbol{x}{i}\right)-\sum_{i=1}^{N} P\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \log \boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right) \ &= H(P,Q) -H(P) \end{aligned}$

所以交叉熵 = 信息熵 + 相对熵，即$\mathrm{H}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})=\boldsymbol{D}{K \boldsymbol{L}}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})+\mathrm{H}(\boldsymbol{P})$，又由于信息熵$H(P)$是固定的，因此优化交叉熵$H(P,Q)$等价于优化相对熵$D{KL}(P,Q)$。

所以对于每一个样本的 Loss 计算公式为：

$\mathrm{H}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q})=-\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{x}{\boldsymbol{i}}\right) \log Q\left(\boldsymbol{x}{\boldsymbol{i}}\right) = logQ(x_{i})$，因为$N=1$，$P(x_{i})=1$。

所以$\operatorname{loss}(x, \text { class })=-\log \left(\frac{\exp (x[\text { class }])}{\sum_{j} \exp (x[j])}\right)=-x[\text { class }]+\log \left(\sum_{j} \exp (x[j])\right)$。

如果了类别的权重，则$\operatorname{loss}(x, \text { class })=\operatorname{weight}[\text { class }]\left(-x[\text { class }]+\log \left(\sum_{j} \exp (x[j])\right)\right)$。

下面设有 3 个样本做 2 分类。inputs 的形状为 $3 \times 2$，表示每个样本有两个神经元输出两个分类。target 的形状为 $3 \times 1$，注意类别从 0 开始，类型为torch.long。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import numpy as np

# fake data
inputs = torch.tensor([[1, 2], [1, 3], [1, 3]], dtype=torch.float)
target = torch.tensor([0, 1, 1], dtype=torch.long)

# def loss function
loss_f_none = nn.CrossEntropyLoss(weight=None, reduction='none')
loss_f_sum = nn.CrossEntropyLoss(weight=None, reduction='sum')
loss_f_mean = nn.CrossEntropyLoss(weight=None, reduction='mean')

# forward
loss_none = loss_f_none(inputs, target)
loss_sum = loss_f_sum(inputs, target)
loss_mean = loss_f_mean(inputs, target)

# view
print("Cross Entropy Loss:\n ", loss_none, loss_sum, loss_mean)

输出为：

Cross Entropy Loss:
  tensor([1.3133, 0.1269, 0.1269]) tensor(1.5671) tensor(0.5224)

我们根据单个样本的 loss 计算公式$\operatorname{loss}(x, \text { class })=-\log \left(\frac{\exp (x[\text { class }])}{\sum_{j} \exp (x[j])}\right)=-x[\text { class }]+\log \left(\sum_{j} \exp (x[j])\right)$，可以使用以下代码来手动计算第一个样本的损失

idx = 0

input_1 = inputs.detach().numpy()[idx]      # [1, 2]
target_1 = target.numpy()[idx]              # [0]

# 第一项
x_class = input_1[target_1]

# 第二项
sigma_exp_x = np.sum(list(map(np.exp, input_1)))
log_sigma_exp_x = np.log(sigma_exp_x)

# 输出loss
loss_1 = -x_class + log_sigma_exp_x

print("第一个样本loss为: ", loss_1)

结果为：1.3132617

下面继续看带有类别权重的损失计算，首先设置类别的权重向量weights = torch.tensor([1, 2], dtype=torch.float)，向量的元素个数等于类别的数量，然后在定义损失函数时把weight参数传进去。

输出为：

weights:  tensor([1., 2.])
tensor([1.3133, 0.2539, 0.2539]) tensor(1.8210) tensor(0.3642)

权值总和为：$1+2+2=5$，所以加权平均的 loss 为：$1.8210\div5=0.3642$，通过手动计算的方式代码如下：

weights = torch.tensor([1, 2], dtype=torch.float)
weights_all = np.sum(list(map(lambda x: weights.numpy()[x], target.numpy())))  # [0, 1, 1]  # [1 2 2]
mean = 0
loss_f_none = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
loss_none = loss_f_none(inputs, target)
loss_sep = loss_none.detach().numpy()
for i in range(target.shape[0]):

x_class = target.numpy()[i]
tmp = loss_sep[i] * (weights.numpy()[x_class] / weights_all)
mean += tmp

print(mean)

结果为 0.3641947731375694

nn.NLLLoss

nn.NLLLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')

功能：实现负对数似然函数中的符号功能

主要参数：

weight：各类别的 loss 权值设置
ignore_index：忽略某个类别
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

每个样本的 loss 公式为：$l_{n}=-w_{y_{n}} x_{n, y_{n}}$。还是使用上面的例子，第一个样本的输出为 [1,2]，类别为 0，则第一个样本的 loss 为 -1；第一个样本的输出为 [1,3]，类别为 1，则第一个样本的 loss 为 -3。

代码如下：

weights = torch.tensor([1, 1], dtype=torch.float)

loss_f_none_w = nn.NLLLoss(weight=weights, reduction='none')
loss_f_sum = nn.NLLLoss(weight=weights, reduction='sum')
loss_f_mean = nn.NLLLoss(weight=weights, reduction='mean')

# forward
loss_none_w = loss_f_none_w(inputs, target)
loss_sum = loss_f_sum(inputs, target)
loss_mean = loss_f_mean(inputs, target)

# view
print("\nweights: ", weights)
print("NLL Loss", loss_none_w, loss_sum, loss_mean)

输出如下：

weights:  tensor([1., 1.])
NLL Loss tensor([-1., -3., -3.]) tensor(-7.) tensor(-2.3333)

nn.BCELoss

nn.BCELoss(weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算二分类的交叉熵。需要注意的是：输出值区间为 [0,1]。

主要参数：

weight：各类别的 loss 权值设置
ignore_index：忽略某个类别
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式为：$l_{n}=-w_{n}\left[y_{n} \cdot \log x_{n}+\left(1-y_{n}\right) \cdot \log \left(1-x_{n}\right)\right]$

使用这个函数有两个不同的地方：

预测的标签需要经过 sigmoid 变换到 [0,1] 之间。
真实的标签需要转换为 one hot 向量，类型为torch.float。

代码如下：

inputs = torch.tensor([[1, 2], [2, 2], [3, 4], [4, 5]], dtype=torch.float)
target = torch.tensor([[1, 0], [1, 0], [0, 1], [0, 1]], dtype=torch.float)

target_bce = target

# itarget
inputs = torch.sigmoid(inputs)

weights = torch.tensor([1, 1], dtype=torch.float)

loss_f_none_w = nn.BCELoss(weight=weights, reduction='none')
loss_f_sum = nn.BCELoss(weight=weights, reduction='sum')
loss_f_mean = nn.BCELoss(weight=weights, reduction='mean')

# forward
loss_none_w = loss_f_none_w(inputs, target_bce)
loss_sum = loss_f_sum(inputs, target_bce)
loss_mean = loss_f_mean(inputs, target_bce)

# view
print("\nweights: ", weights)
print("BCE Loss", loss_none_w, loss_sum, loss_mean)

结果为：

BCE Loss tensor([[0.3133, 2.1269],
        [0.1269, 2.1269],
        [3.0486, 0.0181],
        [4.0181, 0.0067]]) tensor(11.7856) tensor(1.4732)

第一个 loss 为 0，3133，手动计算的代码如下：

x_i = inputs.detach().numpy()[idx, idx]
y_i = target.numpy()[idx, idx]              #

# loss
# l_i = -[ y_i * np.log(x_i) + (1-y_i) * np.log(1-y_i) ]      # np.log(0) = nan
l_i = -y_i * np.log(x_i) if y_i else -(1-y_i) * np.log(1-x_i)

nn.BCEWithLogitsLoss

nn.BCEWithLogitsLoss(weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction='mean', pos_weight=None)

功能：结合 sigmoid 与二分类交叉熵。需要注意的是，网络最后的输出不用经过 sigmoid 函数。这个 loss 出现的原因是有时网络模型最后一层输出不希望是归一化到 [0,1] 之间，但是在计算 loss 时又需要归一化到 [0,1] 之间。

主要参数：

weight：各类别的 loss 权值设置
pos_weight：设置样本类别对应的神经元的输出的 loss 权值
ignore_index：忽略某个类别
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

代码如下：

inputs = torch.tensor([[1, 2], [2, 2], [3, 4], [4, 5]], dtype=torch.float)
target = torch.tensor([[1, 0], [1, 0], [0, 1], [0, 1]], dtype=torch.float)

target_bce = target

# itarget
# inputs = torch.sigmoid(inputs)

weights = torch.tensor([1], dtype=torch.float)
pos_w = torch.tensor([3], dtype=torch.float)        # 3

loss_f_none_w = nn.BCEWithLogitsLoss(weight=weights, reduction='none', pos_weight=pos_w)
loss_f_sum = nn.BCEWithLogitsLoss(weight=weights, reduction='sum', pos_weight=pos_w)
loss_f_mean = nn.BCEWithLogitsLoss(weight=weights, reduction='mean', pos_weight=pos_w)

# forward
loss_none_w = loss_f_none_w(inputs, target_bce)
loss_sum = loss_f_sum(inputs, target_bce)
loss_mean = loss_f_mean(inputs, target_bce)

# view
print("\npos_weights: ", pos_w)
print(loss_none_w, loss_sum, loss_mean)

输出为

pos_weights:  tensor([3.])
tensor([[0.9398, 2.1269],
        [0.3808, 2.1269],
        [3.0486, 0.0544],
        [4.0181, 0.0201]]) tensor(12.7158) tensor(1.5895)

与 BCELoss 进行对比

BCE Loss tensor([[0.3133, 2.1269],
        [0.1269, 2.1269],
        [3.0486, 0.0181],
        [4.0181, 0.0067]]) tensor(11.7856) tensor(1.4732)

可以看到，样本类别对应的神经元的输出的 loss 都增加了 3 倍。

nn.L1Loss

nn.L1Loss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算 inputs 与 target 之差的绝对值

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

公式：$l_{n}=\left|x_{n}-y_{n}\right|$

nn.MSELoss

功能：计算 inputs 与 target 之差的平方

公式：$l_{n}=\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}$

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

代码如下：

inputs = torch.ones((2, 2))
target = torch.ones((2, 2)) * 3

loss_f = nn.L1Loss(reduction='none')
loss = loss_f(inputs, target)

print("input:{}\ntarget:{}\nL1 loss:{}".format(inputs, target, loss))

# ------------------------------------------------- 6 MSE loss ----------------------------------------------

loss_f_mse = nn.MSELoss(reduction='none')
loss_mse = loss_f_mse(inputs, target)

print("MSE loss:{}".format(loss_mse))

输出如下：

input:tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]])
target:tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]])
L1 loss:tensor([[2., 2.],
        [2., 2.]])
MSE loss:tensor([[4., 4.],
        [4., 4.]])

nn.SmoothL1Loss

nn.SmoothL1Loss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：平滑的 L1Loss

公式：$z_{i}=\left{\begin{array}{ll}0.5\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}, & \text { if }\left|x_{i}-y_{i}\right|<1 \ \left|x_{i}-y_{i}\right|-0.5, & \text { otherwise }\end{array}\right.$

下图中橙色曲线是 L1Loss，蓝色曲线是 Smooth L1Loss

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

nn.PoissonNLLLoss

nn.PoissonNLLLoss(log_input=True, full=False, size_average=None, eps=1e-08, reduce=None, reduction='mean')

功能：泊松分布的负对数似然损失函数

主要参数：

log_input：输入是否为对数形式，决定计算公式
- 当 log_input = True，表示输入数据已经是经过对数运算之后的，loss(input, target) = exp(input) - target * input
- 当 log_input = False，，表示输入数据还没有取对数，loss(input, target) = input - target * log(input+eps)
full：计算所有 loss，默认为 loss
eps：修正项，避免 log(input) 为 nan

代码如下：

inputs = torch.randn((2, 2))
target = torch.randn((2, 2))

loss_f = nn.PoissonNLLLoss(log_input=True, full=False, reduction='none')
loss = loss_f(inputs, target)
print("input:{}\ntarget:{}\nPoisson NLL loss:{}".format(inputs, target, loss))

输出如下：

input:tensor([[0.6614, 0.2669],
        [0.0617, 0.6213]])
target:tensor([[-0.4519, -0.1661],
        [-1.5228,  0.3817]])
Poisson NLL loss:tensor([[2.2363, 1.3503],
        [1.1575, 1.6242]])

手动计算第一个 loss 的代码如下：

idx = 0

loss_1 = torch.exp(inputs[idx, idx]) - target[idx, idx]*inputs[idx, idx]

print("第一个元素loss:", loss_1)

结果为：2.2363

nn.KLDivLoss

nn.KLDivLoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算 KLD(divergence)，KL 散度，相对熵

注意事项：需要提前将输入计算 log-probabilities，如通过nn.logsoftmax()

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)，batchmean(batchsize 维度求平均值)

公式：$\begin{aligned} D_{K L}(P | Q)=E_{x-p}\left[\log \frac{P(x)}{Q(x)}\right] &=E_{x-p}[\log P(x)-\log Q(x)] =\sum_{i=1}^{N} P\left(x_{i}\right)\left(\log P\left(x_{i}\right)-\log Q\left(x_{i}\right)\right) \end{aligned}$

对于每个样本来说，计算公式如下，其中$y_{n}$是真实值$P(x)$，$x_{n}$是经过对数运算之后的预测值$logQ(x)$。

$l_{n}=y_{n} \cdot\left(\log y_{n}-x_{n}\right)$

代码如下：

inputs = torch.tensor([[0.5, 0.3, 0.2], [0.2, 0.3, 0.5]])
inputs_log = torch.log(inputs)
target = torch.tensor([[0.9, 0.05, 0.05], [0.1, 0.7, 0.2]], dtype=torch.float)

loss_f_none = nn.KLDivLoss(reduction='none')
loss_f_mean = nn.KLDivLoss(reduction='mean')
loss_f_bs_mean = nn.KLDivLoss(reduction='batchmean')

loss_none = loss_f_none(inputs, target)
loss_mean = loss_f_mean(inputs, target)
loss_bs_mean = loss_f_bs_mean(inputs, target)

print("loss_none:\n{}\nloss_mean:\n{}\nloss_bs_mean:\n{}".format(loss_none, loss_mean, loss_bs_mean))

输出如下：

loss_none:
tensor([[-0.5448, -0.1648, -0.1598],
        [-0.2503, -0.4597, -0.4219]])
loss_mean:
-0.3335360586643219
loss_bs_mean:
-1.000608205795288

手动计算第一个 loss 的代码为：

idx = 0
loss_1 = target[idx, idx] * (torch.log(target[idx, idx]) - inputs[idx, idx])
print("第一个元素loss:", loss_1)

结果为：-0.5448。

nn.MarginRankingLoss

nn.MarginRankingLoss(margin=0.0, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算两个向量之间的相似度，用于排序任务

特别说明：该方法计算两组数据之间的差异，返回一个$n \times n$ 的 loss 矩阵

主要参数：

margin：边界值，$x_{1}$与$x_{2}$之间的差异值
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=\max (0,-y *(x 1-x 2)+\operatorname{margin})$，$y$的取值有 +1 和 -1。

当 $y=1$时，希望$x_{1} > x_{2}$，当$x_{1} > x_{2}$，不产生 loss
当 $y=-1$时，希望$x_{1} < x_{2}$，当$x_{1} < x_{2}$，不产生 loss

代码如下：

x1 = torch.tensor([[1], [2], [3]], dtype=torch.float)
x2 = torch.tensor([[2], [2], [2]], dtype=torch.float)

target = torch.tensor([1, 1, -1], dtype=torch.float)

loss_f_none = nn.MarginRankingLoss(margin=0, reduction='none')

loss = loss_f_none(x1, x2, target)

print(loss)

输出为：

tensor([[1., 1., 0.],
        [0., 0., 0.],
        [0., 0., 1.]])

第一行表示$x_{1}$中的第一个元素分别与$x_{2}$中的 3 个元素计算 loss，以此类推。

nn.MultiLabelMarginLoss

nn.MultiLabelMarginLoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：多标签边界损失函数

举例：4 分类任务，样本 x 属于 0 类和 3 类，那么标签为 [0, 3, -1, -1]，

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=\sum_{i j} \frac{\max (0,1-(x[y[j]]-x[i]))}{x \cdot \operatorname{size}(0)}$，表示每个真实类别的神经元输出减去其他神经元的输出。

代码如下：

x = torch.tensor([[0.1, 0.2, 0.4, 0.8]])
y = torch.tensor([[0, 3, -1, -1]], dtype=torch.long)

loss_f = nn.MultiLabelMarginLoss(reduction='none')

loss = loss_f(x, y)

print(loss)

输出为：

0.8500

手动计算如下：

x = x[0]
item_1 = (1-(x[0] - x[1])) + (1 - (x[0] - x[2]))    # [0]
item_2 = (1-(x[3] - x[1])) + (1 - (x[3] - x[2]))    # [3]

loss_h = (item_1 + item_2) / x.shape[0]

print(loss_h)

nn.SoftMarginLoss

nn.SoftMarginLoss(size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算二分类的 logistic 损失

主要参数：

reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=\sum_{i} \frac{\log (1+\exp (-y[i] * x[i]))}{\text { x.nelement } 0}$

代码如下：

inputs = torch.tensor([[0.3, 0.7], [0.5, 0.5]])
target = torch.tensor([[-1, 1], [1, -1]], dtype=torch.float)

loss_f = nn.SoftMarginLoss(reduction='none')

loss = loss_f(inputs, target)

print("SoftMargin: ", loss)

输出如下：

SoftMargin:  tensor([[0.8544, 0.4032],
        [0.4741, 0.9741]])

手动计算第一个 loss 的代码如下：

idx = 0

inputs_i = inputs[idx, idx]
target_i = target[idx, idx]

loss_h = np.log(1 + np.exp(-target_i * inputs_i))

print(loss_h)

结果为：0.8544

nn.MultiLabelSoftMarginLoss

nn.MultiLabelSoftMarginLoss(weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：SoftMarginLoss 的多标签版本

主要参数：

weight：各类别的 loss 权值设置
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=-\frac{1}{C} \sum_{i} y[i] \log \left((1+\exp (-x[i]))^{-1}\right)+(1-y[i]) * \log \left(\frac{\exp (-x[i])}{(1+\exp (-x[i]))}\right)$

代码如下

inputs = torch.tensor([[0.3, 0.7, 0.8]])
target = torch.tensor([[0, 1, 1]], dtype=torch.float)

loss_f = nn.MultiLabelSoftMarginLoss(reduction='none')

loss = loss_f(inputs, target)

print("MultiLabel SoftMargin: ", loss)

输出为：

MultiLabel SoftMargin:  tensor([0.5429])

手动计算的代码如下：

x = torch.tensor([[0.1, 0.2, 0.7], [0.2, 0.5, 0.3]])
y = torch.tensor([1, 2], dtype=torch.long)

loss_f = nn.MultiMarginLoss(reduction='none')

loss = loss_f(x, y)

print("Multi Margin Loss: ", loss)

nn.MultiMarginLoss

nn.MultiMarginLoss(p=1, margin=1.0, weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算多分类的折页损失

主要参数：

p：可以选择 1 或 2
weight：各类别的 loss 权值设置
margin：边界值
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=\frac{\left.\sum_{i} \max (0, \operatorname{margin}-x[y]+x[i])\right)^{p}}{\quad \text { x.size }(0)}$，其中 y 表示真实标签对应的神经元输出，x 表示其他神经元的输出。

代码如下：

x = torch.tensor([[0.1, 0.2, 0.7], [0.2, 0.5, 0.3]])
y = torch.tensor([1, 2], dtype=torch.long)

loss_f = nn.MultiMarginLoss(reduction='none')

loss = loss_f(x, y)

print("Multi Margin Loss: ", loss)

输出如下：

Multi Margin Loss:  tensor([0.8000, 0.7000])

手动计算第一个 loss 的代码如下：

x = x[0]
margin = 1

i_0 = margin - (x[1] - x[0])
# i_1 = margin - (x[1] - x[1])
i_2 = margin - (x[1] - x[2])

loss_h = (i_0 + i_2) / x.shape[0]

print(loss_h)

输出为：0.8000

nn.TripletMarginLoss

nn.TripletMarginLoss(margin=1.0, p=2.0, eps=1e-06, swap=False, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算三元组损失，人脸验证中常用

主要参数：

p：范数的阶，默认为 2
margin：边界值
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$L(a, p, n)=\max \left{d\left(a_{i}, p_{i}\right)-d\left(a_{i}, n_{i}\right)+\text { margin, } 0\right}$，$d\left(x_{i}, y_{i}\right)=\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{y}{i}\right|{p}$，其中$d(a{i}, p_{i})$表示正样本对之间的距离(距离计算公式与 p 有关)，$d(a_{i}, n_{i})$表示负样本对之间的距离。表示正样本对之间的距离比负样本对之间的距离小 margin，就没有了 loss。

代码如下：

anchor = torch.tensor([[1.]])
pos = torch.tensor([[2.]])
neg = torch.tensor([[0.5]])

loss_f = nn.TripletMarginLoss(margin=1.0, p=1)

loss = loss_f(anchor, pos, neg)

print("Triplet Margin Loss", loss)

输出如下：

Triplet Margin Loss tensor(1.5000)

手动计算的代码如下：

margin = 1
a, p, n = anchor[0], pos[0], neg[0]

d_ap = torch.abs(a-p)
d_an = torch.abs(a-n)

loss = d_ap - d_an + margin

print(loss)

nn.HingeEmbeddingLoss

nn.HingeEmbeddingLoss(margin=1.0, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：计算两个输入的相似性，常用于非线性 embedding 和半监督学习

特别注意：输入 x 应该为两个输入之差的绝对值

主要参数：

margin：边界值
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$l_{n}=\left{\begin{array}{ll}x_{n}, & \text { if } y_{n}=1 \ \max \left{0, \Delta-x_{n}\right}, & \text { if } y_{n}=-1\end{array}\right.$

代码如下：

inputs = torch.tensor([[1., 0.8, 0.5]])
target = torch.tensor([[1, 1, -1]])

loss_f = nn.HingeEmbeddingLoss(margin=1, reduction='none')

loss = loss_f(inputs, target)

print("Hinge Embedding Loss", loss)

输出为：

Hinge Embedding Loss tensor([[1.0000, 0.8000, 0.5000]])

手动计算第三个 loss 的代码如下：

margin = 1.
loss = max(0, margin - inputs.numpy()[0, 2])

print(loss)

结果为 0.5

nn.CosineEmbeddingLoss

torch.nn.CosineEmbeddingLoss(margin=0.0, size_average=None, reduce=None, reduction='mean')

功能：采用余弦相似度计算两个输入的相似性

主要参数：

margin：边界值，可取值 [-1, 1]，推荐为 [0, 0.5]
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

计算公式：$\operatorname{loss}(x, y)=\left{\begin{array}{ll}1-\cos \left(x_{1}, x_{2}\right), & \text { if } y=1 \ \max \left(0, \cos \left(x_{1}, x_{2}\right)-\operatorname{margin}\right), & \text { if } y=-1\end{array}\right.$

其中$\cos (\theta)=\frac{A \cdot B}{|A||B|}=\frac{\sum_{i=1}^{n} A_{i} \times B_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(A_{i}\right)^{2}} \times \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(B_{i}\right)^{2}}}$

代码如下：

x1 = torch.tensor([[0.3, 0.5, 0.7], [0.3, 0.5, 0.7]])
x2 = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.5], [0.1, 0.3, 0.5]])

target = torch.tensor([[1, -1]], dtype=torch.float)

loss_f = nn.CosineEmbeddingLoss(margin=0., reduction='none')

loss = loss_f(x1, x2, target)

print("Cosine Embedding Loss", loss)

输出如下：

Cosine Embedding Loss tensor([[0.0167, 0.9833]])

手动计算第一个样本的 loss 的代码为：

margin = 0.

def cosine(a, b):
numerator = torch.dot(a, b)
denominator = torch.norm(a, 2) * torch.norm(b, 2)
return float(numerator/denominator)

l_1 = 1 - (cosine(x1[0], x2[0]))

l_2 = max(0, cosine(x1[0], x2[0]))

print(l_1, l_2)

结果为：0.016662120819091797 0.9833378791809082

nn.CTCLoss

nn.CTCLoss(blank=0, reduction='mean', zero_infinity=False)

功能：计算 CTC 损失，解决时序类数据的分类，全称为 Connectionist Temporal Classification

主要参数：

blank：blank label
zero_infinity：无穷大的值或梯度置 0
reduction：计算模式，，可以为 none(逐个元素计算)，sum(所有元素求和，返回标量)，mean(加权平均，返回标量)

对时序方面研究比较少，不展开讲了。

参考资料

深度之眼 PyTorch 框架班

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4.2 损失函数

损失函数

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nn.BCELoss

nn.BCEWithLogitsLoss

nn.L1Loss

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nn.PoissonNLLLoss

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