diff --git "a/problems/0279.\345\256\214\345\205\250\345\271\263\346\226\271\346\225\260.md" "b/problems/0279.\345\256\214\345\205\250\345\271\263\346\226\271\346\225\260.md" index f7c06dbd87..b71b69f473 100644 --- "a/problems/0279.\345\256\214\345\205\250\345\271\263\346\226\271\346\225\260.md" +++ "b/problems/0279.\345\256\214\345\205\250\345\271\263\346\226\271\346\225\260.md" @@ -219,7 +219,7 @@ class Solution { ### Python： -先遍历物品, 再遍历背包 +先遍历背包, 再遍历物品 ```python class Solution: def numSquares(self, n: int) -> int: @@ -234,7 +234,7 @@ class Solution: return dp[n] ``` -先遍历背包, 再遍历物品 +先遍历物品, 再遍历背包 ```python class Solution: def numSquares(self, n: int) -> int: @@ -389,7 +389,7 @@ function numSquares(n: number): number { }; ``` -## C +### C ```c #define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a)) diff --git "a/problems/kama0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" "b/problems/kama0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" deleted file mode 100644 index 1000eed75d..0000000000 --- "a/problems/kama0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" +++ /dev/null @@ -1,57 +0,0 @@ - -# Floyd 算法精讲 - -[卡码网：97. 小明逛公园](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1155) - -【题目描述】 - -小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。 - - -给定一个公园景点图，图中有 N 个景点（编号为 1 到 N），以及 M 条双向道路连接着这些景点。每条道路上行走的距离都是已知的。 - - -小明有 Q 个观景计划，每个计划都有一个起点 start 和一个终点 end，表示他想从景点 start 前往景点 end。由于小明希望节省体力，他想知道每个观景计划中从起点到终点的最短路径长度。 请你帮助小明计算出每个观景计划的最短路径长度。 - -【输入描述】 - -第一行包含两个整数 N, M, 分别表示景点的数量和道路的数量。 - -接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。 - -接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。 - -接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。 - -【输出描述】 - -对于每个观景计划，输出一行表示从起点到终点的最短路径长度。如果两个景点之间不存在路径，则输出 -1。 - -【输入示例】 - -7 3 -1 2 4 -2 5 6 -3 6 8 -2 -1 2 -2 3 - -【输出示例】 - -4 --1 - -【提示信息】 - -从 1 到 2 的路径长度为 4，2 到 3 之间并没有道路。 - -1 <= N, M, Q <= 1000. - -## 思路 - -本题是经典的多源最短路问题。 - -我们之前讲解过的算法，dijkstra， - - diff --git "a/problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" "b/problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" similarity index 98% rename from "problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" rename to "problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" index 0cb5930182..b93138a78a 100644 --- "a/problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" +++ "b/problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\345\240\206.md" @@ -19,7 +19,7 @@ 【输出描述】 -输出一个整数，代表小明在途中和其他科学家和科研团队交流所花费的最少时间。 +输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。 输入示例 @@ -519,7 +519,7 @@ int main() { 所以边添加一次时间复杂度是 O(E)， `while (!pq.empty())` 里每次都要弹出一个边来进行操作，在优先级队列（小顶堆）中 弹出一个元素的时间复杂度是 O(logE) ，这是堆排序的时间复杂度。 -（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总是是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出） +（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总之是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出） 所以 该算法整体时间复杂度为 O（ElogE) @@ -537,7 +537,7 @@ int main() { 也行的。 -但 正是因为稀疏图，所以我们使用堆优化的思路， 如果我们还用 邻接矩阵 去表达这个图的话，就是 一个高效的算法 使用了低效的数据结构，那么 整体算法效率 依然是低的。 +但 正是因为稀疏图，所以我们使用堆优化的思路， 如果我们还用 邻接矩阵 去表达这个图的话，就是 **一个高效的算法 使用了低效的数据结构，那么 整体算法效率 依然是低的**。 如果还不清楚为什么要使用 邻接表，可以再看看上面 我在 「图的存储」标题下的讲解。 @@ -626,7 +626,7 @@ int main() { 正如我在开篇就给大家交代清楚 堆优化方式的背景。 -堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度触发，且利用堆来排序。 +堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度出发且利用堆来排序。 很多录友别说写堆优化 就是看 堆优化的代码也看的很懵。 diff --git "a/problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" "b/problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" similarity index 99% rename from "problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" rename to "problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" index 957d471afd..295d3aec15 100644 --- "a/problems/kama0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" +++ "b/problems/kamacoder/0047.\345\217\202\344\274\232dijkstra\346\234\264\347\264\240.md" @@ -19,7 +19,7 @@ 【输出描述】 -输出一个整数，代表小明在途中和其他科学家和科研团队交流所花费的最少时间。 +输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。 输入示例 diff --git "a/problems/kama0053.\345\257\273\345\256\235-Kruskal.md" "b/problems/kamacoder/0053.\345\257\273\345\256\235-Kruskal.md" similarity index 100% rename from "problems/kama0053.\345\257\273\345\256\235-Kruskal.md" rename to "problems/kamacoder/0053.\345\257\273\345\256\235-Kruskal.md" diff --git "a/problems/kama0053.\345\257\273\345\256\235-prim.md" "b/problems/kamacoder/0053.\345\257\273\345\256\235-prim.md" similarity index 100% rename from "problems/kama0053.\345\257\273\345\256\235-prim.md" rename to "problems/kamacoder/0053.\345\257\273\345\256\235-prim.md" diff --git "a/problems/kama0054.\346\233\277\346\215\242\346\225\260\345\255\227.md" "b/problems/kamacoder/0054.\346\233\277\346\215\242\346\225\260\345\255\227.md" similarity index 100% rename from "problems/kama0054.\346\233\277\346\215\242\346\225\260\345\255\227.md" rename to "problems/kamacoder/0054.\346\233\277\346\215\242\346\225\260\345\255\227.md" diff --git "a/problems/kama0055.\345\217\263\346\227\213\345\255\227\347\254\246\344\270\262.md" "b/problems/kamacoder/0055.\345\217\263\346\227\213\345\255\227\347\254\246\344\270\262.md" similarity index 100% rename from "problems/kama0055.\345\217\263\346\227\213\345\255\227\347\254\246\344\270\262.md" rename to "problems/kamacoder/0055.\345\217\263\346\227\213\345\255\227\347\254\246\344\270\262.md" diff --git "a/problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" "b/problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" similarity index 57% rename from "problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" rename to "problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" index 634a33a04e..f41d6fd121 100644 --- "a/problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" +++ "b/problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I-SPFA.md" @@ -1,7 +1,7 @@ # Bellman_ford 队列优化算法（又名SPFA） -[卡码网： 94. 城市间货物运输 I](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1152) +[卡码网：94. 城市间货物运输 I](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1152) 题目描述 @@ -16,6 +16,8 @@ 城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。 +> 负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。 + 输入描述 第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 @@ -68,7 +70,7 @@ 基于以上思路，如何记录 上次松弛的时候更新过的节点呢？ -用队列来记录。 +用队列来记录。（其实用栈也行，对元素顺序没有要求） 接下来来举例这个队列是如何工作的。 @@ -115,7 +117,7 @@ 将节点4，节点5 加入队列，如图： -![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240411115527.png) +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240412110348.png) -------------------- @@ -125,7 +127,7 @@ 因为没有从节点3作为出发点的边，所以这里就从队列里取出节点3就好，不用做其他操作，如图： -![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240411115515.png) +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240412110420.png) ------------ @@ -138,7 +140,7 @@ 如图： -![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240411115451.png) +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240412110445.png) --------------- @@ -151,10 +153,13 @@ 如图： -![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240411115436.png) +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240412110509.png) + + +因为节点3，和 节点6 都曾经加入过队列，不用重复加入，避免重复计算。 -因为节点3，和 节点6 都曾经加入过队列，不用重复加入，避免重复计算。 +在代码中我们可以用一个数组 visited 来记录入过队列的元素，加入过队列的元素，不再重复入队列。 -------------- @@ -172,16 +177,16 @@ 这样我们就完成了基于队列优化的bellman_ford的算法模拟过程。 -大家可以发现 基于队列优化的算法，要比bellman_ford 算法 减少很多无用的松弛情况，特别是对于边树众多的大图 优化效果明显。 +大家可以发现 基于队列优化的算法，要比bellman_ford 算法 减少很多无用的松弛情况，特别是对于边数众多的大图 优化效果明显。 了解了大体流程，我们再看代码应该怎么写。 在上面模拟过程中，我们每次都要知道 一个节点作为出发点 链接了哪些节点。 -如果想方便这道这些数据，就需要使用邻接表来存储这个图，如果对于邻接表不了解的话，可以看 [kama0047.参会dijkstra堆](./kama0047.参会dijkstra堆.md) 中 图的存储 部分。 +如果想方便知道这些数据，就需要使用邻接表来存储这个图，如果对于邻接表不了解的话，可以看 [kama0047.参会dijkstra堆](./kama0047.参会dijkstra堆.md) 中 图的存储 部分。 -代码如下： +整体代码如下： ```CPP #include @@ -218,24 +223,19 @@ int main() { minDist[start] = 0; queue que; - que.push(start); - int que_size; + que.push(start); // 队列里放入起点 + while (!que.empty()) { - // 注意这个数组放的位置 - vector visited(n + 1, false); // 可加，可不加，加了效率高一些，防止队列里重复访问，其数值已经算过了 - que_size = que.size(); int node = que.front(); que.pop(); for (Edge edge : grid[node]) { int from = node; int to = edge.to; - int price = edge.val; - if (minDist[to] > minDist[from] + price) { // 开始松弛 - minDist[to] = minDist[from] + price; - if(visited[to]) continue; // 节点不用重复放入队列，但节点需要重复计算，所以放在这里位置 - visited[to] = true; - que.push(to); + int value = edge.val; + if (minDist[to] > minDist[from] + value) { // 开始松弛 + minDist[to] = minDist[from] + value; + que.push(to); } } @@ -244,41 +244,103 @@ int main() { if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点 else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径 } + ``` -代码中有一点需要注意，即 `if(visited[to]) continue;` 这段代码放的位置。 +## 效率分析 + +队列优化版Bellman_ford 的时间复杂度 并不稳定，效率高低依赖于图的结构。 + +例如 如果是一个双向图，且每一个节点和所有其他节点都相连的话，那么该算法的时间复杂度就接近于 Bellman_ford 的 O(N * E) N 为节点数量，E为边的数量。 + +在这种图中，每一个节点都会重复加入队列 n - 1次，因为 这种图中 每个节点 都有 n-1 条指向该节点的边，每条边指向该节点，就需要加入一次队列。（如果这里看不懂，可以在重温一下代码逻辑） + +至于为什么 双向图且每一个节点和所有其他节点都相连的话，每个节点 都有 n-1 条指向该节点的边， 我再来举个例子，如图： + +[](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240416104138.png) + +图中 每个节点都与其他所有节点相连，节点数n 为 4，每个节点都有3条指向该节点的边，即入度为3。 +n为其他数值的时候，也是一样的。 -一些录友可能写成这样： +当然这种图是比较极端的情况，也是最稠密的图。 + +所以如果图越稠密，则 SPFA的效率越接近与 Bellman_ford。 + +反之，图越稀疏，SPFA的效率就越高。 + +一般来说，SPFA 的时间复杂度为 O(K * N) K 为不定值，因为 节点需要计入几次队列取决于 图的稠密度。 + +如果图是一条线形图且单向的话，每个节点的入度为1，那么只需要加入一次队列，这样时间复杂度就是 O(N)。 + +所以 SPFA 在最坏的情况下是 O(N * E)，但 一般情况下 时间复杂度为 O(K * N)。 + +尽管如此，**以上分析都是 理论上的时间复杂度分析**。 + +并没有计算 出队列 和 入队列的时间消耗。 因为这个在不同语言上 时间消耗也是不一定的。 + +以C++为例，以下两端代码理论上，时间复杂度都是 O(n) ： ```CPP -if (minDist[to] > minDist[from] + price) { // 开始松弛 - if(visited[to]) continue; - minDist[to] = minDist[from] + price; - visited[to] = true; - que.push(to); +for (long long i = 0; i < n; i++) { + k++; } -``` - -这是不对了，我们仅仅是控制节点不用重复加入队列，但对于边的松弛，节点数值的更新，是要重复计算的，要不然如何 不断更新最短路径呢？ -所以 `if(visited[to]) continue;` 应该放在这里： +``` ```CPP -if (minDist[to] > minDist[from] + price) { // 开始松弛 - minDist[to] = minDist[from] + price; - if(visited[to]) continue; // 仅仅控制节点不要重复加入队列 - visited[to] = true; - que.push(to); +for (long long i = 0; i < n; i++) { + que.push(i); + que.front(); + que.pop(); } + ``` +在 MacBook Pro (13-inch, M1, 2020) 机器上分别测试这两段代码的时间消耗情况： + +* n = 10^4，第一段代码的时间消耗：1ms，第二段代码的时间消耗： 4 ms +* n = 10^5，第一段代码的时间消耗：1ms，第二段代码的时间消耗： 13 ms +* n = 10^6，第一段代码的时间消耗：4ms，第二段代码的时间消耗： 59 ms +* n = 10^7，第一段代码的时间消耗: 24ms，第二段代码的时间消耗： 463 ms +* n = 10^8，第一段代码的时间消耗: 135ms，第二段代码的时间消耗： 4268 ms + +在这里就可以看出 出队列和入队列 其实也是十分耗时的。 + +SPFA（队列优化版Bellman_ford） 在理论上 时间复杂度更胜一筹，但实际上，也要看图的稠密程度，如果 图很大且非常稠密的情况下，虽然 SPFA的时间复杂度接近Bellman_ford，但实际时间消耗 可能是 SPFA耗时更多。 +针对这种情况，我在后面题目讲解中，会特别加入稠密图的测试用例来给大家讲解。 ## 拓展 -关于 加visited 方式节点重复方便，可能也有录友认为，加上 visited 也是防止 如果图中出现了环的话，会导致的 队列里一直不为空。 +这里可能有录友疑惑，`while (!que.empty())` 队里里 会不会造成死循环？ 例如 图中有环，这样一直有元素加入到队列里？ + +其实有环的情况，要看它是 正权回路 还是 负全回路。 + +题目描述中，已经说了，本题没有 负权回路 。 + +如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240412111849.png) + +正权回路 就是有环，但环的总权值为正数。 + +在有环且只有正权回路的情况下，即使元素重复加入队列，最后，也会因为 所有边都松弛后，节点数值（minDist数组）不在发生变化了 而终止。 + +（而且有重复元素加入队列是正常的，多条路径到达同一个节点，节点必要要选择一个最短的路径，而这个节点就会重复加入队列进行判断，选一个最短的） + +在[0094.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md) 中我们讲过对所有边 最多松弛 n -1 次，就一定可以求出所有起点到所有节点的最小距离即 minDist数组。 + +即使再松弛n次以上， 所有起点到所有节点的最小距离（minDist数组） 不会再变了。 （这里如果不理解，建议认真看[0094.城市间货物运输I](./0094.城市间货物运输I.md)讲解） + +所以本题我们使用队列优化，有元素重复加入队列，也会因为最后 minDist数组 不会在发生变化而终止。 + +节点再加入队列，需要有松弛的行为， 而 每个节点已经都计算出来 起点到该节点的最短路径，那么就不会有 执行这个判断条件`if (minDist[to] > minDist[from] + value)`，从而不会有新的节点加入到队列。 + +但如果本题有 负权回路，那情况就不一样了，我在下一题目讲解中，会重点讲解 负权回路 带来的变化。 + + diff --git "a/problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" "b/problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" similarity index 98% rename from "problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" rename to "problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" index 50c59ea7c0..0ce00bbf1d 100644 --- "a/problems/kama0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" +++ "b/problems/kamacoder/0094.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223I.md" @@ -16,6 +16,8 @@ 城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。 +> 负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。 + 输入描述 第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 @@ -55,6 +57,7 @@ **Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路**。 +## 什么叫做松弛 看到这里，估计大家都比较晕了，为什么是 n-1 次，那“松弛”这两个字究竟是个啥意思？ diff --git "a/problems/kama0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" "b/problems/kamacoder/0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" similarity index 72% rename from "problems/kama0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" rename to "problems/kamacoder/0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" index e9387c7312..1dd14f5816 100644 --- "a/problems/kama0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" +++ "b/problems/kamacoder/0095.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223II.md" @@ -11,7 +11,7 @@ 权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。 -然而，在评估从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中综合政府补贴后的最低运输成本时，存在一种情况：图中可能出现负权回路。 +然而，在评估从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中综合政府补贴后的最低运输成本时，存在一种情况：**图中可能出现负权回路**。 负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。 @@ -151,3 +151,90 @@ int main() { * 时间复杂度： O(N * E) , N为节点数量，E为图中边的数量 * 空间复杂度： O(N) ，即 minDist 数组所开辟的空间 + +## 拓展 + +本题可不可 使用 队列优化版的bellman_ford（SPFA）呢？ + +上面的解法中，我们对所有边松弛了n-1次后，在松弛一次，如果出现minDist出现变化就判断有负权回路。 + +如果使用 SPFA 那么节点都是进队列的，那么节点进入队列几次后 足够判断该图是否有负权回路呢？ + +在 [0094.城市间货物运输I-SPFA](./0094.城市间货物运输I-SPFA) 中，我们讲过 在极端情况下，即：所有节点都与其他节点相连，每个节点的入度为 n-1 （n为节点数量），所以每个节点最多加入 n-1 次队列。 + +那么如果节点加入队列的次数 超过了 n-1次 ，那么该图就一定有负权回路。 + +所以本题也是可以使用 SPFA 来做的。 代码如下： + +```CPP +#include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +struct Edge { //邻接表 + int to; // 链接的节点 + int val; // 边的权重 + + Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数 +}; + + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid(n + 1); // 邻接表 + + // 将所有边保存起来 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); + } + int start = 1; // 起点 + int end = n; // 终点 + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + minDist[start] = 0; + + queue que; + que.push(start); // 队列里放入起点 + + vector count(n+1, 0); // 记录节点加入队列几次 + count[start]++; + + bool flag = false; + while (!que.empty()) { + + int node = que.front(); que.pop(); + + for (Edge edge : grid[node]) { + int from = node; + int to = edge.to; + int value = edge.val; + if (minDist[to] > minDist[from] + value) { // 开始松弛 + minDist[to] = minDist[from] + value; + que.push(to); + count[to]++; + if (count[to] == n) {// 如果加入队列次数超过 n-1次 就说明该图与负权回路 + flag = true; + while (!que.empty()) que.pop(); + break; + } + } + } + } + + if (flag) cout << "circle" << endl; + else if (minDist[end] == INT_MAX) { + cout << "unconnected" << endl; + } else { + cout << minDist[end] << endl; + } + +} + +``` diff --git "a/problems/kama0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" "b/problems/kamacoder/0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" similarity index 68% rename from "problems/kama0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" rename to "problems/kamacoder/0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" index 10fb03803a..c9d97a9d8e 100644 --- "a/problems/kama0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" +++ "b/problems/kamacoder/0096.\345\237\216\345\270\202\351\227\264\350\264\247\347\211\251\350\277\220\350\276\223III.md" @@ -65,7 +65,7 @@ 图中，节点2 最多已经经过2个节点 到达节点4，那么中间是有多少条边呢，是 3 条边对吧。 -所以本题就是求，起点最多经过k + 1 条边到达终点的最短距离。 +所以本题就是求：起点最多经过k + 1 条边到达终点的最短距离。 对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离，那么对所有边松弛 k + 1次，就是求 起点到达 与起点k + 1条边相连的节点的 最短距离。 @@ -339,7 +339,7 @@ int main() { 其实这是和示例中给出的边的顺序是有关的， -我们按照我修改后的示例再来模拟 对所有边的第一次拓展情况。 +我们按照修改后的示例再来模拟 对所有边的第一次拓展情况。 初始化： @@ -366,20 +366,17 @@ int main() { 那么前面讲解过的 [94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md) 和 [95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 也是bellman_ford经典算法，也没使用 minDist_copy，怎么就没问题呢？ -> 如果没看过我上面这两篇讲解的话，建议详细学习上面两篇，在看我下面讲的区别，否则容易看不懂。 +> 如果没看过我上面这两篇讲解的话，建议详细学习上面两篇，再看我下面讲的区别，否则容易看不懂。 [94.城市间货物运输I](./kama94.城市间货物运输I.md)， 是没有 负权回路的，那么 多松弛多少次，对结果都没有影响。 求 节点1 到 节点n 的最短路径，松弛n-1 次就够了，松弛 大于 n-1次，结果也不会变。 -那么在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 最近计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），也是对最终结果没影响。 +那么在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 本次计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），也是对最终结果没影响。 -[95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 是判断是否有 负权回路，一旦有负权回路， 对所有边松弛 n -1 次以后，在做松弛 minDist 数值一定会变，根据这一点是判断是否有负权回路。 - -所以 在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 最近计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），对最后判断是否有负权回路同样没有影响。 - -你可以理解 minDist的数组其实是不准确了，但它只要变化了就可以让我们来判断 是否有 负权回路。 +[95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 是判断是否有 负权回路，一旦有负权回路， 对所有边松弛 n-1 次以后，在做松弛 minDist 数值一定会变，根据这一点来判断是否有负权回路。 +所以，[95.城市间货物运输II](./kama95.城市间货物运输II.md) 只需要判断minDist数值变化了就行，而 minDist 的数值对不对，并不是我们关心的。 那么本题 为什么计算minDist 一定要基于上次 的 minDist 数值。 @@ -390,3 +387,199 @@ int main() { 如果本题中 没有负权回路的测试用例， 那版本一的代码就可以过了，也就不用我费这么大口舌去讲解的这个坑了。 +## 拓展三（SPFA） + +本题也可以用 SPFA来做，关于 SPFA ，已经在这里 [0094.城市间货物运输I-SPFA](./0094.城市间货物运输I-SPFA.md) 有详细讲解。 + +使用SPFA算法解决本题的时候，关键在于 如何控制松弛k次。 + +其实实现不难，但有点技巧，可以用一个变量 que_size 记录每一轮松弛入队列的所有节点数量。 + +下一轮松弛的时候，就把队列里 que_size 个节点都弹出来，就是上一轮松弛入队列的节点。 + +代码如下（详细注释） + +```CPP +#include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +struct Edge { //邻接表 + int to; // 链接的节点 + int val; // 边的权重 + + Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数 +}; + + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid(n + 1); // 邻接表 + + // 将所有边保存起来 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); + } + int start, end, k; + cin >> start >> end >> k; + + k++; + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + vector minDist_copy(n + 1); // 用来记录每一次遍历的结果 + + minDist[start] = 0; + + queue que; + que.push(start); // 队列里放入起点 + + int que_size; + while (k-- && !que.empty()) { + + minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果 + que_size = que.size(); // 记录上次入队列的节点个数 + while (que_size--) { // 上一轮松弛入队列的节点，这次对应的边都要做松弛 + int node = que.front(); que.pop(); + for (Edge edge : grid[node]) { + int from = node; + int to = edge.to; + int price = edge.val; + if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) { + minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + que.push(to); + } + } + + } + } + if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; + else cout << minDist[end] << endl; + +} + +``` + +时间复杂度： O(K * H) H 为不确定数，取决于 图的稠密度，但H 一定是小于等于 E 的 + +关于 SPFA的是时间复杂度分析，我在[0094.城市间货物运输I-SPFA](./0094.城市间货物运输I-SPFA.md) 有详细讲解 + +但大家会发现，以上代码大家提交后，怎么耗时这么多？ + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240418113308.png) + +理论上，SPFA的时间复杂度不是要比 bellman_ford 更优吗？ + +怎么耗时多了这么多呢？ + +以上代码有一个可以改进的点，每一轮松弛中，重复节点可以不用入队列。 + +因为重复节点入队列，下次从队列里取节点的时候，该节点要取很多次，而且都是重复计算。 + +所以代码可以优化成这样： + +```CPP +#include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; + +struct Edge { //邻接表 + int to; // 链接的节点 + int val; // 边的权重 + + Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数 +}; + + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid(n + 1); // 邻接表 + + // 将所有边保存起来 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + // p1 指向 p2，权值为 val + grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); + } + int start, end, k; + cin >> start >> end >> k; + + k++; + + vector minDist(n + 1 , INT_MAX); + vector minDist_copy(n + 1); // 用来记录每一次遍历的结果 + + minDist[start] = 0; + + queue que; + que.push(start); // 队列里放入起点 + + int que_size; + while (k-- && !que.empty()) { + + vector visited(n + 1, false); // 每一轮松弛中，控制节点不用重复入队列 + minDist_copy = minDist; + que_size = que.size(); + while (que_size--) { + int node = que.front(); que.pop(); + for (Edge edge : grid[node]) { + int from = node; + int to = edge.to; + int price = edge.val; + if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) { + minDist[to] = minDist_copy[from] + price; + if(visited[to]) continue; // 不用重复放入队列，但需要重复松弛，所以放在这里位置 + visited[to] = true; + que.push(to); + } + } + + } + } + if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl; + else cout << minDist[end] << endl; +} +``` + +以上代码提交后，耗时情况： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240418113952.png) + +大家发现 依然远比 bellman_ford 的代码版本 耗时高。 + +这又是为什么呢？ + +可以发现耗时主要是在 第8组数据上： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240418114511.png) + +其实第八组数据是我特别制作的一个 稠密大图，该图有250个节点和10000条边， 在这种情况下， SPFA 的时间复杂度 是接近与 bellman_ford的。 + +但因为 SPFA 节点的进出队列操作，耗时很大，所以相同的时间复杂度的情况下，SPFA 实际上更耗时了。 + +这一点我在 [0094.城市间货物运输I-SPFA](./0094.城市间货物运输I-SPFA.md) 有分析，感兴趣的录友再回头去看看。 + +## 总结 + +本题是单源有限最短路问题，也是 bellman_ford的一个拓展问题，如果理解bellman_ford 其实思路比较容易理解，但有很多细节。 + +例如 为什么要用 minDist_copy 来记录上一轮 松弛的结果。 这也是本篇我为什么花了这么大篇幅讲解的关键所在。 + +接下来，还给大家多了三个拓展： + +* 边的顺序的影响 +* 本题的本质 +* SPFA的解法 + +学透了以上三个拓展，相信大家会对bellman_ford有更深入的理解。 diff --git "a/problems/kamacoder/0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" "b/problems/kamacoder/0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" new file mode 100644 index 0000000000..b2afc482fd --- /dev/null +++ "b/problems/kamacoder/0097.\345\260\217\346\230\216\351\200\233\345\205\254\345\233\255.md" @@ -0,0 +1,367 @@ + +# Floyd 算法精讲 + +[卡码网：97. 小明逛公园](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1155) + +【题目描述】 + +小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。 + + +给定一个公园景点图，图中有 N 个景点（编号为 1 到 N），以及 M 条双向道路连接着这些景点。每条道路上行走的距离都是已知的。 + + +小明有 Q 个观景计划，每个计划都有一个起点 start 和一个终点 end，表示他想从景点 start 前往景点 end。由于小明希望节省体力，他想知道每个观景计划中从起点到终点的最短路径长度。 请你帮助小明计算出每个观景计划的最短路径长度。 + +【输入描述】 + +第一行包含两个整数 N, M, 分别表示景点的数量和道路的数量。 + +接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。 + +接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。 + +接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。 + +【输出描述】 + +对于每个观景计划，输出一行表示从起点到终点的最短路径长度。如果两个景点之间不存在路径，则输出 -1。 + +【输入示例】 + +7 3 +1 2 4 +2 5 6 +3 6 8 +2 +1 2 +2 3 + +【输出示例】 + +4 +-1 + +【提示信息】 + +从 1 到 2 的路径长度为 4，2 到 3 之间并没有道路。 + +1 <= N, M, Q <= 1000. + +## 思路 + +本题是经典的多源最短路问题。 + +在这之前我们讲解过，dijkstra朴素版、dijkstra堆优化、Bellman算法、Bellman队列优化（SPFA） 都是单源最短路，即只能有一个起点。 + +而本题是多源最短路，即 求多个起点到多个终点的多条最短路径。 + +通过本题，我们来系统讲解一个新的最短路算法-Floyd 算法。 + +Floyd 算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。 + +Floyd算法核心思想是动态规划。 + +例如我们再求节点1 到 节点9 的最短距离，用二维数组来表示即：grid[1][9]，如果最短距离是10 ，那就是 grid[1][9] = 10。 + +那 节点1 到 节点9 的最短距离 是不是可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成呢？ + +即 grid[1][9] = grid[1][5] + grid[5][9] + +节点1 到节点5的最短距离 是不是可以有 节点1 到 节点3的最短距离 + 节点3 到 节点5 的最短距离组成呢？ + +即 grid[1][5] = grid[1][3] + grid[3][5] + +以此类推，节点1 到 节点3的最短距离 可以由更小的区间组成。 + +那么这样我们是不是就找到了，子问题推导求出整体最优方案的递归关系呢。 + +而节点1 到 节点9 的最短距离 可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成， 也可以有 节点1 到节点7的最短距离 + 节点7 到节点9的最短距离的距离组成。 + +那么选哪个呢？ + +是不是 要选一个最小的，毕竟是求最短路。 + +此时我们已经接近明确递归公式了。 + +之前在讲解动态规划的时候，给出过动规五部曲： + +* 确定dp数组（dp table）以及下标的含义 +* 确定递推公式 +* dp数组如何初始化 +* 确定遍历顺序 +* 举例推导dp数组 + +那么接下来我们还是用这五部来给大家讲解 Floyd。 + +1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义 + +这里我们用 grid数组来存图，那就把dp数组命名为 grid。 + +grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。 + +可能有录友会想： 节点i 到 节点j 的最短距离为m，这句话可以理解，但 以[1...k]集合为中间节点 理解不辽。 + +节点i 到 节点j 的最短路径中 一定是经过很多节点，那么这个集合用[1...k] 来表示。 + +k不能单独指某个节点，因为谁说 节点i 到节点j的最短路径中 一定只有一个节点呢，所以k 一定要表示一个集合，即[1...k] ，表示节点1 到 节点k 一共k个节点的集合。 + + +2、确定递推公式 + +在上面的分析中我们已经初步感受到了递推的关系。 + +我们分两种情况： + +1. 节点i 到 节点j 的最短路径经过节点k +2. 节点i 到 节点j 的最短路径不经过节点k + +对于第一种情况，`grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]` + +节点i 到 节点k 的最短距离 是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以 表示为`grid[i][k][k - 1]` + +节点k 到 节点j 的最短距离 也是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以表示为 `grid[k][j][k - 1]` + +第二种情况，`grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]` + +如果节点i 到 节点j的最短距离 不经过节点k，那么 中间节点集合[1...k-1]，表示为 `grid[i][j][k - 1]` + +因为我们是求最短路，对于这两种情况自然是取最小值。 + +即： `grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])` + + +3、dp数组如何初始化 + +grid[i][j][k] = m，表示 节点i 到 节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。 + +刚开始初始化k 是不确定的。 + +例如题目中只是输入边（节点2 -> 节点6，权值为3），那么grid[2][6][k] = 3，k需要填什么呢？ + +把k 填成1，那如何上来就知道 节点2 经过节点1 到达节点6的最短距离是3 呢。 + +所以 只能 把k 赋值为 0，本题 节点0 是无意义的，节点是从1 到 n。 + +这样我们在下一轮计算的时候，就可以根据 grid[i][j][0] 来计算 grid[i][j][1]，此时的 grid[i][j][1] 就是 节点i 经过节点1 到达 节点j 的最小距离了。 + + + + +**初始化这里要画图，对后面的遍历顺序理解很重要** + +所以初始化： + +```CPP +vector>> grid(n + 1, vector>(n + 1, vector(n + 1, 10005))); // C++定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4 + +for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + grid[p1][p2][0] = val; + grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图 +} + +``` + +grid数组中其他元素数值应该初始化多少呢？ + +本题求的是最小值，所以输入数据没有涉及到的节点的情况都应该初始为一个最大数。 + +这样才不会影响，每次计算去最小值的时候，初始值对计算结果的影响。 + +所以grid数组的定义可以是： + +```CPP +// C++写法，定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4 +vector>> grid(n + 1, vector>(n + 1, vector(n + 1, 10005))); + +``` + +4、确定遍历顺序 + +从递推公式：`grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])` 可以看出，我们需要三个for循环，分别遍历i，j 和k + +而 k 依赖于 k - 1， i 和j 的到 并不依赖与 i - 1 或者 j - 1 等等。 + +那么这三个for的嵌套顺序应该是什么样的呢？ + +我们来看初始化，我们是把 k =0 的 i 和j 对应的数值都初始化了，这样才能去计算 k = 1 的时候 i 和 j 对应的数值。 + +这就好比是一个三维坐标，i 和j 是平层，而k 是 垂直向上 的。 + +遍历的顺序是从底向上 一层一层去遍历。 + +所以遍历k 的for循环一定是在最外面，这样才能 水平方向一层一层去遍历。如图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240424120109.png) + +至于遍历 i 和 j 的话，for 循环的先后顺序无所谓。 + +代码如下： + +```CPP +for (int k = 1; k <= n; k++) { + for (int i = 1; i <= n; i++) { + for (int j = 1; j <= n; j++) { + grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]); + } + } +} +``` + +有录友可能想，难道 遍历k 放在最里层就不行吗？ + +k 放在最里层，代码是这样： + +```CPP +for (int i = 1; i <= n; i++) { + for (int j = 1; j <= n; j++) { + for (int k = 1; k <= n; k++) { + grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]); + } + } +} +``` + +此时就遍历了 j 与 k 形成一个平面，i 则是纵面，那遍历 就是这样的： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240424115827.png) + + +而我们初始化，是 k 为0，然后 i 和 j 形成的平面做初始化，如果以 k 和 j 形成的平面去遍历，就造成了 递推公式 用不上上一轮计算的结果，从而导致结果不对（初始化的结果只能用上一部分，因为初始化是 i 与j 形成的平面）。 + +我再给大家举一个测试用例 + +``` +5 4 +1 2 10 +1 3 1 +3 4 1 +4 2 1 +1 +1 2 +``` + +就是图： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240424120942.png) + +就节点1 到 节点 2 的最短距离，运行结果是 10 ，但正确的结果很明显是3。 + +为什么呢？ + +因为 k 放在最里面，先就把 节点1 和 节点 2 的最短距离就确定了，后面再也不会计算节点 1 和 节点 2的距离，同时也不会基于 初始化或者之前计算过的结果来计算，即不会考虑 节点1 到 节点3， 节点3 到节点 4，节点4到节点2 的距离。 + + +而遍历k 的for循环如果放在中间呢，同样是 j 与k 行程一个平面，i 是纵面，遍历的也是这样： + +![](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20240424115827.png) + + +同样不能完全用上初始化 和 上一层计算的结果。 + +很多录友对于 floyd算法的遍历顺序搞不懂，其实 是没有从三维的角度去思考，同时我把三维立体图给大家画出来，遍历顺序标出来，大家就很容易想明白，为什么 k 放在最外层 才能用上 初始化和上一轮计算的结果了。 + + + + +```CPP +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector>> grid(n + 1, vector>(n + 1, vector(n + 1, 10005))); // 因为边的最大距离是10^4 + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + grid[p1][p2][0] = val; + grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图 + + } + // 开始 floyd + for (int k = 1; k <= n; k++) { + for (int i = 1; i <= n; i++) { + for (int j = 1; j <= n; j++) { + grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]); + } + } + } + // 输出结果 + int z, start, end; + cin >> z; + while (z--) { + cin >> start >> end; + if (grid[start][end][n] == 10005) cout << -1 << endl; + else cout << grid[start][end][n] << endl; + } +} + +``` + + + +# 拓展 负权回路 + +本题可以有负数，但不能出现负权回路 + +--------- + +floyd n^3 + +同样多源汇最短路算法 Floyd 也是基于动态规划 + +Floyd 算法可以用来解决多源最短路径问题，它会计算图中每两个点之间的最短路径。 + + Floyd 算法对边权的正负没有限制要求（可处理正负权边的图），且能利用 Floyd 算法可能够对图中负环进行判定 + +LeetCode-1334. 阈值距离内邻居最少的城市 + +https://leetcode.cn/problems/find-the-city-with-the-smallest-number-of-neighbors-at-a-threshold-distance/description/ + +----------- + + +```CPP +#include +#include +#include +using namespace std; + +int main() { + int n, m, p1, p2, val; + cin >> n >> m; + + vector> grid(n, vector(n, 10005)); // 因为边的最大距离是10^4 + + for(int i = 0; i < m; i++){ + cin >> p1 >> p2 >> val; + grid[p1][p2] = val; + grid[p2][p1] = val; // 注意这里是双向图 + + } + // 开始 floyd + for (int p = 0; p < n; p++) { + for (int i = 0; i < n; i++) { + for (int j = 0; j < n; j++) { + grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][p] + grid[p][j]); + } + } + } + // 输出结果 + int z, start, end; + cin >> z; + while (z--) { + cin >> start >> end; + if (grid[start][end] == 10005) cout << -1 << endl; + else cout << grid[start][end] << endl; + } +} + + +``` + +