灰色关联度分析.md

灰色关联分析的步骤

第一步：确定分析序列

确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。

（1）参考序列（又称母序列）为$Y = Y ( k ) ∣ k = 1 , 2... n $

（2）比较数列（又称子序列）为$X_i = X_i ( k )|k = 1,2...n,i = 1,2...m $

第二步：变量的无量纲化

由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。主要有一下两种方法

（1）初值化处理：$x_i(k)=\frac{x_i(k)}{x_i(1)},k=1,2...n;i=0,1,2...m$

（2）均值化处理：$x_i(k)=\frac{x_i(k)}{\overline{x}_i},k=1,2...n;i=0,1,2...m$

第三步：计算关联系数

​ $\Large\xi_i(k) = \frac{\mathop{min}\limits_{i}\mathop{min}\limits_{k}|y(k)-x_i(k)| + \rho\mathop{max}\limits_{i}\mathop{max}\limits_{k}|y(k)-x_i(k)|}{|y(k)-x_i(k)|+\rho\mathop{max}\limits_{i}\mathop{max}\limits_{k}|y(k)-x_i(k)|}$

记$\Delta_i(k)=|y(k)-x_i(k)|$，则

​ $\Large\xi_i(k) = \frac{\mathop{min}\limits_{i}\mathop{min}\limits_{k}\Delta_i(k) + \rho\mathop{max}\limits_{i}\mathop{max}\limits_{k}\Delta_i(k)}{\Delta_i(k)+\rho\mathop{max}\limits_{i}\mathop{max}\limits_{k}\Delta_i(k)}$

$\rho\in(0,\infty)$称为分辨系数。$\rho$越小，分辨力越大，一般$\rho$的取值区间为$(0,1)$,具体取值可视情况而定。当$ \rho\le0.5463$时，分辨力最好，通常取$ρ = 0.5$。

第四步：计算关联度

因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度$r_i$公式如下：

​ $\Large r_i=\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}\xi_i(k),k=1,2...n$

第五步: 关联度排序

关联度按大小排序，如果$r1<r2$，则参考数列$y$与比较数列$x2$更相似。

在算出$x_i(k)$序列与$Y(k)$序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值$r_i$就称为$Y(k)$与$X_i(k)$的关联度。