修改收敛性表述

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@@ -69,4 +69,6 @@ Cholesky 分解后，类似 LU 分解的过程得到最终解
 
 - **F-范数**：$\Vert \mathbf{A}\Vert_F=\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2}$
 
-**谱半径** $\rho(\mathbf{A})=\max|\lambda_i|$，对矩阵的任何一种相容范数都有 $\rho(\mathbf{A})\leqslant \Vert \mathbf{A} \Vert$
+**谱半径** $\rho(\mathbf{A})=\max|\lambda_i|$，其中 $\lambda_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值
+
+对矩阵的任何一种相容范数都有 $\rho(\mathbf{A})\leqslant \Vert \mathbf{A} \Vert$

6/index.md

@@ -6,17 +6,16 @@
 
 于是得到迭代式 $\mathbf{x=M^{-1}Nx+M^{-1}b=Bx+f}\Rightarrow \mathbf{x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f}$
 
-迭代法收敛充要条件： $\lim_{k\to\infty}B^k=0$ 或 $\rho (B)<1$ ,其中 $\rho (B)$ 称为矩阵B的谱半径
-
-设n维矩阵B的n个特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ , $\rho(B)=\displaystyle \max_{1\leq i\leq n}\lvert\lambda_i\rvert $
-
 **一阶线性定常迭代法**
-取 $\mathbf{M=I}$ 时，若 $\rho(\mathbf{B})<1$ ，则对任意初始向量 $\mathbf{x^{(0)}}=(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})^T$，会收敛到真实解
+
+即取 $\mathbf{M=I}$ 
 
 **雅可比迭代法**
 
 采用矩阵分裂： $\mathbf{A=M-N=D-(L+U)}$
 
+其中 $\mathbf{D}$ 就是单独提出 $\mathbf{A}$ 的对角线， $\mathbf{L, U}$ 是 $\mathbf{A}$ 除去对角线后的下三角和上三角取负
+
 则 $\mathbf{x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b=B_J x+f}$
 
 $\mathbf{x^{(k+1)}}$ 可由以下公式得到：
@@ -51,14 +50,19 @@ $$
 x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}+\omega\Bigg(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i}^na_{ij}x_j^{(k)}\Bigg)/a_{ii}
 $$
 
-**误差估计**
-对于 $x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f$ 如果有 $B$ 的某种算子范数 $\|B\|=q<1$ ,则
-1. 迭代法全局收敛
-2. $\begin{Vmatrix}x^*-x^{(k)}\end{Vmatrix}\leq q^k\begin{Vmatrix}x^*-x^{(0)}\end{Vmatrix}$
-3. $\begin{Vmatrix}x^*-x^{(k)}\end{Vmatrix}\leq\dfrac{q^k}{1-q}\begin{Vmatrix}x^{(1)}-x^{(0)}\end{Vmatrix}$
-
 **严格对角占优矩阵**
 
 满足条件 $\sum_{j=1}^n\left|a_{ij}\right|<\left|a_{ii}\right|\quad,\quad i=1,2,\cdots,n$ ，则称矩阵A是严格对角占优矩阵。
 
-雅可比迭代法和高斯-赛格尔迭代法都收敛
+雅可比迭代法和高斯-赛格尔迭代法都收敛
+
+**收敛性**
+
+迭代法收敛充要条件： $\rho(\mathbf{B})<1$ ，此时对任意初始向量 $\mathbf{x^{(0)}}=(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})^T$，会收敛到真实解
+
+用到矩阵分裂时，还要求 $\mathbf{D}$ 非奇异
+
+另一个充分条件：对于迭代法 $\mathbf{x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f}$ 如果有 $\mathbf{B}$ 的某种算子范数 $\Vert\mathbf{B}\Vert=q<1$ ,则迭代法全局收敛，且有
+- $\Vert x^*-x^{(k)}\Vert\leq q^k\Vert x^*-x^{(0)}\Vert$
+- $\Vert x^*-x^{(k)}\Vert\leq\dfrac{q}{1-q}\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert$
+- $\Vert x^*-x^{(k)}\Vert\leq\dfrac{q^k}{1-q}\Vert x^{(1)}-x^{(0)}\Vert$

7/index.md

@@ -1,34 +1,38 @@
 # **第七章 非线性方程组求根**
 
-**k次二分法的误差**： 
+**二分法的误差**： 
 
-$\mid x_k-x^*\mid\leq(b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}\quad (k=0,1,2\dots)$
+$| x_k-x^*|\leqslant(b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}\quad (k=0,1,2\dots)$
 
-**不动点的存在性与迭代法的收敛性**
+**不动点**：给定初始值 $x_0$ ，如果对任意 $x_0\in [a, b]$ ，由迭代公式 $x_{k+1}=\phi(x_k)$ 得到的迭代序列 $\{x_k\}$ 存在极限 $\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infin}x_k=x^*$ ，则称该迭代公式收敛， $x^*$ 就称为不动点
+
+**不动点的存在性**
 
 设迭代函数 $\phi(x)\in C[a,b]$ ,并且
 
-(1) $\forall x\in [ a, b]$ ,都有 $\phi(x)\in[a,b]$
+- $\forall x\in [ a, b]$ ,都有 $\phi(x)\in[a,b]$
 
-(2) $\exists0\leq L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $\mid\phi(x)-\phi(y)\mid\leq L\mid x-y\mid$
+- $\exists0\leq L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $|\phi(x)-\phi(y)|\leq L| x-y|$
 
 那么 $\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一的不动点 $x^*$
 
-上述定理的条件(2)可用 $\left|\phi^{\prime}(x)\right|\leq L<1$ 代替。
+上述定理的第二个条件可用 $\left|\phi^{\prime}(x)\right|\leq L<1$ 代替。
 
 误差估计：
-1. $|x_k-x^*|\le\frac{L^k}{1-L}| x_1-x_0 | $
-2. $|x_{k}-x^{*}|\leq\frac{L}{1-L}| x_{k}-x_{k-1}|$
+- $|x_k-x^*|\leqslant\displaystyle \frac{L^k}{1-L}| x_1-x_0 | $
+- $|x_{k}-x^{*}|\leqslant\displaystyle \frac{L}{1-L}| x_{k}-x_{k-1}|$
 
 **局部收敛性**
 
-设 $x^*$ 为迭代函数 $\phi(x)$ 的不动点， $\phi^\prime(x)$ 在 $x^*$ 的某邻域内连续，且 $\mid\phi^{\prime}(x^{*})\mid<1$ ,则迭代法是局部收敛的.
+设 $\phi(x)$ 有不动点 $x^*$ ，如果存在 $x^*$ 的某个邻域 $\Delta:|x-x^*|\leqslant \delta$ ，对任意的 $x_0\in \Delta$ ，迭代公式产生的序列 $\{x_k\}$ 满足 $x_i\in \Delta$ ，且收敛到 $x^*$ ，则称该迭代公式局部收敛 
+
+若 $\phi^\prime(x)$ 在 $x^*$ 的某邻域内连续，且 $|\phi^{\prime}(x^{*})|<1$ ,则迭代法是局部收敛的.
 
 **收敛阶**
 
-误差 $e_k=x_k-x^*$ , 若 $\lim_{k\to\infty}e_{k+1}/e_k^p=C$ , $C\ne 0$ , 则称迭代过程为 $p$ 阶
+误差 $e_k=x_k-x^*$ , 若 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^p}=C$ , $C\ne 0$ , 则称迭代过程为 $p$ 阶收敛的
 
-如果 $\phi^{\prime}(x^*)=\phi^{\prime\prime}(x^*)=\cdots=\phi^{(p-1)}(x^*)=0,\quad\phi^{(p)}(x^*)\neq0$ ,那么迭代过程在 $x^*$ 附近是 $p$ 阶收敛的
+如果迭代函数在不动点 $x^*$ 附近有 $p$ 阶连续导数且 $\phi^{\prime}(x^*)=\phi^{\prime\prime}(x^*)=\cdots=\phi^{(p-1)}(x^*)=0,\quad\phi^{(p)}(x^*)\neq0$ ,那么迭代过程在 $x^*$ 附近是 $p$ 阶收敛的
 
 **斯特芬森迭代法**：