-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
EM2Cap8.tex
1947 lines (1711 loc) · 63.9 KB
/
EM2Cap8.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\chapter{Estadística no paramètrica}
\label{capitol-No-Parametrica}
\section{Introducció}
En aquest capítol presentarem de forma breu alguns tests no
paramètrics per a problemes d'una, dues o vàries mostres.
L'objectiu d'aquests tests és disposar d'alternatives a les proves
d'hipòtesis de comparació clàssiques quan no es coneix la forma de
la distribució de les dades o la llei de les variables. En
particular seran alternatives als tests sobre la mitjana o
comparació de mitjanes quan no es verifica la suposició de
normalitat de les dades. Ens referim als tests basats en
poblacions normals com a \emph{contrastos paramètrics} ja que es
basen en comparar mitjanes o paràmetres de la llei normal. En
contraposició, els que considerem aquí i que denominarem
\emph{contrastos no paramètrics} poden comparar medianes, quantils
o fins i tot tota la distribució en bloc. Observem doncs que
\emph{no paramètrics} no significa que aquests tests no compararin
algun paràmetre com la mediana, més aviat significa que no volem
fer determinades suposicions sobre la funció de distribució de les
variables.
Des d'un punt de vista pràctic, que també és el que adopten molts
programes informatics d'anàlisi estadística, distingirem entre:
\begin{itemize}
\item Problemes d'una mostra
\item Problemes de dues mostres amb dades aparellades
\item Problemes de dues mostres independents
\item Problemes de $k$ mostres independents.
\end{itemize}
Aquesta distinció ens permet classificar les tècniques que
estudiem i comparar-les amb les corresponents proves
paramètriques:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline \textbf{Problema} & \textbf{Test paramètric} & \textbf{Test no paramètric} \\ \hline
Una mostra & Test $t$ d'una mostra & Test dels signes \\
& & Test dels rangs signats \\ \hline
Dades aparellades & Test $t$ de dades & Test dels signes \\
& aparellades & Test dels rangs signats \\ \hline
Dues mostres ind. & Test $t$ per a dues & Test $U$ de Mann-Whitney \\
& mostres ind. (amb & \\
& test $F$ previ) & \\ \hline
$k$ mostres ind. & ANOVA\ d'un factor & Test de Kruskal-Wallis \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
A més, alguns tests no paramètrics tenen d'altres utilitats com
els tests d'aleatorietat, els tests de ratxes, etc
\section{Test dels signes}
\subsection{Test per a la mediana}
Sigui $X$ una variable aleatòria amb distribució continua $F_X$
desconeguda i $M=Q_{50}$ la seva mediana o quantil 50\%, és a dir,
el valor tal que
\[
P(X\leq M)=0.5
\]
Suposem que volem contrastar les hipòtesis
\[
\begin{split}
H_0 &: M=m_0 \\
H_1 &: M\ne m_0
\end{split}
\]
Donada una mostra $x_1,x_2,\dots,x_n$, considerem el ``signe'' de cada valor
mostral per comparació amb la mediana proposada per la hipòtesi $H_0$, és a dir,
\[
\textrm{signe}(x_i)=\left\{
\begin{array}{ll}
+ & \textrm{si $x_i>m_0$} \\
- & \textrm{si $x_i<m_0$}
\end{array}
\right.
\]
L'estadístic $B=\textrm{``Nombre de signes positius''}$ és:
\[
B(x_1,x_2,\dots,x_n) =\sum_{i=1}^n I_{x_i>m_0}
\]
on
\[
I_{x_i>m_0}=\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \textrm{si $x_i>m_0$ ($\textrm{signe}(x_i)=+$)} \\
0 & \textrm{si $x_i<m_0$ ($\textrm{signe}(x_i)=-$)}
\end{array}
\right.
\]
Si la hipòtesi nu{\ll}a és certa la distribució de l'estadístic
$B$ serà una binomial de paràmetres $n$ i $1/2$ i és raonable
esperar que $B$ prengui valors pròxims a $n/2$, mentre que quan
sigui falsa és d'esperar que prengui valors a les cues de la
distribució. Així doncs, una regió crítica per al test serà
aquella en que el nombre de signes positius sigui massa alt o
massa baix com per ser coherent amb la hipòtesi nu{\ll}a que
implica que n'hi ha tants de positius com negatius. Podem agafar
com regió crítica:
\[
W =\{B(\mathbf{x})\leq b_{\alpha/2}\}\cup \{B(\mathbf{x})\geq
b_{1-\alpha/2}\}
\]
on $b_{\alpha/2}$ i $b_{1-\alpha/2}$ es determinen de forma que la
probabilitat de les dues cues d'una distribució $B(n,\frac 12)$
sigui igual al nivell de significació $\alpha$ (o una mica menor
que $\alpha$), és a dir,
\[
\sum_{i=0}^{b_{\alpha/2}}\binom ni\left( \frac 12\right)^i \left(
\frac 12\right)^{n-i}+ \sum_{i=b_{1-\alpha/2}}^n\binom ni\left(
\frac 12\right)^i \left( \frac 12\right)^{n-i}\leq \alpha
\]
\textbf{Observacions}
\begin{itemize}
\item Encara que amb probabilitat teòrica zero, perquè la variable
considerada té funció de distribució continua, es pot donar el cas
$x_i=m_0$ de signe indefinit. Si no és possible augmentar la
precisió, s'aconsella eliminar aquest valor mostral i
descomptar-ho conseqüentment de la mida de la mostra.
\item Si la hipòtesi alternativa és $M<m_0$ o bé $M>m_0$
la regió crítica s'adapta a aquesta hipòtesi de la manera
raonable, és a dir:
\[
\begin{split}
H_1 &: M<m_0 \quad\Rightarrow\quad
W=\left\{B(\mathbf{x})\leq b_{\alpha}\right\} \\
H_1 &: M>m_0 \quad\Rightarrow\quad
W=\left\{B(\mathbf{x})\geq b_{1-\alpha/2}\right\}
\end{split}
\]
\item Alguns llibres porten taules de la distribució binomial que podem
fer servir per trobar els valors crítics. Per a $n\geq 20$ podem
aproximar la binomial per una normal.
\end{itemize}
\begin{example}\label{example_nopara_1}
La següent taula recull una mostra de 40 notes en un examen.
Contrasteu amb un nivell de significació 0.05 la hipòtesi que el
valor mitjà (mediana) de les notes és 66.
\[
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
71 & 67 & 55 & 64 & 82 & 66 & 74 & 58 & 79 & 61 \\
78 & 46 & 84 & 93 & 72 & 54 & 78 & 86 & 48 & 52 \\
67 & 95 & 70 & 43 & 70 & 73 & 57 & 64 & 60 & 83 \\
73 & 40 & 78 & 70 & 64 & 86 & 76 & 62 & 95 & 66 \\ \hline
+ & + & - & - & + & 0 & + & - & + & - \\
+ & - & + & + & + & - & + & + & - & - \\
+ & + & + & - & + & + & - & - & - & + \\
+ & - & + & + & - & + & + & - & + & 0 \\ \hline
\end{array}
\]
\end{example}
\textit{Solució:}
Si restem 66 de les notes observades i retenim només els signes de
les diferències, s'obtenen 23 signes $+$, 15 signes $-$ i 2 zeros.
Descartats els zeros, $B=23$ sobre un total de $38$. Si fem un
contrast bilateral amb l'aproximació normal, la regió d'acceptació
és $\{-1.96\le z\le 1.96\}$.
Donat que
\[
z=\frac{(23-0.5)-38\cdot 0.5}{\sqrt{38\cdot 0.5\cdot 0.5}}=1.14
\]
acceptem la hipòtesi que la mediana és 66, al nivell 0.05.
\subsection{Test dels signes per a dades aparellades}
El test dels signes pot servir també en el cas de dades
aparellades. \par
Considerem una mostra de dues variables $X,Y$
\[
(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)
\]
amb $n$ observacions en dues situacions el més homogènies
possible.
Suposem que les distribucions de les dues variables són semblants,
excepte potser en un paràmetre de localització com la mediana. És
a dir, les dues situacions considerades només poden traslladar la
distribució i no modifiquen la forma.
Ara volem contrastar la hipòtesi que no hi ha diferència entre les
dues situacions: les diferències observades entre els valors $x_i$
i $y_i$ són degudes a l'atzar, és a dir, les dues mostres
$x_1,\dots,x_n$ i $y_1,\dots,y_n$ procedeixen de la mateixa
població. Això es pot expressar estadísticament amb la hipòtesi
$H_0$ d'igualtat de les distribucions de probabilitat, que amb les
suposicions assumides és equivalent a la igualtat de medianes.
Si la hipòtesi $H_0$ és certa, i la distribució de la variable
diferència $D=X-Y$ és simètrica en l'origen, es verificarà
\[
P(X>Y)=P(X-Y>0)=\frac 12
\]
Així doncs, podem aplicar el test dels signes a la variable
diferència $D=X-Y$. En general, però no necessàriament sempre, s'agafarà
com valor de $m_0$ el 0.
\begin{example}\label{example_nopara_2}
Es vol comparar el número de peces defectuoses produïdes per dues
màquines diferents. S'observa la producció en 10 dies, amb la
mateixa producció diària per a les dues màquines encara que
diferent cada dia, i els resultats són:
\[
\begin{array}{|l|cccccccccc|}\hline
\textrm{{\em Dia}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline \textrm{{\em Màquina 1}} & 46 & 110 & 70 & 54 & 60 & 120 &
82 & 76 & 37 & 28 \\ \hline
\textrm{{\em Màquina 2}} & 42 & 87 & 75 & 50 & 48 & 108 & 80 & 67 & 40 & 25 \\
\hline
\end{array}
\]
Amb un nivell de significació $\alpha=0.06$, podem acceptar que la
primera màquina produeix més peces defectuoses?
\end{example}
\textit{Solució:}
El fet que la producció total diària d'ambdues màquines sigui la
mateixa permet considerar les dades aparellades. Que la producció
diària sigui diferent cada dia aconsella utilitzar un test no
paramètric. \par Observem els signes de les diferències
\[
\begin{array}{lcccccccccc}
\textrm{Dia:} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\textrm{Signe:} & + & + & - & + & + & + & + & + & - & +
\end{array}
\]
De manera que $B=8$ sobre $n=10$. En aquest contrast, la regió
crítica és unilateral i concretament és $W=\{8,9,10\}$, ja que
\[
P(B\ge 8)=\sum_{i=8}^{10} \binom{10}{i} 0.5^{10} = 0.0547 <
\alpha=0.06
\]
Donat que la freqüència observada és 8 i pertany a la regió
crítica, rebutgem la igualtat i podem acceptar que la màquina 1
produeix més peces defectuoses.
\subsection{Test per a dades binaries}
En el cas d'una mostra de valors d'una variable dicotòmica com per
exemple
\[
a,a,b,b,b,a,a,b,a,\dots,b
\]
podem aplicar el test dels signes per contrastar l'equilibri de
les probabilitats d'ambdós valors.
\begin{example}\label{example_nopara_3}
Davant d'un canvi en un servei públic es fa una enquesta a 300
persones, a les quals se'ls demana si el servei ha millorat o
empitjorat, sense possibilitat de ser indiferent. Ha resultat que
197 persones han dit que el servei ha millorat i volem contrastar
aquest fet amb un nivell de significació del 0.01.
\end{example}
\textit{Solució:}
Sota la hipòtesi nu{\ll}a d'equilibri, el número $B$ de persones
que afirmen que el servei ha millorat segueix una distribució
binomial $B(300,0.5)$ de forma que
\[
z=\frac{(197-0.5)-150}{\sqrt{300\cdot 0.5\cdot 0.5}}=5.37
\]
La regió crítica d'una cua és $W=\{z>2.33\}$ per a un
$\alpha=0.01$, de manera que acceptem l'opinió que el servei ha
millorat.
\subsection{Test de McNemar}
És una variant del test dels signes. Suposem que un conjunt
d'individus es classifiquen en dues categories oposades, que podem
indicar amb els signes $+$ i $-$. Després d'algun estímul, és
possible que alguns individus canviïn de categoria, de forma que
s'obté la taula de freqüències
\begin{center}
\begin{tabular}{lc|cc|}
& & \multicolumn{2}{c|}{Després} \\
& & $-$ & $+$ \\ \hline
Abans & $+$ & $a$ & $b$ \\
& $-$ & $c$ & $d$ \\ \hline
\end{tabular}
\qquad $a+b+c+d=n$
\end{center}
Només $a+d$ individus han canviat. Sota la hipòtesi nu{\ll}a que
les proporcions no canvien, les probabilitats són
\[
P(+\to -)=P(-\to +)=1/2
\]
de manera que la freqüència esperada en aquest dos casos és
$(a+d)/2$. Podem aplicar el test khi-quadrat
\[
\chi^2=\frac{(a-(a+d)/2)^2}{(a+d)/2}+\frac{(d-(a+d)/2)^2}{(a+d)/2}
=\frac{(a-d)^2}{a+d}\qquad\textrm{amb 1 g.ll.}
\]
Rebutjarem la hipòtesi d'equilibri si $\chi>\chi^2_{\alpha}$, on
$\alpha$ és el nivell de significació. Si les freqüències són
petites és convenient utilitzar la correcció de Yates
\[
\chi=\frac{(|a-d|-1)^2}{a+d}
\]
\section{Test dels rangs amb signe de Wilcoxon}
Vist com extensió de l'anterior test dels signes, la idea d'aquest
test és fer servir, a més del signe, la magnitud de les
diferències.
El \emph{rang} d'una observació és la posició que aquesta ocupa en
la mostra ordenada. Per exemple, si considerem la mostra
\[
x_1=3\quad x_2=0\quad x_3=5\quad x_4=1.9
\]
la mostra ordenada és
\[
x_{(1)}=0\quad x_{(2)}=1.9\quad x_{(3)}=3\quad x_{(4)}=5
\]
de manera que els rangs valen:
\[
r(0)=1\quad r(1.9)=2\quad r(3)=3\quad r(5)=4
\]
Una part important de l'estadística no paramètrica ha sorgit de la
substitució dels valors quantitatius de les mostres pels seus
rangs i l'obtenció d'estadístics de test anàlegs als utilitzats
amb dades quantitatives com, per exemple, un test equivalent al
test $t$ de Student però basat en rangs o un coeficient de
correlació amb la mateixa fórmula que el de Pearson però fent
servir rangs.
Suposem que la hipòtesi nu{\ll}a és la mateixa que en el test de
la mediana, és a dir:
\[
\begin{split}
H_0 &: M=m_0 \\
H_1 &: M\neq m_0
\end{split}
\]
on $M$ representa la mediana d'una variable o, sovint, de la
diferència entre dues variables aparellades.
Wilcoxon proposà considerar els estadístics:
\[
\begin{split}
T^{+} &= \text{Suma dels rangs de les observacions amb signe $+$} \\
T^{-} &= \text{Suma dels rangs de les observacions amb signe $-$}
\end{split}
\]
\[
T^{+}=\sum_{i=1}^n r(|x_i-m_0|)I_{x_i>m_0}
\]
Si $H_0$ és certa, llavors esperem que $T^{+}=T^{-}$.
L'estadístic $T^{+}$ es coneix amb el nom d'estadístic de Wilcoxon
i està tabulat de forma que podem trobar uns valors $t_{\alpha/2}$
i $t_{1-\alpha/2}$ tals que
\[
P[T^{+}< t_{\alpha/2}|H_0]+P[T^{+}> t_{1-\alpha/2}|H_0] \leq
\alpha
\]
i definir la regió crítica com
\[
W =\{T^{+}<t_{\alpha/2}\}\cup \{T^{+}>t_{1-\alpha/2}\}
\]
\subsubsection{Observacions}
\begin{itemize}
\item Per a valors grans de $n$ es pot fer servir el fet que, sota
$H_0$, l'estadístic $T^{+}$ és assimptòticament normal:
\[
T^{+}\sim AN(\mu_{T^{+}},\sigma_{T^{+}}),\quad
\mu_{T^{+}}=\frac{n(n+1)}4,\quad
\sigma_{T^{+}}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}
\]
i per tant per mostres grans podem basar-nos en l'estadístic
\[
Z=\frac{T^{+}-n(n+1)/4}{\sqrt{n(n+1)(2n+1)/24}}\sim N(0,1).
\]
\item Una alternativa a l'estadístic de test anterior és considerar
l'estadístic
\[
T=\textrm{mín}(T^{+},T^{-}).
\]
Si $H_0$ és certa, llavors $T^{+}=T^{-}$. Si no és certa, tindrem
$T^{+}>T^{-}$ o bé $T^{+}<T^{-}$, de forma que el mínim serà un
valor ``petit''. El test basat en aquest estadístic rebutjarà la
hipòtesi nu{\ll}a si $T$ és més petit que $T_{^\alpha}$ on aquest
valor crític s'obté d'una taula diferent de la taula de valors
crítics per a $T^{+}$.
\end{itemize}
\begin{example}\label{example_nopara_4}
Donat que en l'exemple \ref{example_nopara_1} les notes són
numèriques podem utilitzar el test dels rangs amb signe per
contrastar si $H_0:M=66$ en front de $H_1:M\ne 66$ amb un nivell
de significació del 0.05.
\end{example}
\textit{Solució:}
\begin{table}[h]\label{taula_excel}
\begin{center}
\includegraphics[width=9.6cm]{./imatges/tabla.eps}
\end{center}
\caption{Taula per a la suma dels rangs de l'exemple \ref{example_nopara_4}}
\end{table}
Per calcular l'estadístic $T^{+}$ hem d'assignar els rangs
corresponents als valors positius de les diferències entre les
observacions i el valor 66 proposat a la hipòtesi nu{\ll}a. Això
es fa de forma relativament simple amb un full de càlcul com
EXCEL. En la taula 8.1 podem observar l'ordenació que es fa en
funció dels valors absoluts de les diferències. Observem també que
cal repartir els rangs quan hi ha empats i que els dos zeros
queden exclosos.
El resultat és que $T^{+}=465$ amb un $n=38$, de manera que
\[
z=\frac{465-(38\cdot 39)/4}{\sqrt{(38\cdot 39\cdot 77)/24}}=1.37
\]
que queda dins de la regió d'acceptació $\{-1.96\le z\le 1.96\}$.
\begin{example}\label{example_nopara_5}
Donat que en l'exemple \ref{example_nopara_2} les observacions són
numèriques i aparellades, podem utilitzar els valors de les
diferències amb el test dels rangs amb signe per contrastar si hi
ha diferències entre les dues màquines.
\end{example}
\textit{Solució:}
\begin{table}[h]\label{taula_excel2}
\begin{center}
\includegraphics[width=9.6cm]{./imatges/tabla2.eps}
\end{center}
\caption{Taula per a la suma dels rangs de l'exemple
\ref{example_nopara_5}}
\end{table}
Primer calculem les diferències i les ordenem pel seu valor
absolut (veure la taula 8.2). En aquest cas hi ha molts empats i
s'han de repartir els rangs. L'estadístic $T^{+}$ és $46.5$ amb un
$n=10$, un valor clarament superior a l'esperat si $H_0$ és certa.
Amb un nivell de significació de 0.05, la regió crítica que s'obté
a la taula de Wilcoxon és $\{T^{+}>44\}$, de forma que rebutgem
$H_0$ i admetem que la primera màquina fabrica més peces
defectuoses.
\section{El test $U$ de Mann-Whitney}
Aquest test permet comparar dues poblacions amb mostres
independents.
Suposem que obtenim dues mostres independents
\[
(x_1,...,x_{n_1}),(y_1,...,y_{n_2})
\]
de dues poblacions $X,Y$ amb funcions de distribució $F_X,F_Y$
respectivament. Volem contrastar la hipòtesi $H_0 : F_X=F_Y$ front
alguna de les alternatives
\[
H_1 : F_X\neq F_Y\qquad H_1:F_X<F_Y \qquad H_1:F_X>F_Y
\]
Si la hipòtesi nu{\ll}a és certa, llavors $P(X<Y)=\frac 12$. A
més, com hi ha $n_1\cdot n_2$ parelles possibles, el nombre de
parelles d'observacions $(x_i,y_j)$ que esperem que verifiquin
$x_i<y_j$ estarà al voltant de $\frac{n_1\cdot n_2}2$.
Un estadístic de test raonable per decidir si acceptem o rebutgem
la hipòtesi nu{\ll}a és el nombre de parelles que verifiquen
$x_i<y_j$ que definim com:
\[
U=\sum_{i=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{n_2}I_{x_i<y_j}
\]
Una desviació significativa de $U$ respecte al valor esperat
$\frac{n_1\cdot n_2}2$ farà rebutjar la hipòtesi nu{\ll}a. Per
decidir si $U$ és significatiu consultarem la taula de
Mann-Whitney-Wilcoxon que permet decidir si rebutgem $H_0$ en
funció del nivell de significació escollit i de les mides mostrals
$n_1$ i $n_2$.
\subsubsection{Observacions}
\begin{itemize}
\item Un procediment alternatiu per calcular $U$, i sovint més
còmode, consisteix en formar la mostra conjunta, reunint les dues
individuals, i assignar els rangs $1,2,...,n_1+n_2$ a cadascun
dels valors de la mostra ordenada. Es pot calcular $U$ a partir de
la relació:
\[
U=W-\frac{n_2(n_2+1)}2
\]
on $W$ és la suma dels rangs de les observacions $y_j$
\[
W=\sum_{j=1}^{n_2}r(y_j)
\]
Aquest estadístic $W$ per comparar dues poblacions va ser proposat
per Wilcoxon però, per la relació anterior, és equivalent a
l'estadístic $U$ de Mann-Whitney.
\item Si no hi ha ligadures o empats, la relació entre l'estadístic de
Wilcoxon $W$ (suma de rangs corresponents a les observacions $Y$)
i l'estadístic $U$ de Mann-Whitney (número de vegades que
$x_i<y_j$ a la mostra conjunta ordenada) és
\[
W=\frac{n_2(n_2+1)}{2}+U
\]
Si $W'$ és la suma dels rangs corresponents a les observacions
$X$, llavors
\[
W+W'=\frac{(n_1+n_2)(n_1+n_2+1)}{2}
\]
De forma que si $U'$ és el número de vegades que $y_j<x_i$,
resulta
\[
U+U'=n_1n_2 \qquad W'=\frac{n_1(n_1+1)}{2}+U'
\]
\item Donats $n_1,n_2$ ($n_1,n_2\leq 10$) la taula de
Mann-Whitney \footnote{Això depèn dels autors i cal mirar amb cura
la definició de cada taula} proporciona l'enter $a_p$ i la
probabilitat $p$ tal que
\[
P(U\leq a_p)=p
\]
Veiem com s'utilitzen aquests valors. \par En una prova unilateral
amb hipòtesi alternativa $H_1:F_X<F_Y$, el criteri de decisió serà
rebutjar la hipòtesi nu{\ll}a si $\{U\leq a_p\}$, on $p$ és
l'aproximació per defecte del nivell de significació. Això és
perquè, si és certa l'alternativa, llavors $F_X(s)\leq F_Y(s) \
\forall s$ i $F_X(s)< F_Y(s)$ per a algun $s$ (es diu que $X$ és
estocàsticament més gran que $Y$), el que implica que
$P(X>Y)>1/2$, de manera que és probable que $U$ sigui petit.
L'estadístic $U$ ha de verificar $U<n_1n_2/2$, en cas contrari
s'utilitza
\[
U'=n_1n_2-U
\]
i la regla és la mateixa, però fent servir $U'$.
Si l'alternativa és $H_1:F_X>F_Y$, podem intercanviar $X$ i $Y$.
En una prova bilateral es buscarà $a_{p/2}$ de forma que $P(U\leq
a_{p/2})=p/2$, on $p$ és l'aproximació per defecte del nivell de
significació, i la regió de rebuig és
\[
\{U\leq a_{p/2}\}\cup\{U'\leq a_{p/2}\}
\]
\item Per a mostres ``grans'' es pot fer servir el fet que, sota
$H_0$, l'estadístic $U$ és assimptòticament normal:
\[
U\sim AN(\mu_U,\sigma_U),\quad\mu_U=\frac{n_1n_2}2, \quad
\sigma_U^2=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}
\]
i per tant, per a $n_1>10$ o $n_2>10$ podem basar-nos en un
estadístic de test
\[
Z=\dfrac{U-n_1n_2/2}{\sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}}\sim N(0,1)
\]
\end{itemize}
\begin{example}\label{example_nopara_6}
Per tal de comparar la resistència en kg/cm$^2$ d'un material
subministrat per dos proveïdors es van mesurar dues mostres d'uns
quants elements:
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Proveïdor A & 202, 229, 215, 220, 223, 233, 208, 228, 209 \\
Proveïdor B & 221, 207, 185, 203, 187, 190, 195, 204, 212
\end{tabular}
\end{center}
Amb un nivell de significació del 0.05, indiqueu si hi ha
diferències entre els materials subministrats pels dos proveïdors.
\end{example}
\textit{Solució:}
\begin{table}[h]\label{taula_excel3}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{./imatges/tabla3.eps}
\end{center}
\caption{Taula per a la suma dels rangs de l'exemple
\ref{example_nopara_6}}
\end{table}
És clar que es tracta de comparar dues mostres independents i que
el fet que $n_1=n_2=9$ no és important. La taula 8.3 indica el
càlcul de les sumes de rangs per a cada mostra, de forma que
\[
W=56 \qquad W'=115 \qquad W+W'=171=\frac{(9+9)(9+9+1)}{2}
\]
d'on s'obté
\[
U=W-\frac{9\cdot 10}{2}=56-45=11<\frac{n_1n_2}{2}=40.5
\]
La regió crítica per $n_1=n_2=9$ i $\alpha=0.05$ és $\{U\le 22\}$,
de manera que el valor observat $U=11$ cau en ella i implica el
rebuig de l'equivalència de les dades.
\section{Comparació de medianes}
Considerem una situació en la que es vol comparar dues poblacions
continues amb distribucions d'igual forma i tractar de detectar
desplaçaments entre ambdues distribucions.
Siguin $x_1,\dots,x_{n_1}$ i $y_1,\dots,y_{n_2}$ dues mostres
aleatòries corresponents a cada població i independents entre sí.
Si s'ordenen conjuntament les dues mostres en ordre creixent i es
considera la mediana $M$ de la mostra combinada, podem calcular
l'estadístic
\[
T=\sum_{i=1}^{n_1} I_{x_i<M}
\]
que serveix per contrastar la hipòtesis $H_0:M_X=M_Y$.
Si ambdues poblacions tenen la mateixa distribució, és d'esperar
que $T$ sigui pròxim a $n_1/2$. En canvi, si $T$ resulta molt més
gran que $n_1/2$, és raonable suposar que la mediana $M_X$ de la
primera població és inferior a la de la segona $M_Y$; mentre que
si $T$ és molt menor que $n_1/2$, això sembla indicar que $M_X$ és
superior a $M_Y$. Les regions crítiques són:
\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\hline \textbf{Alternativa} & \textbf{Regió crítica} \\ \hline
$M_X<M_Y$ & $\{T\geq k\}$ \\
$M_X>M_Y$ & $\{T\leq k'\}$ \\
$M_X\neq M_Y$ & $\{T\leq k_1\}\cup\{T\geq k_2\}$
\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
Si la distribució d'ambdues poblacions és la mateixa, la
distribució de $T$ es pot trobar amb facilitat. Donat que les
$n_1+n_2$ observacions són independents i igualment distribuïdes,
les $\binom{n_1+n_2}{n_1}$ maneres d'assignar $n_1$ a la primera
mostra (i les altres $n_2$ a la segona) són equiprobables. Si $p$
és la part sencera de $(n_1+n_2)/2$, hi ha $p$ de les $n_1+n_2$
observacions inferiors a $M$ i serà $T=t$ en totes les
assignacions en les que resultin $t$ de la primera mostra d'entre
les $p$ primeres i $n_1-t$ entre les $n_1+n_2-p$ últimes. Així
\[
P(T=t)=\frac{\displaystyle\binom{p}{t}\binom{n_1+n_2-p}{n_1-t}}{%
\displaystyle\binom{n_1+n_2}{n_1}}
\]
on $t$ pot variar entre $\max\{0,p-n_2\}$ i $\min\{n_1,p\}$. Es
tracta doncs d'una distribució hipergeomètrica que pot
aproximar-se, si $n_1$ i $n_2$ són grans, per una
$N(n_1/2,\sqrt{n_1n_2/4(n_1+n_2)})$.
\begin{example}\label{example_nopara_7}
Amb les dades de l'exemple \ref{example_nopara_6}, calculeu
l'estadístic $T$ i compareu les medianes de les dues mostres.
\end{example}
\textit{Solució:}
La mediana conjunta és $M=208.5$, de manera que és evident que
$T=2$. Els càlculs per a una distribució hipergeomètrica amb
$n_1=n_2=9$ i $p=9$ ens proporcionen
\[
P(T\le 2)=P(T\ge 7)=0.02834
\]
Unes cues que sumen una mica més del 0.05. El valor observat $T=2$
cau a la regió crítica i, en conseqüència, rebutgem la igualtat de
medianes.
\bigskip
Un procediment alternatiu es pot aplicar amb el test
khi-quadrat.
\par Considerem la mediana $M$ de tots els valors mostrals
conjuntament i dividim cada mostra original en dos grups: aquells
que prenen valors inferiors o iguals a la mediana i els que prenen
valors superiors.
S'obtenen així quatre classes d'efectius com es recull en la
taula:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
& Grup I & Grup II & \\ \hline
Observacions amb & & & \\
valors inferiors & $n_{11}$ & $n_{12}$ & $n_{1\bullet}$ \\
a la mediana & & & \\ \hline
Observacions amb & & & \\
valors superiors & $n_{21}$ & $n_{22}$ & $n_{2\bullet}$ \\
a la mediana & & & \\ \hline
Total & $n_{\bullet 1}=n_1$ & $n_{\bullet 2}=n_2$ & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Es calcula l'estadístic $\chi^2$ ja que es tracta d'una comparació
de proporcions o test d'homogeneïtat en una taula $2\times 2$. La
regió crítica es determina a partir de la distribució khi-quadrat
o les alternatives estudiades.
\begin{example}\label{example_nopara_8}
Amb les dades de l'exemple \ref{example_nopara_6}, calculeu
l'estadístic $\chi^2$ i compareu les medianes de les dues mostres.
\end{example}
\textit{Solució:}
Com ja sabem, la mediana comuna de les dues mostres és $M=208.5$.
Llavors la taula pel test d'homogeneïtat resulta
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline & Pro. A & Pro. B & \\ \hline
valors inferiors & 2 & 7 & 9 \\
valors superiors & 7 & 2 & 9 \\
\hline Total & 9 & 9 &
\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Així hem de calcular l'estadístic khi-quadrat amb la correcció de
Yates
\[
\chi^2=\frac{(|2\cdot 2-7\cdot 7|-18/2)^2}{9\cdot 9\cdot 9\cdot
9}18=3.556
\]
Amb un grau de llibertat i per un nivell de significació del 0.05,
la regió crítica comença en $\chi^2_{0.05}=3.841$, de forma que
podem acceptar la hipòtesi nu{\ll}a.
\bigskip
Amb mides mostrals grans, el test khi-quadrat és preferible si no
hi ha constància que la forma d'ambdues distribucions sigui la
mateixa, ja que el test $T$ anterior té tendència a acceptar la
homogeneïtat si $M_X=M_Y$ encara que la forma de les distribucions
sigui diferent.
Per la mateixa raó es preferible el test de Kolmogorov-Smirnov que
expliquem a la següent secció.
% De fet, l'estadístic $T$ equival a calcular la diferència...
\section{Test de Kolmogorov-Smirnov per a l'homogeneïtat}
Quan disposem de dues mostres independents $x_1,x_2,\dots,x_{n_1}$
i $y_1,y_2,\dots,y_{n_2}$ de dues poblacions amb distribucions
desconegudes $F_X$ i $F_Y$ respectivament i volem contrastar la
seva coincidència, és a dir, la hipòtesi $H_0:F_X=F_Y$ podem
comparar les distribucions empíriques associades a cada mostra.
Això és possible si coneixem els valors exactes de les
observacions i, en aquest aspecte, és millor aquesta comparació
que el test khi-quadrat d'homogeneïtat que utilitza freqüències i
necessita moltes dades de cada població.
Les distribucions empíriques són:
\[
F_{n_1}(z)=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}I_{x_i<z} \qquad
G_{n_2}(z)=\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}I_{y_i<z}
\]
i l'estadístic de Kolmogorov-Smirnov
\[
\Delta_{n_1,n_2}=\sup_{z\in\mathbb{R}}|F_{n_1}(z)-G_{n_2}(z)|
\]
Si la hipòtesi $H_0$ és certa, les dues distribucions empíriques
han d'estar molt pròximes i la mesura global de discrepància
$\Delta_{n_1,n_2}$ serà petita. Pel contrari, quan $F_X\ne F_Y$ el
valor de $\Delta_{n_1,n_2}$ serà més gran, de manera que la regió
crítica que hem de considerar és de la forma
\[
\{\Delta_{n_1,n_2}> a\}
\]
El test es basa en el Teorema de Smirnov.
\begin{teorema}
Si les distribucions continues de les dues poblacions coincideixen
$F_X=F_Y$ i $n_1\to\infty,n_2\to\infty$, llavors per a cada
$\lambda$
\[
P\left(\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\Delta_{n_1,n_2}\le\lambda\right)\to
Q(\lambda)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} (-1)^i e^{-2i^2\lambda^2}
\]
on $Q(\lambda)$ és la distribució asimptòtica de
Kolmogorov-Smirnov.
\end{teorema}
Per aplicar aquest resultat, primer determinarem a la taula de
Kolmogorov-Smirnov el valor tal que
$Q(\lambda_{\alpha})=1-\alpha$, on $\alpha$ és el nivell de
significació. Llavors, tot suposant que $n_1$ i $n_2$ són grans,
acceptarem $H_0$ si
\[
\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\Delta_{n_1,n_2}\le\lambda_{\alpha}
\]
i rebutjarem $H_0$ en cas contrari.
Per a valors petits de $n_1$ i $n_2$ existeixen unes taules
calculades per Massey que proporcionen els valors crítics
$a_{\alpha}$, de forma que rebutgem $H_0$ si $\Delta_{n_1,n_2}>
a_{\alpha}$. Alguns llibres porten exclusivament la taula en el
cas $n_1=n_2$.
\begin{example}\label{example_nopara_9}
Amb les dades de l'exemple \ref{example_nopara_6}, calculeu
l'estadístic de Kolmogorov-Smirnov i compareu les distribucions de
les dues mostres.
\end{example}
\textit{Solució:}
\begin{table}[h]\label{taula_excel4}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{./imatges/tabla4.eps}
\end{center}
\caption{Taula per calcular $\Delta$ amb les dades de l'exemple
\ref{example_nopara_6}}
\end{table}
A la taula 8.4 %\ref{taula_excel4}
veiem els càlculs fets amb un
full EXCEL. Observem els increments de les freqüències a raó de
$1/9$.
L'estadístic és $\Delta=0.667$ i cau justament a la frontera de la
regió crítica $\Delta_{9,9}> 0.667$ de la taula de Massey pel
nivell de significació 0.05 i $n_1=n_2=9$.
\section{Test $H$ de Kruskal-Wallis}
El test $U$ és un test no paramètric per decidir si dues mostres
independents provenen o no de la mateixa població. El test $H$ de
Kruskal-Wallis és una generalització per a $k$ mostres agafades en
$k$ poblacions. Així doncs, és una versió no paramètrica d'un
ANOVA d'un factor.
Considerem $k$ mostres de mides $n_1,n_2,\dots,n_k$ recollides en
les $k$ poblacions i tals que $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$. Suposem que
ordenem totes les observacions de forma conjunta i calculem les
sumes dels rangs per a les $k$ mostres $R_1,R_2,\dots,R_k$,
respectivament. Si definim l'estadístic
\[
H=\left(\frac{12}{n(n+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i}\right)
-3(n+1)
\]
es demostra que, si existeix homogeneïtat entre les distribucions
dels $k$ grups, la seva distribució en el mostratge està molt
pròxima a una khi-quadrat amb $k-1$ graus de llibertat quan les
mides mostrals $n_i$ són grans. Així, exigirem sempre que
$n_1,n_2,\dots,n_k$ siguin tots ells superiors a 5. Per a valors
petits és necessari consultar unes taules especials.
\subsubsection{Observacions}
\begin{itemize}
\item L'estadístic de Kruskal-Wallis es pot posar en la forma
\[
H=\frac{12}{n(n+1)}\sum_{i=1}^k n_i(R_{\bullet i}-R_{\bullet\bullet})^2
\]
on $R_{\bullet i}=R_i/n_i$, $R_{\bullet\bullet}=(n+1)/2$.
D'aquesta forma, el test basat en $H$ si sembla molt al test $F$
en un disseny d'un factor i rèpliques.
\item Si existeixen observacions repetides, l'estadístic $H$ es
corregeix amb un factor de manera que el nou estadístic és
\[
H'=\frac{H}{1-\frac{\sum_{j=1}^r (t_j^3-t_j)}{n^3-n}}
\]
on $t_j$ és el número d'observacions en la mostra combinada
repetides per a un rang donat i $r$ el número de repeticions.
Aquesta correcció no té molt d'efecte sobre el valor de $H$, fins
i tot en presència de moltes observacions repetides.
\end{itemize}
\begin{example}\label{example_nopara_10}
Es vol comparar el pes en grams d'un producte envasat per tres
fabricants amb mostres de mida 6 en els tres casos.
\begin{center}
\begin{tabular}{lcccccc}
Fabr. A & 251 & 250 & 249 & 255 & 258 & 258 \\
Fabr. B & 247 & 246 & 250 & 241 & 240 & 242 \\
Fabr. C & 228 & 236 & 240 & 225 & 236 & 230
\end{tabular}
\end{center}
Estudieu si hi ha diferències entre els tres fabricants amb el
test de Kruskal-Wallis.
\end{example}
\textit{Solució:}
\begin{table}[h]\label{taula_excel5}
\begin{center}
\includegraphics[width=7.2cm]{./imatges/tabla5.eps}
\end{center}
\caption{Taula per calcular $H$ amb les dades de l'exemple
\ref{example_nopara_10}}
\end{table}
L'estadístic per al contrast és
\[
H=\frac{12}{18\cdot
19}\left(\frac{91.5^2}{6}+\frac{58^2}{6}+\frac{21.5^2}{6}\right)-3\cdot
19=14.34
\]
El valor crític per a un nivell de significació del 0.05 que
trobem a la taula de la khi-quadrat amb 2 graus de llibertat és
5.99 i, com queda superat per l'estadístic, rebutgem la igualtat
entre els fabricants. \par Encara que hi ha lligadures, en aquest
cas no cal calcular $H'>H$.
\section{Test de Friedman}
Aquest test està pensat per comprovar si existeixen diferències
significatives entre $k$ tractaments o condicions experimentals
aplicats a $n$ individus.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|cccccc|} \hline
& \multicolumn{6}{c|}{Tractament} \\ \hline
Individu & 1 & 2 & $\dots$ & $j$ & \dots & $k$ \\ \hline
1 & $x_{11}$ & $x_{12}$ & \dots & $x_{1j}$ & \dots & $x_{1k}$ \\
2 & $x_{21}$ & $x_{22}$ & \dots & $x_{2j}$ & \dots & $x_{2k}$ \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
$n$ & $x_{n1}$ & $x_{n2}$ & \dots & $x_{nj}$ & \dots & $x_{nk}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Els individus s'han d'escollir a l'atzar i de forma independent,
de forma que les files són independents entre sí. Però, com els
individus són els mateixos, les columnes són dependents.
El test de Friedman serveix per provar si hi ha diferències entre
els $k$ tractaments (efecte columna), amb la presència dels
efectes individuals (efecte fila). És una versió no paramètrica
del disseny de dos factors sense interacció. És clar que la
hipòtesi nu{\ll}a és la igualtat de resposta o d'efecte dels
diferents tractaments, mentre que l'alternativa és que hi ha, com
a mínim, dos tractaments amb resposta diferent.
Per calcular l'estadístic no paramètric, per cada fila per
separat, s'assignen els rangs que corresponen als valors
observats. Una vegada convertida la taula original en rangs, es
calculen les sumes de rangs $R_j$ per a cada columna o tractament
$j=1,\dots,k$. L'estadístic és
\[
S=\frac{12}{nk(k+1)}\sum_{j=1}^k R_j^2 -3n(k+1)
\]
La distribució aproximada de $S$ per a valors grans de $n$ és una
khi-quadrat amb $k-1$ graus de llibertat. Per a valors molt petits
de $n$ ($n<10$) cal consultar unes taules especials. La regió
crítica és de la forma $\{S\ge c\}$.
Quan hi ha lligadures en una fila, s'han de promitjar els rangs
dels valors repetits i calcular l'estadístic de Friedman modificat
per un factor de correcció
\[
S'=\frac{12\sum_{j=1}^k R_j^2
-3n^2k(k+1)^2}{nk(k+1)-\frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^{g_i}
t_{ij}^3 -k\right\}}
\]
on $g_i$ és el número de grups d'observacions lligades en la fila
$i$ i $t_{ij}$ el número d'observacions lligades en el grup $j$ de
la fila $i$. Quan no hi ha lligadures es considera per conveni que
$g_i=k$, $t_{ij}=1$, i llavors, el terme de correcció pel individu
$i$ és $\sum_{j=1}^{g_i} t_{ij}^3 -k=k-k=0$. Si això passa en
totes les files, llavors $S'=S$.
\begin{example}\label{example_nopara_14}
S'ha consultat a un grup de 12 persones per tal que opinin sobre
cinc marques de xampú. En concret les seves classificacions es
troben a la següent taula.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline
& \multicolumn{5}{c|}{Xampú} \\ \hline
Ind. & A & B & C & D & E \\ \hline
1 & 5 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
2 & 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \\
3 & 3 & 5 & 4 & 2 & 1 \\
4 & 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\
6 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\
7 & 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \\
8 & 3 & 5 & 4 & 1 & 2 \\
9 & 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \\
10 & 4 & 5 & 3 & 1 & 2 \\
11 & 5 & 3 & 2 & 4 & 1 \\
12 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}