平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个不太标准的 计数体系。正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1。
这里有几个例子：
0 0
1 1
2 1Z
3 10
4 11
5 1ZZ
6 1Z0
7 1Z1
8 10Z
9 100
该 计数体系 的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z)。
-1 Z
-2 Z1
-3 Z0
-4 ZZ
-5 Z11
很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1。
在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示。当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。
把 64 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：
101被跳过（因为在平衡三进制中允许0和1）；2变成了Z，它左边的数字加1，得到1Z101；1被跳过，得到1Z101。
最终的结果是 1Z101。
我们再把它转换回十进制：
把 237 转换成平衡三进制。
首先，我们用标准三进制数来重写这个数：
0和1被跳过（因为在平衡三进制中允许0和1)；2变成Z，左边的数字加1，得到23Z10；3变成0，左边的数字加1，得到30Z10；3变成0，左边的数字（默认是0）加1，得到100Z10；1被跳过，得到100Z10。
最终的结果是 100Z10。
我们再把它转换回十进制：
对于一个平衡三进制数
答案是肯定的。
我们利用 反证法 来求证：
假设一个十进制数
当
$Y_{10}=0$ ，显然$A_3 = B_3 = 0_3$ ，与假设矛盾。当
$Y_{10}>0$ ：
将
$A_3$ ，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记$a_i$ 为$A_3$ 的第$i$ 位，$b_i$ 为$B$ 的第$i$ 位。在$A_3,B_3$ 中，必存在$i$ 使得$a_i\neq b_i$ 。可以发现第$i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关。因此，将$A_3,B_3$ 按位右移$i$ 位，得到$A_3',B_3'$ ，原问题等价于证明$A_3'=B_3'$ 。对于
$A_3',B_3'$ 第$0$ 位，$a_0 \neq b_0$。假设$b_0 > a_0$ （$a_0>b_0$ 时结果相同），易知$b_0 - a_0 \in {1,2}$ 。$A_3'$ 的位$i=1,2,3,...$ 对于$A_3'$ 的值的贡献为$S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$ ，$B_3'$ 的位$i=1,2,3,...$ 对于$B_3'$ 的值的贡献为$S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$ 。由于$A_3' = B_3'$ ，得$S_1 - S_2 = b_0 - a_0$ 。$S_1,S_2$ 有公因子$3$ ，而$b_0 - a_0$ 不能被$3$ 整除，与假设矛盾，因此$A_3'\neq B_3'$ 当
$Y_{10}<0$ ，证法与$Y_{10}>0$ 相同。
故对于任意十进制