[!WARNING] 注意
下文中的欧拉数特指 Eulerian Number。注意与 Euler numbers，Euler's number 作区分。
在计算组合中，欧拉数（Eulerian Number）是从 $1$ 到 $n$ 中正好满足 $m$ 个元素大于前一个元素（具有 $m$ 个“上升”的排列）条件的排列 个数。定义为：
$$
A(n, m) =
\left\langle
\begin{matrix}
n\\
m - 1
\end{matrix}
\right\rangle
$$
例如，从数字 $1$ 到 $3$ 一共有 $4$ 种排列使得恰好有一个元素比前面的数字大：
| 排列 |
满足要求的排列 |
个数 |
| 1 2 3 |
1, 2 & 2, 3 |
2 |
| 1 3 2 |
1, 3 |
1 |
| 2 1 3 |
1, 3 |
1 |
| 2 3 1 |
2, 3 |
1 |
| 3 1 2 |
1, 2 |
1 |
| 3 2 1 |
|
0 |
所以按照 $A(n, m)$ 定义：如果 $n$ 等于 $3$,$m$ 等于 $1$，欧拉数值为 $4$，表示共有 $4$ 个有 $1$ 个元素大于前一个元素的排列。
对于 $n$ 和 $m$ 值比较小的欧拉数来说，我们可以直接得到结果：
| $A(n, m)$ |
满足要求的排列 |
个数 |
| $A(1, 0)$ |
$(1)$ |
1 |
| $A(2, 0)$ |
$(2, 1)$ |
1 |
| $A(2, 1)$ |
$(1, 2)$ |
1 |
| $A(3, 0)$ |
$(3, 2, 1)$ |
1 |
| $A(3, 1)$ |
$(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)$ |
4 |
| $A(3, 2)$ |
$(1, 2, 3)$ |
1 |
可以通过递推或者递归的方法计算欧拉数。
首先，当 $m \ge n$ 或 $n = 0$ 时，没有满足条件的排列，即此时欧拉数为 0。
其次，当 $m = 0$ 时，只有降序的排列满足条件，即此时欧拉数为 1。
最后，考虑在 $n-1$ 的排列的基础上插入 $n$ 从而得到 $n$ 的排列，由于插入 $n$ 至多使欧拉数增加 1，所以 $A(n, m)$ 可以仅从 $A(n-1, m-1)$ 处和 $A(n-1, m)$ 处转移得到。
考虑 $n$ 插入的位置：当 $p_{i-1} < p_{i}$ 时，若将 $n$ 插到 $p_{i}$ 之前，即将 $n$ 插入到 **上升" 中，排列的欧拉数不变；此外，将 $n$ 插在排列之前，排列的欧拉数也不变；否则，若将 $n$ 插到其余位置，排列的欧拉数增加 1。
考虑从 $A(n-1, m-1)$ 转移到 $A(n, m)$，此时需要使欧拉数增加 1，此时不能将 $n$ 插在 **上升" 中或者排列开头，共有 $n - (m-1) - 1 = n-m$ 种方案。
考虑从 $A(n-1, m)$ 转移到 $A(n, m)$，此时需要欧拉数保持不变，只能将 $n$ 插在 **上升" 中或者排列开头，共 $m+1$ 种方案。
综上所述，有
$$
A(n, m) =
\left{
\begin{array}{ll}
0 & m > n \text{ or } n = 0 \\
1 & m = 0 \\
(n-m) \cdot A(n-1, m-1) + (m+1) \cdot A(n-1, m) & \text{otherwise} \\
\end{array}
\right.
$$
// C++ Version
int eulerianNumber(int n, int m) {
if (m >= n || n == 0) return 0;
if (m == 0) return 1;
return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) +
((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)));
}# Python Version
def eulerianNumber(n, m):
if m >= n or n == 0:
return 0
if m == 0:
return 1
return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) + \
((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)))