式の導出過程について

[0508akkun]

変数	説明
	時間
	ペットボトル内の円柱部分の内径
	ペットボトルの中の断面積(27171[mm2])
	ペットボトルの口の断面積(224.3[mm2])
	ペットボトルの内部圧力
	大気圧(101.3[kPa])
	重力加速度(9.8[m/s2])
	初期の水面の高さ
	ペットボトルの長さ(330[mm])
	水の密度(997[kg/m3])
	水の噴出する速度
	タンク内から水が流れ出る速度
	抗力係数(先端の角度が30°の場合は0.34)
	揚力係数(翼の迎え角が0°の場合は0.4)
	抗力[F]
	揚力[F]
	ペットボトルの中にある水の質量
	加速度
	発射した時の力

[0508akkun]

ペットボトル内部の気圧の低下

ペットボトル内の体積をVとすると、二原子分子の理想気体の断熱変化の式より、
pV^1.4=一定 (式１)
また、円筒の体積の式より、時間t=0の時の体積をV1とすると、
V1=(πr^2×(H-h))^1.4
また、水が無くなった時(t=t1)の体積をV2とすると、
V2=(πr^2×H)^1.4
従って、これらを式１に代入すると、
P0(t=0)×(πr^2×(H-h))^1.4＝P0(t=t1)×(πr^2×H)^1.4
P0(t=t1)=P0(t=0)×((H-h)/H)^1.4

発射して水が噴射している時にペットボトルが受けている力

ベールヌイの定理より、
(1/2)×ρu^2+Pa=(1/2)×ρu0^2+pgh+P0 (式２)
また、連続の式より、
uA=u0A0 (式３)
式２に式３を代入して、
(1/2)×ρu^2+Pa=(1/2)×ρ(uA/A0)^2+pgh+P0
u=(1-(A/A0)^2)^(-1/2)×(2(P0-Pa)/ρ+2gh)^(1/2)(式4)
質量流量保存則より、微小時間dt間に流れ出る水の質量dmは
dm=ρAu×dt
運動量と力積の関係より
F×dt=dm×u
F×dt=ρAu×dt×u
F=ρAu^2(式５)
式４を式５に代入して、
F=2A/(1-(A/A0)^2)×(P0-Pa+ρgh)

これが水が噴出した時に掛かる力の大きさである。

また、ペットボトルの中の断面積がペットボトルの口の断面積に対して十分に大きい場合、かつ、水面の高さが高くなければ、次の式に近似出来る。

F=2A(P0-Pa)

ペットボトル内から流れ出る水の量

流れ出る水の量をM[m3/s]とすると、
M=Aut
M=πA^2×(1-(A/A0)^2)^(-1/2)×(2(P0-Pa)/ρ+2gh)^(1/2)×t

水の場合はm3＝kgと考えて良いので、

ペットボトル内の水の質量変化dmは
dm=m-Mt

ペットボトルから水が無くなる時間

上式より、単位時間当たりの体積の減少値が分かったので、水が無くなる時間は

πr^2×h-Mt=0
t1= πr^2×h/M

と推測出来る

空気抵抗を含めた運動方程式

水平方向の加速度をaxとして、その運動方程式は
m×ax=Fcosθ-D
垂直方向の加速度をayとして、その運動方程式は
m×ay=Fsinθ-mg+L
これを微分積分で解いていく

[kobakazu0429]

@0508akkun

圧力は t = t_1 の時まで不変？

水面の高さは h 時間が進むにつれて減少する
すると空気の体積 V は大きなるから圧力は低下しなければ、一定にならないので
不変ではないと思う

[kobakazu0429]

とりあえず今ある式を見やすくしました。

https://hackmd.io/tJa9cJLwRJSC8V7159FXhg

明日時間があれば式の確認しとく