From 6f25d61341813ddd8490a4fca9399b59076de1a1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Grant Sanderson Date: Mon, 15 Apr 2024 12:22:39 -0700 Subject: [PATCH] Edit "essence-of-calculus (greek)" by epsilon --- .../greek/sentence_translations.json | 262 +++++++++--------- 1 file changed, 131 insertions(+), 131 deletions(-) diff --git a/2017/essence-of-calculus/greek/sentence_translations.json b/2017/essence-of-calculus/greek/sentence_translations.json index 88e6dea8c..4ab84af8c 100644 --- a/2017/essence-of-calculus/greek/sentence_translations.json +++ b/2017/essence-of-calculus/greek/sentence_translations.json @@ -3,7 +3,7 @@ "input": "Hey everyone, Grant here.", "translatedText": "", "from_community_srt": "[ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ] \"Η τέχνη στα μαθηματικά είναι να βρίσκεις εκείνη την ειδική περίπτωση στην οποία κρύβονται όλες οι ρίζες της γενικότητας\" ~David Hilbert Γεια σε όλους, Grant εδώ.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 14.98, "end": 16.46 }, @@ -11,7 +11,7 @@ "input": "This is the first video in a series on the essence of calculus, and I'll be publishing the following videos once per day for the next 10 days.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτό είναι το πρώτο βίντεο στη σειρά για την ουσία του Λογισμού. και θα δημοσιεύω τα επόμενα βίντεο, ένα κάθε μέρα για τις επόμενες 10 ημέρες.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 16.82, "end": 23.6 }, @@ -19,7 +19,7 @@ "input": "The goal here, as the name suggests, is to really get the heart of the subject out in one binge-watchable set.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ο στόχος εδώ, όπως φαίνεται και από τον τίτλο, είναι να μπείτε πραγματικά στην καρδιά του ζητήματος μέσα από μία σειρά που μπορείτε να δείτε με τη μία.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 24.3, "end": 29.72 }, @@ -27,7 +27,7 @@ "input": "But with a topic that's as broad as calculus, there's a lot of things that can mean, so here's what I have in mind specifically.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Όμως για ένα θέμα τόσο ευρύ όσο ο Λογισμός, αυτό μπορεί να σημαίνει πολλά πράγματα. Οπότε, να τι έχω στο μυαλό μου συγκεκριμένα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 30.32, "end": 36.2 }, @@ -35,7 +35,7 @@ "input": "Calculus has a lot of rules and formulas which are often presented as things to be memorized.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ο Λογισμός περιέχει πολλούς κανόνες και τύπους που συχνά παρουσιάζονται ως κάτι που πρέπει να μάθεις απ' έξω.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 36.94, "end": 41.94 }, @@ -43,7 +43,7 @@ "input": "Lots of derivative formulas, the product rule, the chain rule, implicit differentiation, the fact that integrals and derivatives are opposite, Taylor series, just a lot of things like that.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Πολλοί τύποι παραγώγισης, ο κανόνας γινομένου, ο κανόνας αλυσίδας, η παράγωγος πεπλεγμένης συνάρτησης, το γεγονός ότι η ολοκλήρωση και η παραγώγιση είναι αντίστροφες, οι σειρές Taylor, πάρα πολλά τέτοια πράγματα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 42.48, "end": 52.46 }, @@ -51,7 +51,7 @@ "input": "And my goal is for you to come away feeling like you could have invented calculus yourself.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και ο στόχος μου είναι να σας κάνω να νιώθετε στο τέλος σαν να είχατε εφεύρει εσείς οι ίδιοι τον Λογισμό.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 52.96, "end": 57.08 }, @@ -59,15 +59,15 @@ "input": "That is, cover all those core ideas, but in a way that makes clear where they actually come from, and what they really mean, using an all-around visual approach.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Δηλαδή να καλύψουμε όλες αυτές τις βασικές ιδέες, αλλά με έναν τρόπο που κάνει ξεκάθαρο το πώς προέκυψαν και τι πραγματικά σημαίνουν, χρησιμοποιώντας παντού οπτικές αναπαραστάσεις.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 57.64, - "end": 66.0 + "end": 66 }, { "input": "Inventing math is no joke, and there is a difference between being told why something's true, and actually generating it from scratch.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Το να εφεύρεις τα μαθηματικά δεν είναι κάτι απλό, και υπάρχει μία διαφορά ανάμεσα στο να σου εξηγεί κάποιος γιατί ισχύει κάτι, και στο να το παράγεις πραγματικά από το μηδέν.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 66.92, "end": 74.04 }, @@ -75,7 +75,7 @@ "input": "But at all points, I want you to think to yourself, if you were an early mathematician, pondering these ideas and drawing out the right diagrams, does it feel reasonable that you could have stumbled across these truths yourself?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Όμως σε κάθε σημείο της σειράς, θέλω να σκέφτεστε: Αν ήσασταν ένας από τους πρώτους μαθηματικούς, ο οποίος θα σκεφτόταν αυτές τις ιδέες και θα ζωγράφιζε τα σωστά σχήματα, θα ήταν λογικό να είχατε καταλήξει σε αυτές τις αλήθειες από μόνος σας;", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 74.68, "end": 86.24 }, @@ -83,7 +83,7 @@ "input": "In this initial video, I want to show how you might stumble into the core ideas of calculus by thinking very deeply about one specific bit of geometry, the area of a circle.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Σε αυτό το πρώτο βίντεο, θέλω να σας δείξω πώς θα μπορούσατε να καταλήξετε στις κύριες ιδέες του Λογισμού, αν σκεφτόσασταν εις βάθος το εξής κομμάτι της γεωμετρίας: Το εμβαδό ενός κύκλου.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 86.82, "end": 96.84 }, @@ -91,7 +91,7 @@ "input": "Maybe you know that this is pi times its radius squared, but why?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ίσως να ξέρετε ήδη ότι ισούται με π επί την ακτίνα στο τετράγωνο. Γιατί όμως;", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 97.78, "end": 101.04 }, @@ -99,7 +99,7 @@ "input": "Is there a nice way to think about where this formula comes from?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Υπάρχει κάποιος ωραίος τρόπος να σκεφτούμε πώς προέκυψε αυτός ο τύπος; Αν μελετήσετε το πρόβλημα και", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 101.58, "end": 104.46 }, @@ -107,7 +107,7 @@ "input": "Well, contemplating this problem and leaving yourself open to exploring the interesting thoughts that come about can actually lead you to a glimpse of three big ideas in calculus, integrals, derivatives, and the fact that they're opposites.", "translatedText": "", "from_community_srt": "αφήσετε τον εαυτό σας ελεύθερο να εξερευνήσει τις ενδιαφέρουσες σκέψεις που σας έρχονται, μπορεί να πάρετε μία πρόγευση των τριών μεγάλων ιδεών στον Λογισμό: Τα ολοκληρώματα, οι παράγωγοι, και το γεγονός ότι είναι αντίστροφες πράξεις.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 105.42, "end": 117.92 }, @@ -115,7 +115,7 @@ "input": "But the story starts more simply, just you and a circle, let's say with radius 3.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Η ιστορία όμως ξεκινάει πιο απλά. Μόνο εσείς και ένας κύκλος, ας πούμε με ακτίνα 3.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 119.84, "end": 124.84 }, @@ -123,7 +123,7 @@ "input": "You're trying to figure out its area, and after going through a lot of paper trying different ways to chop up and rearrange the pieces of that area, many of which might lead to their own interesting observations, maybe you try out the idea of slicing up the circle into many concentric rings.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Προσπαθείτε να βρείτε το εμβαδόν του και αφού ξοδέψετε πολύ χαρτί για να γράψετε τις ιδέες σας και ενώ ψάχνετε διάφορους τρόπους να κόψετε και να ξαναβάλετε σε σειρά τα κομμάτια του εμβαδού, πολλοί από τους οποίους μπορεί να σας οδηγήσουν σε άλλες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις, ίσως δοκιμάσετε την ιδέα του να κόψετε τον κύκλο σε πολλούς ομοκεντρικούς δακτυλίους.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 125.7, "end": 141.06 }, @@ -131,15 +131,15 @@ "input": "This should seem promising because it respects the symmetry of the circle, and math has a tendency to reward you when you respect its symmetries.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτό μοιάζει να έχει προοπτικές, αφού \"σέβεται\" τη συμμετρία του κύκλου, και τα μαθηματικά έχουν την τάση να μας ανταμείβουν όταν σεβόμαστε τις συμμετρίες τους.", - "n_reviews": 0, - "start": 142.0, + "n_reviews": 1, + "start": 142, "end": 149.46 }, { "input": "Let's take one of those rings, which has some inner radius r that's between 0 and 3.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Ας πάρουμε έναν από αυτούς τους δακτυλίους, ο οποίος έχει κάποια εσωτερική ακτίνα r η οποία είναι μεταξύ 0 και 3.", "from_community_srt": "Ας πάρουμε έναν από αυτούς τους δακτυλίους, ο οποίος έχει κάποια εσωτερική ακτίνα R η οποία είναι μεταξύ 0 και 3.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 150.36, "end": 155.06 }, @@ -147,7 +147,7 @@ "input": "If we can find a nice expression for the area of each ring like this one, and if we have a nice way to add them all up, it might lead us to an understanding of the full circle's area.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αν μπορούσαμε να βρούμε μία ωραία έκφραση για το εμβαδό κάθε τέτοιου δακτυλίου σαν αυτόν, και αν είχαμε έναν ωραίο τρόπο να τις προσθέσουμε όλες μαζί, αυτό ίσως να μας οδηγούσε στο να υπολογίσουμε το εμβαδό ολόκληρου του κύκλου.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 156.22, "end": 165.5 }, @@ -155,7 +155,7 @@ "input": "Maybe you start by imagining straightening out this ring.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ίσως αρχίζαμε με το να φανταστούμε ότι ισιώνουμε αυτόν τον δακτύλιο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 166.42, "end": 169.12 }, @@ -163,7 +163,7 @@ "input": "And you could try thinking through exactly what this new shape is and what its area should be, but for simplicity, let's just approximate it as a rectangle.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και θα μπορούσαμε να σκεφτούμε το πώς μοιάζει ακριβώς ένα τέτοιο σχήμα, και πόσο είναι το εμβαδόν του. Για ευκολία όμως ας το προσεγγίσουμε απλά σαν ένα ορθογώνιο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 170.8, "end": 179.18 }, @@ -171,7 +171,7 @@ "input": "The width of that rectangle is the circumference of the original ring, which is 2 pi times r, right?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Το πλάτος αυτού του ορθογωνίου είναι η περιφέρεια του αρχικού δακτυλίου, που ισούται με 2πr. Σωστά; Βασικά,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 180.18, "end": 185.44 }, @@ -179,14 +179,14 @@ "input": "I mean, that's essentially the definition of pi.", "translatedText": "", "from_community_srt": "αυτός ουσιαστικά είναι και ο ορισμός του π.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 185.86, "end": 188.06 }, { "input": "And its thickness?", "translatedText": "", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 188.68, "end": 189.38 }, @@ -194,7 +194,7 @@ "input": "Well, that depends on how finely you chopped up the circle in the first place, which was kind of arbitrary.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και το ύψος; Εεε, αυτό εξαρτάται από το πόσο λεπτές είναι οι φέτες που κόψαμε στην αρχή, το οποίο ήταν και λίγο αυθαίρετο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 190.2, "end": 195.62 }, @@ -202,7 +202,7 @@ "input": "In the spirit of using what will come to be standard calculus notation, let's call that thickness dr for a tiny difference in the radius from one ring to the next.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Για να ακολουθήσουμε και τον στάνταρ συμβολισμό στον Λογισμό, ας ονομάσουμε αυτό το πάχος dr, δηλαδή τη μικροσκοπική διαφορά της ακτίνας του ενός δακτυλίου από τον αμέσως επόμενο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 196.34, "end": 204.96 }, @@ -210,7 +210,7 @@ "input": "Maybe you think of it as something like 0.1.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ίσως το φανταστείτε σαν έναν μικρό αριθμό, πχ το 0.1 Οπότε,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 205.48, "end": 207.88 }, @@ -218,7 +218,7 @@ "input": "So approximating this unwrapped ring as a thin rectangle, its area is 2 pi times r, the radius, times dr, the little thickness.", "translatedText": "", "from_community_srt": "προσεγγίζοντας αυτόν τον ξετυλιγμένο δακτύλιο ως ένα λεπτό ορθογώνιο, το εμβαδόν του είναι 2πr, όπου r η ακτίνα, επί dr, το μικροσκοπικό πάχος.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 208.98, "end": 217.6 }, @@ -226,7 +226,7 @@ "input": "And even though that's not perfect, for smaller and smaller choices of dr, this is actually going to be a better and better approximation for that area, since the top and the bottom sides of this shape are going to get closer and closer to being exactly the same length.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ακόμη κι αν αυτό δεν είναι ακριβές, για όλο και μικρότερες επιλογές του dr, αυτό το εμβαδό θα τείνει να γίνεται μία όλο και καλύτερη προσέγγιση του πραγματικού εμβαδού, μιας και η πάνω και η κάτω πλευρά αυτού του σχήματος θα τείνουν να έρθουν όλο και πιο κοντά στο να έχουν το ίδιο ακριβώς μήκος.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 218.6, "end": 232.6 }, @@ -234,7 +234,7 @@ "input": "So let's just move forward with this approximation, keeping in the back of our minds that it's slightly wrong, but it's going to become more accurate for smaller and smaller choices of dr.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ας προχωρήσουμε λοιπόν με αυτήν την προσέγγιση, κρατώντας στο πίσω μέρος του μυαλού μας ότι είναι ελαφρώς λανθασμένη, όμως τείνει να γίνει πιο ακριβής για όλο και μικρότερες επιλογές του dr.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 233.54, "end": 242.36 }, @@ -242,7 +242,7 @@ "input": "That is, if we slice up the circle into thinner and thinner rings.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Δηλαδή, για όσο κόβουμε τον κύκλο σε όλο και λεπτότερους δακτυλίους.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 243.22, "end": 246.4 }, @@ -250,7 +250,7 @@ "input": "So just to sum up where we are, you've broken up the area of the circle into all of these rings, and you're approximating the area of each one of those as 2 pi times its radius times dr, where the specific value for that inner radius ranges from 0 for the smallest ring up to just under 3 for the biggest ring, spaced out by whatever the thickness is that you choose for dr, something like 0.1.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Άρα, απλά για να συνοψίσουμε, μέχρι στιγμής έχουμε χωρίσει την επιφάνεια του κύκλου σε όλους αυτούς τους δακτυλίους και προσεγγίζουμε το εμβαδόν καθενός από αυτούς με το 2π επί την ακτίνα τους επί το dr. Όπου η συγκεκριμένη τιμή αυτής της ακτίνας κυμαίνεται από 0 για τον μικρότερο δακτύλιο, μέχρι λίγο λιγότερο από 3, για τον μεγαλύτερο δακτύλιο. Το κενό ανάμεσά τους ισούται με την όποια τιμή έχουμε διαλέξει για το dr,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 247.7, "end": 271.98 }, @@ -258,7 +258,7 @@ "input": "And notice that the spacing between the values here corresponds to the thickness dr of each ring, the difference in radius from one ring to the next.", "translatedText": "", "from_community_srt": "κάτι σαν το 0.1 Και προσέξτε ότι το κενό ανάμεσα σε αυτές τις τιμές αντιστοιχεί στο πάχος dr του κάθε δακτυλίου, δηλαδή τη διαφορά στην ακτίνα από τον έναν δακτύλιο στον επόμενο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 273.14, "end": 281.3 }, @@ -266,7 +266,7 @@ "input": "In fact, a nice way to think about the rectangles approximating each ring's area is to fit them all upright side by side along this axis.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Μάλιστα, ένας ωραίος τρόπος να σκεφτείτε πώς τα ορθογώνια προσεγγίζουν το εμβαδό κάθε δακτυλίου είναι να τα χωρέσετε όλα δίπλα δίπλα πάνω σε αυτόν τον άξονα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 282.26, "end": 289.82 }, @@ -274,15 +274,15 @@ "input": "Each one has a thickness dr, which is why they fit so snugly right there together, and the height of any one of these rectangles sitting above some specific value of r, like 0.6, is exactly 2 pi times that value.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Καθένα από αυτά έχει πάχος dr, γι'αυτό και χωράνε τόσο βολικά εκεί πέρα μαζί. Και το ύψος οποιουδήποτε τέτοιου ορθογωνίου που \"κάθεται\" πάνω από μία τιμή του r, πχ το 0.6, είναι ακριβώς 2π επί αυτήν την τιμή.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 290.66, - "end": 304.0 + "end": 304 }, { "input": "That's the circumference of the corresponding ring that this rectangle approximates.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτή είναι η περιφέρεια του αντίστοιχου δακτυλίου τον οποίο προσεγγίζει αυτό το ορθογώνιο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 304.64, "end": 308.96 }, @@ -290,7 +290,7 @@ "input": "Pictures like this 2 pi r can get tall for the screen, I mean 2 times pi times 3 is around 19, so let's just throw up a y axis that's scaled a little differently so that we can actually fit all of these rectangles on the screen.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Εικόνες όπως αυτή, καμιά φορά ξεπερνούν το μέγεθος της οθόνης. Πχ το 2π*3 κάνει περίπου 19... Οπότε ας βάλουμε και έναν άξονα y με λίγο διαφορετική κλίμακα, ώστε να μπορέσουμε να χωρέσουμε όλα τα ορθογώνια στην οθόνη.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 309.56, "end": 322.18 }, @@ -298,7 +298,7 @@ "input": "A nice way to think about this setup is to draw the graph of 2 pi r, which is a straight line that has a slope 2 pi.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ένας ωραίος τρόπος να κατανοήσουμε αυτό το γράφημα, είναι να ζωγραφίσουμε τη γραφική παράσταση 2πr, η οποία είναι μία ευθεία με κλίση 2π.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 323.26, "end": 329.54 }, @@ -306,7 +306,7 @@ "input": "Each of these rectangles extends up to the point where it just barely touches that graph.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Καθένα από αυτά τα ορθογώνια εκτείνεται ως το σημείο όπου μόλις ακουμπάει αυτήν την ευθεία.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 330.1, "end": 334.8 }, @@ -314,15 +314,15 @@ "input": "Again, we're being approximate here.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και πάλι, εδώ δεν είμαστε ακριβείς.", - "n_reviews": 0, - "start": 336.0, + "n_reviews": 1, + "start": 336, "end": 337.46 }, { "input": "Each of these rectangles only approximates the area of the corresponding ring from the circle.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Καθένα από αυτά τα ορθογώνια μόνο *προσεγγίζει* το εμβαδό του αντίστοιχου δακτυλίου στον κύκλο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 337.9, "end": 342.22 }, @@ -330,7 +330,7 @@ "input": "But remember, that approximation, 2 pi r times dr, gets less and less wrong as the size of dr gets smaller and smaller.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Θυμηθείτε όμως! Αυτή η προσέγγιση 2πrdr γίνεται όλο και λιγότερο λανθασμένη, όσο το dr γίνεται όλο και μικρότερο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 342.94, "end": 350.8 }, @@ -338,7 +338,7 @@ "input": "And this has a very beautiful meaning when we're looking at the sum of the areas of all those rectangles.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και αυτό μπορεί να φανεί πολύ όμορφα αν κοιτάξουμε το άθροισμα των εμβαδών όλων αυτών των ορθογωνίων.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 351.8, "end": 356.54 }, @@ -346,31 +346,31 @@ "input": "For smaller and smaller choices of dr, you might at first think that turns the problem into a monstrously large sum.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Για όλο και μικρότερες επιλογές του dr, ίσως αρχικά να νομίζετε ότι αυτό μετατρέπει το πρόβλημά μας σε ένα τεράστιο άθροισμα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 357.08, "end": 363.14 }, { "input": "I mean, there's many many rectangles to consider, and the decimal precision of each one of their areas is going to be an absolute nightmare.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Υπάρχουν πάρα πολλά ορθογώνια που πρέπει να λάβουμε υπ'όψιν και η δεκαδική ακρίβεια κάθε εμβαδού θα είναι ο απόλυτος εφιάλτης!", "from_community_srt": "Υπάρχουν πάρα πολλά ορθογώνια που πρέπει να λάβουμε υπ'όψιν και η δεκαδική ακρίβεια κάθε εμβαδού", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 363.6, "end": 369.2 }, { "input": "But notice, all of their areas in aggregate just looks like the area under a graph.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Προσέξτε όμως! Όλα τα εμβαδά τους, αθροιστικά, μοιάζουν απλά σαν το εμβαδό κάτω από μία γραφική παράσταση.", "from_community_srt": "θα είναι ο απόλυτος εφιάλτης! Προσέξτε όμως! Όλα τα εμβαδά τους, αθροιστικά,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 370.06, "end": 375.3 }, { "input": "And that portion under the graph is just a triangle, a triangle with a base of 3 and a height that's 2 pi times 3.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Σε αυτήν την περίπτωση αυτό είναι απλώς ένα τρίγωνο. Ένα τρίγωνο με βάση 3 και ύψος 2π*3.", "from_community_srt": "μοιάζουν απλά σαν το εμβαδό κάτω από μία γραφική παράσταση και σε αυτήν την περίπτωση αυτό είναι ένα απλό τρίγωνο. Ένα τρίγωνο με βάση 3 και ύψος 2π*3.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 375.98, "end": 383.4 }, @@ -378,7 +378,7 @@ "input": "So its area, 1 half base times height, works out to be exactly pi times 3 squared.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Το εμβαδό του λοιπόν είναι 1/2 βάση επί ύψος, δηλαδή ακριβώς π*3².", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 384.14, "end": 390.5 }, @@ -386,14 +386,14 @@ "input": "Or if the radius of our original circle was some other value, capital R, that area comes out to be pi times r squared.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ή αν η ακτίνα του αρχικού μας κύκλου είχε κάποια άλλη τιμή R, αυτό το εμβαδό προκύπτει ότι είναι πR² και αυτός ακριβώς είναι ο τύπος για το εμβαδό ενός κύκλου!", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 391.36, "end": 398.66 }, { "input": "And that's the formula for the area of a circle.", "translatedText": "", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 399.38, "end": 401.46 }, @@ -401,7 +401,7 @@ "input": "It doesn't matter who you are or what you typically think of math, that right there is a beautiful argument.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Δεν έχει σημασία ποιος είσαι ή αν σου αρέσουν τα μαθηματικά. Αυτό εδώ το επιχείρημα είναι πανέμορφο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 402.32, "end": 407.38 }, @@ -409,7 +409,7 @@ "input": "But if you want to think like a mathematician here, you don't just care about finding the answer, you care about developing general problem-solving tools and techniques.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αν όμως θέλετε να σκεφτείτε σαν ένας μαθηματικός, δεν σας ενδιαφέρει να βρείτε απλά την απάντηση. Σας νοιάζει να αναπτύξετε γενικότερα εργαλεία επίλυσης προβλημάτων και τεχνικές.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 410.18, "end": 418.92 }, @@ -417,7 +417,7 @@ "input": "So take a moment to meditate on what exactly just happened and why it worked, because the way we transitioned from something approximate to something precise is actually pretty subtle and cuts deep to what calculus is all about.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Πάρτε μια ανάσα λοιπόν για να αναλογιστείτε το τι ακριβώς συνέβη μόλις και γιατί δούλεψε, γιατί ο τρόπος με τον οποίο μεταφερθήκαμε από κάτι προσεγγιστικό σε κάτι ακριβές είναι στην πραγματικότητα πολύ ευφυής και μπαίνει βαθιά στην ουσία του Λογισμού.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 419.68, "end": 431.78 }, @@ -425,7 +425,7 @@ "input": "You had this problem that could be approximated with the sum of many small numbers, each of which looked like 2 pi r times dr, for values of r ranging between 0 and 3.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Είχατε αυτό το πρόβλημα που μπορεί να προσεγγιστεί ως ένα άθροισμα πολλών μικρών αριθμών, ο καθένας από τους οποίους ήταν της μορφής 2πrdr, όπου οι τιμές του r κυμαίνονταν μεταξύ του 0 και του 3.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 433.82, "end": 444.06 }, @@ -433,7 +433,7 @@ "input": "Remember, the small number dr here represents our choice for the thickness of each ring, for example 0.1.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Θυμηθείτε: το μικρό dr εδώ πέρα αναπαριστά την επιλογή μας για το πάχος καθενός από τους δακτυλίους (πχ το 0.1) και υπάρχουν", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 446.6, "end": 452.98 }, @@ -441,7 +441,7 @@ "input": "And there are two important things to note here.", "translatedText": "", "from_community_srt": "δύο σημαντικά πράγματα που πρέπει να προσέξουμε εδώ.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 453.52, "end": 455.64 }, @@ -449,7 +449,7 @@ "input": "First of all, not only is dr a factor in the quantities we're adding up, 2 pi r times dr, it also gives the spacing between the different values of r.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Καταρχάς όχι μόνο το dr είναι ένας παράγοντας στις ποσότητες που αθροίζουμε, 2πrdr. Μας δίνει επίσης το κενό μεταξύ των διάφορων τιμών του r.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 456.08, "end": 465.58 }, @@ -457,7 +457,7 @@ "input": "And secondly, the smaller our choice for dr, the better the approximation.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και δεύτερον, όσο μικρότερη είναι η επιλογή του dr, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 466.24, "end": 470.52 }, @@ -465,15 +465,15 @@ "input": "Adding all of those numbers could be seen in a different, pretty clever way as adding the areas of many thin rectangles sitting underneath a graph, the graph of the function 2 pi r in this case.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Με έναν διαφορετικό και έξυπνο τρόπο, θα μπορούσατε να δείτε το άθροισμα αυτών των αριθμών σαν να προσθέτετε τα εμβαδά από πολλά λεπτά ορθογώνια που βρίσκονται κάτω από μία γραφική παράσταση. Σε αυτήν την περίπτωση,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 472.2, "end": 482.42 }, { "input": "Then, and this is key, by considering smaller and smaller choices for dr, corresponding to better and better approximations of the original problem, the sum, thought of as the aggregate area of those rectangles, approaches the area under the graph.", - "translatedText": "", + "translatedText": "της συνάρτησης 2πr. Μετά -και αυτό είναι το κλεδί- παίρνοντας όλο και μικρότερες επιλογές του dr, οι οποίες αντιστοιχούν σε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις του αρχικού προβλήματος, αυτό το άθροισμα, το οποίο αναπαριστούμε ως το συνολικό εμβαδό αυτών των ορθογωνίων, προσεγγίζει το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση", "from_community_srt": "της συνάρτησης 2πr. Μετά -και αυτό είναι σημαντικό- παίρνοντας όλο και μικρότερες επιλογές του dr, οι οποίες αντιστοιχούν σε όλο και καλύτερες προσεγγίσεις του αρχικού προβλήματος, αυτό το άθροισμα, το οποίο αναπαριστούμε ως το συνολικό εμβαδό αυτών των ορθογωνίων, προσεγγίζει το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 482.94, "end": 498.18 }, @@ -481,15 +481,15 @@ "input": "And because of that, you can conclude that the answer to the original question, in full unapproximated precision, is exactly the same as the area underneath this graph.", "translatedText": "", "from_community_srt": "και εξαιτίας αυτού μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εντελώς-ακριβής απάντηση στο αρχικό πρόβλημα είναι ακριβώς η ίδια με το εμβαδόν κάτω από αυτήν τη γραφική παράσταση.", - "n_reviews": 0, - "start": 499.0, + "n_reviews": 1, + "start": 499, "end": 508.52 }, { "input": "A lot of other hard problems in math and science can be broken down and approximated as the sum of many small quantities, like figuring out how far a car has traveled based on its velocity at each point in time.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Κι άλλα πολλά δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες μπορούν να αναλυθούν και να προσεγγιστούν ως άθροισμα πολλών μικρών ποσοτήτων. Πράγματα όπως το να βρούμε πόση απόσταση έχει διανύσει ένα αυτοκίνητο, εάν γνωρίζουμε την ταχύτητά του σε κάθε χρονική στιγμή.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 510.86, "end": 523.94 }, @@ -497,7 +497,7 @@ "input": "In a case like that, you might range through many different points in time, and at each one multiply the velocity at that time times a tiny change in time, dt, which would give the corresponding little bit of distance traveled during that little time.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Σε μία τέτοια περίπτωση, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε πολλές διαφορετικές χρονικές στιγμές, και για καθεμία να πολλαπλασιάσουμε την ταχύτητα εκείνη την στιγμή επί τη μικροσκοπική αλλαγή στον χρόνο dt. Το οποίο θα μας έδινε την αντίστοιχη μικροσκοπική απόσταση που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτού του μικροσκοπικού χρόνου.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 524.76, "end": 538.18 }, @@ -505,7 +505,7 @@ "input": "I'll talk through the details of examples like this later in the series, but at a high level many of these types of problems turn out to be equivalent to finding the area under some graph, in much the same way that our circle problem did.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Θα μιλήσω με λεπτομέρειες για παραδείγματα σαν και αυτό σε επόμενα βίντεο της σειράς, αλλά κατά βάση πολλά προβλήματα τέτοιου είδους προκύπτει ότι είναι ισοδύναμα με το να βρούμε το εμβαδόν κάτω από κάποια γραφική παράσταση. Περίπου με τον ίδιο τρόπο όπως το πρόβλημά μας με τον κύκλο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 539.26, "end": 552.14 }, @@ -513,7 +513,7 @@ "input": "This happens whenever the quantities you're adding up, the one whose sum approximates the original problem, can be thought of as the areas of many thin rectangles sitting side by side.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτό συμβαίνει κάθε φορά όπου οι ποσότητες που προσθέτουμε, αυτές των οποίων το άθροισμα προσεγγίζει το αρχικό πρόβλημα, μπορούν να θεωρηθούν ως τα εμβαδά πολλών λεπτών ορθογωνίων που είναι το ένα δίπλα στο άλλο όπως εδώ.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 553.2, "end": 563.24 }, @@ -521,7 +521,7 @@ "input": "If finer and finer approximations of the original problem correspond to thinner and thinner rings, then the original problem is equivalent to finding the area under some graph.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αν όλο και πιο ακριβείς προσεγγίσεις του αρχικού προβλήματος αντιστοιχούν σε όλο και λεπτότερους δακτυλίους, τότε το αρχικό πρόβλημα θα είναι ισοδύναμο και πάλι με την εύρεση του εμβαδού κάτω από μία γραφική παράσταση.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 564.64, "end": 575.54 }, @@ -529,7 +529,7 @@ "input": "Again, this is an idea we'll see in more detail later in the series, so don't worry if it's not 100% clear right now.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτή είναι μια ιδέα που θα δούμε πιο λεπτομερώς αργότερα στη σειρά αυτή, οπότε μην ανησυχείτε αν δεν είναι 100% ξεκάθαρη αυτήν τη στιγμή.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 576.6, "end": 583.18 }, @@ -537,7 +537,7 @@ "input": "The point now is that you, as the mathematician having just solved a problem by reframing it as the area under a graph, might start thinking about how to find the areas under other graphs.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Το νόημα τώρα είναι ότι εσείς ως ο μαθηματικός, που έχει μόλις λύσει ένα πρόβλημα μετασχηματίζοντας το στην εύρεση εμβαδού μιας γραφικής παράστασης, μπορεί να αρχίσετε να σκέφτεστε για το πώς θα βρείτε τα εμβαδά κάτω από άλλες γραφικές παραστάσεις.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 583.78, "end": 594.52 }, @@ -545,7 +545,7 @@ "input": "We were lucky in the circle problem that the relevant area turned out to be a triangle, but imagine instead something like a parabola, the graph of x2.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Εννοώ ότι στην περίπτωση του κύκλου ήμασταν τυχεροί που το εμβαδό ήταν τελικά ένα απλό τρίγωνο. Φανταστείτε όμως αντ' αυτού κάτι σαν μία παραβολή: η x τετράγωνο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 595.64, "end": 603.76 }, @@ -553,7 +553,7 @@ "input": "What's the area underneath that curve, say between the values of x equals 0 and x equals 3?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ποιο είναι το εμβαδό κάτω από αυτήν την καμπύλη,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 604.76, "end": 610.68 }, @@ -561,7 +561,7 @@ "input": "Well, it's hard to think about, right?", "translatedText": "", "from_community_srt": "ας πούμε μεταξύ των τιμών x=0 και x=3; Είναι δύσκολο να το σκεφτούμε αυτό,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 612.08, "end": 614.76 }, @@ -569,7 +569,7 @@ "input": "And let me reframe that question in a slightly different way.", "translatedText": "", "from_community_srt": "σωστά; Και ας διαμορφώσουμε την ερώτηση λίγο διαφορετικά.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 615.22, "end": 618.02 }, @@ -577,7 +577,7 @@ "input": "We'll fix that left endpoint in place at 0, and let the right endpoint vary.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ας κρατήσουμε σταθερό το αριστερό άκρο στο μηδέν και ας αφήσουμε ελεύθερο το δεξί άκρο να μεταβάλλεται.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 618.02, "end": 623.06 }, @@ -585,7 +585,7 @@ "input": "Are you able to find a function, a of x, that gives you the area under this parabola between 0 and x?", "translatedText": "", "from_community_srt": "Μπορείτε να βρείτε μία συνάρτηση A(x) η οποία θα δίνει το εμβαδό κάτω από αυτήν την παραβολή μεταξύ του 0 και του x;", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 626.86, "end": 634.18 }, @@ -593,7 +593,7 @@ "input": "A function a of x like this is called an integral of x2.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Μία συνάρτηση A(x) όπως αυτή, ονομάζεται το *ολοκλήρωμα* της x τετράγωνο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 635.62, "end": 639.58 }, @@ -601,7 +601,7 @@ "input": "Calculus holds within it the tools to figure out what an integral like this is, but right now it's just a mystery function to us.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ο Λογισμός περιέχει ακριβώς τα εργαλεία για να βρούμε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα, αλλά αυτήν τη στιγμή για εμάς είναι απλά μία μυστηριώδης συνάρτηση.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 640.5, "end": 647.2 }, @@ -609,7 +609,7 @@ "input": "We know it gives the area under the graph of x2 between some fixed left point and some variable right point, but we don't know what it is.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ξέρουμε ότι μας δίνει το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση του x τετράγωνο μεταξύ ενός σταθερού αριστερού άκρου και ενός μεταβλητού δεξιού άκρου. Αλλά δεν ξέρουμε το ποια είναι η συνάρτηση.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 647.5, "end": 654.92 }, @@ -617,7 +617,7 @@ "input": "And again, the reason we care about this kind of question is not just for the sake of asking hard geometry questions, it's because many practical problems that can be approximated by adding up a large number of small things can be reframed as a question about an area under a certain graph.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και πάλι, ο λόγος που μας νοιάζει μία τέτοια ερώτηση δεν είναι μόνο το να βρίσκουμε απαντήσεις σε δύσκολα γεωμετρικά προβλήματα. Ο λόγος είναι ότι πολλά πρακτικά προβλήματα που μπορούν να προσεγγιστούν ως άθροισμα πολλών μικρών πραγμάτων, μπορούν να διαμορφωθούν σε ερωτήσεις για το εμβαδό μίας γραφικής παράστασης.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 655.66, "end": 672.3 }, @@ -625,7 +625,7 @@ "input": "I'll tell you right now that finding this area, this integral function, is genuinely hard, and whenever you come across a genuinely hard question in math, a good policy is to not try too hard to get at the answer directly, since usually you just end up banging your head against a wall.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και τώρα θα σας πω ότι το να βρει κανείς αυτό το εμβαδό, αυτήν τη συνάρτηση-ολοκλήρωμα, είναι πραγματικά δύσκολο και όποτε συναντάτε μία πραγματικά δύσκολη ερώτηση στα μαθηματικά, μία καλή πολιτική είναι να μην προσπαθήσετε πολύ στο να βρείτε απευθείας την απάντηση, αφού συνήθως θα καταλήξετε να βαράτε το κεφάλι σας στον τοίχο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 673.42, "end": 689.34 }, @@ -633,7 +633,7 @@ "input": "Instead, play around with the idea, with no particular goal in mind.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αντ' αυτού παίξτε με αυτήν την ιδέα. Χωρίς να έχετε κάποιο συγκεκριμένο στόχο στο μυαλό σας.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 690.08, "end": 693.78 }, @@ -641,7 +641,7 @@ "input": "Spend some time building up familiarity with the interplay between the function defining the graph, in this case x2, and the function giving the area.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αφιερώστε λίγο χρόνο στο να εξοικειωθείτε με αυτήν την αλληλεπίδραση της συνάρτησης που ορίζει τη γραφική παράσταση, εδώ την x τετράγωνο, και της συνάρτησης που δίνει το εμβαδό.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 694.34, "end": 702.36 }, @@ -649,7 +649,7 @@ "input": "In that playful spirit, if you're lucky, here's something you might notice.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Σε αυτό το παιχνιδιάρικο πνεύμα, αν είστε τυχεροί, να κάτι που μπορεί να προσέξετε:", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 704.09, "end": 708.02 }, @@ -657,7 +657,7 @@ "input": "When you slightly increase x by some tiny nudge dx, look at the resulting change in area, represented with this sliver I'm going to call da for a tiny difference in area.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αν αυξήσετε ελαφρώς το x κατά ένα μικροσκοπικό ποσό dx, παρατηρήστε αυτήν την αλλαγή που προκαλείται στο εμβαδό, την οποία αναπαριστούμε με αυτήν τη φέτα, που θα ονομάσουμε dA, δηλαδή τη μικροσκοπική διαφορά στο εμβαδό.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 708.58, "end": 720.42 }, @@ -665,7 +665,7 @@ "input": "That sliver can be pretty well approximated with a rectangle, one whose height is x2 and whose width is dx.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτή η φέτα μπορεί να προσεγγιστεί πολύ καλά από ένα εμβαδό του οποίου το ύψος είναι x στο τετράγωνο και το πλάτος του είναι dx.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 721.38, "end": 728.62 }, @@ -673,7 +673,7 @@ "input": "And the smaller the size of that nudge dx, the more that sliver actually looks like a rectangle.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και όσο μικρότερο είναι το μέγεθος αυτού του dx, τόσο αυτή η φέτα θα μοιάζει πιο πολύ με ένα ορθογώνιο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 729.66, "end": 735.02 }, @@ -681,7 +681,7 @@ "input": "This gives us an interesting way to think about how a of x is related to x2.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτό τώρα μας δίνει έναν ενδιαφέροντα τρόπο να σκεφτούμε για το πώς το A(x) σχετίζεται με το x τετράγωνο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 736.8, "end": 741.08 }, @@ -689,15 +689,15 @@ "input": "A change to the output of a, this little da, is about equal to x2, where x is whatever input you started at, times dx, the little nudge to the input that caused a to change.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Μία αλλαγή στην τιμή της A, αυτό το μικρό dA, είναι περίπου ίση με το x τετράγωνο, όπου x είναι εκείνη η είσοδος με την οποία ξεκινήσαμε, πολλαπλασιασμένο με το dx, αυτήν τη μικρή αλλαγή στην είσοδο που προκάλεσε την αλλαγή του A.", - "n_reviews": 0, - "start": 742.0, - "end": 754.0 + "n_reviews": 1, + "start": 742, + "end": 754 }, { "input": "Or rearranged, da divided by dx, the ratio of a tiny change in a to the tiny change in x that caused it, is approximately whatever x2 is at that point.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ή αν αλλάξουμε τη σειρά τους, το dA/dx, ο λόγος της μικρής αλλαγής στο A, προς την αλλαγή που την προκάλεσε στο x, είναι περίπου ίση με την τιμή του x τετράγωνο σε εκείνο το σημείο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 754.78, "end": 765.78 }, @@ -705,7 +705,7 @@ "input": "And that's an approximation that should get better and better for smaller and smaller choices of dx.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και αυτή είναι μια προσέγγιση η οποία θα πρέπει να γίνεται όλο και καλύτερη για όλο και μικρότερες επιλογές του dx.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 766.56, "end": 770.96 }, @@ -713,7 +713,7 @@ "input": "In other words, we don't know what a of x is, that remains a mystery.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Με άλλα λόγια, ακόμα δεν ξέρουμε το ποια είναι η A(x), αυτό είναι ακόμα μυστήριο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 772.1, "end": 775.64 }, @@ -721,15 +721,15 @@ "input": "But we do know a property that this mystery function must have.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Ξέρουμε όμως μία ιδιότητα που αυτή η μυστηριώδης συνάρτηση θα πρέπει να έχει.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 776.08, "end": 779.5 }, { "input": "When you look at two nearby points, for example 3 and 3.001, consider the change to the output of a between those two points, the difference between the mystery function evaluated at 3.001 and 3.001.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Ας πάρουμε δύο κοντινά σημεία, ας πούμε το 3 και το 3.001, και ας θεωρήσουμε την αλλαγή στην τιμή της A μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Τη διαφορά δηλαδή της τιμής αυτής της μυστηριώδους συνάρτησης αν την υπολογίσουμε στο 3.001 και αν την υπολογίσουμε στο 3.", "from_community_srt": "Ας πάρουμε δύο κοντινά σημεία, ας πούμε το 3 και το 3.001, και ας θεωρήσουμε την αλλαγή στην έξοδο της A μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Τη διαφορά δηλαδή της τιμής αυτής της μυστηριώδους συνάρτησης αν την υπολογίσουμε στο 3.001 και αν την υπολογίσουμε στο 3.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 780.16, "end": 796.12 }, @@ -737,15 +737,15 @@ "input": "That change, divided by the difference in the input values, which in this case is 0.001, should be about equal to the value of x2 for the starting input, in this case 3.001.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Αυτή η αλλαγή αν διαιρεθεί με την αλλαγή στην τιμή της εισόδου, όπου εδώ είναι 0.001, θα πρέπει να είναι περίπου ίση με την τιμή του x τετράγωνο, όπου x η αρχική τιμή. Δηλαδή εδώ, το 3 στο τετράγωνο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 796.12, "end": 808.1 }, { "input": "And this relationship between tiny changes to the mystery function and the values of x2 itself is true at all inputs, not just 3.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Και αυτή η σχέση μεταξύ των μικρών αλλαγών στη μυστηριώδη συνάρτηση και των αλλαγών στην τιμή του x τετράγωνο, είναι αληθής για οποιαδήποτε τιμή x,", "from_community_srt": "Και αυτή η σχέση μεταξύ των μικρών αλλαγών στη μυστηριώδη συνάρτηση και των αλλαγών στην τιμή του x τετράγωνο, είναι αληθής για οποιαδήποτε είσοδο x,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 810.2, "end": 818.44 }, @@ -753,7 +753,7 @@ "input": "That doesn't immediately tell us how to find a of x, but it provides a very strong clue that we can work with.", "translatedText": "", "from_community_srt": "όχι μόνο το 3. Αυτό δεν μας λέει άμεσα το πώς να βρούμε την A(x), αλλά μας δίνει ένα πολύ ισχυρό στοιχείο με", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 819.42, "end": 824.82 }, @@ -761,7 +761,7 @@ "input": "And there's nothing special about the graph x2 here.", "translatedText": "", "from_community_srt": "το οποίο μπορούμε να εργαστούμε. Και δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερο με αυτήν την γραφική παράσταση του x τετράγωνο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 826.26, "end": 828.74 }, @@ -769,7 +769,7 @@ "input": "Any function defined as the area under some graph has this property, that da divided by a slight nudge to the output of a divided by a slight nudge to the input that caused it, is about equal to the height of the graph at that point.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται ως το εμβαδό κάτω από μια γραφική παράσταση, θα έχει αυτήν την ιδιότητα ότι το dA/dx, αυτή η μικρή αλλαγή στην έξοδο διαιρεμένη με τη μικρή αλλαγή στην είσοδο που την προκάλεσε, θα είναι περίπου ίση με το ύψος της γραφικής παράστασης σε αυτό το σημείο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 829.28, "end": 844.5 }, @@ -777,7 +777,7 @@ "input": "Again, that's an approximation that gets better and better for smaller choices of dx.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και πάλι, αυτή είναι μια προσέγγιση που γίνεται όλο και καλύτερη για μικρότερες επιλογές του dx,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 846.2, "end": 850.36 }, @@ -785,7 +785,7 @@ "input": "And here, we're stumbling into another big idea from calculus, derivatives.", "translatedText": "", "from_community_srt": "και εδώ πέφτουμε πάνω σε μια άλλη μεγάλη ιδέα του Λογισμού. Οι \"παράγωγοι\",", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 851.64, "end": 856.04 }, @@ -793,7 +793,7 @@ "input": "This ratio da divided by dx is called the derivative of a, or more technically, the derivative of whatever this ratio approaches as dx gets smaller and smaller.", "translatedText": "", "from_community_srt": "αυτό το πηλίκο, του dA/dx, ονομάζεται παράγωγος της A, ή πιο αυστηρά, η παράγωγος ισούται με εκείνη την τιμή που το πηλίκο προσεγγίζει, καθώς το dx γίνεται όλο και μικρότερο.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 857.1, "end": 867.24 }, @@ -801,7 +801,7 @@ "input": "I'll dive much more deeply into the idea of a derivative in the next video, but loosely speaking it's a measure of how sensitive a function is to small changes in its input.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Παρ' όλ' αυτά θα αναλύσω βαθύτερα την ιδέα της παραγώγου στο επόμενο βίντεο, αλλά κατά μία ευρεία έννοια, είναι ένα μέτρο που δείχνει πόσο ευαίσθητη είναι μια συνάρτηση σε μικρές αλλαγές στην είσοδό της.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 868.18, "end": 877.08 }, @@ -809,7 +809,7 @@ "input": "You'll see as the series goes on that there are many ways you can visualize a derivative, depending on what function you're looking at and how you think about tiny nudges to its output.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Θα δείτε όσο προχωράει αυτή η σειρά, ότι υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι να οπτικοποιήσει κανείς μία παράγωγο, ανάλογα με το ποια συνάρτηση εξετάζεται και το πώς οπτικοποιούμε τις μικρές αλλαγές στην έξοδό της.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 877.94, "end": 886.74 }, @@ -817,7 +817,7 @@ "input": "We care about derivatives because they help us solve problems, and in our little exploration here, we already have a glimpse of one way they're used.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και οι παράγωγοι μας νοιάζουν επειδή μας βοηθούν να λύσουμε προβλήματα. Και στη μικρή μας εξερεύνηση εδώ, έχουμε ήδη πάρει μια μικρή γεύση από το πώς μπορεί να χρησιμοποιηθούν.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 888.6, "end": 897.14 }, @@ -825,7 +825,7 @@ "input": "They are the key to solving integral questions, problems that require finding the area under a curve.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Οι παράγωγοι είναι το κλειδί στο να λύσουμε τα ερωτήματα ολοκληρωμάτων. Προβλήματα δηλαδή που απαιτούν το να βρούμε το εμβαδό κάτω από μία γραφική παράσταση.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 897.84, "end": 903.42 }, @@ -833,15 +833,15 @@ "input": "Once you gain enough familiarity with computing derivatives, you'll be able to look at a situation like this one where you don't know what a function is, but you do know that its derivative should be x2, and from that reverse engineer what the function must be.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Μόλις εξοικειωθείτε με τον υπολογισμό παραγώγων, θα είστε ικανοί να αντικρίσετε καταστάσεις όπως αυτή, όπου δεν ξέρετε το ποια είναι μία συνάρτηση, όμως ξέρετε ότι η παράγωγός της θα πρέπει να είναι το x τετράγωνο, και από αυτή τη σχέση θα μπορείτε να δουλέψετε αντίστροφα,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 904.36, "end": 918.76 }, { "input": "This back and forth between integrals and derivatives, where the derivative of a function for the area under a graph gives you back the function defining the graph itself, is called the fundamental theorem of calculus.", - "translatedText": "", + "translatedText": "για να βρείτε ποια θα πρέπει να είναι η συνάρτηση. Και αυτή η εναλλαγή μεταξύ ολοκληρωμάτων και παραγώγων, όπου η παράγωγος μιας συνάρτησης που δίνει το εμβαδό κάτω από ένα γράφημα, ισούται με την ίδια συνάρτηση που ορίζει το γράφημα, είναι αυτό που λέμε \"Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού\".", "from_community_srt": "για να βρείτε ποια θα πρέπει να είναι η συνάρτηση. Και αυτή η εναλλαγή μεταξύ ολοκληρωμάτων και παραγώγων, όπου η παράγωγος μιας συνάρτησης που δίνει το εμβαδό μιας γραφικής, ισούται με την ίδια συνάρτηση που ορίζει τη γραφική, είναι αυτό που λέμε \"Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού\".", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 920.7, "end": 933.32 }, @@ -849,7 +849,7 @@ "input": "It ties together the two big ideas of integrals and derivatives, and shows how each one is an inverse of the other.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Δένει μαζί τις δύο μεγάλες ιδέες του ολοκληρώματος και της παραγώγου και μας δείχνει κατά κάποιον τρόπο το πώς καθένα από αυτά", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 934.22, "end": 942.36 }, @@ -857,7 +857,7 @@ "input": "All of this is only a high-level view, just a peek at some of the core ideas that emerge in calculus.", "translatedText": "", "from_community_srt": "είναι το αντίστροφο του άλλου. Όλα αυτά είναι μία γενική θεώρηση, μία μικρή ματιά σε κάποιες από τις κύριες ιδέες που εμφανίζονται στον Λογισμό,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 944.8, "end": 949.86 }, @@ -865,7 +865,7 @@ "input": "And what follows in this series are the details, for derivatives and integrals and more.", "translatedText": "", "from_community_srt": "και το επόμενο κομμάτι της σειράς θα είναι οι λεπτομέρειες που αφορούν τις παραγώγους, τα ολοκληρώματα και πολλά άλλα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 950.5, "end": 954.42 }, @@ -873,7 +873,7 @@ "input": "At all points, I want you to feel that you could have invented calculus yourself, that if you drew the right pictures and played with each idea in just the right way, these formulas and rules and constructs that are presented could have just as easily popped out naturally from your own explorations.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Σε κάθε σημείο, θέλω να σκέφτεστε ότι θα μπορούσατε να ήσασταν εσείς που θα είχατε εφεύρει τον Λογισμό. Ότι αν είχατε ζωγραφίσει τα κατάλληλα σχέδια και είχατε παίξει με κάθε ιδέα με τον σωστό τρόπο, τότε αυτοί οι τύποι και οι κανόνες και οι δομές που παρουσιάσαμε, θα μπορούσαν να είχαν προκύψει από φυσικού, από τις δικές σας εξερευνήσεις.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 954.98, "end": 970.26 }, @@ -881,7 +881,7 @@ "input": "And before you go, it would feel wrong not to give the people who supported this series on Patreon a well-deserved thanks, both for their financial backing as well as for the suggestions they gave while the series was being developed.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και πριν φύγετε, θα ήταν λάθος μου να παραλείψω να δώσω ένα μεγάλο άξιο ευχαριστώ στους ανθρώπους που υποστήριξαν αυτήν τη σειρά μέσω του Patreon, τόσο για τη χρηματοδοτική τους υποστήριξη, αλλά και για τις προτάσεις που έκαναν, καθώς αναπτυσσόταν η σειρά.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 972.38, "end": 983.86 }, @@ -889,7 +889,7 @@ "input": "You see, supporters got early access to the videos as I made them, and they'll continue to get early access for future essence-of type series.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Βλέπετε, οι υποστηρικτές είχαν νωρίτερα πρόσβαση στα βίντεο, καθώς τα έφτιαχνα, και θα συνεχίσουν να έχουν πρόσβαση σε μελλοντικές σειρές που έχουν εισαγωγικό χαρακτήρα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 984.7, "end": 991.56 }, @@ -897,16 +897,16 @@ "input": "And as a thanks to the community, I keep ads off of new videos for their first month.", "translatedText": "", "from_community_srt": "Και ως ένα ευχαριστώ προς την κοινότητα, αφήνω τα νέα βίντεο χωρίς διαφημίσεις για τον πρώτο μήνα.", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 992.14, "end": 996.24 }, { "input": "I'm still astounded that I can spend time working on videos like these, and in a very direct way, you are the one to thank for that.", - "translatedText": "", + "translatedText": "Είμαι ακόμη κατάπληκτος που μπορώ να αφιερώνω χρόνο δουλεύοντας σε τέτοια βίντεο. Και κατά έναν πολύ άμεσο τρόπο, χάρη σε εσάς μπορώ.", "from_community_srt": "Είμαι ακόμη κατάπληκτος που μπορώ να αφιερώνω χρόνο δουλεύοντας σε τέτοια βίντεο. Και κατά έναν πολύ άμεσο τρόπο,", - "n_reviews": 0, + "n_reviews": 1, "start": 997.02, "end": 1003.42 } -] \ No newline at end of file +]