KZG Commitment 中的一个双线性映射没明白

[Demian101]

几个前置信息：

• $\color{red}s \cdot G$ 就是 $\color{red}VK$, 我们上面提到过: setup 的 2 个集合 : 第一个集合为 $PK$, 第二个集合是 $\color{red}VK$ ( $VK$ 就是 $PK$ 里的某个随机点)
• $e(G, \ G)$ 是公开的
• $f(i)$ 是 Prover 发送过来的在 $i$ 的打开
• ${\color{blue}q_i(s) \cdot G}$ 是商多项式在 KZG 秘密 $s$ 处的 Commitment

没明白图中画圈部分的双线性映射是怎么过去的，万望指点一二！

[Howard-Hu]

如图，根据GB/T 38635.1--2020 《信息安全技术 SM9标识密码算法 第1部分：总则》
6.1 节双线性对的定义可知，双线性对具有双线性性。

由双线性性可知

$$ e(\frac{f(s)-f(i)}{s-i}\cdot G,(s-i)\cdot G)=e(G,G)^{\frac{f(s)-f(i)}{s-i} \cdot (s-i)}=e(G,G)^{f(s)-f(i)} $$

【推荐阅读】

1. Pairs for beginners by Craig Costello

[Demian101]

感谢笃行！