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Week 8 联合概率，边际概率，双变数期望值

8.1 联合概率分布

JOINT PROBABILITY DISTRIBUTION

  • 当小明出国去交换时

    • 𝑿: 小美脸书/QQ 脱机时间，𝑿~𝑼𝑵𝑰𝑭(𝟖, 𝟏𝟐)
    • 𝒀: 小华脸书/QQ 脱机时间，𝒀~𝑼𝑵𝑰𝑭(𝟖, 𝟏𝟐)
    • 𝒁: 小园脸书/QQ 离线时间，𝒁~𝑼𝑵𝑰𝑭(𝟖, 𝟏𝟐)
    • 假设 𝑿, 𝒀, 𝒁 都是离散随机变数

  • 若将小美脱机时间 𝑿 与小园脱机时间 𝒁一起看呢?

    • 画出𝑷𝑿=𝒙,𝒁=𝒛:

  • 若将小美脱机时间 𝑿 与小园脱机时间 𝒀一起看呢?

    • 画出𝑷 𝑿=𝒙,𝒀=𝒚 ，赫然发现!

  • 同时将多个随机变量的行为一起拿来看， 我们可以看出更多以往看不到的信息!

  • 同时考虑多个随机变量的机率分布称之为联合机率分布 (joint probability distribution)

联合 PMF (Joint PMF)

  • 若𝑿,𝒀皆为离散随机变量，我们 可以定义他们的联合PMF
    • pX,Y(x,y) = P( X=x 且 Y=y )
    • 联合PMF决定了𝑿,𝒀的联合机率分布
  • Ex: 小美脱机时间 𝑿 与小华脱机时间 𝒀 的联合 PMF:
    • pX,Y(x,y) = P( X=x, Y=y )

联合 PMF 的性质

联合 CDF (Joint CDF)

  • 若考虑两个随机变数 𝑿, 𝒀 的联合机率分布， 我们也可定义出所谓的联合 CDF:

  • 即, (X,Y) 会落在黄色区域的几率

联合 CDF 的性质

  • if X and Y are independent, then FX,Y(x,y) = FX(x)·FX(y)

    • 反之亦然 !!!

  • 四方格性质

    • 你只需要知道4个顶点的 cdf 值

联合 PDF 例子

  • Ex:小美等公交车时间为 𝑿, 小园等公交车时间为 𝒀 𝑿, 𝒀 两者独立且皆为连续之机率分布 𝑼𝑵𝑰𝑭 𝟎, 𝟏𝟎 。则 𝑿, 𝒀之联合 PDF 为
  • 其他的联合pdf例子

若𝑿, 𝒀 皆为连续随机变数怎办?

  • 若 𝑿, 𝒀 皆为连续随机变量，我们可以定义联合 PDF:

连续联合 PDF 的性质

    • P(B) 是圆锥体体积

8.2 边际机率分布

MARGINAL PROBABILITY DISTRIBUTION

已知联合 PMF，欲得个别 PMF

  • Ex: 𝑿,𝒀分别为小美、小丽脸书/QQ 脱机时间。联合 PMF 如下:
pX,Y(x,y) X = 8 X = 9 X = 10
Y = 8 0.2 0.1 0.05
Y = 9 0.05 0.2 0.1
Y = 10 0.05 0.1 0.15
  • pX(x) = ? pY(y) = ?
    • pX(8) = 0.2 + 0.05 + 0.05 = 0.3
    • pX(9) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4
    • pX(10) = 0.05 + 0.1 + 0.15 = 0.3
  • 整列加起来，然后(在它的边缘)写上数字，这就是 "边际"的由来

边际 PMF (Marginal PMF)

  • 已知联合PMF pX,Y(𝒙,𝒚)，则可求得 pX(x), pY(y) ，称之为边际 PMF

边际 PDF (Marginal PDF)

  • 已知联合PDF fX,Y(𝒙,𝒚)，则可求得 fX(x), fY(y) ，称之为边际 PDF

  • Ex:

8.3 双变数期望值

  • 离散

    • 回想只考虑一个离散随机变数𝑿时 其任意函数 g(x)的期望值是:
    • 若同时考虑两个离散随机变量𝑿,𝒀时，他们的任 意函数 h(X,Y) 的期望值是
    • Ex. 参考上面 小美、小丽脸书/QQ 脱机 时间的例子, 求 E[ |X-Y| ]

  • 连续

    • 回想只考虑一个连续随机变量𝑿时 其任意函数 g(X) 的期望值是:
    • 若同时考虑两个连续随机变数𝑿,𝒀时，他们的任 意函数 h(X,Y) 的期望值是

  • 性质

    • E[ αh₁(X,Y) + βh₂(X,Y) ] = αE[h₁(X,Y)] + βE[h₂(X,Y)]

    • 若 X,Y 独立， 则

      • E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]·E[h(Y)]

    • Var[aX+bY] = a²Var[X] + b²Var[Y] + 2Cov[X,Y]

    • 如果X，Y独立

      • Var[aX+bY] = a²Var[X] + b²Var[Y]

QUIZ

quiz
  2. 某便利超商今天早上09:00開始推出兩款限量的商品，一個是可愛的馬克杯，另外一個是熱門卡通玩偶，假設限量商品全部賣完所需的時間都是Exponential Distribution的隨機變數，而且互相獨立，馬克杯和玩偶賣完所需的時間分別是T_1,T_2 (單位是hr)，而兩者的λ 分别为 1/12, 1/6. 請幫店長估計，平均需要幾個小時才能把兩項商品都賣完。
    • A:
      • U = max(X,Y)
      • FU(u) = P(U≤u) = P(max(X,Y)≤u) = P(X≤u, Y≤u)
        • = P(X≤u)P(Y≤u) = FX(u)FY(u)
      • 两边求导，得
        • fU(u) = fX(u)FY(u) + FX(u)fY(u)
      • scipy 
        >>> x = scipy.linspace(0,1000,100000)
>>> pdf = scipy.stats.expon.pdf( x , scale=12 )*scipy.stats.expon.cdf( x , scale=6 ) + 
    scipy.stats.expon.pdf( x , scale=6 )*scipy.stats.expon.cdf( x , scale=12 )
>>> delta = 1000./100000
>>> delta
0.01
>>> (pdf * delta * x ).sum() # E[U]
14.001260126012166
      • for min(X,Y)
  3. 圈圈擲公正六面骰子兩次，隨機變數X代表兩次的點數和，隨機變數Y代表兩次點數的相差值 (不會是負數)，X,Y的join PDF 为PX,Y(x,y), 请问下列何者敘述正確? (敘述正確的選項只有一個)
    • FX,Y(4,1) = 1/9
    • E[X] = 6 ❌ E[X] = 3.5 + 3.5 = 7
    • PY(2) = 1/9 ❌ 1-3,2-4,3-5,4-6, 3-1,4-2,5-3,6-4 = 2/9
    • PY|X=4(0) = 1/9 ❌ 1/3
    • PX(4) = 1/9 ❌ 应为 1/12 , 只有1+3,2+2,3+1 3中组合的可能