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增广路定理 Berge's lemma

这是最大匹配的一个重要理论。

• 交错路（alternating path) 始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。
• 增广路（augmenting path）是始于非匹配点且终于非匹配点的交错路。

增广路上非匹配边比匹配边数量多一，如果将匹配边改为未匹配边，反之亦然，则匹配大小会增加一且依然是交错路。

如图 匹配数从 2 增加为 3，我们称此过程为 增广。

根据 Berge's lemma 当找不到增广路的时候，得到最大匹配。

由此定理可知我们求最大匹配的核心思路。

!!! 核心思路 枚举所有未匹配点，找增广路径，直到找不到增广路径。

事实上，对于每个点只要枚举一次就好，证明如下：

假设某一轮沿着增广路 $a - b$ 增广后，新增了以未匹配点 $x$ 为起点的增广路 $P_x$，则 $P_x$ 必与 $a - b$ 有公共边（否则 $P_x$ 不可能是因此次增广而新增的）。 在 $P_x$ 与 $a - b$ 取得公共边时，由于 $a - b$ 是交错路，意味着相交点在 $a - b$ 内的两邻边是不同类型的（图中以红和蓝表示）；因而增广前 $x$ 就能走到 $a - b$ 中的某个未匹配点，说明此前已存在从 $x$ 出发的增广路，即已枚举过的未匹配点不再可能作为增广路起点。