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<!DOCTYPE html>
<html lang="fr" dir="ltr">
<head>
<meta charset="utf-8">
<meta name="format-detection" content="telephone=no">
<meta name="viewport" content="initial-scale=1, width=device-width">
<link rel="stylesheet" href="css/cartonboite.css">
<title>TP2 - Enveloppe convexe et triangulation</title>
<link rel="stylesheet" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/highlight.js/10.0.1/styles/default.min.css">
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/highlight.js/10.0.1/highlight.min.js"></script>
<script>hljs.initHighlightingOnLoad();</script>
</head>
<body class="-flexCStart -align-ifill -align-sfill ">
<section class="-flexRBetween -align-ifill flex1 -flexWrap overflow-v">
<article class="-flexCStart -align-ifill back-clear -shadow -f-mult6 overflow-v" style="max-height: 100%;">
<div class="padding-very-long -flexCStart -align-ifill">
<div class="-flexRBetween">
<h1 class="font-h3 -boldest">Master Imagina</h1>
<div class="-flexCStart">
<img src="images/moon.svg" alt="night" class="-size-min nightImg -dark-logo pointer" onclick="document.body.classList.toggle('NIGHT')">
</div>
</div>
<h3 class="font-h5 -light">TP2 - Enveloppe convexe et triangulation <span class="badge -roundest back-1">Géométrie Discrète</span></h3>
<p>Romain Saclier</p>
<div class="-flexRBetween">
<a href="TP1.html" class="btn -roundest -f-mult2 -margALL padding-min back-3">TP1</a>
<a href="TP2.html" class="btn -roundest -f-mult2 -margALL padding-min back-3">TP2</a>
<a href="TP3.html" class="btn -roundest -f-mult2 -margALL padding-min back-3">TP3</a>
</div>
<p class="-margT"><span class="padding-min back-warning -roundest -margR"></span>Tous les points peuvent être déplacés grâces à la souris</p>
<div class="-flexCStart -align-ifill -margT margin-very-long">
<!-- EXERCICE 1 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">1</span> Définissez une structure Point pour stocker un point sous forme de ses coordonnées.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('POINT_STRUCTURE').classList.toggle('hide-display')">Structure Point (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="POINT_STRUCTURE"><code class="javascript">/**
* Pour la structure point on considérera que c'est un vertex
* auquel on a plaqué sa position z sur le plan 2D
* @extends Vertex
*/
class Point extends Vertex {
constructor(x, y) {
this.x = x;
this.y = y;
this.z = 0;
}
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 2 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">2</span> Écrire une fonction randomizedPoints qui génère un ensemble de n points du plan uniformément dans un disque centré en le centre de la zone d’affichage.</p>
<button type="button" name="button" class="btn -roundest back-1 padding-small -align-sstart" onclick="generatePoints()">Générer des points</button>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('RANDOMIZE_POINTS').classList.toggle('hide-display')">Fonction randomizedPoints (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="RANDOMIZE_POINTS"><code class="javascript">/**
* Génère n points dans un cerle de rayon défini ayant pour centre un point
*/
function randomizePoints(n, center, rayon) {
let points = [];
for (let i = 0; i < n; ++i) {
let angle = Math.random()*Math.PI*2;
let randR = rand(0, rayon);
let x = Math.cos(angle) * randR;
let y = Math.sin(angle) * randR;
points[i] = new Point(Math.round(x + center.x), Math.round(y + center.y));
}
return points;
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 3 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">3</span> Écrire une fonction concave qui prend en entrée trois points (r, s, t) du plan et renvoie True si t est strictement à droite de (rs) orientée de r à s et False sinon.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('CONCAVE').classList.toggle('hide-display')">Fonction Concave (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="CONCAVE"><code class="javascript">function orientation(r, s, t) {
let val = (s.y - r.y) * (t.x - s.x) - (s.x - r.x) * (t.y - s.y);
return val == 0 ? 0 : val > 0 ? 1 : 2;
}
function concave (r, s, t){
return orientation(r,s,t)!=2;
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 4 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">4</span> Implémentez l’algorithme de Graham.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('GRAHAM').classList.toggle('hide-display')">Fonction Graham (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="GRAHAM"><code class="javascript">
function compare(p1, p2) {
let o = orientation(pivot, p1, p2);
if (o == 0) return (crossProduct(pivot, p2) >= crossProduct(pivot, p1))? -1 : 1;
return o == 2 ? -1: 1;
}
function Graham(points) {
//On récupère le point pivot
let min = 0;
for (let i = 1; i < points.length; i++) {
if ((points[i].y < points[min].y) || (points[min].y ==points[i].y && points[i].x < points[min].x))
min = i;
}
// On place le point pivot à la première position
let temp = points[0];
points[0] = points[min];
points[min] = temp;
// On place le pivot en global
pivot = points[0];
// On tri par ordre d'orientation croissant
let enveloppe = [];
points = [...points].sort(compare);
// On commence l'algorithme
enveloppe.push(points[0]);
enveloppe.push(points[1]);
for (let i = 2; i < points.length; ++i) {
while (enveloppe.length >= 2 && concave(enveloppe[enveloppe.length - 2], enveloppe[enveloppe.length - 1], points[i])) {
enveloppe.pop();
}
enveloppe.push(points[i]);
}
return enveloppe;
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 5 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">5</span> Générez un ensemble de points aléatoirement à l’aide de la fonction randomizedPoints, et calculez l’enveloppe convexe de ces points.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('GENERATION_GRAHAM').classList.toggle('hide-display')">Fonction de génération (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="GENERATION_GRAHAM"><code class="javascript">// Permet de générer des points aléatoirement et calculer l'enveloppe convexe
// center représente le point au centre de la scène , min représente le minimum entre la hauteur et la largeur de la scène
let points = randomizePoints(50, center, min / 2.5);
let g = Graham(points);</code></pre>
<!-- EXERCICE 6 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">6</span> Implémentez une sortie visible de l’algorithme de Graham.</p>
<p class="-margV">Il suffit de récupérer les points donnés par la fonction de l'enveloppe convexe et de les reliers entre eux</p>
<button type="button" name="button" class="btn -roundest back-1 padding-small -align-sstart" onclick="startGraham()">Visualiser Graham</button>
<!-- EXERCICE 7 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">7</span> Implémentez une fonction de tri lexicographique d’un ensemble de n points.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('TRI_LEXICO').classList.toggle('hide-display')">Fonction Tri lexicographique (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="TRI_LEXICO"><code class="javascript">function lexicographiqueSort(points){
return [...points].sort((a, b) => {
if(a.x == b.x){
return a.y > b.y? 1: -1;
}
return a.x > b.x? 1: -1;
});
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 8 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">8</span> Définissez une structure Triangle et un moyen de stocker un ensemble de Triangle.</p>
<p>Lors du précédent TP nous avons développé une structure de triangle basé sur le Half Edge, nous l'utiliserons pour la suite.</p>
<!-- EXERCICE 9 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">9</span> Les points étant supposé triés, une triangulation Ti ayant été déjà calculé, implémentez une fonction permettant de tester si une arête de Ti est visible d’un point pj , j > i.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('TEST_VISIBLE').classList.toggle('hide-display')">Voir la Fonction (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="TEST_VISIBLE"><code class="javascript">//Permet de créer le vecteur allant de A à B
function createVector(A, B){
return new Vertex(B.x - A.x, B.y - A.y, B.z - A.z);
}
//Fonction de test de signe inverse
function oppositeSigns(x, y) {
return (x < 0)? (y >= 0): (y < 0);
}
//Permet d'obtenir le déterminants de deux vecteurs
function determinant(u,v) {
return u.x * v.y - v.x * u.y;
}
// On cherche à savoir si le point pk est visible du point pi en sachant que O appartient à l'enveloppe convexe et que pj est un point déjà visible du point pi
// On recherche donc si les déterminants sont opposé
// (pi, pj) (pi, pk) & (O, pj) (O, pk)
function pointVisible(pi, O, pk, pj){
let pi_pj = createVector(pi, pj);
let pi_pk = createVector(pi, pk);
let determinantA = determinant(pi_pk, pi_pj);
let O_pj = createVector(O, pj);
let O_pk = createVector(O, pk);
let determinantB = determinant(O_pk, O_pj);
//Déterminants opposés alors vrai
return oppositeSigns(determinantA, determinantB);
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 10 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">10</span> Implémentez l’algorithme incrémental de triangulation.</p>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('TRIANGULATION').classList.toggle('hide-display')">Algorithme incrémental Triangulation (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="TRIANGULATION"><code class="javascript">/**
* Permet d'obtenir le HEdge n'ayant pas de face pointant à l'opposé de v
* @param {Mesh} m le maillage
* @param {Vertex} v le vertex
*/
function incidentEdgeNoFace(m, v){
let incr = m.incidentIteratorVertex(v);
let incrValue = incr.next();
while(!incrValue.done){
if (m.getHEdge(incrValue.value).face == undefined && m.getHEdge(incrValue.value).vhead != v) {
return incrValue.value;
}
incrValue = incr.next();
}
}
/**
* Triangulation
* @param {Points} givenPoints les points permettant la construction de la triangulation
* @constructor
*/
function Triangulation(givenPoints){
let m = new Mesh();
//Sort points
let points = lexicographiqueSort(givenPoints);
//On ajoute les points à l'enveloppe convexe
let iv0 = m.addVertex(points[0]);
let iv1 = m.addVertex(points[1]);
let iv2 = m.addVertex(points[2]);
//Ajout de la première face
m.addFace(iv0, iv1, iv2);
let ilastVertex = iv2;
// Calcul du point O qui sera un point appartenant à l'enveloppe convexe
let nbPoints = 3;
let totalPoints = points[0].add(points[1]).add(points[2]);
let O = totalPoints.devide(nbPoints);
//Pour chaques points suivant on va obtenir les points visible depuis celui-ci en parcourant le côté avant et arrière
for(let i=3;i < points.length;++i){
// Dernier point vu
let lastVertex = m.getVertex(ilastVertex);
let edgeEnveloppe = incidentEdgeNoFace(m, ilastVertex); //L'Edge qui permet de débuter le chemin de l'enveloppe convexe
let edgeCalcul = edgeEnveloppe;
let horizonF = ilastVertex; //La position du vertex sur l'horizon en exerçant un parcours vers l'avant
let horizonB = ilastVertex; //La position du vertex sur l'horizon en exerçant un parcours vers l'arrière
let HEdgeHorizonF = edgeEnveloppe;
let HEdgeHorizonB = edgeEnveloppe;
let foundF = false; //Condition de sortie si on a trouvé l'horizon du parcours avant
let foundB = false; //Condition de sortie si on a trouvé l'horizon du parcours arrière
let max = 500; //Sécurité pour éviter une boucle infinie
// Côté forward
while(!foundF){
if(--max < 0) break;
let nextEdge = m.getHEdge(edgeCalcul); //On récupère l'edge pour calculer la tête
if(!nextEdge){ return m; } //Parfois la génération de points créé des points au même endroit
let headId = nextEdge.vhead; //On récupère l'id de la tête
let head = m.getVertex(headId); //On obtient les information sur le point
if(pointVisible(points[i], O, head, lastVertex)){
HEdgeHorizonF = edgeCalcul;
edgeCalcul = nextEdge.next;
lastVertex = head;
horizonF = headId;
}else{
foundF = true;
}
if(horizonF == 0) foundF = true; //Si on a trouvé le premier point alors on s'arrête on évite de boucle la recherche dans le cas de 3 points visible
}
// Côté Backward
edgeCalcul = m.getHEdge(edgeEnveloppe).prev;
lastVertex = m.getVertex(ilastVertex); //On réinitialise le dernier point vu
while(!foundB){
if(--max < 0) break;
let nextEdge = m.getHEdge(edgeCalcul); //On récupère l'edge pour calculer la tête de son opposé
let headId = m.getHEdge(nextEdge.opposite).vhead; //On récupère l'id de la tête
let head = m.getVertex(headId); //On obtient les information sur le point
if(pointVisible(points[i], O, head, lastVertex)){
HEdgeHorizonB = edgeCalcul;
edgeCalcul = nextEdge.prev;
lastVertex = head;
horizonB = headId;
}else{
foundB = true;
}
if(headId == horizonF || horizonB == 0) foundB = true; //Si le prochain point appartient déjà à l'autre horizon alors on s'arrête
}
// On commence d'une extrémité
let ivNext = m.addVertex(points[i]);
// Création du premier triangle
let horizonEdge = m.getHEdge(HEdgeHorizonB); //On récupère l'opposé d'un point de l'horizon
let constructorParcours = true;
let toBuild = [];
// On récupères les différents points de l'horizon qui servirons à construire les différents triangles
while(constructorParcours){
if(--max < 0) break;
let nextHead = horizonEdge.vhead;
toBuild.push(nextHead);
toBuild.push(ivNext);
toBuild.push(horizonB);
if(nextHead == horizonF) constructorParcours = false;
horizonB = nextHead;
horizonEdge = m.getHEdge(horizonEdge.next);
}
// On construit les différents triangles
for(let i = 0; i < toBuild.length; i+=3){
m.addFace(toBuild[i], toBuild[i+1], toBuild[i+2]);
}
// On défini la nouvelle dernière vertex vue
ilastVertex = ivNext;
// On update la position de O
totalPoints = totalPoints.add(points[i]);
nbPoints++;
O = totalPoints.devide(nbPoints);
}
return m;
}</code></pre>
<!-- EXERCICE 11 -->
<p class="-bold -margV"><span class="badge -rounded back-1">11</span> Générez un ensemble de points aléatoirement à l’aide de la fonction randomizedPoints, triangulez ces points.</p>
<button type="button" name="button" class="btn -roundest back-1 padding-small -align-sstart" onclick="startTriangulation()">Visualiser La Triangulation</button>
<p class="-margV pointer" onclick="document.getElementById('CODE_GENRERATE_TRIANGULATION').classList.toggle('hide-display')">Algorithme incrémental Triangulation (<span class="color-1">cliquez ici pour voir le code</span>)</p>
<pre class="prettyprint -flexCStart -align-ifill hide-display" id="CODE_GENRERATE_TRIANGULATION"><code class="javascript">//Génération de la triangulation
// center représente le point au centre de la scène , min représente le minimum entre la hauteur et la largeur de la scène
let points = randomizePoints(50, center, min / 2.5);
let m = Triangulation(points, ctx);</code></pre>
</div>
</div>
</article>
<article class="-flexCStart -align-ifill -f-mult6 overflow-v" style="height: 100vh;">
<canvas id="SCENE" class="flex1"></canvas>
</article>
</section>
</body>
<script src="scripts/geometry.js" charset="utf-8"></script>
<script src="scripts/loop.js" charset="utf-8"></script>
<script src="scripts/triangulation.js" charset="utf-8"></script>
<script src="scripts/graham.js" charset="utf-8"></script>
<script src="scripts/TPS/TP2.js" charset="utf-8"></script>
</html>