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相機成像原理

理論模型

影像來源

	描述	解釋
$c$	模糊範圍	點光源在底片上成像的大小
$f$	焦距	鏡頭參數
$N$	焦比	鏡頭參數
$d$	光圈大小	$f/N$, 鏡頭參數
$s$	主體（對焦點）距離	鏡頭參數
$v$	像距	鏡頭與底片距離, 由 $s, f$ 決定
$m$	放大率	$v/s$
$D_F$	景深遠點	物體能夠清晰成像的最遠距離
$D_N$	景深近點	物體能夠清晰成像的最近距離
DOF	景深	物體能夠清晰成像的距離範圍
CoC	模糊圈	感光元件中人眼能分辨的最小距離

景深

• 特定物體的模糊程度 $c$ 取決於焦距、光圈、主體（對焦點）、物體距離 ( $f, N, s, D$ ) 四個參數，並與光圈大小 ( $f/N$ ) 成正比

• 當模糊程度 $c \le$ CoC，相對應的範圍 $D$ 即為景深

  一個較小的景深可以由

  • 焦距變大
  • 光圈變大
  • 主體變近

• 可以與人眼相對應

  • 瞇眼睛（光圈縮小），景深增加，看得更清晰

透鏡成像公式

$$ \frac{1}{v}+\frac{1}{s} = \frac{1}{f} $$

放大率 $m$

$$ m = \frac{v}{s} = \frac{f}{s-f} = \frac{v-f}{f} $$

可以用兩種不同的方法推導景深公式

景深公式

方法一 （同 Wikipedia）

用透鏡成像公式硬解

$$ \begin{align} \frac{1}{f} &= \frac{1}{s}+\frac{1}{v} \\ \frac{1}{f} &= \frac{1}{D_F}+\frac{1}{\frac{f/N}{f/N + c}\cdot v} \\ \frac{1}{f} &= \frac{1}{D_N}+\frac{1}{\frac{f/N}{f/N - c}\cdot v} \\ \end{align} $$

整理可得

$$ \begin{align} D_F &= \frac{sf^2}{f^2+cNf-cNs} \\ D_N &= \frac{sf^2}{f^2-cNf+cNs} \\ \end{align} $$

$$ \begin{align*} c = \frac{f}{s-f}\cdot\frac{f}{N}\cdot\frac{D_f-s}{D_f} \\ = \frac{f}{s-f}\cdot\frac{f}{N}\cdot\frac{s-D_n}{D_n} \\ = \frac{f}{s-f}\cdot\frac{f}{N}\cdot\frac{|s-D|}{D} \\ \end{align*} $$

方法二

計算模糊範圍 $c$ 在物體側相對應的大小 $x$, $m$ 為物體放大率

$$ \begin{align} c &= mx \\ m &= \frac{v}{s} = \frac{f}{s-f} \\ x &= \frac{D_F-s}{D_F}d = \frac{s-D_N}{D_N}d = \frac{|s-D|}{D}d \\ \end{align} $$

由此可得

$$ c = \frac{f}{s-f} \cdot \frac{f}{N} \cdot \frac{|s-D|}{D} \\ $$

模糊程度做圖

改變焦距

顏色越黃代表影像越模糊，橘線範圍內為景深。

改變光圈大小

顏色越黃代表影像越模糊，橘線範圍內為景深。

改變主體（對焦點）位置

顏色越黃代表影像越模糊，橘線範圍內為景深。

超焦距

當對焦在 $s = H$ 時， $D_F \to \infty$ ， $H$ 稱為超焦距

$$ D_f \to \infty, f^2+cNf-cNs = 0 $$

$$ H = f + \frac{f^2}{Nc} \\ $$

$$ \begin{align} D_f &\to \infty \\ D_n &= H/2 \\ \end{align} $$

紅線為超焦距，可以看出 $D_F$ 會隨著 $s$ 接近 $H$ 而趨近無限大

顏色越黃代表影像越模糊，橘線範圍內為景深。

長焦壓縮

在主體大小不變的情況下（放大率$m$ 固定），用長焦鏡頭會使遠方物體放大率增加，造成距離壓縮的效果。

為了使主體大小不變，切換長焦鏡頭必須離主體越來越遠。

下圖紅線為主體位置。可以看出在相同距離下，使用長焦鏡的物體放大率會更大。

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