-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
SpecificHeat.html
402 lines (280 loc) · 13.9 KB
/
SpecificHeat.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
<!DOCTYPE html
PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html><head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8">
<!--
This HTML was auto-generated from MATLAB code.
To make changes, update the MATLAB code and republish this document.
--><title>SpecificHeat</title><meta name="generator" content="MATLAB 7.11"><link rel="schema.DC" href="http://purl.org/dc/elements/1.1/"><meta name="DC.date" content="2017-04-20"><meta name="DC.source" content="SpecificHeat.m"><style type="text/css">
body {
background-color: white;
margin:10px;
}
h1 {
color: #990000;
font-size: x-large;
}
h2 {
color: #990000;
font-size: medium;
}
/* Make the text shrink to fit narrow windows, but not stretch too far in
wide windows. */
p,h1,h2,div.content div {
max-width: 600px;
/* Hack for IE6 */
width: auto !important; width: 600px;
}
pre.codeinput {
background: #EEEEEE;
padding: 10px;
}
@media print {
pre.codeinput {word-wrap:break-word; width:100%;}
}
span.keyword {color: #0000FF}
span.comment {color: #228B22}
span.string {color: #A020F0}
span.untermstring {color: #B20000}
span.syscmd {color: #B28C00}
pre.codeoutput {
color: #666666;
padding: 10px;
}
pre.error {
color: red;
}
p.footer {
text-align: right;
font-size: xx-small;
font-weight: lighter;
font-style: italic;
color: gray;
}
</style></head><body><div class="content"><pre class="codeinput"><span class="comment">% Model d'Einstein</span>
clear <span class="string">all</span>
c = 4.2906*10^(-10); <span class="comment">% Paràmetre de xarxa.</span>
a = sqrt(3)*c/2; <span class="comment">% Distància entre enllaç.</span>
vs = 3200; <span class="comment">% Velocitat del so.</span>
m = 4*10^(-26); <span class="comment">% Massa.</span>
C = m*(vs/a)^2; <span class="comment">% Constant elàstica.</span>
m = 4*10^(-26); <span class="comment">% Massa</span>
h = 6.62606957*10^(-34); <span class="comment">% Constant de Planck</span>
h_d = h/(2*pi); <span class="comment">% Constant de Dirac</span>
k_b = 1.38064852*10^(-23); <span class="comment">% Constant de Boltzmann</span>
N=7; <span class="comment">% Nombre d'àtoms del sòlid</span>
L=N*a; <span class="comment">% Longitud del sòlid</span>
w=ones(N,1).*10^(13.08); <span class="comment">% Prenem una pulsació igual per tots els àtoms</span>
<span class="comment">%phi = rand(N,1)*2*pi; % Fase aleatòria.</span>
phi = zeros(N,1);
<span class="comment">% Calculem ara la capacitat calorífica de la cadena. Per fer-ho cal derivar</span>
<span class="comment">% l'energia respecte la temperatura. Com que tan sols l'energia de cada mode depèn de la</span>
<span class="comment">% temperatura, la derivem i calculem C. MODEL D'EINSTEIN.</span>
Et = []; <span class="comment">% Vector d'energies totals del sistema.</span>
dT = 1; <span class="comment">% Diferencial de temperatura.</span>
<span class="keyword">for</span> T = 0:dT:500; <span class="comment">% Càlcul de C per diferents temperatures.</span>
<span class="comment">% Tornem a calcular les variables per a una T qualsevol.</span>
betap = 1/(k_b*T); <span class="comment">% Factor beta</span>
n_b = 1./(exp(betap.*h_d.*w) - 1); <span class="comment">% Factor d'ocupació de Bose.</span>
E = h_d.*w.*(n_b + 1/2); <span class="comment">% Energia per a frequència.</span>
A = sqrt(2.*E./C); <span class="comment">% Amplitud.</span>
E = 0; <span class="comment">% Energia del sistema per a una T concreta.</span>
t = 5*10^(-16);
<span class="keyword">for</span> nn = 1:N <span class="comment">% Calculem energia de cada àtom.</span>
<span class="comment">% Càlcul de l'Energia Cinètica.</span>
v = -A(nn)*w(nn)*sin(w(nn)*t + phi(nn)); <span class="comment">% Velocitat de la partícula.</span>
K = 1/2*m*v^2;
<span class="comment">% Càlcul de l'Energia Potencial.</span>
x = A(nn)*cos(w(nn)*t + phi(nn)) ; <span class="comment">% Posició de la partícula.</span>
U = 1/2*C*x^2;
<span class="comment">% Energia Total</span>
E = E + K + U; <span class="comment">% Sumem a l'energia global del sistema.</span>
<span class="keyword">end</span>
Et = [Et E/(k_b*N)]; <span class="comment">% Actualitzem el vector d'energies.</span>
<span class="keyword">end</span>
T = [0:dT:500];
Ce = (Et(2:end) - Et(1:end-1)).*(1/dT); <span class="comment">% Vector de calors específiques.</span>
<span class="comment">% Representem la calor específica en funció de la temperatura.</span>
figure(1)
plot(T(1:end-1),Ce, <span class="string">'-k'</span>)
xlabel(<span class="string">'Temperatura (K)'</span>)
ylabel(<span class="string">'Ce/(k_b*N)'</span>)
title(<span class="string">'Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura'</span>)
grid <span class="string">on</span>; hold <span class="string">on</span>;
<span class="comment">% Calculem ara la calor específica segons la seva fórmula analítica del</span>
<span class="comment">% model d'Einstein</span>
T = [0:dT:500];
<span class="keyword">for</span> tt = 1:length(T)
Ce(tt) = 0;
<span class="keyword">for</span> n = 1:N
Ce(tt) = Ce(tt) + ((h_d*w(n))^(2)*exp(h_d*w(n)/(k_b*T(tt))))/(k_b*(T(tt)^(2))*(exp(h_d*w(n)/(k_b*T(tt))) - 1)^2); <span class="comment">% dCe/dT</span>
<span class="keyword">end</span>
<span class="keyword">end</span>
Ce = Ce.*(1/(k_b*N));
plot(T, Ce, <span class="string">'-r'</span>);
xlabel(<span class="string">'Temperatura (K)'</span>)
ylabel(<span class="string">'Ce/(k_b*N)'</span>)
title(<span class="string">'Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura.'</span>)
grid <span class="string">on</span>; hold <span class="string">on</span>;
k = [0:2*pi/L:2*pi/a] - (pi/a); <span class="comment">% Número d'ona.</span>
k = k(1:end-1); <span class="comment">% Traiem l'últim que és igual al primer.</span>
w0 = sqrt(C/m); <span class="comment">% Freqüència base.</span>
w = 2.*w0.*abs(sin(k.*a./2)); <span class="comment">% Relació de dispersió d'ona.</span>
<span class="comment">% Calculem ara la capacitat calorífica de la cadena. Per fer-ho cal derivar</span>
<span class="comment">% l'energia respecte la temperatura. Com que tan sols l'energia de cada mode depèn de la</span>
<span class="comment">% temperatura, la derivem i calculem C. Model de DEBYE.</span>
Et = []; <span class="comment">% Vector d'energies totals del sistema.</span>
dT = 1; <span class="comment">% Diferencial de temperatura.</span>
<span class="keyword">for</span> T = 0:dT:500; <span class="comment">% Càlcul de C per diferents temperatures.</span>
<span class="comment">% Tornem a calcular les variables per a una T qualsevol.</span>
betap = 1/(k_b*T); <span class="comment">% Factor beta</span>
n_b = 1./(exp(betap.*h_d.*w) - 1); <span class="comment">% Factor d'ocupació de Bose.</span>
E = h_d.*w.*(n_b + 1/2); <span class="comment">% Energia per a frequència.</span>
A = sqrt(2.*E./C); <span class="comment">% Amplitud.</span>
E = 0; <span class="comment">% Energia del sistema per a una T concreta.</span>
t = 5*10^(-16);
<span class="keyword">for</span> n = 0:N-1 <span class="comment">% Calculem energia de cada àtom.</span>
<span class="comment">% Càlcul de l'Energia Cinètica.</span>
xn = n*a;
v = 0;
<span class="keyword">for</span> nn = 1:N
v = v - A(nn)*w(nn)*sin(w(nn)*t - k(nn)*xn + phi(nn)); <span class="comment">% Velocitat de la partícula.</span>
<span class="keyword">end</span>
K = 1/2*m*v^2;
<span class="comment">% Càlcul de l'Energia Potencial.</span>
x = 0;
<span class="keyword">for</span> nn = 1:N
x = x + A(nn)*cos(w(nn)*t - k(nn)*xn + phi(nn)) ; <span class="comment">% Posició de la partícula.</span>
<span class="keyword">end</span>
U = 1/2*C*x^2;
<span class="comment">% Energia Total</span>
E = E + K + U; <span class="comment">% Sumem a l'energia global del sistema.</span>
<span class="keyword">end</span>
Et = [Et E/(k_b*N^2)]; <span class="comment">% Actualitzem el vector d'energies.</span>
<span class="keyword">end</span>
T = [0:dT:500];
Ce = (Et(2:end) - Et(1:end-1)).*(1/dT); <span class="comment">% Vector de calors específiques.</span>
<span class="comment">% Representem la calor específica en funció de la temperatura.</span>
figure(1)
plot(T(1:end-1),Ce, <span class="string">'-b'</span>)
xlabel(<span class="string">'Temperatura (K)'</span>)
ylabel(<span class="string">'Ce/(k_b*N)'</span>)
title(<span class="string">'Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura'</span>)
legend(<span class="string">'Model Einstein numèric'</span>,<span class="string">'Model Einstein analític'</span>,<span class="string">'Model Debye'</span>,<span class="string">'Location'</span>,<span class="string">'SouthEast'</span>)
grid <span class="string">on</span>; hold <span class="string">off</span>;
</pre><img vspace="5" hspace="5" src="SpecificHeat_01.png" alt=""> <p class="footer"><br>
Published with MATLAB® 7.11<br></p></div><!--
##### SOURCE BEGIN #####
% Model d'Einstein
clear all
c = 4.2906*10^(-10); % Paràmetre de xarxa.
a = sqrt(3)*c/2; % Distància entre enllaç.
vs = 3200; % Velocitat del so.
m = 4*10^(-26); % Massa.
C = m*(vs/a)^2; % Constant elàstica.
m = 4*10^(-26); % Massa
h = 6.62606957*10^(-34); % Constant de Planck
h_d = h/(2*pi); % Constant de Dirac
k_b = 1.38064852*10^(-23); % Constant de Boltzmann
N=7; % Nombre d'àtoms del sòlid
L=N*a; % Longitud del sòlid
w=ones(N,1).*10^(13.08); % Prenem una pulsació igual per tots els àtoms
%phi = rand(N,1)*2*pi; % Fase aleatòria.
phi = zeros(N,1);
% Calculem ara la capacitat calorífica de la cadena. Per fer-ho cal derivar
% l'energia respecte la temperatura. Com que tan sols l'energia de cada mode depèn de la
% temperatura, la derivem i calculem C. MODEL D'EINSTEIN.
Et = []; % Vector d'energies totals del sistema.
dT = 1; % Diferencial de temperatura.
for T = 0:dT:500; % Càlcul de C per diferents temperatures.
% Tornem a calcular les variables per a una T qualsevol.
betap = 1/(k_b*T); % Factor beta
n_b = 1./(exp(betap.*h_d.*w) - 1); % Factor d'ocupació de Bose.
E = h_d.*w.*(n_b + 1/2); % Energia per a frequència.
A = sqrt(2.*E./C); % Amplitud.
E = 0; % Energia del sistema per a una T concreta.
t = 5*10^(-16);
for nn = 1:N % Calculem energia de cada àtom.
% Càlcul de l'Energia Cinètica.
v = -A(nn)*w(nn)*sin(w(nn)*t + phi(nn)); % Velocitat de la partícula.
K = 1/2*m*v^2;
% Càlcul de l'Energia Potencial.
x = A(nn)*cos(w(nn)*t + phi(nn)) ; % Posició de la partícula.
U = 1/2*C*x^2;
% Energia Total
E = E + K + U; % Sumem a l'energia global del sistema.
end
Et = [Et E/(k_b*N)]; % Actualitzem el vector d'energies.
end
T = [0:dT:500];
Ce = (Et(2:end) - Et(1:end-1)).*(1/dT); % Vector de calors específiques.
% Representem la calor específica en funció de la temperatura.
figure(1)
plot(T(1:end-1),Ce, '-k')
xlabel('Temperatura (K)')
ylabel('Ce/(k_b*N)')
title('Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura')
grid on; hold on;
% Calculem ara la calor específica segons la seva fórmula analítica del
% model d'Einstein
T = [0:dT:500];
for tt = 1:length(T)
Ce(tt) = 0;
for n = 1:N
Ce(tt) = Ce(tt) + ((h_d*w(n))^(2)*exp(h_d*w(n)/(k_b*T(tt))))/(k_b*(T(tt)^(2))*(exp(h_d*w(n)/(k_b*T(tt))) - 1)^2); % dCe/dT
end
end
Ce = Ce.*(1/(k_b*N));
plot(T, Ce, '-r');
xlabel('Temperatura (K)')
ylabel('Ce/(k_b*N)')
title('Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura.')
grid on; hold on;
k = [0:2*pi/L:2*pi/a] - (pi/a); % Número d'ona.
k = k(1:end-1); % Traiem l'últim que és igual al primer.
w0 = sqrt(C/m); % Freqüència base.
w = 2.*w0.*abs(sin(k.*a./2)); % Relació de dispersió d'ona.
% Calculem ara la capacitat calorífica de la cadena. Per fer-ho cal derivar
% l'energia respecte la temperatura. Com que tan sols l'energia de cada mode depèn de la
% temperatura, la derivem i calculem C. Model de DEBYE.
Et = []; % Vector d'energies totals del sistema.
dT = 1; % Diferencial de temperatura.
for T = 0:dT:500; % Càlcul de C per diferents temperatures.
% Tornem a calcular les variables per a una T qualsevol.
betap = 1/(k_b*T); % Factor beta
n_b = 1./(exp(betap.*h_d.*w) - 1); % Factor d'ocupació de Bose.
E = h_d.*w.*(n_b + 1/2); % Energia per a frequència.
A = sqrt(2.*E./C); % Amplitud.
E = 0; % Energia del sistema per a una T concreta.
t = 5*10^(-16);
for n = 0:N-1 % Calculem energia de cada àtom.
% Càlcul de l'Energia Cinètica.
xn = n*a;
v = 0;
for nn = 1:N
v = v - A(nn)*w(nn)*sin(w(nn)*t - k(nn)*xn + phi(nn)); % Velocitat de la partícula.
end
K = 1/2*m*v^2;
% Càlcul de l'Energia Potencial.
x = 0;
for nn = 1:N
x = x + A(nn)*cos(w(nn)*t - k(nn)*xn + phi(nn)) ; % Posició de la partícula.
end
U = 1/2*C*x^2;
% Energia Total
E = E + K + U; % Sumem a l'energia global del sistema.
end
Et = [Et E/(k_b*N^2)]; % Actualitzem el vector d'energies.
end
T = [0:dT:500];
Ce = (Et(2:end) - Et(1:end-1)).*(1/dT); % Vector de calors específiques.
% Representem la calor específica en funció de la temperatura.
figure(1)
plot(T(1:end-1),Ce, '-b')
xlabel('Temperatura (K)')
ylabel('Ce/(k_b*N)')
title('Calor específica normalitzada del sòlid en funció de la temperatura')
legend('Model Einstein numèric','Model Einstein analític','Model Debye','Location','SouthEast')
grid on; hold off;
##### SOURCE END #####
--></body></html>