EM2Cap4.tex

\chapter{INTERVALS DE CONFIANÇA}
\section{Introducció: estimaci\'{o} puntual i per interval}

Donada una mostra aleatòria simple, $\bX= \Sample$, d'una
població, $\modest$, els m\`{e}todes d'estimaci\'{o} puntual ens
permeten obtenir, una funci\'{o}, $T(\bX)$ construïda de forma
que, previsiblement, avaluada sobre $\bX$ prendrà valors
pr\`{o}xims a $\theta$ en algun sentit, ja sigui en valor mig (si
no hi ha biaix), en mostres grans (consistència), etc.

No hi ha, per\`{o}, cap garantia de que donada una mostra
concreta $\bX^{0}$, l'estimaci\'{o} que ens proporciona $T$
estigui m\'{e}s o menys pr\`{o}xima a $\theta$, és a dir, mai és
possible afirmar, \emph{amb certesa absoluta} que
$|T(\bX^0)-\theta|<\varepsilon$, per una quantitat $\varepsilon$
qualsevol.

Per compensar aquesta mancan\c{c}a es pot optar per fer una
\emph{estimaci\'{o} per interval}, que, enlloc de donar-nos
\emph{un únic valor} que s'aproxima a $\theta$ en una quantitat
desconeguda, dóna una parella de valors $T_{\inf},T_{\sup }$
construïts de tal forma que tenim una confian\c{c}a alta de que
l'autèntic valor del par\`{a}metre queda entre $\left( T_{\inf
}(\bX^0 ), T_{\sup }(\bX^0) \right) $

\begin{example}
Suposem que volem el percentatge de consumidors, $p$, que coneixen
una determinada oferta comercial. A partir d'una mostra adient
podem obtenir una estimaci\'{o} puntual $\hat p$ de $p$. Suposem
que ha estat $\hat p=0.27$. Podem trobar-nos amb situacions
diferents segons com sigui l'autèntic valor
\begin{itemize}
\item  Si $p=24\%$ l'estimaci\'{o}, $\hat p=27\%$ \'{e}s una bona aproximació al
seu valor.
\item  Si $p=14\%$ o  $p=45\%$ l'estimaci\'{o} \'{e}s dolenta
\end{itemize}
\end{example}

El problema, com sempre que treballem amb paràmetres desconeguts,
és que, excepte en comptades ocasions, no podem saber si ens
trobem en el primer o en el segon cas, ja que no coneixem el
valor de $p$, de manera que la informaci\'{o} que ens aporta
$\hat p$ pot ser molt bona o molt dolenta.

Una possibilitat alternativa seria buscar dos valors entre els
quals sabéssim \emph{segur} que està el valor de $\theta$. En
l'exemple anterior aquests dos valors haurien de ser $0$ i $1$, i
per tant, la informació que això ens aportaria no serveix de res.

La solució, òbviament, l'hem de buscar en un punt intermedi. És a
dir, mirem d'obtenir un interval que \emph{tot i no estar segurs
de si contindr\`{a} a $\theta$} ens doni una confian\c{c}a (alta)
de que s\'{i} ho far\`{a}. Aix\`{o} permet construir intervals
``raonables" i ``utils".

\begin{example}
En l'exemple anterior no serveix de res dir que el \% de persones
que coneixen una oferta oscil.la entre el $0\%$ i el $100\%$,
per\`{o} s\'{i} serà d'utilitat decidir si es confia en que
aquest percentatge està entre $25\%$ i $30\%$, i per tant la
diferència màxima entre $p$ i $\hat p$ és inferior al $5\%$, o
entre $15\%$ i $45\%$, podent en aquest cas donar-se una
diferència entre $p$ i $\hat p$ de fins al $30\%$.
\end{example}

El preu que haurem de pagar per aquesta major precisi\'{o}, serà,
en general una menor certesa.

Per concretar aquesta idea introduirem el concepte d'interval de
confiança:
\begin{definition}
Donat un model estad\'{i}stic $\modest$ un interval de
confian\c{c}a,  de nivell de confian\c{c}a $\left( 1-\alpha
\right) $ \'{e}s una parella d'estad\'{i}stics $$T_{\inf }\left(
\bX\right), T_{\sup}\left( \bX\right),$$ constru\"{i}ts de forma
que
\begin{equation*}
P\left[ T_{\inf }\left( \bX\right) \leq \theta \leq T_{\sup }\left( \bX\right) %
\right] \geq 1-\alpha.
\end{equation*}
\end{definition}

\textbf{Cal anar amb compte amb com s'interpreta aquesta
definició}. L'interval $\left[ T_{\inf }\left( \bX\right),
T_{\sup }\left( \bX\right) \right] $ \'{e}s un interval aleatori
(o si es vol està format una parella de variables aleat\`{o}ries)
de forma que l'expressi\'{o} $$P\left[ T_{\inf }\left( \bX\right)
\leq T\leq T_{\sup }\left( \bX\right) \right] \geq 1-\alpha $$ no
s'ha d'interpretar com la probabilitat que el par\`{a}metre
$\theta$ prengui algun valor entre $T_{\inf}\left( \bX \right),
T_{\sup }\left(\bX\right)$ ja que $\theta$ és constant. Qui pren
valors diferents s\'{o}n $T_{\inf }\left( \bX\right)$ i $T_{\sup
}\left( \bX\right)$. Una forma d'entendre això és fent pales que
l'expressió:
$$
P\left[ T_{\inf }\left( \bX\right) \leq \theta \leq T_{\sup
}\left(\bX\right) \right] \geq 1-\alpha
$$
no s'ha d'entendre referida a la distribució d'una variable
aleatòria $\theta$, és a dir equivalent a
$$
P\left\{\left[ \underbrace{\theta}_{\text{v.a.}} \geq T_{\inf
}\left( \bX\right) \right] \cap \left[
\underbrace{\theta}_{\text{v.a.}} \leq T_{\sup }\left( \bX\right)
\right]\right\},
$$
sinó referida a la distribució de les dues variables $T_{inf}$ i
$T_{sup}$ és a dir:
$$
P\left\{\left[ \underbrace{T_{\inf }}_{\text{v.a.}}\left(
\bX\right) \leq \theta \right] \cap \left[\underbrace{T_{\sup
}}_{\text{v.a.}}\left( \bX\right) \geq \theta \right]\right\}.
$$
Així doncs, l'afirmaci\'{o} $P\left[ T_{\inf }\left( \bX\right)
\leq T\leq T_{\sup }\left( \bX\right) \right] \geq 1-\alpha$ s'ha
d'entendre com que \emph{abans de pendre la mostra} la
probabilitat que l'interval aleatori que s'obtindr\`{a}
recobreixi el par\`{a}metre \'{e}s $\left( 1-\alpha \right)$. Un
cop presa, l'interval recobreix al paràmetre o no ho fa, i per
tant la probabilitat és $1$ o $0$ respectivament. Així doncs, no
es parla de probabilitats sinó de confiança. Abans d'agafar la
mostra tenim una determinada confiança, generalment alta,
$1-\alpha$ de que recobreixi el paràmetre.
\begin{example}
Un opositor s'ha d'examinar de 100 temes. Nom\'{e}s n'ha pogut
estudiar 90 i, a m\'{e}s, no recorda el nº de la lli\c{c}\'{o}
que no s\'{e} s\`{a}p i ho haur\`{a} de mirar al programa.Per
examinar-se treur\`{a} una bola i haur\`{a} d'exposar la
lli\c{c}\'{o} que correspongui al nº de la bola.
\newline
Abans que tregui la bola t\'{e} una probabilitat de 0.90
d'aprovar. Quan ja t\'{e} la bola, la probabilitat d'aprovar ja
no \'{e}s de 0.90 sin\'{o} d'$1$ si ha sortit un tema que sap i
$0$ si ha sortit un que no sap.
\newline
Com no es recorda de quins són els temes que no sap, mentre
consulta el programa té una confiança del $0.90$ en que aprovarà,
ja que abans de treure la bola tenia una probabilitat de 0.90 de
treure un tema que sí sabia.
\end{example}

\section{M\`{e}todes de construcci\'{o} d'intervals de
confian\c{c}a}

\subsection{El m\`{e}tode del pivot}

Suposem que certa població es pot descriure bé amb una distribució
$X\sim N\left( \mu ,\sigma_{0}\right)$ on podem considerar amb $\sigma_{0}$%
coneguda, per exemple per qüestions històriques, estabilitat del
procés etc. At\'{e}s que $\bar{X}_{n}$ \'{e}s un bon estimador de
$\mu $ sembla raonable definir un interval de confian\c{c}a
posant:
\begin{eqnarray*}
I\left(X_1,\dots,X_{n}\right) &=&\left (I_{inf}(\bX),
I_{sup}(\bX) \right)=\\
&=&\left(\bar{X}_{n}-C_{1},\bar{X}_{n}+C_{2}\right).
\end{eqnarray*}
Per tal que $I_{inf}\left( \bX\right),I_{sup}\left( \bX\right)$
sigui un interval de confian\c{c}a de nivell de confian\c{c}a
$\left( 1-\alpha \right)$, s'ha de complir:
\begin{equation*}
P_{\mu }\left( \bar{X}_{n}-C_{1}\leq \mu \leq
\bar{X}_{n}+C_{2}\right) \geq 1-\alpha.
\end{equation*}
Com $X$ \'{e}s absolutament contínua és possible trobar
$C_{1},C_{2}$ per tal que es verifiqui la igualtat exactament, és
a dir que:
\begin{equation*}
P_{\mu }\left( \bar{X}_{n}-C_{1}\leq\mu \leq
\bar{X}_{n}+C_{2}\right) =1-\alpha.
\end{equation*}
Com
\begin{equation*}
X\sim N\left( \mu ,\sigma_{0}^{2}\right)\Rightarrow
\bar{X}_{n}\sim N\left( \mu ,\frac{\sigma _{0}^{2}}{n}\right)
\end{equation*}
es t\'{e} que:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{n}\left( \bar{X}_{n}-\mu \right) }{\sigma _{0}}\sim
N\left( 0,1\right).
\end{equation*}
Anomenem $z_{\frac{\alpha }{2}}$ al percentil $(1-\alpha/2)$ i
$z_{1-\frac{\alpha }{2}}$ al percentil $(\alpha/2)$, que per la
simetria de la distribució normal val $z_{1-\frac{\alpha
}{2}}=-z_{\frac{\alpha }{2}}$. Fent la suposició raonable, de que
$C_{1}=C_{2}$ tenim:
\begin{equation*}
P\left[ -z_{\frac{\alpha }{2}}\leq \frac{\sqrt{n}\left(
\bar{X}_{n}-\mu \right) }{\sigma _{0}}\leq -z_{\frac{\alpha
}{2}}\right] =1-\alpha,
\end{equation*}
d'on
\begin{equation*}
P\left[\bar{X}_{n}-\frac{Z_{\frac{\alpha }{2}}\sigma _{0}}{\sqrt{n}}\leq\mu \leq\bar{X}%
_{n}+\frac{Z_{\frac{\alpha }{2}}\sigma _{0}}{\sqrt{n}}\right ]
=1-\alpha.
\end{equation*}

Resumint: sota la suposició de que
$C_{1}=C_{2}=\frac{z_{\frac{\alpha }{2}}\sigma _{0}}{\sqrt{n}}$
l'interval de confiança de nivell $1-\alpha$  per a $\mu$ quan
$X\sim N(\mu, \sigma^2)$ i $\sigma$ és coneguda és:
$$
\left(
\bar{X}-z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}}%
,\bar{X}+z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}}%
\right).
$$

En la majoria de les situacions, $\sigma$ és desconeguda. El
principi que hem aplicat en l'exemple anterior també serveix per
obtenir un interval de confiança per a $\mu$ en aquest cas.

\begin{example}
\emph{Interval de confian\c{c}a per a $\mu $ quan $\sigma$ és
desconeguda}.

Si no es coneix $\sigma^{2}$sembla raonable substitu\"{i}r-lo per
un estimador adient, $S^{2}$ o $\hat{S}^{2}=\frac{n}{n-1}S^{2}$.
El raonament que hem fet en l'exemple anterior per trobar $C_{1},
C_{2}$ es basava en el fet que:
\begin{equation*}
\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma _{0}/\sqrt{n}}\sim N\left( 0,1\right).
\end{equation*}
Si no coneixem $\sigma$, i l'hem d'estimar podem basar-nos en el
fet que, com a conseqüència del teorema de Fisher:
\begin{equation*}
\frac{\bar{X}-\mu }{\hat{S}\text{ }/\sqrt{n}}
\end{equation*}
segueix una distribuci\'{o} \emph{t-student }amb $\left(
n-1\right) $ graus de llibertat de forma que, procedint de forma
anàlega a l'anterior i anomenant $t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}$
$-t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}$ als percentils $1-\alpha$ i $\alpha$
de la distribució \emph{t-student }amb $\left( n-1\right)$
g.d.ll., podem posar:
\begin{equation*}
P\left[ -t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\leq \frac{\left( \bar{X}-\mu
\right) }{\hat{S}/\sqrt{n}}\leq -t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\right]
=1-\alpha,
\end{equation*}
d'on:
\begin{equation*}
P\left[ \bar{X}-t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}%
\leq\mu \leq\bar{X}+t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}\text{ }}{\sqrt{n}}%
\right] =1-\alpha.
\end{equation*}
Així doncs, sota la suposició que $C_1=C_2$ l'interval de
confiança per a $\mu$ quan $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ i $\sigma$ és
desconeguda és:
$$
\left(
\bar{X}-t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}%
,\bar{X}+t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}%
\right).
$$
\end{example}

Els exemples anteriors suggereixen un procediment general
d'obtenci\'{o} d'intervals de confian\c{c}a que es coneix com el
\emph{Mètode del Pivot}. Un pivot serà qualsevol funció,
$T(\bX;\theta)$ que conté al paràmetre i es pot invertir,
$$
t=T(\bX;\theta)\Longrightarrow \theta =S(t,\bX),
$$
i que al mateix temps té una distribució coneguda que no depèn
del paràmetre
$$
T(\bX;\theta)\sim Y\Longrightarrow \ \exists
y_{\alpha},y_{1-\alpha}:\ P\left[y_{\alpha}\leq T(\bX;\theta)\leq
y_{1-\alpha}\right]=1-\alpha
$$
Això permet procedir, com hem fet en els exemples, posant
l'expressió inicial referida a la probabilitat del pivot i
aïllar-ne d'aquí els extrems de l'interval.

Formalment, el mètode es pot establir en el següent teorema:
\begin{theorem}
Sigui $\Theta$ un interval de $\Real$ i sigui $T(\bX;\theta )$
una funci\'{o} $T:R^{n}\ast \Theta \rightarrow R$ tal que:
\begin{itemize}
\item  per cada $\theta$ fix $T(\bX;\theta )$ sigui un
estad\'{i}stic amb distribuci\'{o} independent de $\theta$,
\item  per a cada vector mostral $\bx=\left(x_{1},\dots,x_{n}\right)$ es verifiqui que
$T\left( \bx;\theta \right) $ sigui una funci\'{o} estrictament
creixent o decreixent de $\theta $.
\end{itemize}
Si per a tot $t$ del recorregut de $T$ i tot
$\left(x_{1}........x_{n}\right)$, l'equaci\'{o}
$t=T\left(x_{1}........x_{n};\theta \right)$ té solució, llavors
\'{e}s possible construir un interval de confiança per a $\theta$
del nivell que es desitgi.
\end{theorem}
\begin{proof}
El procés de demostració mostra quin serà el procés de
construcció de l'interval.

Suposem que estem en les condicions del teorema. Siguin $t_{1}$,\
$ t_{2}$ del recorregut de $T$ tals que
\begin{equation*}
P\left[ t_{1}\leq T\left( \bX;\theta \right) \leq t_{2}\right]
\geq 1-\alpha \forall \theta
\end{equation*}
Com se suposa que la distribuci\'{o} de $T\left(
\bX;\theta\right)$ no dep\`{e}n de $\theta $ tampoc en depenen
$t_{1}$ ni $t_{2}$. Les equacions:
\begin{eqnarray*}
t_{1} &=&T\left( \bX;\theta \right) \\
t_{2} &=&T\left( \bX;\theta \right)
\end{eqnarray*}
es poden resoldre i tenen solució única at\`{e}s el car\`{a}cter
mon\`{o}ton de $T$ de forma que resolent-les s'obté:
\begin{eqnarray*}
\hat{\theta}_{1} &=&S\left( \bX,t_{1}\right) =I_{1}\left(
\bX\right)\\
\hat{\theta}_{2} &=&S\left( \bX,t_{2}\right) =I_{2}\left(
\bX\right) \\
\theta &=&S\left(\bX,T(\bx;\theta) \right),
\end{eqnarray*}
i per tant:
\begin{equation*}
P\left[ t_{1}\leq T\left( \bX;\theta \right) \leq t_{2}\right]
=P\left[ I_{1}\left( \bX\right) \leq\theta \leq I_{2}\left(
\bX\right) \right] \geq 1-\alpha \ \forall \theta
\end{equation*}
\'{e}s un interval de confiança de nivell de confiança $\left(
1-\alpha \right)$ per a $\theta $. Com $\alpha$ és arbitrari el
teorema queda demostrat.
\end{proof}

\subsection{Intervals de confiança per problemes d'una mostra en poblacions normals}

\subsubsection{Intervals de confiança per a $\mu$}
Ja hem vist en la introducció de la secció anterior com construir
intervals de confiança per a $\mu$ en poblacions normals. En
aquest cas tenim:
\begin{enumerate}
\item  Si $\sigma$ és coneguda tenim que el pivot és:
$$
T(\bX;\mu)=\frac{\left( \bar{X}-\mu \right) /\frac{\sigma
}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)
$$
Invertint-lo
$$
S(\bX;T(\bX;\mu))=\bar{X}+T(\bX;\mu)\cdot\frac{\sigma }{\sqrt{n}}
$$
i posant els extrems:
\begin{eqnarray*}
t_{1} &=&T\left( \bX;\theta \right)=-z_{\alpha/2} \\
t_{2} &=&T\left( \bX;\theta \right)=z_{\alpha/2}
\end{eqnarray*}
obtenim l'interval de confiança per a $\mu$ al $1-\alpha\&$:
$$
\left(
\bar{X}-z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}%
,\bar{X}+t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}%
\right).
$$
\item Si $\sigma$ és desconeguda ens trobem en la segona situació
de l'exemple, és a dir el pivot serà:
\begin{equation*}
T(\bX;\mu)= \frac{\bar{X}-\mu }{\hat{S}\text{ }/\sqrt{n}},
\end{equation*}
que segueix una distribuci\'{o} \emph{t-student }amb $\left(
n-1\right)$ graus de llibertat i que duu als intervals:
$$
\left(
\bar{X}-t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}%
,\bar{X}+t_{n-1,\frac{\alpha }{2}}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}%
\right).
$$
\end{enumerate}

\subsubsection{Intervals de confiança per a la varian\c{c}a d'una
poblaci\'{o} Normal}

Per construir un intervals de confiança\ per $\sigma ^{2}$ només
cal tenir en compte que, pel teorema de Fisher disposem del
següent pivot per a $\sigma^2$:
\begin{equation*}
T(\bX;\sigma^2)=\frac{nS^{2}}{\sigma ^{2}}=\frac{\left( n-1\right) \hat{S}^{2}}{\sigma ^{2}}%
\sim X_{\left( n-1\right) }^{2}.
\end{equation*}
L'aplicació del mètode consisteix, doncs en trobar dos valors:
$\chi_{a}^{2}$,\ $\chi_{b}^{2}$ que deixin entre ells una massa
de probabilitat d'$\left( 1-\alpha \right)$:
$$
P\left[ \chi_{a}^{2}\leq \frac{nS^{2}}{\sigma ^{2}}\leq
\chi_{b}^{2}\right]=1-\alpha.
$$
D'aquí, invertint el pivot,
\begin{eqnarray*}
P\left[ \frac{1}{\chi_{a}^{2}}\geq \frac{\sigma ^{2}}{nS^{2}}\geq \frac{1}{%
\chi_{b}^{2}}\right] &=&1-\alpha \\
P\left[ \frac{nS^{2}}{\chi_{a}^{2}}\geq \sigma ^{2}\geq \frac{nS^{2}}{\chi_{b}^{2}}%
\right] &=&1-\alpha
\end{eqnarray*}
obtenim l'interval de confiança al  $1-\alpha$\% per a $\sigma$:
\begin{equation*}
\left[ \frac{nS^{2}}{\chi_{\alpha /2}^{2}},\frac{nS^{2}}{\chi_{1-\alpha /2}^{2}}%
\right] =\left[ \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\alpha /2}^{2}},\frac{(n-1)S^{2}}{%
\chi_{1-\alpha /2}^{2}}\right].
\end{equation*}

Un cop s'ha determinat l'expressi\'{o} general dels intervals de
confiança, la seva utilitzaci\'{o} \'{e}s autom\`{a}tica, \
(suposades certes les condicions d'aplicaci\'{o}).

\begin{example}
En un procés de control de qualitat s'ha mesurat el gruix de 12
peces i s'ha obtingut els resultats següents:
\begin{equation*}
\begin{array}{cccccc}
7.02 & 6.87 & 6.95 & 6.88 & 6.88 & 6.93 \\
6.91 & 7.09 & 6.96 & 6.89 & 7.06 & 6.85\\
\end{array}
\end{equation*}
La mitjana i la desviació típica han estat:
\begin{tabular}{l}
$\hat{X}=6.946\approx 6.95$ \\
$\hat{S}=0.0797$\\
\end{tabular}
Desitgem estimar el gruix mitja, construint intervals de confiança
per a $\mu$ si
\begin{enumerate}
\item  Se sap que $\sigma =0.15$
\item  Se suposa $\sigma =$ desconeguda.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item intervals de confiança al 99\% per $\mu $, $\sigma $ desconeguda. Hem de
calcular:
\begin{equation*}
\hat{X}\pm Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}
\end{equation*}
Substituint pels valors obtinguts, i tenint en compte que, aquí
$z_{\alpha /2}=z_{0.01/2}=2.58$ l'interval resulta:
\begin{equation*}
6.946\pm 2.58\ast \frac{0.15}{\sqrt{12}}=6.946\pm 0.1117=\left(
6.8343,7.0577\right) \approx \left( 6.83,7.06\right)
\end{equation*}
\item Si $\sigma $ és desconeguda hem d'estimar-la i l'interval
ara és:
\begin{equation*}
\hat{X}\pm t_{\alpha /2,n-1}\frac{\hat{S}}{\sqrt{n}}
\end{equation*}
Substituint pels valors obtinguts, i tenint en compte que, aquí
$t_{n-1, \alpha /2}=t_{7,0.01/2}=3.11$ l'interval resulta:
\begin{equation*}
6.946\pm 3.11\ast \frac{0.0797}{\sqrt{12}}=\left(
6.8748,7.0179\right) \simeq \left( 6.87,7.02\right).
\end{equation*}
\end{enumerate}
En contra del que semblaria raonable esperar, si fos $\hat
S\approx\sigma$ els primers intervals són més amples. Això
s'explica perquè
\begin{equation*}
\frac{\sigma }{\hat{S}}>\frac{Z_{\alpha /2}}{t_{\alpha /2}}.
\end{equation*}
Si resolem l'exemple amb un programa d'ordinador, com
\emph{STATGRAPHICS} obtenim el llistat següent:

\begin{verbatim}
                          One-Sample Analysis Results
--------------------------------------------------------------------
                             7.02 6.87 6.95 6.88 6.93 6.91 7.09 6.96
Sample Statistics: Number of Obs.       11
                   Average              6.94636
                   Variance             6.34545E-3
                   Std. Deviation       0.0796584
                   Median               6.93

Confidence Interval for Mean:           99    Percent
                   Sample 1             6.87023 7.0225     10 D.F.

Confidence Interval for Variance:       95     Percent
                   Sample 1             3.09789E-3 0.0195434     10 D.F.
\end{verbatim}
\end{example}

\subsection{Intervals de confiança per problemes de 2 mostres en poblacions normals}

Els intervals de confiança que hem vist ens serveixen per a
l'estimaci\'{o} d'un par\`{a}metre: $\theta =\mu $ \ o \
$\theta=\sigma^{2}$.

Una altre situaci\'{o} d'interés \'{e}s aquella on tenim 2
par\`{a}metres. La forma intu\"{i}tiva d'abordar aquest problema,
\'{e}s a trav\`{e}s del contrast d'hipòtesis\footnote{Tot i que
els contrastos d'hipòtesis s'estudien més endavant en el curs,
podem suposar que l'alumne que segueix aquest material ja té una
idea intuïtiva del seu significat, i aprofitar així la intuïció
associada al problema de dues mostres} $\theta _{1}=\theta _{2}$
vs $\theta _{1}\neq \theta _{2}$, per\`{o} en determinades
situacions tamb\'{e} ens pot
interessar estimar la ra\'{o} $\theta _{1}/\theta _{2}$ o la diferencia $%
\theta _{1}-\theta _{2}$. Com formularem mes endavant, de forma
m\'{e}s acurada, l'acceptaci\'{o} de que $\theta _{1}=\theta
_{2}$ pot resultar equivalent a que un intervals de confiança per
$\theta _{1}-\theta _{2}$ contingui el $0$ que un interval de
confiança per $\theta_{1}/\theta _{2}$ contingui l'$1$.

\subsubsection{Intervals de confiança per a la difer\`{e}ncia de
mitjanes}

Suposem que tenim 2 poblacions $X\sim N\left( \mu _{1},\sigma
_{1}^{2}\right)$ i $Y\sim N\left( \mu _{2},\sigma _{2}^{2}\right)
$ i que volem construir un intervals de confiança per a la
diferencia de mitjanes $\mu _{1}-\mu _{2}$.

Estrictament hem de distingir 3 situacions diferents, tot i que a
la pr\`{a}ctica aquestes es redueixen \ a les dues \'{u}ltimes:

\begin{enumerate}
\item $\sigma _{1}^{2}$ i $\sigma _{2}^{2}$ s\'{o}n conegudes, és
a dir $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{01}^{2}$ i
$\sigma_{2}^{2}=\sigma_{02}^{2}$. En aquest cas la diferencia de
mitjanes ''degudament normalitzada'' segueix una llei normal.
\item $\sigma_{1}^{2}$ i $\sigma _{2}^{2}$ s\'{o}n desconegudes
per\`{o} iguals, és a dir:
$$
\sigma_{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma^{2}.
$$
En aquest cas, del Teorema de Fisher se'n surt una $t$ de
Student.
\item $\sigma _{1}^{2}$ i $\sigma _{2}^{2}$ s\'{o}n desconegudes i
diferents. En aquest cas, nom\`{e}s es resol b\'{e} de forma
aproximada.
\end{enumerate}

\paragraph{Variàncies conegudes}

Si $X\sim N\left( \mu _{1},\sigma _{01}^{2}\right) $ i $%
Y\sim N\left( \mu _{2},\sigma _{02}^{2}\right) $ llavors
\begin{equation*}
\left( \hat{X}-\text{ }\hat{Y}\text{ }\right) \sim N\left( \mu _{1}-\mu _{2},%
\frac{\sigma _{01}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma
_{02}^{2}}{n_{2}}\right)
\end{equation*}
de forma que l'estad\'{i}stic,
\begin{equation*}
\frac{\left( \hat{X}\text{ }-\hat{Y}\text{ }\right) -\left( \mu
_{1}-\mu
_{2}\right) }{\sqrt{\frac{\sigma _{01}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{02}^{2}}{%
n_{2}}}}\sim N\left( 0,1\right)
\end{equation*}
\'{e}s un pivot del qual podem derivar un intervals de confiança
per $\mu _{1}-\mu_{2}$ al $\left( 1-\alpha \right) \%$. Posant:
\begin{eqnarray*}
d&=&\mu _{1}-\mu _{2}\\
\hat{d} & = & \left( \hat{X}\text{ -}\hat{Y}\text{ }\right)\\
\sigma _{\hat{d}}&=&\sqrt{\frac{\sigma
_{01}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{02}^{2}}{n_{2}}}
\end{eqnarray*}
l'interval
\begin{equation*}
\hat{d}\pm Z_{\alpha /2}\sigma _{\hat{d}\text{ }}
\end{equation*}
\'{e}s un intervals de confiança al $\left( 1-\alpha \right) \%$
per $d$, \'{e}s a dir,
\begin{equation*}
\left( \hat{X}-\text{ }\hat{Y}\text{ }\right) \sim Z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{%
\sigma _{01}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{02}^{2}}{n_{2}}}
\end{equation*}
\'{e}s un intervals de confiança al $\left( 1-\alpha \right) \%$
per a $\mu _{1}-\mu _{2}$.

\paragraph{Variàncies desconegudes però iguals}

Si les vari\`{a}ces s\'{o}n desconegudes, com sol ser
\emph{sempre} el cas, excepte potser en situacions artificials,
ens basem en el Teorema de Fisher per obtenir un pivot. At\`{e}s
que:
\begin{itemize}
\item  En primer lloc tenim:
\begin{equation*}
\hat{d}=\left( \hat{X}\text{ }-\hat{Y}\text{ }\right) \text{ }\sim N\text{\ }%
\left( \mu _{1}-\mu _{2},\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}%
}{n_{2}}\right)
\end{equation*}
\item  A més a més
\begin{equation*}
Q=\frac{\left( n_{1}-1\right) \hat{S}_{1}}{\sigma
_{1}^{2}}+\frac{\left( n_{2}-1\right) \hat{S}_{2}}{\sigma
_{2}^{2}}\sim X_{n_{1}+n_{2}-2}^{2}
\end{equation*}
\end{itemize}
I per tant, pel teorema de Fisher, l'estadístic
\begin{equation*}
\frac{\left( \hat{d}-d\text{ }/\sigma _{\hat{d}}\right)
}{\sqrt{Q/\left( n_{1}+n_{2}-2\right) }}
\end{equation*}
segueix una $t$ $de$ $Student$ amb $\left( n_{1}+n_{2}-2\right) $ \emph{%
g.d.ll.}, \'{e}s a dir:
\begin{equation*}
\frac{\left[ \left( \hat{X}\text{ }-\hat{Y}\text{ }\right)
-\left( \mu
_{1}-\mu _{2}\right) \right] \text{ }/\text{ }\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{%
n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}{\sqrt{\left[ \frac{\left(
n_{1}-1\right) \hat{S}_{1}}{\sigma _{1}^{2}}+\frac{\left(
n_{2}-1\right) \hat{S}_{2}}{\sigma _{2}^{2}}\right] }\text{
}/\text{ }\left( n_{1}+n_{2}-2\right) }\sim t_{n_{1}+n_{2}-2}.
\end{equation*}

Òbviament, com depèn de $\sigma _{1}^{2}$ i $\sigma _{2}^{2}$ la
distribuci\'{o} d'aquest estad\'{i}stic, no \'{e}s \'{u}til per
fer un intervals de confiança. Si $\sigma _{1}^{2}=\sigma
_{2}^{2}$ si que ho ser\`{a}, ja que aleshores l'estadístic
esdevé:
\begin{equation*}
\frac{\left( \hat{X}-\hat{Y}\right) -\left( \mu _{1}-\mu _{2}\right) }{S_{p}%
\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}
\end{equation*}
on
$$
S_{p}=\frac{\left( n_{1}-1\right) \hat{S}_{1}+\left(
n_{2}-1\right) \hat{S}_{2}}{n_{1}+n_{2}+2}
$$
\'{e}s una mitjana ponderada de els estimacions sense biaix
$\hat{S}_{1}^{2}$ i $\hat{S}_{2}^{2}$ de les vari\`{a}nces $\sigma
_{1}^{2}$ i $\sigma_{2}^{2}$.

Resumint: L'estad\'{i}stic
\begin{equation*}
\frac{\left( \hat{X}-\hat{Y}\right) -\left( \mu _{1}-\mu _{2}\right) }{S_{p}%
\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}}
\end{equation*}
\'{e}s un pivot per a $\mu _{1}-\mu _{2}$ del tipus
$$
\left( \hat{d}-d\right) /\hat{S}%
_{\hat{d}}\sim t_{n_1+n_2-2}
$$
del qual podem obtenir un interval de confiança per a $\mu
_{1}-\mu _{2}$ al $\left( 1-\alpha \right)\%$. Com hem vist abans
podem agafar dos valors qualsevols $t_{1}\left( \alpha \right)$,
$t_{2}\left( \alpha \right)$ tals que:
\begin{equation*}
P\left[ t_{1}\left( \alpha \right) \leq \frac{\hat{d}-d}{\hat{S}_{%
\hat{d}}}\leq t_{2}\left( \alpha \right) \right]
\end{equation*}
i resolent les equacions $\left\{
\begin{array}{c}
t_{1} \left( \alpha \right) \leq
\frac{\hat{d}-d}{\hat{S}_{\hat{d}}}\\
t_{2}\left( \alpha \right) \leq
\frac{\hat{d}-d}{\hat{S}_{\hat{d}}}
\end{array}
\right\} $ obtenir els extrems de l'interval de confiança. A la
pr\`{a}ctica solem agafar intervals de confiança simètrics, és a
dir posem:
\begin{eqnarray*}
t_{1}\left( \alpha \right) &=&t_{n_{1}+n_{2}-2,\alpha /2} \\
t_{2}\left( \alpha \right) &=&t_{n_{1}+n_{2}-2,\alpha /2}
\end{eqnarray*}
de forma que l'interval de confiança per a $\mu _{1}-\mu _{2}$
queda:
\begin{equation*}
\left( \hat{X}_{1}-\hat{X}_{2}\right) \pm \sqrt{\frac{\left(
n_{1}-1\right) \hat{S}_{1}+\left( n_{2}-1\right) \hat{S}_{2}}
{n_{1}+n_{2}+2}\ast \frac{%
n_{1}n_{2}}{n_{1}n_{2}}}\ast t_{n_{1}+n_{2}-2,\alpha /2}
\end{equation*}

\paragraph{Variàncies desconegudes i diferents}

Si les vari\`{a}nces de les dues poblacions no es poden
considerar iguals ens trobem amb un problema que, encara no té
solució exacta i que e sconeix amb el nom de ``problema de
Behrens--Fisher''. Hi ha molts procediments aproximats per
resoldre'l. Ä continuació se'n descriu un, citat al llibre de
Daniel Peña (\cite{Penya-87a}).

Quan les variancies són desconegudes i diferents un interval de
confiança aproximat de nivell $\left( 1-\alpha \right)$ per a
$\mu _{1}-\mu _{2}$ \'{e}s:
\begin{equation*}
\left( \hat{X}_{1}-\hat{X}_{2}\pm t_{\left( \alpha /2;%
\text{ }g\right) }\sqrt{\frac{\hat{S}_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\hat{S}_{2}^{2}}{%
+n_{2}}}\right)
\end{equation*}
on $g$ són els graus de llibertat que es calculen de la manera seg\"{u}ent: $%
g=n_{1}+n_{2}-2-\triangle$ on $\triangle $ \'{e}s l'enter m\'{e}s
proxim a:
\begin{equation*}
\triangle =\text{arrodonit de }\left[ \frac{\left( \left(
n_{2}-1\right) \hat{S}_{1}-\left(
n_{1}-1\right) \hat{S}_{2}\right) ^{2}}{\left( n_{1}-1\right) \hat{S}%
_{1}^{2}+\left( n_{1}-1\right) \hat{S}_{2}^{2}}\right]
\end{equation*}
\qquad \qquad on $S_{i}=\hat{S}_{i}^{2}$ $/$ $n_{i}$\

El terme corrector s'interpreta de la manera següent:
\begin{itemize}
\item  Si $S_{1}^{2}>>S_{2}^{2}$  i $n_{1}=n_{2}$ llavors
$\triangle \approx n_{2}-1$ i els g.d.ll. depenen de la
presici\'{o} amb que estimem $S_{1}$.
\item  Si
$n_{1}=n_{2}$ i $S_{1}^{2}>>S_{2}^{2}$ llavors el terme corrector
s'anul.la.
\item  Si $n_{1}>>n_{2}$ llavors el terme corrector és alt i
baixen els graus de llibertat.
\end{itemize}

\subsubsection{Interval de confiança per a la ra\'{o} de vari\`{a}nces}

Suposem que tenim 2 poblacions $X\sim N\left( \mu
_{1},\sigma_{1}^{2}\right)$ i $Y\sim N\left( \mu _{2},\sigma
_{2}^{2}\right) $ i que volem construir un intervals de confiança
per a la raó de variàncies (No pot ser per a la diferència de
variàncies ja que, per a aquesta no disposem de pivot!).

Donades dues mostres independents de mides $n_{1}$ i $n_{2}$
d'$X$ i $Y$ sabem que:
\begin{eqnarray*}
X_{1} &\sim &N\left( \mu _{1},\sigma _{1}\right)
\Rightarrow \frac{\left( n_{1}-1\right) \hat{S}%
_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}\sim X_{n_{1}-1}^{2} \\
Y &\sim &N\left( \mu _{2},\sigma _{2}\right)
\Rightarrow \frac{\left( n_{2}-1\right) \hat{S}%
_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\sim X_{n_{2}-2}^{2}.
\end{eqnarray*}

El quocient entre dues $\chi^{2}$ dividides pels seus graus de
llibertat segueix una distribució $F$ de Fisher:
\begin{equation*}
\frac{X_{1}^{2}/\text{ }n_{1}}{X_{2}^{2}/\text{ }n_{2}}\sim
F_{n_{2}}^{n_{1}},
\end{equation*}
i per tant l'estadístic:
\begin{equation*}
\frac{\frac{\left( n_{1}-1\right) \hat{S}_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}\text{ }/%
\text{ }\left( n_{1}-1\right) }{\text{ }\frac{\left( n_{2}-1\right) \hat{S}%
_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\text{ }/\text{ }\left( n_{2}-1\right)
}\sim F_{n_{2}}^{n_{1}}
\end{equation*}
és un pivot per a la raó de variàncies, i del qual podem obtenir
un interval de confiança per a $\sigma_1^2/\sigma_2^2$:
\begin{eqnarray*}
P\left[ F_{1-\alpha /2}\leq \frac{\hat{S}_{1}^{2}}{\hat{S}_{2}^{2}}\text{ }/%
\text{ }\frac{\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\leq F_{\alpha /2}\right] &=&P%
\left[ \frac{1}{F_{\alpha /2}}\leq \frac{\sigma _{1}^{2}\text{ }/\text{ }%
\sigma _{2}^{2}}{\hat{S}_{1}^{2}\text{ }/\text{ }\hat{S}_{2}^{2}}\leq \frac{1%
}{F_{1-\alpha /2}}\right] = \\
&=&P\left[ \frac{\hat{S}_{1}^{2}\text{ }/\text{
}\hat{S}_{2}^{2}}{F_{\alpha
/2}}\leq \frac{\sigma _{1}^{2}\text{ }}{\sigma _{2}^{2}}\leq \frac{\hat{S}%
_{1}^{2}\text{ }/\text{ }\hat{S}_{2}^{2}}{F_{1-\alpha /2}}\right]
=1-\alpha
\end{eqnarray*}

\begin{example}
El nombre de peces produ\"{i}t per 2 m\`{a}quines d'una
f\`{a}brica en 5 dies, ha estat
\begin{eqnarray*}
A &=&50,48,53,60,37 \\
B &=&40,51,62,55,64
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item Constru\"{i}u un intervals de confiança al 95\% per a la ra\'{o} de vari\`{a}nces
i feu-lo servir per decidir si sembla raonable assumir que $\sigma _{1}=\sigma _{2}$
\item Constru\"{i}m un intervals de confiança per $\mu _{1}-\mu _{2}$ al 95\% sota les dues suposicions:
\begin{enumerate}
\item $\sigma _{1}^{2} =\sigma _{2}^{2}$
\item $\sigma _{1}^{2} \neq \sigma _{2}^{2}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Comencem per construir l'interval de confiança pera les
vari\`{a}nces. Consultant les taules de la $F$ de Fisher obtenim:
\begin{eqnarray*}
F(4,4,0.05) &=&6.3388 \\
F(4,4,0.95) &=&\frac{1}{F(4,4,0.05)}=\frac{1}{6.3388},
\end{eqnarray*}
d'on l'intervals de confiança per a $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ és:
\begin{equation*}
\left[ \frac{\left( 8.38/9.61\right) ^{2}}{6.3883};\frac{%
\left(8.38/ 9.61\right) ^{2}}{1\text{ }/\text{ }6.3883}%
\right] =\left[ 0.206;8.401\right]
\end{equation*}

L'intervals de confiança cont\'{e} l'1 i per tant \emph{sembla
raonable acceptar} que $\sigma_{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ ja que en
aquest cas la raó val 1.

Com:
\begin{eqnarray*}
&&\bar{X}_{1}-\bar{Y}=49.6-54.4 =-4.8 \\
&&\hat{S}_{T}^{2} =\frac{8.38^{2}+9.61^{2}}{2}=81.29\Rightarrow
\hat{S}_{T}=9.02,
\end{eqnarray*}
l'interval de confiança per a la diferència de mitjanes, quan
suposem variàncies iguals val:
$$
-4.80\pm t_{8}\ast 9.02\sqrt{\frac{9}{5}} = -4.80\pm 13.18=\left(
-17.95,\ 8.35\right).
$$

Si suposem $\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$ l'intervals de
confiança ser\`{a}
\begin{eqnarray*}
&&-4.8\pm t_{\alpha /2,\text{ }g}\sqrt{\frac{\hat{S}_{1}^{2}}{n_{1}}+%
\frac{\hat{S}_{2}^{2}}{n_{2}}} \\
&& g =n_{1}+n_{2}-2-\triangle \Rightarrow \\
&&\triangle =\frac{4\ast 14.04-4\ast 18\ast 47}{4\ast
(14.04^{2}+18\ast 47^{2})}
\end{eqnarray*}
El valor de $\triangle$ un cop arrodonit és zero de forma que
l'interval de confiança és:
$$
-4.8\pm 2.31\ast 5.7 =\left (-4.8\pm 13.17 \right ),
$$
que és gairebé idèntic a l'anterior, amb consonància amb el que
hem observat de que les  variàncies són iguals ambdós intervals
coincideixen
\end{example}

\subsection{El m\`{e}tode del pivot en poblacions no normals}

Tots els exemples que hem vist fins ara suposen normalitat de la
població, però el mètode del pivot es pot aplicar sempre i quan
es donin les condicions amb que l'hem definit:
\begin{example}
\begin{eqnarray*}
X &\sim &f\left( x;\theta \right) =\frac{3x^{2}}{\theta
^{3}},\quad 0\leq x\leq \theta \\
L\left( x_{1}.......x_{n};\theta \right) &=&\prod_{i=1}^{n}\frac{3x_{i}^{2}}{%
\theta ^{3}}=\frac{3^{n}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\theta ^{3n}}
\end{eqnarray*}

\begin{equation*}
\log L\left( \bX;\hat{\theta}\right) =n\log 3-2\sum \log
x_{i}-3n\log \theta
\end{equation*}

Observem que podem fer:
\begin{equation*}
\frac{\partial \log L\left( \bX;\hat{\theta}\right) }{\partial \log \hat{\theta%
}}=0\Rightarrow \frac{-3n}{\hat{\theta}}=0
\end{equation*}
i ens queda un expressi\'{o} que no t\'{e} sentit!!!!$\uparrow $.

Analitzem la forma de la funci\'{o} $\log L\left(
\bX;\hat{\theta}\right) $

\begin{equation*}
\log L\left( \bX;\hat{\theta}\right) \alpha =-2\sum \log
x_{i}-3n\log \theta =K(x)-3n\log \theta
\end{equation*}

Si $\theta <1$%
\begin{eqnarray*}
\log x_{i} &<&0\Rightarrow k\left( x\right) \\
-3n\log \theta &>&0
\end{eqnarray*}

\emph{L'EMV \'{e}s} $x_{n}\Leftarrow \left\{
\begin{array}{c}
\text{Si }\hat{\theta}^{\ast }<x_{\left( n\right) }\text{\emph{no
\'{e}s
versemblable}} \\
\text{Si }\hat{\theta}^{\ast }>x_{\left( n\right) }\text{ }L\left(
\bX;\theta \right) \text{\emph{\'{e}s m\'{e}s petit}}
\end{array}
\right\} $

Si
\begin{equation*}
X\sim f\left( \bX;\theta \right) =\frac{3x^{2}}{\theta ^{3}}\text{
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }0\leq x\leq \theta
\end{equation*}
llavors, l'\emph{EMV} de $\theta $ \'{e}s $\hat{\theta}=x_{\left(
n\right) }$ .

La \emph{distribuci\'{o} de }$\hat{\theta}_{MV}$ \'{e}s:
\begin{equation*}
F\left( x_{\left( n\right) }\right) =P\left[ X_{\left( n\right) }\leq x%
\right] =P\left[ X_{\left( 1\right) }\leq x\right] \ast
.......\ast P\left[ X_{\left( n\right) }\leq x\right]
=\prod_{i=1}^{n}P\left[ X_{\left( i\right) }\leq x\right]
=P\left[ X\leq x\right] ^{n}
\end{equation*}

on
\begin{equation*}
P\left[ X\leq x\right] =\int_{0}^{x}\frac{3t^{2}}{\theta ^{3}}dt=\frac{3t^{3}%
}{3\theta ^{3}}\mid _{0}^{x}=\left( \frac{x}{\theta }\right) ^{3}
\end{equation*}
d'on
\begin{equation*}
F\left( x_{\left( n\right) }\right) =\left( \frac{x_{\left( n\right) }}{%
\theta }\right) ^{3n}=\left( \frac{\hat{\theta}}{\theta }\right)
^{3n}
\end{equation*}

Cosiderem la quantitat;
\begin{equation*}
T\left( x;\theta \right) =\left( \frac{x_{\left( n\right)
}}{\theta }\right) ^{3n}=F\left( x_{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}

Aquesta funci\'{o} s'obt\'{e} aplicant la transformaci\'{o}
$F\Rightarrow $ \'{e}s una \emph{transformaci\'{o} integral }de
$x_{\left( n\right) }\Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
T\left( \bX;\theta \right) \sim U\left( 0,1\right) \\
F_{t}\left( t\right) =t \\
f_{t}\left( t\right) =1
\end{array}
\right\} $ No dep\`{e}n de $\theta \rightarrow $ Es una
\emph{quantitat pivotal}.

$T\left( \bX;\theta \right) =\left( \frac{x_{\left( n\right) }}{\theta }%
\right) ^{3n}\sim U\left( 0,1\right) $

Posem:
\begin{equation*}
P\left[ T_{1}(\alpha )\leq T(\bX;\theta )\leq T_{2}\left( \alpha \right) %
\right] =1-\alpha
\end{equation*}

i busquem els valors (dos funcions) que verifiquin aquesta
igualtat.

Si per simetria imposem que cada cua limiti una probabilitat
d'$\alpha /2$ tenim:
\begin{eqnarray*}
\int_{T_{1}\left( \alpha \right) }^{1}f_{T}\left( t\right) dt
&=&\int_{0}^{T_{2}\left( \alpha \right) }f\left( t\right) dt=1-\alpha \\
\int_{T_{1}\left( \alpha \right) }^{1}dt &=&\int_{0}^{T_{2}\left(
\alpha
\right) }dt=1-\alpha \\
1-T_{1}\left( \alpha \right) &=&1-\alpha \Rightarrow
1-T_{1}\left( \alpha
\right) =1-\alpha \\
T_{2}\left( \alpha \right) -0 &=&1-\alpha \Rightarrow T_{2}\left(
\alpha \right) =1-\alpha
\end{eqnarray*}

Ara posant
\begin{eqnarray*}
T\left( \bX;\theta \right) &=&\left( \frac{\bX_{\left( n\right) }}{\theta }%
\right) ^{3n}=T_{1}\left( \alpha \right) =\alpha \\
T\left( \bX;\theta \right) &=&\left( \frac{x_{\left( n\right) }}{\theta }%
\right) ^{3n}=T_{2}\left( \alpha \right) =1-\alpha
\end{eqnarray*}

Podem a\"{i}llar???????????????

\begin{eqnarray*}
T\left( \bX;\theta \right) &=&\left( \frac{x_{\left( n\right) }}{\theta }%
\right) ^{3n}=T_{1}\left( \alpha \right) =\alpha \\
\frac{x_{\left( n\right) }}{\theta } &=&\sqrt[3n]{\alpha } \\
????? &=&\theta \left( \bX\right) =\frac{x_{\left( n\right) }}{\sqrt[3n]{%
1-\alpha }}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
T\left( \bX;\theta \right) &=&\left( \frac{x_{\left( n\right) }}{\theta }%
\right) ^{3n}=T_{2}\left( \alpha \right) =1-\alpha \\
\frac{x_{\left( n\right) }}{\theta } &=&\sqrt[3n]{\alpha } \\
????? &=&\theta \left( \bX\right) =\frac{x_{\left( n\right) }}{\sqrt[3n]{%
1-\alpha }}
\end{eqnarray*}

Per disposar de dades amb que provar aquests intervals podem
generar una mostra amb $\theta =0.5$ de grandaria $n=9$. El
resultat de la simulació són els valors següents:
\begin{equation*}
0.19,0.48,0.46,0.27,0.37,0.44,0.46,0.41,0.49
\end{equation*}

D'aqu\'{i} $x_{\left( q\right) }=$ maxim $=0.49$ i
l'\emph{intervals de confiança} \'{e}s
\begin{equation*}
IC\Longrightarrow \left[ \frac{0.49}{\sqrt[27]{0.05}},\frac{0.49}{\sqrt[27]{%
0.95}}\right] =\left[ 0.5506,0.4937\right]
\end{equation*}
\end{example}


\subsection{Intervals de confiança en poblacions no normals}

Suposem que $X$ no segueix una \emph{D.\ Normal }per\`{o} si
t\'{e} mitjana i vari\`{a}n\c{c}a finites, i, que \emph{coneixem
}$\sigma .$

El \emph{TCL} ens garanteix que, en aquest cas
\begin{equation*}
\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\Rightarrow ^{\pounds
}N\left( 0,1\right)
\end{equation*}

i \ per tant, per mostres grans podem obtenir un \emph{intervals
de confiança} per $\mu $ fins i
tot en el cas on $X$ no \'{e}s normal $\left( n\geq 30\right) $: Un intervals de confiança al $%
\left( 1-\alpha \right) \%$ aproximat per a $\mu $ \'{e}s
\begin{equation*}
\hat{X}\pm Z_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}
\end{equation*}

Suposem que $\sigma $\emph{\'{e}s desconeguda.} En aquest cas se
sol, tamb\'{e}, fer servir \emph{l'aproximaci\'{o} normal}, tot i
que, la seva validesa resulta molt discutible (Nom\'{e}s se sol
considerar v\`{a}lida quan $n\geq 100$).

Uns intervals de confiança \emph{aproximadissims, }al $\left(
1-\alpha \right) \%$ per a $\mu $ s\'{o}n:

\begin{equation*}
\hat{X}\pm Z_{\alpha /2}\text{ }\hat{S}\text{ }/\sqrt{n}
\end{equation*}

Aquesta $\uparrow $ aproximaci\'{o} \'{e}s ampliament utilitzada.

\subsection{Intervals de confiança aproximats}
\subsection{Intervals de confiança bayesians}