05-capit.Rmd

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# Variável Aleatória Contínua

## Distribuições contínuas

Para entender a diferença entre variável aleatória discreta e a variável aleatória contínua  é necessário definir cada uma delas:

- Variável Aleatório Discreta: assume valores específicos. Exemplo: número de clientes que entram na loja, número de mortes, número de nascimentos, etc.

- Variável Aleatória Contínua: assume qualquer valor no domínio dos número reais. Por isso entre os valores 2 e 3, por exemplo, pode existir infinitos valores para uma variável aleatória contínua. Exemplo: peso, altura, preço de commodities, temperatura, quantidade de chuva em milímetros, etc. 

@Sartoris2013 exemplica as duas situações de variáveis discretas e contínuas usando o exemplo de relógio digital e de relógio analógico considerando somente a hora como valor da variável. No caso do relógio digital a mudança de valor ocorre de forma discreta, diferentemente da situação do relógio analógico que a mudança de horas é de forma gradual.

Para o caso discreto é possível calcular a probabidade para os valores específicos. Por isso 
\[
P(2<x<3) \neq P(2\leq x \leq 3) \neq P(2 < x \leq 3) \neq P(2\leq x < 3)
\]

Já para o caso contínuo não é possível calcular a probabilidade para um valor específico da variável. Inclusive, no limite, a probilidade de um valor específico para uma variável aleatória contínua é igual zero. Portanto,

\[
P(2<x<3) = P(2\leq x \leq 3) = P(2 < x \leq 3) = P(2\leq x < 3)
\]

A situação do exemplo do relógio analógico do @Sartoris2013, como a mudança de hora ocorre de forma gradual e a probabilidade é igual para qualquer valor da hora, trata-se de uma distribuição de probabilidade uniforme contínua. Grafico gerado usando a função `gglot` do pacote  `ggplot2`.

```{r DistribuicaoUniformeContinua, echo=TRUE, fig.cap = "Um exemplo de distribuição uniforme Contínua."}
library(ggplot2)

hora <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
prob <- c(1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12,1/12)
horaanalogica <- as.data.frame(cbind(hora, prob))
horaanalogica

ggplot(horaanalogica, aes(hora, prob)) +
  geom_line() +
  xlim(0,13) + ylim(0,0.20) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(1,12, by = 1))
```


Nesta situação apresentada na figura \@ref(fig:DistribuicaoUniformeContinua), matematicamamente faz sentido calcular a probabilidade para um intervalo de valores da variável e não para valores específicos com é no caso da variável aleatória discreta. Dessa forma com a função de probabilidade da distribuição, denominada de **função densidade de probabilidade** (f.d.p.), pode-se obter a probabilidade obtendo a área abaixo da curva desta função. Matematicamente, a probabilidade pode ser obtida através da integral definida desta função para o intervalo de valores em questão.

Note que para $f(x)$ ser função densidade de probabilidade, precisa atender as seguintes propriedades definidas pela teoria da probabilidade:

- a soma das probabilidades para todo os valores definidos da variável $x$ dever ser igual a 1.
- a probabilidade obtida através de $f(x)$ não pode ser negativa. 

No exemplo da relógio analógico a probabilidade da hora estar entre 2 e 3 é a área da curva ou reta da distribuição uniforme contínua cujo valor constante da probabilidade é $1/12$. O intervalo entre 2 e 3 proporciona um intervalo equivalente a unidade, uma vez que intervalo pode ser calculado entre a diferença entre o valor final e o valor inicial. Dessa forma:

\[
P(2 < x < 3) = \dfrac{1}{12} \times \left( 3 - 2 \right) = \dfrac{1}{12},
\]
ou seja,
\[
P(2<x<3) = P(2\leq x \leq 3) = P(2 < x \leq 3) = P(2\leq x < 3) = \dfrac{1}{12}
\]

**Exemplo numérico sobre função densidade de probabilidade**

Exemplo 4.1.3 da página 79 do @Sartoris2013. Dada a função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua mostrada a seguir 

\[
  f(x) = 
    \begin{cases}
      Ax~~0\leq x \leq 3\\
      0,~~X<0~\text{ou}~x>3\\
    \end{cases}
\]

a) Determine o valor de A.

**Resposta**: Dado que $f(x) = Ax$

\[
  f(3) = 3A
\]
para $x = 3$ e 
\[
  f(0)  = 0
\]
para $x=0$

Graficamente seria um triângulo de de base 3 e altura de 3A. Como a função definida de modo que
\[
  f(x) \geq 0
\]
ou seja resulte valores não-negativos, basta igualar a área a 1, pois a soma das probabilidades para todos os valores definidos para a variável $x$ deve ser igual a 1. Portanto a probabilidade é a área correspondente ao triangulo de base 3 e altura 3A. Ou seja,
\[
  \dfrac{3A \times 3}{2} = 1
\]
e 
por isso
\[
  A = \dfrac{2}{9}
\]
Ou seja, 
\[
  f(x) = \dfrac{2}{9} x
\]

\begin{center}
  \begin{figure}
    \begin{tikzpicture}[yscale=2]
      \draw[->] (0,0) -- (0,1) node[left]{$f(x)$};
      \draw[->] (0,0) -- (4,0) node[below]{$x$};
      \draw[blue,thick] (0,0) -- (3,2/3);
      \draw[dashed] (0,2/3) node[left]{$3A$} -- (3,2/3);
      \draw[dashed] (3,0) node[below]{3} -- (3,2/3);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Distribuição de probababilidade de $x$ entre 0 e
    3}\label{fig:fig413a}
  \end{figure}
\end{center}

b) Determine a probabilidade de que $x$ esteja entre 2 e 3.

Para $x=2$ se tem
\[
  f(2) = \dfrac{2}{9}\times 2 = \dfrac{4}{9}
\]
e para $x=3$
\[
f(3) = \dfrac{2}{9} \times 3 = \dfrac{2}{3}
\]
A área correspondente a probababilidade de $x$ estar entre 2 e 3 pode ser obtida subtraindo a área do triângulo maior que seria com $x$ entre 0 e 3 e o triângulo menor com $x$ entre 2 e 3. Ou seja, a área do triangulo maior é calculado como

\[
  \text{triângulo menor} = 3\times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = 1
\]

e a área do triângulo maior é calculado como

\[
  \text{triângulo menor} = 2\times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{9}.
\]
Assim a diferença das áreas do triângulo maior e do triângulo menor é igual a $5/9$. Ou seja,

\[
  P(2<x<3) = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}
\]

**Segundo exemplo númerico sobre função densidade de probabilidade**

Exemplo 4.1.4 da página 80 do @Sartoris2013. Dada da f.d.p. ded uma variável aleatória contínua,

\[
  f(x) = 
    \begin{cases}
      Ax^2~~\text{para }~0\leq x \leq 1\\
      0,~~\text{para }~x<0~\text{ou}~x>1\\
    \end{cases}
  \]

a) Determine o valor da constante A.
Note que a função já não é mais do tipo linear e por isso não é necessário utilizar a integral da função em questão para calcular a probabilidade. Considerando novamente que a soma das probabilidades para todos os valores definidos para a variável $x$ deve ser igual a um, se tem

\[
  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\text{d}x = 1
\]
Para este exemplo, a função $f(x)$ só está definido para os valores entre 0 e 1, sendo que para valores de $x$ menor que 0 e valores de $x$ maior que 1 a função $f(x)$ assume valor igual a zero. Portanto,

\[
  \int_{0}^{1} Ax^2\text{d}x = 1
\]
Como A é constante, pode-se colocar para fora da integral

\[
  A\int_{0}^{1} x^2\text{d}x = 1
\]
Calculando a integral definida
\[
  A\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1
\]
Avaliando para os valores 1 e 0 e depois realizando a diferença
\[
  A\left[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{0}{3} \right]_{0}^{1} = 1
\]
Ou seja,
\[
  A = 3.
\]
Ou seja a função é

\[
  f(x) = 3x^2.
\]

b) Dtermine a probabilidade de que $x$ esteja entre 0,5 e 1. 

Primeiramente verifica-se que tanto 0,5 como 1 são valores que estão dentro do intervalo de $x$ definido para a função em questão. Por exemplo, se um dos limites fosse igual a 2, consideraria $x=1$ pois $f(x)=0$ para $x>1$. Por isso basta calcular a integral da função para os valores de $x$ entre 0,5 e 1. Ou seja,

\[
  P(0,5\leq x \leq 1) = \int_{0,5}^{1} 3x^3\text{d}x 
\]
\[
  P(0,5\leq x \leq 1) = \left[ \frac{3x^3}{3}  \right]_{0,5}^{1}
\]
\[
  P(0,5\leq x \leq 1) = 1^3 - 0,5^3 = 1 - 0,125 = 0,875.
\]
Resumindo, para que uma função qualquer seja uma função densidade de probabilidade precisa atender duas condições:

\[
  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \text{d}x = 1
\]
e 
\[
  f(x) \geq 0~~\text{para todos os valores de}~x
\]

**Exemplo numérico sobre a distribuição exponencial**

O exemplo 4.1.5 da página 82 de @Sartoris2013 é uma simples aplicação para a distribuição exponencial. Dada a f.d.p. da varíável aleatória contínua $x$
\[
  f(x) =
    \begin{cases}
      Ae^{-\alpha x},~~\text{para }~x\geq 0 \\
      0,~~\text{para }~~x<0
    \end{cases}
\]
a) Determine o valor de A.
Então como foi informado no anunciado do exemplo numérico, essa distribuição especial é conhecida com distribuição exponencial. Como

\[
  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \text{d}x = 1
\]

e a função assume valores iguais a zero para valores negativos de $x$, se tem

\[
  \int_ {0}^{+\infty} A e^{-\alpha x} = 1.
\]
Como A é constante, pode-se colocar par fora da integral
\[
  A\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}\text{d}x = 1
\]
e sabendo que a integral da função é um pouco diferente, considerando que há um $\alpha$ multiplicando $x$, temos

\[
  A\left[ \dfrac{e^{-\alpha x}}{-\alpha} \right]_{0}^{+\infty} = 1
\]

\[
  A\left[0  - \left(-\dfrac{1}{\alpha}\right)\right] = 1
\]
Portanto,

\[
A = \alpha
\]

### Função de distribuição de variáveis contínuas

A semelhança do caso das variáveis discretas, a **função de distribuição acumulada ** ou **função de distribuição** $F(x)$ é a soma da probabilidades de todos os valores possíveis que a variável $x$ pode assumir até o valor de $x$ propriamente dito. Isso é feito através da integral da seguinte forma

\[
  F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \text{d}t.
\]

Portanto, matematicamente,$f(x)$ é a derivda da função $F(x)$
\[
  f(x) = \dfrac{\text{d}F(x)}{\text{d}x}.
\]

**Exemplo numérico da função de distribuição**

O exemplo 4.2.1 da página 83 do @Sartoris2013, trata-se da obtenção da função distribuição exponencial através da sua respectiva função densidade de probabilidade. Dada a função f.d.p.da dsitribuição exponencial, determine a função de distribuição correspondente.

\[
  f(x) = 
  \begin{cases}
    e^{-x},~~\text{para }~ x \geq 0\\
    0,~~\text{para } x< 0
  \end{cases}
\]
Dado que a função só é definido para $x\geq 0$, o limite de integração inferior é zero.

\[
  F(x) = \int_{0}^{+\infty} f(t)\text{d}t
\]
substituindo a f.d.p.
\[
  F(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-t}\text{d}t
\]
lembrando a integral de $e^{-x}$ e que todo número elevado a zero é igual a um
\[
  F(x) = \left[ -e^{-t}  \right]_{0}^{x}.
\]
Assim,
\[
  F(x) = -e^{-x} + e^{0}
\]
e
\[
  F(x) = 1 - e^{-x}
\]
Portanto a função distribuição é dada por

\[
  F(x) =
  \begin{cases}
    1 - e^{-x},~~\text{para } x\geq 0 \\
    0,~~\text{para } x\leq 0
  \end{cases}
\]

**Segundo Exemplo numérico sobre função de distrubuição**

Exemplo 4.2.2 da página 84 de @Sartoris2013. Seja a função distribuição

\[
  F(x) = 
  \begin{cases}
    0,5(x^3 + 1),~~\text{para } -1\leq x \leq 1\\
    0,~~\text{para }x < -1\\
    1, x > 1
  \end{cases}
\]
determine a função densidade de probabilidade correspondente.

Resposta:

A função densidade de probabilidade é dado por

\[
  f(x) = \dfrac{\text{d}F(x)}{\text{d}x}
\]

\[
  f(x) = \dfrac{\text{d}(0,5 x^2  + 1)}{\text{d}x}
\]

\[
  f(x) = 3 \times 0,5x^2 + 0
\]

\[
  f(x) = 1,5 x^2 
\]

Portanto, a função densidade de probabilidade é:

\[
  f(x) = 
  \begin{cases}
    1,5x^2,~~\text{para } -1\leq x \leq 1\\
    0,~~\text{para }x < -1 ou x > 1
  \end{cases}
\]
A função distribuição $F(x)$, assim como a função densidade, deve atender dois requisitos:

- não pode ser negativa e deve ser menor ou igual a 1.

\[
  0\leq F(x) \leq 1
\],

- a soma das probabilidades de todos os valores da variável é igual a 1.

\[
  \lim_{x \rightarrow \infty} F(x) = 1
\].

Estes requisitos são atendidos pelas funções distribuições $F(x)$ dos exemplos numéricos anteriores.

### Esperança e variância de variáveis aleatórias contínuas

A esperança matemática para uma variável aleatória contínua é a soma contínua de todos os valores da variável com sua respectivas probabilidades. Uma soma contínua é a integral e, por sua vez, a probabilidade é encontrada pela função densidade de probabilidade. Dessa forma, matematicamente a esperança é

\[
  E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)~\text{d}x. 
\]
A variância por sua vez,

\[
  Var(x) = E[x - E(x)]^2
\]

ou simplesmente

\[
  Var(x) = E[x - \mu]^2
\]
onde $\mu$ é igual a média de $x$. Em termos de integral fica

\[
  Var(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x- \mu)^2 \text{d}x
\]
Alternativamente
\[
  Var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 
\]
que em termos de integral fica
\[
  Var(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\text{d}x - \left[\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \text{d}x \right]^2
\]

**Exemplo numérico sobre esperança e variância**

Exemplo 4.3.1. da página 85 do @Sartoris2013. Seja a f.d.p. 

\[
  f(x) = 
    \begin{cases}
      3x^2~~\text{para }~0\leq x \leq 1\\
      0,~~\text{para }~x<0~\text{ou}~x>1\\
    \end{cases}
  \]
a) Calcule o valor médio de $x$.

Resposta:

Como a média pode ser calculada através de $E(x)$
\[
  E(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)~\text{d}x.
\]
se tem
\[
  E(x) = \int_{0}^{1}x3x^2\text{d}x
\]
\[
  E(x) = 3\int_{0}^{1}x^3\text{d}x
\]
Calculando-se a integral
\[
  E(x) = 3\left[ \dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}
\]

\[
  E(x) = 3 \times \dfrac{1^4}{4}
\]

\[
  E(x) = \dfrac{3}{4} = 0,75
\]

b) Calcule a variância de $x$.

Resposta:

Tomando a fórmula da variância alternativa

\[
  Var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 
\]

que em termos de integral é

\[
  Var(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\text{d}x -
  \left[\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \text{d}x \right]^2
\]
verifica-se que só falta só calcular $E(x^2)$ para poder calcular a variância de $x$. Ou seja,

\[
  E(x^2) = \int_{0}^{1} X^23x^2 \text{d}x 
\]

\[
  E(x^2) = 3\int_{0}^{1} x^4  \text{d}x 
\]
calculando a integral
\[
  E(x^2) = 3\left[ \dfrac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}
\]

\[
  E(x^2) = 3 \times \dfrac{1}{5}
\]

\[
  E(x^2) = \dfrac{3}{5} = 0,6.
\]
Assim a variância é

\[
  Var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2
\]

\[
  Var(x) = 0,6 - (0,75)^2 = 0,6 - 0,5625
\]

\[
  Var(x) = 0,0375
\]

c) Calcule o desvio padrão de $x$.

\[
dp(x) = \sqrt{0,0375}
\]

\[
dp(x) \cong 0,194
\]

## Distribuição Normal

Para entender a distribuição normal, tome a distribuição binomial com uma probabilidade $p$ igual 0,5 e $n$ tendendo ao infinito. Graficamente exemplifica-se com $n=1,2,3,5,10$. 

```{r graficobinomial1, echo=FALSE, message=FALSE}
library(dplyr)
library(ggplot2)

data.frame(heads = 0:1, 
           pmf = dbinom(x = 0:1, size = 1, prob = 0.5)) %>%
ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = x sucessos",
       subtitle = "x=1 ; p=0,5",
       x = "Successos (x)",
       y = "probabilidade") 
```

```{r graficobinomial2, echo=FALSE}
library(dplyr)
library(ggplot2)

data.frame(heads = 0:2, 
           pmf = dbinom(x = 0:2, size = 2, prob = 0.5)) %>%
ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = x sucessos",
       subtitle = "x=2 ; p=0,5",
       x = "Successos (x)",
       y = "probabilidade") 
```

```{r graficobinomial3, echo=FALSE}
library(dplyr)
library(ggplot2)

data.frame(heads = 0:3, 
           pmf = dbinom(x = 0:3, size = 3, prob = 0.5)) %>%
ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = x sucessos",
       subtitle = "x=3 ; p=0,5",
       x = "Successos (x)",
       y = "probabilidade") 
```

```{r graficobinomia5, echo=FALSE}
library(dplyr)
library(ggplot2)

data.frame(heads = 0:5, 
           pmf = dbinom(x = 0:5, size = 5, prob = 0.5)) %>%
ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = x sucessos",
       subtitle = "x=5 ; p=0,5",
       x = "Successos (x)",
       y = "probabilidade") 
```

```{r graficobinomial10, echo=FALSE, fig.cap = "Da distribuição Binamial para a Distribuição Normal"}
library(dplyr)
library(ggplot2)

data.frame(heads = 0:10, 
           pmf = dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.5)) %>%
ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  ) +
  labs(title = "Probabilidade de X = x sucessos",
       subtitle = "x=10 ; p=0,5",
       x = "Successos (x)",
       y = "probabilidade") 
```

Note na figura \@ref(fig:graficobinomial10) que a medida que $n$ aumenta a distribuição binomial assume um formato que é a de uma típica distribuição normal. Se no limite $n$ tende ao infinito, a distribuição binomial perde o aspecto discreto na foma de "escada" e passa a ter um formato e aspecto de distribuição normal, figura \@ref(fig:DistribuicaoNormal0), que é a referência para uma distribuição de variável aleatória contínua.

```{r DistribuicaoNormal0, echo=FALSE, fig.cap = "A distribuição Normal"}
library(ggplot2)

dnormal1 <- ggplot(data.frame(x = c(-4, 4)), aes(x = x)) + 
  stat_function(fun = dnorm) +
  scale_x_continuous(name = "x") + 
  scale_y_continuous(name = "Probabilidade f(x)")

dnormal1
```

Essa distribuição de probabilidade é conhecida com **normal** ou **gaussiana** e a sua função densidade de probabilidade é dada por:

\[
  f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  (\#eq:fdpNormal)
\]

onde $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão da variável $x$. Se a variável $x$ tem distribuição normal ou é normalmente distribuída, é usual escrever com notação matemática da seguinte forma

\[
  x \sim N(\mu,\sigma)
\]

e deve ser lida da seguinte forma: *$x$ segue uma distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$*. Em vez de desvio padrão essa notação matemática pode ter a variância $\sigma^2$ no lugar do desvio padrão $\sigma$.

Na função densidade de probabilidade da distribuição normal \@ref(eq:fdpNormal) os parâmetros média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ definem uma família de distribuições normais para a variável $x$. 

O parâmetro média $\mu$ determina a posição da curva em relação à origem, enquanto o desvio padrão $\sigma$ determina se a curva será mais **"gorda"**, ou seja, mais dispersa com maior desvio padrão, ou mais **"magra"**, ou seja mais concentrada com um desvio padrão menor.

O cálculo das probabilidades sob uma distribuição normal é bastante trabalhosa, uma vez que não existe uma função cuja derivada é $e^{-x^2}$ e, por isso, o cálculo é feito por métodos numéricos. Por isso, tabela-se os valores das integrais da distribuição normal padronizada, ou seja, a distribuição normal com média $\mu$ igual a zero e desvio padrão $\sigma$ igual a zero. 

\[
  \mu = 0
\]

e

\[
  \sigma = 1
\]

As variáveis normalmente distribuídas com média $\mu$ diferente de zero e desvio padrão $\sigma$ diferente de um

\[
  \mu \neq 0
\]

e

\[
  \sigma \neq 1
\]

podem ter os valores das probabilidades obtidas das tabelas de valores para uma distribuição normal padronizada, padronizando a variável $x$, por exemplo, da seguinte forma

\[
  z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
\]

onde a variável $z$ tem distribuição normal com média $\mu$ igual a zero e desvio padrão $\sigma$ igual a 1. Ou seja possui um distribuição normal padronizada para a qual pode-se usar os valores calculados e disponibilizados em tabelas que se encontram no apêndice da maioria dos livros de estatística e econometria. Na tabela com os valores da distribuição normal padronizada, usualmente denota-se a variável normal padronizada como $z$. Outro detalhe da tabela da dstribuição normal padronizada é a disponibilidade dos valores das probabilidades para a metade da distribuição, ou seja, para os valores positivos de $z$ pelo fato da distribuição normal ser simétrica. Portanto,
\[
  P(0 < z < 1,23) = P(-1,23 < z < 0).
\]
Dessa forma, o maior valor de probabilidade encontrada na tabela para uma distribuição normal padronizada usualmente é aproximadamente igual a  0,5. Claro, existem tabelas que podem apresentar os valores para toda a distribuição e nestes casos o maior valor será aproximadamente igual a 1, pois os valores são em termos de função distribuição de probabilidade $F(z)$.
Usando o R, a probabilidade de $z$ estar entre zero e 1,23 é calculada através da função `pnorm` que entrega o valor de $F(z)$.

```{r}
p0z1.23 <- round(pnorm(1.23, mean = 0, sd = 1) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1),4)
p0z1.23
```
Ou seja 

\[
  P(0 < z < 1,23) = F(1,23) - F(0) \cong `r p0z1.23`.
\]

Graficamente, usando o pacote `ggplot2`, fica mais fácil de visulizar a probabilidade de $z$ estar entre zero e 1,23 que de é de `r p0z1.23` na figura \@ref(fig:ExemploDistribuicaoNormalPadronizada1) que corresponde à área colorida.

```{r ExemploDistribuicaoNormalPadronizada1, echo=FALSE, fig.cap = "Probabilidade z entre zero e 1,23"}
library(ggplot2)

m = 0
std = 1

ggplot(data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std), xlim = c(0, 1.23),
                  geom = "area", fill = "#84CA72", alpha = .2) +
    scale_y_continuous(name = "f(x)", breaks = seq(0,1,0.1)) +
    scale_x_continuous(name = "z", breaks = c(-2,0,1.23,2))
```
Note que o valor `r p0z1.23` é o valor encontrado diretamente na tabela que apresenta valores de probabilidade somente para metade da distribuição, neste caso para $0<z<+\infty$.

Quando os valores de $z$ são maiores que zero, se tem uma outra situação que comumente aparece nos exercícios. Seja a probabilidade de $z$ estar entre 0,27 e 1,43. Ou seja,

\[
  P(0,27 < z < 1,43) 
\]

Note que a probabiliade corresponde à área que está abaixo da curva da função densidade de probabilidade para $z$ entre 0,27 e 1,43. Ou seja, a integral de $f(z)$ entre 0,27 e 1,43. Usando-se a função distribuição de probabilidade $F(z)$ corresponde a diferença entre $F(1,43)$ e $F(,27)$

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = F(1,43) - F(0,27)
\]

Na figura \@ref(fig:ExemploDistribuicaoNormalPadronizada2) fica claro o por quê da diferença entre $F(z)$. Note que aqui a ideia é válida tanto para a metade da distribuição como para a distribuição completa incluindo a parte em que $z<0$.

```{r ExemploDistribuicaoNormalPadronizada2, echo=FALSE, fig.cap = "Probabilidade z entre 0,27 e 1,43"}
library(ggplot2)

m = 0
std = 1

ggplot(data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std), xlim = c(0.27, 1.43),
                  geom = "area", fill = "#84CA72", alpha = .2) +
    scale_y_continuous(name = "f(x)", breaks = seq(0,1,0.1)) +
    scale_x_continuous(name = "z", breaks = c(-2,0.27,1.43,2))
```

Para a situação em que se tem os valores das probabilidades tabulados somente para metade da distribuição se tem

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = P(0 < z < 1,43) - P(0 < z < 0,27),
\]
ou seja,
\[
  P(0,27 < z < 1,43) = [F(1,43) - F(0)] - [F(0,27) - F(0)].
\]

Usando o R, a probabilidade de $z$ estar entre 0,27 e 1,43 pode ser calculada da seguinte forma

```{r}

# Calculo de F(1,43) - F(0)

p2 <- round(pnorm(1.43, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

p2

# Calculo de F(0,27) - F(0)

p1 <- round(pnorm(0.27, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

p1

# Calculo de P(0,27 <  z <  1,43)

p027z143 <- p2 - p1

p027z143
```

Portanto,

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = `r p2` - `r p1` = `r p027z143`.
\]

Alternativamente, se tem os valores das probabilidades para a distribuição completa na tabela ou se está usando o R para os cálculos

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = F(1,43) - F(0,27)
\]

Usando o R, o cálculo da probabilidade de $z$ estar entre 0,27 e 1,43 é simplesmente

```{r}
p027z143r <- round(pnorm(1.43, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) - pnorm(0.27, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) ,4)

# Calculo de F(1,43)

p2r <- round(pnorm(1.43, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

p2r

# Calculo de F(0,27)

p1r <- round(pnorm(0.27, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

p1r

# Calculo de P(0,27 <  z <  1,43)

p027z143r <- p2r - p1r


p027z143r
```

Portanto,

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = `r p2r` - `r p1r` = `r p027z143r`.
\]

Uma outra situação bastante comum nos exercícios é quando o limite inferior do intervalo é negativo e valor do limite superior é positivo. Considere o cálculo da probabilidade de $z$ estar entre -1,38 e 0,97. Na figura \@ref(fig:ExemploDistribuicaoNormalPadronizada3) fica mais fácil visualizar qual a área a ser calculada que corresponde a probabilidade solicitada.

```{r ExemploDistribuicaoNormalPadronizada3, echo=FALSE, fig.cap = "Probabilidade z entre -1,38 e 0,97"}
library(ggplot2)

m = 0
std = 1

ggplot(data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std), xlim = c(-1.38, 0.97),
                  geom = "area", fill = "#84CA72", alpha = .2) +
    scale_y_continuous(name = "f(x)", breaks = seq(0,1,0.1)) +
    scale_x_continuous(name = "z", breaks = c(-2,-1.38,0,0.97,2))
```

Considerando a situação em que a tabela tem apenas metade dos valores de probabilidade para a distribuição normal padronizada, o cálculo é

\[
  P( -1,38 < z < 0,97) = P (-1,38 < z < 0) + P(0 < z < 0,97).
\]
Como a distribuição normal é simétrica, pode-se escrever
\[
  P( -1,38 < z < 0,97) = P (0 < z < 1,38) + P(0 < z < 0,97)
\]
ou 
\[
  P( -1,38 < z < 0,97) = [F(1,38) - F(0)] +[F(0,97) - F(0)]
\]

Usando o R, a probabilidade de $z$ estar entre 0,27 e 1,43 pode ser calculada da seguinte forma

```{r}

# Calculo de F(1,38) - F(0)

pf138f0 <- round(pnorm(1.38, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf138f0

# Calculo de F(0,97) - F(0)

pf097f0 <- round(pnorm(0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf097f0

# Calculo de P(1,38 <  z <  0,97)

p138z097 <- pf138f0 + pf097f0

p138z097 
```

Portanto,

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = `r pf138f0` + `r pf097f0` = `r p138z097`.
\]

Alternativamente, se tem os valores das probabilidades para a distribuição completa na tabela ou se está usando o R para os cálculos, calcula-se

\[
  P(-0,38 < z < 0,97) = F(0,97) - F(-1,38).
\]

Por que o valor de $F(0,97)$ é maior que $F(-1,38)$ e nesta situação se calcula a diferença e não a soma?

Usando o R, o cálculo da probabilidade de $z$ estar entre -1,38 e 0,97 é simplesmente

```{r}
p138z097r <- round(pnorm(-1.38, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) - pnorm(0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) ,4)

# Calculo de F(-1,38)

pf138r <- round(pnorm(-1.38, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf138r

# Calculo de F(0,97)

pf097r <- round(pnorm(0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf097r

# Calculo de P(-1,38 <  z <  0,97)

p138z097r <- pf097r - pf138r


p138z097r
```

Portanto,

\[
  P(0,27 < z < 1,43) = `r pf097r` - `r pf138r` = `r p138z097r`.
\]

Uma outra situação bastante interessante e comum nos exercícios sobre a aplicação de distribuição normal padronizada é quando se pede o cálculo da probabilidade de $z$ ser maior que um determinado valor. Nestas situações, a palavra chave é **pelo menos**. Considere a situação na qual se pede o cálculo da probabilidade de que $z$ seja maior que 2,22. Ou seja,

\[
P(z > 2,22)
\]

Na figura \@ref(fig:ExemploDistribuicaoNormalPadronizada4) fica claro onde fica a área correspondente a probabilidade solicitada.

```{r ExemploDistribuicaoNormalPadronizada4, echo=FALSE, fig.cap = "Probabilidade z ser maior que 2,22"}
library(ggplot2)

m = 0
std = 1

ggplot(data.frame(x = c(-3, 3)), aes(x = x)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std)) + 
    stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = m, sd = std), xlim = c(2.22,3),
                  geom = "area", fill = "#84CA72", alpha = .2) +
    scale_y_continuous(name = "f(x)", breaks = seq(0,1,0.1)) +
    scale_x_continuous(name = "z", breaks = c(-3,0,2.22,3))
```
Dessa forma, o cálculo considerando a disponibilidade da metade dos valores da distribuição normal padronizada é

\[
  P(z>2,22) = 0,5 - P(0 < z < 2,22) = 0,5 - [F(2,22) - F(0)]
\]
Usando o R, o cálculo é

```{r}

f222 <- round(pnorm(2.22, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)
f222

f0 <- round(pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T), 4)
f0

pf222f0 <- f222 - f0

pf222f0

pz222 <- 0.5 - pf222f0

pz222
```

Portanto,

\[
  P(z>2,22) = 0,5 - P(0 < z < 2,22) = 0,5 - `r pf222f0` = `r pz222`. 
\]

Alternativamente se tem os valores da probabilidade para a distribuição completa ou se está usando o R para os cálculos

\[
  P(z >2,22) = 1 - F(2,22)
\]

Usando o R para o cálculo,

```{r}
pz222r <- 1 - round(pnorm(2.22, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T), 4)

pz222r
```

Como nem todas as variáveis com distribuição normal tem $\mu=0$ e $\sigma = 1$, deve-se padronizá-las para usar os valores da tabela com a distribuição normal padronizada. Seja a variável $x$ com distribuição normal com $\mu\neq0$ e $\sigma \neq 1$. A transformação de $x$ para que se torne padronizada é

\[
  z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
  (\#eq:PadronizacaoNormal)
\]
onde $z$, com $\mu = 0$ e $\sigma = 1$, é a variável $x$ transformada. 

**Prova**:

Como $\sigma$ e $\mu$ são constantes

\[
  E(z) = \sum_{i=1}^{n} \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right) =
  \dfrac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}(x - \mu) = \dfrac{1}{\sigma}\times 0 = 0
\]

Pois a soma do desvios em relação à media $\mu$ é sempre zero.

Aplicando a definição de variância em $z$ sabendo-se que $E(z)=0$ e $E[x-\mu]^2 = \sigma^2$ ou $dp(x) = \sigma$

\[
  Var(z) = E[z - E(z)]^2 = E\left[\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right]^2 =
  \dfrac{1}{\sigma^2} E[x - \mu]^2 = \dfrac{1}{\sigma^2}\times \sigma^2 = 1.
\]

Assim , através de \@ref(eq:PadronizacaoNormal), pode-se padronizar qualquer variável que segue uma distribuição normal e que tenha $\mu\neq 0$ e $\sigma \neq 1$.

**Exemplo numérico sobre a padronização**

Exemplo 4.4.1 da página 93 do @Sartoris2013. O faturamento mensal de uma loja segue uma distribuição normal com média R\$20.000,00 e desvio padrão R\$4.000,00. Calcule a probabilidade de que, em determinado mês, o faturamento eseteja entre R\$19.000,00 e R\$25.000,00.

**Resposta**:

A variável em questão, faturamento mensal, é normal mas não é padronizada. Por isso, é necessário padronizar os valores antes de utilizar a tabela, cujos valores são para uma distribuição normal padronizada com $\mu=0$ e $\sigma =1$.
Para 19.000

\[
  z_1 = \dfrac{x_1 -\mu}{\sigma} = \dfrac{19.000 - 20.000}{4.000} = -0,25
\]
e para 25.000
\[
  z_2 = \dfrac{x_2 - \mu}{\sigma} = \dfrac{25.000-20.000}{4.000} = 1,25.
\]
Portanto 
\[
  P(19.000 < x <25.000) = P(-0,25 < z < 1,25)
\]
Como a distribuição normal é simétrica
\[
  P(19.000 < x <25.000) = P(-0,25 < z < 0) + P(0 < z < 1,25)
\]
\[
  P(19.000 < x <25.000) = P(0,< z < 0,25) + P(0 < z < 1,25)
\]
Se a tabela apresenta valores para a distribuição completa
\[
  P(19.000 < x <25.000) = [F(0,25) - F(0)]  + [F(1,25) - F(0)]
\]
ou se a tabela só apresenta valores para a metade da dstribuição
\[
  P(19.000 < x <25.000) = F(0,25)  + F(1,25)].
\]
Mas para qualquer um dos dois caminhos

\[
  P(19.000 < x <25.000) = F(0,25)  +  F(1,25)
\]

Usando o R para os cálculos intermediários, se tem

```{r echo=TRUE}
# Calculo de F(1,25) - F(0)

pf125f0 <- round(pnorm(1.25, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf125f0

# Calculo de F(0,25) - F(0)

pf025f0 <- round(pnorm(0.25, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail = T),4)

pf025f0

# Calculo de P(-0,25 <  z <  1,25)

p025z125 <- pf025f0 + pf125f0

p025z125 
```

Ou seja,

\[
  P(19.000 < x <25.000) = F(0,25)  +  F(1,25) = `r pf025f0` + `r pf125f0`
\]

\[
  P(19.000 < x <25.000) = `r p025z125`.
\]

## Teorema de Tchebichev

Se a função densidade de uma variável aleatória é conhecida, pode-se conhecer sua média e variância. Por outro lado, se são conhecidas somente a média e a variância de uma variável aleatória, não é possível conhecer a sua respectiva função densidade de probabilidade. Mas é possível definir um limite para uma distribuição de probabilidade qualquer, seja discreta ou acontínua, que é dado pelo teorema de Tchebichev. 

**Teorema de Tchebichev**

seja uma variável aleatória $x$ com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$. A probabilidade de que a variável $x$ esteja acima ou abaixo da média que não supere, em módulo, $k$ desvio padrão, é maior ou pelo menos igual a $1 - 1/k^2$. Ou seja,

\[
  P(|x - \mu| <k\sigma) \geq 1-\dfrac{1}{k^2}.
\]
Consequentemente, a probabilidade de que a variável $x$ esteja acima ou abaixo da média supere ou seja igual, em módulo, a $k$ desvio padrão é menor ou pelo menos igual a $1/k^2$. Ou seja,
\[
  P(|x-\mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}
\]
Essas duas relações dão um limite universal ao desvio $|x-\mu|$ em termos de $\sigma$.

Assumindo, por exemplo, que $k = 2$, se tem

\[
  P(|x - \mu| <2\sigma) \geq 1-\dfrac{1}{2^2}
\]

\[
  P(|x - \mu| <2\sigma) \geq 0,75 = 75\%
\]
ou
\[
  P(|x-\mu| \geq 2\sigma) \leq \dfrac{1}{2^2}
\]

\[
  P(|x-\mu| \geq 2\sigma) \leq 0,25 = 25\%
\]

**Exemplo numérico sobre teorema de Tchebichev**

Exemplo 4.6.1 na página 96 do @Sartoris2013. Seja uma variável aleatória contínua $x$ com média 50 e desvio padrão 10. Calcule a probabilidade mínima de que $x$ esteja entre 35 e 65.

**Resposta**:

Note que a diferença em módulo tanto do valor do limite inferior 35

\[
  |x - \mu| = |35 - 50| = 15
\]
como a diferença em módulo do valor do limite superior 65

\[
  |x - \mu| = |65 - 50| = 15
\]
são iguais a 15. Dividindo a diferença em módulo pelo desvio padrão,
\[
  \dfrac{|x - \mu|}{\sigma} = \dfrac{15}{10} = 1,5
\]

obtém-se o valor de $k$ do teorema de Tchebichev que neste caso é 1,5.Portanto, usando a relação do Teorema de Tchebichev

\[
  P(35 < x < 65) = P(|x - \mu| < 1,5 \sigma)  \geq 1 - \dfrac{1}{1,5^2}
\]

\[
  P(35 < x < 65) = P(|x - \mu| < 1,5 \sigma) \geq 0,6656 = 55,56\%
\]
Ou seja, de forma aproximada, a probabilidade de $x$ estar entre 35 e 65 é pelo menos igual a 55,56%. 

## Momentos de uma distribuição

O **momento de uma distribuição** de uma variável aleatória $x$ de ordem $k$, em relação à média $M_k$ é

\[
  M_k = E(x - \mu)^k
\]

Como já foi visto anteriormente que a somatória dos desvios é sempre igual a zero, o primeiro momento em relação à média também é sempre igual a zero. Ou seja,

\[
  M_1 = E(x _ \mu)^1 = E(x) - \mu = \mu - \mu = 0
\]

Já segundo momento em relação à média é a variância

\[
  M_2 = E(x - \mu)^2 = \sigma^2
\]

O terceiro momento em relação à média

\[
  M_3 = E(x - \mu)^3 
\]

entrega o grau de simetria da distribuição. Por exemplo, uma distribuição simétrica como a distribuição normal tem 

\[
M_3 = 0.
\]

Com $M_3$ é possível definir um coeficiente de assimetria

\[
  \alpha_3 = \dfrac{M_3}{\sigma^3}
\]

que é tão maior em módulo quanto mais assimétrica for a distribuição analisada.

O quarto momento em relação à média

\[
  M_4 = E(x - \mu)^4 
\]

entrega o **grau de achatamento** de uma distribuição e por isso está relacionado com a **curtose**.

- Se uma distribuição é muito achatada, ela é dita **platicúrtica**.
- Se uma distribuição é mais pontiaguda, ela é dita **leptocúrtica**
- Se a distribuição se asemelha a distribuição normal, ela é dita **mesocúrtica**.

Com $M_4$ define-se o coeficiente de curtose

\[
  \alpha_4 = \dfrac{M_4}{\sigma^4}
\]
que define

- Se $\alpha_4 = 3$, a distribuição é normal, portanto mesocúrtica.
- Se $\alpha_4 > 3$, a distribuição é leptocúrtica.
- Se $\alpha_4 < 3$, a distribuição é platicúrtica.

Os momentos podem ser definidos em relação à origem. O momento de uma distribuição em relação à origem de ordem $k$ em torno da origem é dado por

\[
  M_k^{'} = E(x)^k
\]
Assim

- para $k=1$, o momento em torno da origem de ordem 1 é a própria média.
- para $k=2$, o momento em torno da origem de ordem 2 é a média dos quadrados.


### Posição da média, da mediana e da moda numa distribuição assimétrica

Dado que foi apresentado o conceito de assimestria, é possível realizar uma rápida discussão sobre o impacto da assimetria sobre a posição da média, da mediana e da moda numa distribuição. 

- Se a distribuição é simétrica, ou seja, com a cauda esquerda fosse a imagem da cauda direita em um espelho e vice-versa,

\[
  \overline{X} = \text{Mediana} = \text{Moda}.
\]

- Se a distribuição é assimétrica á direita, ou seja, cauda maior no lado direito, 
\[
   \text{Moda} < \text{Mediana} < \overline{X}.
\]

- Se a distribuição é assimétrica à esquerda, ou seja, cauda maior no lado esquerdo,

\[
  \overline{X} < \text{Mediana} < \text{Moda}.
\]