From 450a2f1a6d72ac936c6a538d334d1b72b5ddf5e7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Raniere Silva Date: Sun, 18 Aug 2013 11:08:29 -0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Utiliza=C3=A7=C3=A3o=20de=20UTF-8?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- cover.tex | 10 +- lista1.tex | 1172 ++++++++++++++++++++++++++----------------- lista2.tex | 74 +-- lista3.tex | 46 +- lista4.tex | 80 +-- lista5.tex | 8 +- lista6.tex | 8 +- lista7.tex | 8 +- lista8.tex | 8 +- maintainer.tex | 2 +- maintainer_name.tex | 2 +- packages.tex | 8 +- paper_size.tex | 4 +- repository.tex | 2 +- template.tex | 8 +- 15 files changed, 835 insertions(+), 605 deletions(-) diff --git a/cover.tex b/cover.tex index 8215012..ebdf065 100644 --- a/cover.tex +++ b/cover.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: cover.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the cover. % @@ -17,7 +17,7 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \begin{center} - \LARGE{Solu\c{c}\~{o}es para MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, e F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II} + \LARGE{Soluções para MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, e F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II} \Large{\mycheader} \end{center} @@ -25,12 +25,12 @@ \begin{tabular}{|p{.9\textwidth}|} \hline -Este trabalho foi licenciado com a Licen\c{c}a Creative Commons Atribui\c{c}\~{a}o - CompartilhaIgual 3.0 N\~{a}o Adaptada. Para ver uma c\'{o}pia desta licen\c{c}a, visite \url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/} ou envie um pedido por carta para Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. +Este trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma c\'{o}pia desta licença, visite \url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/} ou envie um pedido por carta para Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. \begin{center} \includegraphics[scale=1]{cc-by-sa.png} \end{center} -Este trabalho encontra-se dispon\'{i}vel em \input{repository.tex} e atualmente \'{e} mantido por \input{maintainer_name.tex} (\input{maintainer.tex}). +Este trabalho encontra-se dispon\'{i}vel em \input{repository.tex} e atualmente é mantido por \input{maintainer_name.tex} (\input{maintainer.tex}). -Este trabalho \'{e} distribuido na esperança que possa ser \'{u}til, mas SEM NENHUMA GARANTIA; sem uma garantia implicita de ADEQUA\c{C}\~{A}O a qualquer MERCADO ou APLICA\c{C}\~{A}O EM PARTICULAR. +Este trabalho é distribuido na esperança que possa ser \'{u}til, mas SEM NENHUMA GARANTIA; sem uma garantia implicita de ADEQUA\c{C}\~{A}O a qualquer MERCADO ou APLICA\c{C}\~{A}O EM PARTICULAR. \\ \hline \end{tabular} diff --git a/lista1.tex b/lista1.tex index 83c33cf..123470c 100644 --- a/lista1.tex +++ b/lista1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista1.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 1. % @@ -17,22 +17,21 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam -\newcommand{\mycheader}{Lista 1 - S\'{e}rie de Fourier} +\input{paper_size.tex} +\input{packages.tex} + +% Customização da classe exam +\newcommand{\mycheader}{Lista 1 - Série de Fourier} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} -\input{paper_size.tex} - -\input{packages.tex} - \begin{document} %cover \thispagestyle{empty} @@ -40,506 +39,735 @@ \newpage \setcounter{page}{1} -Algumas express\~{o}es eventualmente \'{u}teis: +Algumas expressões eventualmente \'{u}teis: \begin{align} - & f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{r = 1}^\infty \left[ a_r \cos\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) + b_r \sin\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \right] \label{eq:serie_fourier} \\ - & a_r = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0 + L} f(x) \cos\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \id{x} \label{eq:serie_fourier_a} \\ - & b_r = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0 + L} f(x) \sin\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \id{x} \label{eq:serie_fourier_b} + & f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{r = 1}^\infty \left[ a_r \cos\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) + b_r \sin\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \right] \label{eq:serie_fourier} \\ + & a_r = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0 + L} f(x) \cos\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \id{x} \label{eq:serie_fourier_a} \\ + & b_r = \frac{2}{L} \int_{x_0}^{x_0 + L} f(x) \sin\left( \frac{2 \pi r x}{L} \right) \id{x} \label{eq:serie_fourier_b} \end{align} + +É importante rascunhar a função de interesse e sua extensão periódica pois essa +é uma das formas de descobrir se a função é par ou ímpar e com isso economizar +contas. + \begin{questions} - \question Escreva a s\'{e}rie de Fourier no intervalor $(-\pi, \pi)$ das seguintes fun\c{c}\~{o}es e esboce os gr\'{a}fico das fun\c{c}\~{o}es representadas por essas s\'{e}ries para todo $x$: - \begin{parts} - \part $f(x) = \begin{cases} - -\pi, & - \pi < x < 0, \\ - x, & 0 < x < \pi. - \end{cases}$ - \begin{solution} - Temos que - \begin{align*} - a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left( -\pi \right) \left. x \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi 2} \left. x^2 \right|_0^\pi \\ - &= -\left( 0 - \left( -\pi \right) \right) + \frac{1}{2 \pi} \left( \pi^2 - 0 \right) \\ - &= -\pi + \frac{\pi}{2} \\ - &= \frac{-\pi}{2} \\ - a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \cos\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi x \cos\left( n x \right) \id{x} \right] \\ - &= - \int_{-\pi}^0 \cos\left( n x \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - &= - \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi} \left[ \left. \frac{x \sin\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \id{x} \right] \\ - &= - \left( 0 - \frac{\sin\left( -n \pi \right)}{n} \right) + \frac{1}{\pi} \left[ \pi \frac{\sin\left( n \pi \right)}{n} - 0 + \frac{1}{n} \int_0^\pi \left( - \sin\left( n x \right) \right) \id{x} \right] \\ - &= \frac{1}{n \pi}\left. \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi \\ - &= \frac{1}{n^2 \pi} \left( \cos\left( n \pi \right) - \cos(0) \right) \\ - &= \frac{1}{n^2 \pi} \left( (-1)^n - 1 \right) \\ - &= \frac{(-1)^n - 1}{n^2 \pi} \\ - b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \sin\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi x \sin\left( n x \right) \id{x} \right] \\ - &= \int_{-\pi}^0 \left( -\sin\left( n x \right) \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \left. \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi} \left[ \left. x \frac{\left( -\cos\left( n x \right) \right)}{n} \right|_0^\pi + \int_0^\pi \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \id{x} \right] \\ - &= \frac{1}{n} \left( 1 - \cos\left( - n \pi \right) \right) - \frac{1}{n \pi} \left( \pi \cos\left( n \pi \right) - 0 \right) + \frac{1}{n} \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi \\ - &= \frac{1 - \left( -1 \right)^n}{n} - \frac{1}{n} (-1)^n + \frac{1}{n^2} \left( \sin\left( n \pi \right) - 0 \right) \\ - &= \frac{1 - (-1)^n - (-1)^n}{n} \\ - &= \frac{1 - 2 (-1)^n}{n}. - \end{align*} - Portanto, - \begin{align*} - f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left( a_n \cos\left( n x \right) + b_n \sin\left( n x \right) \right) \\ - &= \frac{-\pi}{4} + \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{(-1)^n - 1}{n^2 \pi} \cos\left( n x \right) + \frac{1 - 2 (-1)^n}{n} \sin\left( n x \right) \right). - \end{align*} - % TODO Incluir gr\'{a}fico. - \end{solution} - - \part $f(x) = | \sin x |, -\pi < x < \pi$. - \begin{solution} - - Temos que $f(x) = | \sin x |, -\pi < x < \pi$ equivale a - \begin{align*} - f(x) &= \begin{cases} - \sin x, 0 < x < \pi, \\ - -\sin x, -\pi < x < \pi, - \end{cases} - \end{align*} - e, portanto, - \begin{align*} - a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( - \sin(x) \right) \id{x} + \int_0^\pi \sin(x) \id{x} \right] \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ \left. \cos(x) \right|_{-\pi}^0 + \left. \left( -\cos(x) \right) \right|_0^\pi \right] \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ 1 - (-1) - \left( -1 - 1 \right) \right] \\ - &= \frac{4}{\pi}, \\ - a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ -\int_{-\pi}^0 \sin\left( x \right) \cos\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi \sin\left( x \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \right] \\ - \begin{split} - &= - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 \frac{1}{2} \left( \sin\left( (1 + n) x \right) + \sin\left( (1 - n) x \right) \right) \id{x} \\ - &\quad {}+ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{1}{2} \left( \sin\left( (1 + n) x \right) + \sin\left( (1 - n) x \right) \right) \id{x} \\ - \end{split} \\ - \begin{split} - &= - \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^0 \sin\left( (1 + n) x \right) \id{x} - \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^0 \sin\left( (1 - n) x \right) \id{x} \\ - &\quad {}+ \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin\left( (1 + n) x \right) \id{x} + \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin\left( (1 - n) x \right) \id{x} - \end{split} \\ - \begin{split} - &= \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 + n) x \right)}{1 + n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 - n) x \right)}{1 - n} \right|_{-\pi}^0 \\ - &\quad {}- \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 + n) x \right)}{1 + n} \right|_0^\pi - \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 - n) x \right)}{1 - n} \right|_0^\pi - \end{split} \\ - % TODO Incluir passagens intermedi\'{a}rias. - &= \frac{1 - (-1)^{n + 1}}{\pi} \left[ \frac{1}{1 + n} + \frac{1}{1 - n} \right]. - \end{align*} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \begin{cases} - -x, & -\pi < x < 0, \\ - x, & 0 < x < \pi. - \end{cases}$ - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \cosh x, -\pi < x < \pi$. - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \begin{cases} - 0, & -\pi < x < 0, \\ - x, & 0 < x < \pi/2, \\ - \pi - x, & \pi/2 < x < \pi. - \end{cases}$ - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - \end{parts} - - \question Escreva a fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x^2 / 4$ em s\'{e}rie de Fourier no intervalo $(-\pi, \pi)$ e use o resultado para mostrar que - \begin{align*} - 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots &= \frac{\pi^2}{6}, \\ - 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \ldots &= \frac{\pi^2}{12}, \\ - 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \ldots &= \frac{\pi^2}{8}. - \end{align*} + \question Escreva a série de Fourier no intervalor $(-\pi, \pi)$ das seguintes funções e esboce os gráfico das funções representadas por essas séries para todo $x$: + \begin{parts} + \part $f(x) = \begin{cases} + -\pi, & - \pi < x < 0, \\ + x, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + Temos que + \begin{align*} + a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left( -\pi \right) \left. x \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi 2} \left. x^2 \right|_0^\pi \\ + &= -\left( 0 - \left( -\pi \right) \right) + \frac{1}{2 \pi} \left( \pi^2 - 0 \right) \\ + &= -\pi + \frac{\pi}{2} \\ + &= \frac{-\pi}{2} \\ + a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \cos\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi x \cos\left( n x \right) \id{x} \right] \\ + &= - \int_{-\pi}^0 \cos\left( n x \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + &= - \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi} \left[ \left. \frac{x \sin\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \id{x} \right] \\ + &= - \left( 0 - \frac{\sin\left( -n \pi \right)}{n} \right) + \frac{1}{\pi} \left[ \pi \frac{\sin\left( n \pi \right)}{n} - 0 + \frac{1}{n} \int_0^\pi \left( - \sin\left( n x \right) \right) \id{x} \right] \\ + &= \frac{1}{n \pi}\left. \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi \\ + &= \frac{1}{n^2 \pi} \left( \cos\left( n \pi \right) - \cos(0) \right) \\ + &= \frac{1}{n^2 \pi} \left( (-1)^n - 1 \right) \\ + &= \frac{(-1)^n - 1}{n^2 \pi} \\ + b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( -\pi \right) \sin\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi x \sin\left( n x \right) \id{x} \right] \\ + &= \int_{-\pi}^0 \left( -\sin\left( n x \right) \right) \id{x} + \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \left. \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi} \left[ \left. x \frac{\left( -\cos\left( n x \right) \right)}{n} \right|_0^\pi + \int_0^\pi \frac{\cos\left( n x \right)}{n} \id{x} \right] \\ + &= \frac{1}{n} \left( 1 - \cos\left( - n \pi \right) \right) - \frac{1}{n \pi} \left( \pi \cos\left( n \pi \right) - 0 \right) + \frac{1}{n} \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi \\ + &= \frac{1 - \left( -1 \right)^n}{n} - \frac{1}{n} (-1)^n + \frac{1}{n^2} \left( \sin\left( n \pi \right) - 0 \right) \\ + &= \frac{1 - (-1)^n - (-1)^n}{n} \\ + &= \frac{1 - 2 (-1)^n}{n}. + \end{align*} + Portanto, + \begin{align*} + f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left( a_n \cos\left( n x \right) + b_n \sin\left( n x \right) \right) \\ + &= \frac{-\pi}{4} + \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{(-1)^n - 1}{n^2 \pi} \cos\left( n x \right) + \frac{1 - 2 (-1)^n}{n} \sin\left( n x \right) \right). + \end{align*} + % TODO Incluir gráfico. \end{solution} - \question Escreva as s\'{e}ries de Fourier sobre o intervalo $(-\pi, \pi)$ para as fun\c{c}\~{o}es abaixo: - \begin{parts} - \part $f(x) = \begin{cases} - 0, & -\pi < x < 0, \\ - \sin x, & 0 < x < \pi. - \end{cases}$ - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \exp(x)$. - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - \end{parts} - - \question Use a representa\c{c}\~{a}o na forma complexa da s\'{e}rie de Fourier para escrever a s\'{e}rie correspondente \`{a} fun\c{c}\~{a}o $f(x) = \exp x$, $-\pi < x < \pi$ e compare esse resultado com o exerc\'{i}cio anterior. + \part $f(x) = | \sin x |, -\pi < x < \pi$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + + Temos que $f(x) = | \sin x |, -\pi < x < \pi$ equivale a + \begin{align*} + f(x) &= \begin{cases} + \sin x, 0 < x < \pi, \\ + -\sin x, -\pi < x < \pi, + \end{cases} + \end{align*} + e, portanto, + \begin{align*} + a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^0 \left( - \sin(x) \right) \id{x} + \int_0^\pi \sin(x) \id{x} \right] \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ \left. \cos(x) \right|_{-\pi}^0 + \left. \left( -\cos(x) \right) \right|_0^\pi \right] \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ 1 - (-1) - \left( -1 - 1 \right) \right] \\ + &= \frac{4}{\pi}, \\ + a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ -\int_{-\pi}^0 \sin\left( x \right) \cos\left( n x \right) \id{x} + \int_0^\pi \sin\left( x \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \right] \\ + \begin{split} + &= - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 \frac{1}{2} \left( \sin\left( (1 + n) x \right) + \sin\left( (1 - n) x \right) \right) \id{x} \\ + &\quad {}+ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{1}{2} \left( \sin\left( (1 + n) x \right) + \sin\left( (1 - n) x \right) \right) \id{x} \\ + \end{split} \\ + \begin{split} + &= - \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^0 \sin\left( (1 + n) x \right) \id{x} - \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^0 \sin\left( (1 - n) x \right) \id{x} \\ + &\quad {}+ \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin\left( (1 + n) x \right) \id{x} + \frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi \sin\left( (1 - n) x \right) \id{x} + \end{split} \\ + \begin{split} + &= \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 + n) x \right)}{1 + n} \right|_{-\pi}^0 + \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 - n) x \right)}{1 - n} \right|_{-\pi}^0 \\ + &\quad {}- \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 + n) x \right)}{1 + n} \right|_0^\pi - \frac{1}{2 \pi} \left. \frac{\cos\left( (1 - n) x \right)}{1 - n} \right|_0^\pi + \end{split} \\ + % TODO Incluir passagens intermediárias. + &= \frac{1 - (-1)^{n + 1}}{\pi} \left[ \frac{1}{1 + n} + \frac{1}{1 - n} \right]. + \end{align*} + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Escreva a fun\c{c}ao $f(x) = \left( \pi - x \right) / 2$ em uma s\'{e}rie de Fourier no intervalo $(-\pi, \pi)$ e use o resultado para mostrar que - \begin{align*} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6}. - \end{align*} + \part $f(x) = \begin{cases} + -x, & -\pi < x < 0, \\ + x, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \part $f(x) = \cosh x, -\pi < x < \pi$. + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \part $f(x) = \begin{cases} + 0, & -\pi < x < 0, \\ + x, & 0 < x < \pi/2, \\ + \pi - x, & \pi/2 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + \end{parts} + + \question Escreva a função $f(x) = x^2 / 4$ em série de Fourier no intervalo $(-\pi, \pi)$ e use o resultado para mostrar que + \begin{align*} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots &= \frac{\pi^2}{6}, \\ + 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \ldots &= \frac{\pi^2}{12}, \\ + 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \ldots &= \frac{\pi^2}{8}. + \end{align*} + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \question Escreva as séries de Fourier sobre o intervalo $(-\pi, \pi)$ para as funções abaixo: + \begin{parts} + \part $f(x) = \begin{cases} + 0, & -\pi < x < 0, \\ + \sin x, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \part $f(x) = \exp(x)$. + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + \end{parts} + + \question Use a representação na forma complexa da série de Fourier para escrever a série correspondente à função $f(x) = \exp x$, $-\pi < x < \pi$ e compare esse resultado com o exerc\'{i}cio anterior. + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \question Escreva a funçao $f(x) = \left( \pi - x \right) / 2$ em uma série de Fourier no intervalo $(-\pi, \pi)$ e use o resultado para mostrar que + \begin{align*} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6}. + \end{align*} + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \question Escreva a série de cossenos e a série de senos de Fourier correspondente às funções abaixo e esboce o gráfico da função representada por essas séries para todo $x$. + \begin{parts} + \part $f(x) = 1, 0 < x < \pi$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Escreva a s\'{e}rie de cossenos e a s\'{e}rie de senos de Fourier correspondente \`{a}s fun\c{c}\~{o}es abaixo e esboce o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o representada por essas s\'{e}ries para todo $x$. - \begin{parts} - \part $f(x) = 1, 0 < x < \pi$. - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \pi - x, 0 < x < \pi$. - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - - \part $f(x) = \begin{cases} - 1, & 0 < x < \pi/2, \\ - 0, & \pi/2 < x < \pi. - \end{cases}$ - \begin{solution} - % TODO Escrver solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - \end{parts} - - \question Escreva a s\'{e}rie de Fourier sobre o intervalo $(0, 2\pi)$ para a fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x^2$ e esboce o gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o representada por essa s\'{e}rie para todo $x$. + \part $f(x) = \pi - x, 0 < x < \pi$. \begin{solution} - % TODO Escrver solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Escreva a s\'{e}rie em senos de Fourier sobre o intervalo $(0, 1)$ para a fun\c{c}\~{a}o $f(x) = \cos(\pi x)$. + \part $f(x) = \begin{cases} + 1, & 0 < x < \pi/2, \\ + 0, & \pi/2 < x < \pi. + \end{cases}$ \begin{solution} - % TODO Escrver solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrver solução. + \end{solution} + \end{parts} + + \question Escreva a série de Fourier sobre o intervalo $(0, 2\pi)$ para a função $f(x) = x^2$ e esboce o gráfico da função representada por essa série para todo $x$. + \begin{solution} + % TODO Escrver solução. + \end{solution} + + \question Escreva a série em senos de Fourier sobre o intervalo $(0, 1)$ para a função $f(x) = \cos(\pi x)$. + \begin{solution} + % TODO Escrver solução. + \end{solution} + + \question Encontre uma solução particular periódica das seguintes equações + diferenciais não homogêneas: + \begin{parts} + \part $y'' + y' = r(x) = \begin{cases} + x, & 0 \leq x \leq 1, \\ + 2 - x, & 1 \leq x \leq 2. + \end{cases}.$ + + Nota: A equação diferencial acima foi retirada de + \url{http://www.staff.ul.ie/burkem/Teaching/fsnotes07.pdf}. + \begin{solution} + Para encontrar uma solução particular $y_p$ correspondente ao lado + direito da equação diferencial, $r(x)$, precisamos encontrar a expansão + de Fourier de $r(x)$. + + Primeiramente vamos esboçar o gráfico de $r(x)$: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-4.2,0) -- (4.2,0) node[below right] {$x$}; + \draw[->] (0,-.2) -- (0,1.2) node[above right] {$r(x)$}; + + % Função + \draw[red] (0,0) -- ++(1,1) -- ++(1,-1); + % Extensão + \draw[blue] (-4,0) -- ++(1,1) -- ++(1,-1); + \draw[blue] (-2,0) -- ++(1,1) -- ++(1,-1); + \draw[blue] (2,0) -- ++(1,1) -- ++(1,-1); + \end{tikzpicture} + \end{center} + + Pelo gráfico, verificamos que a extensão periódica da função é para e + portanto podemos utilizar a série de Fourier em cossenos. Então + \begin{dmath*} + r(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos\left( + \frac{n \pi x}{2} \right), + \end{dmath*} + onde + \begin{dgroup*} + \begin{dmath*} + a_0 = \frac{1}{2}\int_0^2 f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{2} \right) + \vi{x} + = \int_0^1 x \cos\left( \frac{n \pi x}{2} \right) \vi{x} + \int_1^2 + (2 - x) \cos\left( \frac{n \pi x}{2} \right) \vi{x} + = \left[ \frac{2}{n \pi} \left( \left. x \sin\left( \frac{n \pi + x}{2} \right) \right|_0^1 \right) - \frac{2}{n \pi} \int_0^1 + \sin\left( \frac{n \pi x}{2} \right) \vi{x} \right] + \left[ + \frac{2}{n \pi} \left( \left. (2 - x) \sin\left( \frac{n \pi x}{2} + \right) \right|_1^2 \right) + \frac{2}{n \pi} \int_1^2 \sin\left( + \frac{n \pi x}{2} \right) \vi{x} \right] + = \left[ \frac{2}{n \pi} \sin\left( \frac{n \pi}{2} \right) + + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \left. \cos\left( \frac{n \pi x}{n} + \right) \right|_0^1 \right) \right] - \left[ \frac{2}{n \pi} + \sin\left( \frac{n \pi}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( + \left. \cos\left( \frac{n \pi x}{2} \right) \right|_1^2 \right)\right] + = \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( \cos\left( \frac{n \pi}{2} \right) - 1 + - \cos\left( n \pi \right) + \cos\left( \frac{n \pi}{2} \right) \right) + = \frac{4}{n^2 \pi^2} \left( 2\cos\left( \frac{n \pi}{2} - 1 - + \cos\left( n x \right) \right) \right). + \end{dmath*} + Como + \begin{dmath*} + \cos\left( \frac{n \pi}{2} \right) = \begin{cases} + 0, & \text{se $n$ é par}, \\ + 1, & \text{se $n/2$ é ímpar}, \\ + -1, & \text{se $n/2$ é par}, + \end{cases} + \end{dmath*} + concluímos que + \begin{dmath*} + a_n = \begin{cases} + 0, & \text{se $n$ é par e se $n$ é ímpar e $n/2$ é ímpar}, \\ + -16 / (n^2 \pi^2), & \text{se $n$ é ímpar e $n/2$ é par}. + \end{cases} + \end{dmath*} + \end{dgroup*} + + Assim sendo, a solução particular tomará a forma + \begin{dmath*} + y_p = y_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} y_n, + \end{dmath*} + onde $y_0$ é a solução particular correspondendo ao termo constante + $a_0/2$ e $y_n$ é a solução particular correspondendo a $a_n \cos(n \pi + x / 2)$ para cada $n$. + \end{solution} + + \part $y'' + 3 y = \begin{cases} + x, & - \pi < x < 0, \\ + 0, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \part $y'' + y = \begin{cases} + -x, & -\pi < x < 0, \\ + x, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question[P1 de 2006] Considdere a fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x^3 + 1$. - % TODO Escrever integra\c{c}\~{a}o. - \begin{parts} - \part Encontre sua s\'{e}rie de Fourier no intervalo $(-\pi,\pi)$; - \begin{solution} - Temos que - \begin{align*} - a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{4} \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-\pi}^\pi \\ - &= 2 \pi / \pi = 2, \\ - a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - \begin{split} - &= \frac{1}{\pi} \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^\pi + \frac{1}{\pi} \frac{3 \pi^2 \cos\left( n \pi \right)}{n^2} - \frac{1}{\pi} \frac{3 (-\pi)^2 \cos\left( -n \pi \right)}{n^2} \\ - &\quad {}- \frac{1}{\pi} \frac{6}{n^4} \cos\left( n \pi \right) + \frac{6}{n^4} \cos\left( -n \pi \right) - \end{split} \\ - &= 0, \\ - b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - \begin{split} - &= \frac{1}{\pi} \left. \frac{- \cos\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^\pi - \frac{1}{\pi} \frac{\pi^3 \cos\left( n \pi \right)}{n} - \frac{1}{\pi} \frac{- (-\pi)^3 \cos\left( - n \pi \right)}{n} \\ - &\quad {}+ \frac{1}{\pi} \frac{6 \pi \cos\left( n \pi \right)}{n^3} - \frac{1}{\pi} \frac{6 (-\pi) \cos\left( n (-\pi) \right)}{n^3} - \end{split} \\ - &= \frac{2 (-1)^n [6 - \pi^2 n^2]}{n^3}. - \end{align*} - Portanto, - \begin{align*} - F[f](x) &= 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{2 (-1)^n (6 - \pi^2 n^2)}{n^3} \sin\left( n x \right). - \end{align*} - \end{solution} - - \part Encontre sua s\'{e}rie de Fourier em senos no intervalo $(0,\pi)$; - \begin{solution} - Temos que - \begin{align*} - b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left( x^3 + 1 \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi} \left[ \left. \frac{-\cos\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi - \frac{\pi^3 \cos\left( n \pi \right)}{n} + \frac{6 \pi \cos\left( n \pi \right)}{n^3} \right] \\ - &= \frac{2 (-1)^n}{\pi n} \left[ -1 + (-1)^n - \pi^3 + \frac{6 \pi}{n^2} \right]. - \end{align*} - Portanto, - \begin{align*} - F_s[f](x) &= \sum_{n = 1}^\infty \frac{2 (-1)^n}{\pi n} \left[ (-1)^n - 1 - \frac{\pi}{n^2} \left( 6 + \pi^2 n^2 \right) \right] \sin\left( n x \right). - \end{align*} - \end{solution} - - \part Enconre sua s\'{e}rie de Fourier em cossenos no intervalo $(-\pi,0)$; - \begin{solution} - Temos que - \begin{align*} - a_0 &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( x^3 + 1 \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi} \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-\pi}^0 \\ - &= 2 \left( 1 - \frac{\pi^3}{4} \right), \\ - a_n &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( x^3 + 1 \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi} \left[ \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 - \frac{3 \pi^2 \cos\left( n \pi \right)}{n^2} - \frac{6}{n^4} + \frac{6 (-1)^n}{n^4} \right] \\ - &= \frac{12}{\pi n^4} \left[ (-1)^n \left( 1 - \frac{\pi^2 n^2}{2} \right) - 1 \right]. - \end{align*} - Portanto, - \begin{align*} - F_c[f](x) &= \left( 1 - \frac{\pi^3}{4} \right) + \sum_{n = 1}^\infty \frac{12}{\pi n^4} \left[ (-1)^n \left( 1 - \frac{\pi^2 n^2}{2} \right) - 1 \right] \cos\left( n x \right). - \end{align*} - \end{solution} - - \part Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico das fun\c{c}\~{o}es representadas pelas s\'{e}ries obtidas nos itens anteriores para todo $x \in \mathbb{R}$. - \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - \end{solution} - \end{parts} - - \question[P1 de 2006] Seja $f(x)$ uma fun\c{c}\~{a}o satisfazendo a propriedade + \part $y'' + 2 y' + 3 y = \exp(x), -\pi < x < \pi$. + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + + \part $y'' + 3 y' + 7 y = \begin{cases} + 1, & -\pi < x < 0, \\ + x, & 0 < x < \pi. + \end{cases}$ + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + \end{parts} + + \question[P1 de 2006] Considdere a função $f(x) = x^3 + 1$. + % TODO Escrever integração. + \begin{parts} + \part Encontre sua série de Fourier no intervalo $(-\pi,\pi)$; + \begin{solution} + Temos que + \begin{align*} + a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{4} \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-\pi}^\pi \\ + &= 2 \pi / \pi = 2, \\ + a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + \begin{split} + &= \frac{1}{\pi} \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^\pi + \frac{1}{\pi} \frac{3 \pi^2 \cos\left( n \pi \right)}{n^2} - \frac{1}{\pi} \frac{3 (-\pi)^2 \cos\left( -n \pi \right)}{n^2} \\ + &\quad {}- \frac{1}{\pi} \frac{6}{n^4} \cos\left( n \pi \right) + \frac{6}{n^4} \cos\left( -n \pi \right) + \end{split} \\ + &= 0, \\ + b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( x^3 + 1 \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + \begin{split} + &= \frac{1}{\pi} \left. \frac{- \cos\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^\pi - \frac{1}{\pi} \frac{\pi^3 \cos\left( n \pi \right)}{n} - \frac{1}{\pi} \frac{- (-\pi)^3 \cos\left( - n \pi \right)}{n} \\ + &\quad {}+ \frac{1}{\pi} \frac{6 \pi \cos\left( n \pi \right)}{n^3} - \frac{1}{\pi} \frac{6 (-\pi) \cos\left( n (-\pi) \right)}{n^3} + \end{split} \\ + &= \frac{2 (-1)^n [6 - \pi^2 n^2]}{n^3}. + \end{align*} + Portanto, + \begin{align*} + F[f](x) &= 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{2 (-1)^n (6 - \pi^2 n^2)}{n^3} \sin\left( n x \right). + \end{align*} + \end{solution} + + \part Encontre sua série de Fourier em senos no intervalo $(0,\pi)$; + \begin{solution} + Temos que + \begin{align*} + b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left( x^3 + 1 \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi} \left[ \left. \frac{-\cos\left( n x \right)}{n} \right|_0^\pi - \frac{\pi^3 \cos\left( n \pi \right)}{n} + \frac{6 \pi \cos\left( n \pi \right)}{n^3} \right] \\ + &= \frac{2 (-1)^n}{\pi n} \left[ -1 + (-1)^n - \pi^3 + \frac{6 \pi}{n^2} \right]. + \end{align*} + Portanto, + \begin{align*} + F_s[f](x) &= \sum_{n = 1}^\infty \frac{2 (-1)^n}{\pi n} \left[ (-1)^n - 1 - \frac{\pi}{n^2} \left( 6 + \pi^2 n^2 \right) \right] \sin\left( n x \right). + \end{align*} + \end{solution} + + \part Enconre sua série de Fourier em cossenos no intervalo $(-\pi,0)$; + \begin{solution} + Temos que + \begin{align*} + a_0 &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( x^3 + 1 \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi} \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-\pi}^0 \\ + &= 2 \left( 1 - \frac{\pi^3}{4} \right), \\ + a_n &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^0 \left( x^3 + 1 \right) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi} \left[ \left. \frac{\sin\left( n x \right)}{n} \right|_{-\pi}^0 - \frac{3 \pi^2 \cos\left( n \pi \right)}{n^2} - \frac{6}{n^4} + \frac{6 (-1)^n}{n^4} \right] \\ + &= \frac{12}{\pi n^4} \left[ (-1)^n \left( 1 - \frac{\pi^2 n^2}{2} \right) - 1 \right]. + \end{align*} + Portanto, + \begin{align*} + F_c[f](x) &= \left( 1 - \frac{\pi^3}{4} \right) + \sum_{n = 1}^\infty \frac{12}{\pi n^4} \left[ (-1)^n \left( 1 - \frac{\pi^2 n^2}{2} \right) - 1 \right] \cos\left( n x \right). + \end{align*} + \end{solution} + + \part Faça um esboço do gráfico das funções representadas pelas séries obtidas nos itens anteriores para todo $x \in \mathbb{R}$. + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + \end{solution} + \end{parts} + + \question[P1 de 2006] Seja $f(x)$ uma função satisfazendo a propriedade + \begin{align*} + f(x + L) &= -f(x), && L > 0, + \end{align*} + para todo $x \in \mathbb{R}$. Mostre que todos os coeficientes pares da sua série de Fourier no intervalor $(a, a + 2 L)$ são nulos, ou seja, + \begin{align*} + & a_0 = a_2 = a_4 = \ldots = 0, \\ + & b_2 = b_4 = b_6 = \ldots = 0. + \end{align*} + \begin{solution} + % TODO Escrever solução. + Do formulário temos que $\alpha = a$ e $\beta = a + 2 l$, portanto \begin{align*} - f(x + L) &= -f(x), && L > 0, + a_0 &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \id{\xi} \\ + &= 0, \\ + a_n &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \cos\left( \frac{n \pi \xi}{L} + n \pi \right) \id{\xi} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} - (-1)^n \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi) \cos\left( \frac{n \pi \xi}{L} \right) \id{\xi} \\ + &= \begin{cases} + 0, & n \text{ é par}, \\ + 2(\ldots), & n \text{ é \'{i}mpar}, + \end{cases} \\ + b_n &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \sin\left( \frac{n \pi \xi}{L} + n \pi \right) \id{\xi} \\ + &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} - (-1)^n \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi) \sin\left( \frac{n \pi \xi}{L} \right) \id{\xi} \\ + &= \begin{cases} + 0, & n \text{ é par}, \\ + 2 (\ldots), & n \text{ é \'{i}mpar}. + \end{cases} \end{align*} - para todo $x \in \mathbb{R}$. Mostre que todos os coeficientes pares da sua s\'{e}rie de Fourier no intervalor $(a, a + 2 L)$ s\~{a}o nulos, ou seja, + \end{solution} + + \question[T2 de 2008] Calcule $\int_{-\infty}^\infty \sin\left( x \right) / x \id{x}$. + \begin{solution} + Considere o caminho no plano complexo representado na figura abaixo. + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-4.2,0) -- (4.2,0); + \draw[->] (0,-.2) -- (0,4.2); + \draw[line width=2, ->] (4,0) arc (0:60:4) node[above]{$C_R$}; + \draw[line width=2, ->] (60:4) arc (60:120:4); + \draw[line width=2, ->] (120:4) arc (120:180:4); + \draw[line width=2, ->] (-4,0) node[below]{$-R$} -- (-1,0) node[below]{$-r$}; + \draw[line width=2, ->] (-1,0) arc (180:120:1); + \draw[line width=2, ->] (120:1) arc (120:60:1) node[above]{$C_r$}; + \draw[line width=2, ->] (60:1) arc (60:0:1); + \draw[line width=2, ->] (1,0) node[below]{$r$} -- (4,0) node[below]{$R$}; + \node[below left] at (30:4) {$\Gamma$}; + \end{tikzpicture} + \end{center} + + Do Teorema de Cauchy, temos que + \begin{align*} + \int_\Gamma \frac{\exp\left( i z \right)}{x} \id{z} &= \int_{-R}^{-r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_r^R \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} = 0. + \end{align*} + Porém, note que + \begin{align*} + \int_{-R}^{-r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int)_r^R \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= i \int_{-R}^{-r} \frac{\sin\left( z \right)}{z} \id{z} + i \int_r^R \frac{\sin\left( z \right)}{z} \id{z}. + \end{align*} + Como $\sin\left( x \right) / x$ é cont\'{i}nuo em $x = 0$, tem-se \begin{align*} - & a_0 = a_2 = a_4 = \ldots = 0, \\ - & b_2 = b_4 = b_6 = \ldots = 0. + i \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\left( x \right)}{x} \id{x} = - \lim_{r \to 0} \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} - \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z}. + \end{align*} + Fazendo-se uma integração por partes + \begin{align*} + \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= \left. \frac{\exp\left( i z \right)}{i z} \right|_R^{-R} - \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z^2} \id{z} \\ + &= - \frac{\cos\left( R \right)}{i R} + i \int_0^\pi \frac{\exp\left( i R \exp\left( i \theta \right) \right)}{R \exp\left( 2 i \theta \right)} \id{\theta} \\ + &= 0, + \end{align*} + para $R \to \infty$. Para o trecho $C_r$ + \begin{align*} + \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= - i \int_0^\pi \exp\left( i r \exp\left( i \theta \right) \right) \id{\theta} \\ + &= - i \pi, + \end{align*} + para $r = 0$, de onde finalmente tem-se + \begin{align*} + \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\left( x \right)}{x} \id{x} = \pi. + \end{align*} + \end{solution} + + \question[T1 de 2011] Encontre a série em cossenos de Fourier sobre o intervalo $(0, \pi)$ para a função $f(x) = \sin\left( \kappa x \right)$, onde $\kappa$ é um n\'{u}mero inteiro positivo. + \begin{solution} + Temos para $f(x) = \sin\left( \kappa x \right)$, $\kappa = 1, 2, 3 \ldots$ que + \begin{align*} + a_0 &= 2 \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi} \left. \left[ \frac{-\cos\left( \kappa x \right)}{\kappa} \right] \right|_0^\pi \\ + &= \frac{2}{\pi \kappa} \left[ 1 - (-1)^\kappa \right] \\ + &= \begin{cases} + 0, & \kappa \text{ é par}, \\ + 4 / \left( \pi \kappa \right), & \kappa \text{ é \'{i}mpar}, + \end{cases} \\ + a_n &= 2 \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \cos\left( n x \right) \id{x}, \\ + \intertext{para $n = \kappa$} + a_k &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \cos\left( \kappa x \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi \kappa} \left. \frac{\sin^2\left( \kappa x \right)}{2} \right|_0^\pi \\ + &= 0, \\ + \intertext{e para $n \neq \kappa$} + a_n &= \frac{2}{n} \int_0^\pi \frac{1}{2} \left[ \sin\left( \kappa x + n x \right) + \sin\left( \kappa x - n x \right) \right] \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left. \left[ \frac{- \cos\left( (\kappa + n) x \right)}{\kappa + n} - \frac{\cos\left( (k - n) x \right)}{\kappa - n} \right] \right|_0^\pi \\ + &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1 - (-1)^{n + \kappa}}{\kappa + n} + \frac{1 - (-1)^{n - \kappa}}{\kappa + n} \right] \\ + &= \frac{\left[ 1 - (-1)^{n + \kappa} \right]}{\pi} \frac{2 k}{k^2 - n^2} \\ + &= \begin{cases} + \frac{\left[ 1 - (-1)^n \right]}{\pi} \frac{2 \kappa}{\kappa^2 - n^2}, & \kappa \text{ é par}, \\ + \frac{\left[ 1 + (-1)^n \right]}{\pi} \frac{2 \kappa}{\kappa^2 - n^2}, & \kappa \text{ é \'{i}mpar}. + \end{cases} + \end{align*} + + Logo, + \begin{align*} + f(x) &= \sum_{m = 0}^\infty \frac{4 \kappa}{\pi} \frac{\cos\left( (2m + 1) x \right)}{\left[ \kappa^2 - (2m + 1)^2 \right]}, + \end{align*} + quando $k$ é par e + \begin{align*} + f(x) &= \frac{2}{\pi \kappa} + \sum_{m = 1}^\infty \frac{4 \kappa}{\pi} \frac{\cos\left( 2 m x \right)}{\left[ \kappa^2 - 4 m^2 \right]}, + \end{align*} + quando $\kappa$ é \'{i}mpar. + \end{solution} + + \question[P1 de 2011] + \begin{parts} + \part Mostre que a série de Fourier de $\exp(x)$ no intervalo $-\pi < x < \pi$ é dada por + \begin{align*} + S(x) &= \frac{2 \sinh\left( \pi \right)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2 + 1} \left( \cos\left( n x \right) - n \sin\left( n x \right) \right) \right]. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. - Do formul\'{a}rio temos que $\alpha = a$ e $\beta = a + 2 l$, portanto - \begin{align*} - a_0 &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \id{\xi} \\ - &= 0, \\ - a_n &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \cos\left( \frac{n \pi \xi}{L} + n \pi \right) \id{\xi} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} - (-1)^n \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi) \cos\left( \frac{n \pi \xi}{L} \right) \id{\xi} \\ - &= \begin{cases} - 0, & n \text{ \'{e} par}, \\ - 2(\ldots), & n \text{ \'{e} \'{i}mpar}, - \end{cases} \\ - b_n &= \frac{1}{L} \int_a^{a + 2 L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_{a + L}^{a + 2 L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} + \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi + L) \sin\left( \frac{n \pi \xi}{L} + n \pi \right) \id{\xi} \\ - &= \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \id{x} - (-1)^n \frac{1}{L} \int_a^{a + L} f(\xi) \sin\left( \frac{n \pi \xi}{L} \right) \id{\xi} \\ - &= \begin{cases} - 0, & n \text{ \'{e} par}, \\ - 2 (\ldots), & n \text{ \'{e} \'{i}mpar}. - \end{cases} - \end{align*} + Temos que + \begin{align*} + a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left. \exp(x) \right|_{-\pi}^\pi \\ + &= \frac{2 \sinh\left( \pi \right)}{\pi} \\ + a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left. \left( \frac{\exp(x) \cos\left( n x \right) + n \exp(x) \sin\left( n x \right)}{1 + n^2} \right) \right|_{-\pi}^\pi \\ + &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \frac{(-1)^n}{1 + n^2}, \\ + b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \left. \left( \frac{\exp(x) \sin\left( n x \right) - n \exp(x) \cos\left( n x \right)}{1 + n^2} \right) \right|_{-\pi}^{\pi} \\ + &= \frac{-2 \sinh(\pi)}{\pi} \frac{(-1)^n}{1 + n^2} n. + \end{align*} + Portanto, + \begin{align*} + S(x) &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 + n^2} \left( \cos\left( n x \right) - n \sin\left( n x \right) \right) \right]. + \end{align*} \end{solution} - \question[T2 de 2008] Calcule $\int_{-\infty}^\infty \sin\left( x \right) / x \id{x}$. + \part Faça um esboço do gráfico da função representada por essa série para todo $x \in \mathbb{R}$. \begin{solution} - Considere o caminho no plano complexo representado na figura abaixo. - \begin{center} - \begin{tikzpicture} - \draw[->] (-4.2,0) -- (4.2,0); - \draw[->] (0,-.2) -- (0,4.2); - \draw[line width=2, ->] (4,0) arc (0:60:4) node[above]{$C_R$}; - \draw[line width=2, ->] (60:4) arc (60:120:4); - \draw[line width=2, ->] (120:4) arc (120:180:4); - \draw[line width=2, ->] (-4,0) node[below]{$-R$} -- (-1,0) node[below]{$-r$}; - \draw[line width=2, ->] (-1,0) arc (180:120:1); - \draw[line width=2, ->] (120:1) arc (120:60:1) node[above]{$C_r$}; - \draw[line width=2, ->] (60:1) arc (60:0:1); - \draw[line width=2, ->] (1,0) node[below]{$r$} -- (4,0) node[below]{$R$}; - \node[below left] at (30:4) {$\Gamma$}; - \end{tikzpicture} - \end{center} - - Do Teorema de Cauchy, temos que - \begin{align*} - \int_\Gamma \frac{\exp\left( i z \right)}{x} \id{z} &= \int_{-R}^{-r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_r^R \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} = 0. - \end{align*} - Por\'{e}m, note que - \begin{align*} - \int_{-R}^{-r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} + \int)_r^R \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= i \int_{-R}^{-r} \frac{\sin\left( z \right)}{z} \id{z} + i \int_r^R \frac{\sin\left( z \right)}{z} \id{z}. - \end{align*} - Como $\sin\left( x \right) / x$ \'{e} cont\'{i}nuo em $x = 0$, tem-se - \begin{align*} - i \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\left( x \right)}{x} \id{x} = - \lim_{r \to 0} \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} - \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z}. - \end{align*} - Fazendo-se uma integra\c{c}\~{a}o por partes - \begin{align*} - \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= \left. \frac{\exp\left( i z \right)}{i z} \right|_R^{-R} - \int_{C_R} \frac{\exp\left( i z \right)}{z^2} \id{z} \\ - &= - \frac{\cos\left( R \right)}{i R} + i \int_0^\pi \frac{\exp\left( i R \exp\left( i \theta \right) \right)}{R \exp\left( 2 i \theta \right)} \id{\theta} \\ - &= 0, - \end{align*} - para $R \to \infty$. Para o trecho $C_r$ - \begin{align*} - \int_{C_r} \frac{\exp\left( i z \right)}{z} \id{z} &= - i \int_0^\pi \exp\left( i r \exp\left( i \theta \right) \right) \id{\theta} \\ - &= - i \pi, - \end{align*} - para $r = 0$, de onde finalmente tem-se - \begin{align*} - \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin\left( x \right)}{x} \id{x} = \pi. - \end{align*} + O esboço encontra-se representado na figura abaixo: + \begin{center} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lista1_fig_p1.jpg} + \end{center} \end{solution} - \question[T1 de 2011] Encontre a s\'{e}rie em cossenos de Fourier sobre o intervalo $(0, \pi)$ para a fun\c{c}\~{a}o $f(x) = \sin\left( \kappa x \right)$, onde $\kappa$ \'{e} um n\'{u}mero inteiro positivo. + \part Use a série de Fourier para mostrar que + \begin{align*} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} &= \frac{\pi}{2} \coth\left( \pi \right) - \frac{1}{2}. + \end{align*} \begin{solution} - Temos para $f(x) = \sin\left( \kappa x \right)$, $\kappa = 1, 2, 3 \ldots$ que - \begin{align*} - a_0 &= 2 \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi} \left. \left[ \frac{-\cos\left( \kappa x \right)}{\kappa} \right] \right|_0^\pi \\ - &= \frac{2}{\pi \kappa} \left[ 1 - (-1)^\kappa \right] \\ - &= \begin{cases} - 0, & \kappa \text{ \'{e} par}, \\ - 4 / \left( \pi \kappa \right), & \kappa \text{ \'{e} \'{i}mpar}, - \end{cases} \\ - a_n &= 2 \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \cos\left( n x \right) \id{x}, \\ - \intertext{para $n = \kappa$} - a_k &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin\left( \kappa x \right) \cos\left( \kappa x \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi \kappa} \left. \frac{\sin^2\left( \kappa x \right)}{2} \right|_0^\pi \\ - &= 0, \\ - \intertext{e para $n \neq \kappa$} - a_n &= \frac{2}{n} \int_0^\pi \frac{1}{2} \left[ \sin\left( \kappa x + n x \right) + \sin\left( \kappa x - n x \right) \right] \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left. \left[ \frac{- \cos\left( (\kappa + n) x \right)}{\kappa + n} - \frac{\cos\left( (k - n) x \right)}{\kappa - n} \right] \right|_0^\pi \\ - &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1 - (-1)^{n + \kappa}}{\kappa + n} + \frac{1 - (-1)^{n - \kappa}}{\kappa + n} \right] \\ - &= \frac{\left[ 1 - (-1)^{n + \kappa} \right]}{\pi} \frac{2 k}{k^2 - n^2} \\ - &= \begin{cases} - \frac{\left[ 1 - (-1)^n \right]}{\pi} \frac{2 \kappa}{\kappa^2 - n^2}, & \kappa \text{ \'{e} par}, \\ - \frac{\left[ 1 + (-1)^n \right]}{\pi} \frac{2 \kappa}{\kappa^2 - n^2}, & \kappa \text{ \'{e} \'{i}mpar}. - \end{cases} - \end{align*} - - Logo, - \begin{align*} - f(x) &= \sum_{m = 0}^\infty \frac{4 \kappa}{\pi} \frac{\cos\left( (2m + 1) x \right)}{\left[ \kappa^2 - (2m + 1)^2 \right]}, - \end{align*} - quando $k$ \'{e} par e - \begin{align*} - f(x) &= \frac{2}{\pi \kappa} + \sum_{m = 1}^\infty \frac{4 \kappa}{\pi} \frac{\cos\left( 2 m x \right)}{\left[ \kappa^2 - 4 m^2 \right]}, - \end{align*} - quando $\kappa$ \'{e} \'{i}mpar. + Tomando $x = \pi$ temos que + \begin{align*} + \frac{\exp(\pi) + \exp(-\pi)}{2} &= \cosh\left( \pi \right) \\ + &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 + n^2} \left( (-1)^n - n \cdot 0 \right) \right] + \end{align*} + e portanto + \begin{align*} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{1 + n^2} &= \frac{\pi}{2} \coth(\pi) - \frac{1}{2}. + \end{align*} \end{solution} + \end{parts} + + \question[T1 de 2012] Encontre a série de Fourier em senos no intervalo $[0,\pi]$ da função $f(x) = x \sin\left( 2 x \right)$, representada abaixo, e faça um gráfico da função representada por essa série para $x \in \mathbb{R}$. + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[scale=.5] + \draw[->] (-7,0) -- (7,0) node[below right]{$x$}; + \foreach \x in {1,...,6}{ + \node[below] at (\x,0) {$\x$}; + \node[below] at (-\x,0) {$-\x$}; + } + \draw[->] (0,-6) -- (0,4.5) node[above right]{$x \sin\left( 2 x \right)$}; + \foreach \x in {1,...,4}{ + \node[left] at (0,\x) {$\x$}; + \node[left] at (0,-\x) {$-\x$}; + } + \node[left] at (0,-5) {$-5$}; + \node[left] at (0,-6) {$-6$}; + + \draw plot[domain=-6.5:6.5, samples=100] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); + \end{tikzpicture} + \end{center} + \begin{solution} + A série de Foueier em senos é + \begin{align*} + f(x) &= \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin\left( n x \right), + \end{align*} + onde + \begin{align*} + b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin\left( n x \right) \id{x}. + \end{align*} - \question[P1 de 2011] - \begin{parts} - \part Mostre que a s\'{e}rie de Fourier de $\exp(x)$ no intervalo $-\pi < x < \pi$ \'{e} dada por - \begin{align*} - S(x) &= \frac{2 \sinh\left( \pi \right)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2 + 1} \left( \cos\left( n x \right) - n \sin\left( n x \right) \right) \right]. - \end{align*} - \begin{solution} - Temos que - \begin{align*} - a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left. \exp(x) \right|_{-\pi}^\pi \\ - &= \frac{2 \sinh\left( \pi \right)}{\pi} \\ - a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \cos\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left. \left( \frac{\exp(x) \cos\left( n x \right) + n \exp(x) \sin\left( n x \right)}{1 + n^2} \right) \right|_{-\pi}^\pi \\ - &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \frac{(-1)^n}{1 + n^2}, \\ - b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \exp(x) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \left. \left( \frac{\exp(x) \sin\left( n x \right) - n \exp(x) \cos\left( n x \right)}{1 + n^2} \right) \right|_{-\pi}^{\pi} \\ - &= \frac{-2 \sinh(\pi)}{\pi} \frac{(-1)^n}{1 + n^2} n. - \end{align*} - Portanto, - \begin{align*} - S(x) &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 + n^2} \left( \cos\left( n x \right) - n \sin\left( n x \right) \right) \right]. - \end{align*} - \end{solution} - - \part Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o representada por essa s\'{e}rie para todo $x \in \mathbb{R}$. - \begin{solution} - O esbo\c{c}o encontra-se representado na figura abaixo: - \begin{center} - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lista1_fig_p1.jpg} - \end{center} - \end{solution} - - \part Use a s\'{e}rie de Fourier para mostrar que - \begin{align*} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} &= \frac{\pi}{2} \coth\left( \pi \right) - \frac{1}{2}. - \end{align*} - \begin{solution} - Tomando $x = \pi$ temos que - \begin{align*} - \frac{\exp(\pi) + \exp(-\pi)}{2} &= \cosh\left( \pi \right) \\ - &= \frac{2 \sinh(\pi)}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 + n^2} \left( (-1)^n - n \cdot 0 \right) \right] - \end{align*} - e portanto - \begin{align*} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{1 + n^2} &= \frac{\pi}{2} \coth(\pi) - \frac{1}{2}. - \end{align*} - \end{solution} - \end{parts} - - \question[T1 de 2012] Encontre a s\'{e}rie de Fourier em senos no intervalo $[0,\pi]$ da fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x \sin\left( 2 x \right)$, representada abaixo, e fa\c{c}a um gr\'{a}fico da fun\c{c}\~{a}o representada por essa s\'{e}rie para $x \in \mathbb{R}$. + Portanto, + \begin{align*} + b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin\left( 2 x \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ + &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \frac{1}{2} \left[ \cos\left( 2 x - n x \right) - \cos\left( 2 x + 2 n \right) \right] \id{x} \\ + &= \frac{1}{\pi} \underbrace{\int_0^\pi x \cos\left( \left( n - 2 \right) x \right) \id{x}}_{\bigstar} - \frac{1}{\pi} \underbrace{\int_0^\pi x \cos\left( \left( n + 2 \right) x \right) \id{x}}_{\bigstar\bigstar} \\ + \bigstar &= \begin{cases} + \left[ (-1)^{n - 2} - 1 \right] \left( n - 2 \right)^{-2}, n \neq 2, \\ + \int_0^\pi x \cos\left( 0 x \right) \id{x} = \pi^2 / 2, n = 2, + \end{cases} \\ + \bigstar\bigstar &= \underbrace{\left. x \frac{\sin\left( \left( n + 2 \right) x \right)}{n + 2} \right|_0^\pi}_{=0} - \frac{1}{n + 2} \int_0^\pi \sin\left( \left( n + 2 \right) x \right) \id{x} \\ + &= \left. \frac{1}{\left( n + 2 \right)^2} \cos\left( \left( n + 2 \right) x \right) \right|_0^\pi \\ + &= \frac{\left[ \left( -1 \right)^{n + 2} - 1 \right]}{\left( n + 2 \right)^2}, + \end{align*} + + Para $n \neq 2$, temos + \begin{align*} + b_n &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n - 2 \right)^2} - \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n + 2 \right)^2} \right] \\ + &= \frac{1}{\pi} \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \left[ \left( n + 2 \right)^2 - \left( n - 2 \right)^2 \right] \\ + &= \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2}. + \end{align*} + E para $n = 2$, temos + \begin{align*} + b_2 &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\pi^2}{2} - \frac{\left[ \left( -1 \right)^2 - 1 \right]}{\left( 2 + 2 \right)^2} \right] \\ + &= \frac{\pi}{2}. + \end{align*} + + Por fim, + \begin{align*} + f(x) &= \frac{\pi}{2} \sin\left( 2 x \right) + \sum_{n = 1, n \neq 2}^\infty \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \sin\left( n x \right) \\ + &= \frac{\pi}{2} \sin\left( 2 x \right) + \sum_{n = 1, 3, 5, \ldots}^\infty \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \sin\left( n x \right) \\ + &= \frac{\pi}{2} \sin(2 x) - \frac{16}{\pi} \sum_{k = 0}^\infty \frac{\left( 2 k + 1 \right) \sin\left( \left( 2k + 1 \right) x \right)}{\left[ \left( 2 k + 1 \right)^2 - 4 \right]^2}. + \end{align*} \begin{center} - \begin{tikzpicture}[scale=.5] - \draw[->] (-7,0) -- (7,0) node[below right]{$x$}; - \foreach \x in {1,...,6}{ - \node[below] at (\x,0) {$\x$}; - \node[below] at (-\x,0) {$-\x$}; - } - \draw[->] (0,-6) -- (0,4.5) node[above right]{$x \sin\left( 2 x \right)$}; - \foreach \x in {1,...,4}{ - \node[left] at (0,\x) {$\x$}; - \node[left] at (0,-\x) {$-\x$}; - } - \node[left] at (0,-5) {$-5$}; - \node[left] at (0,-6) {$-6$}; - - \draw plot[domain=-6.5:6.5, samples=100] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); - \end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[scale=.8] + \draw[->] (-7,0) -- (7,0) node[below right]{$x$}; + \foreach \x in {1,...,6}{ + \node[below] at (\x,0) {$\x$}; + \node[below] at (-\x,0) {$-\x$}; + } + \draw[->] (0,-6) -- (0,4.5) node[above right]{$x \sin\left( 2 x \right)$}; + \foreach \x in {1,...,4}{ + \node[left] at (0,\x) {$\x$}; + \node[left] at (0,-\x) {$-\x$}; + } + \node[left] at (0,-5) {$-5$}; + \node[left] at (0,-6) {$-6$}; + + \draw plot[domain=0:3.14] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); + \draw[xshift=3.14cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {- (3.14 - \x) * sin(2 * (3.14 - \x) r)}); + \draw[xshift=-3.14cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {- (3.14 - \x) * sin(2 * (3.14 - \x) r)}); + \draw[xshift=-6.28cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); + \end{tikzpicture} \end{center} + \end{solution} + + \question[P1 de 2012] Considere a função $f(x) = x + x^2$. A série de Fourier + no intervalo $[-\pi,\pi]$ de $f(x)$ é dada por + \begin{dmath*} + \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ \frac{4}{n^2} (-1)^n \cos(n + x) - \frac{2}{n} (-1)^n \sin(n x) \right]. + \end{dmath*} + \begin{parts} + \part Use esse resultado para calcular $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^2$. \begin{solution} - A s\'{e}rie de Foueier em senos \'{e} - \begin{align*} - f(x) &= \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin\left( n x \right), - \end{align*} - onde - \begin{align*} - b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin\left( n x \right) \id{x}. - \end{align*} - - Portanto, - \begin{align*} - b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin\left( 2 x \right) \sin\left( n x \right) \id{x} \\ - &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \frac{1}{2} \left[ \cos\left( 2 x - n x \right) - \cos\left( 2 x + 2 n \right) \right] \id{x} \\ - &= \frac{1}{\pi} \underbrace{\int_0^\pi x \cos\left( \left( n - 2 \right) x \right) \id{x}}_{\bigstar} - \frac{1}{\pi} \underbrace{\int_0^\pi x \cos\left( \left( n + 2 \right) x \right) \id{x}}_{\bigstar\bigstar} \\ - \bigstar &= \begin{cases} - \left[ (-1)^{n - 2} - 1 \right] \left( n - 2 \right)^{-2}, n \neq 2, \\ - \int_0^\pi x \cos\left( 0 x \right) \id{x} = \pi^2 / 2, n = 2, - \end{cases} \\ - \bigstar\bigstar &= \underbrace{\left. x \frac{\sin\left( \left( n + 2 \right) x \right)}{n + 2} \right|_0^\pi}_{=0} - \frac{1}{n + 2} \int_0^\pi \sin\left( \left( n + 2 \right) x \right) \id{x} \\ - &= \left. \frac{1}{\left( n + 2 \right)^2} \cos\left( \left( n + 2 \right) x \right) \right|_0^\pi \\ - &= \frac{\left[ \left( -1 \right)^{n + 2} - 1 \right]}{\left( n + 2 \right)^2}, - \end{align*} - - Para $n \neq 2$, temos - \begin{align*} - b_n &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n - 2 \right)^2} - \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n + 2 \right)^2} \right] \\ - &= \frac{1}{\pi} \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \left[ \left( n + 2 \right)^2 - \left( n - 2 \right)^2 \right] \\ - &= \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ \left( -1 \right)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2}. - \end{align*} - E para $n = 2$, temos - \begin{align*} - b_2 &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\pi^2}{2} - \frac{\left[ \left( -1 \right)^2 - 1 \right]}{\left( 2 + 2 \right)^2} \right] \\ - &= \frac{\pi}{2}. - \end{align*} - - Por fim, - \begin{align*} - f(x) &= \frac{\pi}{2} \sin\left( 2 x \right) + \sum_{n = 1, n \neq 2}^\infty \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \sin\left( n x \right) \\ - &= \frac{\pi}{2} \sin\left( 2 x \right) + \sum_{n = 1, 3, 5, \ldots}^\infty \frac{8 n}{\pi} \frac{\left[ (-1)^n - 1 \right]}{\left( n^2 - 4 \right)^2} \sin\left( n x \right) \\ - &= \frac{\pi}{2} \sin(2 x) - \frac{16}{\pi} \sum_{k = 0}^\infty \frac{\left( 2 k + 1 \right) \sin\left( \left( 2k + 1 \right) x \right)}{\left[ \left( 2 k + 1 \right)^2 - 4 \right]^2}. - \end{align*} - \begin{center} - \begin{tikzpicture}[scale=.8] - \draw[->] (-7,0) -- (7,0) node[below right]{$x$}; - \foreach \x in {1,...,6}{ - \node[below] at (\x,0) {$\x$}; - \node[below] at (-\x,0) {$-\x$}; - } - \draw[->] (0,-6) -- (0,4.5) node[above right]{$x \sin\left( 2 x \right)$}; - \foreach \x in {1,...,4}{ - \node[left] at (0,\x) {$\x$}; - \node[left] at (0,-\x) {$-\x$}; - } - \node[left] at (0,-5) {$-5$}; - \node[left] at (0,-6) {$-6$}; - - \draw plot[domain=0:3.14] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); - \draw[xshift=3.14cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {- (3.14 - \x) * sin(2 * (3.14 - \x) r)}); - \draw[xshift=-3.14cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {- (3.14 - \x) * sin(2 * (3.14 - \x) r)}); - \draw[xshift=-6.28cm] plot[domain=0:3.14] (\x, {\x * sin(2 * \x r)}); - \end{tikzpicture} - \end{center} + Tomando $x = \pi$, temos, pela série de Fourier, que + \begin{dmath*} + f(\pi) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ \frac{4}{n^2} + (-1)^n \cos(n \pi) - \frac{2}{n} (-1)^n \sin(n \pi) \right] + = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ \frac{4}{n^2} + (-1)^n (-1)^n - \frac{2}{n} (-1)^n 0 \right] + = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{n^2} + (-1)^n (-1)^n + = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{n^2} + = \frac{1}{2} \left[ f(\pi + 0) + f(\pi - 0) \right] + = \frac{1}{2} \left[ f(-\pi + 0) + f(\pi - 0) \right] + = \frac{1}{2} \left[ \pi + \pi^2 + (-\pi + \pi^2) \right] + = \pi^2. + \end{dmath*} + Logo, + \begin{dmath*} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} + = \frac{2 \pi^2}{3}. + \end{dmath*} + Portanto, $\sum_{n = 1}^{\infty} 1 / n^2 = \pi^2 / 6$. \end{solution} + + \part Faça um esboço, para $x \in \mathbb{R}$, do gráfico das funções + repreentadas pelas séries nos casos: da série acima, da série de Fourier em + cossenos no intervalo $[0,\pi]$ de $f(x)$ e da série de Fourier em senos no + intervalo $[-\pi,0]$ de $f(x)$. + \begin{solution} + Esboço de $f(x)$: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-2.2,0) -- (2.2,0) node[below right] {$x$}; + \draw[->] (0,-1) -- (0,7) node[above right] {$f(x)$}; + + \draw[blue,domain=-2:2,samples=100] plot (\x, \x + \x * \x); + + \foreach \x in {-2,-1,...,2} { + \draw (\x,0) node[below] {$\x \pi$}; + } + \end{tikzpicture} + \end{center} + + Esboço da série do item anterior: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-6.2,0) -- (6.2,0) node[below right] {$x$}; + \draw[->] (0,-1) -- (0,7) node[above right] {$f(x)$}; + + \foreach \s in {-4,0,4} { + \draw[blue,domain=-2:2,samples=100] plot (\x + \s, \x + \x * \x); + } + + \foreach \x in {-6,-5,...,6} { + \draw (\x,0) node[below] {$\x \pi$}; + } + \end{tikzpicture} + \end{center} + + Esboço da série de Fourier em cossenos: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-6.2,0) -- (6.2,0) node[below right] {$x$}; + \draw[->] (0,-1) -- (0,7) node[above right] {$f(x)$}; + + \foreach \s in {-4,0,4} { + \draw[blue,domain=0:2,samples=100] plot (\x + \s, \x + \x * \x); + \draw[blue,domain=-2:0,samples=100] plot (\x + \s, -\x + \x * \x); + } + + \foreach \x in {-6,-5,...,6} { + \draw (\x,0) node[below] {$\x \pi$}; + } + \end{tikzpicture} + \end{center} + + Esboço da série de Fourier em senos: + \begin{center} + \begin{tikzpicture} + \draw[->] (-6.2,0) -- (6.2,0) node[below right] {$x$}; + \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above right] {$f(x)$}; + + \foreach \s in {-4,0,4} { + \draw[blue,domain=-2:0,samples=100] plot (\x + \s, \x + \x * \x); + \draw[blue,domain=2:0,samples=100] plot (\x + \s, \x - \x * \x); + } + + \foreach \x in {-6,-5,...,6} { + \draw (\x,0) node[below] {$\x \pi$}; + } + \end{tikzpicture} + \end{center} + \end{solution} + \end{parts} \end{questions} + +\section{Lista de Integrais} +\begin{dmath}[label={ti:80}] + \int \cos(a x) \sin(b x) \vi{x} = \frac{\cos\left( (a - b) x \right)}{4 (2 a - + b)} - \frac{\cos\left( (a + b) x \right)}{2 (a + b)} \condition{$a \neq b$} +\end{dmath} + % \bibliographystyle{plain} % \bibliography{bibliography} \end{document} diff --git a/lista2.tex b/lista2.tex index 4920b2d..e2b2be8 100644 --- a/lista2.tex +++ b/lista2.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista2.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 2. % @@ -17,14 +17,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam -\newcommand{\mycheader}{Lista 2 - S\'{e}rie de Fourier-Legendre} +% Customização da classe exam +\newcommand{\mycheader}{Lista 2 - Série de Fourier-Legendre} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -40,23 +40,23 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - \question Desenvolva a fun\c{c}\~{a}o + \question Desenvolva a função \begin{align*} f(x) &= \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & -1 < x < 0, \end{cases} \end{align*} - em uma s\'{e}rie de Fourier-Legendre. + em uma série de Fourier-Legendre. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Mostre que os coeficientes das expans\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o + \question Mostre que os coeficientes das expansão da função \begin{align*} f(x) &= x^4 - 3 x^2 + x \end{align*} - em uma s\'{e}rie de Fourier-Legendre s\~{a}o dadas por + em uma série de Fourier-Legendre são dadas por \begin{align*} a_0 &= -4/5, \\ a_1 &= 1, \\ @@ -66,30 +66,30 @@ a_n &= 0 && n = 5, 6, 7 \ldots \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Seja a s\'{e}rie de Fourier-Legendre de $f(x)$, + \question Seja a série de Fourier-Legendre de $f(x)$, \begin{align*} f(x) &= \sum_{n = 0}^\infty a_n P_n(x). \end{align*} - Supondo que essa s\'{e}rie converge uniformemente, mostre que + Supondo que essa série converge uniformemente, mostre que \begin{align*} \int_{-1}^1 \left[ f(x) \right]^ 2 \,\mathrm{d}x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{2 a_n^2}{2 n + 1}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Os polin\^{o}mios de Hermite $H_n(x)$ podem ser definidos pela f\'{o}rmula de Rodrigues, \begin{align*} H_n(x) &= (-1)^n \exp(x^2) \left[ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \exp(-x^2) \right], \end{align*} - onde $n = 0, 1, 2, \ldots$ e satisfazem a rela\c{c}\~{a}o de ortogonalidade + onde $n = 0, 1, 2, \ldots$ e satisfazem a relação de ortogonalidade \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2) H_n(x) H_m(x) \,\mathrm{d}x &= 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{mn}. \end{align*} - Mostre que os coeficientes do desenvolvimento da fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x^3$ em uma s\'{e}rie de Fourier-Hermite s\~{a}o dadas por + Mostre que os coeficientes do desenvolvimento da função $f(x) = x^3$ em uma série de Fourier-Hermite são dadas por \begin{align*} a_0 &= 0, \\ a_1 &= 3/4, \\ @@ -98,16 +98,16 @@ a_n &= 0 && n = 4, 5, 6, \ldots \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Mostre que os coeficientes da expans\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o $f(x) = x^2$ em uma s\'{e}rie de Fourier-Bessel de ordem zero s\~{a}o dados por + \question Mostre que os coeficientes da expansão da função $f(x) = x^2$ em uma série de Fourier-Bessel de ordem zero são dados por \begin{align*} c_n &= \frac{2 \left( \alpha_n^2 - 4 \right)}{\alpha_n^3 J_1(\alpha_n)}, && n = 1, 2, 3, \ldots \end{align*} - onde $\alpha_n$ \'{e} o $n$-\'{e}simo zero de $J_0(x)$. + onde $\alpha_n$ é o $n$-ésimo zero de $J_0(x)$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question @@ -120,31 +120,31 @@ y(4) = 0, \end{cases} \end{align*} - tem autovalores e autofun\c{c}\~{o}es + tem autovalores e autofunções \begin{align*} \lambda_n &= \left( \frac{3 \alpha_n}{16} \right)^2, & y_n(x) & J_0\left( \frac{\alpha_n x^{3/2}}{8} \right), \end{align*} - onde $n = 1, 2, 3, \ldots$ e $\alpha_n$ \'{e} o $n$-\'{e}simo zero da fun\c{c}\~{a}o de Bessel de primeira esp\'{e}cie e ordem zero. + onde $n = 1, 2, 3, \ldots$ e $\alpha_n$ é o $n$-ésimo zero da função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \part Mostre que a expans\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o $f(x) = 1$ em termo dessa autofun\c{c}\~{a}o \'{e} dada por + \part Mostre que a expansão da função $f(x) = 1$ em termo dessa autofunção é dada por \begin{align*} 1 &= \sum_{n = 1}^\infty \frac{2}{\alpha_n J_1(\alpha_n)} y_n(x). \end{align*} \begin{solution} - % TODO EScrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO EScrever solução. \end{solution} \end{parts} - \question[P1 de 2006] Seja a s\'{e}rie de Fourier-Bessel + \question[P1 de 2006] Seja a série de Fourier-Bessel \begin{align*} f(x) &= \sum_{n = 1}^\infty c_n J_k(\lambda_{kn} x/a), \end{align*} - onde $\lambda_{kn}$ \'{e} o $n$-\'{e}simo zero de $J_k(x)$ e $0 < x < a$. + onde $\lambda_{kn}$ é o $n$-ésimo zero de $J_k(x)$ e $0 < x < a$. \begin{parts} - \part Supondo a converg\^{e}ncia uniforme, mostre que a identidade de Parseval para essa s\'{e}rie \'{e} + \part Supondo a converg\^{e}ncia uniforme, mostre que a identidade de Parseval para essa série é \begin{align*} \int_0^a \left[ f(x) \right]^2 x \id{x} &= \frac{a^2}{2} \sum_{n = 1}^\infty c_n^2 \left[ J_{k+1}\left( \lambda_{kn} \right) \right]^2. \end{align*} @@ -158,7 +158,7 @@ \end{align*} \end{solution} - \part Sabendo que o desenvolvimento de $f(x) = x^k$ em termos dessa s\'{e}rie \'{e} dado por + \part Sabendo que o desenvolvimento de $f(x) = x^k$ em termos dessa série é dado por \begin{align*} x^k = \sum{n = 1}^\infty \frac{2 a^k J_k\left( \lambda_{kn} x / a \right)}{\lambda_{kn} J_{k+1}\left( \lambda_{kn} \right)}, \end{align*} @@ -204,11 +204,11 @@ -1, & x < 0. \end{cases} \end{align*} - Mostre que seu desenvolvimento em uma s\'{e}rie de Fourier-Legendre \'{e} dado por + Mostre que seu desenvolvimento em uma série de Fourier-Legendre é dado por \begin{align*} \text{sign}(x) &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n (1/2)_n (2n + 3/2)}{(n + 1)!} P_{2n + 1}(x), \end{align*} - onde $(a)_n = a (a + 1) \cdots (a + n - 1)$ \'{e} o s\'{i}mbolo de Pochhammer e $P_n(x)$ \'{e} o $n$-\'{e}simo polini\^{o}mio de Legendre. + onde $(a)_n = a (a + 1) \cdots (a + n - 1)$ é o s\'{i}mbolo de Pochhammer e $P_n(x)$ é o $n$-ésimo polini\^{o}mio de Legendre. \begin{solution} Temos que \begin{align*} @@ -219,7 +219,7 @@ a_n = \frac{2n + 1}{2} \int_{-1}^1 \text{sign}(x) P_n(x) \id{x}. \end{align*} - Ent\~{a}o + Então \begin{align*} \int_{-1}^1 \text{sign}(x) P_n(x) \id{x} &= \int_{-1}^0 (-1) P_n(x) \id{x} + \int_0^1 (1) P_n(x) \id{x} \\ &= \int_1^0 P_n(-x) \id{X} + \int_0^1 P_n(x) \id{x} \\ @@ -252,7 +252,7 @@ \end{align*} \end{solution} - \question[T2 de 2011, P1 de 2011] Sejam $L_n(x)$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$) os polinîmios de Laguerre. Mostre que o desenvolvimento da fun\c{c}\~{a}o $f(x) = \exp(-ax)$ ($a > 0$) em uma s\'{e}rie de Fourier-Laguerre pode ser escrito na forma + \question[T2 de 2011, P1 de 2011] Sejam $L_n(x)$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$) os polinîmios de Laguerre. Mostre que o desenvolvimento da função $f(x) = \exp(-ax)$ ($a > 0$) em uma série de Fourier-Laguerre pode ser escrito na forma \begin{align*} \exp\left( -ax \right) &= \frac{1}{1 + a} \sum_{n = 0}^\infty \left( \frac{a}{1 + a} \right)^n L_n(x), \end{align*} @@ -275,24 +275,24 @@ c_n &= \int_0^\infty \exp(-x) \exp(-ax) \frac{\exp(x)}{n!} \frac{\id{}^n}{\id{x^n}}\left( \exp(-x) x^n \right) \id{x} \\ &= \frac{1}{n!} \int_0^\infty \exp\left( -ax \right) \frac{\id{}^n}{\id{x^n}}\left( \exp(-x) x^n \right) \id{x} \end{align*} - % TODO Terminar de escrever a solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Terminar de escrever a solução. \end{solution} \question[P1 de 2011] Os polin\^{o}mios de Hermite $H_n(x)$ podem ser definidos pela f\'{o}rmula de Rodrigues, \begin{align*} H_n(x) &= (-1)^n \exp(x^2) \frac{\id{}^n}{\id{x^n}}\left( \exp(-x^2) \right), \end{align*} - onde $n = 0, 1, 2, \ldots$ e satisfazem a rela\c{c}\~{a}o de ortogonalidade + onde $n = 0, 1, 2, \ldots$ e satisfazem a relação de ortogonalidade \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2) H_n(x) H_m(x) \id{x} &= 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{mn}. \end{align*} - Encontre o desenvolvimento da fun\c{c}\~{a}o + Encontre o desenvolvimento da função \begin{align*} f(x) = x^4 \end{align*} - em uma s\'{e}rie de Fourier-Hermite. + em uma série de Fourier-Hermite. \begin{solution} - % TODO Escrever a solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever a solução. \end{solution} \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/lista3.tex b/lista3.tex index ae658d4..7e60bb9 100644 --- a/lista3.tex +++ b/lista3.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % Filename: lista3.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica -% Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática +% Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 3. % @@ -22,7 +22,7 @@ % A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista 3 - Transformada de Fourier} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule @@ -30,7 +30,7 @@ \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -47,10 +47,10 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - \question Mostre que a transformada de Fourier das fun\c{c}\~{o}es $f(x)$ - abaixo s\~{a}o dadas pelas correspondentes fun\c{c}\~{o}es $F(k)$ onde - $\sgn(x) = 2 H(x) - 1$ \'{e} a fun\c{c}\~{a}o sinal (ou seja, $\sgn(x) = 1$ - se $x > 0$ e $\sgn(x) = -1$ se $x < 0$) e $H(x)$ \'{e} a fun\c{c}\~{a}o + \question Mostre que a transformada de Fourier das funções $f(x)$ + abaixo são dadas pelas correspondentes funções $F(k)$ onde + $\sgn(x) = 2 H(x) - 1$ é a função sinal (ou seja, $\sgn(x) = 1$ + se $x > 0$ e $\sgn(x) = -1$ se $x < 0$) e $H(x)$ é a função escada (ou seja, $H(x) = 1$ se $x > 0$ e $H(x) = 0$ se $x < 0$). \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} @@ -67,14 +67,14 @@ \end{tabular} \end{center} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Usando $\delta(x) = H'(x)$ e a express\~{a}o acima para a + \question Usando $\delta(x) = H'(x)$ e a expressão acima para a transformada de Fourier de $H(x)$, mostre que $\mathcal{F}[\delta(x)] = 1 / \sqrt{2 \pi}$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Mostre que @@ -83,7 +83,7 @@ \id{x} &= \frac{3 \pi}{16}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Use a f\'{o}rmula integral de Fourier para mostrar que @@ -91,13 +91,13 @@ \part $\int_0^\infty \left[ \left( \cos(xy) \right) / \left( 1 + y^2 \right) \right] \id{x} = \left( 2 / \pi \right) \exp(-|x|),$ \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\int_0^\infty \left[ \left( y \sin(xy) \right) / \left( 1 + y^2 \right) \right] \id{y} = \left( 2/\pi \right) \sgn(x) \exp(-|x|)$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \end{parts} @@ -106,17 +106,17 @@ \part $\int_0^\infty \left[ 1 / \left( 1 + x^2 \right)^2 \right] \id{x} = \pi / 4$, \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\int_0^\infty \left[ \left( x \cos(x) - \sin(x) \right)^2 / x^6 \right] \id{x} = \pi / 15$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \end{parts} - \question Verifique a validade da convolu\c{c}\~{a}o para as fun\c{c}\~{o}es + \question Verifique a validade da convolução para as funções \begin{align*} f(x) = g(x) &= \begin{cases} 1, & |x| < 1, \\ @@ -124,21 +124,21 @@ \end{cases} \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Ilustre o Princ\'{i}pio de Incerteza de Heisenberg para a - fun\c{c}\~{a}o + função \begin{align*} f(x) &= \frac{a}{x^2 + a^2}, \end{align*} com $a > 0$, mostrando que nesse caso $\Delta x = a$ e $\Delta k = 1 / \sqrt{2} a$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Seja $\psi(x, t)$ uma fun\c{c}\~{a}o dada na forma + \question Seja $\psi(x, t)$ uma função dada na forma \begin{align*} \psi(x, t) = \int_{-\infty}^\infty \phi(k) \exp\left( i (k x - k^2 t / 2 \right) \id{k}. @@ -161,7 +161,7 @@ \end{cases} \end{align*} \begin{parts} - \part Mostre que a transformada de Fourier $F(k)$ de $f(x)$ \'{e} dada + \part Mostre que a transformada de Fourier $F(k)$ de $f(x)$ é dada por \begin{align*} F(k) &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{\sin(k)}{k} \right)^2. @@ -233,7 +233,7 @@ \question[P1 de 2011] \begin{parts} \part Mostre que a transformada de Fourier de $f(x) = \exp(-a x^2)$ - \'{e} dada por + é dada por \begin{align*} F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2 a}} \exp\left( -k^2 / (4a) \right). \end{align*} diff --git a/lista4.tex b/lista4.tex index 8eff209..e9e881e 100644 --- a/lista4.tex +++ b/lista4.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % Filename: lista4.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica -% Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática +% Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 4. % @@ -22,15 +22,15 @@ % A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam -\newcommand{\mycheader}{Lista 4 - S\'{e}rie de Fourier (2)} +% Customização da classe exam +\newcommand{\mycheader}{Lista 4 - Série de Fourier (2)} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -47,12 +47,12 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - \question Seja a equa\c{c}\~{a}o + \question Seja a equação \begin{align*} \devp{^2 G(x, \epsilon)}{x^2} - \omega^2 G(x, \epsilon) &= \delta(x - \epsilon), \end{align*} - onde $-\infty < x$, $\epsilon < \infty$ e $\omega > 0$. Use o m\'{e}todo da + onde $-\infty < x$, $\epsilon < \infty$ e $\omega > 0$. Use o método da transformada de Fourier para mostrar que $G(x, \epsilon)$ pode ser escrita na forma \begin{align*} @@ -61,16 +61,16 @@ \frac{-1}{2 \omega} \exp\left( -\omega |x - \epsilon| \right). \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solu\c{c}\~{a}o da - equa\c{c}\~{a}o + \question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solução da + equação \begin{align*} \kappa^2 \devd{^4 y}{x^4} + y &= \delta(x), \end{align*} - onde $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condi\c{c}\~{o}es $\lim_{x \to - \pm\infty} y^{(k)} = 0$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4$) \'{e} dado por + onde $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condições $\lim_{x \to + \pm\infty} y^{(k)} = 0$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4$) é dado por \begin{align*} y(x) &= \frac{1}{2 \sqrt{2\kappa}} \left( \cos\left( \frac{|x|}{\sqrt{2\kappa}} \right) + \sin\left( @@ -78,42 +78,42 @@ \sqrt{2\kappa} \right). \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solu\c{c}\~{a}o da - equa\c{c}\~{a}o + \question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solução da + equação \begin{align*} \devp{\omega}{t} &= -\kappa \devp{\omega}{x} + D \devp{^2 \omega}{x^2}, \end{align*} - onde $t > 0$, $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condi\c{c}\~{o}es que + onde $t > 0$, $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condições que $\omega(x, t)$, $\left[ partial \omega(x, t) \right] / \partial x$ e $\left[ \partial^2 \omega(x, t) \right] / \partial x^2$ se anulem para $x \to \pm - \infty$ e a condi\c{c}\~{a}o inicial + \infty$ e a condição inicial \begin{align*} \omega(x, 0) &= \delta(x - x_0) \end{align*} - \'{e} dada por + é dada por \begin{align*} \omega(x, t) &= \frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \exp\left( - \frac{(x - x_0 - \kappa t)^2}{4 D t} \right). \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Usando o m\'{e}todo da transformada de Fourier, mostre que a - solu\c{c}\~{a}o da equa\c{c}\~{a}o integral + \question Usando o método da transformada de Fourier, mostre que a + solução da equação integral \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \frac{y(u)}{(x - u)^2 + a^2} \id{u} &= \frac{1}{x^2 + b^2}, \end{align*} - onde $0 < a < b$, \'{e} dada por + onde $0 < a < b$, é dada por \begin{align*} y(x) &= \frac{a}{b \pi} \frac{(b - a}{x^2 + (b - a)^2}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Com $\mathcal{F}_s$ e $\mathcal{F}_c$ denotando, respectivamente, @@ -122,25 +122,25 @@ \part $\mathcal{F}_s\left[ \exp(-x) \cos(x) \right] = \sqrt{2 / \pi} k^3 / \left( k^4 + 4 \right)$, \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\mathcal{F}_s\left[ \left( H(x) - H(x - \pi) \right) \sin(x) \right] = \sqrt{2 / \pi} \sin(k \pi) / \left( 1 - k^2 \right)$, \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\mathcal{F}_c\left[ x \exp(- a x) \right] = \sqrt{2 / \pi} \left( a^2 - k^2 \right) / \left( a^2 + k^2 \right)^2$, \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\mathcal{F}_c\left[ \exp(-a x^2) \right] = \left( 2 a \right)^{-1/2} \exp\left( -k^2 / (4 a) \right)$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \end{parts} @@ -149,18 +149,18 @@ \part $\mathcal{F}_s\left[ f'(x) \right] = -k \mathcal{F}_c\left[ f(x) \right]$, \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \part $\mathcal{F}_c\left[ f'(x) \right] = - \sqrt{2 / \pi} f(0) + k \mathcal{F}_s\left[ f(x) \right]$. \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \end{parts} \question Seja $\erfc(x) = \left( 2 / \sqrt{\pi} \right) \int_\pi^\infty - \exp(-t^2) \id{t}$. Usando a rela\c{c}\~{a}o acima entre + \exp(-t^2) \id{t}$. Usando a relação acima entre $\mathcal{F}_x\left[ |f'(x)| \right]$ e $\mathcal{F}_s\left[ f(x) \right]$ mais o resultado para $\mathcal{F}_c\left[ \exp\left( -a x^2 \right) \right]$, mostre que @@ -169,44 +169,44 @@ \frac{1 - \exp\left( -k^2 / \left( 4 \lambda^2 \right) \right)}{k}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} - \question Seja a equa\c{c}\~{a}o + \question Seja a equação \begin{align*} y''(x) - k^2 y(x) &= f(x), \end{align*} - onde $x \geq 0$, com as condi\c{c}\~{o}es + onde $x \geq 0$, com as condições \begin{align*} y'(0) &= a, & \lim_{x \to \infty} y(x) &< \infty. \end{align*} - Use o m\'{e}todo da transformada de Fourier em cossenos para mostrar que + Use o método da transformada de Fourier em cossenos para mostrar que \begin{align*} y(x) &= \frac{-a}{k} \exp(-k x) - \frac{1}{2k} \int_0^\infty f(\xi) (\exp(-k |x - \xi|) + \exp(-k | x + \xi|) \id{\xi}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \question Usando a transformada em seno de Fourier, mostre que a - solu\c{c}\~{a}o da equa\c{c}\~{a}o do calor , + solução da equação do calor , \begin{align*} \devp{u}{t} & D \devp{^2 u}{x^2}, \end{align*} - onde $t > 0$, $0 < x < \infty$, com as condi\c{c}\~{o}es que $u(x, t)$, + onde $t > 0$, $0 < x < \infty$, com as condições que $u(x, t)$, $\partial u(x, t) / \partial x$, e $\partial^2 u(x, t) / \partial x^2$ se - anulem para $x \to 0$ e $x \to \infty$ e a condi\c{c}\~{a}o inicial + anulem para $x \to 0$ e $x \to \infty$ e a condição inicial \begin{align*} u(x, 0) &= f(x) \end{align*} - \'{e} dada por + é dada por \begin{align*} u(x,t) &= \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty f(\xi) \exp(-D k^2 t) \sin(k \xi) \sin(k x) \id{\xi} \id{k}. \end{align*} \begin{solution} - % TODO Escrever solu\c{c}\~{a}o. + % TODO Escrever solução. \end{solution} \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/lista5.tex b/lista5.tex index 13b080d..1bf703c 100644 --- a/lista5.tex +++ b/lista5.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista5.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 5. % @@ -17,14 +17,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista 5 - Transformada de Laplace} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -40,7 +40,7 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - % TODO Escrever quest\~{o}es e respostas. + % TODO Escrever questões e respostas. \question \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/lista6.tex b/lista6.tex index 21d6b28..c908b11 100644 --- a/lista6.tex +++ b/lista6.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista6.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 6. % @@ -17,14 +17,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista 6 - <+Titulo+>} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -40,7 +40,7 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - % TODO Escrever quest\~{o}es e respostas. + % TODO Escrever questões e respostas. \question \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/lista7.tex b/lista7.tex index 443195a..7c694e3 100644 --- a/lista7.tex +++ b/lista7.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista7.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 7. % @@ -17,14 +17,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista 7 - EDP} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -40,7 +40,7 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - % TODO Escrever quest\~{o}es e respostas. + % TODO Escrever questões e respostas. \question \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/lista8.tex b/lista8.tex index 9753b61..ef520cf 100644 --- a/lista8.tex +++ b/lista8.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: lista8.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 8. % @@ -17,14 +17,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista 8 - EDP (2)} \header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -40,7 +40,7 @@ \newpage \setcounter{page}{1} \begin{questions} - % TODO Escrever quest\~{o}es e respostas. + % TODO Escrever questões e respostas. \question \end{questions} % \bibliographystyle{plain} diff --git a/maintainer.tex b/maintainer.tex index 378e0d6..f79b313 100644 --- a/maintainer.tex +++ b/maintainer.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: maintainer.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS550, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada I, and F520, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica I' +% This code is part of 'Solutions for MS550, Métodos de Matemática Aplicada I, and F520, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica I' % % Description: This file keeps the email of the mainteiner. % diff --git a/maintainer_name.tex b/maintainer_name.tex index e11f876..7c47301 100644 --- a/maintainer_name.tex +++ b/maintainer_name.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: maintainer_name.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS550, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada I, and F520, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica I' +% This code is part of 'Solutions for MS550, Métodos de Matemática Aplicada I, and F520, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica I' % % Description: This file keeps the email of the mainteiner. % diff --git a/packages.tex b/packages.tex index 3154471..2fe3251 100644 --- a/packages.tex +++ b/packages.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: packages.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the packages used. % @@ -22,11 +22,12 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} +\usepackage{breqn} \usepackage{hyperref} \usepackage{graphicx} \usepackage{tikz} -% Customiza\c{c}\~{a}o do pacote amsmath +% Customização do pacote amsmath \allowdisplaybreaks[4] % Novos comandos @@ -38,4 +39,5 @@ \newcommand{\diver}{\mbox{div }} \newcommand{\rot}{\mbox{rot }} -\newcommand{\id}[1]{\, \mathrm{d}#1} +\newcommand{\id}[1]{\, \mathrm{d}#1} % Deprecado +\newcommand{\vi}[1]{\, \mathrm{d}#1} % Variávei de Integração diff --git a/paper_size.tex b/paper_size.tex index 682e9d4..7661d0d 100644 --- a/paper_size.tex +++ b/paper_size.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: paper_size.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the paper size output. % @@ -16,7 +16,7 @@ % % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % -% Para impress\~{a}o +% Para impressão \usepackage[top=3cm, bottom=3cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} % Para ereaders (Kindle, Nook, Kobo, ...) diff --git a/repository.tex b/repository.tex index e04da7c..9b0c3a7 100644 --- a/repository.tex +++ b/repository.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Filename: repository.tex % -% This code is part of 'Solutions for MS550, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada I, and F520, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica I' +% This code is part of 'Solutions for MS550, Métodos de Matemática Aplicada I, and F520, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica I' % % Description: This file keeps the url of the repository. % diff --git a/template.tex b/template.tex index cc84a03..4170852 100644 --- a/template.tex +++ b/template.tex @@ -1,7 +1,7 @@ %<+ +> !comp! !exe! % Filename: !comp!expand("%:p:t")!comp! % -% This code is part of 'Solutions for MS650, M\'{e}todos de Matem\'{a}tica Aplicada II, and F620, M\'{e}todos Matem\'{a}ticos da F\'{i}sica II' +% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II' % % Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet <+NUMBER+>. % @@ -21,14 +21,14 @@ % This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. % \documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam} -% Customiza\c{c}\~{a}o da classe exam +% Customização da classe exam \newcommand{\mycheader}{Lista <+NUMBER+> - <+Topic+>} \header{MS650, F620}{\mycheader}{\thepage/\numpages} \headrule \footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para \\\input{maintainer.tex}} \footrule \pagestyle{headandfoot} -\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solu\c{c}\~{a}o:}\enspace} +\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace} \SolutionEmphasis{\slshape} \unframedsolutions \pointname{} @@ -37,7 +37,7 @@ \input{packages.tex} -% Customiza\c{c}\~{a}o do pacote amsmath +% Customização do pacote amsmath \allowdisplaybreaks[4] % Novos ambientes