关于进制

[toFrankie]

简介

进制（进位制）是一种记数方式，可以用有限的“数字符号”表示所有的数值。

进位表示在一个位值的数字达到基数后，将其重置为零并使高一位的数字加一。

比如，十进制只有 0 ~ 9 这十个数字符号，表示第十一个数（从 0 起），就要进一位，变成 10。其他进制同理。

进制数转换

以 35 为例：

• 二进制：100011
• 八进制：43
• 十进制：35
• 十六进制：23

十进制 → 二进制、八进制、十六进制

整数部分和小数部分的转换规则不太一样。

简单来说：整数部分取余逆序，小数部分乘法取整正序。

以 35.125 为例。

整数部分转二进制：

• 35 / 2：商 17，余数 1
• 17 / 2：商 8，余数 1
• 8 / 2：商 4，余数 0
• 4 / 2：商 2，余数 0
• 2 / 2：商 1，余数 0
• 1 / 2：商 0，余数 1

不断除以 2，直至商为 0。从最后一个余数读起（逆序），便是其二进制数 100011。其他进制同理，除以 8、16。

小数部分转二进制：

• 0.125 * 2：积 0.25，取整数部分 0，剩 0.25
• 0.25 * 2：积 0.5，取整数部分 0，剩 0.5
• 0.5 * 2：积 1，取整数部分 1，剩 0

不断乘以 2，取出结果的整数部分，再余下的小数部分重复计算，直到积的小数部分为 0。从第一个积读起（正序）取其整数部分，便是其二进制数 001。其他进制同理，乘以 8、16。

最后，将整数和小数合起来，十进制数 35.125 对应的二进制数为 100011.001。

小数部分的误差：

有时，不断乘以 2 得到的积的小数部分永远不为 0，但精度要求，因此也会有舍入的操作。

以 0.8 为例：

• 0.8 * 2：积 1.6，取整数部分 1，剩 0.6
• 0.6 * 2：积 1.2，取整数部分 1，剩 0.2
• 0.2 * 2：积 0.4，取整数部分 0，剩 0.4
• 0.4 * 2：积 0.8，取整数部分 0，剩 0.8
• 0.8 * 2：积 1.6，取整数部分 1，剩 0.6
• 无限循环...

对应的二进制为 1100 1100 1100 1100...

二进制、八进制、十六进制 → 十进制

35 用十进制的表示法如下：

$$35 = 3 * 10^1 + 5 * 10^0$$

以从左到右的书写习惯为例，左侧为高位，右侧为低位。

其中 3、5 为位值，10^1、10^0 为权值。

从低位起（从右往左），其权值分别为 10^0、10^1、...、10^n-1（10 表示为对应进制，n 表示位数）。

将每位的位值乘以权值，再求和就是对应的十进制值。

二进制 100011

$$35 = 1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0$$

八进制 43

$$35 = 4 * 8^1 + 3 * 8^0$$

十六进制 23

$$35 = 2 * 16^1 + 3 * 16^0$$

二进制、八进制、十六进制互转

一位八进制用三位二进制表示，一位十六进制用四位二进制表示。位数不够，高位补零。

• 二进制 100011
• 八进制 100 011 → 43
• 十六进制 0010 0011 → 23

十六进制转八进制，可以先转为二进制，再转为八进制。

位运算

未完待续...