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背包问题理论基础多重背包.md

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参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！

动态规划：关于多重背包，你该了解这些！

之前我们已经系统的讲解了01背包和完全背包，如果没有看过的录友，建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。

这次我们再来说一说多重背包

多重背包

对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

重量 价值 数量
物品0 1 15 2
物品1 3 20 3
物品2 4 30 2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

重量 价值 数量
物品0 1 15 1
物品0 1 15 1
物品1 3 20 1
物品1 3 20 1
物品1 3 20 1
物品2 4 30 1
物品2 4 30 1

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

这种方式来实现多重背包的代码如下：

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}
  • 时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);


    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
        // 打印一下dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_multi_pack();
}
  • 时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。

当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。

和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。

总结

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。

至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。

其他语言版本

Java：

public void testMultiPack1(){
    // 版本一：改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}

public void testMultiPack2(){
    // 版本二：改变遍历个数
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }
}

Python：

def test_multi_pack1():
    '''版本一：改变物品数量为01背包格式'''
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    nums = [2, 3, 2]
    bag_weight = 10
    for i in range(len(nums)):
        # 将物品展开数量为1
        while nums[i] > 1:
            weight.append(weight[i])
            value.append(value[i])
            nums[i] -= 1
    
    dp = [0]*(bag_weight + 1)
    # 遍历物品
    for i in range(len(weight)):
        # 遍历背包
        for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    
    print(" ".join(map(str, dp)))

def test_multi_pack2():
    '''版本：改变遍历个数'''
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    nums = [2, 3, 2]
    bag_weight = 10

    dp = [0]*(bag_weight + 1)
    for i in range(len(weight)):
        for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
            # 以上是01背包，加上遍历个数
            for k in range(1, nums[i] + 1):
                if j - k*weight[i] >= 0:
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i])

    print(" ".join(map(str, dp)))


if __name__ == '__main__':
    test_multi_pack1()
    test_multi_pack2()

Go：

package theory

import "log"

// 多重背包可以化解为 01 背包
func multiplePack(weight, value, nums []int, bagWeight int) int {

	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		for nums[i] > 1 {
			weight = append(weight, weight[i])
			value = append(value, value[i])
			nums[i]--
		}
	}
	log.Println(weight)
	log.Println(value)

	res := make([]int, bagWeight+1)
	for i := 0; i < len(weight); i++ {
		for j := bagWeight; j >= weight[i]; j-- {
			res[j] = getMax(res[j], res[j-weight[i]]+value[i])
		}
		log.Println(res)
	}

	return res[bagWeight]
}

单元测试

package theory

import "testing"

func Test_multiplePack(t *testing.T) {
	type args struct {
		weight    []int
		value     []int
		nums      []int
		bagWeight int
	}
	tests := []struct {
		name string
		args args
		want int
	}{
		{
			name: "one",
			args: args{
				weight:    []int{1, 3, 4},
				value:     []int{15, 20, 30},
				nums:      []int{2, 3, 2},
				bagWeight: 10,
			},
			want: 90,
		},
	}
	for _, tt := range tests {
		t.Run(tt.name, func(t *testing.T) {
			if got := multiplePack(tt.args.weight, tt.args.value, tt.args.nums, tt.args.bagWeight); got != tt.want {
				t.Errorf("multiplePack() = %v, want %v", got, tt.want)
			}
		})
	}
}

输出

=== RUN   Test_multiplePack
=== RUN   Test_multiplePack/one
2022/03/02 21:09:05 [1 3 4 1 3 3 4]
2022/03/02 21:09:05 [15 20 30 15 20 20 30]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 20 35 35 35 35 35 35 35]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 20 35 45 45 50 65 65 65]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 65 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 90]
--- PASS: Test_multiplePack (0.00s)
    --- PASS: Test_multiplePack/one (0.00s)
PASS

TypeScript：

版本一（改变数据源）：

function testMultiPack() {
  const bagSize: number = 10;
  const weightArr: number[] = [1, 3, 4],
    valueArr: number[] = [15, 20, 30],
    amountArr: number[] = [2, 3, 2];
  for (let i = 0, length = amountArr.length; i < length; i++) {
    while (amountArr[i] > 1) {
      weightArr.push(weightArr[i]);
      valueArr.push(valueArr[i]);
      amountArr[i]--;
    }
  }
  const goodsNum: number = weightArr.length;
  const dp: number[] = new Array(bagSize + 1).fill(0);
  // 遍历物品
  for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
    // 遍历背包容量
    for (let j = bagSize; j >= weightArr[i]; j--) {
      dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weightArr[i]] + valueArr[i]);
    }
  }
  console.log(dp);
}
testMultiPack();

版本二（改变遍历方式）：

function testMultiPack() {
  const bagSize: number = 10;
  const weightArr: number[] = [1, 3, 4],
    valueArr: number[] = [15, 20, 30],
    amountArr: number[] = [2, 3, 2];
  const goodsNum: number = weightArr.length;
  const dp: number[] = new Array(bagSize + 1).fill(0);
  // 遍历物品
  for (let i = 0; i < goodsNum; i++) {
    // 遍历物品个数
    for (let j = 0; j < amountArr[i]; j++) {
      // 遍历背包容量
      for (let k = bagSize; k >= weightArr[i]; k--) {
        dp[k] = Math.max(dp[k], dp[k - weightArr[i]] + valueArr[i]);
      }
    }
  }
  console.log(dp);
}
testMultiPack();