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作业说明

实现 SGP 2008 的 ARAP (As-rigid-as-possible) 参数化算法¹

0. 材料

新增

非封闭网格（一条边界）

• Beetle_ABF.obj
• Cow_dABF.obj
• Gargoyle_ABF.obj
• Isis_dABF.obj

纹理图片

下载链接：green_checkerboard.png

1. 基础知识

1.1 线性化参数方法

作业 4 中的参数化方法是将边界进行固定，能保持 valid (flip-free) 的参数化结果，但是三角形的形变较大

思考：三角形的形变量度量？

1.2 非线性参数化方法

如果不固定边界，边界的点也有自由度进行移动，能减小三角形的形变量，从而得到更好的参数化结果

1.3 ARAP 参数化方法

$$ E(u,A)=\sum_{t=1}^T\Delta_i|J(L_t(u))-A_t|^2_F $$ 其中 $\Delta_t$ 是 3D 三角形的面积，$J(L_t(u))$ 是 $L_t$ 的 Jacobian 矩阵

2. 实现步骤

• 首先实现 ASAP 算法，进一步熟悉网格 Laplacian 矩阵的构建及求解稀疏方程组
• 其次实现 ARAP 算法
  • 局部步骤：相对简单
  • 全局步骤：矩阵结构不变，元素需要更新
• 如果有时间，可实现下文中的 ASAP 方法与 ARAP 方法之间的 Hybrid 方法（可选）
• [0. 材料](#0. 材料) 给了一些文中所使用的带有边界的网格数据及测试纹理，使用这些数据来做测试即可
• 在课程百度云中的目录 Homework/Homework5/bin 中有可执行程序，能生成 ASAP、ARAP、Hybrid 方法的结果，可利用其进行参考对比

参考文献

Footnotes

1. Ligang Liu, et al. "A local/global approach to mesh parameterization." Computer Graphics Forum (Proc. SGP). , 2008. ↩