0304.tex

\subsection{Teoria asintotica}
Lezione del 04/03, ultima modifica 09/04, Michele Nardin

\begin{teo}
\noindent
($\Delta$-method) Sia $\{X_n\}_{n \in\ \mathbbm{N}}$ una successione di vc
tale che 

\noindent $\sqrt{n}(X_n-\vartheta)\stackrel{d}{\rightarrow}N(0,\sigma^2)$. 
Supponiamo che una funzione g(X) sia derivabile in $\vartheta$ e che $g'(\vartheta)\neq0$. Allora $$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\vartheta))\stackrel{d}{\rightarrow}N(0,\sigma^2(g'(\vartheta))^2)$$
\end{teo}

\noindent\textbf{Esempio}
Considero $$Y_n=\frac{\chi^2_n-n}{\sqrt{2n}}=\sqrt{n}\left(\frac{\chi^2_n}{\sqrt{2}n}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ ove $\chi^2_n$ è la chiquadro con n gradi di libertà. 
Ricordiamo che $\mathbbm{E}(\chi^2_n)=n$ e che $Var(\chi^2_n)=2n$ (discende dal fatto che $\chi^2_n \sim \mathcal{G}(\alpha=n/2,\beta=2)$. 
Affermiamo che $Y_n \stackrel{d}{\rightarrow} N(0,1)$. Infatti:
$$Y_n = \frac{\chi^2_n-n}{\sqrt{2n}} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2 - n \cdot 1}{\sqrt{n} \sqrt{2}}$$
dove $X_i \sim N(0,1)$, e quindi $X_i^2 \sim \chi^2_1$, quindi le $X_i^2$ hanno media $\mu=1$ e varianza $\sigma^2=2$. Quindi per il Teorema centrale del Limite (vedi sotto) si ha quanto voluto.\\
Scrivendo ora $Y_n$ nella forma $Y_n=\sqrt{n}\left(\frac{\chi^2_n}{\sqrt{2}n}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ riconosciamo che la prima parte delle ipotesi del $\Delta$-method sono soddisfatte.
Considero quindi $g(t)=\sqrt{t}$, che è derivabile in $\vartheta=1/\sqrt{2}$, $g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}|_{\vartheta=1/\sqrt{2}}=2^{-3/4}$.
Allora $$\sqrt{n}(g\left(\frac{\chi^2_n}{\sqrt{2}n}\right)-g(\vartheta))=
\sqrt{n}\left(\sqrt{\frac{\chi^2_n}{\sqrt{2}n}}-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)
\stackrel{d}{\rightarrow}N(0,1^2\cdot 2^{-3/2})$$

\begin{teo}
(Teorema centrale del limite) Siano $X_1,...X_n$ vc iid dotate di media $\mu$ e varianza finita $\sigma^2$. Allora 
$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\cdot \sigma} = \frac{\sqrt{n}(\overline{X}_n-\mu)}{\sigma}\stackrel{d}{\rightarrow}N(0,1)$$
con $\overline{X}_n$ media aritmetica delle $X_i$.
\end{teo}

\noindent\textbf{Esempi/Applicazioni}
\begin{enumerate}
\item $X_n \sim b(n,p)$, $X_n \stackrel{a}{\sim}N(np,np(1-p))$ (ricordiamo che $X_n \sim \sum_{i=1}^n b_i$, ove $b_i \sim b(1,p)$).
Quando scriviamo $\stackrel{a}{\sim}$ stiamo considerando un "andamento asintotico", ossia sottintendiamo un'approssimazione (via via migliore con l'aumentare di n) giustificata dal TLC (il senso è che per n 'grandi' la distribuzione 'funziona circa così').
\item $X_1,...,X_n$ vc 
$P(\lambda =1)$. 
Considero $Y_n=\sum X_i$.
Dato che $Y_n \stackrel{a}
{\sim} N(n\lambda ,n \lambda )$ e $\lambda=1$,
 $\bar{Y}_n:=\frac{Y_n}{n} \stackrel{a}
 {\sim} N(1,1/n)$

 Considero quindi $W_n=\sqrt{n}(\frac{Y_n}{n}-1)=\frac{\frac{Y_n}{n}-1}
{1/\sqrt{n}}=\frac{\bar{Y_n} - \mathbbm{E}(\bar{Y}_n)}
{\sqrt{Var(\bar{Y}_n)}}$, trovo che $W_n \stackrel{a}{\sim} N(0,1) $
\end{enumerate}

\begin{teo}
Sia $\{X_n\}$ una succ di vc iid, ognuna con con FGM $M_{X_n}(t)$ definita e $<\infty$ per $t\in(-h,h)$, e sia X un'altra vc con FGM $M_X(t)$ definita e $<\infty$ per $t \in (-h_1,h_1), \; h_1\leq h$. Se $$\lim_{n \rightarrow +\infty} M_{X_n}(t)=M_X(t) \; \; \; \forall |t| \leq h_1$$ allora $X_n \stackrel{d}{\rightarrow} X$.
\end{teo}

\noindent\textbf{Applicazione}

\begin{enumerate}
\item Sia $X_n \sim b(n,p)$. 
Ricordiamo che $X_n=\sum X_i$ ove $X_i \sim b(1,p)$, ed inoltre $\mu=\mathbbm{E}(X)=np$.
Siccome $M_{X_n}(t)=
\mathbbm{E}(e^{tX_n})=[(1-p)+pe^t]^n=
[1+\frac{\mu}{n}(e^t - 1)]^n$, 
$$ M_{X_n}(t) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 
e^{\mu(e^t-1)}$$
che è la FGM di una Poisson di parametro $\mu$, ovvero $X_n \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{P}(n,p).$
\end{enumerate}
\newpage
%%%modificato titolo della sezione: sottolineamo il fatto che la prima parte del corso è applicativa
\section{Approccio applicativo alla Statistica Matematica}
Questa sezione corrisponde alla parte di corso svolta dalla seconda settimana di marzo fino a metà aprile, che riguarda gli aspetti pratici della statistica: verranno introdotte le statistiche d'ordine, gli intervalli di confidenza e i test per verifiche d'ipotesi.

\begin{definizione} (Campione Casuale)
Il vettore casuale $(X_1,...,X_n)$ si dice Campione Casuale relativamente ad una vc $X \sim F_X(x,\vartheta)$ se i suoi elementi sono vc i.i.d.
\end{definizione}

\noindent\textbf{Osservazione}
Il fatto che le vc siano i.i.d. implica che $$F_{X_1,...,X_n}(X_1,...,X_n)=\prod_{i=1}^n F_{X_i} (X_i)$$ e $$f_{X_1,...,X_n}(X_1,...,X_n)=\prod_{i=1}^n f_{X_i} (X_i)$$

\begin{definizione} (Statistica)
Sia $(X_1,...,X_n)$ un campione casuale da una distribuzione associata alla vc $X$, e sia $\Omega$ lo spazio campionario di $(X_1,...,X_n)$

\noindent Ogni funzione $$T(X_1,...,X_n):\Omega \longrightarrow \mathbbm{R}^k$$ che NON dipende da parametri incogniti è detta Statistica.
\end{definizione}

%%Ho tolto le osservazioni di seguito, se poi riteniamo di rimetterle ok, altrimenti io le considero superflue e fuorvianti.

%\textbf{Osservazioni}
%Le cose scritte tra virgolette '' sono concetti e/o definizioni non ancora introdotti, che vengono usati per dare un'idea intuitiva di quello che si andrà a vedere, cose che poi durante il corso verranno trattate con rigore.
%\begin{enumerate}
%\item Una statistica T è una 'caratteristica numerica' del campione: si presta a $sintetizzare$ l'informazione su $\vartheta$ contenuta nel campione.%
%\item $\sum_{i=1}^n X_i$ e $\sum_{i=1}^n X_i^2$ sono entrambe statistiche: sono alla base di due 'stimatori' molto importanti:

%Media Campionaria: $\bar{X}_n =\frac{1}{n}\sum X_i$

%Varianza Campionaria: $S_n^2=\frac{1}{n-1} \sum (X_i-\bar{X}_n)^2 = \frac{1}{n-1} \sum X_i^2 - \frac{n}{n-1}\bar{X}_n^2$
%\item Ogni statistica è una vc: ha quindi una distribuzione, che dipende dal parametro.

%\textbf{Esempio} Considero $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum X_i$ ove $X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$. Allora $\bar{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$. Da questo si potrà dedurre la "bontà" di $\bar{X}$ come "stimatore" di $\mu$.
%\item Tra tutti i modi di sintetizzare l'informazione contenuta in $(X_1,...,X_n)$ relativamente a $\vartheta$, siamo interessati a quelli che NON tralasciano informazioni o quote di informazioni rilevanti per il parametro.
%\item In relazione ad uno stimatore potremmo essere interessati ad alcune proprietà, in particolare a queste due:

%$\cdot$ Accuratezza [concetto legato alla media dello stimatore] ($Non$ $distorsione$)

%$\cdot$ Precisione [concetto legato alla varianza dello stimatore] ($efficienza$ o $consistenza$)
%\end{enumerate}
%Fine lezione del 4 marzo. ultima modifica 5 marzo, 14.08, Michele