From 73e75db5985cb021d4d2cbbbc318f447374a6fd7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Danila Slesarev Date: Tue, 31 Oct 2023 11:35:19 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?(Funkan):=20=D0=BB=D1=8D=D0=B9=D0=B1=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D1=8B,=20=D0=B4=D0=BE=D0=BF=D0=BE=D0=BB=D0=BD=D0=B5=D0=BD?= =?UTF-8?q?=D0=B8=D0=B5=20=D0=B4=D0=BE=D0=BA-=D0=B2=D0=B0=20"=D0=A1=D0=BE?= =?UTF-8?q?=D0=BF=D1=80=D1=8F=D0=B6=D0=B5=D0=BD=D0=BD=D0=BE=D0=B5=20=D0=BF?= =?UTF-8?q?=D1=80=D0=BE=D1=81=D1=82=D1=80=D0=B0=D0=BD=D1=81=D1=82=D0=B2?= =?UTF-8?q?=D0=BE=20=D0=BF=D0=BE=D0=BB=D0=BD=D0=BE."?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Funkan3.tex | 62 ++++++++++++++++++++++++++--------------------------- 1 file changed, 31 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/Funkan3.tex b/Funkan3.tex index 06a876a..a1a0468 100644 --- a/Funkan3.tex +++ b/Funkan3.tex @@ -524,7 +524,7 @@ \section{Компактные пространства} \end{definition} \begin{theorem} - \label{Kom1} + \label{KomPr1} Топологическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. \end{theorem} @@ -533,25 +533,25 @@ \section{Компактные пространства} \end{proof} \begin{corollary} - \label{Kom2} + \label{KomPr2} Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. \end{corollary} \begin{proof} - Пусть $Y\subset X$ --- замкнутое подмножество. Пусть $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств в $Y$. Тогда $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств и в $X$. Следовательно, согласно теореме \ref{Kom1}, $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$. Отсюда, снова по теореме \ref{Kom1}, $Y$ компактно. + Пусть $Y\subset X$ --- замкнутое подмножество. Пусть $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств в $Y$. Тогда $\{A_{\alpha}\}$ --- центрированная система замкнутых подмножеств и в $X$. Следовательно, согласно теореме \ref{KomPr1}, $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$. Отсюда, снова по теореме \ref{KomPr1}, $Y$ компактно. \end{proof} \begin{corollary} - \label{Kom3} + \label{KomPr3} Замкнутое подмножество компакта есть компакт. \end{corollary} \begin{proof} - Очевидно, что подпространство хаусдорфова пространства есть хаусдорфово пространство. Теперь из следствия \ref{Kom2} следует наше утверждение. + Очевидно, что подпространство хаусдорфова пространства есть хаусдорфово пространство. Теперь из следствия \ref{KomPr2} следует наше утверждение. \end{proof} \begin{theorem} - \label{Kom4} + \label{KomPr4} Компакт замкнут в любом содержащем его метрическом пространстве. \end{theorem} @@ -566,7 +566,7 @@ \section{Компактные пространства} Очевидно, что компактные пространства счетно компактны. Рассмотрим связь компактных и метрических пространств. \begin{theorem} - \label{Kom5} + \label{KomPr5} Если $X$ --- счетно компактное метрическое пространство, то любое бесконечное подмножество имеет предельную точку. \end{theorem} @@ -575,11 +575,11 @@ \section{Компактные пространства} \end{proof} \begin{remark} - Заметим, что здесь мы фактически повторили рассуждения, использовавшиеся при доказательстве теоремы \ref{Kom1}. + Заметим, что здесь мы фактически повторили рассуждения, использовавшиеся при доказательстве теоремы \ref{KomPr1}. \end{remark} \begin{corollary} - \label{Kom5-1} + \label{KomPr5-1} Если $X$ --- счетно компактное метрическое пространство, то оно полно. \end{corollary} @@ -593,7 +593,7 @@ \section{Компактные пространства} \begin{theorem} - \label{Kom6} + \label{KomPr6} Если метрическое пространство $X$ счетно компактно, то оно вполне ограниченно. \end{theorem} @@ -602,7 +602,7 @@ \section{Компактные пространства} \end{proof} \begin{lemma} - \label{LemKom} + \label{LemKomPr} Пусть $X$ --- топологическое пространство со счетной базой, т.е. $X$ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Тогда из всякого открытого покрытия можно выбрать конечное или счетное подпокрытие. \end{lemma} @@ -620,12 +620,12 @@ \section{Компактные пространства} \end{proof} \begin{corollary} - \label{Kom7} + \label{KomPr7} Всякое счетно компактное метрическое пространство компактно. \end{corollary} \begin{proof} - Пусть $X$ --- счетно компактное пространство. Тогда, по теореме \ref{Kom6}, оно вполне ограничено. По теореме \ref{MetS}, $X$ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Согласно лемме \ref{LemKom} из любого покрытия $X$ можно выбрать счетное подпокрытие, а следовательно и конечное подпокрытие. + Пусть $X$ --- счетно компактное пространство. Тогда, по теореме \ref{KomPr6}, оно вполне ограничено. По теореме \ref{MetS}, $X$ удовлетворяет второй аксиоме счетности. Согласно лемме \ref{LemKomPr} из любого покрытия $X$ можно выбрать счетное подпокрытие, а следовательно и конечное подпокрытие. \end{proof} Рассмотрим еще одну "компактность". @@ -635,11 +635,11 @@ \section{Компактные пространства} \end{definition} \begin{remark} - Выше (см. \ref{Kom5}) мы доказали, что счетно компактное пространство секвенциально компактно. На самом деле верно и обратное утверждение. + Выше (см. \ref{KomPr5}) мы доказали, что счетно компактное пространство секвенциально компактно. На самом деле верно и обратное утверждение. \end{remark} \begin{theorem} - \label{Kom8} + \label{KomPr8} Пусть $X$ --- секвенциально компактное пространство. Тогда любая непрерывная функция $f\colon X\rightarrow\RR$ ограничена и достигает своего максимума и минимума. \end{theorem} @@ -648,21 +648,21 @@ \section{Компактные пространства} \end{proof} \begin{theorem} - \label{Kom9} + \label{KomPr9} Метрическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно. \end{theorem} \begin{proof} - В одну сторону мы уже доказали. Докажем, в другую. Пусть $X$ секвенциально компактно. Предположим, что существует открытое покрытие $\{U_{\alpha}\}$ из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sup\{r\in\RR\mid\exists U_{\alpha}, B_r(x)\subset U_{\alpha}\},$$ где $B_r(x)$ --- шар радиуса $r$ с центром в $x$. Докажем непрерывность $f(x)$. Более того, мы докажем 1-липшевость этой функции, т.е. для любых $x,y$ выполнено $|f(x)-f(y)|\leq\rho(x,y)$. Предположим противное, т.е. существуют $x,y\in X$ такие, что $|f(x)-f(y)|>\rho(x,y)$. Можно считать, что $f(x)>f(y)$. Тогда $f(x)>f(y)+\rho(x,y)$. Выберем $a,b\in\RR$ так, что $b>f(y)$, $ab+\rho(x,y)$. Тогда $B_b(y)\subset B_a(x)$ и существует $U_{\alpha}$ такое, что $B_a(x)\subset U_{\alpha}$. Отсюда, $B_b(x)\subset U_{\alpha}$. Но тогда $f(y)\geq b$. Противоречие. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна. Тогда, по теореме \ref{Kom8}, $f(x)$ достигает минимума. Пусть $m=\min f(x)$. Положим $r=\frac{m}{2}$. Пусть $x_1\in X$. Тогда существует $U_1\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_1\in U_1$ и $B_r(x_1)\subset U_1$. Выберем $x_2\in(X\setminus U_1)$. Тогда существует $U_2\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_2\in U_2$ и $B_r(x_2)\subset U_2$. Если мы выбрали $x_1,x_2,\ldots,x_n$ и $U_1,U_2,\ldots U_n$, выберем $x_{n+1}\in X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^n U_i$. Тогда существует $U_{n+1}\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_{n+1}\in U_{n+1}$ и $B_r(x_{n+1})\subset U_{n+1}$. Таким образом, мы получили последовательность $\{x_n\}$ в которой $\rho(x_n,x_m)\geq r$, но такая последовательность не содержит сходящейся подпоследовательности. + В одну сторону мы уже доказали. Докажем, в другую. Пусть $X$ секвенциально компактно. Предположим, что существует открытое покрытие $\{U_{\alpha}\}$ из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sup\{r\in\RR\mid\exists U_{\alpha}, B_r(x)\subset U_{\alpha}\},$$ где $B_r(x)$ --- шар радиуса $r$ с центром в $x$. Докажем непрерывность $f(x)$. Более того, мы докажем 1-липшевость этой функции, т.е. для любых $x,y$ выполнено $|f(x)-f(y)|\leq\rho(x,y)$. Предположим противное, т.е. существуют $x,y\in X$ такие, что $|f(x)-f(y)|>\rho(x,y)$. Можно считать, что $f(x)>f(y)$. Тогда $f(x)>f(y)+\rho(x,y)$. Выберем $a,b\in\RR$ так, что $b>f(y)$, $ab+\rho(x,y)$. Тогда $B_b(y)\subset B_a(x)$ и существует $U_{\alpha}$ такое, что $B_a(x)\subset U_{\alpha}$. Отсюда, $B_b(x)\subset U_{\alpha}$. Но тогда $f(y)\geq b$. Противоречие. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна. Тогда, по теореме \ref{KomPr8}, $f(x)$ достигает минимума. Пусть $m=\min f(x)$. Положим $r=\frac{m}{2}$. Пусть $x_1\in X$. Тогда существует $U_1\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_1\in U_1$ и $B_r(x_1)\subset U_1$. Выберем $x_2\in(X\setminus U_1)$. Тогда существует $U_2\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_2\in U_2$ и $B_r(x_2)\subset U_2$. Если мы выбрали $x_1,x_2,\ldots,x_n$ и $U_1,U_2,\ldots U_n$, выберем $x_{n+1}\in X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^n U_i$. Тогда существует $U_{n+1}\in\{U_{\alpha}\}$ такое, что $x_{n+1}\in U_{n+1}$ и $B_r(x_{n+1})\subset U_{n+1}$. Таким образом, мы получили последовательность $\{x_n\}$ в которой $\rho(x_n,x_m)\geq r$, но такая последовательность не содержит сходящейся подпоследовательности. \end{proof} \begin{theorem} - \label{Kom10} + \label{KomPr10} Метрическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. \end{theorem} \begin{proof} - Мы уже доказали, что если $X$ компактно, то оно полно и вполне ограниченно. Предположим, что $X$ полно и вполне ограниченно. Мы докажем, что $X$ секвенциально компактно. Тогда из теоремы \ref{Kom9} будет следовать, что $X$ компактно. Пусть $\{x_n\}$ последовательность точек из $X$. Рассмотрим $1$-сеть и множество замкнутых шаров, радиуса $1$ с центрами в точках сети. Поскольку эти шары покрывают все пространство и их конечное число, то существует шар $B_1$ содержащий бесконечное множество точек последовательности $\{x_n\}$. Обозначим это множество $A_1$. Выберем одну из точек $x_{n_1}\in A_1$. Далее возьмем $\frac{1}{2}$-сеть. Рассмотрим множество замкнутых шаров, радиуса $\frac{1}{2}$ с центрами в точках сети. Поскольку эти шары покрывают все пространство и их конечное число, то существует шар $B_2$ содержащий бесконечное множество точек $A_1$. Обозначим это множество $A_2$. Выберем одну из точек $x_{n_2}\in A_2$. Далее возьмем $\frac{1}{4}$-сеть. Выберем $B_3$, содержащий бесконечное множество $A_3$ точек $A_2$ и $x_{n_3}\in A_3$ и т.д. Таким образом, мы получили последовательность $\{x_{n_i}\}$. Эта последовательность является фундаментальной, поскольку $\rho(x_n,x_m)\leq\frac{1}{2^{\min(n,m)}}$. Следовательно, у этой последовательности существует предел. + Мы уже доказали, что если $X$ компактно, то оно полно и вполне ограниченно. Предположим, что $X$ полно и вполне ограниченно. Мы докажем, что $X$ секвенциально компактно. Тогда из теоремы \ref{KomPr9} будет следовать, что $X$ компактно. Пусть $\{x_n\}$ последовательность точек из $X$. Рассмотрим $1$-сеть и множество замкнутых шаров, радиуса $1$ с центрами в точках сети. Поскольку эти шары покрывают все пространство и их конечное число, то существует шар $B_1$ содержащий бесконечное множество точек последовательности $\{x_n\}$. Обозначим это множество $A_1$. Выберем одну из точек $x_{n_1}\in A_1$. Далее возьмем $\frac{1}{2}$-сеть. Рассмотрим множество замкнутых шаров, радиуса $\frac{1}{2}$ с центрами в точках сети. Поскольку эти шары покрывают все пространство и их конечное число, то существует шар $B_2$ содержащий бесконечное множество точек $A_1$. Обозначим это множество $A_2$. Выберем одну из точек $x_{n_2}\in A_2$. Далее возьмем $\frac{1}{4}$-сеть. Выберем $B_3$, содержащий бесконечное множество $A_3$ точек $A_2$ и $x_{n_3}\in A_3$ и т.д. Таким образом, мы получили последовательность $\{x_{n_i}\}$. Эта последовательность является фундаментальной, поскольку $\rho(x_n,x_m)\leq\frac{1}{2^{\min(n,m)}}$. Следовательно, у этой последовательности существует предел. \end{proof} \begin{definition} @@ -670,7 +670,7 @@ \section{Компактные пространства} \end{definition} \begin{corollary} - \label{Kom10-1} + \label{KomPr10-1} Пусть $X$ --- полное метрическое пространство. Для того, чтобы множество $M\subset X$ было относительно компактно необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограничено. \end{corollary} @@ -680,7 +680,7 @@ \section{Компактные пространства} \end{definition} \begin{theorem} - \label{Kom11} + \label{KomPr11} Непрерывная функция на компактном метрическое пространство $X$ равномерно непрерывна. \end{theorem} @@ -701,7 +701,7 @@ \section{Компактные пространства} \end{theorem} \begin{proof} - Необходимость. Пусть семейство непрерывных функций $\Phi$ компактно. Мы можем считать, что $\Phi$ замкнуто. Тогда, согласно следствию \ref{Kom10-1}, для любого $\varepsilon$ в семействе $\Phi$ существует конечная $\frac{\varepsilon}{3}$-сеть $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n$. Заметим, что все функции $\varphi_i$ ограничены, т.е. существуют $K_i$ такие, что $|\varphi(x)|0$ --- произвольное число. Тогда существует $\delta$ такое, что для любых $\varphi\in\Phi$ и $x_1,x_2\in[a;b]$ с условием $|x_1-x_2|<\delta$ выполнено неравенство $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon$. Разобьём отрезок $[a;b]$ точками $a=x_0\frac{1}{2}$. В частности $\|x_2-x_1\|>\frac{1}{2}$. Положим $L_2$ --- линейная оболочка $x_1,x_2$. Снова $L_2\neq L$. Согласно теореме \ref{Nor6} существует $x_3$ такой, что $\|x_3\|=1$ и для любого $x\in L_2$ выполнено $\|x_3-x\|>\frac{1}{2}$. В частности $\|x_3-x_1\|>\frac{1}{2}$, $\|x_3-x_2\|>\frac{1}{2}$. Продолжая этот процесс, мы получаем последовательность $x_1,x_2,\ldots, x_n,\ldots$ такую, что $\|x_n-x_m\|>\frac{1}{2}$. Из этой подпоследовательности нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, шар радиуса $1$ не компактен. + В одну сторону мы уже доказали (см. \ref{Nor3} \ref{KomPr3}). Предположим, что $L$ бесконечномерное. Пусть $x_1\in L$ и $\|x_1\|=1$. Положим $L_1$ --- линейная оболочка $x_1$. Поскольку $L$ бесконечномерно, то $L_1\neq L$. Согласно теореме \ref{Nor6} существует $x_2$ такой, что $\|x_2\|=1$ и для любого $x\in L_1$ выполнено $\|x_2-x\|>\frac{1}{2}$. В частности $\|x_2-x_1\|>\frac{1}{2}$. Положим $L_2$ --- линейная оболочка $x_1,x_2$. Снова $L_2\neq L$. Согласно теореме \ref{Nor6} существует $x_3$ такой, что $\|x_3\|=1$ и для любого $x\in L_2$ выполнено $\|x_3-x\|>\frac{1}{2}$. В частности $\|x_3-x_1\|>\frac{1}{2}$, $\|x_3-x_2\|>\frac{1}{2}$. Продолжая этот процесс, мы получаем последовательность $x_1,x_2,\ldots, x_n,\ldots$ такую, что $\|x_n-x_m\|>\frac{1}{2}$. Из этой подпоследовательности нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность. Следовательно, шар радиуса $1$ не компактен. \end{proof} Рассмотрим теперь сопряженное пространство $L$. Пусть $L^*$ --- множество непрерывных линейных функционалов на $L$. Зададим на нем норму $$\|f\|=\sup\limits_{x\neq 0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}.$$ Эта норма удовлетворяет всем требованиям. Действительно, $\|f\|>0$ для любого ненулевого функционала, $\|\alpha f\|=|\alpha| \|f\|$. Проверим неравенство треугольника, $$\|f_1+f_2\|=\sup\limits_{x\neq 0}\frac{|f_1(x)+f_2(x)|}{\|x\|}\leq=\sup\limits_{x\neq 0}\frac{|f_1(x)|}{\|x\|}+\sup\limits_{x\neq 0}\frac{|f_2(x)|}{\|x\|}=\|f_1\|+\|f_2\|.$$ Топология в $L^*$, определяемая этой нормой, называется \emph{сильной топологией} в $L^*$. @@ -973,7 +973,7 @@ \section{Нормированные пространства} \end{theorem} \begin{proof} - Пусть $\{f_n\}$ --- фундаментальная последовательность функционалов. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $N$ такой, что для любых $n,m>N$ выполнено $\|f_n-f_m\|<\varepsilon$. Тогда для любого $x\in L$ имеем $$|f_n(x)-f_m(x)|\leq\|f_n-f_m\|\cdot\|x\|<\varepsilon \|x\|.$$ Таким образом, последовательность $f_n(x)$ сходится для любого $x$. Положим $$f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x).$$ Докажем, что $f(x)$ --- линейный непрерывный функционал. Проверим линейность $$f(\alpha x+\beta y)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(\alpha x+\beta y)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} (\alpha f_n(x)+\beta f_n(y))=$$ $$=\alpha\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)+\beta\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$$ Выберем $N$ так, что для любых $n>N$ и $p$ выполнено $\|f_{n+p}-f_n\|<1$. Тогда $\|f_{n+p}\|\leq\|f_n\|+1.$ Следовательно, $|f_{n+p}(x)|\leq(\|f_n\|+1)\|x\|.$ Устремляя $p$ к бесконечности, получаем $|f(x)|\leq(\|f_n\|+1)\|x\|$. Отсюда, $f(x)$ непрерывен. Зафиксируем $\varepsilon$, выберем $N$ так, что для любых $n>N$ и $p$ выполнено $\|f_{n+p}-f_n\|<\varepsilon$. Заметим, что существует $x\in L$ такое, что $$\|f_n-f\|\leq\frac{|f_n(x)-f(x)|}{\|x\|}+\varepsilon=\left|f_n\left(\frac{x}{\|x\|}\right)-f\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right|+\varepsilon.$$ Тогда $$\|f_{n+p}-f\|\leq\left|f_n\left(\frac{x}{\|x\|}\right)-f\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right|+2\varepsilon.$$ Следовательно, $\{f_n\}$ сходится к $f$. + Пусть $\{f_n\}$ --- фундаментальная последовательность функционалов. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $N$ такой, что для любых $n,m>N$ выполнено $\|f_n-f_m\|<\varepsilon$. Тогда для любого $x\in L$ имеем $$|f_n(x)-f_m(x)|\leq\|f_n-f_m\|\cdot\|x\|<\varepsilon \|x\|.$$ Таким образом, последовательность $f_n(x)$ сходится для любого $x$. Положим $$f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x).$$ Докажем, что $f(x)$ --- линейный непрерывный функционал. Проверим линейность $$f(\alpha x+\beta y)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(\alpha x+\beta y)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} (\alpha f_n(x)+\beta f_n(y))=$$ $$=\alpha\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(x)+\beta\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$$ Выберем $N$ так, что для любых $n>N$ и $p$ выполнено $\|f_{n+p}-f_n\|<1$. Тогда $\|f_{n+p}\|\leq\|f_n\|+1.$ Следовательно, $|f_{n+p}(x)|\leq(\|f_n\|+1)\|x\|.$ Устремляя $p$ к бесконечности, получаем $|f(x)|\leq(\|f_n\|+1)\|x\|$. Отсюда, $f(x)$ непрерывен. Зафиксируем $\varepsilon$, выберем $N$ так, что для любых $n>N$ и $p$ выполнено $\|f_{n+p}-f_n\|<\varepsilon$. Тогда для любого $x\in L$ выполнено $|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\varepsilon\|x\|$. Устремим $p$ к бесконечности, получим $|f(x)-f_n(x)|\leq\varepsilon\|x\|$. Таким образом, $\|f-f_n\|\leq\varepsilon$. Следовательно, $\{f_n\}$ сходится к $f$. \end{proof} \section{Эвклидовы и гильбертовы пространства} @@ -1446,12 +1446,12 @@ \section{Компактные операторы} \end{definition} \begin{claim} - \label{KomOp1} + \label{Kom1} Линейный оператор $A\colon X\rightarrow Y$ компактен тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар в $X$ в относительно компактное множество в $Y$. \end{claim} \begin{theorem} - \label{KomOp2} + \label{Kom2} Пусть $A$ и $B$ --- компактные операторы. Тогда $A+B$ и $\alpha A$ --- также компактные операторы. \end{theorem} @@ -1460,7 +1460,7 @@ \section{Компактные операторы} \end{proof} \begin{theorem} - \label{KomOp3} + \label{Kom3} Пусть $\{A_n\}$ --- последовательность компактных операторов, сходящихся по норме к оператору $A$. Тогда $A$ --- компактный оператор. \end{theorem} @@ -1469,16 +1469,16 @@ \section{Компактные операторы} \end{proof} \begin{corollary} - \label{KomOp4} + \label{Kom4} Множество компактных операторов образует замкнутое линейное подпространство. \end{corollary} \begin{proof} - Следует из теорем \ref{KomOp2} и \ref{KomOp3}. + Следует из теорем \ref{Kom2} и \ref{Kom3}. \end{proof} \begin{theorem} - \label{KomOp5} + \label{Kom5} Пусть $A\colon X\rightarrow Y$ и $B\colon Y\rightarrow Z$ --- линейные операторы на баноховых пространствах $X,Y,Z$. Тогда $BA$ --- компактный оператор, если один из операторов компактен, а второй ограничен. \end{theorem} @@ -1487,7 +1487,7 @@ \section{Компактные операторы} \end{proof} \begin{theorem} - \label{KomOp6} + \label{Kom6} Пусть $A\colon X\rightarrow Y$ --- линейный оператор на банаховых пространствах $X,Y$. Тогда $A$ компактен тогда и только тогда, когда $A^*\colon Y^*\rightarrow X^*$ компактен. \end{theorem}