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Ejercicios-de-Inferencia-Estadistica.tex
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Ejercicios-de-Inferencia-Estadistica.tex
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% Options for packages loaded elsewhere
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%
\documentclass[
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\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
\usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
\defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
\defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
% xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
\usepackage[]{microtype}
\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
\IfFileExists{parskip.sty}{%
\usepackage{parskip}
}{% else
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
\KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{xcolor}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyvrb}
\newcommand{\VerbBar}{|}
\newcommand{\VERB}{\Verb[commandchars=\\\{\}]}
\DefineVerbatimEnvironment{Highlighting}{Verbatim}{commandchars=\\\{\}}
% Add ',fontsize=\small' for more characters per line
\usepackage{framed}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{248,248,248}
\newenvironment{Shaded}{\begin{snugshade}}{\end{snugshade}}
\newcommand{\AlertTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.94,0.16,0.16}{#1}}
\newcommand{\AnnotationTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textbf{\textit{#1}}}}
\newcommand{\AttributeTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{#1}}
\newcommand{\BaseNTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{#1}}
\newcommand{\BuiltInTok}[1]{#1}
\newcommand{\CharTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{#1}}
\newcommand{\CommentTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textit{#1}}}
\newcommand{\CommentVarTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textbf{\textit{#1}}}}
\newcommand{\ConstantTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{#1}}
\newcommand{\ControlFlowTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{\textbf{#1}}}
\newcommand{\DataTypeTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{#1}}
\newcommand{\DecValTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{#1}}
\newcommand{\DocumentationTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textbf{\textit{#1}}}}
\newcommand{\ErrorTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.64,0.00,0.00}{\textbf{#1}}}
\newcommand{\ExtensionTok}[1]{#1}
\newcommand{\FloatTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{#1}}
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\newcommand{\ImportTok}[1]{#1}
\newcommand{\InformationTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textbf{\textit{#1}}}}
\newcommand{\KeywordTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{\textbf{#1}}}
\newcommand{\NormalTok}[1]{#1}
\newcommand{\OperatorTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.81,0.36,0.00}{\textbf{#1}}}
\newcommand{\OtherTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{#1}}
\newcommand{\PreprocessorTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textit{#1}}}
\newcommand{\RegionMarkerTok}[1]{#1}
\newcommand{\SpecialCharTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.81,0.36,0.00}{\textbf{#1}}}
\newcommand{\SpecialStringTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{#1}}
\newcommand{\StringTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{#1}}
\newcommand{\VariableTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.00}{#1}}
\newcommand{\VerbatimStringTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{#1}}
\newcommand{\WarningTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textbf{\textit{#1}}}}
\usepackage{longtable,booktabs,array}
\usepackage{calc} % for calculating minipage widths
% Correct order of tables after \paragraph or \subparagraph
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\longtable{\par}{\if@noskipsec\mbox{}\fi\par}{}{}
\makeatother
% Allow footnotes in longtable head/foot
\IfFileExists{footnotehyper.sty}{\usepackage{footnotehyper}}{\usepackage{footnote}}
\makesavenoteenv{longtable}
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
\makeatother
% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
% Set default figure placement to htbp
\makeatletter
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\setcounter{secnumdepth}{5}
\ifLuaTeX
\usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
hidelinks,
pdfcreator={LaTeX via pandoc}}
\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}
\begin{document}
{
\setcounter{tocdepth}{2}
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}
\section*{Presentación}\label{presentaciuxf3n}
\addcontentsline{toc}{section}{Presentación}
\subsection*{Objetivo}\label{objetivo}
\addcontentsline{toc}{subsection}{Objetivo}
El objetivo de estos ejercicios es proporcionar unos materiales de soporte para la asignatura de ``Inferencia Estadística'' del \href{https://www.uoc.edu/es/estudios/masters/master-universitario-bioinformatica-bioestadistica}{Máster interuniversitario de Bioiestadística y Bioinformática} impartido conjuntamente por la \href{https://www.uoc.edu}{Universitat Oberta de Catalunya (UOC)} y la \href{https://www.ub.edu}{Universidad de Barcelona (UB)}.
Esta asignatura adolece de las características habituales de las asignaturas de posgrado, y especialmente de un posgrado de estadística (y bioinformática), que muestran algunas de las cosas que no debe de ser esta asignatura:
Tal como se indica en la introducción a las notas de soporte del curso, este debería:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Servir para repasar y consolidar los conceptos básicos que la mayoría de estudiantes traerán consigo.
\item
Además, y sobretodo, debe proporcionar una visión general, lo más completa posible dentro de las limitaciones de tiempo, del campo de la inferencia estadística
\end{itemize}
Y, naturalmente, una de las formas de consolidar conocimientos, como en cualquier disciplina cuantitatva,es a traves de la resolución de ejercicios que permiten reflexionar, comprender y ver como se aplican los conceptos teóricos introducidos.
Para ello, estos materiales contienen una serie de ejercicios similares a los que se proponen en las actividades y pruebas de evaluación continua de la asignatura.
La mayoría de los ejercicios estan resueltos, pero \emph{es importante intentar resolverlos de forma autónoma antes de consultar la solución}.
En general los ejercicios no presuponen ningún conocimiento especial de matemáticas, más allá de las habilidades básicas que se adquieren durante los estudios de una carrera de ciencias o de ingeniería.
\section{Probabilidad y Experimentos aleatorios}\label{probabilidad-y-experimentos-aleatorios}
\subsection{Problema 1}\label{problema-1}
Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos. Suponiendo que \(P(A)=0.3, P(B)=0.6\), y \(P(A \cap B)=0.1\), calcula las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\item
\(P(A \cup B)\)
\item
\(P(A^c)\)
\item
\(P(A c \cap B)\)
\item
\(P(A \cap B^c)\)
\item
\(P(A^c \cap B^c)\)
\end{enumerate}
\subsubsection{Solución}\label{soluciuxf3n}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\tightlist
\item
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0.3+0.6-0.1=0.8\)
\item
\(P\left(A^{c}\right)=1-P(A)=1-0.3=0.7\)
\item
\(P\left(A^{c} \cap B\right)=P(B)-P(A \cap B)=0.6-0.1=0.5\)
\item
\(P\left(A \cap B^{c}\right)=P(A)-P(A \cap B)=0.3-0.1=0.2\)
\item
\(P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=1-P(A \cup B)=1-0.8=0.2\)
\end{enumerate}
\subsection{Problema 2}\label{problema-2}
Una población está afectada por tres enfermedades diferentes A, B i C. La probabilidad de que una persona sufra \(A\) es 0.30 , la probabilidad de que sufra \(B\) es 0.20 y la probabilidad de que sufra \(C\) es 0.15 . La probabilidad de que una persona sufra \(A\) y \(B\) es 0.12 , la que sufra \(A\) y \(C\) es 0.09 y la que sufra \(B\) y \(C\) es 0.06 . La probabilidad de que una persona sufra las tres enfermedades es 0.03 . Se piden las probabilidades de que una persona escogida al azar:
\begin{enumerate}
\item padezca al menos una enfermedad
\item sólo sufra $A$
\item sufra B o C, pero no sufra A
\item sufra A o no sufra ni B ni C.
\end{enumerate}
\subsubsection{Solución}\label{soluciuxf3n-1}
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\tightlist
\item
\textbf{¿Cuál es la probabilidad de que una persona padezca al menos una enfermedad?}
\end{enumerate}
Queremos calcular la probabilidad de que una persona sufra al menos una de las tres enfermedades, es decir, \(P(A \cup B \cup C)\).
Para calcular \(P(A \cup B \cup C)\), usamos la regla de inclusión-exclusión:
\[
P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
\]
Sustituyendo los valores dados en el enunciado:
\[
P(A \cup B \cup C) = 0.30 + 0.20 + 0.15 - 0.12 - 0.09 - 0.06 + 0.03 = 0.41
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona padezca al menos una enfermedad es \textbf{0.41}.
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
\textbf{¿Cuál es la probabilidad de que una persona solo sufra \(A\)?}
\end{enumerate}
Para resolver esto, necesitamos calcular la probabilidad de que la persona sufra \(A\), pero no \(B\) ni \(C\), es decir, \(P(A \cap B^c \cap C^c)\).
Podemos calcular \(P(A \cap B^c \cap C^c)\) restando de \(P(A)\) la probabilidad de que la persona sufra \(A\) junto con alguna de las otras dos enfermedades:
\[
P(A \cap B^c \cap C^c) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P(A \cap B^c \cap C^c) = 0.30 - 0.12 - 0.09 + 0.03 = 0.12
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona solo sufra \(A\) es \textbf{0.12}.
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
\textbf{¿Cuál es la probabilidad de que una persona sufra \(B\) o \(C\), pero no sufra \(A\)?}
\end{enumerate}
Aquí buscamos la probabilidad \(P(A^c \cap (B \cup C))\), es decir, la probabilidad de que la persona no tenga \(A\), pero tenga \(B\) o \(C\).
Primero, calculamos \(P(B \cup C)\) utilizando la regla de inclusión-exclusión:
\[
P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P(B \cup C) = 0.20 + 0.15 - 0.06 = 0.29
\]
Ahora, para calcular \(P(A^c \cap (B \cup C))\), restamos de \(P(B \cup C)\) la probabilidad de que la persona tenga \(A\) y alguna de las enfermedades \(B\) o \(C\), es decir, \(P(A \cap (B \cup C))\):
\[
P(A \cap (B \cup C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P(A \cap (B \cup C)) = 0.12 + 0.09 - 0.03 = 0.18
\]
Finalmente, restamos:
\[
P(A^c \cap (B \cup C)) = P(B \cup C) - P(A \cap (B \cup C)) = 0.29 - 0.18 = 0.11
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona sufra \(B\) o \(C\), pero no \(A\), es \textbf{0.11}.
\begin{center}\rule{0.5\linewidth}{0.5pt}\end{center}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{3}
\tightlist
\item
\textbf{¿Cuál es la probabilidad de que una persona sufra \(A\) o no sufra ni \(B\) ni \(C\)?}
\end{enumerate}
Aquí buscamos la probabilidad \(P(A \cup (B^c \cap C^c))\), es decir, que la persona sufra \(A\) o que no sufra ni \(B\) ni \(C\).
Primero, calculamos \(P(B^c \cap C^c)\), que es la probabilidad de que la persona no sufra ni \(B\) ni \(C\). Esto es simplemente \(1 - P(B \cup C)\), que ya calculamos previamente:
\[
P(B^c \cap C^c) = 1 - P(B \cup C) = 1 - 0.29 = 0.71
\]
Ahora, aplicamos la regla de la unión para calcular \(P(A \cup (B^c \cap C^c))\):
\[
P(A \cup (B^c \cap C^c)) = P(A) + P(B^c \cap C^c) - P(A \cap B^c \cap C^c)
\]
Ya calculamos \(P(B^c \cap C^c)\), y sabemos que \(P(A \cap B^c \cap C^c)\) es la probabilidad de que una persona solo sufra \(A\), que también calculamos previamente:
\[
P(A \cap B^c \cap C^c) = 0.12
\]
Sustituyendo los valores:
\[
P(A \cup (B^c \cap C^c)) = 0.30 + 0.71 - 0.12 = 0.89
\]
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona sufra \(A\) o no sufra ni \(B\) ni \(C\) es \textbf{0.89}.
\textbf{Resumiendo:}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
La probabilidad de que una persona padezca al menos una enfermedad es \textbf{0.41}.
\item
La probabilidad de que una persona solo sufra \(A\) es \textbf{0.12}.
\item
La probabilidad de que una persona sufra \(B\) o \(C\), pero no \(A\), es \textbf{0.11}.
\item
La probabilidad de que una persona sufra \(A\) o no sufra ni \(B\) ni \(C\) es \textbf{0.89}.
\end{enumerate}
\subsection{Problema 3}\label{problema-3}
Por los síntomas observados en un enfermo, y según la experiencia acumulada en un gran número de situaciones similares, se deduce que ha podido coger la enfermedad \(A\) con probabilidad \(1 / 3\), o la enfermedad \(B\) con probabilidad \(2 / 3\). Con el fin de precisar el diagnóstico, se hace un análisis clínico al enfermo con dos resultados posibles, positivo o negativo. Se sabe, también por experiencia, que en los pacientes que tienen la enfermedad En el análisis es positiva con probabilidad 0.99 , y en los que padecen la enfermedad B lo es con probabilidad 0.06
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\item
¿Cuál es la probabilidad de que el análisis dé un
resultado negativo?
\item
Si el resultado ha sido positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el paciente sufra la enfermedad A? ¿Y la probabilidad de que padezca la enfermedad B?
\end{enumerate}
\subsubsection{Solución}\label{soluciuxf3n-2}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
\item
\[
\begin{aligned}
P(Neg)&=P(Neg|A) \cdot P(A)+P(Neg|B) \cdot P(B)=
\\&= 0.01 \cdot 1 / 3+0.94 \cdot 2 / 3=0.63
\end{aligned}
\]
\item
\end{enumerate}
\[
\begin{aligned}
\mathrm{P}(\mathrm{A} | Pos )&=\frac{P(\text { Pos } | A) P(A)}{P(\text { Pos})}=0.8919, \quad \text{para A},\\
\mathrm{P}(\mathrm{B} | Pos)&=1-\mathrm{P}(\mathrm{A} / Positiu )=0.1081, \quad \text{para $B$}.
\end{aligned}
\]
Las probabilidades las hemos calculado con R a partir de la información del enunciado:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{pA}\OtherTok{\textless{}{-}}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{3}
\NormalTok{pB}\OtherTok{\textless{}{-}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{3}
\NormalTok{ppA}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.99}
\NormalTok{ppB}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.06}
\NormalTok{pn}\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ppA)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{pA}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ppB)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{pB}
\NormalTok{pn}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.63
\end{verbatim}
\subsection{Problema 4}\label{problema-4}
El embolismo pulmonar es una condición relativamente común que necesita hospitalización y que a menudo ocurre en pacientes hospitalizados. La presión arterial menor de 90 mm HG es uno de los criterios importantes para diagnosticar esta condición. Supongamos que la sensibilidad del test es del 95\% y la especificidad del test es del 75\% y la prevalencia es del 20\%.
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\item
Calcula el valor predictivo positivo del test.
\item
Calcula el valor predictivo negativo del test.
\item
Responde a las preguntas anteriores si la prevalencia fuera del \(80 \%\).
\end{enumerate}
\subsubsection{Solución}\label{soluciuxf3n-3}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\tightlist
\item
Calcula el valor predictivo positivo del test
\end{enumerate}
\[
V P+=P(\text { Embolismo } / \text { Test }+)=\frac{\text { Sens}\times\text{Prev }}{\text { Sens}\times\text{Prev }+(1-\text { Esp })(1-\text { Prev })}
\]
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{sens}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.95}
\NormalTok{esp}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.75}
\NormalTok{prev}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.20}
\NormalTok{vpp}\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{(sens}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(sens}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{esp)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev))}
\NormalTok{vpp}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.4871795
\end{verbatim}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
Calcula el valor predictivo negativo del test
\end{enumerate}
\[
V P-=\frac{\operatorname{Esp}(1-\operatorname{Prev})}{\operatorname{Esp}(1-\operatorname{Prev})+(1-\text { Sens }) \operatorname{Prev}}
\]
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{vpn}\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{(esp}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(esp}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev)}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{sens)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev)}
\NormalTok{vpn}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.9836066
\end{verbatim}
Como se observa al tratarse de una prueba muy sensible y poco específica hay pocos falsos negativos y cuando el test da negativo hay una probabilidad muy alta (0.98) de que el individuo sea sano. No así cuando da positivo. Sólo el \(48 \%\) serán verdaderos enfermos.
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
Responde a las preguntas anteriores si la prevalencia fuera del 80\%
\end{enumerate}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{prev}\OtherTok{\textless{}{-}}\FloatTok{0.80}
\NormalTok{vpp}\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{(sens}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(sens}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{esp)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev))}
\NormalTok{vpp}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.9382716
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{vpn}\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{(esp}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(esp}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev)}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{sens)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{prev)}
\NormalTok{vpn}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.7894737
\end{verbatim}
Si la prevalencia es más alta, el VP- sigue siendo alto, aunque no tanto pero hemos aumentado el VP+ hasta el 93\% y no habrá tantos falsos positivos. Lo que está claro es el VPN y el VPP dependen de la prevalencia de la enfermedad.
\subsection{Problema 5}\label{problema-5}
Un índice que evalúa el síndrome de la muerte súbita (SMS) tiene una sensibilidad del \(68 \%\) y una especificidad del \(82 \%\). ¿Cuáles son los valores predictivos positivo y negativo del índice si se aplica a una población donde se producen un \(0,21 \%\) de muertes súbitas sobre el total de nacimientos?
\subsubsection{Solución}\label{soluciuxf3n-4}
La prevalencia del síndrome de la muerte súbita en la población es del 0.21\%, es decir 0.0021.
Nos piden que calculemos respectivamente los valores predictivos positivo y negativo del test. Es decir, que tan bien funciona el test para detectar la enfermedad (\(SMS\)) cuando da un resultado positivo (\(T+\)) y para indicar su ausencia (\(SMS^c\)), mediante un resultado negativo (\(T-\)).
\[
VP+ = P[SMS | T+],\qquad VP- = P[SMS^c | T-],
\]
Puede hacerse el cálculo directamente a partir de las probabilidades condicionadas.
\[
\begin{aligned}
VP+ & = P[SMS | T+]= \frac {P[T+ | SMS]\times P[SMS]}{P[T+]} =\\
& = \frac {P[T+ | SMS]\times P[SMS]}
{P[T+|SMS]\times P[SMS]+ P[T+|SMS^c]\times P[SMS^c]}=\\
& = \frac{\text {Sensibilidad}\times \text{Prevalencia}}
{\text {Sensibilidad}\times \text{Prevalencia}+
\text {1-Especificidad}\times \text{1-Prevalencia}}
\end{aligned}
\]
De forma análoga:
\[
\begin{aligned}
VP- & = P[SMS^c | T-]= \frac {P[T- | SMS^c]\times P[SMS^c]}{P[T-]} =\\
& = \frac {P[T- | SMS^c]\times P[SMS^c]}{P[T- | SMS^c]\times P[SMS^c] + P[T- | SMS]\times P[SMS]}=\\
& = \frac{\text {Especificidad}\times \text{1-Prevalencia}}
{\text {Especificidad}\times \text{1-Prevalencia}+
\text {1-Sensibilidad}\times \text{Prevalencia}}
\end{aligned}
\]
Estos cálculos se reañlizan de forma imediata usando R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{sensi }\OtherTok{\textless{}{-}} \FloatTok{0.68}
\NormalTok{espec }\OtherTok{\textless{}{-}} \FloatTok{0.82}
\NormalTok{prev }\OtherTok{\textless{}{-}} \FloatTok{0.0021}
\NormalTok{vp.pos }\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{ (sensi }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ prev )}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (sensi }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ prev }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{espec)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev))}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{ (}\StringTok{"El valor predictivo positivo es: "}\NormalTok{, vp.pos)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## El valor predictivo positivo es: 0.007887324
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{vp.neg }\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{ (espec }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev) )}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (espec }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{prev) }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{sensi)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ (prev))}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{ (}\StringTok{"El valor predictivo negativo es: "}\NormalTok{, vp.neg)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## El valor predictivo negativo es: 0.9991794
\end{verbatim}
Como en el caso anterior, podemos ver que. al ser la prevalencia muy baja, el valor predicpositivo del test también lo es puesto que un test + tan solo indica en un 0,79\% de veces la presencia del síndrome, correctamente.
\section{Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidad}\label{variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidad}
\subsection{Ejercicio 2.1}\label{ejercicio-2.1}
Se sabe que la presencia de algunas mutaciones en una región genómica puede influir en la sobreexpresión (``Up'') o la inhibición (``Down'') de dos genes distintos. Se conocen 6 variantes de dicha mutación y, dado que los efectos de la sobreexpresión de los dos genes son muy similares se ha optado por contar únicamente cuántos genes se sobre-expresan en presencia de cada una de ellas (un individuo puede presentar una única variante). Un estudio realizado sobre 300 pacientes ha permitido estimar las siguientes probabilidades de aparición de cada mutación así como el número de genes sobre-expresados asociados a las mismas. Los resultados se encuentran disponibles en la tabla siguiente:
\begin{longtable}[]{@{}ccc@{}}
\toprule\noalign{}
Mutación & Probabilidad & \(N^{\circ}\) de genes \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
\(e_{1}\) & 0.15 & 0 \\
\(e_{2}\) & 0.13 & 1 \\
\(e_{3}\) & 0.07 & 1 \\
\(e_{4}\) & 0.30 & 2 \\
\(e_{5}\) & 0.20 & 2 \\
\(e_{6}\) & 0.15 & 0 \\
\end{longtable}
Consideremos la variable aleatoria: \(X=\) ``Número de genes sobre expresados''
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
Obtener su distribución de probabilidad y representarla gráficamente
\item
Calcular la esperanza y la varianza de dicha variable
\end{enumerate}
\textbf{SOLUCIÓN}
La variable aleatoria que nos interesa es \(X=\) ``Número de genes sobre-expresados''.
\subsubsection{Distribución de probabilidad}\label{distribuciuxf3n-de-probabilidad}
Para obtener la distribución de probabilidad de \(X\), necesitamos sumar las probabilidades de las mutaciones que tienen el mismo número de genes sobre-expresados.
Los posibles valores de \(X\) son 0, 1 y 2. A continuación calculamos la probabilidad de cada uno:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Para \(X = 0\), las mutaciones son \(e_1\) y \(e_6\):
\end{itemize}
\[
P(X = 0) = P(e_1) + P(e_6) = 0.15 + 0.15 = 0.30
\]
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Para \(X = 1\), las mutaciones son \(e_2\) y \(e_3\):
\end{itemize}
\[
P(X = 1) = P(e_2) + P(e_3) = 0.13 + 0.07 = 0.20
\]
\begin{itemize}
\tightlist
\item
Para \(X = 2\), las mutaciones son \(e_4\) y \(e_5\):
\end{itemize}
\[
P(X = 2) = P(e_4) + P(e_5) = 0.30 + 0.20 = 0.50
\]
La distribución de probabilidad de \(X\) es la siguiente:
\[
P(X = x) =
\begin{cases}
0.30 & \text{si } x = 0, \\
0.20 & \text{si } x = 1, \\
0.50 & \text{si } x = 2.
\end{cases}
\]
Podemos representarla gráficamente usando R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Valores de X y sus probabilidades}
\NormalTok{X\_values }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{, }\DecValTok{1}\NormalTok{, }\DecValTok{2}\NormalTok{)}
\NormalTok{probabilities }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.30}\NormalTok{, }\FloatTok{0.20}\NormalTok{, }\FloatTok{0.50}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Crear el gráfico}
\FunctionTok{barplot}\NormalTok{(probabilities, }\AttributeTok{names.arg =}\NormalTok{ X\_values, }\AttributeTok{col =} \StringTok{"lightblue"}\NormalTok{,}
\AttributeTok{main =} \StringTok{"Distribución de Probabilidad de X"}\NormalTok{,}
\AttributeTok{xlab =} \StringTok{"Número de genes sobre{-}expresados"}\NormalTok{, }\AttributeTok{ylab =} \StringTok{"Probabilidad"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\includegraphics{Ejercicios-de-Inferencia-Estadistica_files/figure-latex/unnamed-chunk-7-1.pdf}
\subsubsection{Esperanza y varianza}\label{esperanza-y-varianza}
La \textbf{esperanza} (o valor esperado) de una variable aleatoria discreta \(X\) se calcula como:
\[
E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
E(X) = 0 \cdot 0.30 + 1 \cdot 0.20 + 2 \cdot 0.50 = 0 + 0.20 + 1.00 = 1.20
\]
La \textbf{varianza} de \(X\) se calcula como:
\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
Primero calculamos \(E(X^2)\):
\[
E(X^2) = \sum_{x} x^2 \cdot P(X = x)
\]
\[
E(X^2) = 0^2 \cdot 0.30 + 1^2 \cdot 0.20 + 2^2 \cdot 0.50 = 0 + 0.20 + 2.00 = 2.20
\]
Entonces, la varianza es:
\[
\text{Var}(X) = 2.20 - (1.20)^2 = 2.20 - 1.44 = 0.76
\]
Verificamos los cálculos con R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Calcular esperanza y varianza}
\NormalTok{esperanza }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(X\_values }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ probabilities)}
\NormalTok{esperanza\_cuadrado }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(X\_values}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{*}\NormalTok{ probabilities)}
\NormalTok{varianza }\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{ esperanza\_cuadrado }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ esperanza}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}
\NormalTok{esperanza}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 1.2
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{varianza}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.76
\end{verbatim}
\subsection{Ejercicio 2.2}\label{ejercicio-2.2}
Para describir el número de mutaciones presentes en un volumen estándar de un tumor unos investigadores han propuesto el modelo siguiente
\[
p(x)=\frac{K}{2+x}, x=0,1,2,3,4,5
\]
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
Determinar qué valor debe de tener \(K\) para que \(p(x)\) sea una función de masa de probabilidad
\item
Calcular su esperanza y su varianza
\item
Calcular las probabilidades de los sucesos:
\begin{itemize}
\tightlist
\item
1 Un tumor presenta exactamente tres mutaciones
\item
2 Un tumor presenta al menos una mutación
\item
3 Un tumor presenta como máximo dos mutaciones.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\textbf{SOLUCIÓN}
Se considera el modelo para la distribución de probabilidades de mutaciones en un tumor dado por:
\[
p(x)=\frac{K}{2+x}, x=0,1,2,3,4,5
\]
\subsubsection{\texorpdfstring{Valor de \(K\)}{Valor de K}}\label{valor-de-k}
Para que \(p(x)\) sea una función de masa de probabilidad, la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1. Es decir:
\[
\sum_{x=0}^{5} p(x) = 1
\]
Sustituyendo la fórmula de \(p(x)\):
\[
\sum_{x=0}^{5} \frac{K}{2+x} = 1
\]
Simplificamos la suma:
\[
K \sum_{x=0}^{5} \frac{1}{2+x} = 1
\]
La suma es:
\[
\sum_{x=0}^{5} \frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}
\]
Podemos calcular esta suma numéricamente en R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Valores de la suma}
\NormalTok{suma }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(}\DecValTok{1} \SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{5}\NormalTok{))}
\CommentTok{\# Calcular el valor de K}
\NormalTok{K }\OtherTok{\textless{}{-}} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{/}\NormalTok{ suma}
\NormalTok{K}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.6278027
\end{verbatim}
\subsubsection{Esperanza y la varianza}\label{esperanza-y-la-varianza}
La \textbf{esperanza} de \(X\) se calcula como:
\[
E(X) = \sum_{x=0}^{5} x \cdot p(x) = \sum_{x=0}^{5} x \cdot \frac{K}{2+x}
\]
La \textbf{varianza} se calcula usando:
\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
Para esto, primero calculamos \(E(X^2)\):
\[
E(X^2) = \sum_{x=0}^{5} x^2 \cdot p(x) = \sum_{x=0}^{5} x^2 \cdot \frac{K}{2+x}
\]
Podemos calcular la esperanza y la varianza en R de la siguiente forma:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Calcular la esperanza}
\NormalTok{esperanza }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{((}\DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{5}\NormalTok{) }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ K }\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{5}\NormalTok{))}
\CommentTok{\# Calcular la esperanza al cuadrado}
\NormalTok{esperanza\_cuadrado }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{((}\DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{5}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{*}\NormalTok{ K }\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{5}\NormalTok{))}
\CommentTok{\# Calcular la varianza}
\NormalTok{varianza }\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{ esperanza\_cuadrado }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ esperanza}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}
\NormalTok{esperanza}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 1.766816
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{varianza}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 2.761769
\end{verbatim}
\subsubsection{Probabilidades}\label{probabilidades}
\textbf{Probabilidad de que un tumor presente exactamente tres mutaciones}
La probabilidad de que \(X = 3\) es:
\[
P(X = 3) = p(3) = \frac{K}{2+3}
\]
Podemos calcularlo en R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Probabilidad de X = 3}
\NormalTok{P\_X\_3 }\OtherTok{\textless{}{-}}\NormalTok{ K }\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{3}\NormalTok{)}
\NormalTok{P\_X\_3}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.1255605
\end{verbatim}
\textbf{Probabilidad de que un tumor presente al menos una mutación}
La probabilidad de que \(X \geq 1\) es:
\[
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)
\]
Podemos calcularlo en R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Probabilidad de X \textgreater{}= 1}
\NormalTok{P\_X\_1 }\OtherTok{\textless{}{-}} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ K }\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{0}\NormalTok{)}
\NormalTok{P\_X\_1}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.6860987
\end{verbatim}
\textbf{Probabilidad de que un tumor presente como máximo dos mutaciones}
La probabilidad de que \(X \leq 2\) es:
\[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]
Podemos calcularlo en R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Probabilidad de X \textless{}= 2}
\NormalTok{P\_X\_2 }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(K }\SpecialCharTok{/}\NormalTok{ (}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{0}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{2}\NormalTok{))}
\NormalTok{P\_X\_2}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## [1] 0.6801196
\end{verbatim}
\subsection{Ejercicio 2.3}\label{ejercicio-2.3}
Un modelo simplificado del tiempo de supervivencia, en años, tras un diagnóstico de una variante de leucemia es el siguiente:
\[
f_{x}(x)=-0.5 \cdot x+1, \quad \text { donde } \quad 0 \leq x \leq 2
\]
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\item
Comprobar que \(f_{X}\) es una densidad. Representarla gráficamente.
\item
Calcular \(\mathrm{F}_{\mathrm{X}} \mathrm{y}\) representarla gráficamente.
\item
Calcular \(P(X \geq 1), P(X>1), P(X=1), f_{x}(1)\).
\item
Calcular la probabilidad de que un individuo diagnosticado con leucemia sobreviva :
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\roman{enumi})}
\tightlist
\item
menos de seis meses, (ii) entre seis meses y un año, (iii) más de dos años.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\setcounter{enumi}{4}
\item
Calcular \(E(X)\) i \(\operatorname{Var}(X)\).
\item
En vista que el modelo anterior no ha resultado satisfactorio una bioestadística ha propuesto un modelo alternativo consistente en modelizar la variable como:
\end{enumerate}
\[
g_{X}(x)=\exp (-k x), \text { dondex } \geq 0
\]
Calcular la constante \(k\) para que \(\mathrm{g}_{\mathrm{x}}\) sea una función de densidad de probabilidad. Repetir los cálculos de los apartados b), c), d) y e) con el nuevo modelo. Discutir adecuación de ambos modelos a una situación real.
\textbf{SOLUCIÓN}
\subsubsection{\texorpdfstring{\(f_X(x)\) es una densidad}{f\_X(x) es una densidad}}\label{f_xx-es-una-densidad}
Para comprobar que \(f_X(x)\) es una función de densidad, necesitamos verificar que cumple las dos condiciones básicas:
\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
\(f_X(x) \geq 0\) para todo \(x\) en su dominio.
\item
La integral de \(f_X(x)\) sobre todo su dominio debe ser 1, es decir:
\end{enumerate}
\[
\int_0^2 f_X(x) \, dx = 1
\]
La función de densidad dada es \(f_X(x) = -0.5 \cdot x + 1\) con \(0 \leq x \leq 2\).
Primero, comprobamos que \(f_X(x) \geq 0\) para \(x \in [0, 2]\). Evaluamos los valores extremos: