From 40cf8f75836ecb99a2cbd1a5e371fac272ea69e2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ASPteaching Date: Sun, 15 Dec 2024 20:44:09 +0100 Subject: [PATCH] Added first version of Hypothesis tests --- 09-pruebasHipotesis.Rmd | 1247 ++++++++- .../figure-html/unnamed-chunk-14-1.png | Bin 18280 -> 18559 bytes .../figure-html/unnamed-chunk-15-1.png | Bin 26311 -> 25638 bytes .../figure-latex/unnamed-chunk-14-1.pdf | Bin 11071 -> 11014 bytes .../figure-latex/unnamed-chunk-15-1.pdf | Bin 9387 -> 9347 bytes .../figure-latex/unnamed-chunk-18-1.pdf | Bin 4891 -> 4891 bytes complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES).html | 1903 +++++++++++++ complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES).qmd | 1257 +++++++++ .../libs/bootstrap/bootstrap-icons.css | 2078 ++++++++++++++ .../libs/bootstrap/bootstrap-icons.woff | Bin 0 -> 176200 bytes .../libs/bootstrap/bootstrap.min.css | 12 + .../libs/bootstrap/bootstrap.min.js | 7 + .../libs/clipboard/clipboard.min.js | 7 + .../libs/quarto-html/anchor.min.js | 9 + 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Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema. -:::: +Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma: -Se plantea el problema de las pruebas de hipótesis. Se discuten las aproximaciones y los conceptos asociados. Se trata el problema de la crisis de la significación. +a) se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, ...) sobre el fenómeno de estudio +b) se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría +c) si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida +d) si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental. +e) cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores. -## Conceptos básicos: pruebas de hipótesis y de significación, pruebas unilaterales y bilaterales, tipos de error, valores críticos de test y p-valores +Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán _o bien totalmente contradictorios_ con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) _o bien concordantes_ con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla). -## Potencia de un test. Cálculos de potencia y de tamaño de la muestra. Tamaño del efecto. +Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría. -## Métodos de construcción de tests. +Debe quedar claro al lector que el esquema anterior _no es el de un contraste estadístico_, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d). -## Problemas asociados al uso de tests estadísticos. La crisis de la significación +Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis. + +### Del lenguaje natural a la hipótesis estadística + +Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural. + +Conviene pues recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una _proposición sobre la realidad_. Por ejemplo, si se está estudiando determinada especie de aves, una posible hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo nos lo proporciona el estudio del metabolismo humano en donde se propone como hipótesis que la concentración de cierta hormona se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante. + +Las hipótesis planteadas en los ejemplos, similares a otras que se trataran en este capítulo se denominan genéricamente _hipótesis paramétricas_ porque hacen referencia a características de la población que pueden relacionarse directamente con los parámetros de un modelo probabilístico que la describe. Por ejemplo, si utilizamos una distribución binomial para representar el número de aves hembra en un nido, la proporción de hembras se corresponde con el parámetro $p$ de dicha distribución. + +Así pues, el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador es trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre los parámetros de la distribución que considere más apropiada para describir el fenómeno que estudia. + +En ocasiones, sin embargo, la selección misma del modelo probabilístico puede ser el problema. En estos casos la hipótesis se formulará en erminos de la distribución en vez de los parámetros de la misma. Por ejemplo al hablar de la concentración de la hormona durante la metabolizacioón de un fármaco el investigador puede desear decidir si es mas adecuada una distribución normal o una distribución gamma para representar dicha concentración. En este caso hablaríamos de _hipótesis no paramétricas_, que se discutiran más adelante en el curso. + +En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes. + +### Caso 1: Presentación + +Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido. + +El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo. + +El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos. + +### Caso 1: Modelo de probabilidad + +El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos: + +$$ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +$$ + +la distribución de $X$ es una distribución binomial, de parámetros $n=10$ y $p$ desconocida. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +el único parámetro desconocido es la proporción $\boldsymbol{p}$ de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a $p$. + +### Caso 2: Presentación + +En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona[^1], que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje. + +No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de $\mathbf{1 . 5}$ unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante. + +[^1]: La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales. + +### Caso 2: Modelo de probabilidad + +El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por $\mathrm{mil} \cdot$ litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales. + +Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite. + +Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable: + +$$ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +$$ + +se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro $\mu$ desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como $\sigma=2.4$ (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante en el curso, o los temas anteriores de intérvalos de confianza y distribuciones en el muestreo). + +La fórmula de la densidad Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población $\boldsymbol{\mu}$, a la que se referirán las hipótesis estadísticas. + +Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ para un deportista, y _consideramos que el muestreo es aleatorio simple_, entonces: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +$$ + +que tendrá una densidad de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expresión más general para todo $n$ sería: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densidad para todo $n$ es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +Y una expresión para todo $n$ y cualquier varianza es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +## Las hipótesis del contraste de hipótesis + +La teoría del contraste de hipótesis es una de las partes más discutidas de la estadística, por motivos que esperamos iran quedando claros a medida que se avanza en este tema y los siguientes. + +De hecho esta teoría ya nació entre la polémica porque, prácticamente desee sus comienzos hubieron dos escuelas de pensamiento enfrentadas. La escuela de Ronald A. Fisher, genético y estadístic británico y la de los matemáticos Polacos y Americanos Neymann y Pearson. + +Con el fin de evitar que la polémica confunda el aprendizaje, al menos en esta fae inicial, lo que se presenta a continuación se basa principalmente en las ideas de Neymann y Pearson que, con la finalidad de encontrar el mejor contraste posible para un problema dado, plantearon los contrastes de hipótesis estadísticos como una _decisión entre dos hipótesis_: la **hipótesis nula** y la **hipótesis alternativa**. + +- La _hipótesis nula_ consiste, en general, en una afirmación sobre (alguna característica de) la población de origen de la muestra. Usualmente representa algún tipo de simplificación (por ejemplo: el tratamiento administrado NO tiene efecto por lo que no hay diferencia entre antes y después de recibirlo. La hipótesis nula se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +- La _hipótesis alternativa_ es igualmente una afirmación sobre la población de origen, y, amenudo, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de $\mathrm{H}_{0}$. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{1}$. + +En el estudio del contraste de hipótesis se suele partir del caso, que de tan sencillo resulta poco realista, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro $\theta$ (theta). La formulación es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ +De hecho, sería mucho más realista plantear que la alternativa a un valor $\theta_0$ sea que el parámetro toma valores superiores ($\mathrm{H}_{1}: \theta \geq \theta_{0}$), inferiores ($\mathrm{H}_{1}: \theta \leq \theta_{0}$) o distintos ($\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0}$)a $\theta_0$. En la práctica este será el planteamiento de los tests que se presentará más adelante. + +En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis _simple contra simple_. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro $\theta$ solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto. + +### Caso 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras + +El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es $\mathbf{0 . 5}$. + +En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro $p$ en la variable Binomial es 0.6. + +Así pues, si $X$ es el número de hembras en 10 nidos, y $p$ es la proporción de hembras, la forma final del contraste es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecto a los datos obtenidos por da Souza son: + +| Nido | Polluelo | Nido | Polluelo | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | hembra | 6 | macho | +| 2 | macho | 7 | hembra | +| 3 | hembra | 8 | hembra | +| 4 | hembra | 9 | macho | +| 5 | macho | 10 | hembra | + +En resumen, ha observado que en $\mathbf{6}$ de los nidos hay una hembra. + +### Caso 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona + +Las autoridades deportivas postulan una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que ADG indica una media de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tanto para $\mathrm{H}_{0}$ como para $\mathrm{H}_{1}$ el modelo contempla $\sigma=2,4$. +Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes: + +| Individuo | Concentración | Individuo | Concentración | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La media aritmética de los 16 atletas es $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +## Compatibilidad de resultados e hipótesis + +Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta. + +En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa. + +Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella. + +Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo $\mathrm{H}_{0}$ como bajo $\mathrm{H}_{1}$. Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis. + +En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis. + +### Caso 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras. + +Como ya hemos visto, $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +```{r echo=FALSE} +probs<- dbinom(x=0:10, size=10, prob=0.5) +res<- data.frame(X=0:10,Prob=probs) +kableExtra::kable(res) +``` + + + + +Al igual que para $\mathrm{H}_{0}$, la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo $\mathrm{H}_{1}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + + +```{r echo=FALSE} +probs<- dbinom(x=0:10, size=10, prob=0.6) +res<- data.frame(X=0:10,Prob=probs) +kableExtra::kable(res) +``` + + + +Un sencillo código R puede calcular las probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad $p$ de la población. + +```{r, eval=FALSE} +prob_p <- p # p algun valor entre 0 y 1 +dbinom(x=0:10, size=10, prob=prob_p) +``` + +Podemos entender estas diferentes " $p$ " como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepto en los casos triviales $p=0$ o $p=1$, no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas. + +### Caso 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +La asociación ADG ha obtenido una muestra con media $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media. + +En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$ expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ más cercanos a la media bajo $\mathrm{H}_{0}$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") + +``` + + +En el caso de $\mathrm{H}_{1}$ tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{1}$ expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") +``` + +## No todo es igualmente probable... + +La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bien $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error. + +### Caso 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo $\mathrm{H}_{0}$ + +Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para $X$: $0,1, \ldots$, hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis $p=0.5$ resulta poco verosímil. + +Es importante entender que el verdadero valor de $p$ (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor. + +Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-ProbsH0.png") + +``` + +### Caso 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple $\mathrm{H}_{0}$ + +De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula. + +En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expresada como intervalo, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-ProbsH1.png") + +``` + +## El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión + +Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar $\mathrm{H}_{1}$. En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a $\mathrm{H}_{0}$, en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- $\mathrm{H}_{0}$. A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta $\mathrm{H}_{0}$. En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional. + +### Caso 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante + +Definiremos la región crítica de la siguiente forma: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Por lo tanto, la región de aceptación será: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criterio de decisión será por tanto: + +- si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilidad de hembras es 0.6) +- si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilidad de hembras es 0.5) + +Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable. + +Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +## Hipótesis nula y nivel de significación + +Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar $H_{0}$ cuando ésta es cierta. + +Esta probabilidad se designa de forma equivalente como: + +- error de tipo I (o de primera especie) +- nivel de significación del contraste + +y usualmente se simboliza con la letra griega alfa. +El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes: +- $\alpha=$ probabilidad de rechazo de $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, cuando $\mathrm{H}_{0}$ es cierta +- $\alpha=$ probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{0}$ es cierta. + +### Caso 1: Nivel de significación + +En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula $(p=0.5)$. Como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}$ cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1). + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta pues: $\quad \alpha=0.0547$. + +### Caso 1: Elección de la región crítica + +Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{0}$): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ahora bien, un criterio de decisión basado en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ es absurdo, teniendo en cuenta que $\mathrm{H}_{1}$ es $p=0.6$. Veamos por qué. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$. Si se elige $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ como región crítica, implica aceptar $\mathrm{H}_{1}$ cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (número hembras $<3 / \mathrm{H}_{1}$ cierta) $=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{1}$. En otras palabras, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos. + +### Caso 2: Elección de la región crítica + +A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criterio de decisión será, por tanto: +si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivel es 8.5) +Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X}>=7.987)$ de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +donde $F_{z}$ es la función de distribución de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La región crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ lleva asociado un nivel de significación $\alpha=0.05$. Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición: + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +## Región crítica y formalización del contraste + +La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación. +La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste. + +Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenemos: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisión: + +- si la muestra pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la muestra no pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalmente: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +$$ + +### Caso 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ número de hembras totales en los 10 nidos | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa $=\mathbf{f r}$ del número de hembras en los 10 nidos. + +### Caso 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ media de statdrolona en 16 atletas | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +La distribución del estadístico de test T bajo $\mathrm{H}_{0}$ es una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +## Tabla de decisión del contraste + +Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir: + +| | Hipótesis verdadera | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipótesis aceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipo II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipo I | - | + +Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes: + +- $1-\beta=$ probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{1}$, cuando $\mathrm{H}_{1}$ es cierta +- $1-\beta=$ probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{1}$ es cierta + +En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará $\mathrm{H}_{1}$ según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores. + +Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori. + +Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados. + +### Caso 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste + +El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +Supongamos que $\mathrm{H}_{1}$ es cierta, es decir, que $p=0,6$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-ProbsErrTipo2.png") + +``` + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $H_{1}/H_{1}$ cierta)= prob. $(T \leq 7/H_{1}$ cierta) $=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbólicamente corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +### Caso 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +Supongamos que es cierta $\mathrm{H}_{1}$, es decir, que $\mu=8.5$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-ProbsErrTipo2c.png") + +``` + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}$ cierta)= prob. $(\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960$ +Simbólicamente, corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +## Relación entre el error de tipo I y el de tipo II + +Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis. + +Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta $\mathrm{H}_{0}$, es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre $\mathrm{H}_{0}$, independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre $H_{0}$! Así, reducir $\alpha$ a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre $\mathrm{H}_{1}$, lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir $\alpha$ conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- $\beta$. + +### Caso 1: Evaluación de $\alpha$ y 1- $\beta$ para diferentes regiones críticas + +Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva ( _no disponible_) de Statmedia se podía cambiar dinámicamente la región crítica y se calculaban automáticamente los errores: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-ProbsErrTipo2b.png") + +``` + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, donde $a$ es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica $\{8,9,10\}$. La hipótesis alternativa considerada es $p_{1}=0.6$, tal y como se indica en la leyenda del gráfico. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-PlotProbsErrTipo2b.png") + +``` +### Caso 2: Relación entre los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-PlotProbsErrTipo_1_y_2.png") + +``` + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +y para cada región crítica de la forma $[a,+\infty)$ se calculan $\alpha$ y $1-\beta$. En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a $\mu_{0}$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-PlotProbsErrTipo_1_y_2b.png") + +``` + + +## Potencia y test más potente + +La potencia de un contraste se define como: +$\beta=$ prob.(aceptar $H_{1}/H_{1}$ cierta) = prob.(muestra pertenezca a $W_{a}/H_{1}$ cierta) +es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II. +Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible). + +En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}$ y el nivel de significación $\alpha$, proporcione la potencia más alta entre todos ellos. + +Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si $mp$ designa el test más potente, deberá cumplir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +$$ + +donde $t$ es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que $mp$. + +### Caso 1: Potencia en hipótesis simple vs simple + +En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-PlotProbsTestOptim.png") + +``` + +Se puede leer entonces que la potencia es: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo. + +### Caso 2: Potencia en hipótesis simple vs simple + +Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla). + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +La definición de potencia aplicada a este caso resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el documento interactivo se especifica la expresión para todo $n$. + +## Efecto del tamaño muestral + +Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población). + +Una vez elegido $\alpha$, quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de $\alpha$ es incrementar el tamaño muestral $N$. + +Aumentar $N$ varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener $\boldsymbol{\alpha}$ constante y aumentar $N$ se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta? + +### Caso 1 + +En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Caso 2 + +Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para $N=16$ y $N=30$) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar $N$, las distribuciones en el muestreo de la media bajo $\mathrm{H}_{0}$ y $\mathrm{H}_{1}$ presentan cada vez un menor solapamiento. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se observa el efecto de $N$ para todo el rango de regiones críticas: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas + +Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral. + +Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple. + +### Caso 1: Hipótesis compuestas + +Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") + +``` + +Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con $\mathrm{T}=0$. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5). + +El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +(Se muestra figura con valores destacados.) + +la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral. + +### Caso 2: Hipótesis compuestas + +A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple). + +Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con $\mu<7$). + +Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +Se obtiene $\alpha=0.1$. En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +Donde: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +## Función de potencia + +Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, $\theta$ presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +$$ + +no se puede calcular globalmente para toda $\mathrm{H}_{1}$, sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de $\mathrm{H}_{1}$. De ahí el interés de definir la función de potencia: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +$$ + +donde $\theta$ es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ es simple (un solo parámetro $\theta_{0}$), resultará: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +$$ + +### Caso 1: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia $(\beta)$ inicialmente para $p=0.6$ y para $p=0.8$ (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo $\mathrm{H}_{1}$): + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") + +``` + +En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros: + +(Se muestran figuras correspondientes.) + +### Caso 2: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la media concreta $\mu_{1}$ que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( $\beta$ ) inicialmente para $\mu=8.5$. En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 y que respectivamente corresponden a $n=16$ (la situación de este caso 2) y a $n=1$. En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a $\beta: \alpha, \sigma y n$ y compararlos con la situación original. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +## Tests óptimos + +En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa. + +El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por este curso El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo. + +## Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales + +Un contraste bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| el izquierdo es: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos que se tratan en este curso, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta. + +En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder. + +### Caso 1: Prueba unilateral + +Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico $\theta$ por p, y el valor $\theta_{0}=0.5$. Tomando la región crítica como $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") + +``` + + +### Caso 2: Prueba unilateral + +El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +se obtiene $\alpha=0.05$. En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación): + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Simbólicamente, se calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la $\mu$ concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una $\sigma=2.4$ poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal. + +## Elección del nivel de significación + +¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué $\alpha$ usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es $\alpha=0.05$ (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo $\alpha=0.01$ (1%) y $\alpha=0.1$ (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores. + +Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier $\alpha$. Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación. + +No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre $1-\beta$. La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado. + +Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario. + +## El p-valor + +La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$) conlleva aceptar $\mathrm{H}_{0}$. Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta $\mathrm{H}_{0}$. Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa. + +Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo $\boldsymbol{\alpha}$. Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando $\mathrm{H}_{0}$ con un $\alpha$ fijo. + +Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el "significance level", cuya traducción literal es "nivel de significación", cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor ("p-value"). + +### Caso 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Sigamos con la hipótesis unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Supongamos que, una vez obtenida la muestra de $n=10$ nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier $\alpha$. + +El p-valor es el menor $\alpha$ que permite aceptar $\mathrm{H}_{1}$. Con la tabla siguiente: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +knitr::include_graphics("images/cap9-comparaProbs.png") + +``` + +Se obtiene el p-valor asociado a $\mathrm{T}=6$ hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos: + +1. Si se escogiera $\alpha=0.1719$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar $H_{0}$. Por tanto, $\alpha$ no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar $\mathrm{H}_{0}$: $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ debe ser forzosamente mayor. +2. Si se eligiera $\alpha^{\prime}=0.3770$, la región crítica correspondiente sería $W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime}$ se rechazaría $H_{0}$. +3. Si se seleccionara $\alpha^{\prime\prime}=0.6230$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime\prime}$ también se rechazaría $\mathrm{H}_{0}$. + +Observamos que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}$, y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, $\alpha^{\prime}$ es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos $H_{0}$ con la muestra actual o, dicho de otro modo, $\alpha^{\prime}$ es el p-valor. + +Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,...), que devuelve simplemente la información $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves. + +Pues bien, en este momento, se deberá comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, $\alpha=0.05$): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T $\geq 6$ hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$ y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vez más, hay que insistir en que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que $\alpha$ es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia. + +### Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como $\mathrm{T}=8.54$, el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de la cola. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{0}$, ya que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula. + +El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar $\alpha$ en ningún sentido: $\alpha$ se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II. + +### Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral) + +Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de $\mathrm{T}=8.54$, la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a $\mu=7$, es decir, la cola izquierda situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, puesto que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con $\mathrm{p}_{uni}$ y $\mathrm{p}_{bil}$, respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que: + +- Si $\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral. +- Si $\mathrm{p}_{uni}>0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral. + +## Pruebas exactas y pruebas asintóticas + +Los dos errores ( $\alpha$ y $1-\beta$ ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada. + +Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra $N$ qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo $N$. Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales. + +En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de $N$, y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado. + +### Caso 1: Test asintótico + +Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico $T=$ número de hembras en diez nidos, que es una Binomial $(n, p)$, con $n=10$ y $p$ desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra $n$. No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de $T$ es: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Por ejemplo, si se pretende contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +con $n=36$, bajo $\mathrm{H}_{0} T$ será aproximadamente $N(18,3)$. En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes $n$ y diferentes valores de T. Por ejemplo, para $n=36$ y 28 hembras las diferencias son: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando $n>30$. + +### Caso 2: Test exacto + +Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de $n$ atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc. + +## Relación con los intervalos de confianza + +Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +se puede resolver planteando el intervalo de confianza para $\theta$, con coeficiente de confianza $1-\alpha$. Supongamos que el intervalo obtenido es $[a ; b]$. Entonces, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Este contraste tendrá como nivel de significación $\alpha$. Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya $\theta_{0}$. + +Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto. + +### Caso 2: Relación con los intervalos de confianza + +En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si tomamos como nivel de confianza $1-\alpha=0.95$, con los datos obtenidos resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +Es decir, se obtiene el intervalo $[\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]$. Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es $\mu=7$, y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral. + +## Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa + +Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, $N$ debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores $N \geq 30$ son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta. + +El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa $\Delta$. + +Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales. + +El significado de $\Delta$ es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo $(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)$. En cambio, $\theta_{0} \pm \Delta$ son los dos primeros puntos, a medida que $\theta$ se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de $\theta_{0}$. Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que $\Delta$. + +La elección concreta del valor de $\Delta$ depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística. + +Una vez elegidos $\Delta$ y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo. + +### Caso 2: Cálculo del tamaño de la muestra + +El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo $n$ que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa ($\boldsymbol{\Delta}$) y la potencia ($\boldsymbol{\beta}$) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +con las condiciones siguientes del experimento fijadas: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que $\mu_{0}=7$, respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con $\mathrm{H}_{0}$, excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de $n$ que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ corresponde a la hipótesis simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de $n$ atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es $n$. Las constantes $z_{\alpha / 2}$ y $z_{1-\beta}$ corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo: + +$$ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Para los valores extremos de $\alpha(0)$ y de $\beta(1)$, el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior. + +## Esquema de un contraste correctamente planteado + +Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes: + +| 1) nivel de significación $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferencia mínima
significativa $\Delta$ | Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
concreto de aplicación. | +| 3) potencia deseada en el
punto a distancia $\Delta$ | Si no se tiene un criterio definido, se tomará $\beta=0.8$ para
$\alpha=0.05$. | + +Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste. + +## Significación estadística y significación aplicada + +Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido. + +Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra $N$ y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados. + +En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo. + +En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que: + +- si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A. +- si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A. + +### Caso 2: Significación estadística y aplicada + +Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ya hemos visto que la conclusión, para $\alpha=0.05$, era indicar que hay significación estadística. + +Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es: +y permite afirmar que también hay significación aplicada. +Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza: + +Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica. diff --git a/FundamentosInferenciaEstadistica_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png b/FundamentosInferenciaEstadistica_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png index 8814c9f1dbbdc84be386eb10db995311febc1021..615554ddd07d61919f2b00537358681c19ac6b63 100644 GIT binary patch literal 18559 zcmeIa2UL?^^CzB!gepy%A|0tpQRywA2!c`+1(jx{i6Dxg)Bq}A0TdAhAyE)e6jTre zq=^j>h!jzZbm`K2fSo6(_c{LCm6 ziq&|B!5$O}M?j(IN*L*&r0kXWApD_P?Ap5>{-RJCD3l`#wT#lxKxsIlG@?qlP2AqcxyBI$9$dKAWK%ba2!_IYKpbLYlxU+A$j5xsK2vH`g&2K9{34 zP|=R?)`*5`q#jSyqb}=&F~k# zEaxsa=PoZdM{6`kJ2vOS8)!fckbzHlEkhIdXkK1khOy;3LQ|v%Qh@Y>;*X9coG^N( zQ#%fvL7@c0kbmf?p0VR7lnBb$KzHxCyTgeAN1LtU9gIJmKG9%uH`A`5^09Z~RVR&U zZ?UX=<<{5@@5fEPYdm)wSO|(+i*k^+pB>jKkx&TI>Wx}|MN~IhO$$qCzwg6W>ouy|5x-s&_urS`{GGSt(Gab5}^>yhtI>%h5fim z^FZI?S@X6eN7cpr`7z<8XJbFwpCwP{s(domX=B&%(7C4Yp<~l<>+(|81cS$`n^zf9*&x+y7+L_ZkhS+seb51_| zLZ?CU!3=a!TJB`!NODr<3OwfJ`@DFy1PBDDX6%W!{A>|Do+Ckw)xKX$<5G!cQpSV; zfxDX7Mh`eBM~vJ(=9NsyJxn&xp~O<*5I7>(TB6s=i{-afh}^ zu}`-`3)%ZhUvWJigr0ADmy@b)9ryWJy_>DCwf?JVY-?*+iLN@i?oL#}R5p_=x-iB^ z>UIY=CcapiU1xt$&JBVV`Q2disfeMrFp+bI8;X4{SP+l$1}g`A@Iq$uo6qsFXx@Vu^2bR7xJMLt^9z`iq(1SO=x*myxHP` zn#&(}CNu+F<|?(+Pc9X9oEWQ^Z&R2XS$KCiug=DQywN;+{DulgPqpKRUA@`uPi||E z)Wk^n?hPvA&8}0c+kPd@{1#rs;b!UPa}MvQfin*N@(ek?4#7lTogX_l+WK~wD;iy? z-;2k3I0iN9U|-glMA?stt|KWV4Swh>j?m=K^|eQxdRtHO~dUMe`ZFdS^j;HRYaE9snYuQyhF zxmC{_~EJ&z{u;deM+BWk5;p@%DsZ| zu=dCPy-oCor@r2iy7ux*kdQ3Hr?$) zp9e?^hfL_F8XmI|f7j(|G_Nec;OmheY{~9?R%2(_ zt=YnjQeV_Q6Iph;_xo~UR@@VkV~@m1k;_$)?=+vDt0_|*n)1({GcFt2e5b$Psr&F4 zNx0rS81Ur0#k}sOj_qlO24duookzx>k1S8R=7$z_fK+39mpQmcM$SF!d}%?R6lL_j ztPmKJF8_A)1H~e_)ARTP$9lSX(gyDag*(+ZoDw}IJ}uj6oz6LDxhdmFN4|5}&z!|h zL~YGE3JJRa<6o|T{fcmSzuIqETQj~ttr)6z^7Sq@DhY8)?4QJ20_SorMd3do?Rk-Q%Q+kbNKYJEXOl6XC zi$6auYR&ihLrq;#K{`x<@3d2hvahzCzn6XdbzppKTu!jGq~;q^q)GE=$J@|h>iE#+ zg#Pz+36Ib(iZ8db94@+1&|UNho%pVI$$aFEKG%S7$egv$l)i<%H@;17fur6rZR?Bi zAP0ZWM!Byd_O;aa_IKP^cto$%!Xh9bZN0#;`TN_Zd(w5yn<{hW^er@% zpFG#eo*kJuD)uJsS*N~YLh0Dl`Lpa!9F!)nTiPei?J%7E7>gEkSnS!|b!J2`tjEkd zsy}PfFJIZ}cRk_j?t>RMpDc^(by|{)b8`B&t7f_R#)A%j9@dG;Q{@3XnEZ2DWp+JR zlHdDYNv?Di4teKwD}Yh9GG|&eeRFeDeFc{d^?>jCYfgDeLOUEZ>z|wlJ-=|Q_o|Mg zpPZ)7Rp>L%Tq!#(Rc!QZW;7@>kp{Yo#L~#|Qql{#!SM}Nq{QRf3eRaKe9$>tbb0)= zjJC~G(N^>m!C_vZd$!*f)&?^2PXFxISM+N!M4w#BQ8fpJ^3%=Vd(Ee-M1J(MJ1b+h zY0*3Zmvdgic_K_^g0kCqP%)Sx4h=?z-Q_U zUJoK*ctN2m;c)Dt#P=#i8$v>^sx{6l#&k9oEf?9@pGckjiC3Blb}g{fzJGdA^0f?^ zUh{ICt>~<-f4QW8-r=fks%;(5y@b;jf7^-~>(xK^NxgA-@Vv(usw|AG#Ib+a&!wEL zH(`lAs8BjcAYnSFk#|oo+HU%BDv`I@E~_%jT9(}O6Kk}u`|(}S&lA3PM~sF)F3$}; zrgFOIXjVGT%TojQPj7m?xNq|u=fnOY3|df**Kkz7q+xDid8^%3U4b>iA@kRHI=HM4 zsuWC6t&3UNw|lz1@!+MzhHW{?PZ`Kd_JuH+=4;ke;bLW9>$`iiw-SkyTVP9@|2oU_ z51x-HrjFjNbU3lIY);ms^0?j52Xhp}D5HtE!6)`rk~ ze3g0m9BC}7w-x*dPGKo6Cpjp`Yh0O}XBXVbdB{X6v-l~;9dRiu?kj>1UV3@zpF#zB zUbY*(q+Dedkm?lndYRN-FJ?(daM*rMWYNo0+xB#uHhbUfz;UwS*&Z3Zk$eI7S8AeW z!gt>(m&Gs;zU-3nM8Nd05ZCEec*O7W*Q)s*K z$J0bdzUK?`lIIF#(G5OMyp(STR|bBm|J$d?+F;U^as?~pD@+Y$J+_~!Z`?@=bIUoG zB2Io`?P+NjeuZfDvmguoMA1&A;Tow)+b|nXavK%hZ_$#W^QOd+PH(Ri-`zFOmh>$i zOzYP??^nWSxNsFs>uhd5@JdzSmSzK5)5?q%&Gz^`*f}hnxPHBSxRhy(%lt_fa4^*@ z>#Og(&+}A;Mkuvfi<4OkqBc!EOv-(_q|b5nsd8IY@vDc+GglsbJ+fn~A0c#N=F8)2 zN;(-bRU9 z66BuQx{k%$J7E(!oA0?XVFRhbdtIIXn&zb|)Gzat8-DK(=VkBj-DE#Q!xH^{H#Z}l z{)%%_PT9?udl!SUeO@b(PxmusUAiMLxz^oNd05~3_2u%@cQ%c7SH8|*ooSsRP8X9L zm^w1^C*7A%-)QYwn#l_7u~<{TTsAl*95Q|p#avW${-$>Cv5=0iL!p&hTbA-(@t1C& zJH8*&gr7USq^H8{T$jzyo+2Fd(cU`H^x`->l^GrDBlXppE$D(v5)x%jGtOV~R&pz? zxn(eFm($5FUFn#A`~9TZm9`&l=#&0D>#gT%lQze0Cv5mx5QfH~*2kOV8F5&kz6xTw zQ6)@Ja!QYYM%{%Xl+-_p*#56uvcwEyy{MkEKkKZLm{5mKyk+TY96Yd9fi$&s9v>Jv zeGG+amO4l%)*fzMkX!gLYwBUR+`GSq9`!V!lVNi6re5~Y(uvLYxVceY;X;%IW0fl> zXPO;+>ryc&X%2023=bu&F5!Jlh)%?mKai62CS*HTzigH|k<30T%7oe*E=ZZnq_nHR zN)%ZU#>frP4KHgH3|DReD+nH;&slz1;9uNJ4HKUZ#t_$Tq0{JC!rM|^ikRbD-)4=X zMD)9fyxq;iU2Re7Y}}}u;cB-(&JIxL#>B`6cJmeJqfygIUz4}=@Fe0U`vSV1=ult9 znm4d}QM0@LFYZ*F>)ro_f}^Pb=*-jo-YVCx_*-*DVWJtC|?B>2nSg 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Contrastes de Hipótesis

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Author
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Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia

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Published
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December 15, 2024

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1 Introducción

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1.1 De las hipótesis científicas a las hipótesis estadísticas

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Antes de introducir los conceptos asociados al contraste estadístico de hipótesis, es conveniente situar este tema en el contexto más general de la confirmación de hipótesis, materia que la filosofía de la ciencia estudia en profundidad. Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema.

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Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma:

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  1. se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, …) sobre el fenómeno de estudio
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  2. se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría
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  3. si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida
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  4. si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental.
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  5. cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores.
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Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán o bien totalmente contradictorios con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) o bien concordantes con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla).

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Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría.

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Debe quedar claro al lector que el esquema anterior no es el de un contraste estadístico, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d).

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Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis.

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1.2 Del lenguaje natural a la hipótesis estadística

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Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural.

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Conviene pues recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una proposición sobre la realidad. Por ejemplo, si se está estudiando determinada especie de aves, una posible hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo nos lo proporciona el estudio del metabolismo humano en donde se propone como hipótesis que la concentración de cierta hormona se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante.

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Las hipótesis planteadas en los ejemplos, similares a otras que se trataran en este capítulo se denominan genéricamente hipótesis paramétricas porque hacen referencia a características de la población que pueden relacionarse directamente con los parámetros de un modelo probabilístico que la describe. Por ejemplo, si utilizamos una distribución binomial para representar el número de aves hembra en un nido, la proporción de hembras se corresponde con el parámetro \(p\) de dicha distribución.

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Así pues, el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador es trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre los parámetros de la distribución que considere más apropiada para describir el fenómeno que estudia.

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En ocasiones, sin embargo, la selección misma del modelo probabilístico puede ser el problema. En estos casos la hipótesis se formulará en erminos de la distribución en vez de los parámetros de la misma. Por ejemplo al hablar de la concentración de la hormona durante la metabolizacioón de un fármaco el investigador puede desear decidir si es mas adecuada una distribución normal o una distribución gamma para representar dicha concentración. En este caso hablaríamos de hipótesis no paramétricas, que se discutiran más adelante en el curso.

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En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes.

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1.3 Caso 1: Presentación

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Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido.

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El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo.

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El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos.

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1.4 Caso 1: Modelo de probabilidad

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El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\).

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Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos:

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\[ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +\]

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la distribución de \(X\) es una distribución binomial, de parámetros \(n=10\) y \(p\) desconocida.

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\[ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +\]

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el único parámetro desconocido es la proporción \(\boldsymbol{p}\) de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a \(p\).

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1.5 Caso 2: Presentación

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En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona1, que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de \(\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}\). Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje.

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1 La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales.

No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de \(\mathbf{1 . 5}\) unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor \(2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante.

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1.6 Caso 2: Modelo de probabilidad

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El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por \(\mathrm{mil} \cdot\) litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales.

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Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite.

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Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable:

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\[ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +\]

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se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro \(\mu\) desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como \(\sigma=2.4\) (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante en el curso, o los temas anteriores de intérvalos de confianza y distribuciones en el muestreo).

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La fórmula de la densidad Normal:

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\[ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

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indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población \(\boldsymbol{\mu}\), a la que se referirán las hipótesis estadísticas.

+

Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución \(\mathrm{N}(\mu, 2.4)\) para un deportista, y consideramos que el muestreo es aleatorio simple, entonces:

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\[ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +\]

+

que tendrá una densidad de la forma:

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\[ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +\]

+

Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues:

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\[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

+

Una expresión más general para todo \(n\) sería:

+

\[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

+

La densidad para todo \(n\) es:

+

\[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

+

Y una expresión para todo \(n\) y cualquier varianza es:

+

\[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +\]

+
+
+
+

2 Las hipótesis del contraste de hipótesis

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La teoría del contraste de hipótesis es una de las partes más discutidas de la estadística, por motivos que esperamos iran quedando claros a medida que se avanza en este tema y los siguientes.

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De hecho esta teoría ya nació entre la polémica porque, prácticamente desee sus comienzos hubieron dos escuelas de pensamiento enfrentadas. La escuela de Ronald A. Fisher, genético y estadístic británico y la de los matemáticos Polacos y Americanos Neymann y Pearson.

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Con el fin de evitar que la polémica confunda el aprendizaje, al menos en esta fae inicial, lo que se presenta a continuación se basa principalmente en las ideas de Neymann y Pearson que, con la finalidad de encontrar el mejor contraste posible para un problema dado, plantearon los contrastes de hipótesis estadísticos como una decisión entre dos hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

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    +

  • La hipótesis nula consiste, en general, en una afirmación sobre (alguna característica de) la población de origen de la muestra. Usualmente representa algún tipo de simplificación (por ejemplo: el tratamiento administrado NO tiene efecto por lo que no hay diferencia entre antes y después de recibirlo. La hipótesis nula se designa con el símbolo \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\).

    • +

  • La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación sobre la población de origen, y, amenudo, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de \(\mathrm{H}_{0}\). La hipótesis alternativa se designa con el símbolo \(\mathbf{H}_{1}\).

    • +
+

En el estudio del contraste de hipótesis se suele partir del caso, que de tan sencillo resulta poco realista, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro \(\theta\) (theta). La formulación es:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +\] De hecho, sería mucho más realista plantear que la alternativa a un valor \(\theta_0\) sea que el parámetro toma valores superiores (\(\mathrm{H}_{1}: \theta \geq \theta_{0}\)), inferiores (\(\mathrm{H}_{1}: \theta \leq \theta_{0}\)) o distintos (\(\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0}\))a \(\theta_0\). En la práctica este será el planteamiento de los tests que se presentará más adelante.

+

En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis simple contra simple. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro \(\theta\) solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto.

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+

2.1 Caso 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras

+

El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es \(\mathbf{0 . 5}\).

+

En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro \(p\) en la variable Binomial es 0.6.

+

Así pues, si \(X\) es el número de hembras en 10 nidos, y \(p\) es la proporción de hembras, la forma final del contraste es:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +\]

+

Respecto a los datos obtenidos por da Souza son:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
NidoPollueloNidoPolluelo
1hembra6macho
2macho7hembra
3hembra8hembra
4hembra9macho
5macho10hembra
+

En resumen, ha observado que en \(\mathbf{6}\) de los nidos hay una hembra.

+
+
+

2.2 Caso 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona

+

Las autoridades deportivas postulan una media de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mientras que ADG indica una media de \(8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +\]

+

tanto para \(\mathrm{H}_{0}\) como para \(\mathrm{H}_{1}\) el modelo contempla \(\sigma=2,4\).
+Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
IndividuoConcentraciónIndividuoConcentración
110.4797.01
25.391011.36
36.701110.11
49.91125.89
55.991310.39
611.671410.67
76.23156.89
86.691611.27
+

La media aritmética de los 16 atletas es \(\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\).

+
+
+
+

3 Compatibilidad de resultados e hipótesis

+

Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta.

+

En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa.

+

Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella.

+

Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo \(\mathrm{H}_{0}\) como bajo \(\mathrm{H}_{1}\). Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis.

+

En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis.

+
+

3.1 Caso 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis

+

El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras.

+

Como ya hemos visto, \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) es una \(\operatorname{Binomial}(10,0.5)\). En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{0}\), junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial:

+
+
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
XProb
00.0009766
10.0097656
20.0439453
30.1171875
40.2050781
50.2460938
60.2050781
70.1171875
80.0439453
90.0097656
100.0009766
+
+
+ +

Al igual que para \(\mathrm{H}_{0}\), la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) es una \(\operatorname{Binomial}(10,0.6)\).

+

En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo \(\mathrm{H}_{1}\), junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial:

+
+
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
XProb
00.0001049
10.0015729
20.0106168
30.0424673
40.1114767
50.2006581
60.2508227
70.2149908
80.1209324
90.0403108
100.0060466
+
+
+ +

Un sencillo código R puede calcular las probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad \(p\) de la población.

+
+
prob_p <- p # p algun valor entre 0 y 1
+dbinom(x=0:10, size=10, prob=prob_p)
+
+

Podemos entender estas diferentes ” \(p\) ” como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a \(\mathrm{H}_{0}\). Excepto en los casos triviales \(p=0\) o \(p=1\), no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas.

+
+
+

3.2 Caso 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis

+

La asociación ADG ha obtenido una muestra con media \(8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\)). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media.

+

En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{0}\) expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) más cercanos a la media bajo \(\mathrm{H}_{0}\).

+

En el caso de \(\mathrm{H}_{1}\) tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal \(\mathrm{N}(8.5,0.6)\). En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{1}\) expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\):

+
+
+
+

4 No todo es igualmente probable…

+

La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo \(\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}\). Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable \(\mathrm{H}_{0}\) o bien \(\mathrm{H}_{1}\).

+

La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error.

+
+

4.1 Caso 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo \(\mathrm{H}_{0}\)

+

Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para \(X\): \(0,1, \ldots\), hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis \(p=0.5\) resulta poco verosímil.

+

Es importante entender que el verdadero valor de \(p\) (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor.

+

Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\).

+
+
+

4.2 Caso 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple \(\mathrm{H}_{0}\)

+

De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( \(\mu=7\) contra \(\mu=8.5\) ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula.

+

En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\). Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo \(\mathrm{W}_{\alpha}\). Expresada como intervalo, \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)\).

+

(Se muestran las probabilidades correspondientes.)

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+
+
+

5 El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión

+

Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar \(\mathrm{H}_{1}\). En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará \(\mathrm{H}_{0}\).

+

Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a \(\mathrm{H}_{0}\), en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- \(\mathrm{H}_{0}\). A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta \(\mathrm{H}_{0}\). En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional.

+
+

5.1 Caso 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante

+

Definiremos la región crítica de la siguiente forma:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

+

Por lo tanto, la región de aceptación será:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +\]

+

El criterio de decisión será por tanto:

+
    +
  • si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta \(\mathrm{H}_{1}\) (la probabilidad de hembras es 0.6)
    +
    • +
  • si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta \(\mathrm{H}_{0}\) (la probabilidad de hembras es 0.5)
    • +
+

Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable.

+

Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar \(\mathrm{H}_{0}\).

+
+
+
+

6 Hipótesis nula y nivel de significación

+

Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar \(H_{0}\) cuando ésta es cierta.

+

Esta probabilidad se designa de forma equivalente como:

+
    +
  • error de tipo I (o de primera especie)
    +
    • +
  • nivel de significación del contraste
    • +
+

y usualmente se simboliza con la letra griega alfa.
+El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes:
+- \(\alpha=\) probabilidad de rechazo de \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), cuando \(\mathrm{H}_{0}\) es cierta
+- \(\alpha=\) probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando \(\mathbf{H}_{0}\) es cierta.

+
+

6.1 Caso 1: Nivel de significación

+

En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula \((p=0.5)\). Como la definición de nivel de significación es:

+

\[ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +\]

+

en la fila correspondiente a prob \((\mathrm{X} \geq 8)\) de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{0}\) cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1).

+

Simbólicamente hemos calculado:

+

\[ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +\]

+

Resulta pues: \(\quad \alpha=0.0547\).

+
+
+

6.2 Caso 1: Elección de la región crítica

+

Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

+

Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo \(\mathrm{H}_{0}\)):

+

\[ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +\]

+

Ahora bien, un criterio de decisión basado en \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}\) es absurdo, teniendo en cuenta que \(\mathrm{H}_{1}\) es \(p=0.6\). Veamos por qué.

+

El valor \(\alpha=0.0547\) indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo \(\mathrm{H}_{0}\). Si se elige \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) como región crítica, implica aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo \(\mathrm{H}_{1}\), resulta:
+prob. (número hembras \(<3 / \mathrm{H}_{1}\) cierta) \(=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123\)
+Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo \(\mathrm{H}_{1}\). En otras palabras, \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos.

+
+
+

6.3 Caso 2: Elección de la región crítica

+

A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +\]

+

El criterio de decisión será, por tanto:
+si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta \(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}\) (el nivel es 8.5)
+Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es:

+

\[ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +\]

+

en la fila correspondiente a prob \((\mathrm{X}>=7.987)\) de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)\) cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado:

+

\[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

+

donde \(F_{z}\) es la función de distribución de la Normal tipificada \(N(0,1)\).
+La región crítica \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\) lleva asociado un nivel de significación \(\alpha=0.05\). Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición:

+

\[ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +\]

+
+
+
+

7 Región crítica y formalización del contraste

+

La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación.
+La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste.

+

Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis \(\mathrm{H}_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{1}\), tenemos:

+

\[ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +\]

+

Regla de decisión:

+
    +
  • si la muestra pertenece a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) entonces rechazar \(\mathrm{H}_{0}\)
    +
    • +
  • si la muestra no pertenece a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) entonces rechazar \(\mathrm{H}_{1}\)
    • +
+

Finalmente:

+

\[ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +\]

+
+

7.1 Caso 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica

+ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Región crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\)
Región de aceptación\(\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\)
Estadístico de test\(\mathrm{T}=\) número de hembras totales en los 10 nidos
Criterio de decisión:
aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 8\)
aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T} \leq 7\)
Nivel de significación\(\alpha=0.0547\)
+

La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa \(=\mathbf{f r}\) del número de hembras en los 10 nidos.

+
+
+

7.2 Caso 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión

+ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Región crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\)
Región de aceptación\(\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)\)
Estadístico de test\(\mathrm{T}=\) media de statdrolona en 16 atletas
Criterio de decisión:
aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T}<7.9869\)
Nivel de significación\(\alpha=0.05\)
+

La distribución del estadístico de test T bajo \(\mathrm{H}_{0}\) es una normal \(\mathrm{N}(7,0.6)\).

+
+
+
+

8 Tabla de decisión del contraste

+

Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Hipótesis verdadera
Hipótesis aceptada\(\mathrm{H}_{0}\)\(\mathrm{H}_{1}\)
\(\mathrm{H}_{0}\)-error tipo II
\(\mathrm{H}_{1}\)error tipo I-
+

Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes:

+
    +
  • \(1-\beta=\) probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{1}\), cuando \(\mathrm{H}_{1}\) es cierta
    +
    • +
  • \(1-\beta=\) probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando \(\mathbf{H}_{1}\) es cierta
    • +
+

En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará \(\mathrm{H}_{1}\) según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores.

+

Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori.

+

Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados.

+
+

8.1 Caso 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste

+

El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 8\)
aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T} \leq 7\)
Nivel de significación\(\alpha=0.0547\)
+

Supongamos que \(\mathrm{H}_{1}\) es cierta, es decir, que \(p=0,6\). En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II:

+

\(1-\beta=\) prob. (rechazar \(H_{1}/H_{1}\) cierta)= prob. \((T \leq 7/H_{1}\) cierta) \(=\mathbf{0 . 8 3 2 7}\)
+Simbólicamente corresponde a calcular:

+

\[ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

+
+
+

8.2 Caso 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( \(\alpha\) ) y segunda especie (1- \(\beta\) )

+

El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en:

+ + + + + + + + + + + + + +
aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
Nivel de significación\(\alpha=0.05\)
+

Supongamos que es cierta \(\mathrm{H}_{1}\), es decir, que \(\mu=8.5\). En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II:

+

\(1-\beta=\) prob. (rechazar \(\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}\) cierta)= prob. \((\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960\)
+Simbólicamente, corresponde a calcular:

+

\[ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +\]

+
+
+
+

9 Relación entre el error de tipo I y el de tipo II

+

Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis.

+

Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta \(\mathrm{H}_{0}\), es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre \(\mathrm{H}_{0}\), independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre \(H_{0}\)! Así, reducir \(\alpha\) a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre \(\mathrm{H}_{1}\), lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir \(\alpha\) conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- \(\beta\).

+
+

9.1 Caso 1: Evaluación de \(\alpha\) y 1- \(\beta\) para diferentes regiones críticas

+

Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva del documento se puede cambiar dinámicamente la región crítica y se calculan automáticamente los errores:

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma \(\{a, a+1, \ldots 10\}\), donde \(a\) es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica \(\{8,9,10\}\). La hipótesis alternativa considerada es \(p_{1}=0.6\), tal y como se indica en la leyenda del gráfico.

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+
+
+

9.2 Caso 2: Relación entre los errores de primera ( \(\alpha\) ) y segunda especie (1- \(\beta\) )

+

La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno.

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa:

+

\[ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +\]

+

y para cada región crítica de la forma \([a,+\infty)\) se calculan \(\alpha\) y \(1-\beta\). En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a \(\mu_{0}\).

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+
+
+
+

10 Potencia y test más potente

+

La potencia de un contraste se define como:
+\(\beta=\) prob.(aceptar \(H_{1}/H_{1}\) cierta) = prob.(muestra pertenezca a \(W_{a}/H_{1}\) cierta)
+es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II.
+Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible).

+

En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados \(\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}\) y el nivel de significación \(\alpha\), proporcione la potencia más alta entre todos ellos.

+

Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si \(mp\) designa el test más potente, deberá cumplir:

+

\[ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +\]

+

donde \(t\) es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que \(mp\).

+
+

10.1 Caso 1: Potencia en hipótesis simple vs simple

+

En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica.

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

Se puede leer entonces que la potencia es:

+

\[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +\]

+

Simbólicamente hemos calculado:

+

\[ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

+

Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo.

+
+
+

10.2 Caso 2: Potencia en hipótesis simple vs simple

+

Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla).

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

La definición de potencia aplicada a este caso resulta:

+

\[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +\]

+

Simbólicamente hemos calculado:

+

\[ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +\]

+

En el documento interactivo se especifica la expresión para todo \(n\).

+
+
+
+

11 Efecto del tamaño muestral

+

Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población).

+

Una vez elegido \(\alpha\), quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de \(\alpha\) es incrementar el tamaño muestral \(N\).

+

Aumentar \(N\) varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener \(\boldsymbol{\alpha}\) constante y aumentar \(N\) se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta?

+
+

11.1 Caso 1

+

En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma \(\{a, a+1, \ldots N\}\). La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda.

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+
+
+

11.2 Caso 2

+

Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para \(N=16\) y \(N=30\)) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar \(N\), las distribuciones en el muestreo de la media bajo \(\mathrm{H}_{0}\) y \(\mathrm{H}_{1}\) presentan cada vez un menor solapamiento.

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

En el gráfico siguiente se observa el efecto de \(N\) para todo el rango de regiones críticas:

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+
+
+
+

12 Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas

+

Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +\]

+

es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral.

+

Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple.

+
+

12.1 Caso 1: Hipótesis compuestas

+

Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

+

Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en:

+

Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con \(\mathrm{T}=0\). A pesar de ser sumamente improbable bajo \(\mathrm{H}_{0}\), el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5).

+

El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +\]

+

(Se muestra figura con valores destacados.)

+

la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla):

+

\[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +\]

+

nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral.

+
+
+

12.2 Caso 2: Hipótesis compuestas

+

A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán:

+

\[ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +\]

+

Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple).

+

Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo \(\mathrm{H}_{0}\), dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con \(\mu<7\)).

+

Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +\]

+

Se obtiene \(\alpha=0.1\). En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante:

+

(Se muestra la figura correspondiente.)

+

Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma:

+

\[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

+

Donde:

+

\[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

+
+
+
+

13 Función de potencia

+

Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo:

+

\[ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

+

Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, \(\theta\) presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes:

+

\[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +\]

+

no se puede calcular globalmente para toda \(\mathrm{H}_{1}\), sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de \(\mathrm{H}_{1}\). De ahí el interés de definir la función de potencia:

+

\[ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +\]

+

donde \(\theta\) es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a \(\mathrm{H}_{0}\). Si \(\mathrm{H}_{0}\) es simple (un solo parámetro \(\theta_{0}\)), resultará:

+

\[ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +\]

+
+

13.1 Caso 1: Función de potencia

+

Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es:

+

\[ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +\]

+

dado que la región crítica es \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}\). En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia \((\beta)\) inicialmente para \(p=0.6\) y para \(p=0.8\) (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo \(\mathrm{H}_{1}\)):

+

En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros:

+

(Se muestran figuras correspondientes.)

+
+
+

13.2 Caso 2: Función de potencia

+

Ahora la potencia depende de la media concreta \(\mu_{1}\) que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es:

+

\[ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

+

dado que la región crítica es \(\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)\).
+En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( \(\beta\) ) inicialmente para \(\mu=8.5\). En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia:

+

(Se muestra figura correspondiente.)

+

En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para \(\alpha=0.05, \sigma=\) 2.4 y que respectivamente corresponden a \(n=16\) (la situación de este caso 2) y a \(n=1\). En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a \(\beta: \alpha, \sigma y n\) y compararlos con la situación original.

+

(Se muestra figura correspondiente.)

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14 Tests óptimos

+

En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa.

+

El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por este curso El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo.

+
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15 Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales

+

Un contraste bilateral adopta en general la forma:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

+

En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +\]

+

conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +\]

+

En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces:

+ ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
\(\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}\)
el izquierdo es:\(\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}\)
+

Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos que se tratan en este curso, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta.

+

En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder.

+
+

15.1 Caso 1: Prueba unilateral

+

Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +\]

+

Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico \(\theta\) por p, y el valor \(\theta_{0}=0.5\). Tomando la región crítica como \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\), en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación:

+
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+

15.2 Caso 2: Prueba unilateral

+

El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis:

+

\[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +\]

+

Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo:

+

\[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +\]

+

se obtiene \(\alpha=0.05\). En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación):

+

(Se muestra figura correspondiente.)

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Simbólicamente, se calcula:

+

\[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

+

que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la \(\mu\) concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta:

+

(Se muestra figura correspondiente.)

+

Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una \(\sigma=2.4\) poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal.

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16 Elección del nivel de significación

+

¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué \(\alpha\) usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es \(\alpha=0.05\) (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo \(\alpha=0.01\) (1%) y \(\alpha=0.1\) (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores.

+

Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier \(\alpha\). Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación.

+

No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre \(1-\beta\). La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado.

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Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario.

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17 El p-valor

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La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\)) conlleva aceptar \(\mathrm{H}_{0}\). Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que:

+

\[ +0 \leq p_{v} \leq 1 +\]

+

El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta \(\mathrm{H}_{0}\). Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa.

+

Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo \(\boldsymbol{\alpha}\). Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando \(\mathrm{H}_{0}\) con un \(\alpha\) fijo.

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Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla:

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\[ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +\]

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Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el “significance level”, cuya traducción literal es “nivel de significación”, cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor (“p-value”).

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17.1 Caso 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral)

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Sigamos con la hipótesis unilateral:

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\[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +\]

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Supongamos que, una vez obtenida la muestra de \(n=10\) nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier \(\alpha\).

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El p-valor es el menor \(\alpha\) que permite aceptar \(\mathrm{H}_{1}\). Con la tabla siguiente:

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Se obtiene el p-valor asociado a \(\mathrm{T}=6\) hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos:

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    +
  1. Si se escogiera \(\alpha=0.1719\), la región crítica correspondiente sería \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}\). Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar \(H_{0}\). Por tanto, \(\alpha\) no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar \(\mathrm{H}_{0}\): \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) debe ser forzosamente mayor.
    2. +
  2. Si se eligiera \(\alpha^{\prime}=0.3770\), la región crítica correspondiente sería \(W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}\). Con \(\alpha^{\prime}\) se rechazaría \(H_{0}\).
    3. +
  3. Si se seleccionara \(\alpha^{\prime\prime}=0.6230\), la región crítica correspondiente sería \(\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}\). Con \(\alpha^{\prime\prime}\) también se rechazaría \(\mathrm{H}_{0}\).
    4. +
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Observamos que \(\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}\), y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, \(\alpha^{\prime}\) es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos \(H_{0}\) con la muestra actual o, dicho de otro modo, \(\alpha^{\prime}\) es el p-valor.

+

Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,…), que devuelve simplemente la información \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770\). Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves.

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Pues bien, en este momento, se deberá comparar \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, \(\alpha=0.05\)):

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\[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +\]

+

El valor de \(p_{v}\) indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T \(\geq 6\) hembras bajo \(\mathrm{H}_{0}\) y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que \(\mathrm{p} \leq 0.5\).

+

Una vez más, hay que insistir en que \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que \(\alpha\) es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia.

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17.2 Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral)

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Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son:

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\[ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\]

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En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como \(\mathrm{T}=8.54\), el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a \(\alpha\) en la parte más extrema de la cola.

+

(Se muestra figura correspondiente.)

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Así pues, se rechaza \(\mathbf{H}_{0}\), ya que \(\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513\). En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula.

+

El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar \(\alpha\) en ningún sentido: \(\alpha\) se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente:

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\[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +\]

+

En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II.

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17.3 Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral)

+

Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son:

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\[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

+

El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de \(\mathrm{T}=8.54\), la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a \(\mu=7\), es decir, la cola izquierda situada en \(2 \mu-\mathrm{T}=5.46\). Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a \(\alpha\) en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia.

+

(Se muestra figura correspondiente.)

+

El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a:

+

\[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +\]

+

Así pues, se rechaza \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), puesto que:

+

\[ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +\]

+

En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con \(\mathrm{p}_{uni}\) y \(\mathrm{p}_{bil}\), respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que:

+
    +
  • Si \(\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5\), entonces \(\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}\). Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral.
    • +
  • Si \(\mathrm{p}_{uni}>0.5\), entonces \(\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})\). Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral.
    • +
+
+
+
+

18 Pruebas exactas y pruebas asintóticas

+

Los dos errores ( \(\alpha\) y \(1-\beta\) ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada.

+

Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra \(N\) qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo \(N\). Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales.

+

En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de \(N\), y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado.

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18.1 Caso 1: Test asintótico

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Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico \(T=\) número de hembras en diez nidos, que es una Binomial \((n, p)\), con \(n=10\) y \(p\) desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra \(n\). No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de \(T\) es:

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\[ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +\]

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Por ejemplo, si se pretende contrastar:

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\[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

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con \(n=36\), bajo \(\mathrm{H}_{0} T\) será aproximadamente \(N(18,3)\). En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes \(n\) y diferentes valores de T. Por ejemplo, para \(n=36\) y 28 hembras las diferencias son:

+

\[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +\]

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¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando \(n>30\).

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18.2 Caso 2: Test exacto

+

Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de \(n\) atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros:

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\[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

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Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc.

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+

19 Relación con los intervalos de confianza

+

Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

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se puede resolver planteando el intervalo de confianza para \(\theta\), con coeficiente de confianza \(1-\alpha\). Supongamos que el intervalo obtenido es \([a ; b]\). Entonces, si:

+

\[ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +\]

+

Este contraste tendrá como nivel de significación \(\alpha\). Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya \(\theta_{0}\).

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Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto.

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+

19.1 Caso 2: Relación con los intervalos de confianza

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En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida.

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\[ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +\]

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Si tomamos como nivel de confianza \(1-\alpha=0.95\), con los datos obtenidos resulta:

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\[ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +\]

+

Es decir, se obtiene el intervalo \([\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]\). Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es \(\mu=7\), y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral.

+
+
+
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20 Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa

+

Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, \(N\) debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores \(N \geq 30\) son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta.

+

El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa \(\Delta\).

+

Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste \(\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}\), pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales.

+

El significado de \(\Delta\) es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo \((\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)\). En cambio, \(\theta_{0} \pm \Delta\) son los dos primeros puntos, a medida que \(\theta\) se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de \(\theta_{0}\). Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que \(\Delta\).

+

La elección concreta del valor de \(\Delta\) depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística.

+

Una vez elegidos \(\Delta\) y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo.

+
+

20.1 Caso 2: Cálculo del tamaño de la muestra

+

El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo \(n\) que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa (\(\boldsymbol{\Delta}\)) y la potencia (\(\boldsymbol{\beta}\)) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

+

con las condiciones siguientes del experimento fijadas:

+

\[ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +\]

+

Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos:

+

\[ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +\]

+

Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que \(\mu_{0}=7\), respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con \(\mathrm{H}_{0}\), excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de \(n\) que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

+

\[ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +\]

+

\(\mathrm{H}_{1 \Delta}\) corresponde a la hipótesis simple \(\mu=\mu_{0}+\Delta\) (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de \(n\) atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es \(n\). Las constantes \(z_{\alpha / 2}\) y \(z_{1-\beta}\) corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z:

+

\[ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +\]

+

Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado:

+

\[ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +\]

+

Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo:

+

\[ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +\]

+

Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema:

+

(Se muestra figura correspondiente.)

+

Para los valores extremos de \(\alpha(0)\) y de \(\beta(1)\), el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior.

+
+
+
+

21 Esquema de un contraste correctamente planteado

+

Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes:

+ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
1) nivel de significación \(\boldsymbol{\alpha}\)Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar \(\alpha=\)
0.05.
2) diferencia mínima
significativa \(\Delta\)		Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
concreto de aplicación.
3) potencia deseada en el
punto a distancia \(\Delta\)		Si no se tiene un criterio definido, se tomará \(\beta=0.8\) para
\(\alpha=0.05\).
+

Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste.

+
+
+

22 Significación estadística y significación aplicada

+

Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido.

+

Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra \(N\) y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados.

+

En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo.

+

En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que:

+
    +
  • si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A.
    +
    • +
  • si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A.
    • +
+
+

22.1 Caso 2: Significación estadística y aplicada

+

Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis:

+

\[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

+

ya hemos visto que la conclusión, para \(\alpha=0.05\), era indicar que hay significación estadística.

+

Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de \(0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es:
+y permite afirmar que también hay significación aplicada.
+Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de \(0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza:

+

Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica.

+
+
+ + +
+ + +
+ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES).qmd b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES).qmd new file mode 100644 index 0000000..a513420 --- /dev/null +++ b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES).qmd @@ -0,0 +1,1257 @@ +--- +title: "Contrastes de Hipótesis" +author: Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia +date: "`r Sys.Date()`" +format: + html: + toc: true + number-sections: true + toc-location: left + toc-depth: 3 + code-fold: false + fig-width: 8 + fig-height: 6 + pdf: + toc: true + number-sections: true + colorlinks: true + geometry: + - top=20mm + - left=15mm + papersize: A4 +quarto: + chunk_options: + echo: true + cache: false + prompt: false + tidy: true + comment: NA + message: false + warning: false + knit_options: + width: 75 +reference-location: margin +execute: + echo: true + message: false + warning: false + cache: true +# bibliography: "../StatisticalLearning.bib" +editor_options: + chunk_output_type: console +editor: + markdown: + wrap: 72 +--- + +```{r eval=FALSE, echo=FALSE} +# quarto::quarto_render("Contrastes_de_Hipotesis(ES).qmd", output_format = "all") +``` + + +## Introducción + +### De las hipótesis científicas a las hipótesis estadísticas + +Antes de introducir los conceptos asociados al contraste estadístico de hipótesis, es conveniente situar este tema en el contexto más general de la _confirmación de hipótesis_, materia que la filosofía de la ciencia estudia en profundidad. Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema. + +Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma: + +a) se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, ...) sobre el fenómeno de estudio +b) se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría +c) si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida +d) si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental. +e) cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores. + +Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán _o bien totalmente contradictorios_ con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) _o bien concordantes_ con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla). + +Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría. + +Debe quedar claro al lector que el esquema anterior _no es el de un contraste estadístico_, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d). + +Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis. + +### Del lenguaje natural a la hipótesis estadística + +Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural. + +Conviene pues recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una _proposición sobre la realidad_. Por ejemplo, si se está estudiando determinada especie de aves, una posible hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo nos lo proporciona el estudio del metabolismo humano en donde se propone como hipótesis que la concentración de cierta hormona se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante. + +Las hipótesis planteadas en los ejemplos, similares a otras que se trataran en este capítulo se denominan genéricamente _hipótesis paramétricas_ porque hacen referencia a características de la población que pueden relacionarse directamente con los parámetros de un modelo probabilístico que la describe. Por ejemplo, si utilizamos una distribución binomial para representar el número de aves hembra en un nido, la proporción de hembras se corresponde con el parámetro $p$ de dicha distribución. + +Así pues, el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador es trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre los parámetros de la distribución que considere más apropiada para describir el fenómeno que estudia. + +En ocasiones, sin embargo, la selección misma del modelo probabilístico puede ser el problema. En estos casos la hipótesis se formulará en erminos de la distribución en vez de los parámetros de la misma. Por ejemplo al hablar de la concentración de la hormona durante la metabolizacioón de un fármaco el investigador puede desear decidir si es mas adecuada una distribución normal o una distribución gamma para representar dicha concentración. En este caso hablaríamos de _hipótesis no paramétricas_, que se discutiran más adelante en el curso. + +En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes. + +### Caso 1: Presentación + +Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido. + +El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo. + +El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos. + +### Caso 1: Modelo de probabilidad + +El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos: + +$$ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +$$ + +la distribución de $X$ es una distribución binomial, de parámetros $n=10$ y $p$ desconocida. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +el único parámetro desconocido es la proporción $\boldsymbol{p}$ de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a $p$. + +### Caso 2: Presentación + +En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona[^1], que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje. + +No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de $\mathbf{1 . 5}$ unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante. + +[^1]: La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales. + +### Caso 2: Modelo de probabilidad + +El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por $\mathrm{mil} \cdot$ litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales. + +Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite. + +Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable: + +$$ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +$$ + +se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro $\mu$ desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como $\sigma=2.4$ (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante en el curso, o los temas anteriores de intérvalos de confianza y distribuciones en el muestreo). + +La fórmula de la densidad Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población $\boldsymbol{\mu}$, a la que se referirán las hipótesis estadísticas. + +Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ para un deportista, y _consideramos que el muestreo es aleatorio simple_, entonces: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +$$ + +que tendrá una densidad de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expresión más general para todo $n$ sería: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densidad para todo $n$ es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +Y una expresión para todo $n$ y cualquier varianza es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +## Las hipótesis del contraste de hipótesis + +La teoría del contraste de hipótesis es una de las partes más discutidas de la estadística, por motivos que esperamos iran quedando claros a medida que se avanza en este tema y los siguientes. + +De hecho esta teoría ya nació entre la polémica porque, prácticamente desee sus comienzos hubieron dos escuelas de pensamiento enfrentadas. La escuela de Ronald A. Fisher, genético y estadístic británico y la de los matemáticos Polacos y Americanos Neymann y Pearson. + +Con el fin de evitar que la polémica confunda el aprendizaje, al menos en esta fae inicial, lo que se presenta a continuación se basa principalmente en las ideas de Neymann y Pearson que, con la finalidad de encontrar el mejor contraste posible para un problema dado, plantearon los contrastes de hipótesis estadísticos como una _decisión entre dos hipótesis_: la **hipótesis nula** y la **hipótesis alternativa**. + +- La _hipótesis nula_ consiste, en general, en una afirmación sobre (alguna característica de) la población de origen de la muestra. Usualmente representa algún tipo de simplificación (por ejemplo: el tratamiento administrado NO tiene efecto por lo que no hay diferencia entre antes y después de recibirlo. La hipótesis nula se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +- La _hipótesis alternativa_ es igualmente una afirmación sobre la población de origen, y, amenudo, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de $\mathrm{H}_{0}$. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{1}$. + +En el estudio del contraste de hipótesis se suele partir del caso, que de tan sencillo resulta poco realista, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro $\theta$ (theta). La formulación es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ +De hecho, sería mucho más realista plantear que la alternativa a un valor $\theta_0$ sea que el parámetro toma valores superiores ($\mathrm{H}_{1}: \theta \geq \theta_{0}$), inferiores ($\mathrm{H}_{1}: \theta \leq \theta_{0}$) o distintos ($\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0}$)a $\theta_0$. En la práctica este será el planteamiento de los tests que se presentará más adelante. + +En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis _simple contra simple_. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro $\theta$ solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto. + +### Caso 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras + +El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es $\mathbf{0 . 5}$. + +En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro $p$ en la variable Binomial es 0.6. + +Así pues, si $X$ es el número de hembras en 10 nidos, y $p$ es la proporción de hembras, la forma final del contraste es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecto a los datos obtenidos por da Souza son: + +| Nido | Polluelo | Nido | Polluelo | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | hembra | 6 | macho | +| 2 | macho | 7 | hembra | +| 3 | hembra | 8 | hembra | +| 4 | hembra | 9 | macho | +| 5 | macho | 10 | hembra | + +En resumen, ha observado que en $\mathbf{6}$ de los nidos hay una hembra. + +### Caso 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona + +Las autoridades deportivas postulan una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que ADG indica una media de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tanto para $\mathrm{H}_{0}$ como para $\mathrm{H}_{1}$ el modelo contempla $\sigma=2,4$. +Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes: + +| Individuo | Concentración | Individuo | Concentración | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La media aritmética de los 16 atletas es $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +## Compatibilidad de resultados e hipótesis + +Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta. + +En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa. + +Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella. + +Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo $\mathrm{H}_{0}$ como bajo $\mathrm{H}_{1}$. Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis. + +En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis. + +### Caso 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras. + +Como ya hemos visto, $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +```{r echo=FALSE} +probs<- dbinom(x=0:10, size=10, prob=0.5) +res<- data.frame(X=0:10,Prob=probs) +kableExtra::kable(res) +``` + + + + +Al igual que para $\mathrm{H}_{0}$, la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo $\mathrm{H}_{1}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + + +```{r echo=FALSE} +probs<- dbinom(x=0:10, size=10, prob=0.6) +res<- data.frame(X=0:10,Prob=probs) +kableExtra::kable(res) +``` + + + +Un sencillo código R puede calcular las probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad $p$ de la población. + +```{r, eval=FALSE} +prob_p <- p # p algun valor entre 0 y 1 +dbinom(x=0:10, size=10, prob=prob_p) +``` + +Podemos entender estas diferentes " $p$ " como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepto en los casos triviales $p=0$ o $p=1$, no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas. + +### Caso 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +La asociación ADG ha obtenido una muestra con media $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media. + +En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$ expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ más cercanos a la media bajo $\mathrm{H}_{0}$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + + +En el caso de $\mathrm{H}_{1}$ tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{1}$ expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +## No todo es igualmente probable... + +La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bien $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error. + +### Caso 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo $\mathrm{H}_{0}$ + +Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para $X$: $0,1, \ldots$, hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis $p=0.5$ resulta poco verosímil. + +Es importante entender que el verdadero valor de $p$ (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor. + +Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +### Caso 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple $\mathrm{H}_{0}$ + +De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula. + +En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expresada como intervalo, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +(Se muestran las probabilidades correspondientes.) + +## El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión + +Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar $\mathrm{H}_{1}$. En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a $\mathrm{H}_{0}$, en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- $\mathrm{H}_{0}$. A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta $\mathrm{H}_{0}$. En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional. + +### Caso 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante + +Definiremos la región crítica de la siguiente forma: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Por lo tanto, la región de aceptación será: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criterio de decisión será por tanto: + +- si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilidad de hembras es 0.6) +- si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilidad de hembras es 0.5) + +Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable. + +Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +## Hipótesis nula y nivel de significación + +Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar $H_{0}$ cuando ésta es cierta. + +Esta probabilidad se designa de forma equivalente como: + +- error de tipo I (o de primera especie) +- nivel de significación del contraste + +y usualmente se simboliza con la letra griega alfa. +El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes: +- $\alpha=$ probabilidad de rechazo de $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, cuando $\mathrm{H}_{0}$ es cierta +- $\alpha=$ probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{0}$ es cierta. + +### Caso 1: Nivel de significación + +En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula $(p=0.5)$. Como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}$ cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1). + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta pues: $\quad \alpha=0.0547$. + +### Caso 1: Elección de la región crítica + +Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{0}$): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ahora bien, un criterio de decisión basado en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ es absurdo, teniendo en cuenta que $\mathrm{H}_{1}$ es $p=0.6$. Veamos por qué. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$. Si se elige $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ como región crítica, implica aceptar $\mathrm{H}_{1}$ cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (número hembras $<3 / \mathrm{H}_{1}$ cierta) $=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{1}$. En otras palabras, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos. + +### Caso 2: Elección de la región crítica + +A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criterio de decisión será, por tanto: +si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivel es 8.5) +Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X}>=7.987)$ de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +donde $F_{z}$ es la función de distribución de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La región crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ lleva asociado un nivel de significación $\alpha=0.05$. Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición: + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +## Región crítica y formalización del contraste + +La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación. +La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste. + +Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenemos: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisión: + +- si la muestra pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la muestra no pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalmente: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +$$ + +### Caso 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ número de hembras totales en los 10 nidos | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa $=\mathbf{f r}$ del número de hembras en los 10 nidos. + +### Caso 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ media de statdrolona en 16 atletas | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +La distribución del estadístico de test T bajo $\mathrm{H}_{0}$ es una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +## Tabla de decisión del contraste + +Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir: + +| | Hipótesis verdadera | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipótesis aceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipo II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipo I | - | + +Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes: + +- $1-\beta=$ probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{1}$, cuando $\mathrm{H}_{1}$ es cierta +- $1-\beta=$ probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{1}$ es cierta + +En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará $\mathrm{H}_{1}$ según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores. + +Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori. + +Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados. + +### Caso 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste + +El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +Supongamos que $\mathrm{H}_{1}$ es cierta, es decir, que $p=0,6$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $H_{1}/H_{1}$ cierta)= prob. $(T \leq 7/H_{1}$ cierta) $=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbólicamente corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +### Caso 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +Supongamos que es cierta $\mathrm{H}_{1}$, es decir, que $\mu=8.5$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}$ cierta)= prob. $(\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960$ +Simbólicamente, corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +## Relación entre el error de tipo I y el de tipo II + +Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis. + +Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta $\mathrm{H}_{0}$, es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre $\mathrm{H}_{0}$, independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre $H_{0}$! Así, reducir $\alpha$ a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre $\mathrm{H}_{1}$, lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir $\alpha$ conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- $\beta$. + +### Caso 1: Evaluación de $\alpha$ y 1- $\beta$ para diferentes regiones críticas + +Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva del documento se puede cambiar dinámicamente la región crítica y se calculan automáticamente los errores: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, donde $a$ es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica $\{8,9,10\}$. La hipótesis alternativa considerada es $p_{1}=0.6$, tal y como se indica en la leyenda del gráfico. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Caso 2: Relación entre los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +y para cada región crítica de la forma $[a,+\infty)$ se calculan $\alpha$ y $1-\beta$. En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a $\mu_{0}$. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Potencia y test más potente + +La potencia de un contraste se define como: +$\beta=$ prob.(aceptar $H_{1}/H_{1}$ cierta) = prob.(muestra pertenezca a $W_{a}/H_{1}$ cierta) +es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II. +Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible). + +En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}$ y el nivel de significación $\alpha$, proporcione la potencia más alta entre todos ellos. + +Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si $mp$ designa el test más potente, deberá cumplir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +$$ + +donde $t$ es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que $mp$. + +### Caso 1: Potencia en hipótesis simple vs simple + +En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Se puede leer entonces que la potencia es: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo. + +### Caso 2: Potencia en hipótesis simple vs simple + +Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla). + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +La definición de potencia aplicada a este caso resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el documento interactivo se especifica la expresión para todo $n$. + +## Efecto del tamaño muestral + +Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población). + +Una vez elegido $\alpha$, quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de $\alpha$ es incrementar el tamaño muestral $N$. + +Aumentar $N$ varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener $\boldsymbol{\alpha}$ constante y aumentar $N$ se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta? + +### Caso 1 + +En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Caso 2 + +Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para $N=16$ y $N=30$) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar $N$, las distribuciones en el muestreo de la media bajo $\mathrm{H}_{0}$ y $\mathrm{H}_{1}$ presentan cada vez un menor solapamiento. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se observa el efecto de $N$ para todo el rango de regiones críticas: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas + +Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral. + +Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple. + +### Caso 1: Hipótesis compuestas + +Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con $\mathrm{T}=0$. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5). + +El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +(Se muestra figura con valores destacados.) + +la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral. + +### Caso 2: Hipótesis compuestas + +A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple). + +Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con $\mu<7$). + +Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +Se obtiene $\alpha=0.1$. En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +Donde: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +## Función de potencia + +Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, $\theta$ presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +$$ + +no se puede calcular globalmente para toda $\mathrm{H}_{1}$, sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de $\mathrm{H}_{1}$. De ahí el interés de definir la función de potencia: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +$$ + +donde $\theta$ es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ es simple (un solo parámetro $\theta_{0}$), resultará: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +$$ + +### Caso 1: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia $(\beta)$ inicialmente para $p=0.6$ y para $p=0.8$ (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo $\mathrm{H}_{1}$): + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros: + +(Se muestran figuras correspondientes.) + +### Caso 2: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la media concreta $\mu_{1}$ que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( $\beta$ ) inicialmente para $\mu=8.5$. En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 y que respectivamente corresponden a $n=16$ (la situación de este caso 2) y a $n=1$. En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a $\beta: \alpha, \sigma y n$ y compararlos con la situación original. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +## Tests óptimos + +En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa. + +El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por este curso El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo. + +## Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales + +Un contraste bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| el izquierdo es: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos que se tratan en este curso, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta. + +En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder. + +### Caso 1: Prueba unilateral + +Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico $\theta$ por p, y el valor $\theta_{0}=0.5$. Tomando la región crítica como $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + + +### Caso 2: Prueba unilateral + +El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +se obtiene $\alpha=0.05$. En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación): + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Simbólicamente, se calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la $\mu$ concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una $\sigma=2.4$ poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal. + +## Elección del nivel de significación + +¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué $\alpha$ usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es $\alpha=0.05$ (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo $\alpha=0.01$ (1%) y $\alpha=0.1$ (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores. + +Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier $\alpha$. Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación. + +No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre $1-\beta$. La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado. + +Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario. + +## El p-valor + +La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$) conlleva aceptar $\mathrm{H}_{0}$. Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta $\mathrm{H}_{0}$. Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa. + +Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo $\boldsymbol{\alpha}$. Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando $\mathrm{H}_{0}$ con un $\alpha$ fijo. + +Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el "significance level", cuya traducción literal es "nivel de significación", cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor ("p-value"). + +### Caso 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Sigamos con la hipótesis unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Supongamos que, una vez obtenida la muestra de $n=10$ nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier $\alpha$. + +El p-valor es el menor $\alpha$ que permite aceptar $\mathrm{H}_{1}$. Con la tabla siguiente: + +```{r echo=FALSE, out.width="90%", fig.align='center'} + +``` + +Se obtiene el p-valor asociado a $\mathrm{T}=6$ hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos: + +1. Si se escogiera $\alpha=0.1719$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar $H_{0}$. Por tanto, $\alpha$ no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar $\mathrm{H}_{0}$: $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ debe ser forzosamente mayor. +2. Si se eligiera $\alpha^{\prime}=0.3770$, la región crítica correspondiente sería $W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime}$ se rechazaría $H_{0}$. +3. Si se seleccionara $\alpha^{\prime\prime}=0.6230$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime\prime}$ también se rechazaría $\mathrm{H}_{0}$. + +Observamos que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}$, y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, $\alpha^{\prime}$ es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos $H_{0}$ con la muestra actual o, dicho de otro modo, $\alpha^{\prime}$ es el p-valor. + +Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,...), que devuelve simplemente la información $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves. + +Pues bien, en este momento, se deberá comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, $\alpha=0.05$): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T $\geq 6$ hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$ y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vez más, hay que insistir en que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que $\alpha$ es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia. + +### Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como $\mathrm{T}=8.54$, el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de la cola. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{0}$, ya que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula. + +El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar $\alpha$ en ningún sentido: $\alpha$ se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II. + +### Caso 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral) + +Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de $\mathrm{T}=8.54$, la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a $\mu=7$, es decir, la cola izquierda situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, puesto que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con $\mathrm{p}_{uni}$ y $\mathrm{p}_{bil}$, respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que: + +- Si $\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral. +- Si $\mathrm{p}_{uni}>0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral. + +## Pruebas exactas y pruebas asintóticas + +Los dos errores ( $\alpha$ y $1-\beta$ ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada. + +Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra $N$ qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo $N$. Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales. + +En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de $N$, y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado. + +### Caso 1: Test asintótico + +Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico $T=$ número de hembras en diez nidos, que es una Binomial $(n, p)$, con $n=10$ y $p$ desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra $n$. No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de $T$ es: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Por ejemplo, si se pretende contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +con $n=36$, bajo $\mathrm{H}_{0} T$ será aproximadamente $N(18,3)$. En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes $n$ y diferentes valores de T. Por ejemplo, para $n=36$ y 28 hembras las diferencias son: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando $n>30$. + +### Caso 2: Test exacto + +Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de $n$ atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc. + +## Relación con los intervalos de confianza + +Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +se puede resolver planteando el intervalo de confianza para $\theta$, con coeficiente de confianza $1-\alpha$. Supongamos que el intervalo obtenido es $[a ; b]$. Entonces, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Este contraste tendrá como nivel de significación $\alpha$. Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya $\theta_{0}$. + +Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto. + +### Caso 2: Relación con los intervalos de confianza + +En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si tomamos como nivel de confianza $1-\alpha=0.95$, con los datos obtenidos resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +Es decir, se obtiene el intervalo $[\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]$. Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es $\mu=7$, y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral. + +## Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa + +Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, $N$ debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores $N \geq 30$ son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta. + +El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa $\Delta$. + +Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales. + +El significado de $\Delta$ es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo $(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)$. En cambio, $\theta_{0} \pm \Delta$ son los dos primeros puntos, a medida que $\theta$ se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de $\theta_{0}$. Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que $\Delta$. + +La elección concreta del valor de $\Delta$ depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística. + +Una vez elegidos $\Delta$ y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo. + +### Caso 2: Cálculo del tamaño de la muestra + +El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo $n$ que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa ($\boldsymbol{\Delta}$) y la potencia ($\boldsymbol{\beta}$) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +con las condiciones siguientes del experimento fijadas: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que $\mu_{0}=7$, respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con $\mathrm{H}_{0}$, excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de $n$ que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ corresponde a la hipótesis simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de $n$ atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es $n$. Las constantes $z_{\alpha / 2}$ y $z_{1-\beta}$ corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo: + +$$ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Para los valores extremos de $\alpha(0)$ y de $\beta(1)$, el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior. + +## Esquema de un contraste correctamente planteado + +Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes: + +| 1) nivel de significación $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferencia mínima
significativa $\Delta$ | Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
concreto de aplicación. | +| 3) potencia deseada en el
punto a distancia $\Delta$ | Si no se tiene un criterio definido, se tomará $\beta=0.8$ para
$\alpha=0.05$. | + +Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste. + +## Significación estadística y significación aplicada + +Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido. + +Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra $N$ y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados. + +En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo. + +En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que: + +- si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A. +- si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A. + +### Caso 2: Significación estadística y aplicada + +Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ya hemos visto que la conclusión, para $\alpha=0.05$, era indicar que hay significación estadística. + +Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es: +y permite afirmar que también hay significación aplicada. +Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza: + +Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica. + diff --git a/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css new file mode 100644 index 0000000..285e444 --- /dev/null +++ b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css @@ -0,0 +1,2078 @@ +/*! + * Bootstrap Icons v1.11.1 (https://icons.getbootstrap.com/) + * Copyright 2019-2023 The Bootstrap Authors + * Licensed under MIT (https://github.com/twbs/icons/blob/main/LICENSE) + */ + +@font-face { + font-display: block; + font-family: "bootstrap-icons"; + src: +url("./bootstrap-icons.woff?2820a3852bdb9a5832199cc61cec4e65") format("woff"); +} + +.bi::before, +[class^="bi-"]::before, +[class*=" bi-"]::before { + display: inline-block; + font-family: bootstrap-icons !important; + font-style: normal; + font-weight: normal !important; + font-variant: normal; + 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.quarto-title-meta-contents{font-size:.9em}#title-block-header.quarto-title-block.default .quarto-title-meta-contents p.affiliation:last-of-type{margin-bottom:.1em}#title-block-header.quarto-title-block.default p.affiliation{margin-bottom:.1em}#title-block-header.quarto-title-block.default .keywords,#title-block-header.quarto-title-block.default .description,#title-block-header.quarto-title-block.default .abstract{margin-top:0}#title-block-header.quarto-title-block.default .keywords>p,#title-block-header.quarto-title-block.default .description>p,#title-block-header.quarto-title-block.default .abstract>p{font-size:.9em}#title-block-header.quarto-title-block.default .keywords>p:last-of-type,#title-block-header.quarto-title-block.default .description>p:last-of-type,#title-block-header.quarto-title-block.default .abstract>p:last-of-type{margin-bottom:0}#title-block-header.quarto-title-block.default .keywords .block-title,#title-block-header.quarto-title-block.default .description .block-title,#title-block-header.quarto-title-block.default .abstract .block-title{margin-top:1em;text-transform:uppercase;font-size:.8em;opacity:.8;font-weight:400}#title-block-header.quarto-title-block.default .quarto-title-meta-author{display:grid;grid-template-columns:minmax(max-content, 1fr) 1fr;grid-column-gap:1em}.quarto-title-tools-only{display:flex;justify-content:right} diff --git a/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap.min.js b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap.min.js new file mode 100644 index 0000000..e8f21f7 --- /dev/null +++ b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap.min.js @@ -0,0 +1,7 @@ +/*! + * Bootstrap v5.3.1 (https://getbootstrap.com/) + * Copyright 2011-2023 The Bootstrap Authors (https://github.com/twbs/bootstrap/graphs/contributors) + * Licensed under MIT (https://github.com/twbs/bootstrap/blob/main/LICENSE) + */ +!function(t,e){"object"==typeof exports&&"undefined"!=typeof module?module.exports=e():"function"==typeof define&&define.amd?define(e):(t="undefined"!=typeof globalThis?globalThis:t||self).bootstrap=e()}(this,(function(){"use strict";const t=new Map,e={set(e,i,n){t.has(e)||t.set(e,new Map);const s=t.get(e);s.has(i)||0===s.size?s.set(i,n):console.error(`Bootstrap doesn't allow more than one instance per element. Bound instance: ${Array.from(s.keys())[0]}.`)},get:(e,i)=>t.has(e)&&t.get(e).get(i)||null,remove(e,i){if(!t.has(e))return;const n=t.get(e);n.delete(i),0===n.size&&t.delete(e)}},i="transitionend",n=t=>(t&&window.CSS&&window.CSS.escape&&(t=t.replace(/#([^\s"#']+)/g,((t,e)=>`#${CSS.escape(e)}`))),t),s=t=>{t.dispatchEvent(new Event(i))},o=t=>!(!t||"object"!=typeof t)&&(void 0!==t.jquery&&(t=t[0]),void 0!==t.nodeType),r=t=>o(t)?t.jquery?t[0]:t:"string"==typeof t&&t.length>0?document.querySelector(n(t)):null,a=t=>{if(!o(t)||0===t.getClientRects().length)return!1;const e="visible"===getComputedStyle(t).getPropertyValue("visibility"),i=t.closest("details:not([open])");if(!i)return e;if(i!==t){const e=t.closest("summary");if(e&&e.parentNode!==i)return!1;if(null===e)return!1}return e},l=t=>!t||t.nodeType!==Node.ELEMENT_NODE||!!t.classList.contains("disabled")||(void 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N={on(t,e,i,n){S(t,e,i,n,!1)},one(t,e,i,n){S(t,e,i,n,!0)},off(t,e,i,n){if("string"!=typeof e||!t)return;const[s,o,r]=L(e,i,n),a=r!==e,l=x(t),c=l[r]||{},h=e.startsWith(".");if(void 0===o){if(h)for(const i of Object.keys(l))$(t,l,i,e.slice(1));for(const[i,n]of Object.entries(c)){const s=i.replace(w,"");a&&!e.includes(s)||D(t,l,r,n.callable,n.delegationSelector)}}else{if(!Object.keys(c).length)return;D(t,l,r,o,s?i:null)}},trigger(t,e,i){if("string"!=typeof e||!t)return null;const n=u();let s=null,o=!0,r=!0,a=!1;e!==I(e)&&n&&(s=n.Event(e,i),n(t).trigger(s),o=!s.isPropagationStopped(),r=!s.isImmediatePropagationStopped(),a=s.isDefaultPrevented());const l=P(new Event(e,{bubbles:o,cancelable:!0}),i);return a&&l.preventDefault(),r&&t.dispatchEvent(l),l.defaultPrevented&&s&&s.preventDefault(),l}};function P(t,e={}){for(const[i,n]of Object.entries(e))try{t[i]=n}catch(e){Object.defineProperty(t,i,{configurable:!0,get:()=>n})}return t}function M(t){if("true"===t)return!0;if("false"===t)return!1;if(t===Number(t).toString())return Number(t);if(""===t||"null"===t)return null;if("string"!=typeof t)return t;try{return JSON.parse(decodeURIComponent(t))}catch(e){return t}}function j(t){return t.replace(/[A-Z]/g,(t=>`-${t.toLowerCase()}`))}const F={setDataAttribute(t,e,i){t.setAttribute(`data-bs-${j(e)}`,i)},removeDataAttribute(t,e){t.removeAttribute(`data-bs-${j(e)}`)},getDataAttributes(t){if(!t)return{};const e={},i=Object.keys(t.dataset).filter((t=>t.startsWith("bs")&&!t.startsWith("bsConfig")));for(const n of i){let i=n.replace(/^bs/,"");i=i.charAt(0).toLowerCase()+i.slice(1,i.length),e[i]=M(t.dataset[n])}return e},getDataAttribute:(t,e)=>M(t.getAttribute(`data-bs-${j(e)}`))};class H{static get Default(){return{}}static get DefaultType(){return{}}static get NAME(){throw new Error('You have to implement the static method "NAME", for each component!')}_getConfig(t){return t=this._mergeConfigObj(t),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}_configAfterMerge(t){return t}_mergeConfigObj(t,e){const i=o(e)?F.getDataAttribute(e,"config"):{};return{...this.constructor.Default,..."object"==typeof i?i:{},...o(e)?F.getDataAttributes(e):{},..."object"==typeof t?t:{}}}_typeCheckConfig(t,e=this.constructor.DefaultType){for(const[n,s]of Object.entries(e)){const e=t[n],r=o(e)?"element":null==(i=e)?`${i}`:Object.prototype.toString.call(i).match(/\s([a-z]+)/i)[1].toLowerCase();if(!new RegExp(s).test(r))throw new TypeError(`${this.constructor.NAME.toUpperCase()}: Option "${n}" provided type "${r}" but expected type "${s}".`)}var i}}class W extends H{constructor(t,i){super(),(t=r(t))&&(this._element=t,this._config=this._getConfig(i),e.set(this._element,this.constructor.DATA_KEY,this))}dispose(){e.remove(this._element,this.constructor.DATA_KEY),N.off(this._element,this.constructor.EVENT_KEY);for(const t of Object.getOwnPropertyNames(this))this[t]=null}_queueCallback(t,e,i=!0){_(t,e,i)}_getConfig(t){return t=this._mergeConfigObj(t,this._element),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}static getInstance(t){return e.get(r(t),this.DATA_KEY)}static getOrCreateInstance(t,e={}){return this.getInstance(t)||new this(t,"object"==typeof e?e:null)}static get VERSION(){return"5.3.1"}static get DATA_KEY(){return`bs.${this.NAME}`}static get EVENT_KEY(){return`.${this.DATA_KEY}`}static eventName(t){return`${t}${this.EVENT_KEY}`}}const B=t=>{let e=t.getAttribute("data-bs-target");if(!e||"#"===e){let i=t.getAttribute("href");if(!i||!i.includes("#")&&!i.startsWith("."))return null;i.includes("#")&&!i.startsWith("#")&&(i=`#${i.split("#")[1]}`),e=i&&"#"!==i?i.trim():null}return 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W{static get NAME(){return"button"}toggle(){this._element.setAttribute("aria-pressed",this._element.classList.toggle("active"))}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Y.getOrCreateInstance(this);"toggle"===t&&e[t]()}))}}N.on(document,"click.bs.button.data-api",X,(t=>{t.preventDefault();const e=t.target.closest(X);Y.getOrCreateInstance(e).toggle()})),m(Y);const U=".bs.swipe",G=`touchstart${U}`,J=`touchmove${U}`,Z=`touchend${U}`,tt=`pointerdown${U}`,et=`pointerup${U}`,it={endCallback:null,leftCallback:null,rightCallback:null},nt={endCallback:"(function|null)",leftCallback:"(function|null)",rightCallback:"(function|null)"};class st extends H{constructor(t,e){super(),this._element=t,t&&st.isSupported()&&(this._config=this._getConfig(e),this._deltaX=0,this._supportPointerEvents=Boolean(window.PointerEvent),this._initEvents())}static get Default(){return it}static get DefaultType(){return nt}static get NAME(){return"swipe"}dispose(){N.off(this._element,U)}_start(t){this._supportPointerEvents?this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX):this._deltaX=t.touches[0].clientX}_end(t){this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX-this._deltaX),this._handleSwipe(),g(this._config.endCallback)}_move(t){this._deltaX=t.touches&&t.touches.length>1?0:t.touches[0].clientX-this._deltaX}_handleSwipe(){const t=Math.abs(this._deltaX);if(t<=40)return;const e=t/this._deltaX;this._deltaX=0,e&&g(e>0?this._config.rightCallback:this._config.leftCallback)}_initEvents(){this._supportPointerEvents?(N.on(this._element,tt,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,et,(t=>this._end(t))),this._element.classList.add("pointer-event")):(N.on(this._element,G,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,J,(t=>this._move(t))),N.on(this._element,Z,(t=>this._end(t))))}_eventIsPointerPenTouch(t){return this._supportPointerEvents&&("pen"===t.pointerType||"touch"===t.pointerType)}static isSupported(){return"ontouchstart"in document.documentElement||navigator.maxTouchPoints>0}}const ot=".bs.carousel",rt=".data-api",at="next",lt="prev",ct="left",ht="right",dt=`slide${ot}`,ut=`slid${ot}`,ft=`keydown${ot}`,pt=`mouseenter${ot}`,mt=`mouseleave${ot}`,gt=`dragstart${ot}`,_t=`load${ot}${rt}`,bt=`click${ot}${rt}`,vt="carousel",yt="active",wt=".active",At=".carousel-item",Et=wt+At,Tt={ArrowLeft:ht,ArrowRight:ct},Ct={interval:5e3,keyboard:!0,pause:"hover",ride:!1,touch:!0,wrap:!0},Ot={interval:"(number|boolean)",keyboard:"boolean",pause:"(string|boolean)",ride:"(boolean|string)",touch:"boolean",wrap:"boolean"};class xt extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._interval=null,this._activeElement=null,this._isSliding=!1,this.touchTimeout=null,this._swipeHelper=null,this._indicatorsElement=z.findOne(".carousel-indicators",this._element),this._addEventListeners(),this._config.ride===vt&&this.cycle()}static get Default(){return Ct}static get DefaultType(){return Ot}static get NAME(){return"carousel"}next(){this._slide(at)}nextWhenVisible(){!document.hidden&&a(this._element)&&this.next()}prev(){this._slide(lt)}pause(){this._isSliding&&s(this._element),this._clearInterval()}cycle(){this._clearInterval(),this._updateInterval(),this._interval=setInterval((()=>this.nextWhenVisible()),this._config.interval)}_maybeEnableCycle(){this._config.ride&&(this._isSliding?N.one(this._element,ut,(()=>this.cycle())):this.cycle())}to(t){const e=this._getItems();if(t>e.length-1||t<0)return;if(this._isSliding)return void N.one(this._element,ut,(()=>this.to(t)));const i=this._getItemIndex(this._getActive());if(i===t)return;const n=t>i?at:lt;this._slide(n,e[t])}dispose(){this._swipeHelper&&this._swipeHelper.dispose(),super.dispose()}_configAfterMerge(t){return t.defaultInterval=t.interval,t}_addEventListeners(){this._config.keyboard&&N.on(this._element,ft,(t=>this._keydown(t))),"hover"===this._config.pause&&(N.on(this._element,pt,(()=>this.pause())),N.on(this._element,mt,(()=>this._maybeEnableCycle()))),this._config.touch&&st.isSupported()&&this._addTouchEventListeners()}_addTouchEventListeners(){for(const t of z.find(".carousel-item img",this._element))N.on(t,gt,(t=>t.preventDefault()));const t={leftCallback:()=>this._slide(this._directionToOrder(ct)),rightCallback:()=>this._slide(this._directionToOrder(ht)),endCallback:()=>{"hover"===this._config.pause&&(this.pause(),this.touchTimeout&&clearTimeout(this.touchTimeout),this.touchTimeout=setTimeout((()=>this._maybeEnableCycle()),500+this._config.interval))}};this._swipeHelper=new st(this._element,t)}_keydown(t){if(/input|textarea/i.test(t.target.tagName))return;const e=Tt[t.key];e&&(t.preventDefault(),this._slide(this._directionToOrder(e)))}_getItemIndex(t){return this._getItems().indexOf(t)}_setActiveIndicatorElement(t){if(!this._indicatorsElement)return;const e=z.findOne(wt,this._indicatorsElement);e.classList.remove(yt),e.removeAttribute("aria-current");const i=z.findOne(`[data-bs-slide-to="${t}"]`,this._indicatorsElement);i&&(i.classList.add(yt),i.setAttribute("aria-current","true"))}_updateInterval(){const t=this._activeElement||this._getActive();if(!t)return;const e=Number.parseInt(t.getAttribute("data-bs-interval"),10);this._config.interval=e||this._config.defaultInterval}_slide(t,e=null){if(this._isSliding)return;const i=this._getActive(),n=t===at,s=e||b(this._getItems(),i,n,this._config.wrap);if(s===i)return;const o=this._getItemIndex(s),r=e=>N.trigger(this._element,e,{relatedTarget:s,direction:this._orderToDirection(t),from:this._getItemIndex(i),to:o});if(r(dt).defaultPrevented)return;if(!i||!s)return;const a=Boolean(this._interval);this.pause(),this._isSliding=!0,this._setActiveIndicatorElement(o),this._activeElement=s;const l=n?"carousel-item-start":"carousel-item-end",c=n?"carousel-item-next":"carousel-item-prev";s.classList.add(c),d(s),i.classList.add(l),s.classList.add(l),this._queueCallback((()=>{s.classList.remove(l,c),s.classList.add(yt),i.classList.remove(yt,c,l),this._isSliding=!1,r(ut)}),i,this._isAnimated()),a&&this.cycle()}_isAnimated(){return this._element.classList.contains("slide")}_getActive(){return z.findOne(Et,this._element)}_getItems(){return z.find(At,this._element)}_clearInterval(){this._interval&&(clearInterval(this._interval),this._interval=null)}_directionToOrder(t){return p()?t===ct?lt:at:t===ct?at:lt}_orderToDirection(t){return p()?t===lt?ct:ht:t===lt?ht:ct}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=xt.getOrCreateInstance(this,t);if("number"!=typeof t){if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}else e.to(t)}))}}N.on(document,bt,"[data-bs-slide], 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m?m(Object.assign({},e.rects,{placement:e.placement})):m,O="number"==typeof C?{mainAxis:C,altAxis:C}:Object.assign({mainAxis:0,altAxis:0},C),x=e.modifiersData.offset?e.modifiersData.offset[e.placement]:null,k={x:0,y:0};if(A){if(o){var L,S="y"===y?zt:Vt,D="y"===y?Rt:qt,$="y"===y?"height":"width",I=A[y],N=I+g[S],P=I-g[D],M=f?-T[$]/2:0,j=b===Xt?E[$]:T[$],F=b===Xt?-T[$]:-E[$],H=e.elements.arrow,W=f&&H?Ce(H):{width:0,height:0},B=e.modifiersData["arrow#persistent"]?e.modifiersData["arrow#persistent"].padding:{top:0,right:0,bottom:0,left:0},z=B[S],R=B[D],q=Ne(0,E[$],W[$]),V=v?E[$]/2-M-q-z-O.mainAxis:j-q-z-O.mainAxis,K=v?-E[$]/2+M+q+R+O.mainAxis:F+q+R+O.mainAxis,Q=e.elements.arrow&&$e(e.elements.arrow),X=Q?"y"===y?Q.clientTop||0:Q.clientLeft||0:0,Y=null!=(L=null==x?void 0:x[y])?L:0,U=I+K-Y,G=Ne(f?ye(N,I+V-Y-X):N,I,f?ve(P,U):P);A[y]=G,k[y]=G-I}if(a){var J,Z="x"===y?zt:Vt,tt="x"===y?Rt:qt,et=A[w],it="y"===w?"height":"width",nt=et+g[Z],st=et-g[tt],ot=-1!==[zt,Vt].indexOf(_),rt=null!=(J=null==x?void 0:x[w])?J:0,at=ot?nt:et-E[it]-T[it]-rt+O.altAxis,lt=ot?et+E[it]+T[it]-rt-O.altAxis:st,ct=f&&ot?function(t,e,i){var n=Ne(t,e,i);return n>i?i:n}(at,et,lt):Ne(f?at:nt,et,f?lt:st);A[w]=ct,k[w]=ct-et}e.modifiersData[n]=k}},requiresIfExists:["offset"]};function di(t,e,i){void 0===i&&(i=!1);var n,s,o=me(e),r=me(e)&&function(t){var e=t.getBoundingClientRect(),i=we(e.width)/t.offsetWidth||1,n=we(e.height)/t.offsetHeight||1;return 1!==i||1!==n}(e),a=Le(e),l=Te(t,r,i),c={scrollLeft:0,scrollTop:0},h={x:0,y:0};return(o||!o&&!i)&&(("body"!==ue(e)||Ue(a))&&(c=(n=e)!==fe(n)&&me(n)?{scrollLeft:(s=n).scrollLeft,scrollTop:s.scrollTop}:Xe(n)),me(e)?((h=Te(e,!0)).x+=e.clientLeft,h.y+=e.clientTop):a&&(h.x=Ye(a))),{x:l.left+c.scrollLeft-h.x,y:l.top+c.scrollTop-h.y,width:l.width,height:l.height}}function ui(t){var e=new Map,i=new Set,n=[];function s(t){i.add(t.name),[].concat(t.requires||[],t.requiresIfExists||[]).forEach((function(t){if(!i.has(t)){var n=e.get(t);n&&s(n)}})),n.push(t)}return t.forEach((function(t){e.set(t.name,t)})),t.forEach((function(t){i.has(t.name)||s(t)})),n}var fi={placement:"bottom",modifiers:[],strategy:"absolute"};function pi(){for(var t=arguments.length,e=new Array(t),i=0;iNumber.parseInt(t,10))):"function"==typeof t?e=>t(e,this._element):t}_getPopperConfig(){const t={placement:this._getPlacement(),modifiers:[{name:"preventOverflow",options:{boundary:this._config.boundary}},{name:"offset",options:{offset:this._getOffset()}}]};return(this._inNavbar||"static"===this._config.display)&&(F.setDataAttribute(this._menu,"popper","static"),t.modifiers=[{name:"applyStyles",enabled:!1}]),{...t,...g(this._config.popperConfig,[t])}}_selectMenuItem({key:t,target:e}){const i=z.find(".dropdown-menu .dropdown-item:not(.disabled):not(:disabled)",this._menu).filter((t=>a(t)));i.length&&b(i,e,t===Ti,!i.includes(e)).focus()}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=qi.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}))}static clearMenus(t){if(2===t.button||"keyup"===t.type&&"Tab"!==t.key)return;const e=z.find(Ni);for(const i of e){const e=qi.getInstance(i);if(!e||!1===e._config.autoClose)continue;const n=t.composedPath(),s=n.includes(e._menu);if(n.includes(e._element)||"inside"===e._config.autoClose&&!s||"outside"===e._config.autoClose&&s)continue;if(e._menu.contains(t.target)&&("keyup"===t.type&&"Tab"===t.key||/input|select|option|textarea|form/i.test(t.target.tagName)))continue;const o={relatedTarget:e._element};"click"===t.type&&(o.clickEvent=t),e._completeHide(o)}}static dataApiKeydownHandler(t){const e=/input|textarea/i.test(t.target.tagName),i="Escape"===t.key,n=[Ei,Ti].includes(t.key);if(!n&&!i)return;if(e&&!i)return;t.preventDefault();const s=this.matches(Ii)?this:z.prev(this,Ii)[0]||z.next(this,Ii)[0]||z.findOne(Ii,t.delegateTarget.parentNode),o=qi.getOrCreateInstance(s);if(n)return t.stopPropagation(),o.show(),void o._selectMenuItem(t);o._isShown()&&(t.stopPropagation(),o.hide(),s.focus())}}N.on(document,Si,Ii,qi.dataApiKeydownHandler),N.on(document,Si,Pi,qi.dataApiKeydownHandler),N.on(document,Li,qi.clearMenus),N.on(document,Di,qi.clearMenus),N.on(document,Li,Ii,(function(t){t.preventDefault(),qi.getOrCreateInstance(this).toggle()})),m(qi);const Vi="backdrop",Ki="show",Qi=`mousedown.bs.${Vi}`,Xi={className:"modal-backdrop",clickCallback:null,isAnimated:!1,isVisible:!0,rootElement:"body"},Yi={className:"string",clickCallback:"(function|null)",isAnimated:"boolean",isVisible:"boolean",rootElement:"(element|string)"};class Ui extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t),this._isAppended=!1,this._element=null}static get Default(){return Xi}static get DefaultType(){return Yi}static get NAME(){return Vi}show(t){if(!this._config.isVisible)return void g(t);this._append();const e=this._getElement();this._config.isAnimated&&d(e),e.classList.add(Ki),this._emulateAnimation((()=>{g(t)}))}hide(t){this._config.isVisible?(this._getElement().classList.remove(Ki),this._emulateAnimation((()=>{this.dispose(),g(t)}))):g(t)}dispose(){this._isAppended&&(N.off(this._element,Qi),this._element.remove(),this._isAppended=!1)}_getElement(){if(!this._element){const t=document.createElement("div");t.className=this._config.className,this._config.isAnimated&&t.classList.add("fade"),this._element=t}return this._element}_configAfterMerge(t){return t.rootElement=r(t.rootElement),t}_append(){if(this._isAppended)return;const t=this._getElement();this._config.rootElement.append(t),N.on(t,Qi,(()=>{g(this._config.clickCallback)})),this._isAppended=!0}_emulateAnimation(t){_(t,this._getElement(),this._config.isAnimated)}}const Gi=".bs.focustrap",Ji=`focusin${Gi}`,Zi=`keydown.tab${Gi}`,tn="backward",en={autofocus:!0,trapElement:null},nn={autofocus:"boolean",trapElement:"element"};class sn extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t),this._isActive=!1,this._lastTabNavDirection=null}static get Default(){return en}static get DefaultType(){return nn}static get NAME(){return"focustrap"}activate(){this._isActive||(this._config.autofocus&&this._config.trapElement.focus(),N.off(document,Gi),N.on(document,Ji,(t=>this._handleFocusin(t))),N.on(document,Zi,(t=>this._handleKeydown(t))),this._isActive=!0)}deactivate(){this._isActive&&(this._isActive=!1,N.off(document,Gi))}_handleFocusin(t){const{trapElement:e}=this._config;if(t.target===document||t.target===e||e.contains(t.target))return;const 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this.getWidth()>0}_disableOverFlow(){this._saveInitialAttribute(this._element,"overflow"),this._element.style.overflow="hidden"}_setElementAttributes(t,e,i){const n=this.getWidth();this._applyManipulationCallback(t,(t=>{if(t!==this._element&&window.innerWidth>t.clientWidth+n)return;this._saveInitialAttribute(t,e);const s=window.getComputedStyle(t).getPropertyValue(e);t.style.setProperty(e,`${i(Number.parseFloat(s))}px`)}))}_saveInitialAttribute(t,e){const i=t.style.getPropertyValue(e);i&&F.setDataAttribute(t,e,i)}_resetElementAttributes(t,e){this._applyManipulationCallback(t,(t=>{const i=F.getDataAttribute(t,e);null!==i?(F.removeDataAttribute(t,e),t.style.setProperty(e,i)):t.style.removeProperty(e)}))}_applyManipulationCallback(t,e){if(o(t))e(t);else for(const i of z.find(t,this._element))e(i)}}const hn=".bs.modal",dn=`hide${hn}`,un=`hidePrevented${hn}`,fn=`hidden${hn}`,pn=`show${hn}`,mn=`shown${hn}`,gn=`resize${hn}`,_n=`click.dismiss${hn}`,bn=`mousedown.dismiss${hn}`,vn=`keydown.dismiss${hn}`,yn=`click${hn}.data-api`,wn="modal-open",An="show",En="modal-static",Tn={backdrop:!0,focus:!0,keyboard:!0},Cn={backdrop:"(boolean|string)",focus:"boolean",keyboard:"boolean"};class On extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._dialog=z.findOne(".modal-dialog",this._element),this._backdrop=this._initializeBackDrop(),this._focustrap=this._initializeFocusTrap(),this._isShown=!1,this._isTransitioning=!1,this._scrollBar=new cn,this._addEventListeners()}static get Default(){return Tn}static get DefaultType(){return Cn}static get NAME(){return"modal"}toggle(t){return this._isShown?this.hide():this.show(t)}show(t){this._isShown||this._isTransitioning||N.trigger(this._element,pn,{relatedTarget:t}).defaultPrevented||(this._isShown=!0,this._isTransitioning=!0,this._scrollBar.hide(),document.body.classList.add(wn),this._adjustDialog(),this._backdrop.show((()=>this._showElement(t))))}hide(){this._isShown&&!this._isTransitioning&&(N.trigger(this._element,dn).defaultPrevented||(this._isShown=!1,this._isTransitioning=!0,this._focustrap.deactivate(),this._element.classList.remove(An),this._queueCallback((()=>this._hideModal()),this._element,this._isAnimated())))}dispose(){N.off(window,hn),N.off(this._dialog,hn),this._backdrop.dispose(),this._focustrap.deactivate(),super.dispose()}handleUpdate(){this._adjustDialog()}_initializeBackDrop(){return new Ui({isVisible:Boolean(this._config.backdrop),isAnimated:this._isAnimated()})}_initializeFocusTrap(){return new sn({trapElement:this._element})}_showElement(t){document.body.contains(this._element)||document.body.append(this._element),this._element.style.display="block",this._element.removeAttribute("aria-hidden"),this._element.setAttribute("aria-modal",!0),this._element.setAttribute("role","dialog"),this._element.scrollTop=0;const e=z.findOne(".modal-body",this._dialog);e&&(e.scrollTop=0),d(this._element),this._element.classList.add(An),this._queueCallback((()=>{this._config.focus&&this._focustrap.activate(),this._isTransitioning=!1,N.trigger(this._element,mn,{relatedTarget:t})}),this._dialog,this._isAnimated())}_addEventListeners(){N.on(this._element,vn,(t=>{"Escape"===t.key&&(this._config.keyboard?this.hide():this._triggerBackdropTransition())})),N.on(window,gn,(()=>{this._isShown&&!this._isTransitioning&&this._adjustDialog()})),N.on(this._element,bn,(t=>{N.one(this._element,_n,(e=>{this._element===t.target&&this._element===e.target&&("static"!==this._config.backdrop?this._config.backdrop&&this.hide():this._triggerBackdropTransition())}))}))}_hideModal(){this._element.style.display="none",this._element.setAttribute("aria-hidden",!0),this._element.removeAttribute("aria-modal"),this._element.removeAttribute("role"),this._isTransitioning=!1,this._backdrop.hide((()=>{document.body.classList.remove(wn),this._resetAdjustments(),this._scrollBar.reset(),N.trigger(this._element,fn)}))}_isAnimated(){return this._element.classList.contains("fade")}_triggerBackdropTransition(){if(N.trigger(this._element,un).defaultPrevented)return;const t=this._element.scrollHeight>document.documentElement.clientHeight,e=this._element.style.overflowY;"hidden"===e||this._element.classList.contains(En)||(t||(this._element.style.overflowY="hidden"),this._element.classList.add(En),this._queueCallback((()=>{this._element.classList.remove(En),this._queueCallback((()=>{this._element.style.overflowY=e}),this._dialog)}),this._dialog),this._element.focus())}_adjustDialog(){const t=this._element.scrollHeight>document.documentElement.clientHeight,e=this._scrollBar.getWidth(),i=e>0;if(i&&!t){const t=p()?"paddingLeft":"paddingRight";this._element.style[t]=`${e}px`}if(!i&&t){const t=p()?"paddingRight":"paddingLeft";this._element.style[t]=`${e}px`}}_resetAdjustments(){this._element.style.paddingLeft="",this._element.style.paddingRight=""}static jQueryInterface(t,e){return this.each((function(){const 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W{constructor(t,e){super(t,e),this._isShown=!1,this._backdrop=this._initializeBackDrop(),this._focustrap=this._initializeFocusTrap(),this._addEventListeners()}static get Default(){return zn}static get DefaultType(){return Rn}static get NAME(){return"offcanvas"}toggle(t){return this._isShown?this.hide():this.show(t)}show(t){this._isShown||N.trigger(this._element,Nn,{relatedTarget:t}).defaultPrevented||(this._isShown=!0,this._backdrop.show(),this._config.scroll||(new 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Ui({className:"offcanvas-backdrop",isVisible:t,isAnimated:!0,rootElement:this._element.parentNode,clickCallback:t?()=>{"static"!==this._config.backdrop?this.hide():N.trigger(this._element,jn)}:null})}_initializeFocusTrap(){return new sn({trapElement:this._element})}_addEventListeners(){N.on(this._element,Bn,(t=>{"Escape"===t.key&&(this._config.keyboard?this.hide():N.trigger(this._element,jn))}))}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=qn.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t](this)}}))}}N.on(document,Wn,'[data-bs-toggle="offcanvas"]',(function(t){const e=z.getElementFromSelector(this);if(["A","AREA"].includes(this.tagName)&&t.preventDefault(),l(this))return;N.one(e,Fn,(()=>{a(this)&&this.focus()}));const i=z.findOne(In);i&&i!==e&&qn.getInstance(i).hide(),qn.getOrCreateInstance(e).toggle(this)})),N.on(window,Ln,(()=>{for(const t of 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"},Un={allowList:"object",content:"object",extraClass:"(string|function)",html:"boolean",sanitize:"boolean",sanitizeFn:"(null|function)",template:"string"},Gn={entry:"(string|element|function|null)",selector:"(string|element)"};class Jn extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t)}static get Default(){return Yn}static get DefaultType(){return Un}static get NAME(){return"TemplateFactory"}getContent(){return Object.values(this._config.content).map((t=>this._resolvePossibleFunction(t))).filter(Boolean)}hasContent(){return this.getContent().length>0}changeContent(t){return this._checkContent(t),this._config.content={...this._config.content,...t},this}toHtml(){const t=document.createElement("div");t.innerHTML=this._maybeSanitize(this._config.template);for(const[e,i]of Object.entries(this._config.content))this._setContent(t,i,e);const e=t.children[0],i=this._resolvePossibleFunction(this._config.extraClass);return i&&e.classList.add(...i.split(" 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e.setAttribute("id",i),this._isAnimated()&&e.classList.add(ts),e}setContent(t){this._newContent=t,this._isShown()&&(this._disposePopper(),this.show())}_getTemplateFactory(t){return this._templateFactory?this._templateFactory.changeContent(t):this._templateFactory=new Jn({...this._config,content:t,extraClass:this._resolvePossibleFunction(this._config.customClass)}),this._templateFactory}_getContentForTemplate(){return{".tooltip-inner":this._getTitle()}}_getTitle(){return this._resolvePossibleFunction(this._config.title)||this._element.getAttribute("data-bs-original-title")}_initializeOnDelegatedTarget(t){return this.constructor.getOrCreateInstance(t.delegateTarget,this._getDelegateConfig())}_isAnimated(){return this._config.animation||this.tip&&this.tip.classList.contains(ts)}_isShown(){return this.tip&&this.tip.classList.contains(es)}_createPopper(t){const e=g(this._config.placement,[this,t,this._element]),i=rs[e.toUpperCase()];return 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font-style: inherit; +} + +code span.fl { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.co { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.cv { + color: #5E5E5E; + font-style: italic; +} + +code span.cn { + color: #8f5902; + font-style: inherit; +} + +code span.sc { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.dv { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.kw { + color: #003B4F; + font-weight: bold; + font-style: inherit; +} + +.prevent-inlining { + content: " { + // Find any conflicting margin elements and add margins to the + // top to prevent overlap + const marginChildren = window.document.querySelectorAll( + ".column-margin.column-container > *, .margin-caption, .aside" + ); + + let lastBottom = 0; + for (const marginChild of marginChildren) { + if (marginChild.offsetParent !== null) { + // clear the top margin so we recompute it + marginChild.style.marginTop = null; + const top = marginChild.getBoundingClientRect().top + window.scrollY; + if (top < lastBottom) { + const marginChildStyle = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginBottom = parseFloat(marginChildStyle["marginBottom"]); + const margin = lastBottom - top + marginBottom; + marginChild.style.marginTop = `${margin}px`; + } + const styles = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginTop = parseFloat(styles["marginTop"]); + lastBottom = top + marginChild.getBoundingClientRect().height + marginTop; + } + } +}; + +window.document.addEventListener("DOMContentLoaded", function (_event) { + // Recompute the position of margin elements anytime the body size changes + if (window.ResizeObserver) { + const resizeObserver = new window.ResizeObserver( + throttle(() => { + layoutMarginEls(); + if ( + window.document.body.getBoundingClientRect().width < 990 && + isReaderMode() + ) { + quartoToggleReader(); + } + }, 50) + ); + resizeObserver.observe(window.document.body); + } + + const tocEl = window.document.querySelector('nav.toc-active[role="doc-toc"]'); + const sidebarEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar"); + const leftTocEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar-toc-left"); + const marginSidebarEl = window.document.getElementById( + "quarto-margin-sidebar" + ); + // function to determine whether the element has a previous sibling that is active + const prevSiblingIsActiveLink = (el) => { + const sibling = el.previousElementSibling; + if (sibling && sibling.tagName === "A") { + return sibling.classList.contains("active"); + } else { + return false; + } + }; + + // fire slideEnter for bootstrap tab activations (for htmlwidget resize behavior) + function fireSlideEnter(e) { + const event = window.document.createEvent("Event"); + event.initEvent("slideenter", true, true); + window.document.dispatchEvent(event); + } + const tabs = window.document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + tabs.forEach((tab) => { + tab.addEventListener("shown.bs.tab", fireSlideEnter); + }); + + // fire slideEnter for tabby tab activations (for htmlwidget resize behavior) + document.addEventListener("tabby", fireSlideEnter, false); + + // Track scrolling and mark TOC links as active + // get table of contents and sidebar (bail if we don't have at least one) + const tocLinks = tocEl + ? [...tocEl.querySelectorAll("a[data-scroll-target]")] + : []; + const makeActive = (link) => tocLinks[link].classList.add("active"); + const removeActive = (link) => tocLinks[link].classList.remove("active"); + const removeAllActive = () => + [...Array(tocLinks.length).keys()].forEach((link) => removeActive(link)); + + // activate the anchor for a section associated with this TOC entry + tocLinks.forEach((link) => { + link.addEventListener("click", () => { + if (link.href.indexOf("#") !== -1) { + const anchor = link.href.split("#")[1]; + const heading = window.document.querySelector( + `[data-anchor-id="${anchor}"]` + ); + if (heading) { + // Add the class + heading.classList.add("reveal-anchorjs-link"); + + // function to show the anchor + const handleMouseout = () => { + heading.classList.remove("reveal-anchorjs-link"); + heading.removeEventListener("mouseout", handleMouseout); + }; + + // add a function to clear the anchor when the user mouses out of it + heading.addEventListener("mouseout", handleMouseout); + } + } + }); + }); + + const sections = tocLinks.map((link) => { + const target = link.getAttribute("data-scroll-target"); + if (target.startsWith("#")) { + return window.document.getElementById(decodeURI(`${target.slice(1)}`)); + } else { + return window.document.querySelector(decodeURI(`${target}`)); + } + }); + + const sectionMargin = 200; + let currentActive = 0; + // track whether we've initialized state the first time + let init = false; + + const updateActiveLink = () => { + // The index from bottom to top (e.g. reversed list) + let sectionIndex = -1; + if ( + window.innerHeight + window.pageYOffset >= + window.document.body.offsetHeight + ) { + // This is the no-scroll case where last section should be the active one + sectionIndex = 0; + } else { + // This finds the last section visible on screen that should be made active + sectionIndex = [...sections].reverse().findIndex((section) => { + if (section) { + return window.pageYOffset >= section.offsetTop - sectionMargin; + } else { + return false; + } + }); + } + if (sectionIndex > -1) { + const current = sections.length - sectionIndex - 1; + if (current !== currentActive) { + removeAllActive(); + currentActive = current; + makeActive(current); + if (init) { + window.dispatchEvent(sectionChanged); + } + init = true; + } + } + }; + + const inHiddenRegion = (top, bottom, hiddenRegions) => { + for (const region of hiddenRegions) { + if (top <= region.bottom && bottom >= region.top) { + return true; + } + } + return false; + }; + + const categorySelector = "header.quarto-title-block .quarto-category"; + const activateCategories = (href) => { + // Find any categories + // Surround them with a link pointing back to: + // #category=Authoring + try { + const categoryEls = window.document.querySelectorAll(categorySelector); + for (const categoryEl of categoryEls) { + const categoryText = categoryEl.textContent; + if (categoryText) { + const link = `${href}#category=${encodeURIComponent(categoryText)}`; + const linkEl = window.document.createElement("a"); + linkEl.setAttribute("href", link); + for (const child of categoryEl.childNodes) { + linkEl.append(child); + } + categoryEl.appendChild(linkEl); + } + } + } catch { + // Ignore errors + } + }; + function hasTitleCategories() { + return window.document.querySelector(categorySelector) !== null; + } + + function offsetRelativeUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + return offset ? offset + url : url; + } + + function offsetAbsoluteUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + const baseUrl = new URL(offset, window.location); + + const projRelativeUrl = url.replace(baseUrl, ""); + if (projRelativeUrl.startsWith("/")) { + return projRelativeUrl; + } else { + return "/" + projRelativeUrl; + } + } + + // read a meta tag value + function getMeta(metaName) { + const metas = window.document.getElementsByTagName("meta"); + for (let i = 0; i < metas.length; i++) { + if (metas[i].getAttribute("name") === metaName) { + return metas[i].getAttribute("content"); + } + } + return ""; + } + + async function findAndActivateCategories() { + const currentPagePath = offsetAbsoluteUrl(window.location.href); + const response = await fetch(offsetRelativeUrl("listings.json")); + if (response.status == 200) { + return response.json().then(function (listingPaths) { + const listingHrefs = []; + for (const listingPath of listingPaths) { + const pathWithoutLeadingSlash = listingPath.listing.substring(1); + for (const item of listingPath.items) { + if ( + item === currentPagePath || + item === currentPagePath + "index.html" + ) { + // Resolve this path against the offset to be sure + // we already are using the correct path to the listing + // (this adjusts the listing urls to be rooted against + // whatever root the page is actually running against) + const relative = offsetRelativeUrl(pathWithoutLeadingSlash); + const baseUrl = window.location; + const resolvedPath = new URL(relative, baseUrl); + listingHrefs.push(resolvedPath.pathname); + break; + } + } + } + + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const nearestListing = findNearestParentListing( + offsetAbsoluteUrl(window.location.pathname), + listingHrefs + ); + if (nearestListing) { + activateCategories(nearestListing); + } else { + // See if the referrer is a listing page for this item + const referredRelativePath = offsetAbsoluteUrl(document.referrer); + const referrerListing = listingHrefs.find((listingHref) => { + const isListingReferrer = + listingHref === referredRelativePath || + listingHref === referredRelativePath + "index.html"; + return isListingReferrer; + }); + + if (referrerListing) { + // Try to use the referrer if possible + activateCategories(referrerListing); + } else if (listingHrefs.length > 0) { + // Otherwise, just fall back to the first listing + activateCategories(listingHrefs[0]); + } + } + }); + } + } + if (hasTitleCategories()) { + findAndActivateCategories(); + } + + const findNearestParentListing = (href, listingHrefs) => { + if (!href || !listingHrefs) { + return undefined; + } + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const relativeParts = href.substring(1).split("/"); + while (relativeParts.length > 0) { + const path = relativeParts.join("/"); + for (const listingHref of listingHrefs) { + if (listingHref.startsWith(path)) { + return listingHref; + } + } + relativeParts.pop(); + } + + return undefined; + }; + + const manageSidebarVisiblity = (el, placeholderDescriptor) => { + let isVisible = true; + let elRect; + + return (hiddenRegions) => { + if (el === null) { + return; + } + + // Find the last element of the TOC + const lastChildEl = el.lastElementChild; + + if (lastChildEl) { + // Converts the sidebar to a menu + const convertToMenu = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 0; + child.style.overflow = "hidden"; + child.style.pointerEvents = "none"; + } + + nexttick(() => { + const toggleContainer = window.document.createElement("div"); + toggleContainer.style.width = "100%"; + toggleContainer.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContainer.classList.add("quarto-sidebar-toggle"); + toggleContainer.classList.add("headroom-target"); // Marks this to be managed by headeroom + toggleContainer.id = placeholderDescriptor.id; + toggleContainer.style.position = "fixed"; + + const toggleIcon = window.document.createElement("i"); + toggleIcon.classList.add("quarto-sidebar-toggle-icon"); + toggleIcon.classList.add("bi"); + toggleIcon.classList.add("bi-caret-down-fill"); + + const toggleTitle = window.document.createElement("div"); + const titleEl = window.document.body.querySelector( + placeholderDescriptor.titleSelector + ); + if (titleEl) { + toggleTitle.append( + titleEl.textContent || titleEl.innerText, + toggleIcon + ); + } + toggleTitle.classList.add("zindex-over-content"); + toggleTitle.classList.add("quarto-sidebar-toggle-title"); + toggleContainer.append(toggleTitle); + + const toggleContents = window.document.createElement("div"); + toggleContents.classList = el.classList; + toggleContents.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContents.classList.add("quarto-sidebar-toggle-contents"); + for (const child of el.children) { + if (child.id === "toc-title") { + continue; + } + + const clone = child.cloneNode(true); + clone.style.opacity = 1; + clone.style.pointerEvents = null; + clone.style.display = null; + toggleContents.append(clone); + } + toggleContents.style.height = "0px"; + const positionToggle = () => { + // position the element (top left of parent, same width as parent) + if (!elRect) { + elRect = el.getBoundingClientRect(); + } + toggleContainer.style.left = `${elRect.left}px`; + toggleContainer.style.top = `${elRect.top}px`; + toggleContainer.style.width = `${elRect.width}px`; + }; + positionToggle(); + + toggleContainer.append(toggleContents); + el.parentElement.prepend(toggleContainer); + + // Process clicks + let tocShowing = false; + // Allow the caller to control whether this is dismissed + // when it is clicked (e.g. sidebar navigation supports + // opening and closing the nav tree, so don't dismiss on click) + const clickEl = placeholderDescriptor.dismissOnClick + ? toggleContainer + : toggleTitle; + + const closeToggle = () => { + if (tocShowing) { + toggleContainer.classList.remove("expanded"); + toggleContents.style.height = "0px"; + tocShowing = false; + } + }; + + // Get rid of any expanded toggle if the user scrolls + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + closeToggle(); + }, 50) + ); + + // Handle positioning of the toggle + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + elRect = undefined; + positionToggle(); + }, 50) + ); + + window.addEventListener("quarto-hrChanged", () => { + elRect = undefined; + }); + + // Process the click + clickEl.onclick = () => { + if (!tocShowing) { + toggleContainer.classList.add("expanded"); + toggleContents.style.height = null; + tocShowing = true; + } else { + closeToggle(); + } + }; + }); + }; + + // Converts a sidebar from a menu back to a sidebar + const convertToSidebar = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 1; + child.style.overflow = null; + child.style.pointerEvents = null; + } + + const placeholderEl = window.document.getElementById( + placeholderDescriptor.id + ); + if (placeholderEl) { + placeholderEl.remove(); + } + + el.classList.remove("rollup"); + }; + + if (isReaderMode()) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } else { + // Find the top and bottom o the element that is being managed + const elTop = el.offsetTop; + const elBottom = + elTop + lastChildEl.offsetTop + lastChildEl.offsetHeight; + + if (!isVisible) { + // If the element is current not visible reveal if there are + // no conflicts with overlay regions + if (!inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToSidebar(); + isVisible = true; + } + } else { + // If the element is visible, hide it if it conflicts with overlay regions + // and insert a placeholder toggle (or if we're in reader mode) + if (inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } + } + } + } + }; + }; + + const tabEls = document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + for (const tabEl of tabEls) { + const id = tabEl.getAttribute("data-bs-target"); + if (id) { + const columnEl = document.querySelector( + `${id} .column-margin, .tabset-margin-content` + ); + if (columnEl) + tabEl.addEventListener("shown.bs.tab", function (event) { + const el = event.srcElement; + if (el) { + const visibleCls = `${el.id}-margin-content`; + // walk up until we find a parent tabset + let panelTabsetEl = el.parentElement; + while (panelTabsetEl) { + if (panelTabsetEl.classList.contains("panel-tabset")) { + break; + } + panelTabsetEl = panelTabsetEl.parentElement; + } + + if (panelTabsetEl) { + const prevSib = panelTabsetEl.previousElementSibling; + if ( + prevSib && + prevSib.classList.contains("tabset-margin-container") + ) { + const childNodes = prevSib.querySelectorAll( + ".tabset-margin-content" + ); + for (const childEl of childNodes) { + if (childEl.classList.contains(visibleCls)) { + childEl.classList.remove("collapse"); + } else { + childEl.classList.add("collapse"); + } + } + } + } + } + + layoutMarginEls(); + }); + } + } + + // Manage the visibility of the toc and the sidebar + const marginScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(marginSidebarEl, { + id: "quarto-toc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + const sidebarScrollVisiblity = manageSidebarVisiblity(sidebarEl, { + id: "quarto-sidebarnav-toggle", + titleSelector: ".title", + dismissOnClick: false, + }); + let tocLeftScrollVisibility; + if (leftTocEl) { + tocLeftScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(leftTocEl, { + id: "quarto-lefttoc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + } + + // Find the first element that uses formatting in special columns + const conflictingEls = window.document.body.querySelectorAll( + '[class^="column-"], [class*=" column-"], aside, [class*="margin-caption"], [class*=" margin-caption"], [class*="margin-ref"], [class*=" margin-ref"]' + ); + + // Filter all the possibly conflicting elements into ones + // the do conflict on the left or ride side + const arrConflictingEls = Array.from(conflictingEls); + const leftSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return false; + } + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("right") && + !className.endsWith("container") && + className !== "column-margin" + ); + }); + }); + const rightSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return true; + } + + const hasMarginCaption = Array.from(el.classList).find((className) => { + return className == "margin-caption"; + }); + if (hasMarginCaption) { + return true; + } + + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + !className.endsWith("container") && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("left") + ); + }); + }); + + const kOverlapPaddingSize = 10; + function toRegions(els) { + return els.map((el) => { + const boundRect = el.getBoundingClientRect(); + const top = + boundRect.top + + document.documentElement.scrollTop - + kOverlapPaddingSize; + return { + top, + bottom: top + el.scrollHeight + 2 * kOverlapPaddingSize, + }; + }); + } + + let hasObserved = false; + const visibleItemObserver = (els) => { + let visibleElements = [...els]; + const intersectionObserver = new IntersectionObserver( + (entries, _observer) => { + entries.forEach((entry) => { + if (entry.isIntersecting) { + if (visibleElements.indexOf(entry.target) === -1) { + visibleElements.push(entry.target); + } + } else { + visibleElements = visibleElements.filter((visibleEntry) => { + return visibleEntry !== entry; + }); + } + }); + + if (!hasObserved) { + hideOverlappedSidebars(); + } + hasObserved = true; + }, + {} + ); + els.forEach((el) => { + intersectionObserver.observe(el); + }); + + return { + getVisibleEntries: () => { + return visibleElements; + }, + }; + }; + + const rightElementObserver = visibleItemObserver(rightSideConflictEls); + const leftElementObserver = visibleItemObserver(leftSideConflictEls); + + const hideOverlappedSidebars = () => { + marginScrollVisibility(toRegions(rightElementObserver.getVisibleEntries())); + sidebarScrollVisiblity(toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries())); + if (tocLeftScrollVisibility) { + tocLeftScrollVisibility( + toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries()) + ); + } + }; + + window.quartoToggleReader = () => { + // Applies a slow class (or removes it) + // to update the transition speed + const slowTransition = (slow) => { + const manageTransition = (id, slow) => { + const el = document.getElementById(id); + if (el) { + if (slow) { + el.classList.add("slow"); + } else { + el.classList.remove("slow"); + } + } + }; + + manageTransition("TOC", slow); + manageTransition("quarto-sidebar", slow); + }; + const readerMode = !isReaderMode(); + setReaderModeValue(readerMode); + + // If we're entering reader mode, slow the transition + if (readerMode) { + slowTransition(readerMode); + } + highlightReaderToggle(readerMode); + hideOverlappedSidebars(); + + // If we're exiting reader mode, restore the non-slow transition + if (!readerMode) { + slowTransition(!readerMode); + } + }; + + const highlightReaderToggle = (readerMode) => { + const els = document.querySelectorAll(".quarto-reader-toggle"); + if (els) { + els.forEach((el) => { + if (readerMode) { + el.classList.add("reader"); + } else { + el.classList.remove("reader"); + } + }); + } + }; + + const setReaderModeValue = (val) => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + window.localStorage.setItem("quarto-reader-mode", val); + } else { + localReaderMode = val; + } + }; + + const isReaderMode = () => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + return window.localStorage.getItem("quarto-reader-mode") === "true"; + } else { + return localReaderMode; + } + }; + let localReaderMode = null; + + const tocOpenDepthStr = tocEl?.getAttribute("data-toc-expanded"); + const tocOpenDepth = tocOpenDepthStr ? Number(tocOpenDepthStr) : 1; + + // Walk the TOC and collapse/expand nodes + // Nodes are expanded if: + // - they are top level + // - they have children that are 'active' links + // - they are directly below an link that is 'active' + const walk = (el, depth) => { + // Tick depth when we enter a UL + if (el.tagName === "UL") { + depth = depth + 1; + } + + // It this is active link + let isActiveNode = false; + if (el.tagName === "A" && el.classList.contains("active")) { + isActiveNode = true; + } + + // See if there is an active child to this element + let hasActiveChild = false; + for (child of el.children) { + hasActiveChild = walk(child, depth) || hasActiveChild; + } + + // Process the collapse state if this is an UL + if (el.tagName === "UL") { + if (tocOpenDepth === -1 && depth > 1) { + // toc-expand: false + el.classList.add("collapse"); + } else if ( + depth <= tocOpenDepth || + hasActiveChild || + prevSiblingIsActiveLink(el) + ) { + el.classList.remove("collapse"); + } else { + el.classList.add("collapse"); + } + + // untick depth when we leave a UL + depth = depth - 1; + } + return hasActiveChild || isActiveNode; + }; + + // walk the TOC and expand / collapse any items that should be shown + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + + // Throttle the scroll event and walk peridiocally + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 5) + ); + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 10) + ); + hideOverlappedSidebars(); + highlightReaderToggle(isReaderMode()); +}); + +// grouped tabsets +window.addEventListener("pageshow", (_event) => { + function getTabSettings() { + const data = localStorage.getItem("quarto-persistent-tabsets-data"); + if (!data) { + localStorage.setItem("quarto-persistent-tabsets-data", "{}"); + return {}; + } + if (data) { + return JSON.parse(data); + } + } + + function setTabSettings(data) { + localStorage.setItem( + "quarto-persistent-tabsets-data", + JSON.stringify(data) + ); + } + + function setTabState(groupName, groupValue) { + const data = getTabSettings(); + data[groupName] = groupValue; + setTabSettings(data); + } + + function toggleTab(tab, active) { + const tabPanelId = tab.getAttribute("aria-controls"); + const tabPanel = document.getElementById(tabPanelId); + if (active) { + tab.classList.add("active"); + tabPanel.classList.add("active"); + } else { + tab.classList.remove("active"); + tabPanel.classList.remove("active"); + } + } + + function toggleAll(selectedGroup, selectorsToSync) { + for (const [thisGroup, tabs] of Object.entries(selectorsToSync)) { + const active = selectedGroup === thisGroup; + for (const tab of tabs) { + toggleTab(tab, active); + } + } + } + + function findSelectorsToSyncByLanguage() { + const result = {}; + const tabs = Array.from( + document.querySelectorAll(`div[data-group] a[id^='tabset-']`) + ); + for (const item of tabs) { + const div = item.parentElement.parentElement.parentElement; + const group = div.getAttribute("data-group"); + if (!result[group]) { + result[group] = {}; + } + const selectorsToSync = result[group]; + const value = item.innerHTML; + if (!selectorsToSync[value]) { + selectorsToSync[value] = []; + } + selectorsToSync[value].push(item); + } + return result; + } + + function setupSelectorSync() { + const selectorsToSync = findSelectorsToSyncByLanguage(); + Object.entries(selectorsToSync).forEach(([group, tabSetsByValue]) => { + Object.entries(tabSetsByValue).forEach(([value, items]) => { + items.forEach((item) => { + item.addEventListener("click", (_event) => { + setTabState(group, value); + toggleAll(value, selectorsToSync[group]); + }); + }); + }); + }); + return selectorsToSync; + } + + const selectorsToSync = setupSelectorSync(); + for (const [group, selectedName] of Object.entries(getTabSettings())) { + const selectors = selectorsToSync[group]; + // it's possible that stale state gives us empty selections, so we explicitly check here. + if (selectors) { + toggleAll(selectedName, selectors); + } + } +}); + +function throttle(func, wait) { + let waiting = false; + return function () { + if (!waiting) { + func.apply(this, arguments); + waiting = true; + setTimeout(function () { + waiting = false; + }, wait); + } + }; +} + +function nexttick(func) { + return setTimeout(func, 0); +} diff --git a/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css new file mode 100644 index 0000000..e6ae635 --- /dev/null +++ b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css @@ -0,0 +1 @@ +.tippy-box[data-animation=fade][data-state=hidden]{opacity:0}[data-tippy-root]{max-width:calc(100vw - 10px)}.tippy-box{position:relative;background-color:#333;color:#fff;border-radius:4px;font-size:14px;line-height:1.4;white-space:normal;outline:0;transition-property:transform,visibility,opacity}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow{bottom:0}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow:before{bottom:-7px;left:0;border-width:8px 8px 0;border-top-color:initial;transform-origin:center top}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow{top:0}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow:before{top:-7px;left:0;border-width:0 8px 8px;border-bottom-color:initial;transform-origin:center bottom}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow{right:0}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow:before{border-width:8px 0 8px 8px;border-left-color:initial;right:-7px;transform-origin:center left}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow{left:0}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow:before{left:-7px;border-width:8px 8px 8px 0;border-right-color:initial;transform-origin:center right}.tippy-box[data-inertia][data-state=visible]{transition-timing-function:cubic-bezier(.54,1.5,.38,1.11)}.tippy-arrow{width:16px;height:16px;color:#333}.tippy-arrow:before{content:"";position:absolute;border-color:transparent;border-style:solid}.tippy-content{position:relative;padding:5px 9px;z-index:1} \ No newline at end of file diff --git a/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js new file mode 100644 index 0000000..ca292be --- /dev/null +++ b/complementos/Contrastes_de_Hipotesis(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js @@ -0,0 +1,2 @@ +!function(e,t){"object"==typeof exports&&"undefined"!=typeof module?module.exports=t(require("@popperjs/core")):"function"==typeof define&&define.amd?define(["@popperjs/core"],t):(e=e||self).tippy=t(e.Popper)}(this,(function(e){"use strict";var t={passive:!0,capture:!0},n=function(){return document.body};function 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top=20mm + - left=15mm + papersize: A4 +quarto: + chunk_options: + echo: true + cache: false + prompt: false + tidy: true + comment: NA + message: false + warning: false + knit_options: + width: 75 +reference-location: margin +execute: + echo: true + message: false + warning: false + cache: true +# bibliography: "../StatisticalLearning.bib" +editor_options: + chunk_output_type: console +editor: + markdown: + wrap: 72 +--- + +```{r eval=FALSE, echo=FALSE} +# quarto::quarto_render("EstadMat-AllChap(ES).qmd", output_format = "all") +``` + + +## Introducción + +Antes de introducir los conceptos asociados al contraste estadístico de hipótesis, es conveniente situar este tema en el contexto más general de la confirmación de hipótesis, materia que la filosofía de la ciencia estudia en profundidad. Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema. + +Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma: + +- a) se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, ...) sobre el fenómeno de estudio +- b) se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría +- c) si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida +- d) si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental. +- e) cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores. + +Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán o bien totalmente contradictorios con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) o bien concordantes con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla). + +Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría. + +Debe quedar claro al lector que el esquema anterior no es el de un contraste estadístico, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d). + +Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis. + +## Del lenguaje natural a la hipótesis paramétrica + +Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural. + +Quizás convenga recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una proposición sobre la realidad. Por ejemplo, si se considera una determinada especie de pájaros, una hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo, si el problema trata ahora sobre una determinada hormona humana, consiste en proponer como hipótesis que la tasa se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante. + +Statmedia incluye básicamente una inferencia basada en la estadística paramétrica. En relación con esta perspectiva, los fenómenos reales se modelan según una determinada ley de probabilidad: por ejemplo una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc. + +Esto conlleva que en estadística paramétrica las proposiciones -hipótesis- se formulen en función de los parámetros del modelo de distribución que modelan aquel aspecto de la realidad. + +Este es por tanto el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador: trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre parámetros, que es la forma en que la estadística paramétrica comprueba las hipótesis. + +En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes. + +### Cas 1: Presentación del caso + +Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido. + +El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo. + +El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos. + +### Cas 1: Modelo de probabilidad + +El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos: + +$$ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +$$ + +la distribución de $X$ es una distribución binomial, de parámetros $n=10$ y $p$ desconocida. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +el único parámetro desconocido es la proporción $\boldsymbol{p}$ de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a $p$. + +### Cas 2: Presentación del caso + +En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona(*), que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje. + +No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de $\mathbf{1 . 5}$ unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante. +(*) La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales. + +### Cas 2: Modelo de probabilidad + +El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por $\mathrm{mil} \cdot$ litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales. + +Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite. + +Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable: + +$$ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +$$ + +se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro $\mu$ desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como $\sigma=2.4$ (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante el tema 10). + +La fórmula de la densidad Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población $\boldsymbol{\mu}$, a la que se referirán las hipótesis estadísticas. + +Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ para un deportista, y consideramos que el muestreo es aleatorio simple, entonces: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +$$ + +que tendrá una densidad de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expresión más general para todo $n$ sería: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densidad para todo $n$ es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +Y una expresión para todo $n$ y cualquier varianza es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +## Hipótesis nula contra hipótesis alternativa + +Un contraste de hipótesis estadístico se plantea como una decisión entre dos hipótesis. +La hipótesis nula consiste en una afirmación sobre la población de origen de la muestra. Usualmente es más simple (menor número de parámetros, por ejemplo) que su antagonista. La hipótesis nula se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación sobre la población de origen. Muchas veces, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de $\mathrm{H}_{0}$. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{1}$. + +De momento trataremos el caso más sencillo, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro $\theta$ (theta). La formulación es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ + +En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis simple contra simple. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro $\theta$ solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto. + +### Cas 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras + +El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es $\mathbf{0 . 5}$. + +En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro $p$ en la variable Binomial es 0.6. + +Así pues, si $X$ es el número de hembras en 10 nidos, y $p$ es la proporción de hembras, la forma final del contraste es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecto a los datos obtenidos por da Souza son: + +| Nido | Polluelo | Nido | Polluelo | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | hembra | 6 | macho | +| 2 | macho | 7 | hembra | +| 3 | hembra | 8 | hembra | +| 4 | hembra | 9 | macho | +| 5 | macho | 10 | hembra | + +En resumen, ha observado que en $\mathbf{6}$ de los nidos hay una hembra. + +### Cas 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona + +Las autoridades deportivas postulan una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que ADG indica una media de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tanto para $\mathrm{H}_{0}$ como para $\mathrm{H}_{1}$ el modelo contempla $\sigma=2,4$. +Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes: + +| Individuo | Concentración | Individuo | Concentración | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La media aritmética de los 16 atletas es $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +## Compatibilidad de resultados e hipótesis + +Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta. + +En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa. + +Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella. + +Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo $\mathrm{H}_{0}$ como bajo $\mathrm{H}_{1}$. Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis. + +En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis. + +### Cas 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras. + +Como ya hemos visto, $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-08.jpg?height=521&width=849&top_left_y=1941&top_left_x=609) + +Al igual que para $\mathrm{H}_{0}$, la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo $\mathrm{H}_{1}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-09.jpg?height=507&width=838&top_left_y=386&top_left_x=615) + +Consultando Statmedia en su formato Html se puede comprobar qué probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad $p$ de la población. Podemos entender estas diferentes " $p$ " como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepto en los casos triviales $p=0$ o $p=1$, no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas. + +### Cas 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +La asociación ADG ha obtenido una muestra con media $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media. + +En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$ expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ más cercanos a la media bajo $\mathrm{H}_{0}$. + +(Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.) + +En el caso de $\mathrm{H}_{1}$ tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{1}$ expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$: + +(Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.) + +## No todo es igualmente probable... + +La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bien $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error. + +### Cas 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo $\mathrm{H}_{0}$ + +Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para $X$: $0,1, \ldots$, hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis $p=0.5$ resulta poco verosímil. + +Es importante entender que el verdadero valor de $p$ (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor. + +Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +(Se muestra la tabla de probabilidades correspondientes.) + +### Cas 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple $\mathrm{H}_{0}$ + +De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula. + +En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expresada como intervalo, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +(Se muestran las probabilidades correspondientes.) + +## El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión + +Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar $\mathrm{H}_{1}$. En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a $\mathrm{H}_{0}$, en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- $\mathrm{H}_{0}$. A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta $\mathrm{H}_{0}$. En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional. + +### Cas 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante + +Definiremos la región crítica de la siguiente forma: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Por lo tanto, la región de aceptación será: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criterio de decisión será por tanto: + +- si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilidad de hembras es 0.6) +- si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilidad de hembras es 0.5) + +Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable. + +Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +## Hipótesis nula y nivel de significación + +Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar $H_{0}$ cuando ésta es cierta. + +Esta probabilidad se designa de forma equivalente como: + +- error de tipo I (o de primera especie) +- nivel de significación del contraste + +y usualmente se simboliza con la letra griega alfa. +El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes: +- $\alpha=$ probabilidad de rechazo de $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, cuando $\mathrm{H}_{0}$ es cierta +- $\alpha=$ probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{0}$ es cierta. + +### Cas 1: Nivel de significación + +En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula $(p=0.5)$. Como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}$ cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1). + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta pues: $\quad \alpha=0.0547$. + +### Cas 1: Elección de la región crítica + +Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{0}$): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ahora bien, un criterio de decisión basado en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ es absurdo, teniendo en cuenta que $\mathrm{H}_{1}$ es $p=0.6$. Veamos por qué. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$. Si se elige $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ como región crítica, implica aceptar $\mathrm{H}_{1}$ cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (número hembras $<3 / \mathrm{H}_{1}$ cierta) $=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{1}$. En otras palabras, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos. + +### Cas 2: Elección de la región crítica + +A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criterio de decisión será, por tanto: +si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivel es 8.5) +Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X}>=7.987)$ de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +donde $F_{z}$ es la función de distribución de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La región crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ lleva asociado un nivel de significación $\alpha=0.05$. Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición: + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +## Región crítica y formalización del contraste + +La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación. +La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste. + +Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenemos: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisión: + +- si la muestra pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la muestra no pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalmente: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +$$ + +### Cas 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ número de hembras totales en los 10 nidos | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa $=\mathbf{f r}$ del número de hembras en los 10 nidos. + +### Cas 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ media de statdrolona en 16 atletas | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +La distribución del estadístico de test T bajo $\mathrm{H}_{0}$ es una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +## Tabla de decisión del contraste + +Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir: + +| | Hipótesis verdadera | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipótesis aceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipo II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipo I | - | + +Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes: + +- $1-\beta=$ probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{1}$, cuando $\mathrm{H}_{1}$ es cierta +- $1-\beta=$ probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{1}$ es cierta + +En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará $\mathrm{H}_{1}$ según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores. + +Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori. + +Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados. + +### Cas 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste + +El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +Supongamos que $\mathrm{H}_{1}$ es cierta, es decir, que $p=0,6$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +(Se muestra la tabla de probabilidades acumuladas.) + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $H_{1}/H_{1}$ cierta)= prob. $(T \leq 7/H_{1}$ cierta) $=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbólicamente corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +### Cas 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +Supongamos que es cierta $\mathrm{H}_{1}$, es decir, que $\mu=8.5$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +(Se muestra la tabla de probabilidades para la media.) + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}$ cierta)= prob. $(\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960$ +Simbólicamente, corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +## Relación entre el error de tipo I y el de tipo II + +Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis. + +Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta $\mathrm{H}_{0}$, es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre $\mathrm{H}_{0}$, independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre $H_{0}$! Así, reducir $\alpha$ a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre $\mathrm{H}_{1}$, lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir $\alpha$ conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- $\beta$. + +### Cas 1: Evaluación de $\alpha$ y 1- $\beta$ para diferentes regiones críticas + +Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva del documento se puede cambiar dinámicamente la región crítica y se calculan automáticamente los errores: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, donde $a$ es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica $\{8,9,10\}$. La hipótesis alternativa considerada es $p_{1}=0.6$, tal y como se indica en la leyenda del gráfico. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Cas 2: Relación entre los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +y para cada región crítica de la forma $[a,+\infty)$ se calculan $\alpha$ y $1-\beta$. En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a $\mu_{0}$. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Potencia y test más potente + +La potencia de un contraste se define como: +$\beta=$ prob.(aceptar $H_{1}/H_{1}$ cierta) = prob.(muestra pertenezca a $W_{a}/H_{1}$ cierta) +es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II. +Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible). + +En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}$ y el nivel de significación $\alpha$, proporcione la potencia más alta entre todos ellos. + +Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si $mp$ designa el test más potente, deberá cumplir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +$$ + +donde $t$ es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que $mp$. + +### Cas 1: Potencia en hipótesis simple vs simple + +En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Se puede leer entonces que la potencia es: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo. + +### Cas 2: Potencia en hipótesis simple vs simple + +Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla). + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +La definición de potencia aplicada a este caso resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el documento interactivo se especifica la expresión para todo $n$. + +## Efecto del tamaño muestral + +Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población). + +Una vez elegido $\alpha$, quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de $\alpha$ es incrementar el tamaño muestral $N$. + +Aumentar $N$ varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener $\boldsymbol{\alpha}$ constante y aumentar $N$ se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta? + +### Cas 1 + +En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Cas 2 + +Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para $N=16$ y $N=30$) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar $N$, las distribuciones en el muestreo de la media bajo $\mathrm{H}_{0}$ y $\mathrm{H}_{1}$ presentan cada vez un menor solapamiento. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se observa el efecto de $N$ para todo el rango de regiones críticas: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas + +Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral. + +Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple. + +### Cas 1: Hipótesis compuestas + +Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en: + +(Se muestra la tabla con la región crítica anterior.) + +Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con $\mathrm{T}=0$. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5). + +El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +(Se muestra figura con valores destacados.) + +la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral. + +### Cas 2: Hipótesis compuestas + +A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple). + +Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con $\mu<7$). + +Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +Se obtiene $\alpha=0.1$. En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +Donde: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +## Función de potencia + +Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, $\theta$ presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +$$ + +no se puede calcular globalmente para toda $\mathrm{H}_{1}$, sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de $\mathrm{H}_{1}$. De ahí el interés de definir la función de potencia: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +$$ + +donde $\theta$ es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ es simple (un solo parámetro $\theta_{0}$), resultará: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +$$ + +### Cas 1: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia $(\beta)$ inicialmente para $p=0.6$ y para $p=0.8$ (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo $\mathrm{H}_{1}$): + +(Se muestran las tablas correspondientes.) + +En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros: + +(Se muestran figuras correspondientes.) + +### Cas 2: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la media concreta $\mu_{1}$ que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( $\beta$ ) inicialmente para $\mu=8.5$. En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 y que respectivamente corresponden a $n=16$ (la situación de este caso 2) y a $n=1$. En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a $\beta: \alpha, \sigma y n$ y compararlos con la situación original. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +## Tests óptimos + +En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa. + +El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por Statmedia. El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo. + +## Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales + +Un contraste bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| el izquierdo es: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos de que se encarga Statmedia, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta. + +En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder. + +### Cas 1: Prueba unilateral + +Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico $\theta$ por p, y el valor $\theta_{0}=0.5$. Tomando la región crítica como $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación: + +(Se muestra la tabla de probabilidades para p=0.5.) + +En el documento interactivo se incluye un cuadro donde se puede explorar la potencia con diferentes alternativas. + +### Cas 2: Prueba unilateral + +El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +se obtiene $\alpha=0.05$. En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación): + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Simbólicamente, se calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la $\mu$ concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una $\sigma=2.4$ poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal. + +## Elección del nivel de significación + +¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué $\alpha$ usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es $\alpha=0.05$ (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo $\alpha=0.01$ (1%) y $\alpha=0.1$ (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores. + +Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier $\alpha$. Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación. + +No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre $1-\beta$. La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado. + +Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario. + +## El p-valor + +La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$) conlleva aceptar $\mathrm{H}_{0}$. Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta $\mathrm{H}_{0}$. Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa. + +Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo $\boldsymbol{\alpha}$. Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando $\mathrm{H}_{0}$ con un $\alpha$ fijo. + +Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el "significance level", cuya traducción literal es "nivel de significación", cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor ("p-value"). + +### Cas 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Sigamos con la hipótesis unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Supongamos que, una vez obtenida la muestra de $n=10$ nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier $\alpha$. + +El p-valor es el menor $\alpha$ que permite aceptar $\mathrm{H}_{1}$. Con la tabla siguiente: + +(Se muestra la tabla con probabilidades acumuladas desde 0.) + +Se obtiene el p-valor asociado a $\mathrm{T}=6$ hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos: + +1. Si se escogiera $\alpha=0.1719$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar $H_{0}$. Por tanto, $\alpha$ no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar $\mathrm{H}_{0}$: $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ debe ser forzosamente mayor. +2. Si se eligiera $\alpha^{\prime}=0.3770$, la región crítica correspondiente sería $W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime}$ se rechazaría $H_{0}$. +3. Si se seleccionara $\alpha^{\prime\prime}=0.6230$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime\prime}$ también se rechazaría $\mathrm{H}_{0}$. + +Observamos que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}$, y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, $\alpha^{\prime}$ es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos $H_{0}$ con la muestra actual o, dicho de otro modo, $\alpha^{\prime}$ es el p-valor. + +Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,...), que devuelve simplemente la información $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves. + +Pues bien, en este momento, se deberá comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, $\alpha=0.05$): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T $\geq 6$ hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$ y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vez más, hay que insistir en que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que $\alpha$ es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia. + +### Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como $\mathrm{T}=8.54$, el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de la cola. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{0}$, ya que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula. + +El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar $\alpha$ en ningún sentido: $\alpha$ se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II. + +### Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral) + +Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de $\mathrm{T}=8.54$, la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a $\mu=7$, es decir, la cola izquierda situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, puesto que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con $\mathrm{p}_{uni}$ y $\mathrm{p}_{bil}$, respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que: + +- Si $\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral. +- Si $\mathrm{p}_{uni}>0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral. + +## Pruebas exactas y pruebas asintóticas + +Los dos errores ( $\alpha$ y $1-\beta$ ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada. + +Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra $N$ qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo $N$. Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales. + +En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de $N$, y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado. + +### Cas 1: Test asintótico + +Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico $T=$ número de hembras en diez nidos, que es una Binomial $(n, p)$, con $n=10$ y $p$ desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra $n$. No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de $T$ es: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Por ejemplo, si se pretende contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +con $n=36$, bajo $\mathrm{H}_{0} T$ será aproximadamente $N(18,3)$. En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes $n$ y diferentes valores de T. Por ejemplo, para $n=36$ y 28 hembras las diferencias son: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando $n>30$. + +### Cas 2: Test exacto + +Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de $n$ atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc. + +## Relación con los intervalos de confianza + +Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +se puede resolver planteando el intervalo de confianza para $\theta$, con coeficiente de confianza $1-\alpha$. Supongamos que el intervalo obtenido es $[a ; b]$. Entonces, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Este contraste tendrá como nivel de significación $\alpha$. Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya $\theta_{0}$. + +Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto. + +### Cas 2: Relación con los intervalos de confianza + +En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si tomamos como nivel de confianza $1-\alpha=0.95$, con los datos obtenidos resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +Es decir, se obtiene el intervalo $[\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]$. Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es $\mu=7$, y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral. + +## Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa + +Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, $N$ debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores $N \geq 30$ son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta. + +El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa $\Delta$. + +Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales. + +El significado de $\Delta$ es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo $(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)$. En cambio, $\theta_{0} \pm \Delta$ son los dos primeros puntos, a medida que $\theta$ se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de $\theta_{0}$. Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que $\Delta$. + +La elección concreta del valor de $\Delta$ depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística. + +Una vez elegidos $\Delta$ y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo. + +### Cas 2: Cálculo del tamaño de la muestra + +El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo $n$ que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa ($\boldsymbol{\Delta}$) y la potencia ($\boldsymbol{\beta}$) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +con las condiciones siguientes del experimento fijadas: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que $\mu_{0}=7$, respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con $\mathrm{H}_{0}$, excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de $n$ que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ corresponde a la hipótesis simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de $n$ atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es $n$. Las constantes $z_{\alpha / 2}$ y $z_{1-\beta}$ corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo: + +$$ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Para los valores extremos de $\alpha(0)$ y de $\beta(1)$, el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior. + +## Esquema de un contraste correctamente planteado + +Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes: + +| 1) nivel de significación $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferencia mínima
significativa $\Delta$ | Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
concreto de aplicación. | +| 3) potencia deseada en el
punto a distancia $\Delta$ | Si no se tiene un criterio definido, se tomará $\beta=0.8$ para
$\alpha=0.05$. | + +Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste. + +## Significación estadística y significación aplicada + +Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido. + +Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra $N$ y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados. + +En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo. + +En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que: + +- si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A. +- si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A. + +### Cas 2: Significación estadística y aplicada + +Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ya hemos visto que la conclusión, para $\alpha=0.05$, era indicar que hay significación estadística. + +Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es: +y permite afirmar que también hay significación aplicada. +Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza: + +Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica. + diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" new file mode 100644 index 0000000..285e444 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" @@ -0,0 +1,2078 @@ +/*! + * Bootstrap Icons v1.11.1 (https://icons.getbootstrap.com/) + * Copyright 2019-2023 The Bootstrap Authors + * Licensed under MIT (https://github.com/twbs/icons/blob/main/LICENSE) + */ + +@font-face { + font-display: block; + font-family: "bootstrap-icons"; + src: +url("./bootstrap-icons.woff?2820a3852bdb9a5832199cc61cec4e65") format("woff"); +} + +.bi::before, +[class^="bi-"]::before, +[class*=" bi-"]::before { + display: inline-block; + font-family: bootstrap-icons !important; + font-style: normal; + font-weight: normal !important; + font-variant: normal; + text-transform: none; + line-height: 1; + vertical-align: -.125em; + -webkit-font-smoothing: antialiased; + -moz-osx-font-smoothing: grayscale; +} + +.bi-123::before { content: "\f67f"; } +.bi-alarm-fill::before { content: "\f101"; } +.bi-alarm::before { content: "\f102"; } +.bi-align-bottom::before { content: "\f103"; } +.bi-align-center::before { content: "\f104"; } +.bi-align-end::before { content: "\f105"; } +.bi-align-middle::before { content: "\f106"; } +.bi-align-start::before { content: "\f107"; } +.bi-align-top::before { content: "\f108"; } +.bi-alt::before { content: "\f109"; } +.bi-app-indicator::before { content: "\f10a"; } +.bi-app::before { content: "\f10b"; } +.bi-archive-fill::before { content: "\f10c"; } +.bi-archive::before { content: "\f10d"; } +.bi-arrow-90deg-down::before { content: "\f10e"; } +.bi-arrow-90deg-left::before { content: "\f10f"; } +.bi-arrow-90deg-right::before { content: "\f110"; } +.bi-arrow-90deg-up::before { content: 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t=t=>function(e){if(!e.relatedTarget||e.relatedTarget!==e.delegateTarget&&!e.delegateTarget.contains(e.relatedTarget))return t.call(this,e)};r=t(r)}const l=x(t),c=l[a]||(l[a]={}),h=k(c,r,o?i:null);if(h)return void(h.oneOff=h.oneOff&&s);const d=O(r,e.replace(v,"")),u=o?function(t,e,i){return function n(s){const o=t.querySelectorAll(e);for(let{target:r}=s;r&&r!==this;r=r.parentNode)for(const a of o)if(a===r)return P(s,{delegateTarget:r}),n.oneOff&&N.off(t,s.type,e,i),i.apply(r,[s])}}(t,i,r):function(t,e){return function i(n){return P(n,{delegateTarget:t}),i.oneOff&&N.off(t,n.type,e),e.apply(t,[n])}}(t,r);u.delegationSelector=o?i:null,u.callable=r,u.oneOff=s,u.uidEvent=d,c[d]=u,t.addEventListener(a,u,o)}function D(t,e,i,n,s){const o=k(e[i],n,s);o&&(t.removeEventListener(i,o,Boolean(s)),delete e[i][o.uidEvent])}function $(t,e,i,n){const s=e[i]||{};for(const[o,r]of Object.entries(s))o.includes(n)&&D(t,e,i,r.callable,r.delegationSelector)}function I(t){return t=t.replace(y,""),T[t]||t}const N={on(t,e,i,n){S(t,e,i,n,!1)},one(t,e,i,n){S(t,e,i,n,!0)},off(t,e,i,n){if("string"!=typeof e||!t)return;const[s,o,r]=L(e,i,n),a=r!==e,l=x(t),c=l[r]||{},h=e.startsWith(".");if(void 0===o){if(h)for(const i of Object.keys(l))$(t,l,i,e.slice(1));for(const[i,n]of Object.entries(c)){const s=i.replace(w,"");a&&!e.includes(s)||D(t,l,r,n.callable,n.delegationSelector)}}else{if(!Object.keys(c).length)return;D(t,l,r,o,s?i:null)}},trigger(t,e,i){if("string"!=typeof e||!t)return null;const n=u();let s=null,o=!0,r=!0,a=!1;e!==I(e)&&n&&(s=n.Event(e,i),n(t).trigger(s),o=!s.isPropagationStopped(),r=!s.isImmediatePropagationStopped(),a=s.isDefaultPrevented());const l=P(new Event(e,{bubbles:o,cancelable:!0}),i);return a&&l.preventDefault(),r&&t.dispatchEvent(l),l.defaultPrevented&&s&&s.preventDefault(),l}};function P(t,e={}){for(const[i,n]of Object.entries(e))try{t[i]=n}catch(e){Object.defineProperty(t,i,{configurable:!0,get:()=>n})}return t}function M(t){if("true"===t)return!0;if("false"===t)return!1;if(t===Number(t).toString())return Number(t);if(""===t||"null"===t)return null;if("string"!=typeof t)return t;try{return JSON.parse(decodeURIComponent(t))}catch(e){return t}}function j(t){return t.replace(/[A-Z]/g,(t=>`-${t.toLowerCase()}`))}const F={setDataAttribute(t,e,i){t.setAttribute(`data-bs-${j(e)}`,i)},removeDataAttribute(t,e){t.removeAttribute(`data-bs-${j(e)}`)},getDataAttributes(t){if(!t)return{};const e={},i=Object.keys(t.dataset).filter((t=>t.startsWith("bs")&&!t.startsWith("bsConfig")));for(const n of i){let i=n.replace(/^bs/,"");i=i.charAt(0).toLowerCase()+i.slice(1,i.length),e[i]=M(t.dataset[n])}return e},getDataAttribute:(t,e)=>M(t.getAttribute(`data-bs-${j(e)}`))};class H{static get Default(){return{}}static get DefaultType(){return{}}static get NAME(){throw new Error('You have to implement the static method "NAME", for each component!')}_getConfig(t){return t=this._mergeConfigObj(t),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}_configAfterMerge(t){return t}_mergeConfigObj(t,e){const i=o(e)?F.getDataAttribute(e,"config"):{};return{...this.constructor.Default,..."object"==typeof i?i:{},...o(e)?F.getDataAttributes(e):{},..."object"==typeof t?t:{}}}_typeCheckConfig(t,e=this.constructor.DefaultType){for(const[n,s]of Object.entries(e)){const e=t[n],r=o(e)?"element":null==(i=e)?`${i}`:Object.prototype.toString.call(i).match(/\s([a-z]+)/i)[1].toLowerCase();if(!new RegExp(s).test(r))throw new TypeError(`${this.constructor.NAME.toUpperCase()}: Option "${n}" provided type "${r}" but expected type "${s}".`)}var i}}class W extends H{constructor(t,i){super(),(t=r(t))&&(this._element=t,this._config=this._getConfig(i),e.set(this._element,this.constructor.DATA_KEY,this))}dispose(){e.remove(this._element,this.constructor.DATA_KEY),N.off(this._element,this.constructor.EVENT_KEY);for(const t of Object.getOwnPropertyNames(this))this[t]=null}_queueCallback(t,e,i=!0){_(t,e,i)}_getConfig(t){return t=this._mergeConfigObj(t,this._element),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}static getInstance(t){return e.get(r(t),this.DATA_KEY)}static getOrCreateInstance(t,e={}){return this.getInstance(t)||new this(t,"object"==typeof e?e:null)}static get VERSION(){return"5.3.1"}static get DATA_KEY(){return`bs.${this.NAME}`}static get EVENT_KEY(){return`.${this.DATA_KEY}`}static eventName(t){return`${t}${this.EVENT_KEY}`}}const B=t=>{let e=t.getAttribute("data-bs-target");if(!e||"#"===e){let i=t.getAttribute("href");if(!i||!i.includes("#")&&!i.startsWith("."))return null;i.includes("#")&&!i.startsWith("#")&&(i=`#${i.split("#")[1]}`),e=i&&"#"!==i?i.trim():null}return n(e)},z={find:(t,e=document.documentElement)=>[].concat(...Element.prototype.querySelectorAll.call(e,t)),findOne:(t,e=document.documentElement)=>Element.prototype.querySelector.call(e,t),children:(t,e)=>[].concat(...t.children).filter((t=>t.matches(e))),parents(t,e){const i=[];let n=t.parentNode.closest(e);for(;n;)i.push(n),n=n.parentNode.closest(e);return i},prev(t,e){let i=t.previousElementSibling;for(;i;){if(i.matches(e))return[i];i=i.previousElementSibling}return[]},next(t,e){let i=t.nextElementSibling;for(;i;){if(i.matches(e))return[i];i=i.nextElementSibling}return[]},focusableChildren(t){const e=["a","button","input","textarea","select","details","[tabindex]",'[contenteditable="true"]'].map((t=>`${t}:not([tabindex^="-"])`)).join(",");return this.find(e,t).filter((t=>!l(t)&&a(t)))},getSelectorFromElement(t){const e=B(t);return e&&z.findOne(e)?e:null},getElementFromSelector(t){const e=B(t);return e?z.findOne(e):null},getMultipleElementsFromSelector(t){const e=B(t);return e?z.find(e):[]}},R=(t,e="hide")=>{const i=`click.dismiss${t.EVENT_KEY}`,n=t.NAME;N.on(document,i,`[data-bs-dismiss="${n}"]`,(function(i){if(["A","AREA"].includes(this.tagName)&&i.preventDefault(),l(this))return;const s=z.getElementFromSelector(this)||this.closest(`.${n}`);t.getOrCreateInstance(s)[e]()}))},q=".bs.alert",V=`close${q}`,K=`closed${q}`;class Q extends W{static get NAME(){return"alert"}close(){if(N.trigger(this._element,V).defaultPrevented)return;this._element.classList.remove("show");const t=this._element.classList.contains("fade");this._queueCallback((()=>this._destroyElement()),this._element,t)}_destroyElement(){this._element.remove(),N.trigger(this._element,K),this.dispose()}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Q.getOrCreateInstance(this);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t](this)}}))}}R(Q,"close"),m(Q);const X='[data-bs-toggle="button"]';class Y extends W{static get NAME(){return"button"}toggle(){this._element.setAttribute("aria-pressed",this._element.classList.toggle("active"))}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Y.getOrCreateInstance(this);"toggle"===t&&e[t]()}))}}N.on(document,"click.bs.button.data-api",X,(t=>{t.preventDefault();const e=t.target.closest(X);Y.getOrCreateInstance(e).toggle()})),m(Y);const U=".bs.swipe",G=`touchstart${U}`,J=`touchmove${U}`,Z=`touchend${U}`,tt=`pointerdown${U}`,et=`pointerup${U}`,it={endCallback:null,leftCallback:null,rightCallback:null},nt={endCallback:"(function|null)",leftCallback:"(function|null)",rightCallback:"(function|null)"};class st extends H{constructor(t,e){super(),this._element=t,t&&st.isSupported()&&(this._config=this._getConfig(e),this._deltaX=0,this._supportPointerEvents=Boolean(window.PointerEvent),this._initEvents())}static get Default(){return it}static get DefaultType(){return nt}static get NAME(){return"swipe"}dispose(){N.off(this._element,U)}_start(t){this._supportPointerEvents?this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX):this._deltaX=t.touches[0].clientX}_end(t){this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX-this._deltaX),this._handleSwipe(),g(this._config.endCallback)}_move(t){this._deltaX=t.touches&&t.touches.length>1?0:t.touches[0].clientX-this._deltaX}_handleSwipe(){const t=Math.abs(this._deltaX);if(t<=40)return;const e=t/this._deltaX;this._deltaX=0,e&&g(e>0?this._config.rightCallback:this._config.leftCallback)}_initEvents(){this._supportPointerEvents?(N.on(this._element,tt,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,et,(t=>this._end(t))),this._element.classList.add("pointer-event")):(N.on(this._element,G,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,J,(t=>this._move(t))),N.on(this._element,Z,(t=>this._end(t))))}_eventIsPointerPenTouch(t){return this._supportPointerEvents&&("pen"===t.pointerType||"touch"===t.pointerType)}static isSupported(){return"ontouchstart"in document.documentElement||navigator.maxTouchPoints>0}}const ot=".bs.carousel",rt=".data-api",at="next",lt="prev",ct="left",ht="right",dt=`slide${ot}`,ut=`slid${ot}`,ft=`keydown${ot}`,pt=`mouseenter${ot}`,mt=`mouseleave${ot}`,gt=`dragstart${ot}`,_t=`load${ot}${rt}`,bt=`click${ot}${rt}`,vt="carousel",yt="active",wt=".active",At=".carousel-item",Et=wt+At,Tt={ArrowLeft:ht,ArrowRight:ct},Ct={interval:5e3,keyboard:!0,pause:"hover",ride:!1,touch:!0,wrap:!0},Ot={interval:"(number|boolean)",keyboard:"boolean",pause:"(string|boolean)",ride:"(boolean|string)",touch:"boolean",wrap:"boolean"};class xt extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._interval=null,this._activeElement=null,this._isSliding=!1,this.touchTimeout=null,this._swipeHelper=null,this._indicatorsElement=z.findOne(".carousel-indicators",this._element),this._addEventListeners(),this._config.ride===vt&&this.cycle()}static get Default(){return Ct}static get DefaultType(){return Ot}static get NAME(){return"carousel"}next(){this._slide(at)}nextWhenVisible(){!document.hidden&&a(this._element)&&this.next()}prev(){this._slide(lt)}pause(){this._isSliding&&s(this._element),this._clearInterval()}cycle(){this._clearInterval(),this._updateInterval(),this._interval=setInterval((()=>this.nextWhenVisible()),this._config.interval)}_maybeEnableCycle(){this._config.ride&&(this._isSliding?N.one(this._element,ut,(()=>this.cycle())):this.cycle())}to(t){const e=this._getItems();if(t>e.length-1||t<0)return;if(this._isSliding)return void N.one(this._element,ut,(()=>this.to(t)));const i=this._getItemIndex(this._getActive());if(i===t)return;const n=t>i?at:lt;this._slide(n,e[t])}dispose(){this._swipeHelper&&this._swipeHelper.dispose(),super.dispose()}_configAfterMerge(t){return t.defaultInterval=t.interval,t}_addEventListeners(){this._config.keyboard&&N.on(this._element,ft,(t=>this._keydown(t))),"hover"===this._config.pause&&(N.on(this._element,pt,(()=>this.pause())),N.on(this._element,mt,(()=>this._maybeEnableCycle()))),this._config.touch&&st.isSupported()&&this._addTouchEventListeners()}_addTouchEventListeners(){for(const t of z.find(".carousel-item img",this._element))N.on(t,gt,(t=>t.preventDefault()));const t={leftCallback:()=>this._slide(this._directionToOrder(ct)),rightCallback:()=>this._slide(this._directionToOrder(ht)),endCallback:()=>{"hover"===this._config.pause&&(this.pause(),this.touchTimeout&&clearTimeout(this.touchTimeout),this.touchTimeout=setTimeout((()=>this._maybeEnableCycle()),500+this._config.interval))}};this._swipeHelper=new st(this._element,t)}_keydown(t){if(/input|textarea/i.test(t.target.tagName))return;const e=Tt[t.key];e&&(t.preventDefault(),this._slide(this._directionToOrder(e)))}_getItemIndex(t){return this._getItems().indexOf(t)}_setActiveIndicatorElement(t){if(!this._indicatorsElement)return;const e=z.findOne(wt,this._indicatorsElement);e.classList.remove(yt),e.removeAttribute("aria-current");const i=z.findOne(`[data-bs-slide-to="${t}"]`,this._indicatorsElement);i&&(i.classList.add(yt),i.setAttribute("aria-current","true"))}_updateInterval(){const t=this._activeElement||this._getActive();if(!t)return;const e=Number.parseInt(t.getAttribute("data-bs-interval"),10);this._config.interval=e||this._config.defaultInterval}_slide(t,e=null){if(this._isSliding)return;const i=this._getActive(),n=t===at,s=e||b(this._getItems(),i,n,this._config.wrap);if(s===i)return;const o=this._getItemIndex(s),r=e=>N.trigger(this._element,e,{relatedTarget:s,direction:this._orderToDirection(t),from:this._getItemIndex(i),to:o});if(r(dt).defaultPrevented)return;if(!i||!s)return;const a=Boolean(this._interval);this.pause(),this._isSliding=!0,this._setActiveIndicatorElement(o),this._activeElement=s;const l=n?"carousel-item-start":"carousel-item-end",c=n?"carousel-item-next":"carousel-item-prev";s.classList.add(c),d(s),i.classList.add(l),s.classList.add(l),this._queueCallback((()=>{s.classList.remove(l,c),s.classList.add(yt),i.classList.remove(yt,c,l),this._isSliding=!1,r(ut)}),i,this._isAnimated()),a&&this.cycle()}_isAnimated(){return this._element.classList.contains("slide")}_getActive(){return z.findOne(Et,this._element)}_getItems(){return z.find(At,this._element)}_clearInterval(){this._interval&&(clearInterval(this._interval),this._interval=null)}_directionToOrder(t){return p()?t===ct?lt:at:t===ct?at:lt}_orderToDirection(t){return p()?t===lt?ct:ht:t===lt?ht:ct}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=xt.getOrCreateInstance(this,t);if("number"!=typeof t){if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}else e.to(t)}))}}N.on(document,bt,"[data-bs-slide], [data-bs-slide-to]",(function(t){const e=z.getElementFromSelector(this);if(!e||!e.classList.contains(vt))return;t.preventDefault();const i=xt.getOrCreateInstance(e),n=this.getAttribute("data-bs-slide-to");return n?(i.to(n),void i._maybeEnableCycle()):"next"===F.getDataAttribute(this,"slide")?(i.next(),void i._maybeEnableCycle()):(i.prev(),void i._maybeEnableCycle())})),N.on(window,_t,(()=>{const t=z.find('[data-bs-ride="carousel"]');for(const e of t)xt.getOrCreateInstance(e)})),m(xt);const kt=".bs.collapse",Lt=`show${kt}`,St=`shown${kt}`,Dt=`hide${kt}`,$t=`hidden${kt}`,It=`click${kt}.data-api`,Nt="show",Pt="collapse",Mt="collapsing",jt=`:scope .${Pt} .${Pt}`,Ft='[data-bs-toggle="collapse"]',Ht={parent:null,toggle:!0},Wt={parent:"(null|element)",toggle:"boolean"};class Bt extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._isTransitioning=!1,this._triggerArray=[];const i=z.find(Ft);for(const t of i){const e=z.getSelectorFromElement(t),i=z.find(e).filter((t=>t===this._element));null!==e&&i.length&&this._triggerArray.push(t)}this._initializeChildren(),this._config.parent||this._addAriaAndCollapsedClass(this._triggerArray,this._isShown()),this._config.toggle&&this.toggle()}static get Default(){return Ht}static get DefaultType(){return Wt}static get NAME(){return"collapse"}toggle(){this._isShown()?this.hide():this.show()}show(){if(this._isTransitioning||this._isShown())return;let t=[];if(this._config.parent&&(t=this._getFirstLevelChildren(".collapse.show, .collapse.collapsing").filter((t=>t!==this._element)).map((t=>Bt.getOrCreateInstance(t,{toggle:!1})))),t.length&&t[0]._isTransitioning)return;if(N.trigger(this._element,Lt).defaultPrevented)return;for(const e of t)e.hide();const e=this._getDimension();this._element.classList.remove(Pt),this._element.classList.add(Mt),this._element.style[e]=0,this._addAriaAndCollapsedClass(this._triggerArray,!0),this._isTransitioning=!0;const i=`scroll${e[0].toUpperCase()+e.slice(1)}`;this._queueCallback((()=>{this._isTransitioning=!1,this._element.classList.remove(Mt),this._element.classList.add(Pt,Nt),this._element.style[e]="",N.trigger(this._element,St)}),this._element,!0),this._element.style[e]=`${this._element[i]}px`}hide(){if(this._isTransitioning||!this._isShown())return;if(N.trigger(this._element,Dt).defaultPrevented)return;const t=this._getDimension();this._element.style[t]=`${this._element.getBoundingClientRect()[t]}px`,d(this._element),this._element.classList.add(Mt),this._element.classList.remove(Pt,Nt);for(const t of this._triggerArray){const e=z.getElementFromSelector(t);e&&!this._isShown(e)&&this._addAriaAndCollapsedClass([t],!1)}this._isTransitioning=!0,this._element.style[t]="",this._queueCallback((()=>{this._isTransitioning=!1,this._element.classList.remove(Mt),this._element.classList.add(Pt),N.trigger(this._element,$t)}),this._element,!0)}_isShown(t=this._element){return t.classList.contains(Nt)}_configAfterMerge(t){return t.toggle=Boolean(t.toggle),t.parent=r(t.parent),t}_getDimension(){return this._element.classList.contains("collapse-horizontal")?"width":"height"}_initializeChildren(){if(!this._config.parent)return;const t=this._getFirstLevelChildren(Ft);for(const e of t){const t=z.getElementFromSelector(e);t&&this._addAriaAndCollapsedClass([e],this._isShown(t))}}_getFirstLevelChildren(t){const e=z.find(jt,this._config.parent);return z.find(t,this._config.parent).filter((t=>!e.includes(t)))}_addAriaAndCollapsedClass(t,e){if(t.length)for(const i of t)i.classList.toggle("collapsed",!e),i.setAttribute("aria-expanded",e)}static jQueryInterface(t){const e={};return"string"==typeof t&&/show|hide/.test(t)&&(e.toggle=!1),this.each((function(){const i=Bt.getOrCreateInstance(this,e);if("string"==typeof t){if(void 0===i[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);i[t]()}}))}}N.on(document,It,Ft,(function(t){("A"===t.target.tagName||t.delegateTarget&&"A"===t.delegateTarget.tagName)&&t.preventDefault();for(const t of z.getMultipleElementsFromSelector(this))Bt.getOrCreateInstance(t,{toggle:!1}).toggle()})),m(Bt);var zt="top",Rt="bottom",qt="right",Vt="left",Kt="auto",Qt=[zt,Rt,qt,Vt],Xt="start",Yt="end",Ut="clippingParents",Gt="viewport",Jt="popper",Zt="reference",te=Qt.reduce((function(t,e){return t.concat([e+"-"+Xt,e+"-"+Yt])}),[]),ee=[].concat(Qt,[Kt]).reduce((function(t,e){return t.concat([e,e+"-"+Xt,e+"-"+Yt])}),[]),ie="beforeRead",ne="read",se="afterRead",oe="beforeMain",re="main",ae="afterMain",le="beforeWrite",ce="write",he="afterWrite",de=[ie,ne,se,oe,re,ae,le,ce,he];function ue(t){return t?(t.nodeName||"").toLowerCase():null}function fe(t){if(null==t)return window;if("[object Window]"!==t.toString()){var e=t.ownerDocument;return e&&e.defaultView||window}return t}function pe(t){return t instanceof fe(t).Element||t instanceof 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h?h({x:f,y:m}):{x:f,y:m};f=g.x,m=g.y;var _=r.hasOwnProperty("x"),b=r.hasOwnProperty("y"),v=Vt,y=zt,w=window;if(c){var A=$e(i),E="clientHeight",T="clientWidth";A===fe(i)&&"static"!==xe(A=Le(i)).position&&"absolute"===a&&(E="scrollHeight",T="scrollWidth"),(s===zt||(s===Vt||s===qt)&&o===Yt)&&(y=Rt,m-=(d&&A===w&&w.visualViewport?w.visualViewport.height:A[E])-n.height,m*=l?1:-1),s!==Vt&&(s!==zt&&s!==Rt||o!==Yt)||(v=qt,f-=(d&&A===w&&w.visualViewport?w.visualViewport.width:A[T])-n.width,f*=l?1:-1)}var C,O=Object.assign({position:a},c&&He),x=!0===h?function(t,e){var i=t.x,n=t.y,s=e.devicePixelRatio||1;return{x:we(i*s)/s||0,y:we(n*s)/s||0}}({x:f,y:m},fe(i)):{x:f,y:m};return f=x.x,m=x.y,l?Object.assign({},O,((C={})[y]=b?"0":"",C[v]=_?"0":"",C.transform=(w.devicePixelRatio||1)<=1?"translate("+f+"px, "+m+"px)":"translate3d("+f+"px, "+m+"px, 0)",C)):Object.assign({},O,((e={})[y]=b?m+"px":"",e[v]=_?f+"px":"",e.transform="",e))}const 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a.width=a.right-a.left,a.height=a.bottom-a.top,a.x=a.left,a.y=a.top,a}(pe(y)?y:y.contextElement||Le(t.elements.popper),l,h,r),A=Te(t.elements.reference),E=ei({reference:A,element:v,strategy:"absolute",placement:s}),T=Ze(Object.assign({},v,E)),C=u===Jt?T:A,O={top:w.top-C.top+_.top,bottom:C.bottom-w.bottom+_.bottom,left:w.left-C.left+_.left,right:C.right-w.right+_.right},x=t.modifiersData.offset;if(u===Jt&&x){var k=x[s];Object.keys(O).forEach((function(t){var e=[qt,Rt].indexOf(t)>=0?1:-1,i=[zt,Rt].indexOf(t)>=0?"y":"x";O[t]+=k[i]*e}))}return O}function ni(t,e){void 0===e&&(e={});var i=e,n=i.placement,s=i.boundary,o=i.rootBoundary,r=i.padding,a=i.flipVariations,l=i.allowedAutoPlacements,c=void 0===l?ee:l,h=Fe(n),d=h?a?te:te.filter((function(t){return Fe(t)===h})):Qt,u=d.filter((function(t){return c.indexOf(t)>=0}));0===u.length&&(u=d);var f=u.reduce((function(e,i){return e[i]=ii(t,{placement:i,boundary:s,rootBoundary:o,padding:r})[be(i)],e}),{});return 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e=/input|textarea/i.test(t.target.tagName),i="Escape"===t.key,n=[Ei,Ti].includes(t.key);if(!n&&!i)return;if(e&&!i)return;t.preventDefault();const s=this.matches(Ii)?this:z.prev(this,Ii)[0]||z.next(this,Ii)[0]||z.findOne(Ii,t.delegateTarget.parentNode),o=qi.getOrCreateInstance(s);if(n)return t.stopPropagation(),o.show(),void o._selectMenuItem(t);o._isShown()&&(t.stopPropagation(),o.hide(),s.focus())}}N.on(document,Si,Ii,qi.dataApiKeydownHandler),N.on(document,Si,Pi,qi.dataApiKeydownHandler),N.on(document,Li,qi.clearMenus),N.on(document,Di,qi.clearMenus),N.on(document,Li,Ii,(function(t){t.preventDefault(),qi.getOrCreateInstance(this).toggle()})),m(qi);const Vi="backdrop",Ki="show",Qi=`mousedown.bs.${Vi}`,Xi={className:"modal-backdrop",clickCallback:null,isAnimated:!1,isVisible:!0,rootElement:"body"},Yi={className:"string",clickCallback:"(function|null)",isAnimated:"boolean",isVisible:"boolean",rootElement:"(element|string)"};class Ui extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t),this._isAppended=!1,this._element=null}static get Default(){return Xi}static get DefaultType(){return Yi}static get NAME(){return Vi}show(t){if(!this._config.isVisible)return void g(t);this._append();const e=this._getElement();this._config.isAnimated&&d(e),e.classList.add(Ki),this._emulateAnimation((()=>{g(t)}))}hide(t){this._config.isVisible?(this._getElement().classList.remove(Ki),this._emulateAnimation((()=>{this.dispose(),g(t)}))):g(t)}dispose(){this._isAppended&&(N.off(this._element,Qi),this._element.remove(),this._isAppended=!1)}_getElement(){if(!this._element){const t=document.createElement("div");t.className=this._config.className,this._config.isAnimated&&t.classList.add("fade"),this._element=t}return this._element}_configAfterMerge(t){return t.rootElement=r(t.rootElement),t}_append(){if(this._isAppended)return;const t=this._getElement();this._config.rootElement.append(t),N.on(t,Qi,(()=>{g(this._config.clickCallback)})),this._isAppended=!0}_emulateAnimation(t){_(t,this._getElement(),this._config.isAnimated)}}const Gi=".bs.focustrap",Ji=`focusin${Gi}`,Zi=`keydown.tab${Gi}`,tn="backward",en={autofocus:!0,trapElement:null},nn={autofocus:"boolean",trapElement:"element"};class sn extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t),this._isActive=!1,this._lastTabNavDirection=null}static get Default(){return en}static get DefaultType(){return nn}static get NAME(){return"focustrap"}activate(){this._isActive||(this._config.autofocus&&this._config.trapElement.focus(),N.off(document,Gi),N.on(document,Ji,(t=>this._handleFocusin(t))),N.on(document,Zi,(t=>this._handleKeydown(t))),this._isActive=!0)}deactivate(){this._isActive&&(this._isActive=!1,N.off(document,Gi))}_handleFocusin(t){const{trapElement:e}=this._config;if(t.target===document||t.target===e||e.contains(t.target))return;const 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this.getWidth()>0}_disableOverFlow(){this._saveInitialAttribute(this._element,"overflow"),this._element.style.overflow="hidden"}_setElementAttributes(t,e,i){const n=this.getWidth();this._applyManipulationCallback(t,(t=>{if(t!==this._element&&window.innerWidth>t.clientWidth+n)return;this._saveInitialAttribute(t,e);const s=window.getComputedStyle(t).getPropertyValue(e);t.style.setProperty(e,`${i(Number.parseFloat(s))}px`)}))}_saveInitialAttribute(t,e){const i=t.style.getPropertyValue(e);i&&F.setDataAttribute(t,e,i)}_resetElementAttributes(t,e){this._applyManipulationCallback(t,(t=>{const i=F.getDataAttribute(t,e);null!==i?(F.removeDataAttribute(t,e),t.style.setProperty(e,i)):t.style.removeProperty(e)}))}_applyManipulationCallback(t,e){if(o(t))e(t);else for(const i of z.find(t,this._element))e(i)}}const hn=".bs.modal",dn=`hide${hn}`,un=`hidePrevented${hn}`,fn=`hidden${hn}`,pn=`show${hn}`,mn=`shown${hn}`,gn=`resize${hn}`,_n=`click.dismiss${hn}`,bn=`mousedown.dismiss${hn}`,vn=`keydown.dismiss${hn}`,yn=`click${hn}.data-api`,wn="modal-open",An="show",En="modal-static",Tn={backdrop:!0,focus:!0,keyboard:!0},Cn={backdrop:"(boolean|string)",focus:"boolean",keyboard:"boolean"};class On extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._dialog=z.findOne(".modal-dialog",this._element),this._backdrop=this._initializeBackDrop(),this._focustrap=this._initializeFocusTrap(),this._isShown=!1,this._isTransitioning=!1,this._scrollBar=new cn,this._addEventListeners()}static get Default(){return Tn}static get DefaultType(){return Cn}static get NAME(){return"modal"}toggle(t){return this._isShown?this.hide():this.show(t)}show(t){this._isShown||this._isTransitioning||N.trigger(this._element,pn,{relatedTarget:t}).defaultPrevented||(this._isShown=!0,this._isTransitioning=!0,this._scrollBar.hide(),document.body.classList.add(wn),this._adjustDialog(),this._backdrop.show((()=>this._showElement(t))))}hide(){this._isShown&&!this._isTransitioning&&(N.trigger(this._element,dn).defaultPrevented||(this._isShown=!1,this._isTransitioning=!0,this._focustrap.deactivate(),this._element.classList.remove(An),this._queueCallback((()=>this._hideModal()),this._element,this._isAnimated())))}dispose(){N.off(window,hn),N.off(this._dialog,hn),this._backdrop.dispose(),this._focustrap.deactivate(),super.dispose()}handleUpdate(){this._adjustDialog()}_initializeBackDrop(){return new Ui({isVisible:Boolean(this._config.backdrop),isAnimated:this._isAnimated()})}_initializeFocusTrap(){return new 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this._element.classList.contains("fade")}_triggerBackdropTransition(){if(N.trigger(this._element,un).defaultPrevented)return;const t=this._element.scrollHeight>document.documentElement.clientHeight,e=this._element.style.overflowY;"hidden"===e||this._element.classList.contains(En)||(t||(this._element.style.overflowY="hidden"),this._element.classList.add(En),this._queueCallback((()=>{this._element.classList.remove(En),this._queueCallback((()=>{this._element.style.overflowY=e}),this._dialog)}),this._dialog),this._element.focus())}_adjustDialog(){const t=this._element.scrollHeight>document.documentElement.clientHeight,e=this._scrollBar.getWidth(),i=e>0;if(i&&!t){const t=p()?"paddingLeft":"paddingRight";this._element.style[t]=`${e}px`}if(!i&&t){const t=p()?"paddingRight":"paddingLeft";this._element.style[t]=`${e}px`}}_resetAdjustments(){this._element.style.paddingLeft="",this._element.style.paddingRight=""}static jQueryInterface(t,e){return this.each((function(){const 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W{constructor(t,e){super(t,e),this._isShown=!1,this._backdrop=this._initializeBackDrop(),this._focustrap=this._initializeFocusTrap(),this._addEventListeners()}static get Default(){return zn}static get DefaultType(){return Rn}static get NAME(){return"offcanvas"}toggle(t){return this._isShown?this.hide():this.show(t)}show(t){this._isShown||N.trigger(this._element,Nn,{relatedTarget:t}).defaultPrevented||(this._isShown=!0,this._backdrop.show(),this._config.scroll||(new 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z.find(In))qn.getOrCreateInstance(t).show()})),N.on(window,Hn,(()=>{for(const t of z.find("[aria-modal][class*=show][class*=offcanvas-]"))"fixed"!==getComputedStyle(t).position&&qn.getOrCreateInstance(t).hide()})),R(qn),m(qn);const Vn={"*":["class","dir","id","lang","role",/^aria-[\w-]*$/i],a:["target","href","title","rel"],area:[],b:[],br:[],col:[],code:[],div:[],em:[],hr:[],h1:[],h2:[],h3:[],h4:[],h5:[],h6:[],i:[],img:["src","srcset","alt","title","width","height"],li:[],ol:[],p:[],pre:[],s:[],small:[],span:[],sub:[],sup:[],strong:[],u:[],ul:[]},Kn=new Set(["background","cite","href","itemtype","longdesc","poster","src","xlink:href"]),Qn=/^(?!javascript:)(?:[a-z0-9+.-]+:|[^&:/?#]*(?:[/?#]|$))/i,Xn=(t,e)=>{const i=t.nodeName.toLowerCase();return e.includes(i)?!Kn.has(i)||Boolean(Qn.test(t.nodeValue)):e.filter((t=>t instanceof RegExp)).some((t=>t.test(i)))},Yn={allowList:Vn,content:{},extraClass:"",html:!1,sanitize:!0,sanitizeFn:null,template:"

"},Un={allowList:"object",content:"object",extraClass:"(string|function)",html:"boolean",sanitize:"boolean",sanitizeFn:"(null|function)",template:"string"},Gn={entry:"(string|element|function|null)",selector:"(string|element)"};class Jn extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t)}static get Default(){return Yn}static get DefaultType(){return Un}static get NAME(){return"TemplateFactory"}getContent(){return Object.values(this._config.content).map((t=>this._resolvePossibleFunction(t))).filter(Boolean)}hasContent(){return this.getContent().length>0}changeContent(t){return this._checkContent(t),this._config.content={...this._config.content,...t},this}toHtml(){const t=document.createElement("div");t.innerHTML=this._maybeSanitize(this._config.template);for(const[e,i]of Object.entries(this._config.content))this._setContent(t,i,e);const e=t.children[0],i=this._resolvePossibleFunction(this._config.extraClass);return i&&e.classList.add(...i.split(" ")),e}_typeCheckConfig(t){super._typeCheckConfig(t),this._checkContent(t.content)}_checkContent(t){for(const[e,i]of Object.entries(t))super._typeCheckConfig({selector:e,entry:i},Gn)}_setContent(t,e,i){const n=z.findOne(i,t);n&&((e=this._resolvePossibleFunction(e))?o(e)?this._putElementInTemplate(r(e),n):this._config.html?n.innerHTML=this._maybeSanitize(e):n.textContent=e:n.remove())}_maybeSanitize(t){return this._config.sanitize?function(t,e,i){if(!t.length)return t;if(i&&"function"==typeof i)return i(t);const n=(new window.DOMParser).parseFromString(t,"text/html"),s=[].concat(...n.body.querySelectorAll("*"));for(const t of s){const i=t.nodeName.toLowerCase();if(!Object.keys(e).includes(i)){t.remove();continue}const n=[].concat(...t.attributes),s=[].concat(e["*"]||[],e[i]||[]);for(const e of n)Xn(e,s)||t.removeAttribute(e.nodeName)}return n.body.innerHTML}(t,this._config.allowList,this._config.sanitizeFn):t}_resolvePossibleFunction(t){return g(t,[this])}_putElementInTemplate(t,e){if(this._config.html)return e.innerHTML="",void e.append(t);e.textContent=t.textContent}}const Zn=new Set(["sanitize","allowList","sanitizeFn"]),ts="fade",es="show",is=".modal",ns="hide.bs.modal",ss="hover",os="focus",rs={AUTO:"auto",TOP:"top",RIGHT:p()?"left":"right",BOTTOM:"bottom",LEFT:p()?"right":"left"},as={allowList:Vn,animation:!0,boundary:"clippingParents",container:!1,customClass:"",delay:0,fallbackPlacements:["top","right","bottom","left"],html:!1,offset:[0,6],placement:"top",popperConfig:null,sanitize:!0,sanitizeFn:null,selector:!1,template:'',title:"",trigger:"hover focus"},ls={allowList:"object",animation:"boolean",boundary:"(string|element)",container:"(string|element|boolean)",customClass:"(string|function)",delay:"(number|object)",fallbackPlacements:"array",html:"boolean",offset:"(array|string|function)",placement:"(string|function)",popperConfig:"(null|object|function)",sanitize:"boolean",sanitizeFn:"(null|function)",selector:"(string|boolean)",template:"string",title:"(string|element|function)",trigger:"string"};class cs extends W{constructor(t,e){if(void 0===vi)throw new TypeError("Bootstrap's tooltips require Popper (https://popper.js.org)");super(t,e),this._isEnabled=!0,this._timeout=0,this._isHovered=null,this._activeTrigger={},this._popper=null,this._templateFactory=null,this._newContent=null,this.tip=null,this._setListeners(),this._config.selector||this._fixTitle()}static get Default(){return as}static get DefaultType(){return ls}static get 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e.setAttribute("id",i),this._isAnimated()&&e.classList.add(ts),e}setContent(t){this._newContent=t,this._isShown()&&(this._disposePopper(),this.show())}_getTemplateFactory(t){return this._templateFactory?this._templateFactory.changeContent(t):this._templateFactory=new Jn({...this._config,content:t,extraClass:this._resolvePossibleFunction(this._config.customClass)}),this._templateFactory}_getContentForTemplate(){return{".tooltip-inner":this._getTitle()}}_getTitle(){return this._resolvePossibleFunction(this._config.title)||this._element.getAttribute("data-bs-original-title")}_initializeOnDelegatedTarget(t){return this.constructor.getOrCreateInstance(t.delegateTarget,this._getDelegateConfig())}_isAnimated(){return this._config.animation||this.tip&&this.tip.classList.contains(ts)}_isShown(){return this.tip&&this.tip.classList.contains(es)}_createPopper(t){const e=g(this._config.placement,[this,t,this._element]),i=rs[e.toUpperCase()];return 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t=this._element.getAttribute("title");t&&(this._element.getAttribute("aria-label")||this._element.textContent.trim()||this._element.setAttribute("aria-label",t),this._element.setAttribute("data-bs-original-title",t),this._element.removeAttribute("title"))}_enter(){this._isShown()||this._isHovered?this._isHovered=!0:(this._isHovered=!0,this._setTimeout((()=>{this._isHovered&&this.show()}),this._config.delay.show))}_leave(){this._isWithActiveTrigger()||(this._isHovered=!1,this._setTimeout((()=>{this._isHovered||this.hide()}),this._config.delay.hide))}_setTimeout(t,e){clearTimeout(this._timeout),this._timeout=setTimeout(t,e)}_isWithActiveTrigger(){return Object.values(this._activeTrigger).includes(!0)}_getConfig(t){const e=F.getDataAttributes(this._element);for(const t of Object.keys(e))Zn.has(t)&&delete e[t];return t={...e,..."object"==typeof t&&t?t:{}},t=this._mergeConfigObj(t),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}_configAfterMerge(t){return 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NAME(){return"popover"}_isWithContent(){return this._getTitle()||this._getContent()}_getContentForTemplate(){return{".popover-header":this._getTitle(),".popover-body":this._getContent()}}_getContent(){return this._resolvePossibleFunction(this._config.content)}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=us.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}))}}m(us);const fs=".bs.scrollspy",ps=`activate${fs}`,ms=`click${fs}`,gs=`load${fs}.data-api`,_s="active",bs="[href]",vs=".nav-link",ys=`${vs}, .nav-item > ${vs}, .list-group-item`,ws={offset:null,rootMargin:"0px 0px -25%",smoothScroll:!1,target:null,threshold:[.1,.5,1]},As={offset:"(number|null)",rootMargin:"string",smoothScroll:"boolean",target:"element",threshold:"array"};class Es extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._targetLinks=new Map,this._observableSections=new 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window.scrollY; + if (top < lastBottom) { + const marginChildStyle = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginBottom = parseFloat(marginChildStyle["marginBottom"]); + const margin = lastBottom - top + marginBottom; + marginChild.style.marginTop = `${margin}px`; + } + const styles = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginTop = parseFloat(styles["marginTop"]); + lastBottom = top + marginChild.getBoundingClientRect().height + marginTop; + } + } +}; + +window.document.addEventListener("DOMContentLoaded", function (_event) { + // Recompute the position of margin elements anytime the body size changes + if (window.ResizeObserver) { + const resizeObserver = new window.ResizeObserver( + throttle(() => { + layoutMarginEls(); + if ( + window.document.body.getBoundingClientRect().width < 990 && + isReaderMode() + ) { + quartoToggleReader(); + } + }, 50) + ); + resizeObserver.observe(window.document.body); + } + + const tocEl = window.document.querySelector('nav.toc-active[role="doc-toc"]'); + const sidebarEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar"); + const leftTocEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar-toc-left"); + const marginSidebarEl = window.document.getElementById( + "quarto-margin-sidebar" + ); + // function to determine whether the element has a previous sibling that is active + const prevSiblingIsActiveLink = (el) => { + const sibling = el.previousElementSibling; + if (sibling && sibling.tagName === "A") { + return sibling.classList.contains("active"); + } else { + return false; + } + }; + + // fire slideEnter for bootstrap tab activations (for htmlwidget resize behavior) + function fireSlideEnter(e) { + const event = window.document.createEvent("Event"); + event.initEvent("slideenter", true, true); + window.document.dispatchEvent(event); + } + const tabs = window.document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + tabs.forEach((tab) => { + tab.addEventListener("shown.bs.tab", fireSlideEnter); + }); + + // fire slideEnter for tabby tab activations (for htmlwidget resize behavior) + document.addEventListener("tabby", fireSlideEnter, false); + + // Track scrolling and mark TOC links as active + // get table of contents and sidebar (bail if we don't have at least one) + const tocLinks = tocEl + ? [...tocEl.querySelectorAll("a[data-scroll-target]")] + : []; + const makeActive = (link) => tocLinks[link].classList.add("active"); + const removeActive = (link) => tocLinks[link].classList.remove("active"); + const removeAllActive = () => + [...Array(tocLinks.length).keys()].forEach((link) => removeActive(link)); + + // activate the anchor for a section associated with this TOC entry + tocLinks.forEach((link) => { + link.addEventListener("click", () => { + if (link.href.indexOf("#") !== -1) { + const anchor = link.href.split("#")[1]; + const heading = window.document.querySelector( + `[data-anchor-id="${anchor}"]` + ); + if (heading) { + // Add the class + heading.classList.add("reveal-anchorjs-link"); + + // function to show the anchor + const handleMouseout = () => { + heading.classList.remove("reveal-anchorjs-link"); + heading.removeEventListener("mouseout", handleMouseout); + }; + + // add a function to clear the anchor when the user mouses out of it + heading.addEventListener("mouseout", handleMouseout); + } + } + }); + }); + + const sections = tocLinks.map((link) => { + const target = link.getAttribute("data-scroll-target"); + if (target.startsWith("#")) { + return window.document.getElementById(decodeURI(`${target.slice(1)}`)); + } else { + return window.document.querySelector(decodeURI(`${target}`)); + } + }); + + const sectionMargin = 200; + let currentActive = 0; + // track whether we've initialized state the first time + let init = false; + + const updateActiveLink = () => { + // The index from bottom to top (e.g. reversed list) + let sectionIndex = -1; + if ( + window.innerHeight + window.pageYOffset >= + window.document.body.offsetHeight + ) { + // This is the no-scroll case where last section should be the active one + sectionIndex = 0; + } else { + // This finds the last section visible on screen that should be made active + sectionIndex = [...sections].reverse().findIndex((section) => { + if (section) { + return window.pageYOffset >= section.offsetTop - sectionMargin; + } else { + return false; + } + }); + } + if (sectionIndex > -1) { + const current = sections.length - sectionIndex - 1; + if (current !== currentActive) { + removeAllActive(); + currentActive = current; + makeActive(current); + if (init) { + window.dispatchEvent(sectionChanged); + } + init = true; + } + } + }; + + const inHiddenRegion = (top, bottom, hiddenRegions) => { + for (const region of hiddenRegions) { + if (top <= region.bottom && bottom >= region.top) { + return true; + } + } + return false; + }; + + const categorySelector = "header.quarto-title-block .quarto-category"; + const activateCategories = (href) => { + // Find any categories + // Surround them with a link pointing back to: + // #category=Authoring + try { + const categoryEls = window.document.querySelectorAll(categorySelector); + for (const categoryEl of categoryEls) { + const categoryText = categoryEl.textContent; + if (categoryText) { + const link = `${href}#category=${encodeURIComponent(categoryText)}`; + const linkEl = window.document.createElement("a"); + linkEl.setAttribute("href", link); + for (const child of categoryEl.childNodes) { + linkEl.append(child); + } + categoryEl.appendChild(linkEl); + } + } + } catch { + // Ignore errors + } + }; + function hasTitleCategories() { + return window.document.querySelector(categorySelector) !== null; + } + + function offsetRelativeUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + return offset ? offset + url : url; + } + + function offsetAbsoluteUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + const baseUrl = new URL(offset, window.location); + + const projRelativeUrl = url.replace(baseUrl, ""); + if (projRelativeUrl.startsWith("/")) { + return projRelativeUrl; + } else { + return "/" + projRelativeUrl; + } + } + + // read a meta tag value + function getMeta(metaName) { + const metas = window.document.getElementsByTagName("meta"); + for (let i = 0; i < metas.length; i++) { + if (metas[i].getAttribute("name") === metaName) { + return metas[i].getAttribute("content"); + } + } + return ""; + } + + async function findAndActivateCategories() { + const currentPagePath = offsetAbsoluteUrl(window.location.href); + const response = await fetch(offsetRelativeUrl("listings.json")); + if (response.status == 200) { + return response.json().then(function (listingPaths) { + const listingHrefs = []; + for (const listingPath of listingPaths) { + const pathWithoutLeadingSlash = listingPath.listing.substring(1); + for (const item of listingPath.items) { + if ( + item === currentPagePath || + item === currentPagePath + "index.html" + ) { + // Resolve this path against the offset to be sure + // we already are using the correct path to the listing + // (this adjusts the listing urls to be rooted against + // whatever root the page is actually running against) + const relative = offsetRelativeUrl(pathWithoutLeadingSlash); + const baseUrl = window.location; + const resolvedPath = new URL(relative, baseUrl); + listingHrefs.push(resolvedPath.pathname); + break; + } + } + } + + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const nearestListing = findNearestParentListing( + offsetAbsoluteUrl(window.location.pathname), + listingHrefs + ); + if (nearestListing) { + activateCategories(nearestListing); + } else { + // See if the referrer is a listing page for this item + const referredRelativePath = offsetAbsoluteUrl(document.referrer); + const referrerListing = listingHrefs.find((listingHref) => { + const isListingReferrer = + listingHref === referredRelativePath || + listingHref === referredRelativePath + "index.html"; + return isListingReferrer; + }); + + if (referrerListing) { + // Try to use the referrer if possible + activateCategories(referrerListing); + } else if (listingHrefs.length > 0) { + // Otherwise, just fall back to the first listing + activateCategories(listingHrefs[0]); + } + } + }); + } + } + if (hasTitleCategories()) { + findAndActivateCategories(); + } + + const findNearestParentListing = (href, listingHrefs) => { + if (!href || !listingHrefs) { + return undefined; + } + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const relativeParts = href.substring(1).split("/"); + while (relativeParts.length > 0) { + const path = relativeParts.join("/"); + for (const listingHref of listingHrefs) { + if (listingHref.startsWith(path)) { + return listingHref; + } + } + relativeParts.pop(); + } + + return undefined; + }; + + const manageSidebarVisiblity = (el, placeholderDescriptor) => { + let isVisible = true; + let elRect; + + return (hiddenRegions) => { + if (el === null) { + return; + } + + // Find the last element of the TOC + const lastChildEl = el.lastElementChild; + + if (lastChildEl) { + // Converts the sidebar to a menu + const convertToMenu = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 0; + child.style.overflow = "hidden"; + child.style.pointerEvents = "none"; + } + + nexttick(() => { + const toggleContainer = window.document.createElement("div"); + toggleContainer.style.width = "100%"; + toggleContainer.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContainer.classList.add("quarto-sidebar-toggle"); + toggleContainer.classList.add("headroom-target"); // Marks this to be managed by headeroom + toggleContainer.id = placeholderDescriptor.id; + toggleContainer.style.position = "fixed"; + + const toggleIcon = window.document.createElement("i"); + toggleIcon.classList.add("quarto-sidebar-toggle-icon"); + toggleIcon.classList.add("bi"); + toggleIcon.classList.add("bi-caret-down-fill"); + + const toggleTitle = window.document.createElement("div"); + const titleEl = window.document.body.querySelector( + placeholderDescriptor.titleSelector + ); + if (titleEl) { + toggleTitle.append( + titleEl.textContent || titleEl.innerText, + toggleIcon + ); + } + toggleTitle.classList.add("zindex-over-content"); + toggleTitle.classList.add("quarto-sidebar-toggle-title"); + toggleContainer.append(toggleTitle); + + const toggleContents = window.document.createElement("div"); + toggleContents.classList = el.classList; + toggleContents.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContents.classList.add("quarto-sidebar-toggle-contents"); + for (const child of el.children) { + if (child.id === "toc-title") { + continue; + } + + const clone = child.cloneNode(true); + clone.style.opacity = 1; + clone.style.pointerEvents = null; + clone.style.display = null; + toggleContents.append(clone); + } + toggleContents.style.height = "0px"; + const positionToggle = () => { + // position the element (top left of parent, same width as parent) + if (!elRect) { + elRect = el.getBoundingClientRect(); + } + toggleContainer.style.left = `${elRect.left}px`; + toggleContainer.style.top = `${elRect.top}px`; + toggleContainer.style.width = `${elRect.width}px`; + }; + positionToggle(); + + toggleContainer.append(toggleContents); + el.parentElement.prepend(toggleContainer); + + // Process clicks + let tocShowing = false; + // Allow the caller to control whether this is dismissed + // when it is clicked (e.g. sidebar navigation supports + // opening and closing the nav tree, so don't dismiss on click) + const clickEl = placeholderDescriptor.dismissOnClick + ? toggleContainer + : toggleTitle; + + const closeToggle = () => { + if (tocShowing) { + toggleContainer.classList.remove("expanded"); + toggleContents.style.height = "0px"; + tocShowing = false; + } + }; + + // Get rid of any expanded toggle if the user scrolls + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + closeToggle(); + }, 50) + ); + + // Handle positioning of the toggle + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + elRect = undefined; + positionToggle(); + }, 50) + ); + + window.addEventListener("quarto-hrChanged", () => { + elRect = undefined; + }); + + // Process the click + clickEl.onclick = () => { + if (!tocShowing) { + toggleContainer.classList.add("expanded"); + toggleContents.style.height = null; + tocShowing = true; + } else { + closeToggle(); + } + }; + }); + }; + + // Converts a sidebar from a menu back to a sidebar + const convertToSidebar = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 1; + child.style.overflow = null; + child.style.pointerEvents = null; + } + + const placeholderEl = window.document.getElementById( + placeholderDescriptor.id + ); + if (placeholderEl) { + placeholderEl.remove(); + } + + el.classList.remove("rollup"); + }; + + if (isReaderMode()) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } else { + // Find the top and bottom o the element that is being managed + const elTop = el.offsetTop; + const elBottom = + elTop + lastChildEl.offsetTop + lastChildEl.offsetHeight; + + if (!isVisible) { + // If the element is current not visible reveal if there are + // no conflicts with overlay regions + if (!inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToSidebar(); + isVisible = true; + } + } else { + // If the element is visible, hide it if it conflicts with overlay regions + // and insert a placeholder toggle (or if we're in reader mode) + if (inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } + } + } + } + }; + }; + + const tabEls = document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + for (const tabEl of tabEls) { + const id = tabEl.getAttribute("data-bs-target"); + if (id) { + const columnEl = document.querySelector( + `${id} .column-margin, .tabset-margin-content` + ); + if (columnEl) + tabEl.addEventListener("shown.bs.tab", function (event) { + const el = event.srcElement; + if (el) { + const visibleCls = `${el.id}-margin-content`; + // walk up until we find a parent tabset + let panelTabsetEl = el.parentElement; + while (panelTabsetEl) { + if (panelTabsetEl.classList.contains("panel-tabset")) { + break; + } + panelTabsetEl = panelTabsetEl.parentElement; + } + + if (panelTabsetEl) { + const prevSib = panelTabsetEl.previousElementSibling; + if ( + prevSib && + prevSib.classList.contains("tabset-margin-container") + ) { + const childNodes = prevSib.querySelectorAll( + ".tabset-margin-content" + ); + for (const childEl of childNodes) { + if (childEl.classList.contains(visibleCls)) { + childEl.classList.remove("collapse"); + } else { + childEl.classList.add("collapse"); + } + } + } + } + } + + layoutMarginEls(); + }); + } + } + + // Manage the visibility of the toc and the sidebar + const marginScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(marginSidebarEl, { + id: "quarto-toc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + const sidebarScrollVisiblity = manageSidebarVisiblity(sidebarEl, { + id: "quarto-sidebarnav-toggle", + titleSelector: ".title", + dismissOnClick: false, + }); + let tocLeftScrollVisibility; + if (leftTocEl) { + tocLeftScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(leftTocEl, { + id: "quarto-lefttoc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + } + + // Find the first element that uses formatting in special columns + const conflictingEls = window.document.body.querySelectorAll( + '[class^="column-"], [class*=" column-"], aside, [class*="margin-caption"], [class*=" margin-caption"], [class*="margin-ref"], [class*=" margin-ref"]' + ); + + // Filter all the possibly conflicting elements into ones + // the do conflict on the left or ride side + const arrConflictingEls = Array.from(conflictingEls); + const leftSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return false; + } + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("right") && + !className.endsWith("container") && + className !== "column-margin" + ); + }); + }); + const rightSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return true; + } + + const hasMarginCaption = Array.from(el.classList).find((className) => { + return className == "margin-caption"; + }); + if (hasMarginCaption) { + return true; + } + + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + !className.endsWith("container") && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("left") + ); + }); + }); + + const kOverlapPaddingSize = 10; + function toRegions(els) { + return els.map((el) => { + const boundRect = el.getBoundingClientRect(); + const top = + boundRect.top + + document.documentElement.scrollTop - + kOverlapPaddingSize; + return { + top, + bottom: top + el.scrollHeight + 2 * kOverlapPaddingSize, + }; + }); + } + + let hasObserved = false; + const visibleItemObserver = (els) => { + let visibleElements = [...els]; + const intersectionObserver = new IntersectionObserver( + (entries, _observer) => { + entries.forEach((entry) => { + if (entry.isIntersecting) { + if (visibleElements.indexOf(entry.target) === -1) { + visibleElements.push(entry.target); + } + } else { + visibleElements = visibleElements.filter((visibleEntry) => { + return visibleEntry !== entry; + }); + } + }); + + if (!hasObserved) { + hideOverlappedSidebars(); + } + hasObserved = true; + }, + {} + ); + els.forEach((el) => { + intersectionObserver.observe(el); + }); + + return { + getVisibleEntries: () => { + return visibleElements; + }, + }; + }; + + const rightElementObserver = visibleItemObserver(rightSideConflictEls); + const leftElementObserver = visibleItemObserver(leftSideConflictEls); + + const hideOverlappedSidebars = () => { + marginScrollVisibility(toRegions(rightElementObserver.getVisibleEntries())); + sidebarScrollVisiblity(toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries())); + if (tocLeftScrollVisibility) { + tocLeftScrollVisibility( + toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries()) + ); + } + }; + + window.quartoToggleReader = () => { + // Applies a slow class (or removes it) + // to update the transition speed + const slowTransition = (slow) => { + const manageTransition = (id, slow) => { + const el = document.getElementById(id); + if (el) { + if (slow) { + el.classList.add("slow"); + } else { + el.classList.remove("slow"); + } + } + }; + + manageTransition("TOC", slow); + manageTransition("quarto-sidebar", slow); + }; + const readerMode = !isReaderMode(); + setReaderModeValue(readerMode); + + // If we're entering reader mode, slow the transition + if (readerMode) { + slowTransition(readerMode); + } + highlightReaderToggle(readerMode); + hideOverlappedSidebars(); + + // If we're exiting reader mode, restore the non-slow transition + if (!readerMode) { + slowTransition(!readerMode); + } + }; + + const highlightReaderToggle = (readerMode) => { + const els = document.querySelectorAll(".quarto-reader-toggle"); + if (els) { + els.forEach((el) => { + if (readerMode) { + el.classList.add("reader"); + } else { + el.classList.remove("reader"); + } + }); + } + }; + + const setReaderModeValue = (val) => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + window.localStorage.setItem("quarto-reader-mode", val); + } else { + localReaderMode = val; + } + }; + + const isReaderMode = () => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + return window.localStorage.getItem("quarto-reader-mode") === "true"; + } else { + return localReaderMode; + } + }; + let localReaderMode = null; + + const tocOpenDepthStr = tocEl?.getAttribute("data-toc-expanded"); + const tocOpenDepth = tocOpenDepthStr ? Number(tocOpenDepthStr) : 1; + + // Walk the TOC and collapse/expand nodes + // Nodes are expanded if: + // - they are top level + // - they have children that are 'active' links + // - they are directly below an link that is 'active' + const walk = (el, depth) => { + // Tick depth when we enter a UL + if (el.tagName === "UL") { + depth = depth + 1; + } + + // It this is active link + let isActiveNode = false; + if (el.tagName === "A" && el.classList.contains("active")) { + isActiveNode = true; + } + + // See if there is an active child to this element + let hasActiveChild = false; + for (child of el.children) { + hasActiveChild = walk(child, depth) || hasActiveChild; + } + + // Process the collapse state if this is an UL + if (el.tagName === "UL") { + if (tocOpenDepth === -1 && depth > 1) { + // toc-expand: false + el.classList.add("collapse"); + } else if ( + depth <= tocOpenDepth || + hasActiveChild || + prevSiblingIsActiveLink(el) + ) { + el.classList.remove("collapse"); + } else { + el.classList.add("collapse"); + } + + // untick depth when we leave a UL + depth = depth - 1; + } + return hasActiveChild || isActiveNode; + }; + + // walk the TOC and expand / collapse any items that should be shown + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + + // Throttle the scroll event and walk peridiocally + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 5) + ); + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 10) + ); + hideOverlappedSidebars(); + highlightReaderToggle(isReaderMode()); +}); + +// grouped tabsets +window.addEventListener("pageshow", (_event) => { + function getTabSettings() { + const data = localStorage.getItem("quarto-persistent-tabsets-data"); + if (!data) { + localStorage.setItem("quarto-persistent-tabsets-data", "{}"); + return {}; + } + if (data) { + return JSON.parse(data); + } + } + + function setTabSettings(data) { + localStorage.setItem( + "quarto-persistent-tabsets-data", + JSON.stringify(data) + ); + } + + function setTabState(groupName, groupValue) { + const data = getTabSettings(); + data[groupName] = groupValue; + setTabSettings(data); + } + + function toggleTab(tab, active) { + const tabPanelId = tab.getAttribute("aria-controls"); + const tabPanel = document.getElementById(tabPanelId); + if (active) { + tab.classList.add("active"); + tabPanel.classList.add("active"); + } else { + tab.classList.remove("active"); + tabPanel.classList.remove("active"); + } + } + + function toggleAll(selectedGroup, selectorsToSync) { + for (const [thisGroup, tabs] of Object.entries(selectorsToSync)) { + const active = selectedGroup === thisGroup; + for (const tab of tabs) { + toggleTab(tab, active); + } + } + } + + function findSelectorsToSyncByLanguage() { + const result = {}; + const tabs = Array.from( + document.querySelectorAll(`div[data-group] a[id^='tabset-']`) + ); + for (const item of tabs) { + const div = item.parentElement.parentElement.parentElement; + const group = div.getAttribute("data-group"); + if (!result[group]) { + result[group] = {}; + } + const selectorsToSync = result[group]; + const value = item.innerHTML; + if (!selectorsToSync[value]) { + selectorsToSync[value] = []; + } + selectorsToSync[value].push(item); + } + return result; + } + + function setupSelectorSync() { + const selectorsToSync = findSelectorsToSyncByLanguage(); + Object.entries(selectorsToSync).forEach(([group, tabSetsByValue]) => { + Object.entries(tabSetsByValue).forEach(([value, items]) => { + items.forEach((item) => { + item.addEventListener("click", (_event) => { + setTabState(group, value); + toggleAll(value, selectorsToSync[group]); + }); + }); + }); + }); + return selectorsToSync; + } + + const selectorsToSync = setupSelectorSync(); + for (const [group, selectedName] of Object.entries(getTabSettings())) { + const selectors = selectorsToSync[group]; + // it's possible that stale state gives us empty selections, so we explicitly check here. + if (selectors) { + toggleAll(selectedName, selectors); + } + } +}); + +function throttle(func, wait) { + let waiting = false; + return function () { + if (!waiting) { + func.apply(this, arguments); + waiting = true; + setTimeout(function () { + waiting = false; + }, wait); + } + }; +} + +function nexttick(func) { + return setTimeout(func, 0); +} diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css" new file mode 100644 index 0000000..e6ae635 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.css" @@ -0,0 +1 @@ +.tippy-box[data-animation=fade][data-state=hidden]{opacity:0}[data-tippy-root]{max-width:calc(100vw - 10px)}.tippy-box{position:relative;background-color:#333;color:#fff;border-radius:4px;font-size:14px;line-height:1.4;white-space:normal;outline:0;transition-property:transform,visibility,opacity}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow{bottom:0}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow:before{bottom:-7px;left:0;border-width:8px 8px 0;border-top-color:initial;transform-origin:center top}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow{top:0}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow:before{top:-7px;left:0;border-width:0 8px 8px;border-bottom-color:initial;transform-origin:center bottom}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow{right:0}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow:before{border-width:8px 0 8px 8px;border-left-color:initial;right:-7px;transform-origin:center left}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow{left:0}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow:before{left:-7px;border-width:8px 8px 8px 0;border-right-color:initial;transform-origin:center right}.tippy-box[data-inertia][data-state=visible]{transition-timing-function:cubic-bezier(.54,1.5,.38,1.11)}.tippy-arrow{width:16px;height:16px;color:#333}.tippy-arrow:before{content:"";position:absolute;border-color:transparent;border-style:solid}.tippy-content{position:relative;padding:5px 9px;z-index:1} \ No newline at end of file diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" new file mode 100644 index 0000000..ca292be --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw(ES)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" @@ -0,0 +1,2 @@ +!function(e,t){"object"==typeof exports&&"undefined"!=typeof module?module.exports=t(require("@popperjs/core")):"function"==typeof define&&define.amd?define(["@popperjs/core"],t):(e=e||self).tippy=t(e.Popper)}(this,(function(e){"use strict";var t={passive:!0,capture:!0},n=function(){return document.body};function r(e,t,n){if(Array.isArray(e)){var r=e[t];return null==r?Array.isArray(n)?n[t]:n:r}return e}function o(e,t){var n={}.toString.call(e);return 0===n.indexOf("[object")&&n.indexOf(t+"]")>-1}function i(e,t){return"function"==typeof e?e.apply(void 0,t):e}function a(e,t){return 0===t?e:function(r){clearTimeout(n),n=setTimeout((function(){e(r)}),t)};var n}function s(e,t){var n=Object.assign({},e);return t.forEach((function(e){delete n[e]})),n}function u(e){return[].concat(e)}function c(e,t){-1===e.indexOf(t)&&e.push(t)}function p(e){return e.split("-")[0]}function f(e){return[].slice.call(e)}function l(e){return Object.keys(e).reduce((function(t,n){return void 0!==e[n]&&(t[n]=e[n]),t}),{})}function d(){return document.createElement("div")}function v(e){return["Element","Fragment"].some((function(t){return o(e,t)}))}function m(e){return o(e,"MouseEvent")}function g(e){return!(!e||!e._tippy||e._tippy.reference!==e)}function h(e){return v(e)?[e]:function(e){return o(e,"NodeList")}(e)?f(e):Array.isArray(e)?e:f(document.querySelectorAll(e))}function b(e,t){e.forEach((function(e){e&&(e.style.transitionDuration=t+"ms")}))}function y(e,t){e.forEach((function(e){e&&e.setAttribute("data-state",t)}))}function w(e){var t,n=u(e)[0];return null!=n&&null!=(t=n.ownerDocument)&&t.body?n.ownerDocument:document}function E(e,t,n){var r=t+"EventListener";["transitionend","webkitTransitionEnd"].forEach((function(t){e[r](t,n)}))}function O(e,t){for(var n=t;n;){var r;if(e.contains(n))return!0;n=null==n.getRootNode||null==(r=n.getRootNode())?void 0:r.host}return!1}var x={isTouch:!1},C=0;function T(){x.isTouch||(x.isTouch=!0,window.performance&&document.addEventListener("mousemove",A))}function A(){var 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ce(){ne().removeEventListener("mousemove",W),H=H.filter((function(e){return e!==W}))}function pe(e){if(!x.isTouch||!N&&"mousedown"!==e.type){var t=e.composedPath&&e.composedPath()[0]||e.target;if(!$.props.interactive||!O(z,t)){if(u($.props.triggerTarget||o).some((function(e){return O(e,t)}))){if(x.isTouch)return;if($.state.isVisible&&$.props.trigger.indexOf("click")>=0)return}else ae("onClickOutside",[$,e]);!0===$.props.hideOnClick&&($.clearDelayTimeouts(),$.hide(),I=!0,setTimeout((function(){I=!1})),$.state.isMounted||ve())}}}function fe(){N=!0}function le(){N=!1}function de(){var e=ne();e.addEventListener("mousedown",pe,!0),e.addEventListener("touchend",pe,t),e.addEventListener("touchstart",le,t),e.addEventListener("touchmove",fe,t)}function ve(){var e=ne();e.removeEventListener("mousedown",pe,!0),e.removeEventListener("touchend",pe,t),e.removeEventListener("touchstart",le,t),e.removeEventListener("touchmove",fe,t)}function me(e,t){var n=re().box;function r(e){e.target===n&&(E(n,"remove",r),t())}if(0===e)return t();E(n,"remove",T),E(n,"add",r),T=r}function ge(e,t,n){void 0===n&&(n=!1),u($.props.triggerTarget||o).forEach((function(r){r.addEventListener(e,t,n),F.push({node:r,eventType:e,handler:t,options:n})}))}function he(){var e;Z()&&(ge("touchstart",ye,{passive:!0}),ge("touchend",Ee,{passive:!0})),(e=$.props.trigger,e.split(/\s+/).filter(Boolean)).forEach((function(e){if("manual"!==e)switch(ge(e,ye),e){case"mouseenter":ge("mouseleave",Ee);break;case"focus":ge(D?"focusout":"blur",Oe);break;case"focusin":ge("focusout",Oe)}}))}function be(){F.forEach((function(e){var t=e.node,n=e.eventType,r=e.handler,o=e.options;t.removeEventListener(n,r,o)})),F=[]}function ye(e){var t,n=!1;if($.state.isEnabled&&!xe(e)&&!I){var r="focus"===(null==(t=C)?void 0:t.type);C=e,L=e.currentTarget,ue(),!$.state.isVisible&&m(e)&&H.forEach((function(t){return 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n=re().box;["placement","reference-hidden","escaped"].forEach((function(e){"placement"===e?n.setAttribute("data-placement",t.placement):t.attributes.popper["data-popper-"+e]?n.setAttribute("data-"+e,""):n.removeAttribute("data-"+e)})),t.attributes.popper={}}}}];ee()&&u&&p.push({name:"arrow",options:{element:u,padding:3}}),p.push.apply(p,(null==n?void 0:n.modifiers)||[]),$.popperInstance=e.createPopper(c,z,Object.assign({},n,{placement:r,onFirstUpdate:A,modifiers:p}))}function Te(){$.popperInstance&&($.popperInstance.destroy(),$.popperInstance=null)}function Ae(){return f(z.querySelectorAll("[data-tippy-root]"))}function Le(e){$.clearDelayTimeouts(),e&&ae("onTrigger",[$,e]),de();var t=oe(!0),n=Q(),r=n[0],o=n[1];x.isTouch&&"hold"===r&&o&&(t=o),t?v=setTimeout((function(){$.show()}),t):$.show()}function De(e){if($.clearDelayTimeouts(),ae("onUntrigger",[$,e]),$.state.isVisible){if(!($.props.trigger.indexOf("mouseenter")>=0&&$.props.trigger.indexOf("click")>=0&&["mouseleave","mousemove"].indexOf(e.type)>=0&&V)){var t=oe(!1);t?g=setTimeout((function(){$.state.isVisible&&$.hide()}),t):h=requestAnimationFrame((function(){$.hide()}))}}else ve()}}function F(e,n){void 0===n&&(n={});var r=R.plugins.concat(n.plugins||[]);document.addEventListener("touchstart",T,t),window.addEventListener("blur",L);var o=Object.assign({},n,{plugins:r}),i=h(e).reduce((function(e,t){var n=t&&_(t,o);return n&&e.push(n),e}),[]);return v(e)?i[0]:i}F.defaultProps=R,F.setDefaultProps=function(e){Object.keys(e).forEach((function(t){R[t]=e[t]}))},F.currentInput=x;var W=Object.assign({},e.applyStyles,{effect:function(e){var 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"b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-.rmarkdown" new file mode 100644 index 0000000..9d36f80 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-.rmarkdown" @@ -0,0 +1,1213 @@ +--- +title: "Contrastes de Hipótesis" +author: Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia +date: "`r Sys.Date()`" +format: + html: + toc: true + number-sections: true + toc-location: left + toc-depth: 3 + code-fold: false + fig-width: 8 + fig-height: 6 + pdf: + toc: true + number-sections: true + colorlinks: true + geometry: + - top=20mm + - left=15mm + papersize: A4 +quarto: + chunk_options: + echo: true + cache: false + prompt: false + tidy: true + comment: NA + message: false + warning: false + knit_options: + width: 75 +reference-location: margin +execute: + echo: true + message: false + warning: false + cache: true +# bibliography: "../StatisticalLearning.bib" +editor_options: + chunk_output_type: console +editor: + markdown: + wrap: 72 +--- + +```{r eval=FALSE, echo=FALSE} +# quarto::quarto_render("EstadMat-AllChap(ES).qmd", output_format = "all") +``` + + + + + +## Introducción + +Antes de introducir los conceptos asociados al contraste estadístico de hipótesis, es conveniente situar este tema en el contexto más general de la confirmación de hipótesis, materia que la filosofía de la ciencia estudia en profundidad. Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema. + +Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma: + +- a) se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, ...) sobre el fenómeno de estudio +- b) se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría +- c) si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida +- d) si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental. +- e) cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores. + +Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán o bien totalmente contradictorios con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) o bien concordantes con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla). + +Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría. + +Debe quedar claro al lector que el esquema anterior no es el de un contraste estadístico, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d). + +Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis. + +## Del lenguaje natural a la hipótesis paramétrica + +Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural. + +Quizás convenga recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una proposición sobre la realidad. Por ejemplo, si se considera una determinada especie de pájaros, una hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo, si el problema trata ahora sobre una determinada hormona humana, consiste en proponer como hipótesis que la tasa se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante. + +Statmedia incluye básicamente una inferencia basada en la estadística paramétrica. En relación con esta perspectiva, los fenómenos reales se modelan según una determinada ley de probabilidad: por ejemplo una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc. + +Esto conlleva que en estadística paramétrica las proposiciones -hipótesis- se formulen en función de los parámetros del modelo de distribución que modelan aquel aspecto de la realidad. + +Este es por tanto el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador: trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre parámetros, que es la forma en que la estadística paramétrica comprueba las hipótesis. + +En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes. + +### Cas 1: Presentación del caso + +Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido. + +El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo. + +El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos. + +### Cas 1: Modelo de probabilidad + +El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos: + +$$ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +$$ + +la distribución de $X$ es una distribución binomial, de parámetros $n=10$ y $p$ desconocida. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +el único parámetro desconocido es la proporción $\boldsymbol{p}$ de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a $p$. + +### Cas 2: Presentación del caso + +En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona(*), que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje. + +No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de $\mathbf{1 . 5}$ unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante. +(*) La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales. + +### Cas 2: Modelo de probabilidad + +El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por $\mathrm{mil} \cdot$ litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales. + +Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite. + +Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable: + +$$ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +$$ + +se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro $\mu$ desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como $\sigma=2.4$ (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante el tema 10). + +La fórmula de la densidad Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población $\boldsymbol{\mu}$, a la que se referirán las hipótesis estadísticas. + +Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ para un deportista, y consideramos que el muestreo es aleatorio simple, entonces: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +$$ + +que tendrá una densidad de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expresión más general para todo $n$ sería: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densidad para todo $n$ es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +Y una expresión para todo $n$ y cualquier varianza es: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +## Hipótesis nula contra hipótesis alternativa + +Un contraste de hipótesis estadístico se plantea como una decisión entre dos hipótesis. +La hipótesis nula consiste en una afirmación sobre la población de origen de la muestra. Usualmente es más simple (menor número de parámetros, por ejemplo) que su antagonista. La hipótesis nula se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación sobre la población de origen. Muchas veces, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de $\mathrm{H}_{0}$. La hipótesis alternativa se designa con el símbolo $\mathbf{H}_{1}$. + +De momento trataremos el caso más sencillo, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro $\theta$ (theta). La formulación es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ + +En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis simple contra simple. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro $\theta$ solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto. + +### Cas 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras + +El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es $\mathbf{0 . 5}$. + +En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro $p$ en la variable Binomial es 0.6. + +Así pues, si $X$ es el número de hembras en 10 nidos, y $p$ es la proporción de hembras, la forma final del contraste es: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecto a los datos obtenidos por da Souza son: + +| Niu | Pollet | Niu | Pollet | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | femella | 6 | mascle | +| 2 | mascle | 7 | femella | +| 3 | femella | 8 | femella | +| 4 | femella | 9 | mascle | +| 5 | mascle | 10 | femella | + +En resumen, ha observado que en $\mathbf{6}$ de los nidos hay una hembra. + +### Cas 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona + +Las autoridades deportivas postulan una media de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mientras que ADG indica una media de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tanto para $\mathrm{H}_{0}$ como para $\mathrm{H}_{1}$ el modelo contempla $\sigma=2,4$. +Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes: + +| Individu | Concentració | Individu | Concentració | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La media aritmética de los 16 atletas es $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +## Compatibilidad de resultados e hipótesis + +Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta. + +En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa. + +Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella. + +Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo $\mathrm{H}_{0}$ como bajo $\mathrm{H}_{1}$. Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis. + +En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis. + +### Cas 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras. + +Como ya hemos visto, $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-08.jpg?height=521&width=849&top_left_y=1941&top_left_x=609) + +Al igual que para $\mathrm{H}_{0}$, la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso $X$ (n.º de hembras en 10 nidos) es una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo $\mathrm{H}_{1}$, junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial: + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-09.jpg?height=507&width=838&top_left_y=386&top_left_x=615) + +Consultando Statmedia en su formato Html se puede comprobar qué probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad $p$ de la población. Podemos entender estas diferentes " $p$ " como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepto en los casos triviales $p=0$ o $p=1$, no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas. + +### Cas 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis + +La asociación ADG ha obtenido una muestra con media $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media. + +En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{0}$ expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ más cercanos a la media bajo $\mathrm{H}_{0}$. + +(Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.) + +En el caso de $\mathrm{H}_{1}$ tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo $\mathrm{H}_{1}$ expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$: + +(Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.) + +## No todo es igualmente probable... + +La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bien $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error. + +### Cas 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo $\mathrm{H}_{0}$ + +Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para $X$: $0,1, \ldots$, hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis $p=0.5$ resulta poco verosímil. + +Es importante entender que el verdadero valor de $p$ (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor. + +Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +(Se muestra la tabla de probabilidades correspondientes.) + +### Cas 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple $\mathrm{H}_{0}$ + +De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula. + +En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expresada como intervalo, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +(Se muestran las probabilidades correspondientes.) + +## El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión + +Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar $\mathrm{H}_{1}$. En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a $\mathrm{H}_{0}$, en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- $\mathrm{H}_{0}$. A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta $\mathrm{H}_{0}$. En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional. + +### Cas 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante + +Definiremos la región crítica de la siguiente forma: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Por lo tanto, la región de aceptación será: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criterio de decisión será por tanto: + +- si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilidad de hembras es 0.6) +- si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilidad de hembras es 0.5) + +Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable. + +Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +## Hipótesis nula y nivel de significación + +Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar $H_{0}$ cuando ésta es cierta. + +Esta probabilidad se designa de forma equivalente como: + +- error de tipo I (o de primera especie) +- nivel de significación del contraste + +y usualmente se simboliza con la letra griega alfa. +El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes: +- $\alpha=$ probabilidad de rechazo de $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, cuando $\mathrm{H}_{0}$ es cierta +- $\alpha=$ probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{0}$ es cierta. + +### Cas 1: Nivel de significación + +En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula $(p=0.5)$. Como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}$ cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1). + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta pues: $\quad \alpha=0.0547$. + +### Cas 1: Elección de la región crítica + +Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{0}$): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ahora bien, un criterio de decisión basado en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ es absurdo, teniendo en cuenta que $\mathrm{H}_{1}$ es $p=0.6$. Veamos por qué. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$. Si se elige $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ como región crítica, implica aceptar $\mathrm{H}_{1}$ cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (número hembras $<3 / \mathrm{H}_{1}$ cierta) $=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo $\mathrm{H}_{1}$. En otras palabras, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos. + +### Cas 2: Elección de la región crítica + +A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criterio de decisión será, por tanto: +si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivel es 8.5) +Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es: + +$$ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +$$ + +en la fila correspondiente a prob $(\mathrm{X}>=7.987)$ de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +donde $F_{z}$ es la función de distribución de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La región crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ lleva asociado un nivel de significación $\alpha=0.05$. Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición: + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +## Región crítica y formalización del contraste + +La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación. +La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste. + +Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenemos: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisión: + +- si la muestra pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la muestra no pertenece a $\mathrm{W}_{\alpha}$ entonces rechazar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalmente: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +$$ + +### Cas 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ número de hembras totales en los 10 nidos | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa $=\mathbf{f r}$ del número de hembras en los 10 nidos. + +### Cas 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión + +| Región crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Región de aceptación | $\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístico de test | $\mathrm{T}=$ media de statdrolona en 16 atletas | +| Criterio de decisión: | | +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +La distribución del estadístico de test T bajo $\mathrm{H}_{0}$ es una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +## Tabla de decisión del contraste + +Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir: + +| | Hipótesis verdadera | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipótesis aceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipo II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipo I | - | + +Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes: + +- $1-\beta=$ probabilidad de rechazar $\mathrm{H}_{1}$, cuando $\mathrm{H}_{1}$ es cierta +- $1-\beta=$ probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando $\mathbf{H}_{1}$ es cierta + +En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará $\mathrm{H}_{1}$ según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores. + +Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori. + +Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados. + +### Cas 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste + +El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| aceptar $\mathrm{H}_{0}$ si | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivel de significación | $\alpha=0.0547$ | + +Supongamos que $\mathrm{H}_{1}$ es cierta, es decir, que $p=0,6$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +(Se muestra la tabla de probabilidades acumuladas.) + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $H_{1}/H_{1}$ cierta)= prob. $(T \leq 7/H_{1}$ cierta) $=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbólicamente corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +### Cas 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en: + +| aceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivel de significación | $\alpha=0.05$ | + +Supongamos que es cierta $\mathrm{H}_{1}$, es decir, que $\mu=8.5$. En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II: + +(Se muestra la tabla de probabilidades para la media.) + +$1-\beta=$ prob. (rechazar $\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}$ cierta)= prob. $(\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960$ +Simbólicamente, corresponde a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +## Relación entre el error de tipo I y el de tipo II + +Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis. + +Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta $\mathrm{H}_{0}$, es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre $\mathrm{H}_{0}$, independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre $H_{0}$! Así, reducir $\alpha$ a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre $\mathrm{H}_{1}$, lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir $\alpha$ conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- $\beta$. + +### Cas 1: Evaluación de $\alpha$ y 1- $\beta$ para diferentes regiones críticas + +Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva del documento se puede cambiar dinámicamente la región crítica y se calculan automáticamente los errores: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, donde $a$ es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica $\{8,9,10\}$. La hipótesis alternativa considerada es $p_{1}=0.6$, tal y como se indica en la leyenda del gráfico. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Cas 2: Relación entre los errores de primera ( $\alpha$ ) y segunda especie (1- $\beta$ ) + +La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +y para cada región crítica de la forma $[a,+\infty)$ se calculan $\alpha$ y $1-\beta$. En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a $\mu_{0}$. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Potencia y test más potente + +La potencia de un contraste se define como: +$\beta=$ prob.(aceptar $H_{1}/H_{1}$ cierta) = prob.(muestra pertenezca a $W_{a}/H_{1}$ cierta) +es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II. +Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible). + +En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}$ y el nivel de significación $\alpha$, proporcione la potencia más alta entre todos ellos. + +Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si $mp$ designa el test más potente, deberá cumplir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +$$ + +donde $t$ es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que $mp$. + +### Cas 1: Potencia en hipótesis simple vs simple + +En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Se puede leer entonces que la potencia es: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo. + +### Cas 2: Potencia en hipótesis simple vs simple + +Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla). + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +La definición de potencia aplicada a este caso resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbólicamente hemos calculado: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el documento interactivo se especifica la expresión para todo $n$. + +## Efecto del tamaño muestral + +Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población). + +Una vez elegido $\alpha$, quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de $\alpha$ es incrementar el tamaño muestral $N$. + +Aumentar $N$ varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener $\boldsymbol{\alpha}$ constante y aumentar $N$ se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta? + +### Cas 1 + +En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +### Cas 2 + +Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para $N=16$ y $N=30$) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar $N$, las distribuciones en el muestreo de la media bajo $\mathrm{H}_{0}$ y $\mathrm{H}_{1}$ presentan cada vez un menor solapamiento. + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se observa el efecto de $N$ para todo el rango de regiones críticas: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +## Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas + +Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral. + +Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple. + +### Cas 1: Hipótesis compuestas + +Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en: + +(Se muestra la tabla con la región crítica anterior.) + +Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con $\mathrm{T}=0$. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5). + +El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +(Se muestra figura con valores destacados.) + +la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral. + +### Cas 2: Hipótesis compuestas + +A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple). + +Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo $\mathrm{H}_{0}$, dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con $\mu<7$). + +Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +Se obtiene $\alpha=0.1$. En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante: + +(Se muestra la figura correspondiente.) + +Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +Donde: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +## Función de potencia + +Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, $\theta$ presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +$$ + +no se puede calcular globalmente para toda $\mathrm{H}_{1}$, sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de $\mathrm{H}_{1}$. De ahí el interés de definir la función de potencia: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +$$ + +donde $\theta$ es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ es simple (un solo parámetro $\theta_{0}$), resultará: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +$$ + +### Cas 1: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia $(\beta)$ inicialmente para $p=0.6$ y para $p=0.8$ (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo $\mathrm{H}_{1}$): + +(Se muestran las tablas correspondientes.) + +En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros: + +(Se muestran figuras correspondientes.) + +### Cas 2: Función de potencia + +Ahora la potencia depende de la media concreta $\mu_{1}$ que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +dado que la región crítica es $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( $\beta$ ) inicialmente para $\mu=8.5$. En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 y que respectivamente corresponden a $n=16$ (la situación de este caso 2) y a $n=1$. En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a $\beta: \alpha, \sigma y n$ y compararlos con la situación original. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +## Tests óptimos + +En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa. + +El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por Statmedia. El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo. + +## Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales + +Un contraste bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| el izquierdo es: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos de que se encarga Statmedia, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta. + +En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder. + +### Cas 1: Prueba unilateral + +Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico $\theta$ por p, y el valor $\theta_{0}=0.5$. Tomando la región crítica como $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación: + +(Se muestra la tabla de probabilidades para p=0.5.) + +En el documento interactivo se incluye un cuadro donde se puede explorar la potencia con diferentes alternativas. + +### Cas 2: Prueba unilateral + +El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +se obtiene $\alpha=0.05$. En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación): + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Simbólicamente, se calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la $\mu$ concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una $\sigma=2.4$ poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal. + +## Elección del nivel de significación + +¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué $\alpha$ usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es $\alpha=0.05$ (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo $\alpha=0.01$ (1%) y $\alpha=0.1$ (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores. + +Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier $\alpha$. Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación. + +No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre $1-\beta$. La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado. + +Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario. + +## El p-valor + +La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$) conlleva aceptar $\mathrm{H}_{0}$. Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta $\mathrm{H}_{0}$. Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa. + +Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo $\boldsymbol{\alpha}$. Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando $\mathrm{H}_{0}$ con un $\alpha$ fijo. + +Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el "significance level", cuya traducción literal es "nivel de significación", cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor ("p-value"). + +### Cas 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Sigamos con la hipótesis unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Supongamos que, una vez obtenida la muestra de $n=10$ nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier $\alpha$. + +El p-valor es el menor $\alpha$ que permite aceptar $\mathrm{H}_{1}$. Con la tabla siguiente: + +(Se muestra la tabla con probabilidades acumuladas desde 0.) + +Se obtiene el p-valor asociado a $\mathrm{T}=6$ hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos: + +1. Si se escogiera $\alpha=0.1719$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar $H_{0}$. Por tanto, $\alpha$ no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar $\mathrm{H}_{0}$: $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ debe ser forzosamente mayor. +2. Si se eligiera $\alpha^{\prime}=0.3770$, la región crítica correspondiente sería $W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime}$ se rechazaría $H_{0}$. +3. Si se seleccionara $\alpha^{\prime\prime}=0.6230$, la región crítica correspondiente sería $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}$. Con $\alpha^{\prime\prime}$ también se rechazaría $\mathrm{H}_{0}$. + +Observamos que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}$, y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, $\alpha^{\prime}$ es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos $H_{0}$ con la muestra actual o, dicho de otro modo, $\alpha^{\prime}$ es el p-valor. + +Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,...), que devuelve simplemente la información $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves. + +Pues bien, en este momento, se deberá comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, $\alpha=0.05$): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T $\geq 6$ hembras bajo $\mathrm{H}_{0}$ y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vez más, hay que insistir en que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que $\alpha$ es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia. + +### Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral) + +Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como $\mathrm{T}=8.54$, el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de la cola. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{0}$, ya que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula. + +El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar $\alpha$ en ningún sentido: $\alpha$ se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II. + +### Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral) + +Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de $\mathrm{T}=8.54$, la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a $\mu=7$, es decir, la cola izquierda situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a $\alpha$ en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia. + +(Se muestra figura correspondiente.) + +El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Así pues, se rechaza $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, puesto que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con $\mathrm{p}_{uni}$ y $\mathrm{p}_{bil}$, respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que: + +- Si $\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral. +- Si $\mathrm{p}_{uni}>0.5$, entonces $\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})$. Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral. + +## Pruebas exactas y pruebas asintóticas + +Los dos errores ( $\alpha$ y $1-\beta$ ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada. + +Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra $N$ qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo $N$. Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales. + +En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de $N$, y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado. + +### Cas 1: Test asintótico + +Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico $T=$ número de hembras en diez nidos, que es una Binomial $(n, p)$, con $n=10$ y $p$ desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra $n$. No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de $T$ es: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Por ejemplo, si se pretende contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +con $n=36$, bajo $\mathrm{H}_{0} T$ será aproximadamente $N(18,3)$. En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes $n$ y diferentes valores de T. Por ejemplo, para $n=36$ y 28 hembras las diferencias son: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando $n>30$. + +### Cas 2: Test exacto + +Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de $n$ atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc. + +## Relación con los intervalos de confianza + +Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +se puede resolver planteando el intervalo de confianza para $\theta$, con coeficiente de confianza $1-\alpha$. Supongamos que el intervalo obtenido es $[a ; b]$. Entonces, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Este contraste tendrá como nivel de significación $\alpha$. Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya $\theta_{0}$. + +Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto. + +### Cas 2: Relación con los intervalos de confianza + +En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si tomamos como nivel de confianza $1-\alpha=0.95$, con los datos obtenidos resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +Es decir, se obtiene el intervalo $[\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]$. Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es $\mu=7$, y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral. + +## Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa + +Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, $N$ debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores $N \geq 30$ son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta. + +El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa $\Delta$. + +Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales. + +El significado de $\Delta$ es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo $(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)$. En cambio, $\theta_{0} \pm \Delta$ son los dos primeros puntos, a medida que $\theta$ se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de $\theta_{0}$. Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que $\Delta$. + +La elección concreta del valor de $\Delta$ depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística. + +Una vez elegidos $\Delta$ y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo. + +### Cas 2: Cálculo del tamaño de la muestra + +El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo $n$ que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa ($\boldsymbol{\Delta}$) y la potencia ($\boldsymbol{\beta}$) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +con las condiciones siguientes del experimento fijadas: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que $\mu_{0}=7$, respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con $\mathrm{H}_{0}$, excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de $n$ que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ corresponde a la hipótesis simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de $n$ atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es $n$. Las constantes $z_{\alpha / 2}$ y $z_{1-\beta}$ corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo: + +$$ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema: + +(Se muestra figura correspondiente.) + +Para los valores extremos de $\alpha(0)$ y de $\beta(1)$, el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior. + +## Esquema de un contraste correctamente planteado + +Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes: + +| 1) nivel de significación $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferencia mínima
significativa $\Delta$ | Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
concreto de aplicación. | +| 3) potencia deseada en el
punto a distancia $\Delta$ | Si no se tiene un criterio definido, se tomará $\beta=0.8$ para
$\alpha=0.05$. | + +Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste. + +## Significación estadística y significación aplicada + +Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido. + +Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra $N$ y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados. + +En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo. + +En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que: + +- si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A. +- si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A. + +### Cas 2: Significación estadística y aplicada + +Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ya hemos visto que la conclusión, para $\alpha=0.05$, era indicar que hay significación estadística. + +Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es: +y permite afirmar que también hay significación aplicada. +Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza: + +Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica. + + diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/__packages" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/__packages" new file mode 100644 index 0000000..d44ddce --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/__packages" @@ -0,0 +1,7 @@ +base +methods +datasets +utils +grDevices +graphics +stats diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.RData" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.RData" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e4a810dc1b934b274724e359ab907e4c6e12b188 GIT binary patch literal 180 zcmV;l089TLiwFP!000001`BeDFy@NjVqjokW?*4qVqj(kG8tGyL)>&N7#M&83=E76 z3=Nz>I#$m)Kd+=HvA86)I6fsc-XpW%@FpNTvpBvev0T?RST{a7F*zeuKcgf!N53>L zFEKYYMK?L4G%s7%Fg_{C+}tSHG|j-=B-t`K(bC-9*wie|%p}po+{8F3Ed^+S0N64X i29RX}R#sLD)q2UPIXSglTtE&`>>mJB#YPdW00013AwydL literal 0 HcmV?d00001 diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.rdb" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.rdb" new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git "a/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.rdx" "b/complementos/Contrastes_de_Hip\303\262tesis_raw-ES-_cache/html/unnamed-chunk-1_bb772c5f074c9ca977356f64a4743bfd.rdx" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..af6b3696068015a48d4bdaa9ccd34852a764e68e GIT binary patch literal 125 zcmb2|=3oE=w(bW>2?+^l35khG32CfGk`d0%cS>|6BxbZ66cUi)XyB5NkdTa!uyE}9 zBvc&S-N?h(p>o(hq_yXN;8Tem2WB0VaGfWarH~$(6quG2#CIW}gCRUHD=I56E6&JC a#nOKJ0*$RZEKFHbG#Ff_bIjQZv=so9z$nN7 literal 0 HcmV?d00001 diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).html" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).html" new file mode 100644 index 0000000..0f5e0c5 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).html" @@ -0,0 +1,2386 @@ + + + + + + + + + + + +Contrastes de Hipótesis + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).qmd" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).qmd" new file mode 100644 index 0000000..f22208f --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA).qmd" @@ -0,0 +1,1352 @@ +--- +title: "Contrastes de Hipótesis" +author: Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia +date: "`r Sys.Date()`" +format: + html: + toc: true + number-sections: true + toc-location: left + toc-depth: 3 + code-fold: false + fig-width: 8 + fig-height: 6 + pdf: + toc: true + number-sections: true + colorlinks: true + geometry: + - top=20mm + - left=15mm + papersize: A4 +quarto: + chunk_options: + echo: true + cache: false + prompt: false + tidy: true + comment: NA + message: false + warning: false + knit_options: + width: 75 +reference-location: margin +execute: + echo: true + message: false + warning: false + cache: true +# bibliography: "../StatisticalLearning.bib" +editor_options: + chunk_output_type: console +editor: + markdown: + wrap: 72 +--- + +```{r eval=FALSE, echo=FALSE} +# quarto::quarto_render("EstadMat-AllChap(ES).qmd", output_format = "all") +``` + + +## Verificació d'hipòtesis + +Abans d'introduir els conceptes associats al contrast estadístic d'hipòtesis, és convenient situar aquest tema en el context més general de la confirmació d'hipòtesis, matèria que la filosofia de la ciència estudia en profunditat. Així doncs, en aquest punt només es plantegen consideracions generals, deixant pels següents com aborda l'Estadística aquest tema. + +Una qüestió essencial en qualsevol branca de la ciència -bàsica o aplicada- és com verificar hipòtesis sobre un determinat fenomen real. Nombroses vegades, quan s'exposa aquest tema a l'estudiant durant les primeres etapes de la seva formació científica, l'anomenat mètode de raonament científic, es simplifica en excés, presentant la verificació d'hipòtesis en termes absoluts. En aquest esquema simplificat del mètode científic s'exposa com teoritzar sobre un determinat aspecte de la realitat més o menys de la forma següent: + +- a) es formula una teoria (o una hipòtesi, o una llei, ...) sobre el fenomen d'estudi +- b) es fa el disseny d'un experiment per tractar de corroborar aquesta teoria +- c) si els resultats de l'experiment concorden amb la teoria, aquesta es dóna provisionalment com a vàlida +- d) si l'experiment contradiu la teoria, es torna a l'apartat a), es modifica la llei o se n'elabora una de nova, per tal que s'ajusti a la realitat experimental. +- e) qualsevol teoria relacionada amb aspectes de la realitat és sempre provisional, pendent de ser revisada en entrar en conflicte amb resultats d'experiments posteriors. + +Aquesta forma de procedir -com veurem, excessivament simplista- es basa doncs en el fet d'assumir que en qualsevol experiment s'obtindran resultats que seran o bé totalment contradictoris amb la teoria (i per tant s'haurà d'abandonar immediatament) o bé concordants amb la teoria (i per tant resulta raonable mantenir-la). + +Abans s'ha qualificat aquest mètode de validació com a absolut: si obviem el possible error experimental, la decisió que es prengui no comportarà cap error, ja que és suficient verificar els resultats de l'experiment per acceptar o refusar la teoria. + +Ha de quedar clar al lector que l'esquema anterior no és el d'un contrast estadístic, i de fet el desenvolupament d'aquest tema s'encarregarà de revisar-ho. En els pròxims apartats s'exposarà, per començar, una primera idea fonamental en Estadística: quan s'introdueix un model de probabilitat per explicar un fenomen, emergeix inevitablement un error ja en la mateixa presa de decisió. En altres paraules, l'esquema anterior s'ha de revisar en els punts c) i d). + +Una vegada s'han exposat aquestes qüestions fonamentals en els primers punts del capítol, entrarem al nucli d'aquest tema que consisteix en el desenvolupament ja purament tècnic del contrast estadístic d'hipòtesis. + +## Del llenguatge natural a la hipòtesi paramètrica + +És necessari considerar, abans d'afrontar la validació estadística d'una hipòtesi, com es planteja aquesta en termes estadístics, ja que la seva formulació exigeix una traducció del llenguatge natural. + +Potser convindria recordar que una hipòtesi sobre un determinat fenomen es formula en llenguatge natural com una proposició sobre la realitat. Per exemple, si es considera una determinada espècie d'ocells, una hipòtesi és que la proporció de mascles és idèntica a la de femelles. Un segon exemple, si el problema tracta ara sobre una determinada hormona humana, és proposar com a hipòtesi que la taxa es manté constant quan se subministra un fàrmac anabolitzant. + +Statmedia inclou bàsicament una inferència basada en l'estadística paramètrica. En relació amb aquesta perspectiva, els fenòmens reals es modelen segons una determinada llei de probabilitat: per exemple una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc. + +Això comporta que en estadística paramètrica les proposicions -hipòtesis- es formulin en funció dels paràmetres del model de distribució que modelen aquell aspecte de la realitat. + +Aquest és per tant el primer esforç que ha de realitzar l'experimentador: traslladar les seves hipòtesis, que generalment expressa en llenguatge natural, a afirmacions (proposicions) sobre paràmetres, que és la forma en que l'estadística paramètrica comprova les hipòtesis. + +En els casos pràctics següents, la solució completa dels quals es veurà al llarg del capítol, es presenten dues situacions diferents. + +### Cas 1: Presentació del cas + +Dos coneguts ornitòlegs, especialistes en aus autòctones de l'Amazones Central, discrepen sobre la interpretació de les dades d'una nova espècie de cacatua que ha ressenyat un d'ells. La discussió la centrarem aquí en una de les variables de l'estudi: la proporció de femelles i mascles en els nius. És important precisar que aquestes cacatues es caracteritzen per incubar un sol ou per niu. + +El Dr. da Souza Faria ha censat deu nius, les dades dels quals es detallaran després. Segons la seva experiència, aquesta espècie té una gran semblança amb una altra espècie millor estudiada, amb una proporció idèntica de mascles i femelles. Recolzat per les dades obtingudes, conclou que també la nova espècie té la mateixa proporció d'individus de cada sexe. + +El Dr. Calves discrepa en aquesta apreciació i manté que la proporció ha de ser de sis femelles per cada 4 mascles. + +### Cas 1: Model de probabilitat + +El Dr. da Souza Faria ha comptat en 10 nius el nombre de femelles (complementàriament, el de mascles). La variable és, per tant, discreta i el seu suport és el conjunt $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si assumim que el possible naixement de femelles és independent entre nius, i definim: + +$$ +X=\text { nombre de femelles en un total de } 10 \text { nius. } +$$ + +la distribució de $X$ és una distribució binomial, de paràmetres $n=10$ i $p$ desconeguda. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +l'únic paràmetre desconegut és la proporció $\boldsymbol{p}$ de femelles. Les hipòtesis estadístiques es referiran només a $p$. + +### Cas 2: Presentació del cas + +En el món de l'esport professional es controlen amb molta precisió alguns metabòlits que apareixen en baixes concentracions en condicions normals. Aquest és el cas de la statdrolona(*), que en individus normals presenta una concentració mitjana de 7.0 nanograms per ml d'orina. Aquest valor s'ha establert mitjançant una mostra molt gran d'esportistes després d'anys d'anàlisis abans, durant i després de competicions. Així mateix, s'ha descrit que la desviació estàndard és de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Aquests dos valors poblacionals serveixen com a justificació mèdica a les autoritats esportives per declarar quan la taxa de statdrolona s'associa a un presumpte dopatge. + +No obstant això, un estudi recent encarregat per l'associació d'esportistes ADG a un prestigiós departament universitari de fisiologia propugna que, quan es mesura la concentració de statdrolona en individus no dopats amb un cert tipus d'aliments sobreabundants en la seva dieta (formatge parmesà, per exemple), el valor de la mitjana poblacional és de l'ordre de $\mathbf{1 . 5}$ unitats més gran. En canvi, la desviació estàndard poblacional es manté en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, és a dir, equivalent a la normal. Si aquesta hipòtesi fos certa, permetria explicar alguns dels falsos positius detectats en els últims temps. Com a prova experimental aporten una sèrie de dades sobre 16 esportistes que es detallaran més endavant. +(*) La statdrolona no és cap hormona, s'ha adaptat aquí la informació d'hormones reals. + +### Cas 2: Model de probabilitat + +L'anàlisi de la concentració de statdrolona es mesura en termes de nanograms per $\mathrm{mil} \cdot$ lilitre, per tant, sembla raonable considerar-la com una variable contínua. El conjunt de resultats possibles serà un subconjunt dels reals. + +Amb moltes altres variables antropomètriques, la concentració es pot associar a la distribució Normal. Es pot justificar l'adopció d'aquest model d'acord amb el teorema central del límit. + +Segons les autoritats esportives, els valors en un esportista no dopat han de correspondre a una mitjana de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mentre que per a ADG la mitjana pot ser major en algunes circumstancies. En qualsevol cas la variable: + +$$ +X=\text { concentració de statdrolona en un esportista. } +$$ + +s'acceptarà que té distribució Normal. Així, la discussió se centrarà només en el paràmetre $\mu$ desconegut, mentre que la desviació estàndard es prendrà, per simplificar l'explicació, com a $\sigma=2.4$ (coneguda), encara que se sap que és més realista seleccionar-la com a desconeguda (vegeu més endavant el tema 10). + +La fórmula de la densitat Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica per aquest cas que l'únic paràmetre desconegut és la mitjana de la població $\boldsymbol{\mu}$, a la que es referiran les hipòtesis estadístiques. + +Ara bé, també resulta important descriure la densitat de la mitjana dels setze esportistes, ja que jugarà un paper important en la construcció del test. Si acceptem la distribució $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ per un esportista, i considerem que el mostratge és aleatori simple, aleshores: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { mitjana concentració statdrolona en } 16 \text { esportistes } +$$ + +que tindrà una densitat de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificant 2.4 per l'arrel quadrada de 16 resulta 0.6 , així doncs: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expressió més general per a tot $n$ seria: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densitat per a tot $n$ és: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +I una expressió per a tot $n$ i qualsevol variància és: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +## Hipòtesi nul•la contra hipòtesi alternativa + +Un contrast d'hipòtesis estadístic es planteja com una decisió entre dues hipòtesis. +La hipòtesi nul•la consisteix en una afirmació sobre la població d'origen de la mostra. Usualment és més simple (menor nombre de paràmetres, per exemple) que la seva antagonista. La hipòtesi nul lla es designa amb el símbol $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +La hipòtesi alternativa és igualment una afirmació sobre la població d'origen. Moltes vegades, encara que no sempre, consisteix simplement en negar l'afirmació de $\mathrm{H}_{0}$. La hipòtesi alternativa es designa amb el símbol $\mathbf{H}_{1}$. + +De moment tractarem el cas més senzill, en el qual les dues hipòtesis fan referència a un únic valor del paràmetre. En aquesta situació general, les hipòtesis es refereixen a un paràmetre $\theta$ (theta). La formulació és: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ + +En la teoria del contrast d'hipòtesis aquest tipus de plantejament es coneix com contrast d'hipòtesis simple contra simple. Així doncs, una hipòtesi simple postula que el paràmetre $\theta$ només pot prendre un valor, o, més tècnicament, que el conjunt de paràmetres d'una hipòtesi simple consisteix en un sol punt. + +### Cas 1: Hipòtesi per dirimir la controvèrsia sobre el nombre de femelles + +El Dr. da Souza Faria postula la mateixa proporció per mascles i femelles. En termes de la proporció de la variable $X$ ( $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$ de femelles en 10 nius) això equival a la hipòtesi que la proporció (en la població) és $\mathbf{0 . 5}$. + +En canvi, segons el Dr. Calves la proporció és 6:4 a favor de les femelles, i per tant equival a la hipòtesi que el paràmetre $p$ en la variable Binomial és 0.6. + +Així doncs, si $X$ és el nombre de femelles en 10 nius, i $p$ és la proporció de femelles, la forma final del contrast és: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecte a les dades obtingudes per da Souza són: + +| Niu | Pollet | Niu | Pollet | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | femella | 6 | mascle | +| 2 | mascle | 7 | femella | +| 3 | femella | 8 | femella | +| 4 | femella | 9 | mascle | +| 5 | mascle | 10 | femella | + +En resum, ha observat que en $\mathbf{6}$ dels nius hi ha una femella. + +### Cas 2: Hipòtesi a contrastar en el problema de la taxa de statdrolona + +Les autoritats esportives postulen una mitjana de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mentre que ADG indica una mitjana de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ per als individus sotmesos a aquest tipus de dieta. Per tant, en síntesi el contrast consistirà en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tant per $\mathrm{H}_{0}$ com per $\mathrm{H}_{1}$ el model contempla $\sigma=2,4$. +Les dades de l'estudi que ha obtingut l'associació ADG, i que segons ells recolzaven la seva tesis, han estat les següents: + +| Individu | Concentració | Individu | Concentració | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La mitjana aritmètica dels 16 atletes és $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +## Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +Tornant a la qüestió fonamental de la verificació d'hipòtesis, un resultat incompatible amb una hipòtesi és aquell que no pot haver-se produït de cap de les maneres si aquesta hipòtesi és certa. + +En aquest sentit, incompatible és sinònim de impossible. En termes de probabilitat, un resultat incompatible és aquell que té probabilitat zero de produir-se si la hipòtesi és certa. La lògica elemental indica que si s'obté un resultat incompatible amb una hipòtesi, aquesta última és forçosament falsa. + +Ara bé, quan es pren un model aleatori per tal d'explicar el fenomen observat, el caràcter probabilístic del model habitualment evita que es descarti qualsevol hipòtesi per haver obtingut dades que hi son incompatibles. + +Al contrari, tots els resultats seran estrictament compatibles amb les dues hipòtesis, o dit d'una altra manera, qualsevol conjunt de dades que s'obtingui en l'estudi es pot arribar a observar tant sota $\mathrm{H}_{0}$ com sota $\mathrm{H}_{1}$. Això trenca l'esquema excessivament simple exposat abans en la verificació ideal d'hipòtesis. + +En definitiva, si es modela la realitat com un fenomen aleatori, s'ha d'abandonar la idea de la presa de decisions basada només en una inspecció de resultats que descarti sense error en la presa de decisió una de les dues hipòtesis. + +### Cas 1: Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtingut una mostra de 6 femelles i 4 mascles en els 10 nius. Tanmateix, aquest és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi nul•la. Si hagués escollit com a mostra altres nius, podria haver trobat un altre nombre de femelles. + +Com ja hem vist, $X$ ( $\mathrm{n}^{\circ}$ de femelles en 10 nius) és una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la taula següent es detallen els resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{0}$, juntament amb la probabilitat d'obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-08.jpg?height=521&width=849&top_left_y=1941&top_left_x=609) + +Igual que per $\mathrm{H}_{0}$, la mostra obtinguda pel Dr. da Souza Faria amb 6 femelles i 4 mascles és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi alternativa. En aquest cas $X$ ( $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$ de femelles en 10 nius) és una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la taula següent es detallen els resultats que podien haver esdevingut sota $\mathrm{H}_{1}$, juntament amb la probabilitat d'obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-09.jpg?height=507&width=838&top_left_y=386&top_left_x=615) + +Consultant Statmedia en el seu format Html es pot comprovar quines probabilitats tenen els onze resultats sota d'altres hipòtesis que es podrien formular sobre el veritable valor de la probabilitat $p$ de la població. Podem entendre aquestes diferents " $p$ " com a hipòtesis diferents que es podrien haver establert com a alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepte en els casos trivials $p=0$ o $p=1$, no hi ha cap resultat que no es pugui presentar, encara que sigui amb probabilitats molt petites. + +### Cas 2: Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +L'associació ADG ha obtingut una mostra de mitjana $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona per a 16 esportistes. Ja hem vist en el model de probabilitat quina densitat associem amb la variable de cada esportista i amb la mitjana de tots ells. Cal recordar que una variable contínua té probabilitat zero d'obtenir un resultat puntual i que les probabilitats en variables contínues es calculen sobre intervals. Així doncs el valor 8.54 s'ha d'interpretar com un interval, ja que les mesures dels esportistes individualment corresponen en realitat a un cert interval de precisió experimental (per exemple, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ ). El valor 8.54 triat com a marca d'un cert interval no és incompatible en absolut amb la hipòtesi nul lla. De fet és possible obtenir qualsevol mitjana. + +En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{0}$ expressades en termes de la funció de distribució. La mitjana dels 16 resultats correspon a una Normal (7.0, 0.6). En la taula dreta es detallen les probabilitats per intervals d'amplada $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ més propers a la mitjana sota $\mathrm{H}_{0}$. + +| Mitiana $(x)$ | Prob. $X=\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 5,8 | 0.0228 | +| 6,1 | 0.0668 | +| 6,4 | 0.1587 | +| 6,7 | 0.3085 | +| 7 | 0.5000 | +| 7,3 | 0.6915 | +| 7,6 | 0.8413 | +| 7,9 | 0.9332 | +| 8,2 | 0.9772 | +| 8,5 | 0.9938 | +| 8,8 | 0.9987 | + + +| Mitiana pern | Prob. Interval | +| :---: | :---: | +| $\leq 5,8$ | 0.0228 | +| $[5,8 ; 6,1]$ | 0.0441 | +| $[6,1 ; 6,4]$ | 0.0918 | +| $[6,4 ; 6,7]$ | 0.1499 | +| $[6,7 ; 7]$ | 0.1915 | +| $[7 ; 7,3]$ | 0.1915 | +| $[7,3 ; 7,6]$ | 0.1499 | +| $[7,6 ; 7,9]$ | 0.0918 | +| $[7,9 ; 8,2]$ | 0.0441 | +| $[8,2 ; 8,5]$ | 0.0165 | +| $[8,5 ; 8,8]$ | 0.0049 | + +En el cas de $\mathrm{H}_{1}$ tampoc no és incompatible cap mitjana, i per tant en particular no ho és el valor 8.54. Ara la densitat de la mitjana dels 16 valors és una variable aleatòria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{1}$ expressades en termes de la funció de distribució. En la taula de la dreta es mostren les probabilitats per intervals d'amplada de $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ : + +| Mitjana $(\mathrm{x})$ | Prob. $\mathrm{X} \leqslant=\mathrm{x}$ | +| :---: | :---: | +| 6,7 | 0.0013 | +| 7 | 0.0062 | +| 7,3 | 0.0228 | +| 7,6 | 0.0668 | +| 7,9 | 0.1587 | +| 8,2 | 0.3085 | +| 8,5 | 0.5000 | +| 8,8 | 0.6915 | +| 9,1 | 0.8413 | +| 9,4 | 0.9332 | +| 9,7 | 0.9772 | + + +| Mitiana pern | Prob. Interval | +| :---: | :---: | +| $\leq 6,7$ | 0.0013 | +| $[6,7 ; 7]$ | 0.0049 | +| $[7 ; 7,3]$ | 0.0165 | +| $[7,3 ; 7,6]$ | 0.0441 | +| $[7,6 ; 7,9]$ | 0.0918 | +| $[7,9 ; 8,2]$ | 0.1499 | +| $[8,2 ; 8,5]$ | 0.1915 | +| $[8,5 ; 8,8]$ | 0.1915 | +| $[8,8 ; 9,1]$ | 0.1499 | +| $[9,1 ; 9,4]$ | 0.0918 | +| $[9,4 ; 9,7]$ | 0.0441 | + +## No tot és igualment probable... + +La segona consideració fonamental en un contrast d'hipòtesis estadístic és que no tots els resultats són igualment probables sota $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Aquest és el principal argument per tal d'establir un criteri de decisió -una regla- que permeti decidir en la pràctica si és acceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bé $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que ha de guiar al lector en aquest moment quan s'inspeccionen els casos pràctics és que els resultats (molt) improbables sota una certa hipòtesi mostren que aquesta segurament no és vàlida. Així doncs, en el contrast estadístic d'hipòtesis no hi ha resultats impossibles, només improbables, i per tant en les decisions s'introdueix forçosament una probabilitat d'error. + +### Cas 1: Una regió amb $n^{0}$ femelles amb baixa probabilitat sota $\mathrm{H}_{0}$ + +Hem vist abans les probabilitats d'obtenir cadascun dels resultats possibles per $X$ : $0,1, \ldots$, fins a 10 femelles. El sentit comú indica que si s'obtenen valors de X propers a 0 o a 10 , la hipòtesi $p=0.5$ és aleshores poc versemblant. + +És important entendre que el veritable valor de $p$ (el valor en la població) no és, ni serà mai, conegut en la pràctica, només formulem hipòtesis sobre aquest valor. + +Vegem quina és la probabilitat d'obtenir valors majors que 8 femelles. Per abreujar, designem la regió de valors majors o iguals a 8 amb el símbol $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +| Valor de $X$ | Prob. $X>=X$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 1.0000 | +| 1 | 0.9990 | +| 2 | 0.9893 | +| 3 | 0.9453 | +| 4 | 0.8281 | +| 5 | 0.6230 | +| 6 | 0.3770 | +| 7 | 0.1719 | +| 8 | 0.0547 | +| 9 | 0.0107 | +| 10 | 0.0010 | + +### Cas 2: Mitjanes de les taxes de statdrolona improbables si es compleix $\mathrm{H}_{0}$ + +De la mateixa manera que s'ha raonat per al cas 1 , en aquesta ocasió amb les dues hipòtesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenim en el cas de la detecció de l'statdrolona, el sentit comú indica que si obtenim una mitjana de statdrolona en els 16 atletes allunyada del valor de referència 7 , farà inversemblant la hipòtesi nul•la. + +En la taula següent es mostren les probabilitats d'obtenir valors majors que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observem particularment la regió de valors majors que 7.9869 , que es representarà amb el símbol $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expressada com a interval, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +| Miljana $(x)$ | Prob. $X=x$ | +| :---: | :---: | +| 6,506 | 0.7946 | +| 6,671 | 0.7083 | +| 6,835 | 0.6080 | +| 7 | 0.5000 | +| 7,165 | 0.3920 | +| 7,329 | 0.2917 | +| 7,494 | 0.2054 | +| 7,658 | 0.1364 | +| 7,823 | 0.0852 | +| 7,987 | 0.0500 | +| 8,152 | 0.0275 | + +## El paper privilegiat de la hipòtesi nul•la: criteri de decisió + +Un contrast estadístic d'hipòtesis consta forçosament d'un criteri de decisió. En resum, consisteix en una regla operativa que divideix en dues parts disjuntes l'espai mostral. Aquestes parts son anomenades regió crítica i regió d'acceptació respectivament. En qualsevol test estadístic, si la mostra obtinguda pertany a la regió crítica, s'ha d'acceptar $\mathrm{H}_{1}$. En cas contrari, si pertany a la regió d'acceptació, s'acceptarà $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principi bàsic consisteix a prioritzar en el criteri de decisió $\mathrm{H}_{0}$, en el sentit següent: es construeix el criteri fixant a priori la probabilitat d'error associada amb el fet de refusar -erròniament- $\mathrm{H}_{0}$. A fi que el criteri de decisió sigui raonable ha de +resultar improbable obtenir una mostra que pertanyi a la regió crítica quan sigui certa $\mathrm{H}_{0}$. En l'exemple següent es proposarà una regla de decisió provisional. + +### Cas 1: $N^{\circ}$ de nius proposats ad hoc com inici de regió crítica. Regla de decisió resultant + +Definirem la regió crítica de la manera següent: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Per tant, la regió d'acceptació serà: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criteri de decisió serà per tant: + +- si el nombre de femelles és major o igual que 8 , s'accepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilitat de femelles és 0.6) +- si el nombre de femelles és menor o igual que 7 , s'accepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilitat de femelles és 0.5 ) + +És important entendre en aquest moment que es proposa ad hoc la regió crítica. Més endavant es justificarà perquè aquesta proposta és raonable. + +Nota: en la mostra obtinguda s'han observat 6 femelles, per tant da Souza ha d'acceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +## Hipòtesi nul•la i nivell de significació + +S'ha indicat anteriorment que, en els contrastos estadístics, la hipòtesi nul la juga un paper privilegiat, ja que la regla de decisió s'ajusta d'acord a la probabilitat d'equivocar-se en rebutjar $H_{0}$ quan aquesta és certa. + +Aquesta probabilitat es designa de forma equivalent com: + +- error de tipus I (o de primera espècie) +- nivell de significació del contrast +i usualment se simbolitza amb la lletra grega alfa. +El nivell de significació es pot definir equivalentment de les dues maneres següents: +- $\alpha=$ probabilitat de rebuig d' $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, quan $\mathrm{H}_{0}$ és certa +- $\alpha=$ probabilitat que la mostra pertanyi a la regió crítica, quan $\mathbf{H}_{0}$ és certa. + + +### Cas 1: Nivell de significació + +En l'apartat 9.5 . 1 s'ha indicat la taula resultant dels càlculs de la cua dreta de la Binomial, quan es verifica la hipòtesi nul•la $(p=0.5)$. Com la definició de nivell de significació és: + +$$ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +$$ + +en la fila corresponent a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la taula anterior es pot observar la probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ quan aquesta és certa (vegeu el criteri de decisió adoptat a l'apartat 9.6.1). + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta doncs: $\quad \alpha=0.0547$. + +### Cas 1: Elecció de la regió crítica + +S'ha proposat abans, de forma directa, la regió crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podem considerar ara una altra regió que ens proporcionaria un nivell de significació idèntic (veure taula de probabilitats sota $\mathrm{H}_{0}$ ): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ara bé, un criteri de decisió basat en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ és absurd, tenint en compte que $\mathrm{H}_{1}$ és $p=0.6$. Vegem perquè. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que és improbable obtenir menys de 3 femelles sota $\mathrm{H}_{0}$. Si es tria $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ com a regió crítica, implica acceptar $\mathrm{H}_{1}$ quan el nombre de femelles és menor que 3. No obstant això, quan es consulta la taula de probabilitats sota $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (nombre femelles $<3 / \mathrm{H}_{1}$ certa $)=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +És, per tant, encara més improbable obtenir 3 femelles sota $\mathrm{H}_{1}$. En altres paraules, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ indueix un criteri absurd, ja que portaria a acceptar la hipòtesi més inversemblant de les dues. + +### Cas 2: Elecció de la regió crítica + +A continuació es defineixen les regions crítica i d'acceptació, respectivament, com: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{a}{ }^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criteri de decisió serà, per tant: +si el nivell de statdrolona és major o igual que 7.9869, s'accepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivell és 8.5) +Com en el cas 1 , també s'ha proposat la regió crítica de manera ad hoc. Si es consulten en la taula de l'apartat 9.5.2 els valors de la cua dreta de la Normal, com la definició de nivell de significació és: + +$$ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +$$ + +en la fila corresponent a prob ( $\mathrm{X}>=7.987$ ) de la taula es pot observar la probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ quan aquesta és certa. Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +on $F_{z}$ és la funció de distribució de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La regió crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ porta associat un nivell de significació $\alpha=0.05$. Ara bé, com que l'estadístic mitjana mostral és una variable contínua, concretament Normal, es poden trobar infinites regions que satisfan la condició + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{mostra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +## Regió crítica i formalització del contrast + +La regla de decisió queda definida sempre (encara que sigui implícitament) a partir d'una regió crítica. A aquesta regió crítica li correspon un determinat nivell de significació. +La informació continguda en la mostra es resumeix mitjançant un estadístic de test, així que una pràctica habitual és definir la regió crítica en funció de l'estadístic de test emprat. Un estadístic de test és una variable aleatòria i, com a tal, té associada una llei de distribució que juga un paper capital en el contrast. + +Reunint els conceptes, en un contrast d'hipòtesi $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenim: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivell de significació, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { regió crítica, subconjunt de l'espai mostral definit a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisió: + +- si la mostra pertany a $\mathrm{W}_{\alpha}$ aleshores rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la mostra no pertany a $\mathrm{W}_{\alpha}$ aleshores rebutjar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalment: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rebutjar } H_{0} / H_{0} \text { certa) = prob.(mostra pertanyi a } W_{\alpha} / H_{0} \text { certa) } +$$ + +### Cas 1: Resum de conceptes associats al contrast. Regió crítica + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Regió d'acceptació | $\mathrm{W}_{\alpha}{ }^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ nombre de femelles totals en els 10 nius | +| Criteri de decisió: | | +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +La distribució de l'estadístic de test T és una Binomial B (10, p). Es pot adoptar un estadístic alternatiu: la freqüència relativa $=\mathbf{f r}$ de nombre de femelles en els 10 nius. + +### Cas 2: Taula resum de la regió crítica, l'estadístic de test i del criteri de decisió + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Regió d'acceptació | $\mathrm{W}_{\alpha} \mathrm{C}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ mitjana de statdrolona en 16 atletes | +| Criteri de decisió: | | +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.05$ | + +La distribució de l'estadístic de test T sota $\mathrm{H}_{0}$ és una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +## Taula de decisió del contrast + +Quan es resol un contrast la decisió final pot ser correcta o bé conduir a un error. En aquesta taula es presenten les quatre possibles situacions que es poden produir: + +| | Hipòtesi veritable | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipòtesi acceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipus II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipus I | - | + +Existeix, per tant, un segon tipus d'error, designat com a error de tipus II o de segona espècie. Es pot definir de manera equivalent per a qualsevol de les dues expressions següents: + +- $1-\beta=$ probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{1}$, quan $\mathrm{H}_{1}$ és certa +- $1-\beta=$ probabilitat que la mostra no pertanyi a la regió crítica, quan $\mathbf{H}_{1}$ és certa + +En realitat només una de les hipòtesis és veritable. Una vegada s'obtingui la mostra, s'acceptarà o es rebutjarà $\mathrm{H}_{1}$ segons el criteri de decisió. Si es decideix de manera equivocada, es produirà només un dels dos errors, segons quin sigui la hipòtesi veritable. És a dir, a posteriori es produeix, com a molt, només un dels errors. + +Ara bé, el contrast es porta a terme precisament perquè s'ignora quina de les dues hipòtesis és la veritable. Com a conseqüència, sense que això contradigui el paràgraf anterior, els dos errors tenen importància a priori. + +Un contrast serà més adequat si son menors els dos errors associats. + +### Cas 1: Avaluació dels dos errors associats al contrast + +El criteri de decisió que s'ha adoptat per a aquest cas consisteix en: + +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +Suposem que $\mathrm{H}_{1}$ és certa, és a dir, que $p=0,6$. En la taula següent podem trobar el valor de l'error de tipus II: + +| Valor de $X$ | Prob. $X<=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0001 | +| 1 | 0.0017 | +| 2 | 0.0123 | +| 3 | 0.0548 | +| 4 | 0.1662 | +| 5 | 0.3669 | +| 6 | 0.6177 | +| 7 | 0.8327 | +| 8 | 0.9536 | +| 9 | 0.9940 | +| 10 | 1.0000 | + +$1-\beta=$ prob. $\left(\right.$ rebutjar $H_{1} / H_{1}$ certa $)=$ prob. $\left(T<=7 / H_{1}\right.$ certa $)=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbòlicament correspon a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +### Cas 2: Càlcul explícit dels errors de primera ( $\alpha$ ) $i$ segona espècie (1- $\beta$ ) + +El criteri de decisió que s'ha triat per a aquest cas consisteix en: + +| acceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivell de significació | $\alpha=0.05$ | + +Suposem que és certa $\mathrm{H}_{1}$, és a dir, que $\mu=8.5$. En la taula següent podem trobar el valor de l'error de tipus II: + +| Mitiana $(x)$ | Prob. $X==x$ | +| :---: | :---: | +| 5,933 | 1.0000 | +| 6,189 | 0.9999 | +| 6,446 | 0.9997 | +| 6,703 | 0.9986 | +| 6,96 | 0.9949 | +| 7,216 | 0.9838 | +| 7,473 | 0.9565 | +| 7,73 | 0.9004 | +| 7,987 | 0.8040 | +| 8,243 | 0.6656 | +| 8,5 | 0.5000 | + +$1-\beta=$ prob. $\left(\right.$ rebutjar $\mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}$ certa $)=$ prob. $\left(\mathrm{T}<7.9869 / \mathrm{H}_{1}\right)=1-0.8040=0.1960$ +Simbòlicament, correspon a calcular: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{7.9869-8.5}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +## Relació entre l'error de tipus I i el de tipus II + +És important entendre que no és possible reduir simultàniament els dos errors en un contrast d'hipòtesi. + +Suposem que s'intenta reduir a zero el nivell de significació. Això equival a plantejar que la probabilitat que una mostra pertanyi a la regió crítica, en el cas que sigui certa $\mathrm{H}_{0}$, és zero. En la majoria de situacions aplicades aquest fet dóna lloc a una regió crítica igual al conjunt buit, o el que és el mateix, provoca que s'accepti sempre $\mathrm{H}_{0}$, independentment del resultat obtingut en la mostra. S'arriba per tant a la situació absurda de poder prescindir de la mostra, acceptant sempre $H_{0}$ ! Així, reduir $\alpha$ a zero té la greu contrapartida de rebutjar sempre $\mathrm{H}_{1}$, que implica a la seva vegada que l'error de tipus II sigui un. De manera anàloga es pot raonar per un error de tipus II nul. En conclusió, els dos errors estan relacionats: disminuir $\alpha$ comporta reduir la grandària de la regió crítica, i, per tant, augmentar 1- $\beta$. + +### Cas 1: Avaluació d'a i 1- $\beta$ per a diferents regions crítiques + +Una vegada s'especifica la regió crítica, els errors de tipus I i II queden determinats. En els dos quadres següents hi han dues regions crítiques i els seus errors associats. En la versió interactiva del document es pot canviar dinàmicament la regió crítica i es calculen automàticament els errors: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-18.jpg?height=375&width=1312&top_left_y=1417&top_left_x=372) + +En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques. Per tal de simplificar la comprensió del gràfic, es consideren només regions de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, on $a$ és un enter entre 0 i 10 . Així, per exemple, el punt d'abscisses 8 representa la regió crítica $\{8,9,10\}$. La hipòtesi alternativa considerada és $p_{1}=0.6$, tal i com s'indica en la llegenda del gràfic. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-18.jpg?height=544&width=778&top_left_y=2118&top_left_x=639) + +### Cas 2: Relació entre els errors de primera ( $\alpha$ ) i segona espècie (1- $\beta$ ) + +La relació entre els errors de tipus I i II és més fàcil d'interpretar en aquest cas, atès que la mitjana és un estadístic de distribució contínua. En els quadres següents es presenten dues regions crítiques i els errors associats, visualitzant l'àrea que representen. En la versió interactiva es pot modificar la regió crítica mitjançant el lliscador, i es calculen automàticament els dos errors visualitzant l'àrea que representa cadascun. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-19.jpg?height=1283&width=1486&top_left_y=775&top_left_x=291) + +En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament. Prenent sempre la mateixa alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +i per a cada regió crítica de la forma $[a,+\infty)$ es calculen $\alpha$ i $1-\beta$. En l'eix d'abscisses es representa l'extrem inferior (a) de les regions crítiques més rellevants, les pròximes a $\mu_{0}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-20.jpg?height=581&width=854&top_left_y=246&top_left_x=601) + +## Potència i test més potent + +La potència d'un contrast es defineix com: +$\beta=$ prob.(acceptar $H_{1} / H_{1}$ certa) = prob.(mostra pertanyi a $W_{a} / H_{1}$ certa) +és, per tant, la probabilitat complementària a l'error del tipus II. +Reprenent idees anteriors, un contrast ha de pretendre un compromís raonable entre el nivell de significació (el més baix possible) i la potència (la més alta possible). + +En principi, si hi ha diversos tests alternatius (basats en diferents regles de decisió i/o estadístics) per a resoldre un mateix contrast paramètric, el millor test serà aquell que, una vegada fixats $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1} \mathrm{i}$ el nivell de significació $\alpha$, proporcioni la potència més alta d'entre tots ells. + +Un test que tingui aquesta propietat es denomina test més potent. Simbòlicament, si $m p$ designa el test més potent, haurà de complir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } +\end{aligned} +$$ + +on $t$ és qualsevol altre test amb el mateix nivell de significació que $m p$. + +### Cas 1: Potència en hipòtesi simple vs simple + +En la taula següent s'indica la probabilitat per a cadascun dels valors del suport. Es destaca en color diferent la regió crítica. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-21.jpg?height=520&width=852&top_left_y=234&top_left_x=605) + +Es pot llegir aleshores que la potència és: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observem que coincideix amb el càlcul anterior de l'error de tipus II per a aquest exemple. + +### Cas 2: Potència en hipòtesi simple vs simple + +Hem definit abans la regió crítica per a aquest cas. En el quadre següent es pot visualitzar els dos errors ( $I=$ verd i II = taronja) i, opcionalment, la potència del test (regió groga). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-21.jpg?height=649&width=1477&top_left_y=1680&top_left_x=295) + +La definició de potència aplicada a aquest cas resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(\mathrm{X} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el document interactiu s'especifica l'expressió per a tot $n$. + +## Efecte de la grandària mostral + +Els contrastos òptims per a les situacions aplicades més habituals ja estan completament resolts, de manera que usualment l'experimentador només ha d'escollir el nivell de significació que desitgi, (veure per exemple el capítol de contrastos d'una població). + +Una vegada escollit $\alpha$ queden fixades tant la regió crítica com la potència del contrast. L'única manera d'aconseguir que un contrast millori la seva potència sense que repercuteixi en un augment excessiu d' $\alpha$ és incrementar la grandària mostral $N$. + +Augmentar $N$ varia la llei de distribució de l'estadístic de test, i generalment en disminueix la variància. La conseqüència de mantenir $\boldsymbol{\alpha}$ constant i incrementar $N$ es tradueix en una millora de les propietats del test. Una pregunta crucial -oberta, de moment- és: quanta mostra fa falta? + +### Cas 1 + +En el document interactiu es presenta un applet on es calcula l'error de tipus II quan augmenta N. Aquí només es presenta el gràfic on es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipòtesi alternativa està indicada a la llegenda. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-22.jpg?height=507&width=1474&top_left_y=1728&top_left_x=294) + +### Cas 2 + +Veurem aquí només com afecta la grandària de mostra (per a $N=16$ i $N=30$ ) als dos errors, mantenint la regió crítica constant. En el document interactiu es poden consultar altres combinacions. En augmentar $N$, les distribucions en el mostreig de la mitjana sota $\mathrm{H}_{0}$ i $\mathrm{H}_{1}$ presenten cada vegada un menor solapament. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-23.jpg?height=718&width=1486&top_left_y=235&top_left_x=271) + +En el gràfic següent s'observa l'efecte de $N$ per a tot el rang de regions crítiques: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-23.jpg?height=604&width=869&top_left_y=1080&top_left_x=591) + +## Hipòtesis simples vs. hipòtesis compostes + +Fins a ara hem tractat el cas més senzill de contrast: dues hipòtesis simples. En la pràctica, les situacions realment interessants comporten -almenys- una hipòtesi composta. Un dels contrastos d'hipòtesis més habituals consisteix en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +és a dir, la hipòtesi alternativa és la simple negació de la nul lla. Aquest contrast es coneix com el de l'alternativa bilateral. + +Els conceptes d'estadístic de test, de regió crítica, de regió d'acceptació i de nivell de significació seguiran sent els mateixos. Ara bé, com es veurà a continuació, s'ha d'ampliar la definició de potència respecte al cas simple contra simple. + +### Cas 1: Hipòtesis compostes + +Canviant el plantejament inicial, suposem que la polèmica sobre la proporció de femelles en els nius és refereix a si és equitativa o no respecte al nombre de mascles. Les hipòtesis a verificar aleshores seran: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observem primer que ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el cas simple contra simple, que en resum consistia en: + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ nombre de femelles totals en els 10 nius | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +Ara aquesta regió ja no és adequada. N'hi ha prou amb considerar l'exemple d'obtenir una mostra amb $\mathrm{T}=0$. Tot i ser summament improbable sota $\mathrm{H}_{0}$, el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul lla, en contra d'altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb p < 0.5). + +El sentit comú indica que la regió crítica ha d'abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-24.jpg?height=527&width=852&top_left_y=1504&top_left_x=605) +la suma següent (que correspon als valors destacats en la taula): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +ens proporciona el nivell de significació d'aquest test bilateral. + +### Cas 2: Hipòtesis compostes + +Malgrat que segurament encara no és el contrast d'hipòtesi que realment interessa a l'associació ADG , per raons didàctiques suposarem que es pretén dirimir simplement si és acceptable la mitjana proposada en la bibliografia. Les hipòtesis que cal verificar seran aleshores: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el plantejament original d'aquest cas (que contrastava una hipòtesi simple contra una altra simple). + +Per entendre-ho es pot considerar per exemple una mostra amb una mitjana mostral de 5. Tot i ser summament improbable sota $\mathrm{H}_{0}$, atès que pertany a la regió d'acceptació, el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul•la, en contra d'altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb $\mu<7$ ). + +Novament, el sentit comú indica que la regió crítica ha d'abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +S'obté $\alpha=0.1$. En el quadre següent es visualitza la regió crítica i s'avalua el nivell de significació resultant: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-25.jpg?height=672&width=849&top_left_y=1503&top_left_x=609) + +Simbòlicament, el nivell de significació d'aquest test es calcula de la forma següent: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +On: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +## Funció de potència + +Una de les diferències conceptuals més importants entre el cas d'una hipòtesi simple contra una altra de simple i el cas amb una alternativa composta es troba en la definició de potència. En aquest segon cas ja no es presenta un únic possible valor del paràmetre sota la hipòtesi alternativa, sinó que es contempla tot un conjunt. En la majoria de tests habituals, serà un interval real o una reunió d'intervals reals. Per exemple: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Des del punt de vista de l'estadística paramètrica clàssica, una vegada fet l'experiment aleatori, $\theta$ presenta només un dels possibles valors dins del subconjunt de l'alternativa, encara que aquest sigui desconegut. Per tant, la definició de potència enunciada abans: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { certa) } +$$ + +no es pot calcular globalment per a tot $\mathrm{H}_{1}$, sinó que s'ha de distingir cadascun dels valors possibles dins de $\mathrm{H}_{1}$. D'aquí ve l'interès de definir la funció de potència: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cert }\right) +$$ + +on $\theta$ és un valor qualsevol del paràmetre, fins i tot valors corresponents a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ és simple (un sol paràmetre $\theta_{0}$ ), resultarà: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cert }\right)=\alpha +$$ + +### Cas 1: Funció de potència + +Ara la potència depèn de la proporció concreta de femelles que es triï com alternativa. L'expressió general és: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +atès que la regió crítica és $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En els quadres següents s'obté el valor de la potència $(\beta)$ inicialment per $p=0.6$ i per $p=0.8$ (en el document interactiu es pot variar arbitràriament la proporció sota $\mathrm{H}_{1}$ ): + +| Valor de X | Prob. $\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0001 | +| 1 | 0.0016 | +| 2 | 0.0106 | +| 3 | 0.0425 | +| 4 | 0.1115 | +| 5 | 0.2007 | +| 6 | 0.2508 | +| 7 | 0.2150 | +| 8 | 0.1209 | +| 9 | 0.0403 | +| 10 | 0.0060 | + + +| Valor de X | Prob. $\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0000 | +| 1 | 0.0000 | +| 2 | 0.0001 | +| 3 | 0.0008 | +| 4 | 0.0055 | +| 5 | 0.0264 | +| 6 | 0.0881 | +| 7 | 0.2013 | +| 8 | 0.3020 | +| 9 | 0.2684 | +| 10 | 0.1074 | + +En el gràfic següent es representa la funció de potència per a tot el rang de paràmetres: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-27.jpg?height=546&width=546&top_left_y=898&top_left_x=572) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-27.jpg?height=178&width=358&top_left_y=902&top_left_x=1106) + +### Cas 2: Funció de potència + +Ara la potència depèn de la mitjana concreta $\mu_{1}$ que es triï com a alternativa. L'expressió general de l'error de tipus II és: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +atès que la regió crítica és $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el quadre següent s'obté el valor de la potència ( $\beta$ ) inicialment per a $\mu=8.5$. En el document interactiu es pot canviar aquest valor de la alternativa i observar els canvis en els dos errors i en la potència: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-28.jpg?height=809&width=929&top_left_y=235&top_left_x=569) + +En el gràfic següent es representen dues funcions de potència, per a $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 i que respectivament corresponen a $n=16$ (la situació d'aquest cas 2) i a $n=1$. En el document interactiu es poden variar tots aquells paràmetres que afecten $\beta: \alpha, \sigma \mathrm{i} n \mathrm{i}$ comparar-los amb la situació original. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-28.jpg?height=692&width=966&top_left_y=1322&top_left_x=545) + +## Tests òptims + +En moltes situacions aplicades es poden plantejar diferents regles de decisió per resoldre un mateix contrast, de manera que proporcionen un mateix error de tipus I. És necessari adoptar aleshores un criteri addicional per escollir quin és el millor test possible per resoldre aquest contrast. Tal com hem vist en el cas d'hipòtesi simple vs. simple, això passa forçosament per analitzar l'error de tipus II associat amb cada test. En el cas d'una alternativa composta, això porta a estudiar el comportament de la funció de potència en tot el rang de paràmetres associats amb l'alternativa. + +L'estudi dels tests que presenten propietats òptimes des del punt de vista de la potència sobrepassa els objectius marcats per Statmedia. El lector interessat pot consultar alguna definició més en els complements, encara que aquesta informació no és estrictament necessària per seguir ni la resta d'aquest tema ni els ulteriors. En els pròxims capítols només s'assenyalarà, a títol informatiu, quan un test és òptim des del punt de vista de la potència. En el nostre desenvolupament és suficient conèixer que existeixen resultats generals en estadística matemàtica que permeten assegurar quan existeix aquest tipus de test i com obtenir-lo. + +## Proves bilaterals i proves unilaterals + +Un contrast bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinades ocasions l'experimentador prefereix plantejar directament un contrast de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conegut com a contrast unilateral dret. Òbviament, una altra possibilitat és l'unilateral esquerre: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En aquests tres casos, el contrast d'hipòtesis és simple contra composta. En la majoria de situacions aplicades, en realitat es pretenen resoldre contrastos unilaterals que comporten hipòtesis compostes. L'unilateral dret és aleshores: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| l 'esquerre és: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Encara que aquesta última formulació està relacionada amb els contrastos unilaterals simple contra composta anteriors, les dues hipòtesis no són tècnicament equivalents. A fi de simplificar la interpretació dels contrastos unilaterals, atenent als casos de què s'encarrega Statmedia, es formulen els contrastos d'aquesta última manera (composta contra composta) i es pren el nivell de significació com si fos el del contrast simple contra composta. + +En qualsevol cas, és important entendre que només s'ha resolt un dels tres contrastos (bilateral o unilateral) amb un conjunt de dades concret. Per exemple, és incorrecte des del punt de vista metodològic començar contrastant bilateralment, i fer després un test unilateral. El contrast que s'ha d'emprar s'ha de decidir tenint com a base coneixements previs del problema, o bé seguint la qüestió d'interès aplicat que es vol respondre. + +### Cas 1: Prova unilateral + +Suposem que la controvèrsia entre els dos ornitòlegs s'hagués plantejat originalment en els termes següents. Segons da Souza, el nombre de femelles per niu és com a màxim del $50 \%$. En canvi, per a Calves, hi ha més femelles que no pas mascles. El contrast que cal resoldre per dirimir quin especialista té raó seria, doncs: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecte al cas general se substitueix el paràmetre genèric $\theta$ per p , i el valor $\theta_{0}=$ 0.5 . Prenent la regió crítica com a $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el quadre següent es presenta el nivell de significació: + +| Valor de X | Prob. $X=x$ | | +| :---: | :---: | :---: | +| 0 | 0.0010 | Valor de p a la binomial | +| 1 | 0.0098 | | +| 2 | 0.0439 | 0.5 | +| 3 | 0.1172 | | +| 4 | 0.2051 | | +| 5 | 0.2461 | | +| 6 | 0.2051 | | +| 7 | 0.1172 | | +| 8 | 0.0439 | Surna valors a la regió critica | +| 9 | 0.0098 | | +| 10 | 0.0010 | 0.0547 | + +En el document interactiu s'inclou un quadre on es pot explorar la potència amb diferents alternatives. + +### Cas 2: Prova unilateral + +El plantejament següent s'aproxima més al que realment hauria d'intentar aclarir l'associació d'esportistes ADG. Si fan cas a la forta sospita que la taxa de statdrolona ha augmentat, és més coherent plantejar les hipòtesis següents: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal com ja s'ha plantejat en el cas 1, ara s'ha de considerar una regió crítica basada en la cua dreta de la distribució. Es deixa al lector raonar per què ha de ser així. Quan es pren, per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +s'obté $\alpha=0.05$. En el quadre següent es presenta la regió crítica (en el document interactiu es pot variar la regió crítica, i modificar per tant el nivell de significació): +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-31.jpg?height=804&width=966&top_left_y=232&top_left_x=545) + +Simbòlicament, es calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que ens proporciona el nivell de significació d'aquest test unilateral. Així doncs, no hi ha cap diferència ni en el càlcul ni en el gràfic respecte al que ja hem vist en l'apartat d'hipòtesi simple contra simple. En relació amb la potència, es tracta d'una funció que depèn de la $\mu$ concreta de la hipòtesi alternativa (simple), i per aquesta raó resulta: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-31.jpg?height=798&width=924&top_left_y=1574&top_left_x=569) + +Una observació final referent a aquest cas 2. En el plantejament actual només queda ja l'arbitrarietat consistent a assumir una $\sigma=2.4$ poblacional fixa. En el tema 10, s'estudiarà com abordar aquest estudi sense assumir més condició que el model de probabilitat Normal. + +## Elecció del nivell de significació + +Quin nivell de significació s'ha d'utilitzar? En contra de certa pràctica estadística, desgraciadament bastant estesa, en realitat no es pot respondre a aquesta pregunta donant simplement un valor al nivell de significació. Si es consulten publicacions científiques aplicades per conèixer quin $\alpha$ emprar, en la majoria d'estudis s'obtindrà que el més utilitzat és $\alpha=0.05$ ( $5 \%$ d'error), essent el segon lloc ex aequo $\alpha=0.01$ ( $1 \%$ ) i $\alpha=0.1$ (10 \%). Aquests són els nivells aconsellats en molts textos elementals d'estadística. Vegem per què s'ha anat aconsellant aquests valors. + +Abans de la universalització de l'ús de l'ordinador, els càlculs estadístics es completaven mitjançant diferents taules per trobar les fronteres de la regió crítica i decidir quina hipòtesi acceptar. Els valors $5 \%, 1 \%$ i $10 \%$ van ser inicialment triats com els més representatius en les colleccions de taules, ja que no resultava pràctic publicar taules per a qualsevol $\alpha$. Així, aquests valors es van anar convertint, amb el pas del temps, en un convencionalisme més. S'ha arribat a produir l'efecte pervers, en alguns camps del coneixement, que alguns editors mal informats només accepten treballs amb un $5 \%$ de significació. + +No obstant això, no hi ha cap raó científica que indiqui que aquests valors són forçosament els més adequats. Ja hem vist que la potència té també una importància capital quan s'ha de qualificar la bondat del test, sense oblidar la influencia que té la grandària de la mostra sobre $1-\beta$. La metodologia més raonable és obtenir el p-valor i, si és possible, definir abans de l'obtenció de la mostra una diferència mínima significativa que garanteixi la potència desitjada (definirem a continuació aquests dos conceptes). Només amb aquestes tres quantitats el contrast queda satisfactòriament plantejat. + +Des del nostre punt de vista, avui en dia, exposar les conclusions de qualsevol estudi només a partir d'un nivell de significació fix per a tots els contrastos és un procediment estadístic molt rudimentari. + +## El p-valor + +L'elecció del nivell de significació, tal com s'ha comentat anteriorment, és en certa manera arbitrària. Tanmateix, una vegada obtinguda la mostra, es pot calcular una quantitat que sí que permet resumir el resultat de l'experiment de manera objectiva. Aquesta quantitat és el p-valor que correspon al nivell de significació més petit possible que es pot escollir, per al qual encara s'acceptaria la hipòtesi alternativa amb les observacions actuals. Qualsevol nivell de significació escollit inferior al p-valor (simbòlicament $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ ) comporta acceptar $\mathrm{H}_{0}$. Òbviament, com que és una probabilitat, es compleix que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor és una mesura directa de com d'inversemblant resulta obtenir una mostra com l'actual si és certa $\mathrm{H}_{0}$. Els valors petits indiquen que és molt infreqüent obtenir una mostra com l'actual, en canvi, els valors alts mostren que és freqüent. El pvalor s'utilitza per indicar quant (o quant poc) contradiu la mostra actual la hipòtesi alternativa. + +Informar sobre quin és el p-valor té l'avantatge de permetre que qualsevol decideixi quina hipòtesi accepta basant-se en el seu propi nivell de risc $\boldsymbol{\alpha}$. Això no és possible quan s'informa, com ha estat tradicional, indicant només el resultat de la decisió, és a dir, acceptant o rebutjant $\mathrm{H}_{0}$ amb un $\alpha$ fix. + +Quan es proporciona el p-valor obtingut amb la mostra actual, la decisió es fa segons la regla següent: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Des del punt de vista pràctic, alguns paquets estadístics proporcionen en els seus llistats el "significance level", la traducció literal del qual és "nivell de significació", quan en moltes ocasions es refereixen en realitat al p-valor ("p-value"). + +### Cas 1: Càlcul del p-valor (prova unilateral) + +Seguim amb la hipòtesi unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Suposem que, una vegada obtinguda la mostra de $n=10$ nius, resulta que en sis d'ells el pollet correspon a una femella. Cal recordar primerament que en aquest cas l'estadístic de test T és una variable discreta, i per tant no és possible obtenir qualsevol $\alpha$. + +El p-valor és el menor $\alpha$ que permet acceptar $\mathrm{H}_{1}$. Amb la taula següent: + +| Valor de $X$ | Prob. $X>=X$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 1.0000 | +| 1 | 0.9990 | +| 2 | 0.9893 | +| 3 | 0.9453 | +| 4 | 0.8281 | +| 5 | 0.6230 | +| 6 | 0.3770 | +| 7 | 0.1719 | +| 8 | 0.0547 | +| 9 | 0.0107 | +| 10 | 0.0010 | + +s'obté el p-valor associat a $\mathrm{T}=6$ femelles. Considerem principalment els casos següents: + +1. Si s'escollís $\alpha=0.1719$, la regió crítica corresponent seria $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Com que no s'inclouen 6 femelles, s'hauria d'acceptar $H_{0}$. Per tant, $\alpha$ no compleix la definició de p-valor, atès que s'ha de rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ : $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ ha de ser forçosament major. +2. Si es triés $\alpha^{\prime}=0.3770$, la regió crítica corresponent seria $W_{a^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Amb $\alpha^{\prime}$ es rebutjaria $H_{0}$. +3. Si se seleccionés $\alpha^{\prime \prime}=0.6230$, la regió crítica corresponent seria $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime \prime}}=\{5,6,7$, $8,9,10\}$. Amb $\alpha^{\prime \prime}$ també es rebutjaria $\mathrm{H}_{0}$. + +Observem que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime \prime}, \mathrm{i}$ entre els dos valors no és possible obtenir cap altre nivell de significació amb el test que hem plantejat. Per tant, $\alpha^{\prime}$ és el mínim nivell de significació amb el qual rebutjaríem $H_{0}$ amb la mostra actual o, dit d'una altra manera, $\alpha^{\prime}$ és el p-valor. + +Aquest és el detall de com es calcula el p-valor. Usualment, d'això se n'encarrega software especialitzat (un paquet estadístic, un full de càlcul,...), que retorna simplement la informació $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ara bé, el que no resol el programa és què ha de decidir finalment l'experimentador, és a dir, en el nostre cas, da Souza o Calves. + +Doncs bé, en aquest moment, s'haurà de comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \mathrm{amb}$ el nivell de significació escollit a priori (per exemple, $\alpha=0.05$ ): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { per tant, acceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}} . +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hi ha una frequància del $37.7 \%$ d'obtenir mostres amb T $\geq 6$ femelles sota $\mathrm{H}_{0} \mathrm{i}$, per tant, que no hi ha indicis suficients de discrepància entre la mostra obtinguda i la hipòtesi de da Souza consistent en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vegada més s'ha d'insistir en el fet que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ és un valor objectiu -qualsevol experimentador donarà el mateix valor una vegada obtinguda la mostra-, mentre que $\alpha$ és subjectiu, escollit per l'experimentador segons la seva experiència. + +### Cas 2: Càlcul del p-valor (prova unilateral) + +Considerem primer el càlcul del $p$-valor quan les hipòtesis són: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el quadre següent es presenten les dades obtingudes en l'experiment, la seva mitjana i la desviació estàndard corregida, així com el p-valor i la decisió final segons el nivell de significació 0.05 . Com que $\mathrm{T}=8.54$, el p -valor correspon a la cua de la corba Normal situada a la dreta de T. En el gràfic es superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a $\alpha$ en la part més extrema de la cua. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-35.jpg?height=1026&width=1021&top_left_y=235&top_left_x=523) + +Així doncs, es rebutja $\mathbf{H}_{0}$, ja que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el document interactiu és possible escollir altres nivells de significació. Segons el nivell escollit s'acceptarà o es rebutjarà la hipòtesi nul lla. + +El quadre anterior il•lustra la relació entre els conceptes del p-valor i del nivell de significació, ara bé, el lector NO ha de treure la conclusió que ha d'ajustar $\alpha$ en cap sentit: $\alpha$ es tria sempre a priori (abans de l'anàlisi), mai en funció de les dades (o del p-valor). Respecte al càlcul simbòlic del p-valor, en l'exemple s'ajusta a l'expressió següent: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el document interactiu es poden canviar les dades dels setze atletes, fet que permet resoldre algunes de les qüestions plantejades més endavant. Alternativament al p -valor, també es pot visualitzar la potència o l'error de tipus II. + +### Cas 2: càlcul del p-valor (prova bilateral) + +Considerem ara el càlcul del p-valor quan les hipòtesis són: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor correspon ara a dues cues de la corba Normal: una és la mateixa que en el cas unilateral, és a dir, la situada a la dreta de $\mathrm{T}=8.54$, la segona és la cua simètrica a l'anterior respecte a $\mu=7$, és a dir, la cua esquerra situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Com abans, en el quadre se superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a $\alpha$ en la part més extrema de les dues cues. En el document interactiu es poden canviar dades, el nivell de significació i el punt on es calcula la potència. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-36.jpg?height=981&width=975&top_left_y=689&top_left_x=543) + +El càlcul del p-valor es correspon,amb les dades originals, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Així doncs, es rebutja $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, atès que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribució de l'estadístic és contínua, com en aquest cas, es pot calcular fàcilment el p-valor de la prova bilateral a partir de la unilateral, i viceversa. Així, si designem amb $\mathrm{p}_{\text {uni }}$ i $\mathrm{p}_{\text {bil }}$, respectivament els p -valors de la prova unilateral i bilateral, tindrem que: + +- $\quad$ Si $\mathrm{p}_{\text {uni }} \leq 0.5$, aleshores $\mathrm{p}_{\text {bil }}=2 \mathrm{p}_{\text {uni. }}$. És a dir, el p-valor és exactament el doble que el de la prova unilateral. +- $\quad$ Si $\mathrm{p}_{\text {uni }}>0.5$, aleshores $\mathrm{p}_{\text {bil }}=2\left(1-\mathrm{p}_{\text {uni }}\right)$. És a dir, el p -valor és exactament el doble que el complementari del p-valor de la prova unilateral. + + +## Proves exactes i proves asimptòtiques + +Els dos errors ( $\alpha$ i $1-\beta$ ) implicats en qualsevol contrast són probabilitats que es basen en hipòtesis sobre el paràmetre que volem contrastar. De manera similar als intervals de confiança (vegeu, per exemple, els intervals per a una proporció i per a la mitjana d'una Normal), es poden classificar els tests en relació amb la distribució emprada. + +Si es pot establir explícitament per qualsevol mida de mostra $N$ quina distribució té l'estadístic de test, i a més és factible el càlcul dels errors, s'obtindrà una fórmula vàlida per a tot $N$. Aquest és el cas dels dos exemples seguits en aquest capítol. Un test amb aquestes característiques es denomina prova exacta. La prova $t$ de Student per a dues mostres i la prova F de comparació de variàncies en són exemples d'aplicació quotidiana en experiments reals. + +En altres casos, quan existeix dificultat per resoldre el càlcul dels errors amb la veritable distribució de l'estadístic, es recorre a les propietats en el límit de les distribucions. Un recurs habitual és aplicar el teorema central del límit si la distribució de l'estadístic tendeix a una Normal. En aquest segon cas, el test obtingut només serà vàlid per a valors grans de $N$, i llavors es denomina prova asimptòtica. Els exemples més coneguts són les diferents proves de Khi-quadrat. + +### Cas 1: Test asimptòtic + +Fins al moment ens hem basat per resoldre els contrastos en la distribució exacta de l'estadístic $T=$ nombre de femelles en deu nius, que és una Binomial $\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p}$ ), amb $n$ $=10 \mathrm{i} \mathrm{p}$ desconeguda. La distribució exacta de T ens permet calcular p-valors, potències, etc. per qualsevol grandària de mostra $n$. No obstant això, els càlculs amb la distribució Binomial es poden aproximar mitjançant la distribució Normal a partir de mides de mostra de trenta o majors. La distribució asimptòtica de $T$ és: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Per exemple, si es pretén contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +amb $n=36$, sota $\mathrm{H}_{0} T$ serà aproximadament $\operatorname{Normal} \mathrm{N}(18,3)$. En el document interactiu es presenta un quadre on podem comprovar les diferències entre el p-valor exacte i el pvalor segons la distribució asimptòtica per diferents $n$ i diferents valors de T. Per exemple, per a $n=36$ i 28 femelles les diferències són: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { exacte }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { asimptòtic }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +Quin interès té aleshores la distribució asimptòtica, si coneixem l'exacta? L'avantatge se situa en el terreny del càlcul: la distribució Normal és més fàcil de fer servir computacionalment tant si s'avalua mitjançant taules (i calculadora) com si +s'avalua amb l'ordinador. En canvi, la fórmula de la densitat Binomial comporta dificultats operatives amb els factorials quan $n>30$. + +### Cas 2: Test exacte + +Ja s'ha analitzat anteriorment amb detall la distribució de la mitjana de $n$ atletes quan la variable observada és una Normal. En resum, la densitat obtinguda és una Normal de paràmetres: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Per tant, mitjançant aquesta distribució exacta de l'estadístic per a qualsevol grandària de la mostra, es pot plantejar sense la necessitat d'aproximar a cap altra distribució el càlcul del p-valor, de la potència, etc. + +## Relació amb els intervals de confiança + +Els contrastos d'hipòtesis estan molt relacionats amb la teoria dels intervals de confiança. En molts casos es pot resoldre la mateixa qüestió aplicada formulant-la per qualsevol de les dues vies. Per exemple, el contrast: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +es pot resoldre plantejant l'interval de confiança per $\theta$, amb coeficient de confiança $1-$ $\alpha$. Suposem que l'interval obtingut és $[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]$. Aleshores, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Aquest contrast tindrà com a nivell de significació $\alpha$. És possible proporcionar fins i tot el p-valor si s'ajusta l'amplada de l'interval perquè sigui el més ample possible i al mateix temps exclogui $\theta_{0}$. + +Inversament, és possible utilitzar la regió crítica d'un contrast per a proporcionar una estimació per interval del paràmetre. Els contrastos bilaterals corresponen a intervals també bilaterals centrats, mentre que els contrastos unilaterals drets corresponen a estimacions unilaterals per excés i els unilaterals esquerres, a estimacions per defecte. + +### Cas 2: Relació amb els intervals de confiança + +En el tema anterior s'ha estudiat l'interval de confiança per a la mitjana d'una distribució Normal. Continuant amb les premisses que s'han seguit fins ara en el cas de l'statdrolona, haurem de considerar l'interval per a la mesura quan la variància és coneguda. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si prenem com a nivell de confiança $1-\alpha=0.95$, amb les dades obtingudes resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +És a dir, s'obté l'interval $[\mathbf{7 , 3 6 4 6}$; 9,7154]. Atenent que la mitjana sota la hipòtesi nul $\cdot$ la és $\mu=7$, i que no està inclosa en l'interval anterior, es rebutja la hipòtesi nul•la: la mitjana és significativament diferent de 7. És la mateixa conclusió que la que hem obtingut en el contrast bilateral anterior. A més, atès que s'ha calculat un interval bilateral, la hipòtesi alternativa corresponent a aquest interval és també bilateral. + +## Grandàries de mostra. Diferència mínima significativa + +Una de les preguntes més freqüents en estadística aplicada es refereix a quina és la grandària mostral més adient. En primer lloc, si la prova és asimptòtica, $N$ ha de ser suficientment gran perquè la distribució de l'estadístic sota la hipòtesi nul•la estigui ben aproximada. En el cas de les aproximacions normals, valors $N \geq 30$ són usualment acceptats. Aquesta consideració no s'aplica si la prova és exacta. + +El segon aspecte que cal considerar es refereix a la potència desitjada en el contrast. Però la potència varia en funció del paràmetre en els contrastos amb alternativa composta, així que, per formular correctament el problema, l'experimentador ha de proporcionar una quantitat addicional: la diferència mínima significativa $\Delta$. + +Per abreujar, es detalla ara només el contrast $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, però la base conceptual és semblant per a les alternatives unilaterals. + +El significat de $\Delta$ és aleshores el següent: l'experimentador considera que no és important en la pràctica equivocar-se acceptant la hipòtesi nul la (és a dir, cometre un error de tipus II) en el rang d'alternatives situades en l'interval $\left(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta\right)$. En canvi, $\theta_{0} \pm \Delta$ són els dos primers punts, a mesura que $\theta$ s'allunya de la hipòtesi nul $\cdot$ la, que l'experimentador considera important diferenciar de $\theta_{0}$. És justament en aquests dos punts on s'ajusta la grandària de la mostra per garantir la potència desitjada. Lògicament, la potència serà encara més alta si l'alternativa finalment certa està encara a major distància que $\Delta$. + +L'elecció concreta del valor de $\Delta$ depèn de cada situació aplicada, però en qualsevol cas és una quantitat escollida per l'experimentador, no dictada per una regla estadística. + +Una vegada escollit $\Delta$ i la potència desitjada en aquest punt, és possible indicar quina és la grandària mínima de la mostra per resoldre adequadament el problema. En alguns casos requerirà un experiment pilot abans de procedir amb l'experiment definitiu. + +### Cas 2: Càlcul de la grandària de la mostra + +L'estadístic de test d'aquest cas (la mitjana dels atletes) té una distribució exacta coneguda per a tot $n$ que s'ha descrit anteriorment. Per tant aquí l'experimentador ha de triar la mínima diferència significativa ( $\boldsymbol{\Delta}$ ) i la potència ( $\boldsymbol{\beta}$ ) per determinar la grandària de la mostra adequada. Suposem que es vol fer el contrast bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +amb les condicions següents de l'experiment fixades: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dit d'una altra manera, es pretén obtenir una potència del $90 \%$ en els punts: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Aquests són els dos primers valors (menor i major que $\mu_{0}=7$, respectivament) que l'experimentador no vol que es confonguin amb $\mathrm{H}_{0}$, excepte amb un error del $10 \%$. Per tant, s'ha d'ailllar el valor de $n$ que compleixi les condicions següents simultàniament: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ correspon a la hipòtesi simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en l'exemple). Atenent a la distribució de la mitjana de $n$ atletes sota cadascuna de les hipòtesis, l'única incògnita és $n$. Les constants $z_{\alpha / 2}$ i $z_{1-\beta}$ corresponen a les cues dretes següents de la variable aleatòria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Quan es resol el sistema d'equacions anterior en resulta la fórmula que proporciona la grandària desitjada: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Substituint pels valors concrets de l'exemple: + +$$ +n=\{2,4(1.645+1.960) / 0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Arrodonint, la grandària ha de ser de 117 atletes. En el quadre següent es mostra la grandària de la mostra en funció de la diferència mínima significativa desitjada, juntament amb altres paràmetres que afecten el problema: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-41.jpg?height=584&width=838&top_left_y=245&top_left_x=615) + +Per als valors extrems de $\alpha(0)$ i de $\beta$ (1), el valor de la grandària de la mostra es fa infinit i no es pot representar en el quadre anterior. + +## Esquema d'un contrast correctament plantejat + +Els conceptes exposats fins aquí són essencials per entendre què és un contrast estadístic d'hipòtesis i poder aplicar correctament els diferents tests que es detallen en pròxims capítols. En la pràctica, i per la tranquil•litat de l'experimentador, normalment només s'ha de preocupar d'identificar el problema que ha de resoldre (contrast sobre una, dues o més poblacions), la família de distribució i finalment aplicar tests ja deduïts, alguns ja gairebé centenàriament. Ara bé, l'experimentador ha d'escollir les tres quantitats següents: + +| 1) nivell de significació $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no es té un criteri definit, s'utilitzarà l'estàndard $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferència mínima
significativa $\Delta$ | Escollida sobre la base de l'experiència en el camp
concret d'aplicació. | +| 3) potència desitjada en el
punt a distància $\Delta$ | Si no es té un criteri definit, s'ha de prendre $\beta=0.8$ per
a $\alpha=0.05$. | + +Amb aquestes tres quantitats es podrà deduir usualment la grandària de mostra necessària, que completaria el disseny essencial del test. La informació final del resultat del contrast ha d'indicar aquestes tres quantitats juntament amb el p-valor obtingut. Resulta molt aconsellable acompanyar el test amb l'interval de confiança equivalent, que pot orientar sobre la significació aplicada (no estadística) del contrast. + +## Significació estadística i significació aplicada + +Al final d'aquest tema resulta convenient distingir entre significació estadística i significació aplicada. Quan es resol un contrast d'hipòtesis s'indica que hi ha significació estadística (S.E.) com a sinònim d'acceptació de la hipòtesi alternativa. Al llarg d'aquest tema s'ha vist, en síntesi, que la S.E. es produeix quan les dades obtingudes en l'experiment real i la hipòtesi nul•la presenten una discrepància que no és atribuïble a l'atzar, excepte en el percentatge de casos marcat pel nivell de significació escollit. + +Usualment, el límit entre la S.E. i la no-significació (que tècnicament correspon a la frontera de la regió crítica) depèn de la variabilitat de l'estadístic de test utilitzat. Aquí intervé doncs de manera directa la grandària de la mostra $N$ i la variància de l'estadístic, com també s'ha vist en els dos casos presentats. + +En determinades situacions, la variabilitat de l'estadístic és molt petita, de manera que el contrast és molt sensible a desviacions petites de la hipòtesi nul lla. Pot succeir aleshores que, quan s'obtenen les dades, el contrast assenyali que hi ha S.E., però que la desviació respecte a la hipòtesi nul•la sigui irrellevant des del punt de vista pràctic. La conclusió és que convé analitzar aquesta significació aplicada (S.A.) quan es fa un contrast d'hipòtesis. En molts casos, la manera més senzilla és obtenir l'interval de confiança adequat i interpretar la informació del contrast juntament amb la de l'interval. + +En resum, quan s'aplica un contrast qualsevol no ens hem de conformar amb la simple lectura del p-valor i decidir en correspondència, sinó que: + +- si s'ha detectat S.E., cal valorar la S.A., per exemple, mitjançant un interval de confiança. Pot ser que hi hagi S.E. però que no hi hagi S.A. +- si no s'ha detectat S.E., cal valorar si la grandària de la mostra és suficient per detectar (estadísticament) les diferències desitjades per l'experimentador. Pot ser que no hi hagi S.E. per una mida inadequada de la mostra i, per tant, no es podria concloure sobre la S.A. Si la grandària de la mostra és suficient i no hi ha S.E., aleshores tampoc no hi ha S.A. + + +### Cas 2: Significació estadística i aplicada + +Amb les dades realment obtingudes en l'estudi, i la hipòtesi: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ja hem vist que la conclusió, per a $\alpha=0.05$, era indicar que hi ha significació estadística. + +Suposem que els fisiòlegs accepten que les diferències en el nivell d'hormona són rellevants quan hi ha més de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferència en la mitjana de la població. L'interval bilateral en la mostra anterior és: +i permet afirmar que també hi ha significació aplicada. +Suposem que la població tingués una desviació estàndard de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lloc de la 2.4 plantejada fins ara), i s'hagués obtingut una mitjana igual a 7.13. El contrast d'hipòtesis detectaria aleshores igualment que hi ha S.E., però en canvi quan s'observa l'interval de confiança: + +S'hauria de concloure que no hi ha S.A. En aquest segon cas, la variància tan petita permet que el contrast sigui molt sensible a petites variacions de la mitjana. La S.E. en aquest últim exemple no resulta rellevant en la pràctica. + diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" new file mode 100644 index 0000000..285e444 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/bootstrap/bootstrap-icons.css" @@ -0,0 +1,2078 @@ +/*! + * Bootstrap Icons v1.11.1 (https://icons.getbootstrap.com/) + * Copyright 2019-2023 The Bootstrap Authors + * Licensed under MIT (https://github.com/twbs/icons/blob/main/LICENSE) + */ + +@font-face { + font-display: block; + font-family: "bootstrap-icons"; + src: +url("./bootstrap-icons.woff?2820a3852bdb9a5832199cc61cec4e65") format("woff"); +} + +.bi::before, +[class^="bi-"]::before, +[class*=" bi-"]::before { + display: inline-block; + font-family: bootstrap-icons !important; + font-style: normal; + font-weight: normal !important; + font-variant: normal; + text-transform: none; + line-height: 1; + vertical-align: -.125em; + -webkit-font-smoothing: antialiased; + -moz-osx-font-smoothing: grayscale; +} + +.bi-123::before { content: "\f67f"; } +.bi-alarm-fill::before { content: "\f101"; } +.bi-alarm::before { content: "\f102"; } +.bi-align-bottom::before { content: "\f103"; } +.bi-align-center::before { content: "\f104"; } +.bi-align-end::before { content: "\f105"; } +.bi-align-middle::before { content: "\f106"; } +.bi-align-start::before { content: "\f107"; } +.bi-align-top::before { content: "\f108"; } +.bi-alt::before { content: "\f109"; } +.bi-app-indicator::before { content: "\f10a"; } +.bi-app::before { content: "\f10b"; } +.bi-archive-fill::before { content: "\f10c"; } +.bi-archive::before { content: "\f10d"; } +.bi-arrow-90deg-down::before { content: "\f10e"; } +.bi-arrow-90deg-left::before { content: "\f10f"; } +.bi-arrow-90deg-right::before { content: "\f110"; } +.bi-arrow-90deg-up::before { content: 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W{static get NAME(){return"button"}toggle(){this._element.setAttribute("aria-pressed",this._element.classList.toggle("active"))}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Y.getOrCreateInstance(this);"toggle"===t&&e[t]()}))}}N.on(document,"click.bs.button.data-api",X,(t=>{t.preventDefault();const e=t.target.closest(X);Y.getOrCreateInstance(e).toggle()})),m(Y);const U=".bs.swipe",G=`touchstart${U}`,J=`touchmove${U}`,Z=`touchend${U}`,tt=`pointerdown${U}`,et=`pointerup${U}`,it={endCallback:null,leftCallback:null,rightCallback:null},nt={endCallback:"(function|null)",leftCallback:"(function|null)",rightCallback:"(function|null)"};class st extends H{constructor(t,e){super(),this._element=t,t&&st.isSupported()&&(this._config=this._getConfig(e),this._deltaX=0,this._supportPointerEvents=Boolean(window.PointerEvent),this._initEvents())}static get Default(){return it}static get DefaultType(){return nt}static get NAME(){return"swipe"}dispose(){N.off(this._element,U)}_start(t){this._supportPointerEvents?this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX):this._deltaX=t.touches[0].clientX}_end(t){this._eventIsPointerPenTouch(t)&&(this._deltaX=t.clientX-this._deltaX),this._handleSwipe(),g(this._config.endCallback)}_move(t){this._deltaX=t.touches&&t.touches.length>1?0:t.touches[0].clientX-this._deltaX}_handleSwipe(){const t=Math.abs(this._deltaX);if(t<=40)return;const e=t/this._deltaX;this._deltaX=0,e&&g(e>0?this._config.rightCallback:this._config.leftCallback)}_initEvents(){this._supportPointerEvents?(N.on(this._element,tt,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,et,(t=>this._end(t))),this._element.classList.add("pointer-event")):(N.on(this._element,G,(t=>this._start(t))),N.on(this._element,J,(t=>this._move(t))),N.on(this._element,Z,(t=>this._end(t))))}_eventIsPointerPenTouch(t){return this._supportPointerEvents&&("pen"===t.pointerType||"touch"===t.pointerType)}static isSupported(){return"ontouchstart"in document.documentElement||navigator.maxTouchPoints>0}}const ot=".bs.carousel",rt=".data-api",at="next",lt="prev",ct="left",ht="right",dt=`slide${ot}`,ut=`slid${ot}`,ft=`keydown${ot}`,pt=`mouseenter${ot}`,mt=`mouseleave${ot}`,gt=`dragstart${ot}`,_t=`load${ot}${rt}`,bt=`click${ot}${rt}`,vt="carousel",yt="active",wt=".active",At=".carousel-item",Et=wt+At,Tt={ArrowLeft:ht,ArrowRight:ct},Ct={interval:5e3,keyboard:!0,pause:"hover",ride:!1,touch:!0,wrap:!0},Ot={interval:"(number|boolean)",keyboard:"boolean",pause:"(string|boolean)",ride:"(boolean|string)",touch:"boolean",wrap:"boolean"};class xt extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._interval=null,this._activeElement=null,this._isSliding=!1,this.touchTimeout=null,this._swipeHelper=null,this._indicatorsElement=z.findOne(".carousel-indicators",this._element),this._addEventListeners(),this._config.ride===vt&&this.cycle()}static get Default(){return Ct}static get DefaultType(){return Ot}static get NAME(){return"carousel"}next(){this._slide(at)}nextWhenVisible(){!document.hidden&&a(this._element)&&this.next()}prev(){this._slide(lt)}pause(){this._isSliding&&s(this._element),this._clearInterval()}cycle(){this._clearInterval(),this._updateInterval(),this._interval=setInterval((()=>this.nextWhenVisible()),this._config.interval)}_maybeEnableCycle(){this._config.ride&&(this._isSliding?N.one(this._element,ut,(()=>this.cycle())):this.cycle())}to(t){const e=this._getItems();if(t>e.length-1||t<0)return;if(this._isSliding)return void N.one(this._element,ut,(()=>this.to(t)));const i=this._getItemIndex(this._getActive());if(i===t)return;const n=t>i?at:lt;this._slide(n,e[t])}dispose(){this._swipeHelper&&this._swipeHelper.dispose(),super.dispose()}_configAfterMerge(t){return 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[data-bs-slide-to]",(function(t){const e=z.getElementFromSelector(this);if(!e||!e.classList.contains(vt))return;t.preventDefault();const i=xt.getOrCreateInstance(e),n=this.getAttribute("data-bs-slide-to");return n?(i.to(n),void i._maybeEnableCycle()):"next"===F.getDataAttribute(this,"slide")?(i.next(),void i._maybeEnableCycle()):(i.prev(),void i._maybeEnableCycle())})),N.on(window,_t,(()=>{const t=z.find('[data-bs-ride="carousel"]');for(const e of t)xt.getOrCreateInstance(e)})),m(xt);const kt=".bs.collapse",Lt=`show${kt}`,St=`shown${kt}`,Dt=`hide${kt}`,$t=`hidden${kt}`,It=`click${kt}.data-api`,Nt="show",Pt="collapse",Mt="collapsing",jt=`:scope .${Pt} .${Pt}`,Ft='[data-bs-toggle="collapse"]',Ht={parent:null,toggle:!0},Wt={parent:"(null|element)",toggle:"boolean"};class Bt extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._isTransitioning=!1,this._triggerArray=[];const i=z.find(Ft);for(const t of i){const 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t.classList.contains(Nt)}_configAfterMerge(t){return t.toggle=Boolean(t.toggle),t.parent=r(t.parent),t}_getDimension(){return this._element.classList.contains("collapse-horizontal")?"width":"height"}_initializeChildren(){if(!this._config.parent)return;const t=this._getFirstLevelChildren(Ft);for(const e of t){const t=z.getElementFromSelector(e);t&&this._addAriaAndCollapsedClass([e],this._isShown(t))}}_getFirstLevelChildren(t){const e=z.find(jt,this._config.parent);return z.find(t,this._config.parent).filter((t=>!e.includes(t)))}_addAriaAndCollapsedClass(t,e){if(t.length)for(const i of t)i.classList.toggle("collapsed",!e),i.setAttribute("aria-expanded",e)}static jQueryInterface(t){const e={};return"string"==typeof t&&/show|hide/.test(t)&&(e.toggle=!1),this.each((function(){const i=Bt.getOrCreateInstance(this,e);if("string"==typeof t){if(void 0===i[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);i[t]()}}))}}N.on(document,It,Ft,(function(t){("A"===t.target.tagName||t.delegateTarget&&"A"===t.delegateTarget.tagName)&&t.preventDefault();for(const t of z.getMultipleElementsFromSelector(this))Bt.getOrCreateInstance(t,{toggle:!1}).toggle()})),m(Bt);var zt="top",Rt="bottom",qt="right",Vt="left",Kt="auto",Qt=[zt,Rt,qt,Vt],Xt="start",Yt="end",Ut="clippingParents",Gt="viewport",Jt="popper",Zt="reference",te=Qt.reduce((function(t,e){return t.concat([e+"-"+Xt,e+"-"+Yt])}),[]),ee=[].concat(Qt,[Kt]).reduce((function(t,e){return t.concat([e,e+"-"+Xt,e+"-"+Yt])}),[]),ie="beforeRead",ne="read",se="afterRead",oe="beforeMain",re="main",ae="afterMain",le="beforeWrite",ce="write",he="afterWrite",de=[ie,ne,se,oe,re,ae,le,ce,he];function ue(t){return t?(t.nodeName||"").toLowerCase():null}function fe(t){if(null==t)return window;if("[object Window]"!==t.toString()){var e=t.ownerDocument;return e&&e.defaultView||window}return t}function pe(t){return t instanceof fe(t).Element||t instanceof Element}function me(t){return t instanceof fe(t).HTMLElement||t instanceof HTMLElement}function ge(t){return"undefined"!=typeof ShadowRoot&&(t instanceof fe(t).ShadowRoot||t instanceof ShadowRoot)}const _e={name:"applyStyles",enabled:!0,phase:"write",fn:function(t){var e=t.state;Object.keys(e.elements).forEach((function(t){var i=e.styles[t]||{},n=e.attributes[t]||{},s=e.elements[t];me(s)&&ue(s)&&(Object.assign(s.style,i),Object.keys(n).forEach((function(t){var e=n[t];!1===e?s.removeAttribute(t):s.setAttribute(t,!0===e?"":e)})))}))},effect:function(t){var e=t.state,i={popper:{position:e.options.strategy,left:"0",top:"0",margin:"0"},arrow:{position:"absolute"},reference:{}};return Object.assign(e.elements.popper.style,i.popper),e.styles=i,e.elements.arrow&&Object.assign(e.elements.arrow.style,i.arrow),function(){Object.keys(e.elements).forEach((function(t){var n=e.elements[t],s=e.attributes[t]||{},o=Object.keys(e.styles.hasOwnProperty(t)?e.styles[t]:i[t]).reduce((function(t,e){return t[e]="",t}),{});me(n)&&ue(n)&&(Object.assign(n.style,o),Object.keys(s).forEach((function(t){n.removeAttribute(t)})))}))}},requires:["computeStyles"]};function be(t){return t.split("-")[0]}var ve=Math.max,ye=Math.min,we=Math.round;function Ae(){var t=navigator.userAgentData;return null!=t&&t.brands&&Array.isArray(t.brands)?t.brands.map((function(t){return t.brand+"/"+t.version})).join(" "):navigator.userAgent}function Ee(){return!/^((?!chrome|android).)*safari/i.test(Ae())}function Te(t,e,i){void 0===e&&(e=!1),void 0===i&&(i=!1);var n=t.getBoundingClientRect(),s=1,o=1;e&&me(t)&&(s=t.offsetWidth>0&&we(n.width)/t.offsetWidth||1,o=t.offsetHeight>0&&we(n.height)/t.offsetHeight||1);var r=(pe(t)?fe(t):window).visualViewport,a=!Ee()&&i,l=(n.left+(a&&r?r.offsetLeft:0))/s,c=(n.top+(a&&r?r.offsetTop:0))/o,h=n.width/s,d=n.height/o;return{width:h,height:d,top:c,right:l+h,bottom:c+d,left:l,x:l,y:c}}function Ce(t){var e=Te(t),i=t.offsetWidth,n=t.offsetHeight;return Math.abs(e.width-i)<=1&&(i=e.width),Math.abs(e.height-n)<=1&&(n=e.height),{x:t.offsetLeft,y:t.offsetTop,width:i,height:n}}function Oe(t,e){var i=e.getRootNode&&e.getRootNode();if(t.contains(e))return!0;if(i&&ge(i)){var n=e;do{if(n&&t.isSameNode(n))return!0;n=n.parentNode||n.host}while(n)}return!1}function xe(t){return fe(t).getComputedStyle(t)}function ke(t){return["table","td","th"].indexOf(ue(t))>=0}function Le(t){return((pe(t)?t.ownerDocument:t.document)||window.document).documentElement}function Se(t){return"html"===ue(t)?t:t.assignedSlot||t.parentNode||(ge(t)?t.host:null)||Le(t)}function De(t){return me(t)&&"fixed"!==xe(t).position?t.offsetParent:null}function $e(t){for(var e=fe(t),i=De(t);i&&ke(i)&&"static"===xe(i).position;)i=De(i);return i&&("html"===ue(i)||"body"===ue(i)&&"static"===xe(i).position)?e:i||function(t){var e=/firefox/i.test(Ae());if(/Trident/i.test(Ae())&&me(t)&&"fixed"===xe(t).position)return null;var i=Se(t);for(ge(i)&&(i=i.host);me(i)&&["html","body"].indexOf(ue(i))<0;){var n=xe(i);if("none"!==n.transform||"none"!==n.perspective||"paint"===n.contain||-1!==["transform","perspective"].indexOf(n.willChange)||e&&"filter"===n.willChange||e&&n.filter&&"none"!==n.filter)return i;i=i.parentNode}return null}(t)||e}function Ie(t){return["top","bottom"].indexOf(t)>=0?"x":"y"}function Ne(t,e,i){return ve(t,ye(e,i))}function Pe(t){return Object.assign({},{top:0,right:0,bottom:0,left:0},t)}function Me(t,e){return e.reduce((function(e,i){return e[i]=t,e}),{})}const je={name:"arrow",enabled:!0,phase:"main",fn:function(t){var e,i=t.state,n=t.name,s=t.options,o=i.elements.arrow,r=i.modifiersData.popperOffsets,a=be(i.placement),l=Ie(a),c=[Vt,qt].indexOf(a)>=0?"height":"width";if(o&&r){var h=function(t,e){return Pe("number"!=typeof(t="function"==typeof t?t(Object.assign({},e.rects,{placement:e.placement})):t)?t:Me(t,Qt))}(s.padding,i),d=Ce(o),u="y"===l?zt:Vt,f="y"===l?Rt:qt,p=i.rects.reference[c]+i.rects.reference[l]-r[l]-i.rects.popper[c],m=r[l]-i.rects.reference[l],g=$e(o),_=g?"y"===l?g.clientHeight||0:g.clientWidth||0:0,b=p/2-m/2,v=h[u],y=_-d[c]-h[f],w=_/2-d[c]/2+b,A=Ne(v,w,y),E=l;i.modifiersData[n]=((e={})[E]=A,e.centerOffset=A-w,e)}},effect:function(t){var e=t.state,i=t.options.element,n=void 0===i?"[data-popper-arrow]":i;null!=n&&("string"!=typeof n||(n=e.elements.popper.querySelector(n)))&&Oe(e.elements.popper,n)&&(e.elements.arrow=n)},requires:["popperOffsets"],requiresIfExists:["preventOverflow"]};function Fe(t){return t.split("-")[1]}var He={top:"auto",right:"auto",bottom:"auto",left:"auto"};function We(t){var e,i=t.popper,n=t.popperRect,s=t.placement,o=t.variation,r=t.offsets,a=t.position,l=t.gpuAcceleration,c=t.adaptive,h=t.roundOffsets,d=t.isFixed,u=r.x,f=void 0===u?0:u,p=r.y,m=void 0===p?0:p,g="function"==typeof h?h({x:f,y:m}):{x:f,y:m};f=g.x,m=g.y;var _=r.hasOwnProperty("x"),b=r.hasOwnProperty("y"),v=Vt,y=zt,w=window;if(c){var A=$e(i),E="clientHeight",T="clientWidth";A===fe(i)&&"static"!==xe(A=Le(i)).position&&"absolute"===a&&(E="scrollHeight",T="scrollWidth"),(s===zt||(s===Vt||s===qt)&&o===Yt)&&(y=Rt,m-=(d&&A===w&&w.visualViewport?w.visualViewport.height:A[E])-n.height,m*=l?1:-1),s!==Vt&&(s!==zt&&s!==Rt||o!==Yt)||(v=qt,f-=(d&&A===w&&w.visualViewport?w.visualViewport.width:A[T])-n.width,f*=l?1:-1)}var C,O=Object.assign({position:a},c&&He),x=!0===h?function(t,e){var i=t.x,n=t.y,s=e.devicePixelRatio||1;return{x:we(i*s)/s||0,y:we(n*s)/s||0}}({x:f,y:m},fe(i)):{x:f,y:m};return f=x.x,m=x.y,l?Object.assign({},O,((C={})[y]=b?"0":"",C[v]=_?"0":"",C.transform=(w.devicePixelRatio||1)<=1?"translate("+f+"px, "+m+"px)":"translate3d("+f+"px, "+m+"px, 0)",C)):Object.assign({},O,((e={})[y]=b?m+"px":"",e[v]=_?f+"px":"",e.transform="",e))}const Be={name:"computeStyles",enabled:!0,phase:"beforeWrite",fn:function(t){var e=t.state,i=t.options,n=i.gpuAcceleration,s=void 0===n||n,o=i.adaptive,r=void 0===o||o,a=i.roundOffsets,l=void 0===a||a,c={placement:be(e.placement),variation:Fe(e.placement),popper:e.elements.popper,popperRect:e.rects.popper,gpuAcceleration:s,isFixed:"fixed"===e.options.strategy};null!=e.modifiersData.popperOffsets&&(e.styles.popper=Object.assign({},e.styles.popper,We(Object.assign({},c,{offsets:e.modifiersData.popperOffsets,position:e.options.strategy,adaptive:r,roundOffsets:l})))),null!=e.modifiersData.arrow&&(e.styles.arrow=Object.assign({},e.styles.arrow,We(Object.assign({},c,{offsets:e.modifiersData.arrow,position:"absolute",adaptive:!1,roundOffsets:l})))),e.attributes.popper=Object.assign({},e.attributes.popper,{"data-popper-placement":e.placement})},data:{}};var ze={passive:!0};const Re={name:"eventListeners",enabled:!0,phase:"write",fn:function(){},effect:function(t){var 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.dropdown-item:not(.disabled):not(:disabled)",this._menu).filter((t=>a(t)));i.length&&b(i,e,t===Ti,!i.includes(e)).focus()}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=qi.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}))}static clearMenus(t){if(2===t.button||"keyup"===t.type&&"Tab"!==t.key)return;const e=z.find(Ni);for(const i of e){const e=qi.getInstance(i);if(!e||!1===e._config.autoClose)continue;const n=t.composedPath(),s=n.includes(e._menu);if(n.includes(e._element)||"inside"===e._config.autoClose&&!s||"outside"===e._config.autoClose&&s)continue;if(e._menu.contains(t.target)&&("keyup"===t.type&&"Tab"===t.key||/input|select|option|textarea|form/i.test(t.target.tagName)))continue;const o={relatedTarget:e._element};"click"===t.type&&(o.clickEvent=t),e._completeHide(o)}}static dataApiKeydownHandler(t){const 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H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t),this._isAppended=!1,this._element=null}static get Default(){return Xi}static get DefaultType(){return Yi}static get NAME(){return Vi}show(t){if(!this._config.isVisible)return void g(t);this._append();const e=this._getElement();this._config.isAnimated&&d(e),e.classList.add(Ki),this._emulateAnimation((()=>{g(t)}))}hide(t){this._config.isVisible?(this._getElement().classList.remove(Ki),this._emulateAnimation((()=>{this.dispose(),g(t)}))):g(t)}dispose(){this._isAppended&&(N.off(this._element,Qi),this._element.remove(),this._isAppended=!1)}_getElement(){if(!this._element){const t=document.createElement("div");t.className=this._config.className,this._config.isAnimated&&t.classList.add("fade"),this._element=t}return this._element}_configAfterMerge(t){return t.rootElement=r(t.rootElement),t}_append(){if(this._isAppended)return;const 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W{constructor(t,e){super(t,e),this._isShown=!1,this._backdrop=this._initializeBackDrop(),this._focustrap=this._initializeFocusTrap(),this._addEventListeners()}static get Default(){return zn}static get DefaultType(){return Rn}static get NAME(){return"offcanvas"}toggle(t){return this._isShown?this.hide():this.show(t)}show(t){this._isShown||N.trigger(this._element,Nn,{relatedTarget:t}).defaultPrevented||(this._isShown=!0,this._backdrop.show(),this._config.scroll||(new cn).hide(),this._element.setAttribute("aria-modal",!0),this._element.setAttribute("role","dialog"),this._element.classList.add(Dn),this._queueCallback((()=>{this._config.scroll&&!this._config.backdrop||this._focustrap.activate(),this._element.classList.add(Sn),this._element.classList.remove(Dn),N.trigger(this._element,Pn,{relatedTarget:t})}),this._element,!0))}hide(){this._isShown&&(N.trigger(this._element,Mn).defaultPrevented||(this._focustrap.deactivate(),this._element.blur(),this._isShown=!1,this._element.classList.add($n),this._backdrop.hide(),this._queueCallback((()=>{this._element.classList.remove(Sn,$n),this._element.removeAttribute("aria-modal"),this._element.removeAttribute("role"),this._config.scroll||(new cn).reset(),N.trigger(this._element,Fn)}),this._element,!0)))}dispose(){this._backdrop.dispose(),this._focustrap.deactivate(),super.dispose()}_initializeBackDrop(){const t=Boolean(this._config.backdrop);return new Ui({className:"offcanvas-backdrop",isVisible:t,isAnimated:!0,rootElement:this._element.parentNode,clickCallback:t?()=>{"static"!==this._config.backdrop?this.hide():N.trigger(this._element,jn)}:null})}_initializeFocusTrap(){return new sn({trapElement:this._element})}_addEventListeners(){N.on(this._element,Bn,(t=>{"Escape"===t.key&&(this._config.keyboard?this.hide():N.trigger(this._element,jn))}))}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=qn.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t](this)}}))}}N.on(document,Wn,'[data-bs-toggle="offcanvas"]',(function(t){const e=z.getElementFromSelector(this);if(["A","AREA"].includes(this.tagName)&&t.preventDefault(),l(this))return;N.one(e,Fn,(()=>{a(this)&&this.focus()}));const i=z.findOne(In);i&&i!==e&&qn.getInstance(i).hide(),qn.getOrCreateInstance(e).toggle(this)})),N.on(window,Ln,(()=>{for(const t of z.find(In))qn.getOrCreateInstance(t).show()})),N.on(window,Hn,(()=>{for(const t of z.find("[aria-modal][class*=show][class*=offcanvas-]"))"fixed"!==getComputedStyle(t).position&&qn.getOrCreateInstance(t).hide()})),R(qn),m(qn);const Vn={"*":["class","dir","id","lang","role",/^aria-[\w-]*$/i],a:["target","href","title","rel"],area:[],b:[],br:[],col:[],code:[],div:[],em:[],hr:[],h1:[],h2:[],h3:[],h4:[],h5:[],h6:[],i:[],img:["src","srcset","alt","title","width","height"],li:[],ol:[],p:[],pre:[],s:[],small:[],span:[],sub:[],sup:[],strong:[],u:[],ul:[]},Kn=new Set(["background","cite","href","itemtype","longdesc","poster","src","xlink:href"]),Qn=/^(?!javascript:)(?:[a-z0-9+.-]+:|[^&:/?#]*(?:[/?#]|$))/i,Xn=(t,e)=>{const i=t.nodeName.toLowerCase();return e.includes(i)?!Kn.has(i)||Boolean(Qn.test(t.nodeValue)):e.filter((t=>t instanceof RegExp)).some((t=>t.test(i)))},Yn={allowList:Vn,content:{},extraClass:"",html:!1,sanitize:!0,sanitizeFn:null,template:"

"},Un={allowList:"object",content:"object",extraClass:"(string|function)",html:"boolean",sanitize:"boolean",sanitizeFn:"(null|function)",template:"string"},Gn={entry:"(string|element|function|null)",selector:"(string|element)"};class Jn extends H{constructor(t){super(),this._config=this._getConfig(t)}static get Default(){return Yn}static get DefaultType(){return Un}static get NAME(){return"TemplateFactory"}getContent(){return Object.values(this._config.content).map((t=>this._resolvePossibleFunction(t))).filter(Boolean)}hasContent(){return this.getContent().length>0}changeContent(t){return this._checkContent(t),this._config.content={...this._config.content,...t},this}toHtml(){const t=document.createElement("div");t.innerHTML=this._maybeSanitize(this._config.template);for(const[e,i]of Object.entries(this._config.content))this._setContent(t,i,e);const e=t.children[0],i=this._resolvePossibleFunction(this._config.extraClass);return i&&e.classList.add(...i.split(" ")),e}_typeCheckConfig(t){super._typeCheckConfig(t),this._checkContent(t.content)}_checkContent(t){for(const[e,i]of Object.entries(t))super._typeCheckConfig({selector:e,entry:i},Gn)}_setContent(t,e,i){const n=z.findOne(i,t);n&&((e=this._resolvePossibleFunction(e))?o(e)?this._putElementInTemplate(r(e),n):this._config.html?n.innerHTML=this._maybeSanitize(e):n.textContent=e:n.remove())}_maybeSanitize(t){return this._config.sanitize?function(t,e,i){if(!t.length)return t;if(i&&"function"==typeof i)return i(t);const n=(new window.DOMParser).parseFromString(t,"text/html"),s=[].concat(...n.body.querySelectorAll("*"));for(const t of s){const i=t.nodeName.toLowerCase();if(!Object.keys(e).includes(i)){t.remove();continue}const n=[].concat(...t.attributes),s=[].concat(e["*"]||[],e[i]||[]);for(const e of n)Xn(e,s)||t.removeAttribute(e.nodeName)}return n.body.innerHTML}(t,this._config.allowList,this._config.sanitizeFn):t}_resolvePossibleFunction(t){return g(t,[this])}_putElementInTemplate(t,e){if(this._config.html)return e.innerHTML="",void e.append(t);e.textContent=t.textContent}}const Zn=new Set(["sanitize","allowList","sanitizeFn"]),ts="fade",es="show",is=".modal",ns="hide.bs.modal",ss="hover",os="focus",rs={AUTO:"auto",TOP:"top",RIGHT:p()?"left":"right",BOTTOM:"bottom",LEFT:p()?"right":"left"},as={allowList:Vn,animation:!0,boundary:"clippingParents",container:!1,customClass:"",delay:0,fallbackPlacements:["top","right","bottom","left"],html:!1,offset:[0,6],placement:"top",popperConfig:null,sanitize:!0,sanitizeFn:null,selector:!1,template:'',title:"",trigger:"hover focus"},ls={allowList:"object",animation:"boolean",boundary:"(string|element)",container:"(string|element|boolean)",customClass:"(string|function)",delay:"(number|object)",fallbackPlacements:"array",html:"boolean",offset:"(array|string|function)",placement:"(string|function)",popperConfig:"(null|object|function)",sanitize:"boolean",sanitizeFn:"(null|function)",selector:"(string|boolean)",template:"string",title:"(string|element|function)",trigger:"string"};class cs extends W{constructor(t,e){if(void 0===vi)throw new TypeError("Bootstrap's tooltips require Popper (https://popper.js.org)");super(t,e),this._isEnabled=!0,this._timeout=0,this._isHovered=null,this._activeTrigger={},this._popper=null,this._templateFactory=null,this._newContent=null,this.tip=null,this._setListeners(),this._config.selector||this._fixTitle()}static get Default(){return as}static get DefaultType(){return ls}static get 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i=this._getTipElement();this._element.setAttribute("aria-describedby",i.getAttribute("id"));const{container:n}=this._config;if(this._element.ownerDocument.documentElement.contains(this.tip)||(n.append(i),N.trigger(this._element,this.constructor.eventName("inserted"))),this._popper=this._createPopper(i),i.classList.add(es),"ontouchstart"in document.documentElement)for(const t of[].concat(...document.body.children))N.on(t,"mouseover",h);this._queueCallback((()=>{N.trigger(this._element,this.constructor.eventName("shown")),!1===this._isHovered&&this._leave(),this._isHovered=!1}),this.tip,this._isAnimated())}hide(){if(this._isShown()&&!N.trigger(this._element,this.constructor.eventName("hide")).defaultPrevented){if(this._getTipElement().classList.remove(es),"ontouchstart"in document.documentElement)for(const t of[].concat(...document.body.children))N.off(t,"mouseover",h);this._activeTrigger.click=!1,this._activeTrigger[os]=!1,this._activeTrigger[ss]=!1,this._isHovered=null,this._queueCallback((()=>{this._isWithActiveTrigger()||(this._isHovered||this._disposePopper(),this._element.removeAttribute("aria-describedby"),N.trigger(this._element,this.constructor.eventName("hidden")))}),this.tip,this._isAnimated())}}update(){this._popper&&this._popper.update()}_isWithContent(){return Boolean(this._getTitle())}_getTipElement(){return this.tip||(this.tip=this._createTipElement(this._newContent||this._getContentForTemplate())),this.tip}_createTipElement(t){const e=this._getTemplateFactory(t).toHtml();if(!e)return null;e.classList.remove(ts,es),e.classList.add(`bs-${this.constructor.NAME}-auto`);const i=(t=>{do{t+=Math.floor(1e6*Math.random())}while(document.getElementById(t));return t})(this.constructor.NAME).toString();return e.setAttribute("id",i),this._isAnimated()&&e.classList.add(ts),e}setContent(t){this._newContent=t,this._isShown()&&(this._disposePopper(),this.show())}_getTemplateFactory(t){return this._templateFactory?this._templateFactory.changeContent(t):this._templateFactory=new Jn({...this._config,content:t,extraClass:this._resolvePossibleFunction(this._config.customClass)}),this._templateFactory}_getContentForTemplate(){return{".tooltip-inner":this._getTitle()}}_getTitle(){return this._resolvePossibleFunction(this._config.title)||this._element.getAttribute("data-bs-original-title")}_initializeOnDelegatedTarget(t){return this.constructor.getOrCreateInstance(t.delegateTarget,this._getDelegateConfig())}_isAnimated(){return this._config.animation||this.tip&&this.tip.classList.contains(ts)}_isShown(){return this.tip&&this.tip.classList.contains(es)}_createPopper(t){const e=g(this._config.placement,[this,t,this._element]),i=rs[e.toUpperCase()];return bi(this._element,t,this._getPopperConfig(i))}_getOffset(){const{offset:t}=this._config;return"string"==typeof t?t.split(",").map((t=>Number.parseInt(t,10))):"function"==typeof t?e=>t(e,this._element):t}_resolvePossibleFunction(t){return g(t,[this._element])}_getPopperConfig(t){const e={placement:t,modifiers:[{name:"flip",options:{fallbackPlacements:this._config.fallbackPlacements}},{name:"offset",options:{offset:this._getOffset()}},{name:"preventOverflow",options:{boundary:this._config.boundary}},{name:"arrow",options:{element:`.${this.constructor.NAME}-arrow`}},{name:"preSetPlacement",enabled:!0,phase:"beforeMain",fn:t=>{this._getTipElement().setAttribute("data-popper-placement",t.state.placement)}}]};return{...e,...g(this._config.popperConfig,[e])}}_setListeners(){const t=this._config.trigger.split(" ");for(const e of t)if("click"===e)N.on(this._element,this.constructor.eventName("click"),this._config.selector,(t=>{this._initializeOnDelegatedTarget(t).toggle()}));else 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t=this._element.getAttribute("title");t&&(this._element.getAttribute("aria-label")||this._element.textContent.trim()||this._element.setAttribute("aria-label",t),this._element.setAttribute("data-bs-original-title",t),this._element.removeAttribute("title"))}_enter(){this._isShown()||this._isHovered?this._isHovered=!0:(this._isHovered=!0,this._setTimeout((()=>{this._isHovered&&this.show()}),this._config.delay.show))}_leave(){this._isWithActiveTrigger()||(this._isHovered=!1,this._setTimeout((()=>{this._isHovered||this.hide()}),this._config.delay.hide))}_setTimeout(t,e){clearTimeout(this._timeout),this._timeout=setTimeout(t,e)}_isWithActiveTrigger(){return Object.values(this._activeTrigger).includes(!0)}_getConfig(t){const e=F.getDataAttributes(this._element);for(const t of Object.keys(e))Zn.has(t)&&delete e[t];return t={...e,..."object"==typeof t&&t?t:{}},t=this._mergeConfigObj(t),t=this._configAfterMerge(t),this._typeCheckConfig(t),t}_configAfterMerge(t){return 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NAME(){return"popover"}_isWithContent(){return this._getTitle()||this._getContent()}_getContentForTemplate(){return{".popover-header":this._getTitle(),".popover-body":this._getContent()}}_getContent(){return this._resolvePossibleFunction(this._config.content)}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=us.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t])throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}))}}m(us);const fs=".bs.scrollspy",ps=`activate${fs}`,ms=`click${fs}`,gs=`load${fs}.data-api`,_s="active",bs="[href]",vs=".nav-link",ys=`${vs}, .nav-item > ${vs}, .list-group-item`,ws={offset:null,rootMargin:"0px 0px -25%",smoothScroll:!1,target:null,threshold:[.1,.5,1]},As={offset:"(number|null)",rootMargin:"string",smoothScroll:"boolean",target:"element",threshold:"array"};class Es extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._targetLinks=new Map,this._observableSections=new 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e=this._observableSections.get(t.target.hash);if(e){t.preventDefault();const i=this._rootElement||window,n=e.offsetTop-this._element.offsetTop;if(i.scrollTo)return void i.scrollTo({top:n,behavior:"smooth"});i.scrollTop=n}})))}_getNewObserver(){const t={root:this._rootElement,threshold:this._config.threshold,rootMargin:this._config.rootMargin};return new IntersectionObserver((t=>this._observerCallback(t)),t)}_observerCallback(t){const e=t=>this._targetLinks.get(`#${t.target.id}`),i=t=>{this._previousScrollData.visibleEntryTop=t.target.offsetTop,this._process(e(t))},n=(this._rootElement||document.documentElement).scrollTop,s=n>=this._previousScrollData.parentScrollTop;this._previousScrollData.parentScrollTop=n;for(const o of t){if(!o.isIntersecting){this._activeTarget=null,this._clearActiveClass(e(o));continue}const t=o.target.offsetTop>=this._previousScrollData.visibleEntryTop;if(s&&t){if(i(o),!n)return}else s||t||i(o)}}_initializeTargetsAndObservables(){this._targetLinks=new Map,this._observableSections=new Map;const t=z.find(bs,this._config.target);for(const e of t){if(!e.hash||l(e))continue;const t=z.findOne(decodeURI(e.hash),this._element);a(t)&&(this._targetLinks.set(decodeURI(e.hash),e),this._observableSections.set(e.hash,t))}}_process(t){this._activeTarget!==t&&(this._clearActiveClass(this._config.target),this._activeTarget=t,t.classList.add(_s),this._activateParents(t),N.trigger(this._element,ps,{relatedTarget:t}))}_activateParents(t){if(t.classList.contains("dropdown-item"))z.findOne(".dropdown-toggle",t.closest(".dropdown")).classList.add(_s);else for(const e of z.parents(t,".nav, .list-group"))for(const t of z.prev(e,ys))t.classList.add(_s)}_clearActiveClass(t){t.classList.remove(_s);const e=z.find(`${bs}.${_s}`,t);for(const t of e)t.classList.remove(_s)}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Es.getOrCreateInstance(this,t);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No 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e=this._getActiveElem(),i=e?N.trigger(e,Cs,{relatedTarget:t}):null;N.trigger(t,xs,{relatedTarget:e}).defaultPrevented||i&&i.defaultPrevented||(this._deactivate(e,t),this._activate(t,e))}_activate(t,e){t&&(t.classList.add(Fs),this._activate(z.getElementFromSelector(t)),this._queueCallback((()=>{"tab"===t.getAttribute("role")?(t.removeAttribute("tabindex"),t.setAttribute("aria-selected",!0),this._toggleDropDown(t,!0),N.trigger(t,ks,{relatedTarget:e})):t.classList.add(Ws)}),t,t.classList.contains(Hs)))}_deactivate(t,e){t&&(t.classList.remove(Fs),t.blur(),this._deactivate(z.getElementFromSelector(t)),this._queueCallback((()=>{"tab"===t.getAttribute("role")?(t.setAttribute("aria-selected",!1),t.setAttribute("tabindex","-1"),this._toggleDropDown(t,!1),N.trigger(t,Os,{relatedTarget:e})):t.classList.remove(Ws)}),t,t.classList.contains(Hs)))}_keydown(t){if(![$s,Is,Ns,Ps,Ms,js].includes(t.key))return;t.stopPropagation(),t.preventDefault();const e=this._getChildren().filter((t=>!l(t)));let 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e=z.getElementFromSelector(t);e&&(this._setAttributeIfNotExists(e,"role","tabpanel"),t.id&&this._setAttributeIfNotExists(e,"aria-labelledby",`${t.id}`))}_toggleDropDown(t,e){const i=this._getOuterElement(t);if(!i.classList.contains("dropdown"))return;const n=(t,n)=>{const s=z.findOne(t,i);s&&s.classList.toggle(n,e)};n(".dropdown-toggle",Fs),n(".dropdown-menu",Ws),i.setAttribute("aria-expanded",e)}_setAttributeIfNotExists(t,e,i){t.hasAttribute(e)||t.setAttribute(e,i)}_elemIsActive(t){return t.classList.contains(Fs)}_getInnerElement(t){return t.matches(Rs)?t:z.findOne(Rs,t)}_getOuterElement(t){return t.closest(".nav-item, .list-group-item")||t}static jQueryInterface(t){return this.each((function(){const e=Vs.getOrCreateInstance(this);if("string"==typeof t){if(void 0===e[t]||t.startsWith("_")||"constructor"===t)throw new TypeError(`No method named "${t}"`);e[t]()}}))}}N.on(document,Ls,zs,(function(t){["A","AREA"].includes(this.tagName)&&t.preventDefault(),l(this)||Vs.getOrCreateInstance(this).show()})),N.on(window,Ds,(()=>{for(const t of z.find(qs))Vs.getOrCreateInstance(t)})),m(Vs);const Ks=".bs.toast",Qs=`mouseover${Ks}`,Xs=`mouseout${Ks}`,Ys=`focusin${Ks}`,Us=`focusout${Ks}`,Gs=`hide${Ks}`,Js=`hidden${Ks}`,Zs=`show${Ks}`,to=`shown${Ks}`,eo="hide",io="show",no="showing",so={animation:"boolean",autohide:"boolean",delay:"number"},oo={animation:!0,autohide:!0,delay:5e3};class ro extends W{constructor(t,e){super(t,e),this._timeout=null,this._hasMouseInteraction=!1,this._hasKeyboardInteraction=!1,this._setListeners()}static get Default(){return oo}static get DefaultType(){return so}static get 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0===n?"[data-popper-arrow]":n;null!=r&&("string"!=typeof r||(r=t.elements.popper.querySelector(r)))&&N(t.elements.popper,r)&&(t.elements.arrow=r)},requires:["popperOffsets"],requiresIfExists:["preventOverflow"]};function ve(e,t,n){return void 0===n&&(n={x:0,y:0}),{top:e.top-t.height-n.y,right:e.right-t.width+n.x,bottom:e.bottom-t.height+n.y,left:e.left-t.width-n.x}}function ye(e){return[D,L,A,P].some((function(t){return e[t]>=0}))}var ge={name:"hide",enabled:!0,phase:"main",requiresIfExists:["preventOverflow"],fn:function(e){var t=e.state,n=e.name,r=t.rects.reference,o=t.rects.popper,i=t.modifiersData.preventOverflow,a=J(t,{elementContext:"reference"}),s=J(t,{altBoundary:!0}),f=ve(a,r),c=ve(s,o,i),p=ye(f),u=ye(c);t.modifiersData[n]={referenceClippingOffsets:f,popperEscapeOffsets:c,isReferenceHidden:p,hasPopperEscaped:u},t.attributes.popper=Object.assign({},t.attributes.popper,{"data-popper-reference-hidden":p,"data-popper-escaped":u})}},be=Z({defaultModifiers:[ee,te,oe,ie]}),xe=[ee,te,oe,ie,ae,le,he,me,ge],we=Z({defaultModifiers:xe});e.applyStyles=ie,e.arrow=me,e.computeStyles=oe,e.createPopper=we,e.createPopperLite=be,e.defaultModifiers=xe,e.detectOverflow=J,e.eventListeners=ee,e.flip=le,e.hide=ge,e.offset=ae,e.popperGenerator=Z,e.popperOffsets=te,e.preventOverflow=he,Object.defineProperty(e,"__esModule",{value:!0})})); + diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/quarto-syntax-highlighting.css" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/quarto-syntax-highlighting.css" new file mode 100644 index 0000000..b30ce57 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/quarto-syntax-highlighting.css" @@ -0,0 +1,205 @@ +/* quarto syntax highlight colors */ +:root { + --quarto-hl-ot-color: #003B4F; + --quarto-hl-at-color: #657422; + --quarto-hl-ss-color: #20794D; + --quarto-hl-an-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-fu-color: #4758AB; + --quarto-hl-st-color: #20794D; + --quarto-hl-cf-color: #003B4F; + --quarto-hl-op-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-er-color: #AD0000; + --quarto-hl-bn-color: #AD0000; + --quarto-hl-al-color: #AD0000; + --quarto-hl-va-color: #111111; + --quarto-hl-bu-color: inherit; + --quarto-hl-ex-color: inherit; + --quarto-hl-pp-color: #AD0000; + --quarto-hl-in-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-vs-color: #20794D; + --quarto-hl-wa-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-do-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-im-color: #00769E; + --quarto-hl-ch-color: #20794D; + --quarto-hl-dt-color: #AD0000; + --quarto-hl-fl-color: #AD0000; + --quarto-hl-co-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-cv-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-cn-color: #8f5902; + --quarto-hl-sc-color: #5E5E5E; + --quarto-hl-dv-color: #AD0000; + --quarto-hl-kw-color: #003B4F; +} + +/* other quarto variables */ +:root { + --quarto-font-monospace: SFMono-Regular, Menlo, Monaco, Consolas, "Liberation Mono", "Courier New", monospace; +} + +pre > code.sourceCode > span { + color: #003B4F; +} + +code span { + color: #003B4F; +} + +code.sourceCode > span { + color: #003B4F; +} + +div.sourceCode, +div.sourceCode pre.sourceCode { + color: #003B4F; +} + +code span.ot { + color: #003B4F; + font-style: inherit; +} + +code span.at { + color: #657422; + font-style: inherit; +} + +code span.ss { + color: #20794D; + font-style: inherit; +} + +code span.an { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.fu { + color: #4758AB; + font-style: inherit; +} + +code span.st { + color: #20794D; + font-style: inherit; +} + +code span.cf { + color: #003B4F; + font-weight: bold; + font-style: inherit; +} + +code span.op { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.er { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.bn { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.al { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.va { + color: #111111; + font-style: inherit; +} + +code span.bu { + font-style: inherit; +} + +code span.ex { + font-style: inherit; +} + +code span.pp { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.in { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.vs { + color: #20794D; + font-style: inherit; +} + +code span.wa { + color: #5E5E5E; + font-style: italic; +} + +code span.do { + color: #5E5E5E; + font-style: italic; +} + +code span.im { + color: #00769E; + font-style: inherit; +} + +code span.ch { + color: #20794D; + font-style: inherit; +} + +code span.dt { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.fl { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.co { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.cv { + color: #5E5E5E; + font-style: italic; +} + +code span.cn { + color: #8f5902; + font-style: inherit; +} + +code span.sc { + color: #5E5E5E; + font-style: inherit; +} + +code span.dv { + color: #AD0000; + font-style: inherit; +} + +code span.kw { + color: #003B4F; + font-weight: bold; + font-style: inherit; +} + +.prevent-inlining { + content: " { + // Find any conflicting margin elements and add margins to the + // top to prevent overlap + const marginChildren = window.document.querySelectorAll( + ".column-margin.column-container > *, .margin-caption, .aside" + ); + + let lastBottom = 0; + for (const marginChild of marginChildren) { + if (marginChild.offsetParent !== null) { + // clear the top margin so we recompute it + marginChild.style.marginTop = null; + const top = marginChild.getBoundingClientRect().top + window.scrollY; + if (top < lastBottom) { + const marginChildStyle = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginBottom = parseFloat(marginChildStyle["marginBottom"]); + const margin = lastBottom - top + marginBottom; + marginChild.style.marginTop = `${margin}px`; + } + const styles = window.getComputedStyle(marginChild); + const marginTop = parseFloat(styles["marginTop"]); + lastBottom = top + marginChild.getBoundingClientRect().height + marginTop; + } + } +}; + +window.document.addEventListener("DOMContentLoaded", function (_event) { + // Recompute the position of margin elements anytime the body size changes + if (window.ResizeObserver) { + const resizeObserver = new window.ResizeObserver( + throttle(() => { + layoutMarginEls(); + if ( + window.document.body.getBoundingClientRect().width < 990 && + isReaderMode() + ) { + quartoToggleReader(); + } + }, 50) + ); + resizeObserver.observe(window.document.body); + } + + const tocEl = window.document.querySelector('nav.toc-active[role="doc-toc"]'); + const sidebarEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar"); + const leftTocEl = window.document.getElementById("quarto-sidebar-toc-left"); + const marginSidebarEl = window.document.getElementById( + "quarto-margin-sidebar" + ); + // function to determine whether the element has a previous sibling that is active + const prevSiblingIsActiveLink = (el) => { + const sibling = el.previousElementSibling; + if (sibling && sibling.tagName === "A") { + return sibling.classList.contains("active"); + } else { + return false; + } + }; + + // fire slideEnter for bootstrap tab activations (for htmlwidget resize behavior) + function fireSlideEnter(e) { + const event = window.document.createEvent("Event"); + event.initEvent("slideenter", true, true); + window.document.dispatchEvent(event); + } + const tabs = window.document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + tabs.forEach((tab) => { + tab.addEventListener("shown.bs.tab", fireSlideEnter); + }); + + // fire slideEnter for tabby tab activations (for htmlwidget resize behavior) + document.addEventListener("tabby", fireSlideEnter, false); + + // Track scrolling and mark TOC links as active + // get table of contents and sidebar (bail if we don't have at least one) + const tocLinks = tocEl + ? [...tocEl.querySelectorAll("a[data-scroll-target]")] + : []; + const makeActive = (link) => tocLinks[link].classList.add("active"); + const removeActive = (link) => tocLinks[link].classList.remove("active"); + const removeAllActive = () => + [...Array(tocLinks.length).keys()].forEach((link) => removeActive(link)); + + // activate the anchor for a section associated with this TOC entry + tocLinks.forEach((link) => { + link.addEventListener("click", () => { + if (link.href.indexOf("#") !== -1) { + const anchor = link.href.split("#")[1]; + const heading = window.document.querySelector( + `[data-anchor-id="${anchor}"]` + ); + if (heading) { + // Add the class + heading.classList.add("reveal-anchorjs-link"); + + // function to show the anchor + const handleMouseout = () => { + heading.classList.remove("reveal-anchorjs-link"); + heading.removeEventListener("mouseout", handleMouseout); + }; + + // add a function to clear the anchor when the user mouses out of it + heading.addEventListener("mouseout", handleMouseout); + } + } + }); + }); + + const sections = tocLinks.map((link) => { + const target = link.getAttribute("data-scroll-target"); + if (target.startsWith("#")) { + return window.document.getElementById(decodeURI(`${target.slice(1)}`)); + } else { + return window.document.querySelector(decodeURI(`${target}`)); + } + }); + + const sectionMargin = 200; + let currentActive = 0; + // track whether we've initialized state the first time + let init = false; + + const updateActiveLink = () => { + // The index from bottom to top (e.g. reversed list) + let sectionIndex = -1; + if ( + window.innerHeight + window.pageYOffset >= + window.document.body.offsetHeight + ) { + // This is the no-scroll case where last section should be the active one + sectionIndex = 0; + } else { + // This finds the last section visible on screen that should be made active + sectionIndex = [...sections].reverse().findIndex((section) => { + if (section) { + return window.pageYOffset >= section.offsetTop - sectionMargin; + } else { + return false; + } + }); + } + if (sectionIndex > -1) { + const current = sections.length - sectionIndex - 1; + if (current !== currentActive) { + removeAllActive(); + currentActive = current; + makeActive(current); + if (init) { + window.dispatchEvent(sectionChanged); + } + init = true; + } + } + }; + + const inHiddenRegion = (top, bottom, hiddenRegions) => { + for (const region of hiddenRegions) { + if (top <= region.bottom && bottom >= region.top) { + return true; + } + } + return false; + }; + + const categorySelector = "header.quarto-title-block .quarto-category"; + const activateCategories = (href) => { + // Find any categories + // Surround them with a link pointing back to: + // #category=Authoring + try { + const categoryEls = window.document.querySelectorAll(categorySelector); + for (const categoryEl of categoryEls) { + const categoryText = categoryEl.textContent; + if (categoryText) { + const link = `${href}#category=${encodeURIComponent(categoryText)}`; + const linkEl = window.document.createElement("a"); + linkEl.setAttribute("href", link); + for (const child of categoryEl.childNodes) { + linkEl.append(child); + } + categoryEl.appendChild(linkEl); + } + } + } catch { + // Ignore errors + } + }; + function hasTitleCategories() { + return window.document.querySelector(categorySelector) !== null; + } + + function offsetRelativeUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + return offset ? offset + url : url; + } + + function offsetAbsoluteUrl(url) { + const offset = getMeta("quarto:offset"); + const baseUrl = new URL(offset, window.location); + + const projRelativeUrl = url.replace(baseUrl, ""); + if (projRelativeUrl.startsWith("/")) { + return projRelativeUrl; + } else { + return "/" + projRelativeUrl; + } + } + + // read a meta tag value + function getMeta(metaName) { + const metas = window.document.getElementsByTagName("meta"); + for (let i = 0; i < metas.length; i++) { + if (metas[i].getAttribute("name") === metaName) { + return metas[i].getAttribute("content"); + } + } + return ""; + } + + async function findAndActivateCategories() { + const currentPagePath = offsetAbsoluteUrl(window.location.href); + const response = await fetch(offsetRelativeUrl("listings.json")); + if (response.status == 200) { + return response.json().then(function (listingPaths) { + const listingHrefs = []; + for (const listingPath of listingPaths) { + const pathWithoutLeadingSlash = listingPath.listing.substring(1); + for (const item of listingPath.items) { + if ( + item === currentPagePath || + item === currentPagePath + "index.html" + ) { + // Resolve this path against the offset to be sure + // we already are using the correct path to the listing + // (this adjusts the listing urls to be rooted against + // whatever root the page is actually running against) + const relative = offsetRelativeUrl(pathWithoutLeadingSlash); + const baseUrl = window.location; + const resolvedPath = new URL(relative, baseUrl); + listingHrefs.push(resolvedPath.pathname); + break; + } + } + } + + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const nearestListing = findNearestParentListing( + offsetAbsoluteUrl(window.location.pathname), + listingHrefs + ); + if (nearestListing) { + activateCategories(nearestListing); + } else { + // See if the referrer is a listing page for this item + const referredRelativePath = offsetAbsoluteUrl(document.referrer); + const referrerListing = listingHrefs.find((listingHref) => { + const isListingReferrer = + listingHref === referredRelativePath || + listingHref === referredRelativePath + "index.html"; + return isListingReferrer; + }); + + if (referrerListing) { + // Try to use the referrer if possible + activateCategories(referrerListing); + } else if (listingHrefs.length > 0) { + // Otherwise, just fall back to the first listing + activateCategories(listingHrefs[0]); + } + } + }); + } + } + if (hasTitleCategories()) { + findAndActivateCategories(); + } + + const findNearestParentListing = (href, listingHrefs) => { + if (!href || !listingHrefs) { + return undefined; + } + // Look up the tree for a nearby linting and use that if we find one + const relativeParts = href.substring(1).split("/"); + while (relativeParts.length > 0) { + const path = relativeParts.join("/"); + for (const listingHref of listingHrefs) { + if (listingHref.startsWith(path)) { + return listingHref; + } + } + relativeParts.pop(); + } + + return undefined; + }; + + const manageSidebarVisiblity = (el, placeholderDescriptor) => { + let isVisible = true; + let elRect; + + return (hiddenRegions) => { + if (el === null) { + return; + } + + // Find the last element of the TOC + const lastChildEl = el.lastElementChild; + + if (lastChildEl) { + // Converts the sidebar to a menu + const convertToMenu = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 0; + child.style.overflow = "hidden"; + child.style.pointerEvents = "none"; + } + + nexttick(() => { + const toggleContainer = window.document.createElement("div"); + toggleContainer.style.width = "100%"; + toggleContainer.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContainer.classList.add("quarto-sidebar-toggle"); + toggleContainer.classList.add("headroom-target"); // Marks this to be managed by headeroom + toggleContainer.id = placeholderDescriptor.id; + toggleContainer.style.position = "fixed"; + + const toggleIcon = window.document.createElement("i"); + toggleIcon.classList.add("quarto-sidebar-toggle-icon"); + toggleIcon.classList.add("bi"); + toggleIcon.classList.add("bi-caret-down-fill"); + + const toggleTitle = window.document.createElement("div"); + const titleEl = window.document.body.querySelector( + placeholderDescriptor.titleSelector + ); + if (titleEl) { + toggleTitle.append( + titleEl.textContent || titleEl.innerText, + toggleIcon + ); + } + toggleTitle.classList.add("zindex-over-content"); + toggleTitle.classList.add("quarto-sidebar-toggle-title"); + toggleContainer.append(toggleTitle); + + const toggleContents = window.document.createElement("div"); + toggleContents.classList = el.classList; + toggleContents.classList.add("zindex-over-content"); + toggleContents.classList.add("quarto-sidebar-toggle-contents"); + for (const child of el.children) { + if (child.id === "toc-title") { + continue; + } + + const clone = child.cloneNode(true); + clone.style.opacity = 1; + clone.style.pointerEvents = null; + clone.style.display = null; + toggleContents.append(clone); + } + toggleContents.style.height = "0px"; + const positionToggle = () => { + // position the element (top left of parent, same width as parent) + if (!elRect) { + elRect = el.getBoundingClientRect(); + } + toggleContainer.style.left = `${elRect.left}px`; + toggleContainer.style.top = `${elRect.top}px`; + toggleContainer.style.width = `${elRect.width}px`; + }; + positionToggle(); + + toggleContainer.append(toggleContents); + el.parentElement.prepend(toggleContainer); + + // Process clicks + let tocShowing = false; + // Allow the caller to control whether this is dismissed + // when it is clicked (e.g. sidebar navigation supports + // opening and closing the nav tree, so don't dismiss on click) + const clickEl = placeholderDescriptor.dismissOnClick + ? toggleContainer + : toggleTitle; + + const closeToggle = () => { + if (tocShowing) { + toggleContainer.classList.remove("expanded"); + toggleContents.style.height = "0px"; + tocShowing = false; + } + }; + + // Get rid of any expanded toggle if the user scrolls + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + closeToggle(); + }, 50) + ); + + // Handle positioning of the toggle + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + elRect = undefined; + positionToggle(); + }, 50) + ); + + window.addEventListener("quarto-hrChanged", () => { + elRect = undefined; + }); + + // Process the click + clickEl.onclick = () => { + if (!tocShowing) { + toggleContainer.classList.add("expanded"); + toggleContents.style.height = null; + tocShowing = true; + } else { + closeToggle(); + } + }; + }); + }; + + // Converts a sidebar from a menu back to a sidebar + const convertToSidebar = () => { + for (const child of el.children) { + child.style.opacity = 1; + child.style.overflow = null; + child.style.pointerEvents = null; + } + + const placeholderEl = window.document.getElementById( + placeholderDescriptor.id + ); + if (placeholderEl) { + placeholderEl.remove(); + } + + el.classList.remove("rollup"); + }; + + if (isReaderMode()) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } else { + // Find the top and bottom o the element that is being managed + const elTop = el.offsetTop; + const elBottom = + elTop + lastChildEl.offsetTop + lastChildEl.offsetHeight; + + if (!isVisible) { + // If the element is current not visible reveal if there are + // no conflicts with overlay regions + if (!inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToSidebar(); + isVisible = true; + } + } else { + // If the element is visible, hide it if it conflicts with overlay regions + // and insert a placeholder toggle (or if we're in reader mode) + if (inHiddenRegion(elTop, elBottom, hiddenRegions)) { + convertToMenu(); + isVisible = false; + } + } + } + } + }; + }; + + const tabEls = document.querySelectorAll('a[data-bs-toggle="tab"]'); + for (const tabEl of tabEls) { + const id = tabEl.getAttribute("data-bs-target"); + if (id) { + const columnEl = document.querySelector( + `${id} .column-margin, .tabset-margin-content` + ); + if (columnEl) + tabEl.addEventListener("shown.bs.tab", function (event) { + const el = event.srcElement; + if (el) { + const visibleCls = `${el.id}-margin-content`; + // walk up until we find a parent tabset + let panelTabsetEl = el.parentElement; + while (panelTabsetEl) { + if (panelTabsetEl.classList.contains("panel-tabset")) { + break; + } + panelTabsetEl = panelTabsetEl.parentElement; + } + + if (panelTabsetEl) { + const prevSib = panelTabsetEl.previousElementSibling; + if ( + prevSib && + prevSib.classList.contains("tabset-margin-container") + ) { + const childNodes = prevSib.querySelectorAll( + ".tabset-margin-content" + ); + for (const childEl of childNodes) { + if (childEl.classList.contains(visibleCls)) { + childEl.classList.remove("collapse"); + } else { + childEl.classList.add("collapse"); + } + } + } + } + } + + layoutMarginEls(); + }); + } + } + + // Manage the visibility of the toc and the sidebar + const marginScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(marginSidebarEl, { + id: "quarto-toc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + const sidebarScrollVisiblity = manageSidebarVisiblity(sidebarEl, { + id: "quarto-sidebarnav-toggle", + titleSelector: ".title", + dismissOnClick: false, + }); + let tocLeftScrollVisibility; + if (leftTocEl) { + tocLeftScrollVisibility = manageSidebarVisiblity(leftTocEl, { + id: "quarto-lefttoc-toggle", + titleSelector: "#toc-title", + dismissOnClick: true, + }); + } + + // Find the first element that uses formatting in special columns + const conflictingEls = window.document.body.querySelectorAll( + '[class^="column-"], [class*=" column-"], aside, [class*="margin-caption"], [class*=" margin-caption"], [class*="margin-ref"], [class*=" margin-ref"]' + ); + + // Filter all the possibly conflicting elements into ones + // the do conflict on the left or ride side + const arrConflictingEls = Array.from(conflictingEls); + const leftSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return false; + } + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("right") && + !className.endsWith("container") && + className !== "column-margin" + ); + }); + }); + const rightSideConflictEls = arrConflictingEls.filter((el) => { + if (el.tagName === "ASIDE") { + return true; + } + + const hasMarginCaption = Array.from(el.classList).find((className) => { + return className == "margin-caption"; + }); + if (hasMarginCaption) { + return true; + } + + return Array.from(el.classList).find((className) => { + return ( + className !== "column-body" && + !className.endsWith("container") && + className.startsWith("column-") && + !className.endsWith("left") + ); + }); + }); + + const kOverlapPaddingSize = 10; + function toRegions(els) { + return els.map((el) => { + const boundRect = el.getBoundingClientRect(); + const top = + boundRect.top + + document.documentElement.scrollTop - + kOverlapPaddingSize; + return { + top, + bottom: top + el.scrollHeight + 2 * kOverlapPaddingSize, + }; + }); + } + + let hasObserved = false; + const visibleItemObserver = (els) => { + let visibleElements = [...els]; + const intersectionObserver = new IntersectionObserver( + (entries, _observer) => { + entries.forEach((entry) => { + if (entry.isIntersecting) { + if (visibleElements.indexOf(entry.target) === -1) { + visibleElements.push(entry.target); + } + } else { + visibleElements = visibleElements.filter((visibleEntry) => { + return visibleEntry !== entry; + }); + } + }); + + if (!hasObserved) { + hideOverlappedSidebars(); + } + hasObserved = true; + }, + {} + ); + els.forEach((el) => { + intersectionObserver.observe(el); + }); + + return { + getVisibleEntries: () => { + return visibleElements; + }, + }; + }; + + const rightElementObserver = visibleItemObserver(rightSideConflictEls); + const leftElementObserver = visibleItemObserver(leftSideConflictEls); + + const hideOverlappedSidebars = () => { + marginScrollVisibility(toRegions(rightElementObserver.getVisibleEntries())); + sidebarScrollVisiblity(toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries())); + if (tocLeftScrollVisibility) { + tocLeftScrollVisibility( + toRegions(leftElementObserver.getVisibleEntries()) + ); + } + }; + + window.quartoToggleReader = () => { + // Applies a slow class (or removes it) + // to update the transition speed + const slowTransition = (slow) => { + const manageTransition = (id, slow) => { + const el = document.getElementById(id); + if (el) { + if (slow) { + el.classList.add("slow"); + } else { + el.classList.remove("slow"); + } + } + }; + + manageTransition("TOC", slow); + manageTransition("quarto-sidebar", slow); + }; + const readerMode = !isReaderMode(); + setReaderModeValue(readerMode); + + // If we're entering reader mode, slow the transition + if (readerMode) { + slowTransition(readerMode); + } + highlightReaderToggle(readerMode); + hideOverlappedSidebars(); + + // If we're exiting reader mode, restore the non-slow transition + if (!readerMode) { + slowTransition(!readerMode); + } + }; + + const highlightReaderToggle = (readerMode) => { + const els = document.querySelectorAll(".quarto-reader-toggle"); + if (els) { + els.forEach((el) => { + if (readerMode) { + el.classList.add("reader"); + } else { + el.classList.remove("reader"); + } + }); + } + }; + + const setReaderModeValue = (val) => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + window.localStorage.setItem("quarto-reader-mode", val); + } else { + localReaderMode = val; + } + }; + + const isReaderMode = () => { + if (window.location.protocol !== "file:") { + return window.localStorage.getItem("quarto-reader-mode") === "true"; + } else { + return localReaderMode; + } + }; + let localReaderMode = null; + + const tocOpenDepthStr = tocEl?.getAttribute("data-toc-expanded"); + const tocOpenDepth = tocOpenDepthStr ? Number(tocOpenDepthStr) : 1; + + // Walk the TOC and collapse/expand nodes + // Nodes are expanded if: + // - they are top level + // - they have children that are 'active' links + // - they are directly below an link that is 'active' + const walk = (el, depth) => { + // Tick depth when we enter a UL + if (el.tagName === "UL") { + depth = depth + 1; + } + + // It this is active link + let isActiveNode = false; + if (el.tagName === "A" && el.classList.contains("active")) { + isActiveNode = true; + } + + // See if there is an active child to this element + let hasActiveChild = false; + for (child of el.children) { + hasActiveChild = walk(child, depth) || hasActiveChild; + } + + // Process the collapse state if this is an UL + if (el.tagName === "UL") { + if (tocOpenDepth === -1 && depth > 1) { + // toc-expand: false + el.classList.add("collapse"); + } else if ( + depth <= tocOpenDepth || + hasActiveChild || + prevSiblingIsActiveLink(el) + ) { + el.classList.remove("collapse"); + } else { + el.classList.add("collapse"); + } + + // untick depth when we leave a UL + depth = depth - 1; + } + return hasActiveChild || isActiveNode; + }; + + // walk the TOC and expand / collapse any items that should be shown + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + + // Throttle the scroll event and walk peridiocally + window.document.addEventListener( + "scroll", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 5) + ); + window.addEventListener( + "resize", + throttle(() => { + if (tocEl) { + updateActiveLink(); + walk(tocEl, 0); + } + if (!isReaderMode()) { + hideOverlappedSidebars(); + } + }, 10) + ); + hideOverlappedSidebars(); + highlightReaderToggle(isReaderMode()); +}); + +// grouped tabsets +window.addEventListener("pageshow", (_event) => { + function getTabSettings() { + const data = localStorage.getItem("quarto-persistent-tabsets-data"); + if (!data) { + localStorage.setItem("quarto-persistent-tabsets-data", "{}"); + return {}; + } + if (data) { + return JSON.parse(data); + } + } + + function setTabSettings(data) { + localStorage.setItem( + "quarto-persistent-tabsets-data", + JSON.stringify(data) + ); + } + + function setTabState(groupName, groupValue) { + const data = getTabSettings(); + data[groupName] = groupValue; + setTabSettings(data); + } + + function toggleTab(tab, active) { + const tabPanelId = tab.getAttribute("aria-controls"); + const tabPanel = document.getElementById(tabPanelId); + if (active) { + tab.classList.add("active"); + tabPanel.classList.add("active"); + } else { + tab.classList.remove("active"); + tabPanel.classList.remove("active"); + } + } + + function toggleAll(selectedGroup, selectorsToSync) { + for (const [thisGroup, tabs] of Object.entries(selectorsToSync)) { + const active = selectedGroup === thisGroup; + for (const tab of tabs) { + toggleTab(tab, active); + } + } + } + + function findSelectorsToSyncByLanguage() { + const result = {}; + const tabs = Array.from( + document.querySelectorAll(`div[data-group] a[id^='tabset-']`) + ); + for (const item of tabs) { + const div = item.parentElement.parentElement.parentElement; + const group = div.getAttribute("data-group"); + if (!result[group]) { + result[group] = {}; + } + const selectorsToSync = result[group]; + const value = item.innerHTML; + if (!selectorsToSync[value]) { + selectorsToSync[value] = []; + } + selectorsToSync[value].push(item); + } + return result; + } + + function setupSelectorSync() { + const selectorsToSync = findSelectorsToSyncByLanguage(); + Object.entries(selectorsToSync).forEach(([group, tabSetsByValue]) => { + Object.entries(tabSetsByValue).forEach(([value, items]) => { + items.forEach((item) => { + item.addEventListener("click", (_event) => { + setTabState(group, value); + toggleAll(value, selectorsToSync[group]); + }); + }); + }); + }); + return selectorsToSync; + } + + const selectorsToSync = setupSelectorSync(); + for (const [group, selectedName] of Object.entries(getTabSettings())) { + const selectors = selectorsToSync[group]; + // it's possible that stale state gives us empty selections, so we explicitly check here. + if (selectors) { + toggleAll(selectedName, selectors); + } + } +}); + +function throttle(func, wait) { + let waiting = false; + return function () { + if (!waiting) { + func.apply(this, arguments); + waiting = true; + setTimeout(function () { + waiting = false; + }, wait); + } + }; +} + +function nexttick(func) { + return setTimeout(func, 0); +} diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.css" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.css" new file mode 100644 index 0000000..e6ae635 --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.css" @@ -0,0 +1 @@ +.tippy-box[data-animation=fade][data-state=hidden]{opacity:0}[data-tippy-root]{max-width:calc(100vw - 10px)}.tippy-box{position:relative;background-color:#333;color:#fff;border-radius:4px;font-size:14px;line-height:1.4;white-space:normal;outline:0;transition-property:transform,visibility,opacity}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow{bottom:0}.tippy-box[data-placement^=top]>.tippy-arrow:before{bottom:-7px;left:0;border-width:8px 8px 0;border-top-color:initial;transform-origin:center top}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow{top:0}.tippy-box[data-placement^=bottom]>.tippy-arrow:before{top:-7px;left:0;border-width:0 8px 8px;border-bottom-color:initial;transform-origin:center bottom}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow{right:0}.tippy-box[data-placement^=left]>.tippy-arrow:before{border-width:8px 0 8px 8px;border-left-color:initial;right:-7px;transform-origin:center left}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow{left:0}.tippy-box[data-placement^=right]>.tippy-arrow:before{left:-7px;border-width:8px 8px 8px 0;border-right-color:initial;transform-origin:center right}.tippy-box[data-inertia][data-state=visible]{transition-timing-function:cubic-bezier(.54,1.5,.38,1.11)}.tippy-arrow{width:16px;height:16px;color:#333}.tippy-arrow:before{content:"";position:absolute;border-color:transparent;border-style:solid}.tippy-content{position:relative;padding:5px 9px;z-index:1} \ No newline at end of file diff --git "a/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" new file mode 100644 index 0000000..ca292be --- /dev/null +++ "b/complementos/Contrastos_d'Hip\303\262tesis_raw(CA)_files/libs/quarto-html/tippy.umd.min.js" @@ -0,0 +1,2 @@ +!function(e,t){"object"==typeof exports&&"undefined"!=typeof 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Verificació d'hipòtesis +9.2. Del Ilenguatge natural a la hipòtesi paramètrica ..... 32 +9.3. Hipòtesi nul•la contra hipòtesi alternativa ..... 6 +9.4. Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis ..... 8 +9.5. No tot és igualment probable... ..... 10 +9.6. El paper privilegiat de la hipòtesi nul•la: criteri de decisió ..... 11 +9.7. Hipòtesi nul•la i nivell de significació ..... 12 +9.8. Regió crítica i formalització del contrast ..... 14 +9.9. Taula de decisió del contrast ..... 16 +9.10. Relació entre l'error de tipus I i el de tipus II ..... 18 +9.11. Potència i test més potent ..... 20 +9.12. Efecte de la grandària mostral ..... 22 +9.13. Hipòtesis simples vs. hipòtesis compostes ..... 23 +9.14. Funció de potència ..... 26 +9.15. Tests òptims ..... 28 +9.16. Proves bilaterals i proves unilaterals ..... 29 +9.17. Elecció del nivell de significació ..... 32 +9.18. El p-valor ..... 32 +9.19. Proves exactes i proves asimtòtiques ..... 37 +9.20. Relació amb els intervals de confiança ..... 38 +9.21. Grandàries de mostra. Diferència mínima significativa ..... 39 +9.22. Esquema d'un contrast correctament plantejat ..... 41 +9.23. Significació estadística i significació aplicada ..... 41 + +### Verificació d'hipòtesis + +Abans d'introduir els conceptes associats al contrast estadístic d'hipòtesis, és convenient situar aquest tema en el context més general de la confirmació d'hipòtesis, matèria que la filosofia de la ciència estudia en profunditat. Així doncs, en aquest punt només es plantegen consideracions generals, deixant pels següents com aborda l'Estadística aquest tema. + +Una qüestió essencial en qualsevol branca de la ciència -bàsica o aplicada- és com verificar hipòtesis sobre un determinat fenomen real. Nombroses vegades, quan s'exposa aquest tema a l'estudiant durant les primeres etapes de la seva formació científica, l'anomenat mètode de raonament científic, es simplifica en excés, presentant la verificació d'hipòtesis en termes absoluts. En aquest esquema simplificat del mètode científic s'exposa com teoritzar sobre un determinat aspecte de la realitat més o menys de la forma següent: + +- a) es formula una teoria (o una hipòtesi, o una llei, ...) sobre el fenomen d'estudi +- b) es fa el disseny d'un experiment per tractar de corroborar aquesta teoria +- c) si els resultats de l'experiment concorden amb la teoria, aquesta es dóna provisionalment com a vàlida +- d) si l'experiment contradiu la teoria, es torna a l'apartat a), es modifica la llei o se n'elabora una de nova, per tal que s'ajusti a la realitat experimental. +- e) qualsevol teoria relacionada amb aspectes de la realitat és sempre provisional, pendent de ser revisada en entrar en conflicte amb resultats d'experiments posteriors. + +Aquesta forma de procedir -com veurem, excessivament simplista- es basa doncs en el fet d'assumir que en qualsevol experiment s'obtindran resultats que seran o bé totalment contradictoris amb la teoria (i per tant s'haurà d'abandonar immediatament) o bé concordants amb la teoria (i per tant resulta raonable mantenir-la). + +Abans s'ha qualificat aquest mètode de validació com a absolut: si obviem el possible error experimental, la decisió que es prengui no comportarà cap error, ja que és suficient verificar els resultats de l'experiment per acceptar o refusar la teoria. + +Ha de quedar clar al lector que l'esquema anterior no és el d'un contrast estadístic, i de fet el desenvolupament d'aquest tema s'encarregarà de revisar-ho. En els pròxims apartats s'exposarà, per començar, una primera idea fonamental en Estadística: quan s'introdueix un model de probabilitat per explicar un fenomen, emergeix inevitablement un error ja en la mateixa presa de decisió. En altres paraules, l'esquema anterior s'ha de revisar en els punts c) i d). + +Una vegada s'han exposat aquestes qüestions fonamentals en els primers punts del capítol, entrarem al nucli d'aquest tema que consisteix en el desenvolupament ja purament tècnic del contrast estadístic d'hipòtesis. + +### Del llenguatge natural a la hipòtesi paramètrica + +És necessari considerar, abans d'afrontar la validació estadística d'una hipòtesi, com es planteja aquesta en termes estadístics, ja que la seva formulació exigeix una traducció del llenguatge natural. + +Potser convindria recordar que una hipòtesi sobre un determinat fenomen es formula en llenguatge natural com una proposició sobre la realitat. Per exemple, si es considera una determinada espècie d'ocells, una hipòtesi és que la proporció de mascles és idèntica a la de femelles. Un segon exemple, si el problema tracta ara sobre una determinada hormona humana, és proposar com a hipòtesi que la taxa es manté constant quan se subministra un fàrmac anabolitzant. + +Statmedia inclou bàsicament una inferència basada en l'estadística paramètrica. En relació amb aquesta perspectiva, els fenòmens reals es modelen segons una determinada llei de probabilitat: per exemple una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc. + +Això comporta que en estadística paramètrica les proposicions -hipòtesis- es formulin en funció dels paràmetres del model de distribució que modelen aquell aspecte de la realitat. + +Aquest és per tant el primer esforç que ha de realitzar l'experimentador: traslladar les seves hipòtesis, que generalment expressa en llenguatge natural, a afirmacions (proposicions) sobre paràmetres, que és la forma en que l'estadística paramètrica comprova les hipòtesis. + +En els casos pràctics següents, la solució completa dels quals es veurà al llarg del capítol, es presenten dues situacions diferents. + +#### Cas 1: Presentació del cas + +Dos coneguts ornitòlegs, especialistes en aus autòctones de l'Amazones Central, discrepen sobre la interpretació de les dades d'una nova espècie de cacatua que ha ressenyat un d'ells. La discussió la centrarem aquí en una de les variables de l'estudi: la proporció de femelles i mascles en els nius. És important precisar que aquestes cacatues es caracteritzen per incubar un sol ou per niu. + +El Dr. da Souza Faria ha censat deu nius, les dades dels quals es detallaran després. Segons la seva experiència, aquesta espècie té una gran semblança amb una altra espècie millor estudiada, amb una proporció idèntica de mascles i femelles. Recolzat per les dades obtingudes, conclou que també la nova espècie té la mateixa proporció d'individus de cada sexe. + +El Dr. Calves discrepa en aquesta apreciació i manté que la proporció ha de ser de sis femelles per cada 4 mascles. + +#### Cas 1: Model de probabilitat + +El Dr. da Souza Faria ha comptat en 10 nius el nombre de femelles (complementàriament, el de mascles). La variable és, per tant, discreta i el seu suport és el conjunt $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. + +Si assumim que el possible naixement de femelles és independent entre nius, i definim: + +$$ +X=\text { nombre de femelles en un total de } 10 \text { nius. } +$$ + +la distribució de $X$ és una distribució binomial, de paràmetres $n=10$ i $p$ desconeguda. + +$$ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +$$ + +l'únic paràmetre desconegut és la proporció $\boldsymbol{p}$ de femelles. Les hipòtesis estadístiques es referiran només a $p$. + +#### Cas 2: Presentació del cas + +En el món de l'esport professional es controlen amb molta precisió alguns metabòlits que apareixen en baixes concentracions en condicions normals. Aquest és el cas de la statdrolona(*), que en individus normals presenta una concentració mitjana de 7.0 nanograms per ml d'orina. Aquest valor s'ha establert mitjançant una mostra molt gran d'esportistes després d'anys d'anàlisis abans, durant i després de competicions. Així mateix, s'ha descrit que la desviació estàndard és de $\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}$. Aquests dos valors poblacionals serveixen com a justificació mèdica a les autoritats esportives per declarar quan la taxa de statdrolona s'associa a un presumpte dopatge. + +No obstant això, un estudi recent encarregat per l'associació d'esportistes ADG a un prestigiós departament universitari de fisiologia propugna que, quan es mesura la concentració de statdrolona en individus no dopats amb un cert tipus d'aliments sobreabundants en la seva dieta (formatge parmesà, per exemple), el valor de la mitjana poblacional és de l'ordre de $\mathbf{1 . 5}$ unitats més gran. En canvi, la desviació estàndard poblacional es manté en el valor $2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, és a dir, equivalent a la normal. Si aquesta hipòtesi fos certa, permetria explicar alguns dels falsos positius detectats en els últims temps. Com a prova experimental aporten una sèrie de dades sobre 16 esportistes que es detallaran més endavant. +(*) La statdrolona no és cap hormona, s'ha adaptat aquí la informació d'hormones reals. + +#### Cas 2: Model de probabilitat + +L'anàlisi de la concentració de statdrolona es mesura en termes de nanograms per $\mathrm{mil} \cdot$ lilitre, per tant, sembla raonable considerar-la com una variable contínua. El conjunt de resultats possibles serà un subconjunt dels reals. + +Amb moltes altres variables antropomètriques, la concentració es pot associar a la distribució Normal. Es pot justificar l'adopció d'aquest model d'acord amb el teorema central del límit. + +Segons les autoritats esportives, els valors en un esportista no dopat han de correspondre a una mitjana de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mentre que per a ADG la mitjana pot ser major en algunes circumstancies. En qualsevol cas la variable: + +$$ +X=\text { concentració de statdrolona en un esportista. } +$$ + +s'acceptarà que té distribució Normal. Així, la discussió se centrarà només en el paràmetre $\mu$ desconegut, mentre que la desviació estàndard es prendrà, per simplificar l'explicació, com a $\sigma=2.4$ (coneguda), encara que se sap que és més realista seleccionar-la com a desconeguda (vegeu més endavant el tema 10). + +La fórmula de la densitat Normal: + +$$ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +indica per aquest cas que l'únic paràmetre desconegut és la mitjana de la població $\boldsymbol{\mu}$, a la que es referiran les hipòtesis estadístiques. + +Ara bé, també resulta important descriure la densitat de la mitjana dels setze esportistes, ja que jugarà un paper important en la construcció del test. Si acceptem la distribució $\mathrm{N}(\mu, 2.4)$ per un esportista, i considerem que el mostratge és aleatori simple, aleshores: + +$$ +\bar{X}_{16}=\text { mitjana concentració statdrolona en } 16 \text { esportistes } +$$ + +que tindrà una densitat de la forma: + +$$ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +$$ + +Simplificant 2.4 per l'arrel quadrada de 16 resulta 0.6 , així doncs: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +Una expressió més general per a tot $n$ seria: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +La densitat per a tot $n$ és: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +$$ + +I una expressió per a tot $n$ i qualsevol variància és: + +$$ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +$$ + +### Hipòtesi nul•la contra hipòtesi alternativa + +Un contrast d'hipòtesis estadístic es planteja com una decisió entre dues hipòtesis. +La hipòtesi nul•la consisteix en una afirmació sobre la població d'origen de la mostra. Usualment és més simple (menor nombre de paràmetres, per exemple) que la seva antagonista. La hipòtesi nul lla es designa amb el símbol $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$. + +La hipòtesi alternativa és igualment una afirmació sobre la població d'origen. Moltes vegades, encara que no sempre, consisteix simplement en negar l'afirmació de $\mathrm{H}_{0}$. La hipòtesi alternativa es designa amb el símbol $\mathbf{H}_{1}$. + +De moment tractarem el cas més senzill, en el qual les dues hipòtesis fan referència a un únic valor del paràmetre. En aquesta situació general, les hipòtesis es refereixen a un paràmetre $\theta$ (theta). La formulació és: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +$$ + +En la teoria del contrast d'hipòtesis aquest tipus de plantejament es coneix com contrast d'hipòtesis simple contra simple. Així doncs, una hipòtesi simple postula que el paràmetre $\theta$ només pot prendre un valor, o, més tècnicament, que el conjunt de paràmetres d'una hipòtesi simple consisteix en un sol punt. + +#### Cas 1: Hipòtesi per dirimir la controvèrsia sobre el nombre de femelles + +El Dr. da Souza Faria postula la mateixa proporció per mascles i femelles. En termes de la proporció de la variable $X$ ( $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$ de femelles en 10 nius) això equival a la hipòtesi que la proporció (en la població) és $\mathbf{0 . 5}$. + +En canvi, segons el Dr. Calves la proporció és 6:4 a favor de les femelles, i per tant equival a la hipòtesi que el paràmetre $p$ en la variable Binomial és 0.6. + +Així doncs, si $X$ és el nombre de femelles en 10 nius, i $p$ és la proporció de femelles, la forma final del contrast és: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +$$ + +Respecte a les dades obtingudes per da Souza són: + +| Niu | Pollet | Niu | Pollet | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| 1 | femella | 6 | mascle | +| 2 | mascle | 7 | femella | +| 3 | femella | 8 | femella | +| 4 | femella | 9 | mascle | +| 5 | mascle | 10 | femella | + +En resum, ha observat que en $\mathbf{6}$ dels nius hi ha una femella. + +#### Cas 2: Hipòtesi a contrastar en el problema de la taxa de statdrolona + +Les autoritats esportives postulen una mitjana de $7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$, mentre que ADG indica una mitjana de $8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ per als individus sotmesos a aquest tipus de dieta. Per tant, en síntesi el contrast consistirà en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +$$ + +tant per $\mathrm{H}_{0}$ com per $\mathrm{H}_{1}$ el model contempla $\sigma=2,4$. +Les dades de l'estudi que ha obtingut l'associació ADG, i que segons ells recolzaven la seva tesis, han estat les següents: + +| Individu | Concentració | Individu | Concentració | +| :---: | :---: | :---: | :---: | +| 1 | 10.47 | 9 | 7.01 | +| 2 | 5.39 | 10 | 11.36 | +| 3 | 6.70 | 11 | 10.11 | +| 4 | 9.91 | 12 | 5.89 | +| 5 | 5.99 | 13 | 10.39 | +| 6 | 11.67 | 14 | 10.67 | +| 7 | 6.23 | 15 | 6.89 | +| 8 | 6.69 | 16 | 11.27 | + +La mitjana aritmètica dels 16 atletes és $\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. + +### Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +Tornant a la qüestió fonamental de la verificació d'hipòtesis, un resultat incompatible amb una hipòtesi és aquell que no pot haver-se produït de cap de les maneres si aquesta hipòtesi és certa. + +En aquest sentit, incompatible és sinònim de impossible. En termes de probabilitat, un resultat incompatible és aquell que té probabilitat zero de produir-se si la hipòtesi és certa. La lògica elemental indica que si s'obté un resultat incompatible amb una hipòtesi, aquesta última és forçosament falsa. + +Ara bé, quan es pren un model aleatori per tal d'explicar el fenomen observat, el caràcter probabilístic del model habitualment evita que es descarti qualsevol hipòtesi per haver obtingut dades que hi son incompatibles. + +Al contrari, tots els resultats seran estrictament compatibles amb les dues hipòtesis, o dit d'una altra manera, qualsevol conjunt de dades que s'obtingui en l'estudi es pot arribar a observar tant sota $\mathrm{H}_{0}$ com sota $\mathrm{H}_{1}$. Això trenca l'esquema excessivament simple exposat abans en la verificació ideal d'hipòtesis. + +En definitiva, si es modela la realitat com un fenomen aleatori, s'ha d'abandonar la idea de la presa de decisions basada només en una inspecció de resultats que descarti sense error en la presa de decisió una de les dues hipòtesis. + +#### Cas 1: Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +El Dr. da Souza Faria ha obtingut una mostra de 6 femelles i 4 mascles en els 10 nius. Tanmateix, aquest és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi nul•la. Si hagués escollit com a mostra altres nius, podria haver trobat un altre nombre de femelles. + +Com ja hem vist, $X$ ( $\mathrm{n}^{\circ}$ de femelles en 10 nius) és una $\operatorname{Binomial}(10,0.5)$. En la taula següent es detallen els resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{0}$, juntament amb la probabilitat d'obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-08.jpg?height=521&width=849&top_left_y=1941&top_left_x=609) + +Igual que per $\mathrm{H}_{0}$, la mostra obtinguda pel Dr. da Souza Faria amb 6 femelles i 4 mascles és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi alternativa. En aquest cas $X$ ( $\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$ de femelles en 10 nius) és una $\operatorname{Binomial}(10,0.6)$. + +En la taula següent es detallen els resultats que podien haver esdevingut sota $\mathrm{H}_{1}$, juntament amb la probabilitat d'obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-09.jpg?height=507&width=838&top_left_y=386&top_left_x=615) + +Consultant Statmedia en el seu format Html es pot comprovar quines probabilitats tenen els onze resultats sota d'altres hipòtesis que es podrien formular sobre el veritable valor de la probabilitat $p$ de la població. Podem entendre aquestes diferents " $p$ " com a hipòtesis diferents que es podrien haver establert com a alternativa a $\mathrm{H}_{0}$. Excepte en els casos trivials $p=0$ o $p=1$, no hi ha cap resultat que no es pugui presentar, encara que sigui amb probabilitats molt petites. + +#### Cas 2: Compatibilitat de resultats i d'hipòtesis + +L'associació ADG ha obtingut una mostra de mitjana $8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de statdrolona per a 16 esportistes. Ja hem vist en el model de probabilitat quina densitat associem amb la variable de cada esportista i amb la mitjana de tots ells. Cal recordar que una variable contínua té probabilitat zero d'obtenir un resultat puntual i que les probabilitats en variables contínues es calculen sobre intervals. Així doncs el valor 8.54 s'ha d'interpretar com un interval, ja que les mesures dels esportistes individualment corresponen en realitat a un cert interval de precisió experimental (per exemple, 0.3 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ ). El valor 8.54 triat com a marca d'un cert interval no és incompatible en absolut amb la hipòtesi nul lla. De fet és possible obtenir qualsevol mitjana. + +En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{0}$ expressades en termes de la funció de distribució. La mitjana dels 16 resultats correspon a una Normal (7.0, 0.6). En la taula dreta es detallen les probabilitats per intervals d'amplada $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ més propers a la mitjana sota $\mathrm{H}_{0}$. + +| Mitiana $(x)$ | Prob. $X=\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 5,8 | 0.0228 | +| 6,1 | 0.0668 | +| 6,4 | 0.1587 | +| 6,7 | 0.3085 | +| 7 | 0.5000 | +| 7,3 | 0.6915 | +| 7,6 | 0.8413 | +| 7,9 | 0.9332 | +| 8,2 | 0.9772 | +| 8,5 | 0.9938 | +| 8,8 | 0.9987 | + + +| Mitiana pern | Prob. Interval | +| :---: | :---: | +| $\leq 5,8$ | 0.0228 | +| $[5,8 ; 6,1]$ | 0.0441 | +| $[6,1 ; 6,4]$ | 0.0918 | +| $[6,4 ; 6,7]$ | 0.1499 | +| $[6,7 ; 7]$ | 0.1915 | +| $[7 ; 7,3]$ | 0.1915 | +| $[7,3 ; 7,6]$ | 0.1499 | +| $[7,6 ; 7,9]$ | 0.0918 | +| $[7,9 ; 8,2]$ | 0.0441 | +| $[8,2 ; 8,5]$ | 0.0165 | +| $[8,5 ; 8,8]$ | 0.0049 | + +En el cas de $\mathrm{H}_{1}$ tampoc no és incompatible cap mitjana, i per tant en particular no ho és el valor 8.54. Ara la densitat de la mitjana dels 16 valors és una variable aleatòria Normal $\mathrm{N}(8.5,0.6)$. En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota $\mathrm{H}_{1}$ expressades en termes de la funció de distribució. En la taula de la dreta es mostren les probabilitats per intervals d'amplada de $0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ : + +| Mitjana $(\mathrm{x})$ | Prob. $\mathrm{X} \leqslant=\mathrm{x}$ | +| :---: | :---: | +| 6,7 | 0.0013 | +| 7 | 0.0062 | +| 7,3 | 0.0228 | +| 7,6 | 0.0668 | +| 7,9 | 0.1587 | +| 8,2 | 0.3085 | +| 8,5 | 0.5000 | +| 8,8 | 0.6915 | +| 9,1 | 0.8413 | +| 9,4 | 0.9332 | +| 9,7 | 0.9772 | + + +| Mitiana pern | Prob. Interval | +| :---: | :---: | +| $\leq 6,7$ | 0.0013 | +| $[6,7 ; 7]$ | 0.0049 | +| $[7 ; 7,3]$ | 0.0165 | +| $[7,3 ; 7,6]$ | 0.0441 | +| $[7,6 ; 7,9]$ | 0.0918 | +| $[7,9 ; 8,2]$ | 0.1499 | +| $[8,2 ; 8,5]$ | 0.1915 | +| $[8,5 ; 8,8]$ | 0.1915 | +| $[8,8 ; 9,1]$ | 0.1499 | +| $[9,1 ; 9,4]$ | 0.0918 | +| $[9,4 ; 9,7]$ | 0.0441 | + +### No tot és igualment probable... + +La segona consideració fonamental en un contrast d'hipòtesis estadístic és que no tots els resultats són igualment probables sota $\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}$. Aquest és el principal argument per tal d'establir un criteri de decisió -una regla- que permeti decidir en la pràctica si és acceptable $\mathrm{H}_{0}$ o bé $\mathrm{H}_{1}$. + +La idea provisional que ha de guiar al lector en aquest moment quan s'inspeccionen els casos pràctics és que els resultats (molt) improbables sota una certa hipòtesi mostren que aquesta segurament no és vàlida. Així doncs, en el contrast estadístic d'hipòtesis no hi ha resultats impossibles, només improbables, i per tant en les decisions s'introdueix forçosament una probabilitat d'error. + +#### Cas 1: Una regió amb $n^{0}$ femelles amb baixa probabilitat sota $\mathrm{H}_{0}$ + +Hem vist abans les probabilitats d'obtenir cadascun dels resultats possibles per $X$ : $0,1, \ldots$, fins a 10 femelles. El sentit comú indica que si s'obtenen valors de X propers a 0 o a 10 , la hipòtesi $p=0.5$ és aleshores poc versemblant. + +És important entendre que el veritable valor de $p$ (el valor en la població) no és, ni serà mai, conegut en la pràctica, només formulem hipòtesis sobre aquest valor. + +Vegem quina és la probabilitat d'obtenir valors majors que 8 femelles. Per abreujar, designem la regió de valors majors o iguals a 8 amb el símbol $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$. + +| Valor de $X$ | Prob. $X>=X$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 1.0000 | +| 1 | 0.9990 | +| 2 | 0.9893 | +| 3 | 0.9453 | +| 4 | 0.8281 | +| 5 | 0.6230 | +| 6 | 0.3770 | +| 7 | 0.1719 | +| 8 | 0.0547 | +| 9 | 0.0107 | +| 10 | 0.0010 | + +#### Cas 2: Mitjanes de les taxes de statdrolona improbables si es compleix $\mathrm{H}_{0}$ + +De la mateixa manera que s'ha raonat per al cas 1 , en aquesta ocasió amb les dues hipòtesis ( $\mu=7$ contra $\mu=8.5$ ) que tenim en el cas de la detecció de l'statdrolona, el sentit comú indica que si obtenim una mitjana de statdrolona en els 16 atletes allunyada del valor de referència 7 , farà inversemblant la hipòtesi nul•la. + +En la taula següent es mostren les probabilitats d'obtenir valors majors que 7 $\mathrm{ng} / \mathrm{ml}$. Observem particularment la regió de valors majors que 7.9869 , que es representarà amb el símbol $\mathrm{W}_{\alpha}$. Expressada com a interval, $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)$. + +| Miljana $(x)$ | Prob. $X=x$ | +| :---: | :---: | +| 6,506 | 0.7946 | +| 6,671 | 0.7083 | +| 6,835 | 0.6080 | +| 7 | 0.5000 | +| 7,165 | 0.3920 | +| 7,329 | 0.2917 | +| 7,494 | 0.2054 | +| 7,658 | 0.1364 | +| 7,823 | 0.0852 | +| 7,987 | 0.0500 | +| 8,152 | 0.0275 | + +### El paper privilegiat de la hipòtesi nul•la: criteri de decisió + +Un contrast estadístic d'hipòtesis consta forçosament d'un criteri de decisió. En resum, consisteix en una regla operativa que divideix en dues parts disjuntes l'espai mostral. Aquestes parts son anomenades regió crítica i regió d'acceptació respectivament. En qualsevol test estadístic, si la mostra obtinguda pertany a la regió crítica, s'ha d'acceptar $\mathrm{H}_{1}$. En cas contrari, si pertany a la regió d'acceptació, s'acceptarà $\mathrm{H}_{0}$. + +Un primer principi bàsic consisteix a prioritzar en el criteri de decisió $\mathrm{H}_{0}$, en el sentit següent: es construeix el criteri fixant a priori la probabilitat d'error associada amb el fet de refusar -erròniament- $\mathrm{H}_{0}$. A fi que el criteri de decisió sigui raonable ha de +resultar improbable obtenir una mostra que pertanyi a la regió crítica quan sigui certa $\mathrm{H}_{0}$. En l'exemple següent es proposarà una regla de decisió provisional. + +#### Cas 1: $N^{\circ}$ de nius proposats ad hoc com inici de regió crítica. Regla de decisió resultant + +Definirem la regió crítica de la manera següent: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Per tant, la regió d'acceptació serà: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +$$ + +El criteri de decisió serà per tant: + +- si el nombre de femelles és major o igual que 8 , s'accepta $\mathrm{H}_{1}$ (la probabilitat de femelles és 0.6) +- si el nombre de femelles és menor o igual que 7 , s'accepta $\mathrm{H}_{0}$ (la probabilitat de femelles és 0.5 ) + +És important entendre en aquest moment que es proposa ad hoc la regió crítica. Més endavant es justificarà perquè aquesta proposta és raonable. + +Nota: en la mostra obtinguda s'han observat 6 femelles, per tant da Souza ha d'acceptar $\mathrm{H}_{0}$. + +### Hipòtesi nul•la i nivell de significació + +S'ha indicat anteriorment que, en els contrastos estadístics, la hipòtesi nul la juga un paper privilegiat, ja que la regla de decisió s'ajusta d'acord a la probabilitat d'equivocar-se en rebutjar $H_{0}$ quan aquesta és certa. + +Aquesta probabilitat es designa de forma equivalent com: + +- error de tipus I (o de primera espècie) +- nivell de significació del contrast +i usualment se simbolitza amb la lletra grega alfa. +El nivell de significació es pot definir equivalentment de les dues maneres següents: +- $\alpha=$ probabilitat de rebuig d' $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, quan $\mathrm{H}_{0}$ és certa +- $\alpha=$ probabilitat que la mostra pertanyi a la regió crítica, quan $\mathbf{H}_{0}$ és certa. + + +#### Cas 1: Nivell de significació + +En l'apartat 9.5 . 1 s'ha indicat la taula resultant dels càlculs de la cua dreta de la Binomial, quan es verifica la hipòtesi nul•la $(p=0.5)$. Com la definició de nivell de significació és: + +$$ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +$$ + +en la fila corresponent a prob $(\mathrm{X} \geq 8)$ de la taula anterior es pot observar la probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ quan aquesta és certa (vegeu el criteri de decisió adoptat a l'apartat 9.6.1). + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +$$ + +Resulta doncs: $\quad \alpha=0.0547$. + +#### Cas 1: Elecció de la regió crítica + +S'ha proposat abans, de forma directa, la regió crítica: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +$$ + +Podem considerar ara una altra regió que ens proporcionaria un nivell de significació idèntic (veure taula de probabilitats sota $\mathrm{H}_{0}$ ): + +$$ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +$$ + +Ara bé, un criteri de decisió basat en $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}$ és absurd, tenint en compte que $\mathrm{H}_{1}$ és $p=0.6$. Vegem perquè. + +El valor $\alpha=0.0547$ indica que és improbable obtenir menys de 3 femelles sota $\mathrm{H}_{0}$. Si es tria $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ com a regió crítica, implica acceptar $\mathrm{H}_{1}$ quan el nombre de femelles és menor que 3. No obstant això, quan es consulta la taula de probabilitats sota $\mathrm{H}_{1}$, resulta: +prob. (nombre femelles $<3 / \mathrm{H}_{1}$ certa $)=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123$ +És, per tant, encara més improbable obtenir 3 femelles sota $\mathrm{H}_{1}$. En altres paraules, $\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}$ indueix un criteri absurd, ja que portaria a acceptar la hipòtesi més inversemblant de les dues. + +#### Cas 2: Elecció de la regió crítica + +A continuació es defineixen les regions crítica i d'acceptació, respectivament, com: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{a}{ }^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +$$ + +El criteri de decisió serà, per tant: +si el nivell de statdrolona és major o igual que 7.9869, s'accepta $\mathbf{H}_{\mathbf{1}}$ (el nivell és 8.5) +Com en el cas 1 , també s'ha proposat la regió crítica de manera ad hoc. Si es consulten en la taula de l'apartat 9.5.2 els valors de la cua dreta de la Normal, com la definició de nivell de significació és: + +$$ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +$$ + +en la fila corresponent a prob ( $\mathrm{X}>=7.987$ ) de la taula es pot observar la probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)$ quan aquesta és certa. Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +on $F_{z}$ és la funció de distribució de la Normal tipificada $N(0,1)$. +La regió crítica $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ porta associat un nivell de significació $\alpha=0.05$. Ara bé, com que l'estadístic mitjana mostral és una variable contínua, concretament Normal, es poden trobar infinites regions que satisfan la condició + +$$ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{mostra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +$$ + +### Regió crítica i formalització del contrast + +La regla de decisió queda definida sempre (encara que sigui implícitament) a partir d'una regió crítica. A aquesta regió crítica li correspon un determinat nivell de significació. +La informació continguda en la mostra es resumeix mitjançant un estadístic de test, així que una pràctica habitual és definir la regió crítica en funció de l'estadístic de test emprat. Un estadístic de test és una variable aleatòria i, com a tal, té associada una llei de distribució que juga un paper capital en el contrast. + +Reunint els conceptes, en un contrast d'hipòtesi $\mathrm{H}_{0}$ contra $\mathrm{H}_{1}$, tenim: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivell de significació, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { regió crítica, subconjunt de l'espai mostral definit a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +$$ + +Regla de decisió: + +- si la mostra pertany a $\mathrm{W}_{\alpha}$ aleshores rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ +- si la mostra no pertany a $\mathrm{W}_{\alpha}$ aleshores rebutjar $\mathrm{H}_{1}$ + +Finalment: + +$$ +\alpha=\text { prob.(rebutjar } H_{0} / H_{0} \text { certa) = prob.(mostra pertanyi a } W_{\alpha} / H_{0} \text { certa) } +$$ + +#### Cas 1: Resum de conceptes associats al contrast. Regió crítica + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Regió d'acceptació | $\mathrm{W}_{\alpha}{ }^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ nombre de femelles totals en els 10 nius | +| Criteri de decisió: | | +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +La distribució de l'estadístic de test T és una Binomial B (10, p). Es pot adoptar un estadístic alternatiu: la freqüència relativa $=\mathbf{f r}$ de nombre de femelles en els 10 nius. + +#### Cas 2: Taula resum de la regió crítica, l'estadístic de test i del criteri de decisió + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)$ | +| :--- | :---: | +| Regió d'acceptació | $\mathrm{W}_{\alpha} \mathrm{C}=(-\infty, 7.9869)$ | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ mitjana de statdrolona en 16 atletes | +| Criteri de decisió: | | +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T}<7.9869$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.05$ | + +La distribució de l'estadístic de test T sota $\mathrm{H}_{0}$ és una normal $\mathrm{N}(7,0.6)$. + +### Taula de decisió del contrast + +Quan es resol un contrast la decisió final pot ser correcta o bé conduir a un error. En aquesta taula es presenten les quatre possibles situacions que es poden produir: + +| | Hipòtesi veritable | | +| :---: | :---: | :---: | +| Hipòtesi acceptada | $\mathrm{H}_{0}$ | $\mathrm{H}_{1}$ | +| $\mathrm{H}_{0}$ | - | error tipus II | +| $\mathrm{H}_{1}$ | error tipus I | - | + +Existeix, per tant, un segon tipus d'error, designat com a error de tipus II o de segona espècie. Es pot definir de manera equivalent per a qualsevol de les dues expressions següents: + +- $1-\beta=$ probabilitat de rebutjar $\mathrm{H}_{1}$, quan $\mathrm{H}_{1}$ és certa +- $1-\beta=$ probabilitat que la mostra no pertanyi a la regió crítica, quan $\mathbf{H}_{1}$ és certa + +En realitat només una de les hipòtesis és veritable. Una vegada s'obtingui la mostra, s'acceptarà o es rebutjarà $\mathrm{H}_{1}$ segons el criteri de decisió. Si es decideix de manera equivocada, es produirà només un dels dos errors, segons quin sigui la hipòtesi veritable. És a dir, a posteriori es produeix, com a molt, només un dels errors. + +Ara bé, el contrast es porta a terme precisament perquè s'ignora quina de les dues hipòtesis és la veritable. Com a conseqüència, sense que això contradigui el paràgraf anterior, els dos errors tenen importància a priori. + +Un contrast serà més adequat si son menors els dos errors associats. + +#### Cas 1: Avaluació dels dos errors associats al contrast + +El criteri de decisió que s'ha adoptat per a aquest cas consisteix en: + +| acceptar $\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \geq 8$ | +| :---: | :---: | +| acceptar $\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}$ | $\mathrm{T} \leq 7$ | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +Suposem que $\mathrm{H}_{1}$ és certa, és a dir, que $p=0,6$. En la taula següent podem trobar el valor de l'error de tipus II: + +| Valor de $X$ | Prob. $X<=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0001 | +| 1 | 0.0017 | +| 2 | 0.0123 | +| 3 | 0.0548 | +| 4 | 0.1662 | +| 5 | 0.3669 | +| 6 | 0.6177 | +| 7 | 0.8327 | +| 8 | 0.9536 | +| 9 | 0.9940 | +| 10 | 1.0000 | + +$1-\beta=$ prob. $\left(\right.$ rebutjar $H_{1} / H_{1}$ certa $)=$ prob. $\left(T<=7 / H_{1}\right.$ certa $)=\mathbf{0 . 8 3 2 7}$ +Simbòlicament correspon a calcular: + +$$ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +#### Cas 2: Càlcul explícit dels errors de primera ( $\alpha$ ) $i$ segona espècie (1- $\beta$ ) + +El criteri de decisió que s'ha triat per a aquest cas consisteix en: + +| acceptar $\mathrm{H}_{1}$ si | $\mathrm{T} \geq 7.9869$ | +| :---: | :---: | +| Nivell de significació | $\alpha=0.05$ | + +Suposem que és certa $\mathrm{H}_{1}$, és a dir, que $\mu=8.5$. En la taula següent podem trobar el valor de l'error de tipus II: + +| Mitiana $(x)$ | Prob. $X==x$ | +| :---: | :---: | +| 5,933 | 1.0000 | +| 6,189 | 0.9999 | +| 6,446 | 0.9997 | +| 6,703 | 0.9986 | +| 6,96 | 0.9949 | +| 7,216 | 0.9838 | +| 7,473 | 0.9565 | +| 7,73 | 0.9004 | +| 7,987 | 0.8040 | +| 8,243 | 0.6656 | +| 8,5 | 0.5000 | + +$1-\beta=$ prob. $\left(\right.$ rebutjar $\mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}$ certa $)=$ prob. $\left(\mathrm{T}<7.9869 / \mathrm{H}_{1}\right)=1-0.8040=0.1960$ +Simbòlicament, correspon a calcular: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{7.9869-8.5}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +### Relació entre l'error de tipus I i el de tipus II + +És important entendre que no és possible reduir simultàniament els dos errors en un contrast d'hipòtesi. + +Suposem que s'intenta reduir a zero el nivell de significació. Això equival a plantejar que la probabilitat que una mostra pertanyi a la regió crítica, en el cas que sigui certa $\mathrm{H}_{0}$, és zero. En la majoria de situacions aplicades aquest fet dóna lloc a una regió crítica igual al conjunt buit, o el que és el mateix, provoca que s'accepti sempre $\mathrm{H}_{0}$, independentment del resultat obtingut en la mostra. S'arriba per tant a la situació absurda de poder prescindir de la mostra, acceptant sempre $H_{0}$ ! Així, reduir $\alpha$ a zero té la greu contrapartida de rebutjar sempre $\mathrm{H}_{1}$, que implica a la seva vegada que l'error de tipus II sigui un. De manera anàloga es pot raonar per un error de tipus II nul. En conclusió, els dos errors estan relacionats: disminuir $\alpha$ comporta reduir la grandària de la regió crítica, i, per tant, augmentar 1- $\beta$. + +#### Cas 1: Avaluació d'a i 1- $\beta$ per a diferents regions crítiques + +Una vegada s'especifica la regió crítica, els errors de tipus I i II queden determinats. En els dos quadres següents hi han dues regions crítiques i els seus errors associats. En la versió interactiva del document es pot canviar dinàmicament la regió crítica i es calculen automàticament els errors: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-18.jpg?height=375&width=1312&top_left_y=1417&top_left_x=372) + +En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques. Per tal de simplificar la comprensió del gràfic, es consideren només regions de la forma $\{a, a+1, \ldots 10\}$, on $a$ és un enter entre 0 i 10 . Així, per exemple, el punt d'abscisses 8 representa la regió crítica $\{8,9,10\}$. La hipòtesi alternativa considerada és $p_{1}=0.6$, tal i com s'indica en la llegenda del gràfic. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-18.jpg?height=544&width=778&top_left_y=2118&top_left_x=639) + +#### Cas 2: Relació entre els errors de primera ( $\alpha$ ) i segona espècie (1- $\beta$ ) + +La relació entre els errors de tipus I i II és més fàcil d'interpretar en aquest cas, atès que la mitjana és un estadístic de distribució contínua. En els quadres següents es presenten dues regions crítiques i els errors associats, visualitzant l'àrea que representen. En la versió interactiva es pot modificar la regió crítica mitjançant el lliscador, i es calculen automàticament els dos errors visualitzant l'àrea que representa cadascun. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-19.jpg?height=1283&width=1486&top_left_y=775&top_left_x=291) + +En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament. Prenent sempre la mateixa alternativa: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +$$ + +i per a cada regió crítica de la forma $[a,+\infty)$ es calculen $\alpha$ i $1-\beta$. En l'eix d'abscisses es representa l'extrem inferior (a) de les regions crítiques més rellevants, les pròximes a $\mu_{0}$. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-20.jpg?height=581&width=854&top_left_y=246&top_left_x=601) + +### Potència i test més potent + +La potència d'un contrast es defineix com: +$\beta=$ prob.(acceptar $H_{1} / H_{1}$ certa) = prob.(mostra pertanyi a $W_{a} / H_{1}$ certa) +és, per tant, la probabilitat complementària a l'error del tipus II. +Reprenent idees anteriors, un contrast ha de pretendre un compromís raonable entre el nivell de significació (el més baix possible) i la potència (la més alta possible). + +En principi, si hi ha diversos tests alternatius (basats en diferents regles de decisió i/o estadístics) per a resoldre un mateix contrast paramètric, el millor test serà aquell que, una vegada fixats $\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1} \mathrm{i}$ el nivell de significació $\alpha$, proporcioni la potència més alta d'entre tots ells. + +Un test que tingui aquesta propietat es denomina test més potent. Simbòlicament, si $m p$ designa el test més potent, haurà de complir: + +$$ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } +\end{aligned} +$$ + +on $t$ és qualsevol altre test amb el mateix nivell de significació que $m p$. + +#### Cas 1: Potència en hipòtesi simple vs simple + +En la taula següent s'indica la probabilitat per a cadascun dels valors del suport. Es destaca en color diferent la regió crítica. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-21.jpg?height=520&width=852&top_left_y=234&top_left_x=605) + +Es pot llegir aleshores que la potència és: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +$$ + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +$$ + +Observem que coincideix amb el càlcul anterior de l'error de tipus II per a aquest exemple. + +#### Cas 2: Potència en hipòtesi simple vs simple + +Hem definit abans la regió crítica per a aquest cas. En el quadre següent es pot visualitzar els dos errors ( $I=$ verd i II = taronja) i, opcionalment, la potència del test (regió groga). +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-21.jpg?height=649&width=1477&top_left_y=1680&top_left_x=295) + +La definició de potència aplicada a aquest cas resulta: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(\mathrm{X} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +$$ + +Simbòlicament hem calculat: + +$$ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +$$ + +En el document interactiu s'especifica l'expressió per a tot $n$. + +### Efecte de la grandària mostral + +Els contrastos òptims per a les situacions aplicades més habituals ja estan completament resolts, de manera que usualment l'experimentador només ha d'escollir el nivell de significació que desitgi, (veure per exemple el capítol de contrastos d'una població). + +Una vegada escollit $\alpha$ queden fixades tant la regió crítica com la potència del contrast. L'única manera d'aconseguir que un contrast millori la seva potència sense que repercuteixi en un augment excessiu d' $\alpha$ és incrementar la grandària mostral $N$. + +Augmentar $N$ varia la llei de distribució de l'estadístic de test, i generalment en disminueix la variància. La conseqüència de mantenir $\boldsymbol{\alpha}$ constant i incrementar $N$ es tradueix en una millora de les propietats del test. Una pregunta crucial -oberta, de moment- és: quanta mostra fa falta? + +#### Cas 1 + +En el document interactiu es presenta un applet on es calcula l'error de tipus II quan augmenta N. Aquí només es presenta el gràfic on es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques de la forma $\{a, a+1, \ldots N\}$. La hipòtesi alternativa està indicada a la llegenda. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-22.jpg?height=507&width=1474&top_left_y=1728&top_left_x=294) + +#### Cas 2 + +Veurem aquí només com afecta la grandària de mostra (per a $N=16$ i $N=30$ ) als dos errors, mantenint la regió crítica constant. En el document interactiu es poden consultar altres combinacions. En augmentar $N$, les distribucions en el mostreig de la mitjana sota $\mathrm{H}_{0}$ i $\mathrm{H}_{1}$ presenten cada vegada un menor solapament. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-23.jpg?height=718&width=1486&top_left_y=235&top_left_x=271) + +En el gràfic següent s'observa l'efecte de $N$ per a tot el rang de regions crítiques: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-23.jpg?height=604&width=869&top_left_y=1080&top_left_x=591) + +### Hipòtesis simples vs. hipòtesis compostes + +Fins a ara hem tractat el cas més senzill de contrast: dues hipòtesis simples. En la pràctica, les situacions realment interessants comporten -almenys- una hipòtesi composta. Un dels contrastos d'hipòtesis més habituals consisteix en: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +$$ + +és a dir, la hipòtesi alternativa és la simple negació de la nul lla. Aquest contrast es coneix com el de l'alternativa bilateral. + +Els conceptes d'estadístic de test, de regió crítica, de regió d'acceptació i de nivell de significació seguiran sent els mateixos. Ara bé, com es veurà a continuació, s'ha d'ampliar la definició de potència respecte al cas simple contra simple. + +#### Cas 1: Hipòtesis compostes + +Canviant el plantejament inicial, suposem que la polèmica sobre la proporció de femelles en els nius és refereix a si és equitativa o no respecte al nombre de mascles. Les hipòtesis a verificar aleshores seran: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +Observem primer que ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el cas simple contra simple, que en resum consistia en: + +| Regió crítica | $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$ | +| :--- | :---: | +| Estadístic de test | $\mathrm{T}=$ nombre de femelles totals en els 10 nius | +| Nivell de significació | $\alpha=0.0547$ | + +Ara aquesta regió ja no és adequada. N'hi ha prou amb considerar l'exemple d'obtenir una mostra amb $\mathrm{T}=0$. Tot i ser summament improbable sota $\mathrm{H}_{0}$, el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul lla, en contra d'altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb p < 0.5). + +El sentit comú indica que la regió crítica ha d'abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +$$ + +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-24.jpg?height=527&width=852&top_left_y=1504&top_left_x=605) +la suma següent (que correspon als valors destacats en la taula): + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +$$ + +ens proporciona el nivell de significació d'aquest test bilateral. + +#### Cas 2: Hipòtesis compostes + +Malgrat que segurament encara no és el contrast d'hipòtesi que realment interessa a l'associació ADG , per raons didàctiques suposarem que es pretén dirimir simplement si és acceptable la mitjana proposada en la bibliografia. Les hipòtesis que cal verificar seran aleshores: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +$$ + +Ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el plantejament original d'aquest cas (que contrastava una hipòtesi simple contra una altra simple). + +Per entendre-ho es pot considerar per exemple una mostra amb una mitjana mostral de 5. Tot i ser summament improbable sota $\mathrm{H}_{0}$, atès que pertany a la regió d'acceptació, el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul•la, en contra d'altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb $\mu<7$ ). + +Novament, el sentit comú indica que la regió crítica ha d'abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +$$ + +S'obté $\alpha=0.1$. En el quadre següent es visualitza la regió crítica i s'avalua el nivell de significació resultant: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-25.jpg?height=672&width=849&top_left_y=1503&top_left_x=609) + +Simbòlicament, el nivell de significació d'aquest test es calcula de la forma següent: + +$$ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +On: + +$$ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +$$ + +### Funció de potència + +Una de les diferències conceptuals més importants entre el cas d'una hipòtesi simple contra una altra de simple i el cas amb una alternativa composta es troba en la definició de potència. En aquest segon cas ja no es presenta un únic possible valor del paràmetre sota la hipòtesi alternativa, sinó que es contempla tot un conjunt. En la majoria de tests habituals, serà un interval real o una reunió d'intervals reals. Per exemple: + +$$ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +Des del punt de vista de l'estadística paramètrica clàssica, una vegada fet l'experiment aleatori, $\theta$ presenta només un dels possibles valors dins del subconjunt de l'alternativa, encara que aquest sigui desconegut. Per tant, la definició de potència enunciada abans: + +$$ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { certa) } +$$ + +no es pot calcular globalment per a tot $\mathrm{H}_{1}$, sinó que s'ha de distingir cadascun dels valors possibles dins de $\mathrm{H}_{1}$. D'aquí ve l'interès de definir la funció de potència: + +$$ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cert }\right) +$$ + +on $\theta$ és un valor qualsevol del paràmetre, fins i tot valors corresponents a $\mathrm{H}_{0}$. Si $\mathrm{H}_{0}$ és simple (un sol paràmetre $\theta_{0}$ ), resultarà: + +$$ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cert }\right)=\alpha +$$ + +#### Cas 1: Funció de potència + +Ara la potència depèn de la proporció concreta de femelles que es triï com alternativa. L'expressió general és: + +$$ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +$$ + +atès que la regió crítica és $\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}$. En els quadres següents s'obté el valor de la potència $(\beta)$ inicialment per $p=0.6$ i per $p=0.8$ (en el document interactiu es pot variar arbitràriament la proporció sota $\mathrm{H}_{1}$ ): + +| Valor de X | Prob. $\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0001 | +| 1 | 0.0016 | +| 2 | 0.0106 | +| 3 | 0.0425 | +| 4 | 0.1115 | +| 5 | 0.2007 | +| 6 | 0.2508 | +| 7 | 0.2150 | +| 8 | 0.1209 | +| 9 | 0.0403 | +| 10 | 0.0060 | + + +| Valor de X | Prob. $\mathrm{X}=\mathrm{X}$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 0.0000 | +| 1 | 0.0000 | +| 2 | 0.0001 | +| 3 | 0.0008 | +| 4 | 0.0055 | +| 5 | 0.0264 | +| 6 | 0.0881 | +| 7 | 0.2013 | +| 8 | 0.3020 | +| 9 | 0.2684 | +| 10 | 0.1074 | + +En el gràfic següent es representa la funció de potència per a tot el rang de paràmetres: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-27.jpg?height=546&width=546&top_left_y=898&top_left_x=572) +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-27.jpg?height=178&width=358&top_left_y=902&top_left_x=1106) + +#### Cas 2: Funció de potència + +Ara la potència depèn de la mitjana concreta $\mu_{1}$ que es triï com a alternativa. L'expressió general de l'error de tipus II és: + +$$ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +$$ + +atès que la regió crítica és $\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)$. +En el quadre següent s'obté el valor de la potència ( $\beta$ ) inicialment per a $\mu=8.5$. En el document interactiu es pot canviar aquest valor de la alternativa i observar els canvis en els dos errors i en la potència: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-28.jpg?height=809&width=929&top_left_y=235&top_left_x=569) + +En el gràfic següent es representen dues funcions de potència, per a $\alpha=0.05, \sigma=$ 2.4 i que respectivament corresponen a $n=16$ (la situació d'aquest cas 2) i a $n=1$. En el document interactiu es poden variar tots aquells paràmetres que afecten $\beta: \alpha, \sigma \mathrm{i} n \mathrm{i}$ comparar-los amb la situació original. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-28.jpg?height=692&width=966&top_left_y=1322&top_left_x=545) + +### Tests òptims + +En moltes situacions aplicades es poden plantejar diferents regles de decisió per resoldre un mateix contrast, de manera que proporcionen un mateix error de tipus I. És necessari adoptar aleshores un criteri addicional per escollir quin és el millor test possible per resoldre aquest contrast. Tal com hem vist en el cas d'hipòtesi simple vs. simple, això passa forçosament per analitzar l'error de tipus II associat amb cada test. En el cas d'una alternativa composta, això porta a estudiar el comportament de la funció de potència en tot el rang de paràmetres associats amb l'alternativa. + +L'estudi dels tests que presenten propietats òptimes des del punt de vista de la potència sobrepassa els objectius marcats per Statmedia. El lector interessat pot consultar alguna definició més en els complements, encara que aquesta informació no és estrictament necessària per seguir ni la resta d'aquest tema ni els ulteriors. En els pròxims capítols només s'assenyalarà, a títol informatiu, quan un test és òptim des del punt de vista de la potència. En el nostre desenvolupament és suficient conèixer que existeixen resultats generals en estadística matemàtica que permeten assegurar quan existeix aquest tipus de test i com obtenir-lo. + +### Proves bilaterals i proves unilaterals + +Un contrast bilateral adopta en general la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +En determinades ocasions l'experimentador prefereix plantejar directament un contrast de la forma: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +$$ + +conegut com a contrast unilateral dret. Òbviament, una altra possibilitat és l'unilateral esquerre: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +$$ + +En aquests tres casos, el contrast d'hipòtesis és simple contra composta. En la majoria de situacions aplicades, en realitat es pretenen resoldre contrastos unilaterals que comporten hipòtesis compostes. L'unilateral dret és aleshores: + +| | $\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}$ | +| :--- | :--- | :--- | :--- | +| l 'esquerre és: | $\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}$ | contra | $\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}$ | + +Encara que aquesta última formulació està relacionada amb els contrastos unilaterals simple contra composta anteriors, les dues hipòtesis no són tècnicament equivalents. A fi de simplificar la interpretació dels contrastos unilaterals, atenent als casos de què s'encarrega Statmedia, es formulen els contrastos d'aquesta última manera (composta contra composta) i es pren el nivell de significació com si fos el del contrast simple contra composta. + +En qualsevol cas, és important entendre que només s'ha resolt un dels tres contrastos (bilateral o unilateral) amb un conjunt de dades concret. Per exemple, és incorrecte des del punt de vista metodològic començar contrastant bilateralment, i fer després un test unilateral. El contrast que s'ha d'emprar s'ha de decidir tenint com a base coneixements previs del problema, o bé seguint la qüestió d'interès aplicat que es vol respondre. + +#### Cas 1: Prova unilateral + +Suposem que la controvèrsia entre els dos ornitòlegs s'hagués plantejat originalment en els termes següents. Segons da Souza, el nombre de femelles per niu és com a màxim del $50 \%$. En canvi, per a Calves, hi ha més femelles que no pas mascles. El contrast que cal resoldre per dirimir quin especialista té raó seria, doncs: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Respecte al cas general se substitueix el paràmetre genèric $\theta$ per p , i el valor $\theta_{0}=$ 0.5 . Prenent la regió crítica com a $\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}$, en el quadre següent es presenta el nivell de significació: + +| Valor de X | Prob. $X=x$ | | +| :---: | :---: | :---: | +| 0 | 0.0010 | Valor de p a la binomial | +| 1 | 0.0098 | | +| 2 | 0.0439 | 0.5 | +| 3 | 0.1172 | | +| 4 | 0.2051 | | +| 5 | 0.2461 | | +| 6 | 0.2051 | | +| 7 | 0.1172 | | +| 8 | 0.0439 | Surna valors a la regió critica | +| 9 | 0.0098 | | +| 10 | 0.0010 | 0.0547 | + +En el document interactiu s'inclou un quadre on es pot explorar la potència amb diferents alternatives. + +#### Cas 2: Prova unilateral + +El plantejament següent s'aproxima més al que realment hauria d'intentar aclarir l'associació d'esportistes ADG. Si fan cas a la forta sospita que la taxa de statdrolona ha augmentat, és més coherent plantejar les hipòtesis següents: + +$$ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +$$ + +Tal com ja s'ha plantejat en el cas 1, ara s'ha de considerar una regió crítica basada en la cua dreta de la distribució. Es deixa al lector raonar per què ha de ser així. Quan es pren, per exemple: + +$$ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +$$ + +s'obté $\alpha=0.05$. En el quadre següent es presenta la regió crítica (en el document interactiu es pot variar la regió crítica, i modificar per tant el nivell de significació): +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-31.jpg?height=804&width=966&top_left_y=232&top_left_x=545) + +Simbòlicament, es calcula: + +$$ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +$$ + +que ens proporciona el nivell de significació d'aquest test unilateral. Així doncs, no hi ha cap diferència ni en el càlcul ni en el gràfic respecte al que ja hem vist en l'apartat d'hipòtesi simple contra simple. En relació amb la potència, es tracta d'una funció que depèn de la $\mu$ concreta de la hipòtesi alternativa (simple), i per aquesta raó resulta: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-31.jpg?height=798&width=924&top_left_y=1574&top_left_x=569) + +Una observació final referent a aquest cas 2. En el plantejament actual només queda ja l'arbitrarietat consistent a assumir una $\sigma=2.4$ poblacional fixa. En el tema 10, s'estudiarà com abordar aquest estudi sense assumir més condició que el model de probabilitat Normal. + +### Elecció del nivell de significació + +Quin nivell de significació s'ha d'utilitzar? En contra de certa pràctica estadística, desgraciadament bastant estesa, en realitat no es pot respondre a aquesta pregunta donant simplement un valor al nivell de significació. Si es consulten publicacions científiques aplicades per conèixer quin $\alpha$ emprar, en la majoria d'estudis s'obtindrà que el més utilitzat és $\alpha=0.05$ ( $5 \%$ d'error), essent el segon lloc ex aequo $\alpha=0.01$ ( $1 \%$ ) i $\alpha=0.1$ (10 \%). Aquests són els nivells aconsellats en molts textos elementals d'estadística. Vegem per què s'ha anat aconsellant aquests valors. + +Abans de la universalització de l'ús de l'ordinador, els càlculs estadístics es completaven mitjançant diferents taules per trobar les fronteres de la regió crítica i decidir quina hipòtesi acceptar. Els valors $5 \%, 1 \%$ i $10 \%$ van ser inicialment triats com els més representatius en les colleccions de taules, ja que no resultava pràctic publicar taules per a qualsevol $\alpha$. Així, aquests valors es van anar convertint, amb el pas del temps, en un convencionalisme més. S'ha arribat a produir l'efecte pervers, en alguns camps del coneixement, que alguns editors mal informats només accepten treballs amb un $5 \%$ de significació. + +No obstant això, no hi ha cap raó científica que indiqui que aquests valors són forçosament els més adequats. Ja hem vist que la potència té també una importància capital quan s'ha de qualificar la bondat del test, sense oblidar la influencia que té la grandària de la mostra sobre $1-\beta$. La metodologia més raonable és obtenir el p-valor i, si és possible, definir abans de l'obtenció de la mostra una diferència mínima significativa que garanteixi la potència desitjada (definirem a continuació aquests dos conceptes). Només amb aquestes tres quantitats el contrast queda satisfactòriament plantejat. + +Des del nostre punt de vista, avui en dia, exposar les conclusions de qualsevol estudi només a partir d'un nivell de significació fix per a tots els contrastos és un procediment estadístic molt rudimentari. + +### El p-valor + +L'elecció del nivell de significació, tal com s'ha comentat anteriorment, és en certa manera arbitrària. Tanmateix, una vegada obtinguda la mostra, es pot calcular una quantitat que sí que permet resumir el resultat de l'experiment de manera objectiva. Aquesta quantitat és el p-valor que correspon al nivell de significació més petit possible que es pot escollir, per al qual encara s'acceptaria la hipòtesi alternativa amb les observacions actuals. Qualsevol nivell de significació escollit inferior al p-valor (simbòlicament $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ ) comporta acceptar $\mathrm{H}_{0}$. Òbviament, com que és una probabilitat, es compleix que: + +$$ +0 \leq p_{v} \leq 1 +$$ + +El p-valor és una mesura directa de com d'inversemblant resulta obtenir una mostra com l'actual si és certa $\mathrm{H}_{0}$. Els valors petits indiquen que és molt infreqüent obtenir una mostra com l'actual, en canvi, els valors alts mostren que és freqüent. El pvalor s'utilitza per indicar quant (o quant poc) contradiu la mostra actual la hipòtesi alternativa. + +Informar sobre quin és el p-valor té l'avantatge de permetre que qualsevol decideixi quina hipòtesi accepta basant-se en el seu propi nivell de risc $\boldsymbol{\alpha}$. Això no és possible quan s'informa, com ha estat tradicional, indicant només el resultat de la decisió, és a dir, acceptant o rebutjant $\mathrm{H}_{0}$ amb un $\alpha$ fix. + +Quan es proporciona el p-valor obtingut amb la mostra actual, la decisió es fa segons la regla següent: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +$$ + +Des del punt de vista pràctic, alguns paquets estadístics proporcionen en els seus llistats el "significance level", la traducció literal del qual és "nivell de significació", quan en moltes ocasions es refereixen en realitat al p-valor ("p-value"). + +#### Cas 1: Càlcul del p-valor (prova unilateral) + +Seguim amb la hipòtesi unilateral: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +$$ + +Suposem que, una vegada obtinguda la mostra de $n=10$ nius, resulta que en sis d'ells el pollet correspon a una femella. Cal recordar primerament que en aquest cas l'estadístic de test T és una variable discreta, i per tant no és possible obtenir qualsevol $\alpha$. + +El p-valor és el menor $\alpha$ que permet acceptar $\mathrm{H}_{1}$. Amb la taula següent: + +| Valor de $X$ | Prob. $X>=X$ | +| :---: | :---: | +| 0 | 1.0000 | +| 1 | 0.9990 | +| 2 | 0.9893 | +| 3 | 0.9453 | +| 4 | 0.8281 | +| 5 | 0.6230 | +| 6 | 0.3770 | +| 7 | 0.1719 | +| 8 | 0.0547 | +| 9 | 0.0107 | +| 10 | 0.0010 | + +s'obté el p-valor associat a $\mathrm{T}=6$ femelles. Considerem principalment els casos següents: + +1. Si s'escollís $\alpha=0.1719$, la regió crítica corresponent seria $\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}$. Com que no s'inclouen 6 femelles, s'hauria d'acceptar $H_{0}$. Per tant, $\alpha$ no compleix la definició de p-valor, atès que s'ha de rebutjar $\mathrm{H}_{0}$ : $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ ha de ser forçosament major. +2. Si es triés $\alpha^{\prime}=0.3770$, la regió crítica corresponent seria $W_{a^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}$. Amb $\alpha^{\prime}$ es rebutjaria $H_{0}$. +3. Si se seleccionés $\alpha^{\prime \prime}=0.6230$, la regió crítica corresponent seria $\mathrm{W}_{\alpha^{\prime \prime}}=\{5,6,7$, $8,9,10\}$. Amb $\alpha^{\prime \prime}$ també es rebutjaria $\mathrm{H}_{0}$. + +Observem que $\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime \prime}, \mathrm{i}$ entre els dos valors no és possible obtenir cap altre nivell de significació amb el test que hem plantejat. Per tant, $\alpha^{\prime}$ és el mínim nivell de significació amb el qual rebutjaríem $H_{0}$ amb la mostra actual o, dit d'una altra manera, $\alpha^{\prime}$ és el p-valor. + +Aquest és el detall de com es calcula el p-valor. Usualment, d'això se n'encarrega software especialitzat (un paquet estadístic, un full de càlcul,...), que retorna simplement la informació $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770$. Ara bé, el que no resol el programa és què ha de decidir finalment l'experimentador, és a dir, en el nostre cas, da Souza o Calves. + +Doncs bé, en aquest moment, s'haurà de comparar $\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \mathrm{amb}$ el nivell de significació escollit a priori (per exemple, $\alpha=0.05$ ): + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { per tant, acceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}} . +$$ + +El valor de $p_{v}$ indica que hi ha una frequància del $37.7 \%$ d'obtenir mostres amb T $\geq 6$ femelles sota $\mathrm{H}_{0} \mathrm{i}$, per tant, que no hi ha indicis suficients de discrepància entre la mostra obtinguda i la hipòtesi de da Souza consistent en que $\mathrm{p} \leq 0.5$. + +Una vegada més s'ha d'insistir en el fet que $\mathrm{p}_{\mathrm{v}}$ és un valor objectiu -qualsevol experimentador donarà el mateix valor una vegada obtinguda la mostra-, mentre que $\alpha$ és subjectiu, escollit per l'experimentador segons la seva experiència. + +#### Cas 2: Càlcul del p-valor (prova unilateral) + +Considerem primer el càlcul del $p$-valor quan les hipòtesis són: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +$$ + +En el quadre següent es presenten les dades obtingudes en l'experiment, la seva mitjana i la desviació estàndard corregida, així com el p-valor i la decisió final segons el nivell de significació 0.05 . Com que $\mathrm{T}=8.54$, el p -valor correspon a la cua de la corba Normal situada a la dreta de T. En el gràfic es superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a $\alpha$ en la part més extrema de la cua. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-35.jpg?height=1026&width=1021&top_left_y=235&top_left_x=523) + +Així doncs, es rebutja $\mathbf{H}_{0}$, ja que $\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513$. En el document interactiu és possible escollir altres nivells de significació. Segons el nivell escollit s'acceptarà o es rebutjarà la hipòtesi nul lla. + +El quadre anterior il•lustra la relació entre els conceptes del p-valor i del nivell de significació, ara bé, el lector NO ha de treure la conclusió que ha d'ajustar $\alpha$ en cap sentit: $\alpha$ es tria sempre a priori (abans de l'anàlisi), mai en funció de les dades (o del p-valor). Respecte al càlcul simbòlic del p-valor, en l'exemple s'ajusta a l'expressió següent: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +$$ + +En el document interactiu es poden canviar les dades dels setze atletes, fet que permet resoldre algunes de les qüestions plantejades més endavant. Alternativament al p -valor, també es pot visualitzar la potència o l'error de tipus II. + +#### Cas 2: càlcul del p-valor (prova bilateral) + +Considerem ara el càlcul del p-valor quan les hipòtesis són: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +El p-valor correspon ara a dues cues de la corba Normal: una és la mateixa que en el cas unilateral, és a dir, la situada a la dreta de $\mathrm{T}=8.54$, la segona és la cua simètrica a l'anterior respecte a $\mu=7$, és a dir, la cua esquerra situada en $2 \mu-\mathrm{T}=5.46$. Com abans, en el quadre se superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a $\alpha$ en la part més extrema de les dues cues. En el document interactiu es poden canviar dades, el nivell de significació i el punt on es calcula la potència. +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-36.jpg?height=981&width=975&top_left_y=689&top_left_x=543) + +El càlcul del p-valor es correspon,amb les dades originals, a: + +$$ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +$$ + +Així doncs, es rebutja $\mathbf{H}_{\mathbf{0}}$, atès que: + +$$ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +$$ + +En general, si la distribució de l'estadístic és contínua, com en aquest cas, es pot calcular fàcilment el p-valor de la prova bilateral a partir de la unilateral, i viceversa. Així, si designem amb $\mathrm{p}_{\text {uni }}$ i $\mathrm{p}_{\text {bil }}$, respectivament els p -valors de la prova unilateral i bilateral, tindrem que: + +- $\quad$ Si $\mathrm{p}_{\text {uni }} \leq 0.5$, aleshores $\mathrm{p}_{\text {bil }}=2 \mathrm{p}_{\text {uni. }}$. És a dir, el p-valor és exactament el doble que el de la prova unilateral. +- $\quad$ Si $\mathrm{p}_{\text {uni }}>0.5$, aleshores $\mathrm{p}_{\text {bil }}=2\left(1-\mathrm{p}_{\text {uni }}\right)$. És a dir, el p -valor és exactament el doble que el complementari del p-valor de la prova unilateral. + + +### Proves exactes i proves asimptòtiques + +Els dos errors ( $\alpha$ i $1-\beta$ ) implicats en qualsevol contrast són probabilitats que es basen en hipòtesis sobre el paràmetre que volem contrastar. De manera similar als intervals de confiança (vegeu, per exemple, els intervals per a una proporció i per a la mitjana d'una Normal), es poden classificar els tests en relació amb la distribució emprada. + +Si es pot establir explícitament per qualsevol mida de mostra $N$ quina distribució té l'estadístic de test, i a més és factible el càlcul dels errors, s'obtindrà una fórmula vàlida per a tot $N$. Aquest és el cas dels dos exemples seguits en aquest capítol. Un test amb aquestes característiques es denomina prova exacta. La prova $t$ de Student per a dues mostres i la prova F de comparació de variàncies en són exemples d'aplicació quotidiana en experiments reals. + +En altres casos, quan existeix dificultat per resoldre el càlcul dels errors amb la veritable distribució de l'estadístic, es recorre a les propietats en el límit de les distribucions. Un recurs habitual és aplicar el teorema central del límit si la distribució de l'estadístic tendeix a una Normal. En aquest segon cas, el test obtingut només serà vàlid per a valors grans de $N$, i llavors es denomina prova asimptòtica. Els exemples més coneguts són les diferents proves de Khi-quadrat. + +#### Cas 1: Test asimptòtic + +Fins al moment ens hem basat per resoldre els contrastos en la distribució exacta de l'estadístic $T=$ nombre de femelles en deu nius, que és una Binomial $\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p}$ ), amb $n$ $=10 \mathrm{i} \mathrm{p}$ desconeguda. La distribució exacta de T ens permet calcular p-valors, potències, etc. per qualsevol grandària de mostra $n$. No obstant això, els càlculs amb la distribució Binomial es poden aproximar mitjançant la distribució Normal a partir de mides de mostra de trenta o majors. La distribució asimptòtica de $T$ és: + +$$ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +$$ + +Per exemple, si es pretén contrastar: + +$$ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +$$ + +amb $n=36$, sota $\mathrm{H}_{0} T$ serà aproximadament $\operatorname{Normal} \mathrm{N}(18,3)$. En el document interactiu es presenta un quadre on podem comprovar les diferències entre el p-valor exacte i el pvalor segons la distribució asimptòtica per diferents $n$ i diferents valors de T. Per exemple, per a $n=36$ i 28 femelles les diferències són: + +$$ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { exacte }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { asimptòtic }=0.00119-0.00085<0.004 +$$ + +Quin interès té aleshores la distribució asimptòtica, si coneixem l'exacta? L'avantatge se situa en el terreny del càlcul: la distribució Normal és més fàcil de fer servir computacionalment tant si s'avalua mitjançant taules (i calculadora) com si +s'avalua amb l'ordinador. En canvi, la fórmula de la densitat Binomial comporta dificultats operatives amb els factorials quan $n>30$. + +#### Cas 2: Test exacte + +Ja s'ha analitzat anteriorment amb detall la distribució de la mitjana de $n$ atletes quan la variable observada és una Normal. En resum, la densitat obtinguda és una Normal de paràmetres: + +$$ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +$$ + +Per tant, mitjançant aquesta distribució exacta de l'estadístic per a qualsevol grandària de la mostra, es pot plantejar sense la necessitat d'aproximar a cap altra distribució el càlcul del p-valor, de la potència, etc. + +### Relació amb els intervals de confiança + +Els contrastos d'hipòtesis estan molt relacionats amb la teoria dels intervals de confiança. En molts casos es pot resoldre la mateixa qüestió aplicada formulant-la per qualsevol de les dues vies. Per exemple, el contrast: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +$$ + +es pot resoldre plantejant l'interval de confiança per $\theta$, amb coeficient de confiança $1-$ $\alpha$. Suposem que l'interval obtingut és $[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]$. Aleshores, si: + +$$ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +$$ + +Aquest contrast tindrà com a nivell de significació $\alpha$. És possible proporcionar fins i tot el p-valor si s'ajusta l'amplada de l'interval perquè sigui el més ample possible i al mateix temps exclogui $\theta_{0}$. + +Inversament, és possible utilitzar la regió crítica d'un contrast per a proporcionar una estimació per interval del paràmetre. Els contrastos bilaterals corresponen a intervals també bilaterals centrats, mentre que els contrastos unilaterals drets corresponen a estimacions unilaterals per excés i els unilaterals esquerres, a estimacions per defecte. + +#### Cas 2: Relació amb els intervals de confiança + +En el tema anterior s'ha estudiat l'interval de confiança per a la mitjana d'una distribució Normal. Continuant amb les premisses que s'han seguit fins ara en el cas de l'statdrolona, haurem de considerar l'interval per a la mesura quan la variància és coneguda. + +$$ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +$$ + +Si prenem com a nivell de confiança $1-\alpha=0.95$, amb les dades obtingudes resulta: + +$$ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +$$ + +És a dir, s'obté l'interval $[\mathbf{7 , 3 6 4 6}$; 9,7154]. Atenent que la mitjana sota la hipòtesi nul $\cdot$ la és $\mu=7$, i que no està inclosa en l'interval anterior, es rebutja la hipòtesi nul•la: la mitjana és significativament diferent de 7. És la mateixa conclusió que la que hem obtingut en el contrast bilateral anterior. A més, atès que s'ha calculat un interval bilateral, la hipòtesi alternativa corresponent a aquest interval és també bilateral. + +### Grandàries de mostra. Diferència mínima significativa + +Una de les preguntes més freqüents en estadística aplicada es refereix a quina és la grandària mostral més adient. En primer lloc, si la prova és asimptòtica, $N$ ha de ser suficientment gran perquè la distribució de l'estadístic sota la hipòtesi nul•la estigui ben aproximada. En el cas de les aproximacions normals, valors $N \geq 30$ són usualment acceptats. Aquesta consideració no s'aplica si la prova és exacta. + +El segon aspecte que cal considerar es refereix a la potència desitjada en el contrast. Però la potència varia en funció del paràmetre en els contrastos amb alternativa composta, així que, per formular correctament el problema, l'experimentador ha de proporcionar una quantitat addicional: la diferència mínima significativa $\Delta$. + +Per abreujar, es detalla ara només el contrast $\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}$ contra $\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}$, però la base conceptual és semblant per a les alternatives unilaterals. + +El significat de $\Delta$ és aleshores el següent: l'experimentador considera que no és important en la pràctica equivocar-se acceptant la hipòtesi nul la (és a dir, cometre un error de tipus II) en el rang d'alternatives situades en l'interval $\left(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta\right)$. En canvi, $\theta_{0} \pm \Delta$ són els dos primers punts, a mesura que $\theta$ s'allunya de la hipòtesi nul $\cdot$ la, que l'experimentador considera important diferenciar de $\theta_{0}$. És justament en aquests dos punts on s'ajusta la grandària de la mostra per garantir la potència desitjada. Lògicament, la potència serà encara més alta si l'alternativa finalment certa està encara a major distància que $\Delta$. + +L'elecció concreta del valor de $\Delta$ depèn de cada situació aplicada, però en qualsevol cas és una quantitat escollida per l'experimentador, no dictada per una regla estadística. + +Una vegada escollit $\Delta$ i la potència desitjada en aquest punt, és possible indicar quina és la grandària mínima de la mostra per resoldre adequadament el problema. En alguns casos requerirà un experiment pilot abans de procedir amb l'experiment definitiu. + +#### Cas 2: Càlcul de la grandària de la mostra + +L'estadístic de test d'aquest cas (la mitjana dels atletes) té una distribució exacta coneguda per a tot $n$ que s'ha descrit anteriorment. Per tant aquí l'experimentador ha de triar la mínima diferència significativa ( $\boldsymbol{\Delta}$ ) i la potència ( $\boldsymbol{\beta}$ ) per determinar la grandària de la mostra adequada. Suposem que es vol fer el contrast bilateral: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +amb les condicions següents de l'experiment fixades: + +$$ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +$$ + +Dit d'una altra manera, es pretén obtenir una potència del $90 \%$ en els punts: + +$$ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +$$ + +Aquests són els dos primers valors (menor i major que $\mu_{0}=7$, respectivament) que l'experimentador no vol que es confonguin amb $\mathrm{H}_{0}$, excepte amb un error del $10 \%$. Per tant, s'ha d'ailllar el valor de $n$ que compleixi les condicions següents simultàniament: + +$$ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +$$ + +$\mathrm{H}_{1 \Delta}$ correspon a la hipòtesi simple $\mu=\mu_{0}+\Delta$ (7.8 en l'exemple). Atenent a la distribució de la mitjana de $n$ atletes sota cadascuna de les hipòtesis, l'única incògnita és $n$. Les constants $z_{\alpha / 2}$ i $z_{1-\beta}$ corresponen a les cues dretes següents de la variable aleatòria Normal tipificada Z: + +$$ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +$$ + +Quan es resol el sistema d'equacions anterior en resulta la fórmula que proporciona la grandària desitjada: + +$$ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +$$ + +Substituint pels valors concrets de l'exemple: + +$$ +n=\{2,4(1.645+1.960) / 0.8\}^{2}=116.964 +$$ + +Arrodonint, la grandària ha de ser de 117 atletes. En el quadre següent es mostra la grandària de la mostra en funció de la diferència mínima significativa desitjada, juntament amb altres paràmetres que afecten el problema: +![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_12_15_dc401fd40c75e9888fdeg-41.jpg?height=584&width=838&top_left_y=245&top_left_x=615) + +Per als valors extrems de $\alpha(0)$ i de $\beta$ (1), el valor de la grandària de la mostra es fa infinit i no es pot representar en el quadre anterior. + +### Esquema d'un contrast correctament plantejat + +Els conceptes exposats fins aquí són essencials per entendre què és un contrast estadístic d'hipòtesis i poder aplicar correctament els diferents tests que es detallen en pròxims capítols. En la pràctica, i per la tranquil•litat de l'experimentador, normalment només s'ha de preocupar d'identificar el problema que ha de resoldre (contrast sobre una, dues o més poblacions), la família de distribució i finalment aplicar tests ja deduïts, alguns ja gairebé centenàriament. Ara bé, l'experimentador ha d'escollir les tres quantitats següents: + +| 1) nivell de significació $\boldsymbol{\alpha}$ | Si no es té un criteri definit, s'utilitzarà l'estàndard $\alpha=$
0.05. | +| :--- | :--- | +| 2) diferència mínima
significativa $\Delta$ | Escollida sobre la base de l'experiència en el camp
concret d'aplicació. | +| 3) potència desitjada en el
punt a distància $\Delta$ | Si no es té un criteri definit, s'ha de prendre $\beta=0.8$ per
a $\alpha=0.05$. | + +Amb aquestes tres quantitats es podrà deduir usualment la grandària de mostra necessària, que completaria el disseny essencial del test. La informació final del resultat del contrast ha d'indicar aquestes tres quantitats juntament amb el p-valor obtingut. Resulta molt aconsellable acompanyar el test amb l'interval de confiança equivalent, que pot orientar sobre la significació aplicada (no estadística) del contrast. + +### Significació estadística i significació aplicada + +Al final d'aquest tema resulta convenient distingir entre significació estadística i significació aplicada. Quan es resol un contrast d'hipòtesis s'indica que hi ha significació estadística (S.E.) com a sinònim d'acceptació de la hipòtesi alternativa. Al llarg d'aquest tema s'ha vist, en síntesi, que la S.E. es produeix quan les dades obtingudes en l'experiment real i la hipòtesi nul•la presenten una discrepància que no és atribuïble a l'atzar, excepte en el percentatge de casos marcat pel nivell de significació escollit. + +Usualment, el límit entre la S.E. i la no-significació (que tècnicament correspon a la frontera de la regió crítica) depèn de la variabilitat de l'estadístic de test utilitzat. Aquí intervé doncs de manera directa la grandària de la mostra $N$ i la variància de l'estadístic, com també s'ha vist en els dos casos presentats. + +En determinades situacions, la variabilitat de l'estadístic és molt petita, de manera que el contrast és molt sensible a desviacions petites de la hipòtesi nul lla. Pot succeir aleshores que, quan s'obtenen les dades, el contrast assenyali que hi ha S.E., però que la desviació respecte a la hipòtesi nul•la sigui irrellevant des del punt de vista pràctic. La conclusió és que convé analitzar aquesta significació aplicada (S.A.) quan es fa un contrast d'hipòtesis. En molts casos, la manera més senzilla és obtenir l'interval de confiança adequat i interpretar la informació del contrast juntament amb la de l'interval. + +En resum, quan s'aplica un contrast qualsevol no ens hem de conformar amb la simple lectura del p-valor i decidir en correspondència, sinó que: + +- si s'ha detectat S.E., cal valorar la S.A., per exemple, mitjançant un interval de confiança. Pot ser que hi hagi S.E. però que no hi hagi S.A. +- si no s'ha detectat S.E., cal valorar si la grandària de la mostra és suficient per detectar (estadísticament) les diferències desitjades per l'experimentador. Pot ser que no hi hagi S.E. per una mida inadequada de la mostra i, per tant, no es podria concloure sobre la S.A. Si la grandària de la mostra és suficient i no hi ha S.E., aleshores tampoc no hi ha S.A. + + +#### Cas 2: Significació estadística i aplicada + +Amb les dades realment obtingudes en l'estudi, i la hipòtesi: + +$$ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +$$ + +ja hem vist que la conclusió, per a $\alpha=0.05$, era indicar que hi ha significació estadística. + +Suposem que els fisiòlegs accepten que les diferències en el nivell d'hormona són rellevants quan hi ha més de $0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ de diferència en la mitjana de la població. L'interval bilateral en la mostra anterior és: +i permet afirmar que també hi ha significació aplicada. +Suposem que la població tingués una desviació estàndard de $0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}$ (en lloc de la 2.4 plantejada fins ara), i s'hagués obtingut una mitjana igual a 7.13. El contrast d'hipòtesis detectaria aleshores igualment que hi ha S.E., però en canvi quan s'observa l'interval de confiança: + +S'hauria de concloure que no hi ha S.A. En aquest segon cas, la variància tan petita permet que el contrast sigui molt sensible a petites variacions de la mitjana. La S.E. en aquest últim exemple no resulta rellevant en la pràctica. + diff --git a/docs/404.html b/docs/404.html index de6f561..2e80796 100644 --- a/docs/404.html +++ b/docs/404.html @@ -23,7 +23,7 @@ - + @@ -146,11 +146,8 @@
  • Prerequisitos y organización del material
  • Referencias
    • - -
  • Agradecimiento y fuentes utilizadas -
  • 1 Probabilidad y Experimentos aleatorios
    • -
  • 1.11 Frecuencia relativa y probabilidad
    • +
  • 1.11 Frecuencia relativa y probabilidad +
  • 1.12 Caso de Estudio: Eficacia de una prueba diagnóstica
  • Objetivo
    • + + +
    + +
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    +

    Contrastes de Hipótesis

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    Author
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    Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia

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    Published
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    December 15, 2024

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    1 Verificació d’hipòtesis

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    Abans d’introduir els conceptes associats al contrast estadístic d’hipòtesis, és convenient situar aquest tema en el context més general de la confirmació d’hipòtesis, matèria que la filosofia de la ciència estudia en profunditat. Així doncs, en aquest punt només es plantegen consideracions generals, deixant pels següents com aborda l’Estadística aquest tema.

    +

    Una qüestió essencial en qualsevol branca de la ciència -bàsica o aplicada- és com verificar hipòtesis sobre un determinat fenomen real. Nombroses vegades, quan s’exposa aquest tema a l’estudiant durant les primeres etapes de la seva formació científica, l’anomenat mètode de raonament científic, es simplifica en excés, presentant la verificació d’hipòtesis en termes absoluts. En aquest esquema simplificat del mètode científic s’exposa com teoritzar sobre un determinat aspecte de la realitat més o menys de la forma següent:

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      1. es formula una teoria (o una hipòtesi, o una llei, …) sobre el fenomen d’estudi
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      1. es fa el disseny d’un experiment per tractar de corroborar aquesta teoria
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      • +
      1. si els resultats de l’experiment concorden amb la teoria, aquesta es dóna provisionalment com a vàlida
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      • +
      • +
      1. si l’experiment contradiu la teoria, es torna a l’apartat a), es modifica la llei o se n’elabora una de nova, per tal que s’ajusti a la realitat experimental.
        2. +
      • +
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      1. qualsevol teoria relacionada amb aspectes de la realitat és sempre provisional, pendent de ser revisada en entrar en conflicte amb resultats d’experiments posteriors.
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      • +
    +

    Aquesta forma de procedir -com veurem, excessivament simplista- es basa doncs en el fet d’assumir que en qualsevol experiment s’obtindran resultats que seran o bé totalment contradictoris amb la teoria (i per tant s’haurà d’abandonar immediatament) o bé concordants amb la teoria (i per tant resulta raonable mantenir-la).

    +

    Abans s’ha qualificat aquest mètode de validació com a absolut: si obviem el possible error experimental, la decisió que es prengui no comportarà cap error, ja que és suficient verificar els resultats de l’experiment per acceptar o refusar la teoria.

    +

    Ha de quedar clar al lector que l’esquema anterior no és el d’un contrast estadístic, i de fet el desenvolupament d’aquest tema s’encarregarà de revisar-ho. En els pròxims apartats s’exposarà, per començar, una primera idea fonamental en Estadística: quan s’introdueix un model de probabilitat per explicar un fenomen, emergeix inevitablement un error ja en la mateixa presa de decisió. En altres paraules, l’esquema anterior s’ha de revisar en els punts c) i d).

    +

    Una vegada s’han exposat aquestes qüestions fonamentals en els primers punts del capítol, entrarem al nucli d’aquest tema que consisteix en el desenvolupament ja purament tècnic del contrast estadístic d’hipòtesis.

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    2 Del llenguatge natural a la hipòtesi paramètrica

    +

    És necessari considerar, abans d’afrontar la validació estadística d’una hipòtesi, com es planteja aquesta en termes estadístics, ja que la seva formulació exigeix una traducció del llenguatge natural.

    +

    Potser convindria recordar que una hipòtesi sobre un determinat fenomen es formula en llenguatge natural com una proposició sobre la realitat. Per exemple, si es considera una determinada espècie d’ocells, una hipòtesi és que la proporció de mascles és idèntica a la de femelles. Un segon exemple, si el problema tracta ara sobre una determinada hormona humana, és proposar com a hipòtesi que la taxa es manté constant quan se subministra un fàrmac anabolitzant.

    +

    Statmedia inclou bàsicament una inferència basada en l’estadística paramètrica. En relació amb aquesta perspectiva, els fenòmens reals es modelen segons una determinada llei de probabilitat: per exemple una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc.

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    Això comporta que en estadística paramètrica les proposicions -hipòtesis- es formulin en funció dels paràmetres del model de distribució que modelen aquell aspecte de la realitat.

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    Aquest és per tant el primer esforç que ha de realitzar l’experimentador: traslladar les seves hipòtesis, que generalment expressa en llenguatge natural, a afirmacions (proposicions) sobre paràmetres, que és la forma en que l’estadística paramètrica comprova les hipòtesis.

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    En els casos pràctics següents, la solució completa dels quals es veurà al llarg del capítol, es presenten dues situacions diferents.

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    +

    2.1 Cas 1: Presentació del cas

    +

    Dos coneguts ornitòlegs, especialistes en aus autòctones de l’Amazones Central, discrepen sobre la interpretació de les dades d’una nova espècie de cacatua que ha ressenyat un d’ells. La discussió la centrarem aquí en una de les variables de l’estudi: la proporció de femelles i mascles en els nius. És important precisar que aquestes cacatues es caracteritzen per incubar un sol ou per niu.

    +

    El Dr. da Souza Faria ha censat deu nius, les dades dels quals es detallaran després. Segons la seva experiència, aquesta espècie té una gran semblança amb una altra espècie millor estudiada, amb una proporció idèntica de mascles i femelles. Recolzat per les dades obtingudes, conclou que també la nova espècie té la mateixa proporció d’individus de cada sexe.

    +

    El Dr. Calves discrepa en aquesta apreciació i manté que la proporció ha de ser de sis femelles per cada 4 mascles.

    +
    +
    +

    2.2 Cas 1: Model de probabilitat

    +

    El Dr. da Souza Faria ha comptat en 10 nius el nombre de femelles (complementàriament, el de mascles). La variable és, per tant, discreta i el seu suport és el conjunt \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\).

    +

    Si assumim que el possible naixement de femelles és independent entre nius, i definim:

    +

    \[ +X=\text { nombre de femelles en un total de } 10 \text { nius. } +\]

    +

    la distribució de \(X\) és una distribució binomial, de paràmetres \(n=10\) i \(p\) desconeguda.

    +

    \[ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +\]

    +

    l’únic paràmetre desconegut és la proporció \(\boldsymbol{p}\) de femelles. Les hipòtesis estadístiques es referiran només a \(p\).

    +
    +
    +

    2.3 Cas 2: Presentació del cas

    +

    En el món de l’esport professional es controlen amb molta precisió alguns metabòlits que apareixen en baixes concentracions en condicions normals. Aquest és el cas de la statdrolona(*), que en individus normals presenta una concentració mitjana de 7.0 nanograms per ml d’orina. Aquest valor s’ha establert mitjançant una mostra molt gran d’esportistes després d’anys d’anàlisis abans, durant i després de competicions. Així mateix, s’ha descrit que la desviació estàndard és de \(\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}\). Aquests dos valors poblacionals serveixen com a justificació mèdica a les autoritats esportives per declarar quan la taxa de statdrolona s’associa a un presumpte dopatge.

    +

    No obstant això, un estudi recent encarregat per l’associació d’esportistes ADG a un prestigiós departament universitari de fisiologia propugna que, quan es mesura la concentració de statdrolona en individus no dopats amb un cert tipus d’aliments sobreabundants en la seva dieta (formatge parmesà, per exemple), el valor de la mitjana poblacional és de l’ordre de \(\mathbf{1 . 5}\) unitats més gran. En canvi, la desviació estàndard poblacional es manté en el valor \(2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), és a dir, equivalent a la normal. Si aquesta hipòtesi fos certa, permetria explicar alguns dels falsos positius detectats en els últims temps. Com a prova experimental aporten una sèrie de dades sobre 16 esportistes que es detallaran més endavant. (*) La statdrolona no és cap hormona, s’ha adaptat aquí la informació d’hormones reals.

    +
    +
    +

    2.4 Cas 2: Model de probabilitat

    +

    L’anàlisi de la concentració de statdrolona es mesura en termes de nanograms per \(\mathrm{mil} \cdot\) lilitre, per tant, sembla raonable considerar-la com una variable contínua. El conjunt de resultats possibles serà un subconjunt dels reals.

    +

    Amb moltes altres variables antropomètriques, la concentració es pot associar a la distribució Normal. Es pot justificar l’adopció d’aquest model d’acord amb el teorema central del límit.

    +

    Segons les autoritats esportives, els valors en un esportista no dopat han de correspondre a una mitjana de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mentre que per a ADG la mitjana pot ser major en algunes circumstancies. En qualsevol cas la variable:

    +

    \[ +X=\text { concentració de statdrolona en un esportista. } +\]

    +

    s’acceptarà que té distribució Normal. Així, la discussió se centrarà només en el paràmetre \(\mu\) desconegut, mentre que la desviació estàndard es prendrà, per simplificar l’explicació, com a \(\sigma=2.4\) (coneguda), encara que se sap que és més realista seleccionar-la com a desconeguda (vegeu més endavant el tema 10).

    +

    La fórmula de la densitat Normal:

    +

    \[ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

    +

    indica per aquest cas que l’únic paràmetre desconegut és la mitjana de la població \(\boldsymbol{\mu}\), a la que es referiran les hipòtesis estadístiques.

    +

    Ara bé, també resulta important descriure la densitat de la mitjana dels setze esportistes, ja que jugarà un paper important en la construcció del test. Si acceptem la distribució \(\mathrm{N}(\mu, 2.4)\) per un esportista, i considerem que el mostratge és aleatori simple, aleshores:

    +

    \[ +\bar{X}_{16}=\text { mitjana concentració statdrolona en } 16 \text { esportistes } +\]

    +

    que tindrà una densitat de la forma:

    +

    \[ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +\]

    +

    Simplificant 2.4 per l’arrel quadrada de 16 resulta 0.6 , així doncs:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

    +

    Una expressió més general per a tot \(n\) seria:

    +

    \[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

    +

    La densitat per a tot \(n\) és:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

    +

    I una expressió per a tot \(n\) i qualsevol variància és:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +\]

    +
    +
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    +

    3 Hipòtesi nul•la contra hipòtesi alternativa

    +

    Un contrast d’hipòtesis estadístic es planteja com una decisió entre dues hipòtesis. La hipòtesi nul•la consisteix en una afirmació sobre la població d’origen de la mostra. Usualment és més simple (menor nombre de paràmetres, per exemple) que la seva antagonista. La hipòtesi nul lla es designa amb el símbol \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\).

    +

    La hipòtesi alternativa és igualment una afirmació sobre la població d’origen. Moltes vegades, encara que no sempre, consisteix simplement en negar l’afirmació de \(\mathrm{H}_{0}\). La hipòtesi alternativa es designa amb el símbol \(\mathbf{H}_{1}\).

    +

    De moment tractarem el cas més senzill, en el qual les dues hipòtesis fan referència a un únic valor del paràmetre. En aquesta situació general, les hipòtesis es refereixen a un paràmetre \(\theta\) (theta). La formulació és:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +\]

    +

    En la teoria del contrast d’hipòtesis aquest tipus de plantejament es coneix com contrast d’hipòtesis simple contra simple. Així doncs, una hipòtesi simple postula que el paràmetre \(\theta\) només pot prendre un valor, o, més tècnicament, que el conjunt de paràmetres d’una hipòtesi simple consisteix en un sol punt.

    +
    +

    3.1 Cas 1: Hipòtesi per dirimir la controvèrsia sobre el nombre de femelles

    +

    El Dr. da Souza Faria postula la mateixa proporció per mascles i femelles. En termes de la proporció de la variable \(X\) ( \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}}\) de femelles en 10 nius) això equival a la hipòtesi que la proporció (en la població) és \(\mathbf{0 . 5}\).

    +

    En canvi, segons el Dr. Calves la proporció és 6:4 a favor de les femelles, i per tant equival a la hipòtesi que el paràmetre \(p\) en la variable Binomial és 0.6.

    +

    Així doncs, si \(X\) és el nombre de femelles en 10 nius, i \(p\) és la proporció de femelles, la forma final del contrast és:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +\]

    +

    Respecte a les dades obtingudes per da Souza són:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    NiuPolletNiuPollet
    1femella6mascle
    2mascle7femella
    3femella8femella
    4femella9mascle
    5mascle10femella
    +

    En resum, ha observat que en \(\mathbf{6}\) dels nius hi ha una femella.

    +
    +
    +

    3.2 Cas 2: Hipòtesi a contrastar en el problema de la taxa de statdrolona

    +

    Les autoritats esportives postulen una mitjana de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mentre que ADG indica una mitjana de \(8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) per als individus sotmesos a aquest tipus de dieta. Per tant, en síntesi el contrast consistirà en:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +\]

    +

    tant per \(\mathrm{H}_{0}\) com per \(\mathrm{H}_{1}\) el model contempla \(\sigma=2,4\). Les dades de l’estudi que ha obtingut l’associació ADG, i que segons ells recolzaven la seva tesis, han estat les següents:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    IndividuConcentracióIndividuConcentració
    110.4797.01
    25.391011.36
    36.701110.11
    49.91125.89
    55.991310.39
    611.671410.67
    76.23156.89
    86.691611.27
    +

    La mitjana aritmètica dels 16 atletes és \(\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\).

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    +
    +
    +

    4 Compatibilitat de resultats i d’hipòtesis

    +

    Tornant a la qüestió fonamental de la verificació d’hipòtesis, un resultat incompatible amb una hipòtesi és aquell que no pot haver-se produït de cap de les maneres si aquesta hipòtesi és certa.

    +

    En aquest sentit, incompatible és sinònim de impossible. En termes de probabilitat, un resultat incompatible és aquell que té probabilitat zero de produir-se si la hipòtesi és certa. La lògica elemental indica que si s’obté un resultat incompatible amb una hipòtesi, aquesta última és forçosament falsa.

    +

    Ara bé, quan es pren un model aleatori per tal d’explicar el fenomen observat, el caràcter probabilístic del model habitualment evita que es descarti qualsevol hipòtesi per haver obtingut dades que hi son incompatibles.

    +

    Al contrari, tots els resultats seran estrictament compatibles amb les dues hipòtesis, o dit d’una altra manera, qualsevol conjunt de dades que s’obtingui en l’estudi es pot arribar a observar tant sota \(\mathrm{H}_{0}\) com sota \(\mathrm{H}_{1}\). Això trenca l’esquema excessivament simple exposat abans en la verificació ideal d’hipòtesis.

    +

    En definitiva, si es modela la realitat com un fenomen aleatori, s’ha d’abandonar la idea de la presa de decisions basada només en una inspecció de resultats que descarti sense error en la presa de decisió una de les dues hipòtesis.

    +
    +

    4.1 Cas 1: Compatibilitat de resultats i d’hipòtesis

    +

    El Dr. da Souza Faria ha obtingut una mostra de 6 femelles i 4 mascles en els 10 nius. Tanmateix, aquest és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi nul•la. Si hagués escollit com a mostra altres nius, podria haver trobat un altre nombre de femelles.

    +

    Com ja hem vist, \(X\) ( \(\mathrm{n}^{\circ}\) de femelles en 10 nius) és una \(\operatorname{Binomial}(10,0.5)\). En la taula següent es detallen els resultats que podien haver succeït sota \(\mathrm{H}_{0}\), juntament amb la probabilitat d’obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial:

    +

    Igual que per \(\mathrm{H}_{0}\), la mostra obtinguda pel Dr. da Souza Faria amb 6 femelles i 4 mascles és només un dels resultats possibles que es podien donar sota la hipòtesi alternativa. En aquest cas \(X\) ( \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}}\) de femelles en 10 nius) és una \(\operatorname{Binomial}(10,0.6)\).

    +

    En la taula següent es detallen els resultats que podien haver esdevingut sota \(\mathrm{H}_{1}\), juntament amb la probabilitat d’obtenir-los segons la fórmula de la densitat binomial.

    +

    Consultant Statmedia en el seu format Html es pot comprovar quines probabilitats tenen els onze resultats sota d’altres hipòtesis que es podrien formular sobre el veritable valor de la probabilitat \(p\) de la població. Podem entendre aquestes diferents ” \(p\) ” com a hipòtesis diferents que es podrien haver establert com a alternativa a \(\mathrm{H}_{0}\). Excepte en els casos trivials \(p=0\) o \(p=1\), no hi ha cap resultat que no es pugui presentar, encara que sigui amb probabilitats molt petites.

    +
    +
    +

    4.2 Cas 2: Compatibilitat de resultats i d’hipòtesis

    +

    L’associació ADG ha obtingut una mostra de mitjana \(8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de statdrolona per a 16 esportistes. Ja hem vist en el model de probabilitat quina densitat associem amb la variable de cada esportista i amb la mitjana de tots ells. Cal recordar que una variable contínua té probabilitat zero d’obtenir un resultat puntual i que les probabilitats en variables contínues es calculen sobre intervals. Així doncs el valor 8.54 s’ha d’interpretar com un interval, ja que les mesures dels esportistes individualment corresponen en realitat a un cert interval de precisió experimental (per exemple, 0.3 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) ). El valor 8.54 triat com a marca d’un cert interval no és incompatible en absolut amb la hipòtesi nul lla. De fet és possible obtenir qualsevol mitjana.

    +

    En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota \(\mathrm{H}_{0}\) expressades en termes de la funció de distribució. La mitjana dels 16 resultats correspon a una Normal (7.0, 0.6). En la taula dreta es detallen les probabilitats per intervals d’amplada \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) més propers a la mitjana sota \(\mathrm{H}_{0}\).

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Mitiana \((x)\)Prob. \(X=\mathrm{X}=\mathrm{X}\)
    5,80.0228
    6,10.0668
    6,40.1587
    6,70.3085
    70.5000
    7,30.6915
    7,60.8413
    7,90.9332
    8,20.9772
    8,50.9938
    8,80.9987
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Mitiana pernProb. Interval
    \(\leq 5,8\)0.0228
    \([5,8 ; 6,1]\)0.0441
    \([6,1 ; 6,4]\)0.0918
    \([6,4 ; 6,7]\)0.1499
    \([6,7 ; 7]\)0.1915
    \([7 ; 7,3]\)0.1915
    \([7,3 ; 7,6]\)0.1499
    \([7,6 ; 7,9]\)0.0918
    \([7,9 ; 8,2]\)0.0441
    \([8,2 ; 8,5]\)0.0165
    \([8,5 ; 8,8]\)0.0049
    +

    En el cas de \(\mathrm{H}_{1}\) tampoc no és incompatible cap mitjana, i per tant en particular no ho és el valor 8.54. Ara la densitat de la mitjana dels 16 valors és una variable aleatòria Normal \(\mathrm{N}(8.5,0.6)\). En la taula esquerra es detallen les probabilitats de diferents resultats que podien haver succeït sota \(\mathrm{H}_{1}\) expressades en termes de la funció de distribució. En la taula de la dreta es mostren les probabilitats per intervals d’amplada de \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) :

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Mitjana \((\mathrm{x})\)Prob. \(\mathrm{X} \leqslant=\mathrm{x}\)
    6,70.0013
    70.0062
    7,30.0228
    7,60.0668
    7,90.1587
    8,20.3085
    8,50.5000
    8,80.6915
    9,10.8413
    9,40.9332
    9,70.9772
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Mitiana pernProb. Interval
    \(\leq 6,7\)0.0013
    \([6,7 ; 7]\)0.0049
    \([7 ; 7,3]\)0.0165
    \([7,3 ; 7,6]\)0.0441
    \([7,6 ; 7,9]\)0.0918
    \([7,9 ; 8,2]\)0.1499
    \([8,2 ; 8,5]\)0.1915
    \([8,5 ; 8,8]\)0.1915
    \([8,8 ; 9,1]\)0.1499
    \([9,1 ; 9,4]\)0.0918
    \([9,4 ; 9,7]\)0.0441
    +
    +
    +
    +

    5 No tot és igualment probable…

    +

    La segona consideració fonamental en un contrast d’hipòtesis estadístic és que no tots els resultats són igualment probables sota \(\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}\). Aquest és el principal argument per tal d’establir un criteri de decisió -una regla- que permeti decidir en la pràctica si és acceptable \(\mathrm{H}_{0}\) o bé \(\mathrm{H}_{1}\).

    +

    La idea provisional que ha de guiar al lector en aquest moment quan s’inspeccionen els casos pràctics és que els resultats (molt) improbables sota una certa hipòtesi mostren que aquesta segurament no és vàlida. Així doncs, en el contrast estadístic d’hipòtesis no hi ha resultats impossibles, només improbables, i per tant en les decisions s’introdueix forçosament una probabilitat d’error.

    +
    +

    5.1 Cas 1: Una regió amb \(n^{0}\) femelles amb baixa probabilitat sota \(\mathrm{H}_{0}\)

    +

    Hem vist abans les probabilitats d’obtenir cadascun dels resultats possibles per \(X\) : \(0,1, \ldots\), fins a 10 femelles. El sentit comú indica que si s’obtenen valors de X propers a 0 o a 10 , la hipòtesi \(p=0.5\) és aleshores poc versemblant.

    +

    És important entendre que el veritable valor de \(p\) (el valor en la població) no és, ni serà mai, conegut en la pràctica, només formulem hipòtesis sobre aquest valor.

    +

    Vegem quina és la probabilitat d’obtenir valors majors que 8 femelles. Per abreujar, designem la regió de valors majors o iguals a 8 amb el símbol \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\).

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de \(X\)Prob. \(X>=X\)
    01.0000
    10.9990
    20.9893
    30.9453
    40.8281
    50.6230
    60.3770
    70.1719
    80.0547
    90.0107
    100.0010
    +
    +
    +

    5.2 Cas 2: Mitjanes de les taxes de statdrolona improbables si es compleix \(\mathrm{H}_{0}\)

    +

    De la mateixa manera que s’ha raonat per al cas 1 , en aquesta ocasió amb les dues hipòtesis ( \(\mu=7\) contra \(\mu=8.5\) ) que tenim en el cas de la detecció de l’statdrolona, el sentit comú indica que si obtenim una mitjana de statdrolona en els 16 atletes allunyada del valor de referència 7 , farà inversemblant la hipòtesi nul•la.

    +

    En la taula següent es mostren les probabilitats d’obtenir valors majors que 7 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\). Observem particularment la regió de valors majors que 7.9869 , que es representarà amb el símbol \(\mathrm{W}_{\alpha}\). Expressada com a interval, \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)\).

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Miljana \((x)\)Prob. \(X=x\)
    6,5060.7946
    6,6710.7083
    6,8350.6080
    70.5000
    7,1650.3920
    7,3290.2917
    7,4940.2054
    7,6580.1364
    7,8230.0852
    7,9870.0500
    8,1520.0275
    +
    +
    +
    +

    6 El paper privilegiat de la hipòtesi nul•la: criteri de decisió

    +

    Un contrast estadístic d’hipòtesis consta forçosament d’un criteri de decisió. En resum, consisteix en una regla operativa que divideix en dues parts disjuntes l’espai mostral. Aquestes parts son anomenades regió crítica i regió d’acceptació respectivament. En qualsevol test estadístic, si la mostra obtinguda pertany a la regió crítica, s’ha d’acceptar \(\mathrm{H}_{1}\). En cas contrari, si pertany a la regió d’acceptació, s’acceptarà \(\mathrm{H}_{0}\).

    +

    Un primer principi bàsic consisteix a prioritzar en el criteri de decisió \(\mathrm{H}_{0}\), en el sentit següent: es construeix el criteri fixant a priori la probabilitat d’error associada amb el fet de refusar -erròniament- \(\mathrm{H}_{0}\). A fi que el criteri de decisió sigui raonable ha de resultar improbable obtenir una mostra que pertanyi a la regió crítica quan sigui certa \(\mathrm{H}_{0}\). En l’exemple següent es proposarà una regla de decisió provisional.

    +
    +

    6.1 Cas 1: \(N^{\circ}\) de nius proposats ad hoc com inici de regió crítica. Regla de decisió resultant

    +

    Definirem la regió crítica de la manera següent:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

    +

    Per tant, la regió d’acceptació serà:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +\]

    +

    El criteri de decisió serà per tant:

    +
      +
    • si el nombre de femelles és major o igual que 8 , s’accepta \(\mathrm{H}_{1}\) (la probabilitat de femelles és 0.6)
      • +
    • si el nombre de femelles és menor o igual que 7 , s’accepta \(\mathrm{H}_{0}\) (la probabilitat de femelles és 0.5 )
      • +
    +

    És important entendre en aquest moment que es proposa ad hoc la regió crítica. Més endavant es justificarà perquè aquesta proposta és raonable.

    +

    Nota: en la mostra obtinguda s’han observat 6 femelles, per tant da Souza ha d’acceptar \(\mathrm{H}_{0}\).

    +
    +
    +
    +

    7 Hipòtesi nul•la i nivell de significació

    +

    S’ha indicat anteriorment que, en els contrastos estadístics, la hipòtesi nul la juga un paper privilegiat, ja que la regla de decisió s’ajusta d’acord a la probabilitat d’equivocar-se en rebutjar \(H_{0}\) quan aquesta és certa.

    +

    Aquesta probabilitat es designa de forma equivalent com:

    +
      +
    • error de tipus I (o de primera espècie)
      • +
    • nivell de significació del contrast i usualment se simbolitza amb la lletra grega alfa. El nivell de significació es pot definir equivalentment de les dues maneres següents:
      • +
    • \(\alpha=\) probabilitat de rebuig d’ \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), quan \(\mathrm{H}_{0}\) és certa
      • +
    • \(\alpha=\) probabilitat que la mostra pertanyi a la regió crítica, quan \(\mathbf{H}_{0}\) és certa.
      • +
    +
    +

    7.1 Cas 1: Nivell de significació

    +

    En l’apartat 9.5 . 1 s’ha indicat la taula resultant dels càlculs de la cua dreta de la Binomial, quan es verifica la hipòtesi nul•la \((p=0.5)\). Com la definició de nivell de significació és:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +\]

    +

    en la fila corresponent a prob \((\mathrm{X} \geq 8)\) de la taula anterior es pot observar la probabilitat de rebutjar \(\mathrm{H}_{0}\) quan aquesta és certa (vegeu el criteri de decisió adoptat a l’apartat 9.6.1).

    +

    Simbòlicament hem calculat:

    +

    \[ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +\]

    +

    Resulta doncs: \(\quad \alpha=0.0547\).

    +
    +
    +

    7.2 Cas 1: Elecció de la regió crítica

    +

    S’ha proposat abans, de forma directa, la regió crítica:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

    +

    Podem considerar ara una altra regió que ens proporcionaria un nivell de significació idèntic (veure taula de probabilitats sota \(\mathrm{H}_{0}\) ):

    +

    \[ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +\]

    +

    Ara bé, un criteri de decisió basat en \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}\) és absurd, tenint en compte que \(\mathrm{H}_{1}\) és \(p=0.6\). Vegem perquè.

    +

    El valor \(\alpha=0.0547\) indica que és improbable obtenir menys de 3 femelles sota \(\mathrm{H}_{0}\). Si es tria \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) com a regió crítica, implica acceptar \(\mathrm{H}_{1}\) quan el nombre de femelles és menor que 3. No obstant això, quan es consulta la taula de probabilitats sota \(\mathrm{H}_{1}\), resulta: prob. (nombre femelles \(<3 / \mathrm{H}_{1}\) certa \()=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123\) És, per tant, encara més improbable obtenir 3 femelles sota \(\mathrm{H}_{1}\). En altres paraules, \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) indueix un criteri absurd, ja que portaria a acceptar la hipòtesi més inversemblant de les dues.

    +
    +
    +

    7.3 Cas 2: Elecció de la regió crítica

    +

    A continuació es defineixen les regions crítica i d’acceptació, respectivament, com:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{a}{ }^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +\]

    +

    El criteri de decisió serà, per tant: si el nivell de statdrolona és major o igual que 7.9869, s’accepta \(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}\) (el nivell és 8.5) Com en el cas 1 , també s’ha proposat la regió crítica de manera ad hoc. Si es consulten en la taula de l’apartat 9.5.2 els valors de la cua dreta de la Normal, com la definició de nivell de significació és:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob. mostra pertanyi a la regió crítica, quan } \mathbf{H}_{0} \text { és certa } +\]

    +

    en la fila corresponent a prob ( \(\mathrm{X}>=7.987\) ) de la taula es pot observar la probabilitat de rebutjar \(\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)\) quan aquesta és certa. Simbòlicament hem calculat:

    +

    \[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

    +

    on \(F_{z}\) és la funció de distribució de la Normal tipificada \(N(0,1)\). La regió crítica \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\) porta associat un nivell de significació \(\alpha=0.05\). Ara bé, com que l’estadístic mitjana mostral és una variable contínua, concretament Normal, es poden trobar infinites regions que satisfan la condició

    +

    \[ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{mostra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +\]

    +
    +
    +
    +

    8 Regió crítica i formalització del contrast

    +

    La regla de decisió queda definida sempre (encara que sigui implícitament) a partir d’una regió crítica. A aquesta regió crítica li correspon un determinat nivell de significació. La informació continguda en la mostra es resumeix mitjançant un estadístic de test, així que una pràctica habitual és definir la regió crítica en funció de l’estadístic de test emprat. Un estadístic de test és una variable aleatòria i, com a tal, té associada una llei de distribució que juga un paper capital en el contrast.

    +

    Reunint els conceptes, en un contrast d’hipòtesi \(\mathrm{H}_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{1}\), tenim:

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivell de significació, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { regió crítica, subconjunt de l'espai mostral definit a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +\]

    +

    Regla de decisió:

    +
      +
    • si la mostra pertany a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) aleshores rebutjar \(\mathrm{H}_{0}\)
      • +
    • si la mostra no pertany a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) aleshores rebutjar \(\mathrm{H}_{1}\)
      • +
    +

    Finalment:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob.(rebutjar } H_{0} / H_{0} \text { certa) = prob.(mostra pertanyi a } W_{\alpha} / H_{0} \text { certa) } +\]

    +
    +

    8.1 Cas 1: Resum de conceptes associats al contrast. Regió crítica

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Regió crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\)
    Regió d’acceptació\(\mathrm{W}_{\alpha}{ }^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\)
    Estadístic de test\(\mathrm{T}=\) nombre de femelles totals en els 10 nius
    Criteri de decisió:
    acceptar \(\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T} \geq 8\)
    acceptar \(\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T} \leq 7\)
    Nivell de significació\(\alpha=0.0547\)
    +

    La distribució de l’estadístic de test T és una Binomial B (10, p). Es pot adoptar un estadístic alternatiu: la freqüència relativa \(=\mathbf{f r}\) de nombre de femelles en els 10 nius.

    +
    +
    +

    8.2 Cas 2: Taula resum de la regió crítica, l’estadístic de test i del criteri de decisió

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Regió crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\)
    Regió d’acceptació\(\mathrm{W}_{\alpha} \mathrm{C}=(-\infty, 7.9869)\)
    Estadístic de test\(\mathrm{T}=\) mitjana de statdrolona en 16 atletes
    Criteri de decisió:
    acceptar \(\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
    acceptar \(\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T}<7.9869\)
    Nivell de significació\(\alpha=0.05\)
    +

    La distribució de l’estadístic de test T sota \(\mathrm{H}_{0}\) és una normal \(\mathrm{N}(7,0.6)\).

    +
    +
    +
    +

    9 Taula de decisió del contrast

    +

    Quan es resol un contrast la decisió final pot ser correcta o bé conduir a un error. En aquesta taula es presenten les quatre possibles situacions que es poden produir:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Hipòtesi veritable
    Hipòtesi acceptada\(\mathrm{H}_{0}\)\(\mathrm{H}_{1}\)
    \(\mathrm{H}_{0}\)-error tipus II
    \(\mathrm{H}_{1}\)error tipus I-
    +

    Existeix, per tant, un segon tipus d’error, designat com a error de tipus II o de segona espècie. Es pot definir de manera equivalent per a qualsevol de les dues expressions següents:

    +
      +
    • \(1-\beta=\) probabilitat de rebutjar \(\mathrm{H}_{1}\), quan \(\mathrm{H}_{1}\) és certa
      • +
    • \(1-\beta=\) probabilitat que la mostra no pertanyi a la regió crítica, quan \(\mathbf{H}_{1}\) és certa
      • +
    +

    En realitat només una de les hipòtesis és veritable. Una vegada s’obtingui la mostra, s’acceptarà o es rebutjarà \(\mathrm{H}_{1}\) segons el criteri de decisió. Si es decideix de manera equivocada, es produirà només un dels dos errors, segons quin sigui la hipòtesi veritable. És a dir, a posteriori es produeix, com a molt, només un dels errors.

    +

    Ara bé, el contrast es porta a terme precisament perquè s’ignora quina de les dues hipòtesis és la veritable. Com a conseqüència, sense que això contradigui el paràgraf anterior, els dos errors tenen importància a priori.

    +

    Un contrast serà més adequat si son menors els dos errors associats.

    +
    +

    9.1 Cas 1: Avaluació dels dos errors associats al contrast

    +

    El criteri de decisió que s’ha adoptat per a aquest cas consisteix en:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    acceptar \(\mathrm{H}_{1} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T} \geq 8\)
    acceptar \(\mathrm{H}_{0} \mathrm{si}\)\(\mathrm{T} \leq 7\)
    Nivell de significació\(\alpha=0.0547\)
    +

    Suposem que \(\mathrm{H}_{1}\) és certa, és a dir, que \(p=0,6\). En la taula següent podem trobar el valor de l’error de tipus II:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de \(X\)Prob. \(X<=\mathrm{X}\)
    00.0001
    10.0017
    20.0123
    30.0548
    40.1662
    50.3669
    60.6177
    70.8327
    80.9536
    90.9940
    101.0000
    +

    \(1-\beta=\) prob. \(\left(\right.\) rebutjar \(H_{1} / H_{1}\) certa \()=\) prob. \(\left(T<=7 / H_{1}\right.\) certa \()=\mathbf{0 . 8 3 2 7}\) Simbòlicament correspon a calcular:

    +

    \[ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

    +
    +
    +

    9.2 Cas 2: Càlcul explícit dels errors de primera ( \(\alpha\) ) \(i\) segona espècie (1- \(\beta\) )

    +

    El criteri de decisió que s’ha triat per a aquest cas consisteix en:

    + + + + + + + + + + + + + +
    acceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
    Nivell de significació\(\alpha=0.05\)
    +

    Suposem que és certa \(\mathrm{H}_{1}\), és a dir, que \(\mu=8.5\). En la taula següent podem trobar el valor de l’error de tipus II:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Mitiana \((x)\)Prob. \(X==x\)
    5,9331.0000
    6,1890.9999
    6,4460.9997
    6,7030.9986
    6,960.9949
    7,2160.9838
    7,4730.9565
    7,730.9004
    7,9870.8040
    8,2430.6656
    8,50.5000
    +

    \(1-\beta=\) prob. \(\left(\right.\) rebutjar \(\mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\) certa \()=\) prob. \(\left(\mathrm{T}<7.9869 / \mathrm{H}_{1}\right)=1-0.8040=0.1960\) Simbòlicament, correspon a calcular:

    +

    \[ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{7.9869-8.5}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

    +
    +
    +
    +

    10 Relació entre l’error de tipus I i el de tipus II

    +

    És important entendre que no és possible reduir simultàniament els dos errors en un contrast d’hipòtesi.

    +

    Suposem que s’intenta reduir a zero el nivell de significació. Això equival a plantejar que la probabilitat que una mostra pertanyi a la regió crítica, en el cas que sigui certa \(\mathrm{H}_{0}\), és zero. En la majoria de situacions aplicades aquest fet dóna lloc a una regió crítica igual al conjunt buit, o el que és el mateix, provoca que s’accepti sempre \(\mathrm{H}_{0}\), independentment del resultat obtingut en la mostra. S’arriba per tant a la situació absurda de poder prescindir de la mostra, acceptant sempre \(H_{0}\) ! Així, reduir \(\alpha\) a zero té la greu contrapartida de rebutjar sempre \(\mathrm{H}_{1}\), que implica a la seva vegada que l’error de tipus II sigui un. De manera anàloga es pot raonar per un error de tipus II nul. En conclusió, els dos errors estan relacionats: disminuir \(\alpha\) comporta reduir la grandària de la regió crítica, i, per tant, augmentar 1- \(\beta\).

    +
    +

    10.1 Cas 1: Avaluació d’a i 1- \(\beta\) per a diferents regions crítiques

    +

    Una vegada s’especifica la regió crítica, els errors de tipus I i II queden determinats. En els dos quadres següents hi han dues regions crítiques i els seus errors associats. En la versió interactiva del document es pot canviar dinàmicament la regió crítica i es calculen automàticament els errors:

    +

    En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques. Per tal de simplificar la comprensió del gràfic, es consideren només regions de la forma \(\{a, a+1, \ldots 10\}\), on \(a\) és un enter entre 0 i 10 . Així, per exemple, el punt d’abscisses 8 representa la regió crítica \(\{8,9,10\}\). La hipòtesi alternativa considerada és \(p_{1}=0.6\), tal i com s’indica en la llegenda del gràfic.

    +
    +
    +

    10.2 Cas 2: Relació entre els errors de primera ( \(\alpha\) ) i segona espècie (1- \(\beta\) )

    +

    La relació entre els errors de tipus I i II és més fàcil d’interpretar en aquest cas, atès que la mitjana és un estadístic de distribució contínua. En els quadres següents es presenten dues regions crítiques i els errors associats, visualitzant l’àrea que representen. En la versió interactiva es pot modificar la regió crítica mitjançant el lliscador, i es calculen automàticament els dos errors visualitzant l’àrea que representa cadascun.

    +

    En el gràfic següent es representen els dos errors simultàniament. Prenent sempre la mateixa alternativa:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +\]

    +

    i per a cada regió crítica de la forma \([a,+\infty)\) es calculen \(\alpha\) i \(1-\beta\). En l’eix d’abscisses es representa l’extrem inferior (a) de les regions crítiques més rellevants, les pròximes a \(\mu_{0}\).

    +
    +
    +
    +

    11 Potència i test més potent

    +

    La potència d’un contrast es defineix com: \(\beta=\) prob.(acceptar \(H_{1} / H_{1}\) certa) = prob.(mostra pertanyi a \(W_{a} / H_{1}\) certa) és, per tant, la probabilitat complementària a l’error del tipus II. Reprenent idees anteriors, un contrast ha de pretendre un compromís raonable entre el nivell de significació (el més baix possible) i la potència (la més alta possible).

    +

    En principi, si hi ha diversos tests alternatius (basats en diferents regles de decisió i/o estadístics) per a resoldre un mateix contrast paramètric, el millor test serà aquell que, una vegada fixats \(\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1} \mathrm{i}\) el nivell de significació \(\alpha\), proporcioni la potència més alta d’entre tots ells.

    +

    Un test que tingui aquesta propietat es denomina test més potent. Simbòlicament, si \(m p\) designa el test més potent, haurà de complir:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(acceptar } \mathrm{H}_{1} \text { amb el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { certa) } +\end{aligned} +\]

    +

    on \(t\) és qualsevol altre test amb el mateix nivell de significació que \(m p\).

    +
    +

    11.1 Cas 1: Potència en hipòtesi simple vs simple

    +

    En la taula següent s’indica la probabilitat per a cadascun dels valors del suport. Es destaca en color diferent la regió crítica.

    +

    Es pot llegir aleshores que la potència és:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +\]

    +

    Simbòlicament hem calculat:

    +

    \[ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

    +

    Observem que coincideix amb el càlcul anterior de l’error de tipus II per a aquest exemple.

    +
    +
    +

    11.2 Cas 2: Potència en hipòtesi simple vs simple

    +

    Hem definit abans la regió crítica per a aquest cas. En el quadre següent es pot visualitzar els dos errors ( \(I=\) verd i II = taronja) i, opcionalment, la potència del test (regió groga).

    +

    La definició de potència aplicada a aquest cas resulta:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(\mathrm{X} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +\]

    +

    Simbòlicament hem calculat:

    +

    \[ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +\]

    +

    En el document interactiu s’especifica l’expressió per a tot \(n\).

    +
    +
    +
    +

    12 Efecte de la grandària mostral

    +

    Els contrastos òptims per a les situacions aplicades més habituals ja estan completament resolts, de manera que usualment l’experimentador només ha d’escollir el nivell de significació que desitgi, (veure per exemple el capítol de contrastos d’una població).

    +

    Una vegada escollit \(\alpha\) queden fixades tant la regió crítica com la potència del contrast. L’única manera d’aconseguir que un contrast millori la seva potència sense que repercuteixi en un augment excessiu d’ \(\alpha\) és incrementar la grandària mostral \(N\).

    +

    Augmentar \(N\) varia la llei de distribució de l’estadístic de test, i generalment en disminueix la variància. La conseqüència de mantenir \(\boldsymbol{\alpha}\) constant i incrementar \(N\) es tradueix en una millora de les propietats del test. Una pregunta crucial -oberta, de moment- és: quanta mostra fa falta?

    +
    +

    12.1 Cas 1

    +

    En el document interactiu es presenta un applet on es calcula l’error de tipus II quan augmenta N. Aquí només es presenta el gràfic on es representen els dos errors simultàniament per a diferents regions crítiques de la forma \(\{a, a+1, \ldots N\}\). La hipòtesi alternativa està indicada a la llegenda.

    +
    +
    +

    12.2 Cas 2

    +

    Veurem aquí només com afecta la grandària de mostra (per a \(N=16\) i \(N=30\) ) als dos errors, mantenint la regió crítica constant. En el document interactiu es poden consultar altres combinacions. En augmentar \(N\), les distribucions en el mostreig de la mitjana sota \(\mathrm{H}_{0}\) i \(\mathrm{H}_{1}\) presenten cada vegada un menor solapament.

    +

    En el gràfic següent s’observa l’efecte de \(N\) per a tot el rang de regions crítiques:

    +
    +
    +
    +

    13 Hipòtesis simples vs. hipòtesis compostes

    +

    Fins a ara hem tractat el cas més senzill de contrast: dues hipòtesis simples. En la pràctica, les situacions realment interessants comporten -almenys- una hipòtesi composta. Un dels contrastos d’hipòtesis més habituals consisteix en:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +\]

    +

    és a dir, la hipòtesi alternativa és la simple negació de la nul lla. Aquest contrast es coneix com el de l’alternativa bilateral.

    +

    Els conceptes d’estadístic de test, de regió crítica, de regió d’acceptació i de nivell de significació seguiran sent els mateixos. Ara bé, com es veurà a continuació, s’ha d’ampliar la definició de potència respecte al cas simple contra simple.

    +
    +

    13.1 Cas 1: Hipòtesis compostes

    +

    Canviant el plantejament inicial, suposem que la polèmica sobre la proporció de femelles en els nius és refereix a si és equitativa o no respecte al nombre de mascles. Les hipòtesis a verificar aleshores seran:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Observem primer que ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el cas simple contra simple, que en resum consistia en:

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Regió crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\)
    Estadístic de test\(\mathrm{T}=\) nombre de femelles totals en els 10 nius
    Nivell de significació\(\alpha=0.0547\)
    +

    Ara aquesta regió ja no és adequada. N’hi ha prou amb considerar l’exemple d’obtenir una mostra amb \(\mathrm{T}=0\). Tot i ser summament improbable sota \(\mathrm{H}_{0}\), el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul lla, en contra d’altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb p < 0.5).

    +

    El sentit comú indica que la regió crítica ha d’abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +\]

    +

    la suma següent (que correspon als valors destacats en la taula):

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +\]

    +

    ens proporciona el nivell de significació d’aquest test bilateral.

    +
    +
    +

    13.2 Cas 2: Hipòtesis compostes

    +

    Malgrat que segurament encara no és el contrast d’hipòtesi que realment interessa a l’associació ADG , per raons didàctiques suposarem que es pretén dirimir simplement si és acceptable la mitjana proposada en la bibliografia. Les hipòtesis que cal verificar seran aleshores:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +\]

    +

    Ja no és consistent mantenir una regió crítica basada només en la cua dreta de la distribució, com en el plantejament original d’aquest cas (que contrastava una hipòtesi simple contra una altra simple).

    +

    Per entendre-ho es pot considerar per exemple una mostra amb una mitjana mostral de 5. Tot i ser summament improbable sota \(\mathrm{H}_{0}\), atès que pertany a la regió d’acceptació, el criteri imposa acceptar la hipòtesi nul•la, en contra d’altres hipòtesis més plausibles (qualsevol amb \(\mu<7\) ).

    +

    Novament, el sentit comú indica que la regió crítica ha d’abastar ara els dos extrems del suport. Si prenem per exemple:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +\]

    +

    S’obté \(\alpha=0.1\). En el quadre següent es visualitza la regió crítica i s’avalua el nivell de significació resultant:

    +

    Simbòlicament, el nivell de significació d’aquest test es calcula de la forma següent:

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

    +

    On:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

    +
    +
    +
    +

    14 Funció de potència

    +

    Una de les diferències conceptuals més importants entre el cas d’una hipòtesi simple contra una altra de simple i el cas amb una alternativa composta es troba en la definició de potència. En aquest segon cas ja no es presenta un únic possible valor del paràmetre sota la hipòtesi alternativa, sinó que es contempla tot un conjunt. En la majoria de tests habituals, serà un interval real o una reunió d’intervals reals. Per exemple:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    Des del punt de vista de l’estadística paramètrica clàssica, una vegada fet l’experiment aleatori, \(\theta\) presenta només un dels possibles valors dins del subconjunt de l’alternativa, encara que aquest sigui desconegut. Per tant, la definició de potència enunciada abans:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { certa) } +\]

    +

    no es pot calcular globalment per a tot \(\mathrm{H}_{1}\), sinó que s’ha de distingir cadascun dels valors possibles dins de \(\mathrm{H}_{1}\). D’aquí ve l’interès de definir la funció de potència:

    +

    \[ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cert }\right) +\]

    +

    on \(\theta\) és un valor qualsevol del paràmetre, fins i tot valors corresponents a \(\mathrm{H}_{0}\). Si \(\mathrm{H}_{0}\) és simple (un sol paràmetre \(\theta_{0}\) ), resultarà:

    +

    \[ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{acceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cert }\right)=\alpha +\]

    +
    +

    14.1 Cas 1: Funció de potència

    +

    Ara la potència depèn de la proporció concreta de femelles que es triï com alternativa. L’expressió general és:

    +

    \[ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +\]

    +

    atès que la regió crítica és \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}\). En els quadres següents s’obté el valor de la potència \((\beta)\) inicialment per \(p=0.6\) i per \(p=0.8\) (en el document interactiu es pot variar arbitràriament la proporció sota \(\mathrm{H}_{1}\) ):

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de XProb. \(\mathrm{X}=\mathrm{X}\)
    00.0001
    10.0016
    20.0106
    30.0425
    40.1115
    50.2007
    60.2508
    70.2150
    80.1209
    90.0403
    100.0060
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de XProb. \(\mathrm{X}=\mathrm{X}\)
    00.0000
    10.0000
    20.0001
    30.0008
    40.0055
    50.0264
    60.0881
    70.2013
    80.3020
    90.2684
    100.1074
    +

    En el gràfic següent es representa la funció de potència per a tot el rang de paràmetres:

    +
    +
    +

    14.2 Cas 2: Funció de potència

    +

    Ara la potència depèn de la mitjana concreta \(\mu_{1}\) que es triï com a alternativa. L’expressió general de l’error de tipus II és:

    +

    \[ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

    +

    atès que la regió crítica és \(\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)\). En el quadre següent s’obté el valor de la potència ( \(\beta\) ) inicialment per a \(\mu=8.5\). En el document interactiu es pot canviar aquest valor de la alternativa i observar els canvis en els dos errors i en la potència:

    +

    En el gràfic següent es representen dues funcions de potència, per a \(\alpha=0.05, \sigma=\) 2.4 i que respectivament corresponen a \(n=16\) (la situació d’aquest cas 2) i a \(n=1\). En el document interactiu es poden variar tots aquells paràmetres que afecten \(\beta: \alpha, \sigma \mathrm{i} n \mathrm{i}\) comparar-los amb la situació original.

    +
    +
    +
    +

    15 Tests òptims

    +

    En moltes situacions aplicades es poden plantejar diferents regles de decisió per resoldre un mateix contrast, de manera que proporcionen un mateix error de tipus I. És necessari adoptar aleshores un criteri addicional per escollir quin és el millor test possible per resoldre aquest contrast. Tal com hem vist en el cas d’hipòtesi simple vs. simple, això passa forçosament per analitzar l’error de tipus II associat amb cada test. En el cas d’una alternativa composta, això porta a estudiar el comportament de la funció de potència en tot el rang de paràmetres associats amb l’alternativa.

    +

    L’estudi dels tests que presenten propietats òptimes des del punt de vista de la potència sobrepassa els objectius marcats per Statmedia. El lector interessat pot consultar alguna definició més en els complements, encara que aquesta informació no és estrictament necessària per seguir ni la resta d’aquest tema ni els ulteriors. En els pròxims capítols només s’assenyalarà, a títol informatiu, quan un test és òptim des del punt de vista de la potència. En el nostre desenvolupament és suficient conèixer que existeixen resultats generals en estadística matemàtica que permeten assegurar quan existeix aquest tipus de test i com obtenir-lo.

    +
    +
    +

    16 Proves bilaterals i proves unilaterals

    +

    Un contrast bilateral adopta en general la forma:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    En determinades ocasions l’experimentador prefereix plantejar directament un contrast de la forma:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +\]

    +

    conegut com a contrast unilateral dret. Òbviament, una altra possibilitat és l’unilateral esquerre:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +\]

    +

    En aquests tres casos, el contrast d’hipòtesis és simple contra composta. En la majoria de situacions aplicades, en realitat es pretenen resoldre contrastos unilaterals que comporten hipòtesis compostes. L’unilateral dret és aleshores:

    + ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
    \(\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}\)
    l ’esquerre és:\(\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}\)
    +

    Encara que aquesta última formulació està relacionada amb els contrastos unilaterals simple contra composta anteriors, les dues hipòtesis no són tècnicament equivalents. A fi de simplificar la interpretació dels contrastos unilaterals, atenent als casos de què s’encarrega Statmedia, es formulen els contrastos d’aquesta última manera (composta contra composta) i es pren el nivell de significació com si fos el del contrast simple contra composta.

    +

    En qualsevol cas, és important entendre que només s’ha resolt un dels tres contrastos (bilateral o unilateral) amb un conjunt de dades concret. Per exemple, és incorrecte des del punt de vista metodològic començar contrastant bilateralment, i fer després un test unilateral. El contrast que s’ha d’emprar s’ha de decidir tenint com a base coneixements previs del problema, o bé seguint la qüestió d’interès aplicat que es vol respondre.

    +
    +

    16.1 Cas 1: Prova unilateral

    +

    Suposem que la controvèrsia entre els dos ornitòlegs s’hagués plantejat originalment en els termes següents. Segons da Souza, el nombre de femelles per niu és com a màxim del \(50 \%\). En canvi, per a Calves, hi ha més femelles que no pas mascles. El contrast que cal resoldre per dirimir quin especialista té raó seria, doncs:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Respecte al cas general se substitueix el paràmetre genèric \(\theta\) per p , i el valor \(\theta_{0}=\) 0.5 . Prenent la regió crítica com a \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\), en el quadre següent es presenta el nivell de significació:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de XProb. \(X=x\)
    00.0010Valor de p a la binomial
    10.0098
    20.04390.5
    30.1172
    40.2051
    50.2461
    60.2051
    70.1172
    80.0439Surna valors a la regió critica
    90.0098
    100.00100.0547
    +

    En el document interactiu s’inclou un quadre on es pot explorar la potència amb diferents alternatives.

    +
    +
    +

    16.2 Cas 2: Prova unilateral

    +

    El plantejament següent s’aproxima més al que realment hauria d’intentar aclarir l’associació d’esportistes ADG. Si fan cas a la forta sospita que la taxa de statdrolona ha augmentat, és més coherent plantejar les hipòtesis següents:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +\]

    +

    Tal com ja s’ha plantejat en el cas 1, ara s’ha de considerar una regió crítica basada en la cua dreta de la distribució. Es deixa al lector raonar per què ha de ser així. Quan es pren, per exemple:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +\]

    +

    s’obté \(\alpha=0.05\). En el quadre següent es presenta la regió crítica (en el document interactiu es pot variar la regió crítica, i modificar per tant el nivell de significació):

    +

    Simbòlicament, es calcula:

    +

    \[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

    +

    que ens proporciona el nivell de significació d’aquest test unilateral. Així doncs, no hi ha cap diferència ni en el càlcul ni en el gràfic respecte al que ja hem vist en l’apartat d’hipòtesi simple contra simple. En relació amb la potència, es tracta d’una funció que depèn de la \(\mu\) concreta de la hipòtesi alternativa (simple), i per aquesta raó resulta:

    +

    Una observació final referent a aquest cas 2. En el plantejament actual només queda ja l’arbitrarietat consistent a assumir una \(\sigma=2.4\) poblacional fixa. En el tema 10, s’estudiarà com abordar aquest estudi sense assumir més condició que el model de probabilitat Normal.

    +
    +
    +
    +

    17 Elecció del nivell de significació

    +

    Quin nivell de significació s’ha d’utilitzar? En contra de certa pràctica estadística, desgraciadament bastant estesa, en realitat no es pot respondre a aquesta pregunta donant simplement un valor al nivell de significació. Si es consulten publicacions científiques aplicades per conèixer quin \(\alpha\) emprar, en la majoria d’estudis s’obtindrà que el més utilitzat és \(\alpha=0.05\) ( \(5 \%\) d’error), essent el segon lloc ex aequo \(\alpha=0.01\) ( \(1 \%\) ) i \(\alpha=0.1\) (10 %). Aquests són els nivells aconsellats en molts textos elementals d’estadística. Vegem per què s’ha anat aconsellant aquests valors.

    +

    Abans de la universalització de l’ús de l’ordinador, els càlculs estadístics es completaven mitjançant diferents taules per trobar les fronteres de la regió crítica i decidir quina hipòtesi acceptar. Els valors \(5 \%, 1 \%\) i \(10 \%\) van ser inicialment triats com els més representatius en les colleccions de taules, ja que no resultava pràctic publicar taules per a qualsevol \(\alpha\). Així, aquests valors es van anar convertint, amb el pas del temps, en un convencionalisme més. S’ha arribat a produir l’efecte pervers, en alguns camps del coneixement, que alguns editors mal informats només accepten treballs amb un \(5 \%\) de significació.

    +

    No obstant això, no hi ha cap raó científica que indiqui que aquests valors són forçosament els més adequats. Ja hem vist que la potència té també una importància capital quan s’ha de qualificar la bondat del test, sense oblidar la influencia que té la grandària de la mostra sobre \(1-\beta\). La metodologia més raonable és obtenir el p-valor i, si és possible, definir abans de l’obtenció de la mostra una diferència mínima significativa que garanteixi la potència desitjada (definirem a continuació aquests dos conceptes). Només amb aquestes tres quantitats el contrast queda satisfactòriament plantejat.

    +

    Des del nostre punt de vista, avui en dia, exposar les conclusions de qualsevol estudi només a partir d’un nivell de significació fix per a tots els contrastos és un procediment estadístic molt rudimentari.

    +
    +
    +

    18 El p-valor

    +

    L’elecció del nivell de significació, tal com s’ha comentat anteriorment, és en certa manera arbitrària. Tanmateix, una vegada obtinguda la mostra, es pot calcular una quantitat que sí que permet resumir el resultat de l’experiment de manera objectiva. Aquesta quantitat és el p-valor que correspon al nivell de significació més petit possible que es pot escollir, per al qual encara s’acceptaria la hipòtesi alternativa amb les observacions actuals. Qualsevol nivell de significació escollit inferior al p-valor (simbòlicament \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) ) comporta acceptar \(\mathrm{H}_{0}\). Òbviament, com que és una probabilitat, es compleix que:

    +

    \[ +0 \leq p_{v} \leq 1 +\]

    +

    El p-valor és una mesura directa de com d’inversemblant resulta obtenir una mostra com l’actual si és certa \(\mathrm{H}_{0}\). Els valors petits indiquen que és molt infreqüent obtenir una mostra com l’actual, en canvi, els valors alts mostren que és freqüent. El pvalor s’utilitza per indicar quant (o quant poc) contradiu la mostra actual la hipòtesi alternativa.

    +

    Informar sobre quin és el p-valor té l’avantatge de permetre que qualsevol decideixi quina hipòtesi accepta basant-se en el seu propi nivell de risc \(\boldsymbol{\alpha}\). Això no és possible quan s’informa, com ha estat tradicional, indicant només el resultat de la decisió, és a dir, acceptant o rebutjant \(\mathrm{H}_{0}\) amb un \(\alpha\) fix.

    +

    Quan es proporciona el p-valor obtingut amb la mostra actual, la decisió es fa segons la regla següent:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +\]

    +

    Des del punt de vista pràctic, alguns paquets estadístics proporcionen en els seus llistats el “significance level”, la traducció literal del qual és “nivell de significació”, quan en moltes ocasions es refereixen en realitat al p-valor (“p-value”).

    +
    +

    18.1 Cas 1: Càlcul del p-valor (prova unilateral)

    +

    Seguim amb la hipòtesi unilateral:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Suposem que, una vegada obtinguda la mostra de \(n=10\) nius, resulta que en sis d’ells el pollet correspon a una femella. Cal recordar primerament que en aquest cas l’estadístic de test T és una variable discreta, i per tant no és possible obtenir qualsevol \(\alpha\).

    +

    El p-valor és el menor \(\alpha\) que permet acceptar \(\mathrm{H}_{1}\). Amb la taula següent:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Valor de \(X\)Prob. \(X>=X\)
    01.0000
    10.9990
    20.9893
    30.9453
    40.8281
    50.6230
    60.3770
    70.1719
    80.0547
    90.0107
    100.0010
    +

    s’obté el p-valor associat a \(\mathrm{T}=6\) femelles. Considerem principalment els casos següents:

    +
      +
    1. Si s’escollís \(\alpha=0.1719\), la regió crítica corresponent seria \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}\). Com que no s’inclouen 6 femelles, s’hauria d’acceptar \(H_{0}\). Per tant, \(\alpha\) no compleix la definició de p-valor, atès que s’ha de rebutjar \(\mathrm{H}_{0}\) : \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) ha de ser forçosament major.
      2. +
    2. Si es triés \(\alpha^{\prime}=0.3770\), la regió crítica corresponent seria \(W_{a^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}\). Amb \(\alpha^{\prime}\) es rebutjaria \(H_{0}\).
      3. +
    3. Si se seleccionés \(\alpha^{\prime \prime}=0.6230\), la regió crítica corresponent seria \(\mathrm{W}_{\alpha^{\prime \prime}}=\{5,6,7\), \(8,9,10\}\). Amb \(\alpha^{\prime \prime}\) també es rebutjaria \(\mathrm{H}_{0}\).
      4. +
    +

    Observem que \(\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime \prime}, \mathrm{i}\) entre els dos valors no és possible obtenir cap altre nivell de significació amb el test que hem plantejat. Per tant, \(\alpha^{\prime}\) és el mínim nivell de significació amb el qual rebutjaríem \(H_{0}\) amb la mostra actual o, dit d’una altra manera, \(\alpha^{\prime}\) és el p-valor.

    +

    Aquest és el detall de com es calcula el p-valor. Usualment, d’això se n’encarrega software especialitzat (un paquet estadístic, un full de càlcul,…), que retorna simplement la informació \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770\). Ara bé, el que no resol el programa és què ha de decidir finalment l’experimentador, és a dir, en el nostre cas, da Souza o Calves.

    +

    Doncs bé, en aquest moment, s’haurà de comparar \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \mathrm{amb}\) el nivell de significació escollit a priori (per exemple, \(\alpha=0.05\) ):

    +

    \[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { per tant, acceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}} . +\]

    +

    El valor de \(p_{v}\) indica que hi ha una frequància del \(37.7 \%\) d’obtenir mostres amb T \(\geq 6\) femelles sota \(\mathrm{H}_{0} \mathrm{i}\), per tant, que no hi ha indicis suficients de discrepància entre la mostra obtinguda i la hipòtesi de da Souza consistent en que \(\mathrm{p} \leq 0.5\).

    +

    Una vegada més s’ha d’insistir en el fet que \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) és un valor objectiu -qualsevol experimentador donarà el mateix valor una vegada obtinguda la mostra-, mentre que \(\alpha\) és subjectiu, escollit per l’experimentador segons la seva experiència.

    +
    +
    +

    18.2 Cas 2: Càlcul del p-valor (prova unilateral)

    +

    Considerem primer el càlcul del \(p\)-valor quan les hipòtesis són:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\]

    +

    En el quadre següent es presenten les dades obtingudes en l’experiment, la seva mitjana i la desviació estàndard corregida, així com el p-valor i la decisió final segons el nivell de significació 0.05 . Com que \(\mathrm{T}=8.54\), el p -valor correspon a la cua de la corba Normal situada a la dreta de T. En el gràfic es superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a \(\alpha\) en la part més extrema de la cua.

    +

    Així doncs, es rebutja \(\mathbf{H}_{0}\), ja que \(\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513\). En el document interactiu és possible escollir altres nivells de significació. Segons el nivell escollit s’acceptarà o es rebutjarà la hipòtesi nul lla.

    +

    El quadre anterior il•lustra la relació entre els conceptes del p-valor i del nivell de significació, ara bé, el lector NO ha de treure la conclusió que ha d’ajustar \(\alpha\) en cap sentit: \(\alpha\) es tria sempre a priori (abans de l’anàlisi), mai en funció de les dades (o del p-valor). Respecte al càlcul simbòlic del p-valor, en l’exemple s’ajusta a l’expressió següent:

    +

    \[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +\]

    +

    En el document interactiu es poden canviar les dades dels setze atletes, fet que permet resoldre algunes de les qüestions plantejades més endavant. Alternativament al p -valor, també es pot visualitzar la potència o l’error de tipus II.

    +
    +
    +

    18.3 Cas 2: càlcul del p-valor (prova bilateral)

    +

    Considerem ara el càlcul del p-valor quan les hipòtesis són:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    El p-valor correspon ara a dues cues de la corba Normal: una és la mateixa que en el cas unilateral, és a dir, la situada a la dreta de \(\mathrm{T}=8.54\), la segona és la cua simètrica a l’anterior respecte a \(\mu=7\), és a dir, la cua esquerra situada en \(2 \mu-\mathrm{T}=5.46\). Com abans, en el quadre se superposa el color vermell del p-valor al verd de la zona corresponent a \(\alpha\) en la part més extrema de les dues cues. En el document interactiu es poden canviar dades, el nivell de significació i el punt on es calcula la potència.

    +

    El càlcul del p-valor es correspon,amb les dades originals, a:

    +

    \[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +\]

    +

    Així doncs, es rebutja \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), atès que:

    +

    \[ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +\]

    +

    En general, si la distribució de l’estadístic és contínua, com en aquest cas, es pot calcular fàcilment el p-valor de la prova bilateral a partir de la unilateral, i viceversa. Així, si designem amb \(\mathrm{p}_{\text {uni }}\) i \(\mathrm{p}_{\text {bil }}\), respectivament els p -valors de la prova unilateral i bilateral, tindrem que:

    +
      +
    • \(\quad\) Si \(\mathrm{p}_{\text {uni }} \leq 0.5\), aleshores \(\mathrm{p}_{\text {bil }}=2 \mathrm{p}_{\text {uni. }}\). És a dir, el p-valor és exactament el doble que el de la prova unilateral.
      • +
    • \(\quad\) Si \(\mathrm{p}_{\text {uni }}>0.5\), aleshores \(\mathrm{p}_{\text {bil }}=2\left(1-\mathrm{p}_{\text {uni }}\right)\). És a dir, el p -valor és exactament el doble que el complementari del p-valor de la prova unilateral.
      • +
    +
    +
    +
    +

    19 Proves exactes i proves asimptòtiques

    +

    Els dos errors ( \(\alpha\) i \(1-\beta\) ) implicats en qualsevol contrast són probabilitats que es basen en hipòtesis sobre el paràmetre que volem contrastar. De manera similar als intervals de confiança (vegeu, per exemple, els intervals per a una proporció i per a la mitjana d’una Normal), es poden classificar els tests en relació amb la distribució emprada.

    +

    Si es pot establir explícitament per qualsevol mida de mostra \(N\) quina distribució té l’estadístic de test, i a més és factible el càlcul dels errors, s’obtindrà una fórmula vàlida per a tot \(N\). Aquest és el cas dels dos exemples seguits en aquest capítol. Un test amb aquestes característiques es denomina prova exacta. La prova \(t\) de Student per a dues mostres i la prova F de comparació de variàncies en són exemples d’aplicació quotidiana en experiments reals.

    +

    En altres casos, quan existeix dificultat per resoldre el càlcul dels errors amb la veritable distribució de l’estadístic, es recorre a les propietats en el límit de les distribucions. Un recurs habitual és aplicar el teorema central del límit si la distribució de l’estadístic tendeix a una Normal. En aquest segon cas, el test obtingut només serà vàlid per a valors grans de \(N\), i llavors es denomina prova asimptòtica. Els exemples més coneguts són les diferents proves de Khi-quadrat.

    +
    +

    19.1 Cas 1: Test asimptòtic

    +

    Fins al moment ens hem basat per resoldre els contrastos en la distribució exacta de l’estadístic \(T=\) nombre de femelles en deu nius, que és una Binomial \(\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p}\) ), amb \(n\) \(=10 \mathrm{i} \mathrm{p}\) desconeguda. La distribució exacta de T ens permet calcular p-valors, potències, etc. per qualsevol grandària de mostra \(n\). No obstant això, els càlculs amb la distribució Binomial es poden aproximar mitjançant la distribució Normal a partir de mides de mostra de trenta o majors. La distribució asimptòtica de \(T\) és:

    +

    \[ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +\]

    +

    Per exemple, si es pretén contrastar:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    amb \(n=36\), sota \(\mathrm{H}_{0} T\) serà aproximadament \(\operatorname{Normal} \mathrm{N}(18,3)\). En el document interactiu es presenta un quadre on podem comprovar les diferències entre el p-valor exacte i el pvalor segons la distribució asimptòtica per diferents \(n\) i diferents valors de T. Per exemple, per a \(n=36\) i 28 femelles les diferències són:

    +

    \[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { exacte }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}} \text { asimptòtic }=0.00119-0.00085<0.004 +\]

    +

    Quin interès té aleshores la distribució asimptòtica, si coneixem l’exacta? L’avantatge se situa en el terreny del càlcul: la distribució Normal és més fàcil de fer servir computacionalment tant si s’avalua mitjançant taules (i calculadora) com si s’avalua amb l’ordinador. En canvi, la fórmula de la densitat Binomial comporta dificultats operatives amb els factorials quan \(n>30\).

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    +
    +

    19.2 Cas 2: Test exacte

    +

    Ja s’ha analitzat anteriorment amb detall la distribució de la mitjana de \(n\) atletes quan la variable observada és una Normal. En resum, la densitat obtinguda és una Normal de paràmetres:

    +

    \[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

    +

    Per tant, mitjançant aquesta distribució exacta de l’estadístic per a qualsevol grandària de la mostra, es pot plantejar sense la necessitat d’aproximar a cap altra distribució el càlcul del p-valor, de la potència, etc.

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    20 Relació amb els intervals de confiança

    +

    Els contrastos d’hipòtesis estan molt relacionats amb la teoria dels intervals de confiança. En molts casos es pot resoldre la mateixa qüestió aplicada formulant-la per qualsevol de les dues vies. Per exemple, el contrast:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    es pot resoldre plantejant l’interval de confiança per \(\theta\), amb coeficient de confiança \(1-\) \(\alpha\). Suposem que l’interval obtingut és \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\). Aleshores, si:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \text { acceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +\]

    +

    Aquest contrast tindrà com a nivell de significació \(\alpha\). És possible proporcionar fins i tot el p-valor si s’ajusta l’amplada de l’interval perquè sigui el més ample possible i al mateix temps exclogui \(\theta_{0}\).

    +

    Inversament, és possible utilitzar la regió crítica d’un contrast per a proporcionar una estimació per interval del paràmetre. Els contrastos bilaterals corresponen a intervals també bilaterals centrats, mentre que els contrastos unilaterals drets corresponen a estimacions unilaterals per excés i els unilaterals esquerres, a estimacions per defecte.

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    20.1 Cas 2: Relació amb els intervals de confiança

    +

    En el tema anterior s’ha estudiat l’interval de confiança per a la mitjana d’una distribució Normal. Continuant amb les premisses que s’han seguit fins ara en el cas de l’statdrolona, haurem de considerar l’interval per a la mesura quan la variància és coneguda.

    +

    \[ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +\]

    +

    Si prenem com a nivell de confiança \(1-\alpha=0.95\), amb les dades obtingudes resulta:

    +

    \[ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +\]

    +

    És a dir, s’obté l’interval \([\mathbf{7 , 3 6 4 6}\); 9,7154]. Atenent que la mitjana sota la hipòtesi nul \(\cdot\) la és \(\mu=7\), i que no està inclosa en l’interval anterior, es rebutja la hipòtesi nul•la: la mitjana és significativament diferent de 7. És la mateixa conclusió que la que hem obtingut en el contrast bilateral anterior. A més, atès que s’ha calculat un interval bilateral, la hipòtesi alternativa corresponent a aquest interval és també bilateral.

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    21 Grandàries de mostra. Diferència mínima significativa

    +

    Una de les preguntes més freqüents en estadística aplicada es refereix a quina és la grandària mostral més adient. En primer lloc, si la prova és asimptòtica, \(N\) ha de ser suficientment gran perquè la distribució de l’estadístic sota la hipòtesi nul•la estigui ben aproximada. En el cas de les aproximacions normals, valors \(N \geq 30\) són usualment acceptats. Aquesta consideració no s’aplica si la prova és exacta.

    +

    El segon aspecte que cal considerar es refereix a la potència desitjada en el contrast. Però la potència varia en funció del paràmetre en els contrastos amb alternativa composta, així que, per formular correctament el problema, l’experimentador ha de proporcionar una quantitat addicional: la diferència mínima significativa \(\Delta\).

    +

    Per abreujar, es detalla ara només el contrast \(\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}\), però la base conceptual és semblant per a les alternatives unilaterals.

    +

    El significat de \(\Delta\) és aleshores el següent: l’experimentador considera que no és important en la pràctica equivocar-se acceptant la hipòtesi nul la (és a dir, cometre un error de tipus II) en el rang d’alternatives situades en l’interval \(\left(\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta\right)\). En canvi, \(\theta_{0} \pm \Delta\) són els dos primers punts, a mesura que \(\theta\) s’allunya de la hipòtesi nul \(\cdot\) la, que l’experimentador considera important diferenciar de \(\theta_{0}\). És justament en aquests dos punts on s’ajusta la grandària de la mostra per garantir la potència desitjada. Lògicament, la potència serà encara més alta si l’alternativa finalment certa està encara a major distància que \(\Delta\).

    +

    L’elecció concreta del valor de \(\Delta\) depèn de cada situació aplicada, però en qualsevol cas és una quantitat escollida per l’experimentador, no dictada per una regla estadística.

    +

    Una vegada escollit \(\Delta\) i la potència desitjada en aquest punt, és possible indicar quina és la grandària mínima de la mostra per resoldre adequadament el problema. En alguns casos requerirà un experiment pilot abans de procedir amb l’experiment definitiu.

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    +

    21.1 Cas 2: Càlcul de la grandària de la mostra

    +

    L’estadístic de test d’aquest cas (la mitjana dels atletes) té una distribució exacta coneguda per a tot \(n\) que s’ha descrit anteriorment. Per tant aquí l’experimentador ha de triar la mínima diferència significativa ( \(\boldsymbol{\Delta}\) ) i la potència ( \(\boldsymbol{\beta}\) ) per determinar la grandària de la mostra adequada. Suposem que es vol fer el contrast bilateral:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    amb les condicions següents de l’experiment fixades:

    +

    \[ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +\]

    +

    Dit d’una altra manera, es pretén obtenir una potència del \(90 \%\) en els punts:

    +

    \[ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +\]

    +

    Aquests són els dos primers valors (menor i major que \(\mu_{0}=7\), respectivament) que l’experimentador no vol que es confonguin amb \(\mathrm{H}_{0}\), excepte amb un error del \(10 \%\). Per tant, s’ha d’ailllar el valor de \(n\) que compleixi les condicions següents simultàniament:

    +

    \[ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +\]

    +

    \(\mathrm{H}_{1 \Delta}\) correspon a la hipòtesi simple \(\mu=\mu_{0}+\Delta\) (7.8 en l’exemple). Atenent a la distribució de la mitjana de \(n\) atletes sota cadascuna de les hipòtesis, l’única incògnita és \(n\). Les constants \(z_{\alpha / 2}\) i \(z_{1-\beta}\) corresponen a les cues dretes següents de la variable aleatòria Normal tipificada Z:

    +

    \[ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +\]

    +

    Quan es resol el sistema d’equacions anterior en resulta la fórmula que proporciona la grandària desitjada:

    +

    \[ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +\]

    +

    Substituint pels valors concrets de l’exemple:

    +

    \[ +n=\{2,4(1.645+1.960) / 0.8\}^{2}=116.964 +\]

    +

    Arrodonint, la grandària ha de ser de 117 atletes. En el quadre següent es mostra la grandària de la mostra en funció de la diferència mínima significativa desitjada, juntament amb altres paràmetres que afecten el problema:

    +

    Per als valors extrems de \(\alpha(0)\) i de \(\beta\) (1), el valor de la grandària de la mostra es fa infinit i no es pot representar en el quadre anterior.

    +
    +
    +
    +

    22 Esquema d’un contrast correctament plantejat

    +

    Els conceptes exposats fins aquí són essencials per entendre què és un contrast estadístic d’hipòtesis i poder aplicar correctament els diferents tests que es detallen en pròxims capítols. En la pràctica, i per la tranquil•litat de l’experimentador, normalment només s’ha de preocupar d’identificar el problema que ha de resoldre (contrast sobre una, dues o més poblacions), la família de distribució i finalment aplicar tests ja deduïts, alguns ja gairebé centenàriament. Ara bé, l’experimentador ha d’escollir les tres quantitats següents:

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
    1) nivell de significació \(\boldsymbol{\alpha}\)Si no es té un criteri definit, s’utilitzarà l’estàndard \(\alpha=\)
    0.05.
    2) diferència mínima
    significativa \(\Delta\)    		Escollida sobre la base de l’experiència en el camp
    concret d’aplicació.
    3) potència desitjada en el
    punt a distància \(\Delta\)    		Si no es té un criteri definit, s’ha de prendre \(\beta=0.8\) per
    a \(\alpha=0.05\).
    +

    Amb aquestes tres quantitats es podrà deduir usualment la grandària de mostra necessària, que completaria el disseny essencial del test. La informació final del resultat del contrast ha d’indicar aquestes tres quantitats juntament amb el p-valor obtingut. Resulta molt aconsellable acompanyar el test amb l’interval de confiança equivalent, que pot orientar sobre la significació aplicada (no estadística) del contrast.

    +
    +
    +

    23 Significació estadística i significació aplicada

    +

    Al final d’aquest tema resulta convenient distingir entre significació estadística i significació aplicada. Quan es resol un contrast d’hipòtesis s’indica que hi ha significació estadística (S.E.) com a sinònim d’acceptació de la hipòtesi alternativa. Al llarg d’aquest tema s’ha vist, en síntesi, que la S.E. es produeix quan les dades obtingudes en l’experiment real i la hipòtesi nul•la presenten una discrepància que no és atribuïble a l’atzar, excepte en el percentatge de casos marcat pel nivell de significació escollit.

    +

    Usualment, el límit entre la S.E. i la no-significació (que tècnicament correspon a la frontera de la regió crítica) depèn de la variabilitat de l’estadístic de test utilitzat. Aquí intervé doncs de manera directa la grandària de la mostra \(N\) i la variància de l’estadístic, com també s’ha vist en els dos casos presentats.

    +

    En determinades situacions, la variabilitat de l’estadístic és molt petita, de manera que el contrast és molt sensible a desviacions petites de la hipòtesi nul lla. Pot succeir aleshores que, quan s’obtenen les dades, el contrast assenyali que hi ha S.E., però que la desviació respecte a la hipòtesi nul•la sigui irrellevant des del punt de vista pràctic. La conclusió és que convé analitzar aquesta significació aplicada (S.A.) quan es fa un contrast d’hipòtesis. En molts casos, la manera més senzilla és obtenir l’interval de confiança adequat i interpretar la informació del contrast juntament amb la de l’interval.

    +

    En resum, quan s’aplica un contrast qualsevol no ens hem de conformar amb la simple lectura del p-valor i decidir en correspondència, sinó que:

    +
      +
    • si s’ha detectat S.E., cal valorar la S.A., per exemple, mitjançant un interval de confiança. Pot ser que hi hagi S.E. però que no hi hagi S.A.
      • +
    • si no s’ha detectat S.E., cal valorar si la grandària de la mostra és suficient per detectar (estadísticament) les diferències desitjades per l’experimentador. Pot ser que no hi hagi S.E. per una mida inadequada de la mostra i, per tant, no es podria concloure sobre la S.A. Si la grandària de la mostra és suficient i no hi ha S.E., aleshores tampoc no hi ha S.A.
      • +
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    23.1 Cas 2: Significació estadística i aplicada

    +

    Amb les dades realment obtingudes en l’estudi, i la hipòtesi:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    ja hem vist que la conclusió, per a \(\alpha=0.05\), era indicar que hi ha significació estadística.

    +

    Suposem que els fisiòlegs accepten que les diferències en el nivell d’hormona són rellevants quan hi ha més de \(0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de diferència en la mitjana de la població. L’interval bilateral en la mostra anterior és: i permet afirmar que també hi ha significació aplicada. Suposem que la població tingués una desviació estàndard de \(0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) (en lloc de la 2.4 plantejada fins ara), i s’hagués obtingut una mitjana igual a 7.13. El contrast d’hipòtesis detectaria aleshores igualment que hi ha S.E., però en canvi quan s’observa l’interval de confiança:

    +

    S’hauria de concloure que no hi ha S.A. En aquest segon cas, la variància tan petita permet que el contrast sigui molt sensible a petites variacions de la mitjana. La S.E. en aquest últim exemple no resulta rellevant en la pràctica.

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    Contrastes de Hipótesis

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    Author
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    Alex Sanchez-Pla y Grupo Statmedia

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    Published
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    December 15, 2024

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    1 Introducción

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    Antes de introducir los conceptos asociados al contraste estadístico de hipótesis, es conveniente situar este tema en el contexto más general de la confirmación de hipótesis, materia que la filosofía de la ciencia estudia en profundidad. Así pues, en este punto solo se plantean consideraciones generales, dejando para los siguientes apartados cómo aborda la Estadística este tema.

    +

    Una cuestión esencial en cualquier rama de la ciencia -básica o aplicada- es cómo verificar hipótesis sobre un determinado fenómeno real. Muchas veces, cuando se expone este tema al estudiante durante las primeras etapas de su formación científica, el llamado método de razonamiento científico se simplifica en exceso, presentando la verificación de hipótesis en términos absolutos. En este esquema simplificado del método científico se expone cómo teorizar sobre un determinado aspecto de la realidad más o menos de la siguiente forma:

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      +
      • +
      1. se formula una teoría (o una hipótesis, o una ley, …) sobre el fenómeno de estudio
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        2. +
      • +
      • +
      1. se diseña un experimento para tratar de corroborar dicha teoría
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      • +
      • +
      1. si los resultados del experimento concuerdan con la teoría, ésta se da provisionalmente por válida
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      • +
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      1. si el experimento contradice la teoría, se vuelve al apartado a), se modifica la ley o se elabora una nueva, de modo que se ajuste a la realidad experimental.
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        2. +
      • +
      • +
      1. cualquier teoría relacionada con aspectos de la realidad es siempre provisional, pendiente de ser revisada al entrar en conflicto con resultados de experimentos posteriores.
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      • +
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    Esta forma de proceder -como veremos, excesivamente simplista- se basa en el hecho de asumir que en cualquier experimento se obtendrán resultados que serán o bien totalmente contradictorios con la teoría (y por tanto habrá que abandonarla inmediatamente) o bien concordantes con la teoría (y por tanto resulta razonable mantenerla).

    +

    Antes se ha calificado este método de validación como absoluto: si obviamos el posible error experimental, la decisión que se tome no conllevará ningún error, ya que basta con verificar los resultados del experimento para aceptar o rechazar la teoría.

    +

    Debe quedar claro al lector que el esquema anterior no es el de un contraste estadístico, y de hecho el desarrollo de este tema se encargará de revisarlo. En los próximos apartados se expondrá, para empezar, una primera idea fundamental en Estadística: cuando se introduce un modelo de probabilidad para explicar un fenómeno, emerge inevitablemente un error ya en la misma toma de decisión. En otras palabras, el esquema anterior debe revisarse en los puntos c) y d).

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    Una vez se han expuesto estas cuestiones fundamentales en los primeros puntos del capítulo, entraremos en el núcleo de este tema que consiste en el desarrollo ya puramente técnico del contraste estadístico de hipótesis.

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    2 Del lenguaje natural a la hipótesis paramétrica

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    Es necesario considerar, antes de afrontar la validación estadística de una hipótesis, cómo se plantea ésta en términos estadísticos, ya que su formulación exige una traducción del lenguaje natural.

    +

    Quizás convenga recordar que una hipótesis sobre un determinado fenómeno se formula en lenguaje natural como una proposición sobre la realidad. Por ejemplo, si se considera una determinada especie de pájaros, una hipótesis es que la proporción de machos es idéntica a la de hembras. Un segundo ejemplo, si el problema trata ahora sobre una determinada hormona humana, consiste en proponer como hipótesis que la tasa se mantiene constante cuando se suministra un fármaco anabolizante.

    +

    Statmedia incluye básicamente una inferencia basada en la estadística paramétrica. En relación con esta perspectiva, los fenómenos reales se modelan según una determinada ley de probabilidad: por ejemplo una variable Normal, o una Binomial, o una Poisson, etc.

    +

    Esto conlleva que en estadística paramétrica las proposiciones -hipótesis- se formulen en función de los parámetros del modelo de distribución que modelan aquel aspecto de la realidad.

    +

    Este es por tanto el primer esfuerzo que debe realizar el experimentador: trasladar sus hipótesis, que generalmente expresa en lenguaje natural, a afirmaciones (proposiciones) sobre parámetros, que es la forma en que la estadística paramétrica comprueba las hipótesis.

    +

    En los casos prácticos siguientes, cuya solución completa se verá a lo largo del capítulo, se presentan dos situaciones diferentes.

    +
    +

    2.1 Cas 1: Presentación del caso

    +

    Dos conocidos ornitólogos, especialistas en aves autóctonas del Amazonas Central, discrepan sobre la interpretación de los datos de una nueva especie de cacatúa que ha reseñado uno de ellos. La discusión la centraremos aquí en una de las variables del estudio: la proporción de hembras y machos en los nidos. Es importante precisar que estas cacatúas se caracterizan por incubar un solo huevo por nido.

    +

    El Dr. da Souza Faria ha censado diez nidos, cuyos datos se detallarán después. Según su experiencia, esta especie tiene una gran semejanza con otra especie mejor estudiada, con una proporción idéntica de machos y hembras. Apoyado en los datos obtenidos, concluye que la nueva especie también tiene la misma proporción de individuos de cada sexo.

    +

    El Dr. Calves discrepa de esta apreciación y sostiene que la proporción debe ser de seis hembras por cada 4 machos.

    +
    +
    +

    2.2 Cas 1: Modelo de probabilidad

    +

    El Dr. da Souza Faria ha contado en 10 nidos el número de hembras (complementariamente, el de machos). La variable es, por tanto, discreta y su soporte es el conjunto \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\).

    +

    Si asumimos que el posible nacimiento de hembras es independiente entre nidos, y definimos:

    +

    \[ +X=\text { número de hembras en un total de } 10 \text { nidos. } +\]

    +

    la distribución de \(X\) es una distribución binomial, de parámetros \(n=10\) y \(p\) desconocida.

    +

    \[ +f(k)=p(X=k)=\binom{10}{k} p^{k}(1-p)^{10-k} +\]

    +

    el único parámetro desconocido es la proporción \(\boldsymbol{p}\) de hembras. Las hipótesis estadísticas se referirán solo a \(p\).

    +
    +
    +

    2.3 Cas 2: Presentación del caso

    +

    En el mundo del deporte profesional se controlan con mucha precisión algunos metabolitos que aparecen en bajas concentraciones en condiciones normales. Este es el caso de la statdrolona(*), que en individuos normales presenta una concentración media de 7.0 nanogramos por ml de orina. Este valor se ha establecido mediante una muestra muy grande de deportistas después de años de análisis antes, durante y después de competiciones. Asimismo, se ha descrito que la desviación estándar es de \(\mathbf{2 . 4 ~ n g} / \mathbf{m l}\). Estos dos valores poblacionales sirven como justificación médica a las autoridades deportivas para declarar cuándo la tasa de statdrolona se asocia a un presunto dopaje.

    +

    No obstante, un estudio reciente encargado por la asociación de deportistas ADG a un prestigioso departamento universitario de fisiología sostiene que, cuando se mide la concentración de statdrolona en individuos no dopados con cierto tipo de alimentos sobreabundantes en su dieta (queso parmesano, por ejemplo), el valor de la media poblacional es del orden de \(\mathbf{1 . 5}\) unidades mayor. En cambio, la desviación estándar poblacional se mantiene en el valor \(2,4 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), es decir, equivalente a la normal. Si esta hipótesis fuera cierta, permitiría explicar algunos de los falsos positivos detectados en los últimos tiempos. Como prueba experimental aportan una serie de datos sobre 16 deportistas que se detallarán más adelante. (*) La statdrolona no es ninguna hormona, aquí se ha adaptado la información de hormonas reales.

    +
    +
    +

    2.4 Cas 2: Modelo de probabilidad

    +

    El análisis de la concentración de statdrolona se mide en términos de nanogramos por \(\mathrm{mil} \cdot\) litro, por lo tanto, parece razonable considerarla como una variable continua. El conjunto de resultados posibles será un subconjunto de los reales.

    +

    Como muchas otras variables antropométricas, la concentración se puede asociar a la distribución Normal. Se puede justificar la adopción de este modelo de acuerdo con el teorema central del límite.

    +

    Según las autoridades deportivas, los valores en un deportista no dopado deben corresponder a una media de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mientras que para ADG la media puede ser mayor en algunas circunstancias. En cualquier caso, la variable:

    +

    \[ +X=\text { concentración de statdrolona en un deportista. } +\]

    +

    se aceptará que tiene distribución Normal. Así, la discusión se centrará solo en el parámetro \(\mu\) desconocido, mientras que la desviación estándar se tomará, para simplificar la explicación, como \(\sigma=2.4\) (conocida), aunque se sabe que es más realista seleccionarla como desconocida (véase más adelante el tema 10).

    +

    La fórmula de la densidad Normal:

    +

    \[ +f_{X}(x)=\frac{1}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

    +

    indica para este caso que el único parámetro desconocido es la media de la población \(\boldsymbol{\mu}\), a la que se referirán las hipótesis estadísticas.

    +

    Ahora bien, también resulta importante describir la densidad de la media de los dieciséis deportistas, ya que jugará un papel importante en la construcción del test. Si aceptamos la distribución \(\mathrm{N}(\mu, 2.4)\) para un deportista, y consideramos que el muestreo es aleatorio simple, entonces:

    +

    \[ +\bar{X}_{16}=\text { media concentración statdrolona en } 16 \text { deportistas } +\]

    +

    que tendrá una densidad de la forma:

    +

    \[ +\bar{X}_{16} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{16}) +\]

    +

    Simplificando 2.4 por la raíz cuadrada de 16 resulta 0.6 , así pues:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

    +

    Una expresión más general para todo \(n\) sería:

    +

    \[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

    +

    La densidad para todo \(n\) es:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{2.4 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times 2.4^{2}}\right) +\]

    +

    Y una expresión para todo \(n\) y cualquier varianza es:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{n}}(x)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{n \times(x-\mu)^{2}}{2 \times \sigma^{2}}\right) +\]

    +
    +
    +
    +

    3 Hipótesis nula contra hipótesis alternativa

    +

    Un contraste de hipótesis estadístico se plantea como una decisión entre dos hipótesis.
    +La hipótesis nula consiste en una afirmación sobre la población de origen de la muestra. Usualmente es más simple (menor número de parámetros, por ejemplo) que su antagonista. La hipótesis nula se designa con el símbolo \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\).

    +

    La hipótesis alternativa es igualmente una afirmación sobre la población de origen. Muchas veces, aunque no siempre, consiste simplemente en negar la afirmación de \(\mathrm{H}_{0}\). La hipótesis alternativa se designa con el símbolo \(\mathbf{H}_{1}\).

    +

    De momento trataremos el caso más sencillo, en el cual las dos hipótesis hacen referencia a un único valor del parámetro. En esta situación general, las hipótesis se refieren a un parámetro \(\theta\) (theta). La formulación es:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta=\theta_{1} +\end{aligned} +\]

    +

    En la teoría del contraste de hipótesis este tipo de planteamiento se conoce como contraste de hipótesis simple contra simple. Así pues, una hipótesis simple postula que el parámetro \(\theta\) solo puede tomar un valor, o, más técnicamente, que el conjunto de parámetros de una hipótesis simple consiste en un solo punto.

    +
    +

    3.1 Cas 1: Hipótesis para dirimir la controversia sobre el número de hembras

    +

    El Dr. da Souza Faria postula la misma proporción para machos y hembras. En términos de la proporción de la variable \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) esto equivale a la hipótesis de que la proporción (en la población) es \(\mathbf{0 . 5}\).

    +

    En cambio, según el Dr. Calves la proporción es 6:4 a favor de las hembras, y por lo tanto equivale a la hipótesis de que el parámetro \(p\) en la variable Binomial es 0.6.

    +

    Así pues, si \(X\) es el número de hembras en 10 nidos, y \(p\) es la proporción de hembras, la forma final del contraste es:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}=0.6 +\end{aligned} +\]

    +

    Respecto a los datos obtenidos por da Souza son:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    NiuPolletNiuPollet
    1femella6mascle
    2mascle7femella
    3femella8femella
    4femella9mascle
    5mascle10femella
    +

    En resumen, ha observado que en \(\mathbf{6}\) de los nidos hay una hembra.

    +
    +
    +

    3.2 Cas 2: Hipótesis a contrastar en el problema de la tasa de statdrolona

    +

    Las autoridades deportivas postulan una media de \(7.0 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\), mientras que ADG indica una media de \(8.5 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) para los individuos sometidos a este tipo de dieta. Por tanto, en síntesis el contraste consistirá en:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu=7,0 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu=8,5 +\end{aligned} +\]

    +

    tanto para \(\mathrm{H}_{0}\) como para \(\mathrm{H}_{1}\) el modelo contempla \(\sigma=2,4\).
    +Los datos del estudio que ha obtenido la asociación ADG, y que según ellos respaldaban su tesis, han sido los siguientes:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    IndividuConcentracióIndividuConcentració
    110.4797.01
    25.391011.36
    36.701110.11
    49.91125.89
    55.991310.39
    611.671410.67
    76.23156.89
    86.691611.27
    +

    La media aritmética de los 16 atletas es \(\mathbf{8 . 5 4} \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\).

    +
    +
    +
    +

    4 Compatibilidad de resultados e hipótesis

    +

    Volviendo a la cuestión fundamental de la verificación de hipótesis, un resultado incompatible con una hipótesis es aquel que no puede haberse producido de ninguna manera si dicha hipótesis es cierta.

    +

    En este sentido, incompatible es sinónimo de imposible. En términos de probabilidad, un resultado incompatible es aquel que tiene probabilidad cero de producirse si la hipótesis es cierta. La lógica elemental indica que si se obtiene un resultado incompatible con una hipótesis, esta última es forzosamente falsa.

    +

    Ahora bien, cuando se toma un modelo aleatorio para explicar el fenómeno observado, el carácter probabilístico del modelo habitualmente evita que se descarte cualquier hipótesis por haber obtenido datos incompatibles con ella.

    +

    Al contrario, todos los resultados serán estrictamente compatibles con las dos hipótesis, o dicho de otro modo, cualquier conjunto de datos que se obtenga en el estudio se puede llegar a observar tanto bajo \(\mathrm{H}_{0}\) como bajo \(\mathrm{H}_{1}\). Esto rompe el esquema excesivamente simple expuesto antes en la verificación ideal de hipótesis.

    +

    En definitiva, si se modela la realidad como un fenómeno aleatorio, se debe abandonar la idea de la toma de decisiones basada solo en una inspección de resultados que descarte sin error en la toma de decisión una de las dos hipótesis.

    +
    +

    4.1 Cas 1: Compatibilidad de resultados e hipótesis

    +

    El Dr. da Souza Faria ha obtenido una muestra de 6 hembras y 4 machos en los 10 nidos. Sin embargo, este es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis nula. Si hubiera elegido como muestra otros nidos, podría haber encontrado otro número de hembras.

    +

    Como ya hemos visto, \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) es una \(\operatorname{Binomial}(10,0.5)\). En la tabla siguiente se detallan los resultados que podían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{0}\), junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial:

    +

    +

    Al igual que para \(\mathrm{H}_{0}\), la muestra obtenida por el Dr. da Souza Faria con 6 hembras y 4 machos es solo uno de los resultados posibles que se podían dar bajo la hipótesis alternativa. En este caso \(X\) (n.º de hembras en 10 nidos) es una \(\operatorname{Binomial}(10,0.6)\).

    +

    En la tabla siguiente se detallan los resultados que podrían haber acaecido bajo \(\mathrm{H}_{1}\), junto con la probabilidad de obtenerlos según la fórmula de la densidad binomial:

    +

    +

    Consultando Statmedia en su formato Html se puede comprobar qué probabilidades tienen los once resultados bajo otras hipótesis que se podrían formular sobre el verdadero valor de la probabilidad \(p\) de la población. Podemos entender estas diferentes ” \(p\) ” como hipótesis distintas que se podrían haber establecido como alternativa a \(\mathrm{H}_{0}\). Excepto en los casos triviales \(p=0\) o \(p=1\), no hay ningún resultado que no pueda presentarse, aunque sea con probabilidades muy pequeñas.

    +
    +
    +

    4.2 Cas 2: Compatibilidad de resultados e hipótesis

    +

    La asociación ADG ha obtenido una muestra con media \(8.54 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de statdrolona para 16 deportistas. Ya hemos visto en el modelo de probabilidad qué densidad asociamos con la variable de cada deportista y con la media de todos ellos. Hay que recordar que una variable continua tiene probabilidad cero de obtener un resultado puntual y que las probabilidades en variables continuas se calculan sobre intervalos. Así pues, el valor 8.54 debe interpretarse como un intervalo, ya que las medidas de los deportistas individualmente corresponden en realidad a cierto intervalo de precisión experimental (por ejemplo, 0.3 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\)). El valor 8.54 elegido como marca de un cierto intervalo no es en absoluto incompatible con la hipótesis nula. De hecho, es posible obtener cualquier media.

    +

    En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{0}\) expresadas en términos de la función de distribución. La media de los 16 resultados corresponde a una Normal (7.0, 0.6). En la tabla derecha se detallan las probabilidades para intervalos de anchura \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) más cercanos a la media bajo \(\mathrm{H}_{0}\).

    +

    (Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.)

    +

    En el caso de \(\mathrm{H}_{1}\) tampoco es incompatible ninguna media, y por tanto en particular no lo es el valor 8.54. Ahora la densidad de la media de los 16 valores es una variable aleatoria Normal \(\mathrm{N}(8.5,0.6)\). En la tabla izquierda se detallan las probabilidades de diferentes resultados que podrían haber sucedido bajo \(\mathrm{H}_{1}\) expresadas en términos de la función de distribución. En la tabla de la derecha se muestran las probabilidades para intervalos de anchura \(0.3 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\):

    +

    (Se muestran las tablas con probabilidades correspondientes.)

    +
    +
    +
    +

    5 No todo es igualmente probable…

    +

    La segunda consideración fundamental en un contraste de hipótesis estadístico es que no todos los resultados son igualmente probables bajo \(\mathrm{H}_{0} \circ \mathrm{H}_{1}\). Este es el principal argumento para establecer un criterio de decisión -una regla- que permita decidir en la práctica si es aceptable \(\mathrm{H}_{0}\) o bien \(\mathrm{H}_{1}\).

    +

    La idea provisional que debe guiar al lector en este momento cuando inspecciona los casos prácticos es que los resultados (muy) improbables bajo cierta hipótesis muestran que ésta seguramente no es válida. Así pues, en el contraste estadístico de hipótesis no hay resultados imposibles, solo improbables, y por lo tanto en las decisiones se introduce forzosamente una probabilidad de error.

    +
    +

    5.1 Cas 1: Una región con n.º de hembras con baja probabilidad bajo \(\mathrm{H}_{0}\)

    +

    Hemos visto antes las probabilidades de obtener cada uno de los resultados posibles para \(X\): \(0,1, \ldots\), hasta 10 hembras. El sentido común indica que si se obtienen valores de X cercanos a 0 o a 10, la hipótesis \(p=0.5\) resulta poco verosímil.

    +

    Es importante entender que el verdadero valor de \(p\) (el valor en la población) no es, ni será nunca, conocido en la práctica, solo formulamos hipótesis sobre este valor.

    +

    Veamos cuál es la probabilidad de obtener valores mayores que 8 hembras. Para abreviar, designamos la región de valores mayores o iguales a 8 con el símbolo \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\).

    +

    (Se muestra la tabla de probabilidades correspondientes.)

    +
    +
    +

    5.2 Cas 2: Medias de las tasas de statdrolona improbables si se cumple \(\mathrm{H}_{0}\)

    +

    De la misma manera que se ha razonado para el caso 1, en esta ocasión con las dos hipótesis ( \(\mu=7\) contra \(\mu=8.5\) ) que tenemos en el caso de la detección de la statdrolona, el sentido común indica que si obtenemos una media de statdrolona en los 16 atletas alejada del valor de referencia 7, hará inverosímil la hipótesis nula.

    +

    En la tabla siguiente se muestran las probabilidades de obtener valores mayores que 7 \(\mathrm{ng} / \mathrm{ml}\). Observemos particularmente la región de valores mayores que 7.9869, que se representará con el símbolo \(\mathrm{W}_{\alpha}\). Expresada como intervalo, \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869, \infty)\).

    +

    (Se muestran las probabilidades correspondientes.)

    +
    +
    +
    +

    6 El papel privilegiado de la hipótesis nula: criterio de decisión

    +

    Un contraste estadístico de hipótesis consta forzosamente de un criterio de decisión. En resumen, consiste en una regla operativa que divide en dos partes disjuntas el espacio muestral. Estas partes se llaman región crítica y región de aceptación respectivamente. En cualquier test estadístico, si la muestra obtenida pertenece a la región crítica, se debe aceptar \(\mathrm{H}_{1}\). En caso contrario, si pertenece a la región de aceptación, se aceptará \(\mathrm{H}_{0}\).

    +

    Un primer principio básico consiste en priorizar en el criterio de decisión a \(\mathrm{H}_{0}\), en el siguiente sentido: se construye el criterio fijando a priori la probabilidad de error asociada con el hecho de rechazar -erróneamente- \(\mathrm{H}_{0}\). A fin de que el criterio de decisión sea razonable debe resultar improbable obtener una muestra que pertenezca a la región crítica cuando sea cierta \(\mathrm{H}_{0}\). En el ejemplo siguiente se propondrá una regla de decisión provisional.

    +
    +

    6.1 Cas 1: N.º de nidos propuestos ad hoc como inicio de región crítica. Regla de decisión resultante

    +

    Definiremos la región crítica de la siguiente forma:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

    +

    Por lo tanto, la región de aceptación será:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} +\]

    +

    El criterio de decisión será por tanto:

    +
      +
    • si el número de hembras es mayor o igual que 8, se acepta \(\mathrm{H}_{1}\) (la probabilidad de hembras es 0.6)
      +
      • +
    • si el número de hembras es menor o igual que 7, se acepta \(\mathrm{H}_{0}\) (la probabilidad de hembras es 0.5)
      • +
    +

    Es importante entender en este momento que se propone ad hoc la región crítica. Más adelante se justificará por qué esta propuesta es razonable.

    +

    Nota: en la muestra obtenida se han observado 6 hembras, por tanto da Souza debe aceptar \(\mathrm{H}_{0}\).

    +
    +
    +
    +

    7 Hipótesis nula y nivel de significación

    +

    Se ha indicado anteriormente que, en los contrastes estadísticos, la hipótesis nula juega un papel privilegiado, ya que la regla de decisión se ajusta de acuerdo con la probabilidad de equivocarse al rechazar \(H_{0}\) cuando ésta es cierta.

    +

    Esta probabilidad se designa de forma equivalente como:

    +
      +
    • error de tipo I (o de primera especie)
      +
      • +
    • nivel de significación del contraste
      • +
    +

    y usualmente se simboliza con la letra griega alfa.
    +El nivel de significación se puede definir equivalentemente de las dos maneras siguientes:
    +- \(\alpha=\) probabilidad de rechazo de \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), cuando \(\mathrm{H}_{0}\) es cierta
    +- \(\alpha=\) probabilidad de que la muestra pertenezca a la región crítica, cuando \(\mathbf{H}_{0}\) es cierta.

    +
    +

    7.1 Cas 1: Nivel de significación

    +

    En el apartado 9.5.1 se ha indicado la tabla resultante de los cálculos de la cola derecha de la Binomial, cuando se verifica la hipótesis nula \((p=0.5)\). Como la definición de nivel de significación es:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +\]

    +

    en la fila correspondiente a prob \((\mathrm{X} \geq 8)\) de la tabla anterior se puede observar la probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{0}\) cuando ésta es cierta (véase el criterio de decisión adoptado en el apartado 9.6.1).

    +

    Simbólicamente hemos calculado:

    +

    \[ +\alpha=p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.5^{10} +\]

    +

    Resulta pues: \(\quad \alpha=0.0547\).

    +
    +
    +

    7.2 Cas 1: Elección de la región crítica

    +

    Se ha propuesto antes, de forma directa, la región crítica:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\} +\]

    +

    Podemos considerar ahora otra región que nos proporcionaría un nivel de significación idéntico (ver tabla de probabilidades bajo \(\mathrm{H}_{0}\)):

    +

    \[ +\begin{gathered} +\mathrm{W}_{\alpha}^{\prime}=\{0,1,2\} \\ +\alpha=0.0010+0.0098+0.0439=0.0547 +\end{gathered} +\]

    +

    Ahora bien, un criterio de decisión basado en \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}=\{0,1,2\}\) es absurdo, teniendo en cuenta que \(\mathrm{H}_{1}\) es \(p=0.6\). Veamos por qué.

    +

    El valor \(\alpha=0.0547\) indica que es improbable obtener menos de 3 hembras bajo \(\mathrm{H}_{0}\). Si se elige \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) como región crítica, implica aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) cuando el número de hembras es menor que 3. Sin embargo, cuando se consulta la tabla de probabilidades bajo \(\mathrm{H}_{1}\), resulta:
    +prob. (número hembras \(<3 / \mathrm{H}_{1}\) cierta) \(=0.0001+0.0016+0.0106=0.0123\)
    +Es, por tanto, todavía más improbable obtener 3 hembras bajo \(\mathrm{H}_{1}\). En otras palabras, \(\mathrm{W}^{\prime}{ }_{\alpha}\) induce un criterio absurdo, ya que llevaría a aceptar la hipótesis menos verosímil de las dos.

    +
    +
    +

    7.3 Cas 2: Elección de la región crítica

    +

    A continuación se definen las regiones crítica y de aceptación, respectivamente, como:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty) \quad \mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869) +\]

    +

    El criterio de decisión será, por tanto:
    +si el nivel de statdrolona es mayor o igual que 7.9869, se acepta \(\mathbf{H}_{\mathbf{1}}\) (el nivel es 8.5)
    +Al igual que en el caso 1, también se ha propuesto la región crítica de forma ad hoc. Si se consultan en la tabla del apartado 9.5.2 los valores de la cola derecha de la Normal, como la definición de nivel de significación es:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob. muestra pertenezca a la región crítica, cuando } \mathbf{H}_{0} \text { es cierta } +\]

    +

    en la fila correspondiente a prob \((\mathrm{X}>=7.987)\) de la tabla se puede observar la probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{0}(\mu=7.0)\) cuando ésta es cierta. Simbólicamente hemos calculado:

    +

    \[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{Z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

    +

    donde \(F_{z}\) es la función de distribución de la Normal tipificada \(N(0,1)\).
    +La región crítica \(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\) lleva asociado un nivel de significación \(\alpha=0.05\). Ahora bien, como el estadístico media muestral es una variable continua, concretamente Normal, se pueden encontrar infinitas regiones que satisfagan la condición:

    +

    \[ +\operatorname{prob}\left(\operatorname{muestra} \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{0}\right)=0.05 +\]

    +
    +
    +
    +

    8 Región crítica y formalización del contraste

    +

    La regla de decisión queda definida siempre (aunque sea implícitamente) a partir de una región crítica. A esta región crítica le corresponde un determinado nivel de significación.
    +La información contenida en la muestra se resume mediante un estadístico de test, así que una práctica habitual es definir la región crítica en función del estadístico de test empleado. Un estadístico de test es una variable aleatoria y, como tal, tiene asociada una ley de distribución que juega un papel capital en el contraste.

    +

    Reuniendo los conceptos, en un contraste de hipótesis \(\mathrm{H}_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{1}\), tenemos:

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =\text { nivel de significación, } \\ +\mathrm{W}_{\alpha} & =\text { región crítica, subconjunto del espacio muestral definido a partir de } \mathrm{T} +\end{aligned} +\]

    +

    Regla de decisión:

    +
      +
    • si la muestra pertenece a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) entonces rechazar \(\mathrm{H}_{0}\)
      +
      • +
    • si la muestra no pertenece a \(\mathrm{W}_{\alpha}\) entonces rechazar \(\mathrm{H}_{1}\)
      • +
    +

    Finalmente:

    +

    \[ +\alpha=\text { prob.(rechazar } H_{0} / H_{0} \text { cierta) = prob.(muestra pertenezca a } W_{\alpha} / H_{0} \text { cierta) } +\]

    +
    +

    8.1 Cas 1: Resumen de conceptos asociados al contraste. Región crítica

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Región crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\)
    Región de aceptación\(\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\)
    Estadístico de test\(\mathrm{T}=\) número de hembras totales en los 10 nidos
    Criterio de decisión:
    aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 8\)
    aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T} \leq 7\)
    Nivel de significación\(\alpha=0.0547\)
    +

    La distribución del estadístico de test T es una Binomial B (10, p). Se puede adoptar un estadístico alternativo: la frecuencia relativa \(=\mathbf{f r}\) del número de hembras en los 10 nidos.

    +
    +
    +

    8.2 Cas 2: Tabla resumen de la región crítica, el estadístico de test y del criterio de decisión

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Región crítica\(\mathrm{W}_{\alpha}=[7.9869,+\infty)\)
    Región de aceptación\(\mathrm{W}_{\alpha}^{\mathrm{C}}=(-\infty, 7.9869)\)
    Estadístico de test\(\mathrm{T}=\) media de statdrolona en 16 atletas
    Criterio de decisión:
    aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
    aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T}<7.9869\)
    Nivel de significación\(\alpha=0.05\)
    +

    La distribución del estadístico de test T bajo \(\mathrm{H}_{0}\) es una normal \(\mathrm{N}(7,0.6)\).

    +
    +
    +
    +

    9 Tabla de decisión del contraste

    +

    Cuando se resuelve un contraste la decisión final puede ser correcta o bien conducir a un error. En esta tabla se presentan las cuatro posibles situaciones que se pueden producir:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    Hipótesis verdadera
    Hipótesis aceptada\(\mathrm{H}_{0}\)\(\mathrm{H}_{1}\)
    \(\mathrm{H}_{0}\)-error tipo II
    \(\mathrm{H}_{1}\)error tipo I-
    +

    Existe, por tanto, un segundo tipo de error, designado como error de tipo II o de segunda especie. Se puede definir de manera equivalente para cualquiera de las dos expresiones siguientes:

    +
      +
    • \(1-\beta=\) probabilidad de rechazar \(\mathrm{H}_{1}\), cuando \(\mathrm{H}_{1}\) es cierta
      +
      • +
    • \(1-\beta=\) probabilidad de que la muestra no pertenezca a la región crítica, cuando \(\mathbf{H}_{1}\) es cierta
      • +
    +

    En realidad, solo una de las hipótesis es verdadera. Una vez se obtenga la muestra, se aceptará o se rechazará \(\mathrm{H}_{1}\) según el criterio de decisión. Si se decide de manera equivocada, se producirá solo uno de los dos errores, según cuál sea la hipótesis verdadera. Es decir, a posteriori se produce, como mucho, solo uno de los errores.

    +

    Ahora bien, el contraste se lleva a cabo precisamente porque se ignora cuál de las dos hipótesis es la verdadera. Como consecuencia, sin que ello contradiga el párrafo anterior, los dos errores tienen importancia a priori.

    +

    Un contraste será más adecuado si son menores los dos errores asociados.

    +
    +

    9.1 Cas 1: Evaluación de los dos errores asociados al contraste

    +

    El criterio de decisión que se ha adoptado para este caso consiste en:

    + + + + + + + + + + + + + + + + + +
    aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 8\)
    aceptar \(\mathrm{H}_{0}\) si\(\mathrm{T} \leq 7\)
    Nivel de significación\(\alpha=0.0547\)
    +

    Supongamos que \(\mathrm{H}_{1}\) es cierta, es decir, que \(p=0,6\). En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II:

    +

    (Se muestra la tabla de probabilidades acumuladas.)

    +

    \(1-\beta=\) prob. (rechazar \(H_{1}/H_{1}\) cierta)= prob. \((T \leq 7/H_{1}\) cierta) \(=\mathbf{0 . 8 3 2 7}\)
    +Simbólicamente corresponde a calcular:

    +

    \[ +1-\beta=p\left(X<8 / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=0}^{7}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

    +
    +
    +

    9.2 Cas 2: Cálculo explícito de los errores de primera ( \(\alpha\) ) y segunda especie (1- \(\beta\) )

    +

    El criterio de decisión que se ha elegido para este caso consiste en:

    + + + + + + + + + + + + + +
    aceptar \(\mathrm{H}_{1}\) si\(\mathrm{T} \geq 7.9869\)
    Nivel de significación\(\alpha=0.05\)
    +

    Supongamos que es cierta \(\mathrm{H}_{1}\), es decir, que \(\mu=8.5\). En la tabla siguiente podemos encontrar el valor del error de tipo II:

    +

    (Se muestra la tabla de probabilidades para la media.)

    +

    \(1-\beta=\) prob. (rechazar \(\mathrm{H}_{1}/\mathrm{H}_{1}\) cierta)= prob. \((\mathrm{T}<7.9869/\mathrm{H}_{1})=1-0.8040=0.1960\)
    +Simbólicamente, corresponde a calcular:

    +

    \[ +1-\beta=p\left(\bar{X}_{16}<7.9869 / H_{1}\right)=\int_{-\infty}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +\]

    +
    +
    +
    +

    10 Relación entre el error de tipo I y el de tipo II

    +

    Es importante entender que no es posible reducir simultáneamente los dos errores en un contraste de hipótesis.

    +

    Supongamos que se intenta reducir a cero el nivel de significación. Esto equivale a plantear que la probabilidad de que una muestra pertenezca a la región crítica, en el caso de que sea cierta \(\mathrm{H}_{0}\), es cero. En la mayoría de situaciones aplicadas este hecho da lugar a una región crítica igual al conjunto vacío, o lo que es lo mismo, provoca que se acepte siempre \(\mathrm{H}_{0}\), independientemente del resultado obtenido en la muestra. Se llega por tanto a la situación absurda de poder prescindir de la muestra, aceptando siempre \(H_{0}\)! Así, reducir \(\alpha\) a cero tiene la grave contrapartida de rechazar siempre \(\mathrm{H}_{1}\), lo que implica a su vez que el error de tipo II sea uno. De manera análoga se puede razonar para un error de tipo II nulo. En conclusión, los dos errores están relacionados: disminuir \(\alpha\) conlleva reducir el tamaño de la región crítica y, por lo tanto, aumentar 1- \(\beta\).

    +
    +

    10.1 Cas 1: Evaluación de \(\alpha\) y 1- \(\beta\) para diferentes regiones críticas

    +

    Una vez se especifica la región crítica, los errores de tipo I y II quedan determinados. En los dos cuadros siguientes hay dos regiones críticas y sus errores asociados. En la versión interactiva del documento se puede cambiar dinámicamente la región crítica y se calculan automáticamente los errores:

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas. Para simplificar la comprensión del gráfico, se consideran solo regiones de la forma \(\{a, a+1, \ldots 10\}\), donde \(a\) es un entero entre 0 y 10. Así, por ejemplo, el punto de abscisas 8 representa la región crítica \(\{8,9,10\}\). La hipótesis alternativa considerada es \(p_{1}=0.6\), tal y como se indica en la leyenda del gráfico.

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +
    +
    +

    10.2 Cas 2: Relación entre los errores de primera ( \(\alpha\) ) y segunda especie (1- \(\beta\) )

    +

    La relación entre los errores de tipo I y II es más fácil de interpretar en este caso, dado que la media es un estadístico de distribución continua. En los cuadros siguientes se presentan dos regiones críticas y los errores asociados, visualizando el área que representan. En la versión interactiva se puede modificar la región crítica mediante el deslizador, y se calculan automáticamente los dos errores visualizando el área que representa cada uno.

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    En el gráfico siguiente se representan los dos errores simultáneamente. Tomando siempre la misma alternativa:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{1}: \mu_{1}=8.5 +\]

    +

    y para cada región crítica de la forma \([a,+\infty)\) se calculan \(\alpha\) y \(1-\beta\). En el eje de abscisas se representa el extremo inferior (a) de las regiones críticas más relevantes, las próximas a \(\mu_{0}\).

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +
    +
    +
    +

    11 Potencia y test más potente

    +

    La potencia de un contraste se define como:
    +\(\beta=\) prob.(aceptar \(H_{1}/H_{1}\) cierta) = prob.(muestra pertenezca a \(W_{a}/H_{1}\) cierta)
    +es, por tanto, la probabilidad complementaria al error del tipo II.
    +Retomando ideas anteriores, un contraste debe pretender un compromiso razonable entre el nivel de significación (lo más bajo posible) y la potencia (lo más alta posible).

    +

    En principio, si hay varios tests alternativos (basados en diferentes reglas de decisión y/o estadísticos) para resolver un mismo contraste paramétrico, el mejor test será aquel que, una vez fijados \(\mathrm{H}_{0}, \mathrm{H}_{1}\) y el nivel de significación \(\alpha\), proporcione la potencia más alta entre todos ellos.

    +

    Un test que tenga esta propiedad se denomina test más potente. Simbólicamente, si \(mp\) designa el test más potente, deberá cumplir:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \beta_{m p}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } m p / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } \\ +& \geq \beta_{t}=\text { prob.(aceptar } \mathrm{H}_{1} \text { con el test } t / \mathrm{H}_{1} \text { cierta) } +\end{aligned} +\]

    +

    donde \(t\) es cualquier otro test con el mismo nivel de significación que \(mp\).

    +
    +

    11.1 Cas 1: Potencia en hipótesis simple vs simple

    +

    En la tabla siguiente se indica la probabilidad para cada uno de los valores del soporte. Se destaca en color diferente la región crítica.

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    Se puede leer entonces que la potencia es:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.1673 +\]

    +

    Simbólicamente hemos calculado:

    +

    \[ +\beta=p\left(X \geq 8 / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / \mathrm{H}_{1}\right)=\sum_{i=8}^{10}\binom{10}{i} 0.6^{i} 0.4^{10-i} +\]

    +

    Observamos que coincide con el cálculo anterior del error de tipo II para este ejemplo.

    +
    +
    +

    11.2 Cas 2: Potencia en hipótesis simple vs simple

    +

    Hemos definido antes la región crítica para este caso. En el cuadro siguiente se pueden visualizar los dos errores (I= verde y II= naranja) y, opcionalmente, la potencia del test (región amarilla).

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    La definición de potencia aplicada a este caso resulta:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right)=\operatorname{prob} .\left(X \text { en } \mathrm{W}_{\alpha} / \mathrm{H}_{1}\right)=0.80377 +\]

    +

    Simbólicamente hemos calculado:

    +

    \[ +\beta=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{1}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-8.5)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x +\]

    +

    En el documento interactivo se especifica la expresión para todo \(n\).

    +
    +
    +
    +

    12 Efecto del tamaño muestral

    +

    Los contrastes óptimos para las situaciones aplicadas más habituales ya están completamente resueltos, de modo que usualmente el experimentador solo debe elegir el nivel de significación que desee, (ver por ejemplo el capítulo de contrastes de una población).

    +

    Una vez elegido \(\alpha\), quedan fijadas tanto la región crítica como la potencia del contraste. La única manera de conseguir que un contraste mejore su potencia sin que repercuta en un aumento excesivo de \(\alpha\) es incrementar el tamaño muestral \(N\).

    +

    Aumentar \(N\) varía la ley de distribución del estadístico de test y generalmente disminuye su varianza. La consecuencia de mantener \(\boldsymbol{\alpha}\) constante y aumentar \(N\) se traduce en una mejora de las propiedades del test. Una pregunta crucial -abierta, de momento- es: ¿cuánta muestra hace falta?

    +
    +

    12.1 Cas 1

    +

    En el documento interactivo se presenta un applet donde se calcula el error de tipo II cuando aumenta N. Aquí solo se presenta el gráfico donde se representan los dos errores simultáneamente para diferentes regiones críticas de la forma \(\{a, a+1, \ldots N\}\). La hipótesis alternativa está indicada en la leyenda.

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +
    +
    +

    12.2 Cas 2

    +

    Veremos aquí solo cómo afecta el tamaño de la muestra (para \(N=16\) y \(N=30\)) a los dos errores, manteniendo la región crítica constante. En el documento interactivo se pueden consultar otras combinaciones. Al aumentar \(N\), las distribuciones en el muestreo de la media bajo \(\mathrm{H}_{0}\) y \(\mathrm{H}_{1}\) presentan cada vez un menor solapamiento.

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    En el gráfico siguiente se observa el efecto de \(N\) para todo el rango de regiones críticas:

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +
    +
    +
    +

    13 Hipótesis simples vs. hipótesis compuestas

    +

    Hasta ahora hemos tratado el caso más sencillo de contraste: dos hipótesis simples. En la práctica, las situaciones realmente interesantes conllevan -al menos- una hipótesis compuesta. Uno de los contrastes de hipótesis más habituales consiste en:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \\ +& \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\end{aligned} +\]

    +

    es decir, la hipótesis alternativa es la simple negación de la nula. Este contraste se conoce como el de la alternativa bilateral.

    +

    Los conceptos de estadístico de test, de región crítica, de región de aceptación y de nivel de significación seguirán siendo los mismos. Ahora bien, como se verá a continuación, se debe ampliar la definición de potencia respecto al caso simple contra simple.

    +
    +

    13.1 Cas 1: Hipótesis compuestas

    +

    Cambiando el planteamiento inicial, supongamos que la polémica sobre la proporción de hembras en los nidos se refiere a si es equitativa o no respecto al número de machos. Las hipótesis a verificar entonces serán:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p}=0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p} \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Observemos primero que ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el caso simple contra simple, que en resumen consistía en:

    +

    (Se muestra la tabla con la región crítica anterior.)

    +

    Ahora esta región ya no es adecuada. Basta con considerar el ejemplo de obtener una muestra con \(\mathrm{T}=0\). A pesar de ser sumamente improbable bajo \(\mathrm{H}_{0}\), el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquier con p < 0.5).

    +

    El sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\} +\]

    +

    (Se muestra figura con valores destacados.)

    +

    la suma siguiente (que corresponde a los valores destacados en la tabla):

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(X \leq 2 / H_{0}\right)+p\left(X \geq 8 / H_{0}\right)=\sum_{i=0}^{2} p\left(X=i / H_{0}\right)+\sum_{i=8}^{10} p\left(X=i / H_{0}\right) \\ +& =\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right] 0.5^{10} +\end{aligned} +\]

    +

    nos proporciona el nivel de significación de este test bilateral.

    +
    +
    +

    13.2 Cas 2: Hipótesis compuestas

    +

    A pesar de que seguramente todavía no es el contraste de hipótesis que realmente interesa a la asociación ADG, por razones didácticas supondremos que se pretende dirimir simplemente si es aceptable la media propuesta en la bibliografía. Las hipótesis que hay que verificar entonces serán:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: \mu=7 \\ +& H_{1}: \mu \neq 7 +\end{aligned} +\]

    +

    Ya no es consistente mantener una región crítica basada solo en la cola derecha de la distribución, como en el planteamiento original de este caso (que contrastaba una hipótesis simple contra otra simple).

    +

    Para entenderlo se puede considerar por ejemplo una muestra con una media muestral de 5. A pesar de ser sumamente improbable bajo \(\mathrm{H}_{0}\), dado que pertenece a la región de aceptación, el criterio impone aceptar la hipótesis nula, en contra de otras hipótesis más plausibles (cualquiera con \(\mu<7\)).

    +

    Nuevamente, el sentido común indica que la región crítica debe abarcar ahora ambos extremos del soporte. Si tomamos por ejemplo:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6.0131] \mathrm{U}[7.9869,+\infty) +\]

    +

    Se obtiene \(\alpha=0.1\). En el cuadro siguiente se visualiza la región crítica y se evalúa el nivel de significación resultante:

    +

    (Se muestra la figura correspondiente.)

    +

    Simbólicamente, el nivel de significación de este test se calcula de la siguiente forma:

    +

    \[ +\begin{aligned} +\alpha & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 6.0131 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{6.0131} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{7.9869}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =F_{Z}\left(\frac{6.0131-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

    +

    Donde:

    +

    \[ +f_{\bar{X}_{16}}(x)=\frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) +\]

    +
    +
    +
    +

    14 Función de potencia

    +

    Una de las diferencias conceptuales más importantes entre el caso de una hipótesis simple contra otra simple y el caso con una alternativa compuesta se encuentra en la definición de potencia. En este segundo caso ya no se presenta un único posible valor del parámetro bajo la hipótesis alternativa, sino que se contempla todo un conjunto. En la mayoría de tests habituales, será un intervalo real o una unión de intervalos reales. Por ejemplo:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    Desde el punto de vista de la estadística paramétrica clásica, una vez hecho el experimento aleatorio, \(\theta\) presenta solo uno de los posibles valores dentro del subconjunto de la alternativa, aunque éste sea desconocido. Por tanto, la definición de potencia enunciada antes:

    +

    \[ +\beta=\operatorname{prob} .\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \mathrm{H}_{1}\right. \text { cierta) } +\]

    +

    no se puede calcular globalmente para toda \(\mathrm{H}_{1}\), sino que se debe distinguir cada uno de los valores posibles dentro de \(\mathrm{H}_{1}\). De ahí el interés de definir la función de potencia:

    +

    \[ +\beta(\theta)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta \text { cierto }\right) +\]

    +

    donde \(\theta\) es un valor cualquiera del parámetro, incluso valores correspondientes a \(\mathrm{H}_{0}\). Si \(\mathrm{H}_{0}\) es simple (un solo parámetro \(\theta_{0}\)), resultará:

    +

    \[ +\beta\left(\theta_{0}\right)=\operatorname{prob}\left(\operatorname{aceptar} \mathrm{H}_{1} / \theta_{0} \text { cierto }\right)=\alpha +\]

    +
    +

    14.1 Cas 1: Función de potencia

    +

    Ahora la potencia depende de la proporción concreta de hembras que se elija como alternativa. La expresión general es:

    +

    \[ +1-\beta=p\left(3 \leq X \leq 7 / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7} p\left(X=i / H_{1}\right)=\sum_{i=3}^{7}\binom{10}{i} p^{i}(1-p)^{10-i} +\]

    +

    dado que la región crítica es \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{0,1,2,8,9,10\}\). En los cuadros siguientes se obtiene el valor de la potencia \((\beta)\) inicialmente para \(p=0.6\) y para \(p=0.8\) (en el documento interactivo se puede variar arbitrariamente la proporción bajo \(\mathrm{H}_{1}\)):

    +

    (Se muestran las tablas correspondientes.)

    +

    En el gráfico siguiente se representa la función de potencia para todo el rango de parámetros:

    +

    (Se muestran figuras correspondientes.)

    +
    +
    +

    14.2 Cas 2: Función de potencia

    +

    Ahora la potencia depende de la media concreta \(\mu_{1}\) que se elija como alternativa. La expresión general del error de tipo II es:

    +

    \[ +\begin{aligned} +1-\beta & =p\left(6.0131 \leq \bar{X}_{16} \leq 7.9869 / H_{1}\right) \\ +& =\int_{6.0131}^{7.9869} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =F_{z}\left(\frac{6.0131-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right)+1-F_{z}\left(\frac{7.9869-\mu_{1}}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\end{aligned} +\]

    +

    dado que la región crítica es \(\mathrm{W}_{\alpha}=(-\infty, 6,0131] \mathrm{U}[7,9869,+\infty)\).
    +En el cuadro siguiente se obtiene el valor de la potencia ( \(\beta\) ) inicialmente para \(\mu=8.5\). En el documento interactivo se puede cambiar este valor de la alternativa y observar los cambios en los dos errores y en la potencia:

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    En el gráfico siguiente se representan dos funciones de potencia, para \(\alpha=0.05, \sigma=\) 2.4 y que respectivamente corresponden a \(n=16\) (la situación de este caso 2) y a \(n=1\). En el documento interactivo se pueden variar todos aquellos parámetros que afectan a \(\beta: \alpha, \sigma y n\) y compararlos con la situación original.

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +
    +
    +
    +

    15 Tests óptimos

    +

    En muchas situaciones aplicadas se pueden plantear diferentes reglas de decisión para resolver un mismo contraste, de modo que proporcionen un mismo error de tipo I. Es necesario entonces adoptar un criterio adicional para escoger cuál es el mejor test posible para resolver este contraste. Tal como hemos visto en el caso de hipótesis simple vs. simple, esto ocurre forzosamente por analizar el error de tipo II asociado a cada test. En el caso de una alternativa compuesta, esto lleva a estudiar el comportamiento de la función de potencia en todo el rango de parámetros asociados a la alternativa.

    +

    El estudio de los tests que presentan propiedades óptimas desde el punto de vista de la potencia sobrepasa los objetivos marcados por Statmedia. El lector interesado puede consultar alguna definición más en los complementos, aunque esta información no es estrictamente necesaria para seguir ni el resto de este tema ni los ulteriores. En los próximos capítulos solo se señalará, a título informativo, cuándo un test es óptimo desde el punto de vista de la potencia. En nuestro desarrollo es suficiente conocer que existen resultados generales en estadística matemática que permiten asegurar cuándo existe este tipo de test y cómo obtenerlo.

    +
    +
    +

    16 Pruebas bilaterales y pruebas unilaterales

    +

    Un contraste bilateral adopta en general la forma:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    En determinadas ocasiones el experimentador prefiere plantear directamente un contraste de la forma:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0} +\]

    +

    conocido como contraste unilateral derecho. Obviamente, otra posibilidad es el unilateral izquierdo:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0} +\]

    +

    En estos tres casos, el contraste de hipótesis es simple contra compuesta. En la mayoría de situaciones aplicadas, en realidad se pretenden resolver contrastes unilaterales que conllevan hipótesis compuestas. El unilateral derecho es entonces:

    + ++++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
    \(\mathrm{H}_{0}: \theta \leq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta>\theta_{0}\)
    el izquierdo es:\(\mathrm{H}_{0}: \theta \geq \theta_{0}\)contra\(\mathrm{H}_{1}: \theta<\theta_{0}\)
    +

    Aunque esta última formulación está relacionada con los contrastes unilaterales simple contra compuesta anteriores, las dos hipótesis no son técnicamente equivalentes. A fin de simplificar la interpretación de los contrastes unilaterales, atendiendo a los casos de que se encarga Statmedia, se formulan los contrastes de esta última manera (compuesta contra compuesta) y se toma el nivel de significación como si fuera el del contraste simple contra compuesta.

    +

    En cualquier caso, es importante entender que solo se ha resuelto uno de los tres contrastes (bilateral o unilateral) con un conjunto de datos concreto. Por ejemplo, es incorrecto desde el punto de vista metodológico comenzar contrastando bilateralmente y hacer después un test unilateral. El contraste que se debe emplear debe decidirse con base en conocimientos previos del problema, o bien siguiendo la cuestión de interés aplicado que se quiere responder.

    +
    +

    16.1 Cas 1: Prueba unilateral

    +

    Supongamos que la controversia entre los dos ornitólogos se hubiera planteado originalmente en los siguientes términos. Según da Souza, el número de hembras por nido es como máximo del 50%. En cambio, para Calves, hay más hembras que machos. El contraste que hay que resolver para dirimir cuál de los dos especialistas tiene razón sería, pues:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mathrm{p} \leq 0.5 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mathrm{p}>0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Respecto al caso general se sustituye el parámetro genérico \(\theta\) por p, y el valor \(\theta_{0}=0.5\). Tomando la región crítica como \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{8,9,10\}\), en el cuadro siguiente se presenta el nivel de significación:

    +

    (Se muestra la tabla de probabilidades para p=0.5.)

    +

    En el documento interactivo se incluye un cuadro donde se puede explorar la potencia con diferentes alternativas.

    +
    +
    +

    16.2 Cas 2: Prueba unilateral

    +

    El planteamiento siguiente se aproxima más a lo que realmente debería intentar aclarar la asociación de deportistas ADG. Si hacen caso a la fuerte sospecha de que la tasa de statdrolona ha aumentado, es más coherente plantear las siguientes hipótesis:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \\ +& \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\end{aligned} +\]

    +

    Tal como ya se ha planteado en el caso 1, ahora se debe considerar una región crítica basada en la cola derecha de la distribución. Se deja al lector razonar por qué debe ser así. Cuando se toma, por ejemplo:

    +

    \[ +\mathrm{W}_{\alpha}=[7,9869,+\infty) +\]

    +

    se obtiene \(\alpha=0.05\). En el cuadro siguiente se presenta la región crítica (en el documento interactivo se puede variar la región crítica y modificar por tanto el nivel de significación):

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    Simbólicamente, se calcula:

    +

    \[ +\alpha=p\left(\bar{X}_{16} \geq 7.9869 / H_{0}\right)=\int_{7.9869}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x=1-F_{z}\left(\frac{7.9869-7}{2.4 / \sqrt{16}}\right) +\]

    +

    que nos proporciona el nivel de significación de este test unilateral. Así pues, no hay ninguna diferencia ni en el cálculo ni en el gráfico respecto a lo ya visto en el apartado de hipótesis simple contra simple. En relación con la potencia, se trata de una función que depende de la \(\mu\) concreta de la hipótesis alternativa (simple), y por esta razón resulta:

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    Una observación final referente a este caso 2. En el planteamiento actual solo queda ya la arbitrariedad consistente en asumir una \(\sigma=2.4\) poblacional fija. En el tema 10, se estudiará cómo abordar este estudio sin asumir más condición que el modelo de probabilidad Normal.

    +
    +
    +
    +

    17 Elección del nivel de significación

    +

    ¿Qué nivel de significación se debe utilizar? En contra de cierta práctica estadística, desgraciadamente bastante extendida, en realidad no se puede responder a esta pregunta dando simplemente un valor al nivel de significación. Si se consultan publicaciones científicas aplicadas para conocer qué \(\alpha\) usar, en la mayoría de estudios se obtendrá que el más utilizado es \(\alpha=0.05\) (5% de error), siendo el segundo lugar ex aequo \(\alpha=0.01\) (1%) y \(\alpha=0.1\) (10%). Estos son los niveles aconsejados en muchos textos elementales de estadística. Veamos por qué se han aconsejado estos valores.

    +

    Antes de la universalización del uso del ordenador, los cálculos estadísticos se completaban mediante diferentes tablas para encontrar las fronteras de la región crítica y decidir qué hipótesis aceptar. Los valores 5%, 1% y 10% fueron inicialmente elegidos como los más representativos en las colecciones de tablas, ya que no resultaba práctico publicar tablas para cualquier \(\alpha\). Así, estos valores se fueron convirtiendo, con el paso del tiempo, en un convencionalismo más. Se ha llegado a producir el efecto perverso, en algunos campos del conocimiento, de que algunos editores mal informados solo aceptan trabajos con un 5% de significación.

    +

    No obstante, no hay ninguna razón científica que indique que estos valores son forzosamente los más adecuados. Ya hemos visto que la potencia tiene también una importancia capital cuando hay que calificar la bondad del test, sin olvidar la influencia que tiene el tamaño de la muestra sobre \(1-\beta\). La metodología más razonable es obtener el p-valor y, si es posible, definir antes de la obtención de la muestra una diferencia mínima significativa que garantice la potencia deseada (definiremos a continuación estos dos conceptos). Solo con estas tres cantidades el contraste queda satisfactoriamente planteado.

    +

    Desde nuestro punto de vista, hoy en día, exponer las conclusiones de cualquier estudio solo a partir de un nivel de significación fijo para todos los contrastes es un procedimiento estadístico muy rudimentario.

    +
    +
    +

    18 El p-valor

    +

    La elección del nivel de significación, tal como se ha comentado anteriormente, es en cierta manera arbitraria. Sin embargo, una vez obtenida la muestra, se puede calcular una cantidad que sí permite resumir el resultado del experimento de manera objetiva. Esta cantidad es el p-valor, que corresponde al nivel de significación más pequeño posible que se puede elegir, para el cual todavía se aceptaría la hipótesis alternativa con las observaciones actuales. Cualquier nivel de significación elegido inferior al p-valor (simbólicamente \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\)) conlleva aceptar \(\mathrm{H}_{0}\). Obviamente, como es una probabilidad, se cumple que:

    +

    \[ +0 \leq p_{v} \leq 1 +\]

    +

    El p-valor es una medida directa de lo inverosímil que resulta obtener una muestra como la actual si es cierta \(\mathrm{H}_{0}\). Los valores pequeños indican que es muy infrecuente obtener una muestra como la actual, en cambio, los valores altos muestran que es frecuente. El p-valor se utiliza para indicar cuánto (o cuán poco) contradice la muestra actual la hipótesis alternativa.

    +

    Informar sobre cuál es el p-valor tiene la ventaja de permitir que cualquiera decida qué hipótesis acepta basándose en su propio nivel de riesgo \(\boldsymbol{\alpha}\). Esto no es posible cuando se informa, como ha sido tradicional, indicando solo el resultado de la decisión, es decir, aceptando o rechazando \(\mathrm{H}_{0}\) con un \(\alpha\) fijo.

    +

    Cuando se proporciona el p-valor obtenido con la muestra actual, la decisión se hace según la siguiente regla:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}} \leq \alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} \\ +& \text { si } \mathrm{p}_{\mathrm{v}}>\alpha, \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} +\end{aligned} +\]

    +

    Desde el punto de vista práctico, algunos paquetes estadísticos proporcionan en sus listados el “significance level”, cuya traducción literal es “nivel de significación”, cuando en muchas ocasiones se refieren en realidad al p-valor (“p-value”).

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    +

    18.1 Cas 1: Cálculo del p-valor (prueba unilateral)

    +

    Sigamos con la hipótesis unilateral:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p \leq 0.5 \\ +& H_{1}: p>0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    Supongamos que, una vez obtenida la muestra de \(n=10\) nidos, resulta que en seis de ellos el polluelo corresponde a una hembra. Hay que recordar primeramente que en este caso el estadístico de test T es una variable discreta, y por lo tanto no es posible obtener cualquier \(\alpha\).

    +

    El p-valor es el menor \(\alpha\) que permite aceptar \(\mathrm{H}_{1}\). Con la tabla siguiente:

    +

    (Se muestra la tabla con probabilidades acumuladas desde 0.)

    +

    Se obtiene el p-valor asociado a \(\mathrm{T}=6\) hembras. Consideremos principalmente los siguientes casos:

    +
      +
    1. Si se escogiera \(\alpha=0.1719\), la región crítica correspondiente sería \(\mathrm{W}_{\alpha}=\{7,8,9,10\}\). Como no se incluyen 6 hembras, habría que aceptar \(H_{0}\). Por tanto, \(\alpha\) no cumple la definición de p-valor, ya que se debe rechazar \(\mathrm{H}_{0}\): \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) debe ser forzosamente mayor.
      2. +
    2. Si se eligiera \(\alpha^{\prime}=0.3770\), la región crítica correspondiente sería \(W_{\alpha^{\prime}}=\{6,7,8,9,10\}\). Con \(\alpha^{\prime}\) se rechazaría \(H_{0}\).
      3. +
    3. Si se seleccionara \(\alpha^{\prime\prime}=0.6230\), la región crítica correspondiente sería \(\mathrm{W}_{\alpha^{\prime\prime}}=\{5,6,7,8,9,10\}\). Con \(\alpha^{\prime\prime}\) también se rechazaría \(\mathrm{H}_{0}\).
      4. +
    +

    Observamos que \(\alpha^{\prime}<\alpha^{\prime\prime}\), y entre los dos valores no es posible obtener ningún otro nivel de significación con el test que hemos planteado. Por tanto, \(\alpha^{\prime}\) es el nivel de significación mínimo con el que rechazaríamos \(H_{0}\) con la muestra actual o, dicho de otro modo, \(\alpha^{\prime}\) es el p-valor.

    +

    Este es el detalle de cómo se calcula el p-valor. Usualmente, de esto se encarga software especializado (un paquete estadístico, una hoja de cálculo,…), que devuelve simplemente la información \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770\). Ahora bien, lo que no resuelve el programa es qué debe decidir finalmente el experimentador, es decir, en nuestro caso, da Souza o Calves.

    +

    Pues bien, en este momento, se deberá comparar \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) con el nivel de significación elegido a priori (por ejemplo, \(\alpha=0.05\)):

    +

    \[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.3770>\alpha=0.05 \text { por tanto, aceptar } \mathbf{H}_{\mathbf{0}}. +\]

    +

    El valor de \(p_{v}\) indica que hay una frecuencia del 37.7% de obtener muestras con T \(\geq 6\) hembras bajo \(\mathrm{H}_{0}\) y, por tanto, que no hay indicios suficientes de discrepancia entre la muestra obtenida y la hipótesis de da Souza consistente en que \(\mathrm{p} \leq 0.5\).

    +

    Una vez más, hay que insistir en que \(\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\) es un valor objetivo -cualquier experimentador dará el mismo valor una vez obtenida la muestra-, mientras que \(\alpha\) es subjetivo, elegido por el experimentador según su experiencia.

    +
    +
    +

    18.2 Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba unilateral)

    +

    Consideremos primero el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu \leq 7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu>7 +\]

    +

    En el cuadro siguiente se presentan los datos obtenidos en el experimento, su media y la desviación estándar corregida, así como el p-valor y la decisión final según el nivel de significación 0.05. Como \(\mathrm{T}=8.54\), el p-valor corresponde a la cola de la curva Normal situada a la derecha de T. En el gráfico se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a \(\alpha\) en la parte más extrema de la cola.

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    Así pues, se rechaza \(\mathbf{H}_{0}\), ya que \(\alpha=0.05>\mathrm{p}_{\mathrm{v}}=0.00513\). En el documento interactivo es posible elegir otros niveles de significación. Según el nivel elegido se aceptará o rechazará la hipótesis nula.

    +

    El cuadro anterior ilustra la relación entre los conceptos del p-valor y del nivel de significación, ahora bien, el lector NO debe extraer la conclusión de que debe ajustar \(\alpha\) en ningún sentido: \(\alpha\) se elige siempre a priori (antes del análisis), nunca en función de los datos (o del p-valor). Respecto al cálculo simbólico del p-valor, en el ejemplo se ajusta a la expresión siguiente:

    +

    \[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{8.54}^{\infty} \frac{1}{0.6 \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-7)^{2}}{2 \times 0.6^{2}}\right) d x \\ +& =1-F_{z}\left(\frac{8.54-7}{0.6}\right)=0.0513 +\end{aligned} +\]

    +

    En el documento interactivo se pueden cambiar los datos de los dieciséis atletas, lo que permite resolver algunas de las cuestiones planteadas más adelante. Alternativamente al p-valor, también se puede visualizar la potencia o el error de tipo II.

    +
    +
    +

    18.3 Cas 2: Cálculo del p-valor (prueba bilateral)

    +

    Consideremos ahora el cálculo del p-valor cuando las hipótesis son:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    El p-valor corresponde ahora a dos colas de la curva Normal: una es la misma que en el caso unilateral, es decir, la situada a la derecha de \(\mathrm{T}=8.54\), la segunda es la cola simétrica a la anterior respecto a \(\mu=7\), es decir, la cola izquierda situada en \(2 \mu-\mathrm{T}=5.46\). Como antes, en el cuadro se superpone el color rojo del p-valor al verde de la zona correspondiente a \(\alpha\) en la parte más extrema de las dos colas. En el documento interactivo se pueden cambiar datos, el nivel de significación y el punto donde se calcula la potencia.

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    El cálculo del p-valor se corresponde, con los datos originales, a:

    +

    \[ +\begin{aligned} +p v & =p\left(\bar{X}_{16} \leq 5.46 / H_{0}\right)+p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right) \\ +& =\int_{-\infty}^{5.46} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x+\int_{8.54}^{\infty} f_{\bar{X}_{16}}(x) d x \\ +& =2 p\left(\bar{X}_{16} \geq 8.54 / H_{0}\right)=.01027 +\end{aligned} +\]

    +

    Así pues, se rechaza \(\mathbf{H}_{\mathbf{0}}\), puesto que:

    +

    \[ +\alpha=0.05>\mathrm{pv}=0.01027 +\]

    +

    En general, si la distribución del estadístico es continua, como en este caso, se puede calcular fácilmente el p-valor de la prueba bilateral a partir de la unilateral, y viceversa. Así, si designamos con \(\mathrm{p}_{uni}\) y \(\mathrm{p}_{bil}\), respectivamente, los p-valores de la prueba unilateral y bilateral, tendremos que:

    +
      +
    • Si \(\mathrm{p}_{uni} \leq 0.5\), entonces \(\mathrm{p}_{bil}=2 \mathrm{p}_{uni}\). Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el de la prueba unilateral.
      • +
    • Si \(\mathrm{p}_{uni}>0.5\), entonces \(\mathrm{p}_{bil}=2(1-\mathrm{p}_{uni})\). Es decir, el p-valor es exactamente el doble que el complementario del p-valor de la prueba unilateral.
      • +
    +
    +
    +
    +

    19 Pruebas exactas y pruebas asintóticas

    +

    Los dos errores ( \(\alpha\) y \(1-\beta\) ) implicados en cualquier contraste son probabilidades que se basan en hipótesis sobre el parámetro que queremos contrastar. De manera similar a los intervalos de confianza (véase, por ejemplo, los intervalos para una proporción y para la media de una Normal), se pueden clasificar los tests en relación con la distribución empleada.

    +

    Si se puede establecer explícitamente para cualquier tamaño de muestra \(N\) qué distribución tiene el estadístico de test, y además es factible el cálculo de los errores, se obtendrá una fórmula válida para todo \(N\). Este es el caso de los dos ejemplos seguidos en este capítulo. Un test con estas características se denomina prueba exacta. La prueba t de Student para dos muestras y la prueba F de comparación de varianzas son ejemplos de uso cotidiano en experimentos reales.

    +

    En otros casos, cuando existe dificultad para resolver el cálculo de los errores con la verdadera distribución del estadístico, se recurre a las propiedades en el límite de las distribuciones. Un recurso habitual es aplicar el teorema central del límite si la distribución del estadístico tiende a una Normal. En este segundo caso, el test obtenido solo será válido para valores grandes de \(N\), y entonces se denomina prueba asintótica. Los ejemplos más conocidos son las diferentes pruebas de Ji-cuadrado.

    +
    +

    19.1 Cas 1: Test asintótico

    +

    Hasta el momento nos hemos basado para resolver los contrastes en la distribución exacta del estadístico \(T=\) número de hembras en diez nidos, que es una Binomial \((n, p)\), con \(n=10\) y \(p\) desconocida. La distribución exacta de T nos permite calcular p-valores, potencias, etc. para cualquier tamaño de muestra \(n\). No obstante, los cálculos con la distribución Binomial se pueden aproximar mediante la distribución Normal a partir de tamaños de muestra de treinta o mayores. La distribución asintótica de \(T\) es:

    +

    \[ +T \approx N(n p, \sqrt{n p(1-p)}) +\]

    +

    Por ejemplo, si se pretende contrastar:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& H_{0}: p=0.5 \\ +& H_{1}: p \neq 0.5 +\end{aligned} +\]

    +

    con \(n=36\), bajo \(\mathrm{H}_{0} T\) será aproximadamente \(N(18,3)\). En el documento interactivo se presenta un cuadro donde podemos comprobar las diferencias entre el p-valor exacto y el p-valor según la distribución asintótica para diferentes \(n\) y diferentes valores de T. Por ejemplo, para \(n=36\) y 28 hembras las diferencias son:

    +

    \[ +\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ exacto }-\mathrm{p}_{\mathrm{v}}\text{ asintótico }=0.00119-0.00085<0.004 +\]

    +

    ¿Qué interés tiene entonces la distribución asintótica si conocemos la exacta? La ventaja se sitúa en el terreno del cálculo: la distribución Normal es más fácil de usar computacionalmente tanto si se evalúa mediante tablas (y calculadora) como si se evalúa con el ordenador. En cambio, la fórmula de la densidad Binomial conlleva dificultades operativas con los factoriales cuando \(n>30\).

    +
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    +

    19.2 Cas 2: Test exacto

    +

    Ya se ha analizado anteriormente con detalle la distribución de la media de \(n\) atletas cuando la variable observada es una Normal. En resumen, la densidad obtenida es una Normal de parámetros:

    +

    \[ +\bar{X}_{n} \approx N(\mu, 2.4 / \sqrt{n}) +\]

    +

    Por lo tanto, mediante esta distribución exacta del estadístico para cualquier tamaño de la muestra, se puede plantear sin la necesidad de aproximar a ninguna otra distribución el cálculo del p-valor, de la potencia, etc.

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    20 Relación con los intervalos de confianza

    +

    Los contrastes de hipótesis están muy relacionados con la teoría de los intervalos de confianza. En muchos casos se puede resolver la misma cuestión aplicada formulándola por cualquiera de las dos vías. Por ejemplo, el contraste:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0} \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \theta \neq \theta_{0} +\]

    +

    se puede resolver planteando el intervalo de confianza para \(\theta\), con coeficiente de confianza \(1-\alpha\). Supongamos que el intervalo obtenido es \([a ; b]\). Entonces, si:

    +

    \[ +\begin{aligned} +& \text { si } \theta_{0} \in[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{0} \\ +& \text { si } \theta_{0} \notin[a ; b] \text { aceptar } \mathrm{H}_{1} +\end{aligned} +\]

    +

    Este contraste tendrá como nivel de significación \(\alpha\). Es posible proporcionar incluso el p-valor si se ajusta la anchura del intervalo para que sea el más amplio posible y a la vez excluya \(\theta_{0}\).

    +

    Inversamente, es posible utilizar la región crítica de un contraste para proporcionar una estimación por intervalo del parámetro. Los contrastes bilaterales corresponden a intervalos también bilaterales centrados, mientras que los contrastes unilaterales derechos corresponden a estimaciones unilaterales por exceso y los unilaterales izquierdos, a estimaciones por defecto.

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    20.1 Cas 2: Relación con los intervalos de confianza

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    En el tema anterior se ha estudiado el intervalo de confianza para la media de una distribución Normal. Continuando con las premisas que se han seguido hasta ahora en el caso de la statdrolona, deberemos considerar el intervalo para la medida cuando la varianza es conocida.

    +

    \[ +\bar{X}_{16}-z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{16}+z_{\alpha / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} +\]

    +

    Si tomamos como nivel de confianza \(1-\alpha=0.95\), con los datos obtenidos resulta:

    +

    \[ +8.54-1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} \leq \mu \leq 8.54+1.959 \frac{2.4}{\sqrt{16}} +\]

    +

    Es decir, se obtiene el intervalo \([\mathbf{7 , 3 6 4 6};9.7154]\). Atendiendo a que la media bajo la hipótesis nula es \(\mu=7\), y que no está incluida en el intervalo anterior, se rechaza la hipótesis nula: la media es significativamente diferente de 7. Es la misma conclusión que la que hemos obtenido en el contraste bilateral anterior. Además, dado que se ha calculado un intervalo bilateral, la hipótesis alternativa correspondiente a este intervalo es también bilateral.

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    21 Tamaños de muestra. Diferencia mínima significativa

    +

    Una de las preguntas más frecuentes en estadística aplicada se refiere a cuál es el tamaño muestral más adecuado. En primer lugar, si la prueba es asintótica, \(N\) debe ser suficientemente grande para que la distribución del estadístico bajo la hipótesis nula esté bien aproximada. En el caso de las aproximaciones normales, valores \(N \geq 30\) son usualmente aceptados. Esta consideración no se aplica si la prueba es exacta.

    +

    El segundo aspecto que hay que considerar se refiere a la potencia deseada en el contraste. Pero la potencia varía en función del parámetro en los contrastes con alternativa compuesta, así que, para formular correctamente el problema, el experimentador debe proporcionar una cantidad adicional: la diferencia mínima significativa \(\Delta\).

    +

    Para abreviar, ahora se detalla solo el contraste \(\mathrm{H}_{0}: \theta=\theta_{0}\) contra \(\mathrm{H}_{0}: \theta \neq \theta_{0}\), pero la base conceptual es parecida para las alternativas unilaterales.

    +

    El significado de \(\Delta\) es entonces el siguiente: el experimentador considera que no es importante en la práctica equivocarse aceptando la hipótesis nula (es decir, cometer un error de tipo II) en el rango de alternativas situadas en el intervalo \((\theta_{0}-\Delta ; \theta_{0}+\Delta)\). En cambio, \(\theta_{0} \pm \Delta\) son los dos primeros puntos, a medida que \(\theta\) se aleja de la hipótesis nula, que el experimentador considera importante diferenciar de \(\theta_{0}\). Es justamente en estos dos puntos donde se ajusta el tamaño de la muestra para garantizar la potencia deseada. Lógicamente, la potencia será todavía más alta si la alternativa finalmente cierta está aún a mayor distancia que \(\Delta\).

    +

    La elección concreta del valor de \(\Delta\) depende de cada situación aplicada, pero en cualquier caso es una cantidad elegida por el experimentador, no dictada por una regla estadística.

    +

    Una vez elegidos \(\Delta\) y la potencia deseada en ese punto, es posible indicar cuál es el tamaño mínimo de la muestra para resolver adecuadamente el problema. En algunos casos requerirá un experimento piloto antes de proceder con el experimento definitivo.

    +
    +

    21.1 Cas 2: Cálculo del tamaño de la muestra

    +

    El estadístico de test de este caso (la media de los atletas) tiene una distribución exacta conocida para todo \(n\) que se ha descrito anteriormente. Por lo tanto, aquí el experimentador debe elegir la diferencia mínima significativa (\(\boldsymbol{\Delta}\)) y la potencia (\(\boldsymbol{\beta}\)) para determinar el tamaño de la muestra adecuado. Supongamos que se quiere hacer el contraste bilateral:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    con las condiciones siguientes del experimento fijadas:

    +

    \[ +\alpha=5 \% \quad \beta=90 \% \quad \Delta=0.8 \mathrm{ng} / \mathrm{ml} +\]

    +

    Dicho de otro modo, se pretende obtener una potencia del 90% en los puntos:

    +

    \[ +\mu_{0}-\Delta=6.2 \quad \mu_{0}+\Delta=7.8 +\]

    +

    Estos son los dos primeros valores (menor y mayor que \(\mu_{0}=7\), respectivamente) que el experimentador no quiere que se confundan con \(\mathrm{H}_{0}\), excepto con un error del 10%. Por tanto, se debe aislar el valor de \(n\) que cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

    +

    \[ +\left\{\begin{array}{l} +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{0}\right)=\alpha \\ +p\left(\left|\bar{X}_{n}-\mu\right| \sqrt{n} / \sigma \geq z_{\alpha / 2} / \mathrm{H}_{1 \Delta}\right)=\beta +\end{array}\right. +\]

    +

    \(\mathrm{H}_{1 \Delta}\) corresponde a la hipótesis simple \(\mu=\mu_{0}+\Delta\) (7.8 en el ejemplo). Atendiendo a la distribución de la media de \(n\) atletas bajo cada una de las hipótesis, la única incógnita es \(n\). Las constantes \(z_{\alpha / 2}\) y \(z_{1-\beta}\) corresponden a las colas derechas siguientes de la variable aleatoria Normal tipificada Z:

    +

    \[ +p\left(Z \geq z_{\alpha / 2}\right)=\alpha / 2 \quad p\left(Z \geq z_{1-\beta}\right)=1-\beta +\]

    +

    Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la fórmula que proporciona el tamaño deseado:

    +

    \[ +n=\left\{\frac{\sigma\left(z_{1-\beta}+z_{\alpha / 2}\right)}{\Delta}\right\}^{2} +\]

    +

    Sustituyendo por los valores concretos del ejemplo:

    +

    \[ +n=\{2.4(1.645+1.960)/0.8\}^{2}=116.964 +\]

    +

    Redondeando, el tamaño debe ser de 117 atletas. En el cuadro siguiente se muestra el tamaño de la muestra en función de la diferencia mínima significativa deseada, junto con otros parámetros que afectan el problema:

    +

    (Se muestra figura correspondiente.)

    +

    Para los valores extremos de \(\alpha(0)\) y de \(\beta(1)\), el valor del tamaño de la muestra se hace infinito y no se puede representar en el cuadro anterior.

    +
    +
    +
    +

    22 Esquema de un contraste correctamente planteado

    +

    Los conceptos expuestos hasta aquí son esenciales para entender qué es un contraste estadístico de hipótesis y poder aplicar correctamente los diferentes tests que se detallarán en próximos capítulos. En la práctica, y para la tranquilidad del experimentador, normalmente solo hay que preocuparse de identificar el problema que hay que resolver (contraste sobre una, dos o más poblaciones), la familia de distribución y finalmente aplicar tests ya deducidos, algunos casi centenarios. Ahora bien, el experimentador debe elegir las tres cantidades siguientes:

    + ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + +
    1) nivel de significación \(\boldsymbol{\alpha}\)Si no se tiene un criterio definido, se utilizará el estándar \(\alpha=\)
    0.05.
    2) diferencia mínima
    significativa \(\Delta\)    		Elegida sobre la base de la experiencia en el campo
    concreto de aplicación.
    3) potencia deseada en el
    punto a distancia \(\Delta\)    		Si no se tiene un criterio definido, se tomará \(\beta=0.8\) para
    \(\alpha=0.05\).
    +

    Con estas tres cantidades se podrá deducir usualmente el tamaño de muestra necesario, que completará el diseño esencial del test. La información final del resultado del contraste debe indicar estas tres cantidades junto con el p-valor obtenido. Resulta muy aconsejable acompañar el test con el intervalo de confianza equivalente, que puede orientar sobre la significación aplicada (no estadística) del contraste.

    +
    +
    +

    23 Significación estadística y significación aplicada

    +

    Al final de este tema resulta conveniente distinguir entre significación estadística y significación aplicada. Cuando se resuelve un contraste de hipótesis se indica que hay significación estadística (S.E.) como sinónimo de aceptación de la hipótesis alternativa. A lo largo de este tema se ha visto, en síntesis, que la S.E. se produce cuando los datos obtenidos en el experimento real y la hipótesis nula presentan una discrepancia que no se atribuye al azar, excepto en el porcentaje de casos marcado por el nivel de significación elegido.

    +

    Usualmente, el límite entre la S.E. y la no significación (que técnicamente corresponde a la frontera de la región crítica) depende de la variabilidad del estadístico de test utilizado. Aquí interviene pues de manera directa el tamaño de la muestra \(N\) y la varianza del estadístico, como también se ha visto en los dos casos presentados.

    +

    En determinadas situaciones, la variabilidad del estadístico es muy pequeña, de modo que el contraste es muy sensible a desviaciones pequeñas de la hipótesis nula. Puede suceder entonces que, cuando se obtienen los datos, el contraste señale que hay S.E., pero que la desviación respecto a la hipótesis nula sea irrelevante desde el punto de vista práctico. La conclusión es que conviene analizar esta significación aplicada (S.A.) cuando se hace un contraste de hipótesis. En muchos casos, la manera más sencilla es obtener el intervalo de confianza adecuado e interpretar la información del contraste junto con la del intervalo.

    +

    En resumen, cuando se aplica cualquier contraste no debemos conformarnos con la simple lectura del p-valor y decidir en consecuencia, sino que:

    +
      +
    • si se ha detectado S.E., hay que valorar la S.A., por ejemplo, mediante un intervalo de confianza. Puede haber S.E. pero que no haya S.A.
      +
      • +
    • si no se ha detectado S.E., hay que valorar si el tamaño de la muestra es suficiente para detectar (estadísticamente) las diferencias deseadas por el experimentador. Puede que no haya S.E. por un tamaño de muestra inadecuado y, por tanto, no se podría concluir sobre la S.A. Si el tamaño de la muestra es suficiente y no hay S.E., entonces tampoco hay S.A.
      • +
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    +

    23.1 Cas 2: Significación estadística y aplicada

    +

    Con los datos realmente obtenidos en el estudio, y la hipótesis:

    +

    \[ +\mathrm{H}_{0}: \mu=7 \quad \text { contra } \quad \mathrm{H}_{1}: \mu \neq 7 +\]

    +

    ya hemos visto que la conclusión, para \(\alpha=0.05\), era indicar que hay significación estadística.

    +

    Supongamos que los fisiólogos aceptan que las diferencias en el nivel de la hormona son relevantes cuando hay más de \(0.2 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) de diferencia en la media de la población. El intervalo bilateral en la muestra anterior es:
    +y permite afirmar que también hay significación aplicada.
    +Supongamos que la población tuviera una desviación estándar de \(0.1 \mathrm{ng} / \mathrm{ml}\) (en lugar de la 2.4 planteada hasta ahora), y se hubiera obtenido una media igual a 7.13. El contraste de hipótesis detectaría entonces igualmente que hay S.E., pero en cambio cuando se observa el intervalo de confianza:

    +

    Habría que concluir que no hay S.A. En este segundo caso, la varianza tan pequeña permite que el contraste sea muy sensible a pequeñas variaciones de la media. La S.E. en este último ejemplo no resulta relevante en la práctica.

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