calculus_notes

(自己2005年写的东西,考古考出来的...)

1. 极限

函数在某点的极限是根据函数在该点小领域的性质对该点值的预测， 
由于是预测，所以极限的定义本来就看起来很保守。预测的结果可能 
是确定的（即某一趋势的概率为1），也可能是不确定的，如前面所说 
的正负无穷和震荡。 

当然即使极限可以确定，这个确定的值也可以和真实值存在不一致， 

所以说极限存在是很好的性质，还有更好的，如连续，就是函数在该 
点的发展趋势很明显，完全反映在函数表达式上，即极限值和真实值 
一致。 

极限不存在 --〉 极限存在 --〉连续，一直是从不确定到确定， 
由此看来数学主要是对于确定的东西感兴趣，即使是概率论也是在不 
确定的范畴内研究相对的确定性。因为这种确定性才是我们改造世界 
的依据。在一个充满不确定的时间里找到一些可以确定的东西，这已
经是很了不起了。

2. 微积分第一基本定理

定积分和不定积分原来是两个完全不同的范畴，如果不看它们被定义
的符号是绝对想不到它们之间会怎样联系的。然而这一联系还是被牛顿
或莱布尼兹找到了，pf一下。

定积分：表示某f（x）在[a，b]上可积，即对[a，b]切成n个等分，
当δXi --〉0， 可对所有∑f（c）Xi求和，其2d的几何意义就是面积。
用Riemann和来定义定积分的手段与极限的定义很类似，可以注意一下。

不定积分：可以表示成 F'（x） = f（x）或∫f（x）dx = F（x）+ C
其实就是求导的逆，孤立的来看一点意义都没有。

最终这两个完全不同的概念用微机分第一基本定理联系了起来：
 x
∫a  f(x)dx = ∫f（x）dx   + C
 
看到了吗，定积分如果用定义来求会有多难，可微积分第一基本定
理陡然为我们求解它找到了一片新的天地，只要求出相应的不定积
分就可以求出定积分了。更具体一点：

 b
∫a  f(x)dx = F(b) - F(a)

这就是著名的Newton-Leibniz公式，即微机分第二基本定理。

回到第一基本定理，它为“积分”和“微分”建立了联系，就像傅利叶
变换为时域和频域找到了联系一样，更广泛的，用一种逻辑空间研究另
一种逻辑空间，所取得的成就有可能比传统的方法高明很多，好比用分
析的方法研究几何就成了微分几何一样。

另外需要注意一点，之所以前面两个定理的条件是f（x）在[a，b]上 
连续，是因为对于不定积分来讲，这是f（x）原函数存在的条件，而
定积分只要求“可积”即可，条件有所减弱。

3. 导数的动机贯穿了以直化曲的思想。

取某个点X0的小领域来研究它的变化趋势，用连接(X0，f(X0)) 与 
(X0 + δ,f(X0 + δ))的直线的斜率来试图衡量在这个领域内f(X)相对
于X的变化趋势。还可以研究f'(X)相对于X的变化趋势，以此类推，得到
了什么呢？

这就是Taylor公式：(在a的领域内)
       n
f(x) =  ∑f^(n)(a) * (x - a)^n/ k ! + Rn(x)
      k = 0

中值定理其实就是n = 0的一种特殊情况：

f(x) = f(x0) + f'(c) * (x - x0)

这个东西有什么用呢？用处大了！！没发现微机分基本定理就是中值定理
证明的吗？另外再看这个：

s = s0 + v * t + 1/2 * a * t^2

这是牛顿力学里求距离的公式，只是把最后的R2（t）给忽略掉了，可能
这就是牛顿力学的误差之一吧。不管怎么说导数很好的发挥了它从局部研
究整体的特点。

4. 任何n元函数 G(x1,x2...xn-1) = xn总可以化成 F(x1,x2...xn) = 0
的方程，取特殊情况3d，F（x,y,z) = 0 是个曲面C（当然可能退化成
曲线或点，这里指考虑一般情况）。

我们考察在曲面上某点M0(x0,y0,z0)的情况，这个点的领域是复杂的，我们
开始只用一条曲线r（t）= 0逼近它：

F(r(t)) = 0 ==> ▽F（M0） * r'(t) = 0

由于r（t）的任意性 ，得到▽F（M0）垂直任何过M0点的切向量，于是可以得到切
平面方程和法线方程，另外的到结论，沿C的方向与▽F的乘机为0。

回过来，研究F（x,y,z) = 0 上的M0点就是研究G（x，y）= z上的点K0（x0，y0）
与函数值z0。

r(t)是向量场：
   R^2 ----------------> R^3
  （x,y) ----------> (x,y,G(x,y))   

由于梯度的这个垂直性质使得他在几何和物理中有许多应用，如电磁学中的应用就
数不胜数。而且由于梯度的特殊性，研究了与它的关系，即研究了与某一特性或某
一趋势的关系），这就是全导数：

Tv = ▽F * V   注意这是个线性变换

更具体的，只需研究角度关系的话就是方向导数了。

5. 研究任何东西都想先看到它的motivation，然后用humanity的
眼光来看这一理论的发展过程，看到漂亮的地方就很开心，好比前面的微机分基本定理。
比如狭义相对论，有两个很简单很可信的假设：
1。光速不变。
2。所有物理规律在不同惯性系下保持不变。
推出了一大片理论，注意哦，包括爱因斯坦延缓和洛仑兹收缩，还有著名的空间第四维。
（其实没有大家想象的那样奇妙，所谓时间延缓和长度收缩，都是在一个惯性系里看另一
 个惯性系，对惯性系里的本人来讲没有任何变化，难不成你还把眼睛挖出来放在另一个
 惯性系里？第四维也是逻辑上的，三维的我们根本不可能想象到第四维，因为从来没有 
 这个经验嘛）
这个理论的推导很是符合人的认识思维，所以看起来有点像看侦探小说，一直想往下面看。
到底怎样的理论才是好的呢，我觉得这样：

1. 立论假设都很合理且很少，往往能经受住实际的检验。
2. 并且在这样的前提下能推出一片广泛而漂亮的结果，有的还有实际价值。
3. 理论的产生有motivation，如在原来的逻辑空间里遇到了解决不了的问题，就开辟一个
  新的更好的逻辑空间。比如相对论就是因为牛顿力学解决不了一些问题才诞生的。