nth_root_good_rational_approximations.sf

#!/usr/bin/ruby

# Formula for computing good rational approximations to the n-th root of a number.

func f (N, r) {

    var (m, R) = irootrem(N, r)

    (m, R, func (n) is cached {

            return 0 if (n <= r-2)
            return 1 if (n == r-1)

            sum(1..r, {|j|
                binomial(r, j) * m**(r-j) * R**(j-1) * __FUNC__(n-j)
            })
        }
    )
}

var (m, R, g) = f(12, 3)        # approximations for 12^(1/3)

for n in (1..20) {
    var x = g(n)
    var y = g(n+1)

    var t = (m + R*(x/y))

    printf("%20s / %-20s =~ %s\n", t.nude, t.as_dec)
}

__END__
                   2 / 1                    =~ 2
                   7 / 3                    =~ 2.33333333333333333333333333333333333333333333333
                  16 / 7                    =~ 2.28571428571428571428571428571428571428571428571
                 332 / 145                  =~ 2.28965517241379310344827586206896551724137931034
                1147 / 501                  =~ 2.28942115768463073852295409181636726546906187625
                1321 / 577                  =~ 2.28942807625649913344887348353552859618717504333
               54770 / 23923                =~ 2.28942858337165071270325628056681854282489654308
              189235 / 82656                =~ 2.28942847464188927603561749903213317847464188928
              145294 / 63463                =~ 2.28942848588941588011912452925326568236610308369
             9036056 / 3946861              =~ 2.28942848506699374515596064822146004128344018196
            31220341 / 13636740             =~ 2.28942848510714437614855163330825402552222891982
              553174 / 241621               =~ 2.28942848510684087889711573083465427260047760749
          1490785262 / 651160441            =~ 2.28942848510663748997614552570769574744482980655
          5150789707 / 2249814633           =~ 2.2894284851066661188348666945486970703688191364
         11864277296 / 5182200437           =~ 2.28942848510666358079348832411825139136354096217
        245952514832 / 107429656105         =~ 2.28942848510666374156313324819611270969170901452
        849786829867 / 371178586881         =~ 2.28942848510666373577119356984020210953328525666
         17170091683 / 7499728336           =~ 2.2894284851066637355596076086988546087517909262
      40577701627550 / 17723943722863       =~ 2.28942848510666373562258308304493671870237388535
     140199405779275 / 61237731028206       =~ 2.28942848510666373561557077732398691673928325376