diff --git a/2022/subsets-puzzle/indonesian/auto_generated.srt b/2022/subsets-puzzle/indonesian/auto_generated.srt index c83318623..6914329f6 100644 --- a/2022/subsets-puzzle/indonesian/auto_generated.srt +++ b/2022/subsets-puzzle/indonesian/auto_generated.srt @@ -1,2584 +1,2560 @@ 1 -00:00:00,000 --> 00:00:02,644 -Sebentar lagi, saya akan menanyakan sebuah teka-teki kepada Anda, +00:00:00,000 --> 00:00:02,828 +Sebentar lagi, aku bakal ngasih kamu teka-teki, 2 -00:00:02,644 --> 00:00:04,808 -dan sebenarnya ini adalah teka-teki yang cukup sulit, +00:00:02,828 --> 00:00:06,009 +lumayan susah sebenernya, tetapi sebelum kita lanjut, 3 -00:00:04,808 --> 00:00:07,293 -tetapi sebelum saya melakukannya, saya ingin memberi spoiler, +00:00:06,009 --> 00:00:10,900 +aku mau ngasih spoiler, yaitu kita bakal pake bilangan kompleks buat nyelesaiinnya. 4 -00:00:07,293 --> 00:00:10,900 -yaitu fakta bahwa cara kita menyelesaikannya melibatkan penggunaan dari bilangan kompleks. +00:00:11,560 --> 00:00:15,323 +Setelah kamu dengar teka-tekinya, aku yakin kamu bakal mikir kalau itu nggak masuk akal, 5 -00:00:11,560 --> 00:00:14,937 -Dan begitu Anda mendengarnya, Anda akan setuju bahwa hal itu tampaknya tidak masuk akal, +00:00:15,323 --> 00:00:17,480 +mengingat teka-tekinya itu soal matematika diskret. 6 -00:00:14,937 --> 00:00:17,480 -mengingat teka-teki tersebut murni merupakan pertanyaan tersendiri. +00:00:17,800 --> 00:00:20,260 +Pertanyaannya cuma tentang bilangan bulat dan jumlahnya. 7 -00:00:17,800 --> 00:00:20,260 -Itu hanya menanyakan tentang bilangan bulat dan jumlahnya. +00:00:20,660 --> 00:00:24,560 +Nggak ada aura-aura bilangan imajiner atau malah kontinuitas di mana-mana 8 -00:00:20,660 --> 00:00:24,560 -Tidak ada aroma imajinasi atau bahkan kesinambungan di mana pun di cakrawala. +00:00:25,280 --> 00:00:28,111 +Tapi tentunya ini bukan satu-satunya contoh dimana 9 -00:00:25,280 --> 00:00:27,858 -Tentu saja ini bukan satu-satunya saat dimana bilangan kompleks +00:00:28,111 --> 00:00:30,720 +bilangan kompleks kepake di matematika diskret. 10 -00:00:27,858 --> 00:00:30,720 -menjadi sangat berguna untuk matematika diskrit, meminjam sebuah frase. +00:00:31,160 --> 00:00:35,980 +Contoh paling terkenal yang bisa kusebutin adalah cara matematikawan modern memahami 11 -00:00:31,160 --> 00:00:34,651 -Contoh paling terkenal yang dapat saya kemukakan adalah bagaimana cara matematikawan +00:00:35,980 --> 00:00:40,403 +bilangan prima, kayak, gimana persebarannya, kepadatannya di daerah tertentu, 12 -00:00:34,651 --> 00:00:38,348 -modern memahami bilangan prima, Anda tahu, pertanyaan tentang bagaimana bilangan tersebut +00:00:40,403 --> 00:00:45,109 +dan seterusnya, dengan mempelajari fungsi khusus yang input dan outputnya bilangan 13 -00:00:38,348 --> 00:00:41,265 -didistribusikan, kepadatannya di daerah tertentu, hal-hal seperti itu, +00:00:45,109 --> 00:00:45,620 +kompleks. 14 -00:00:41,265 --> 00:00:44,880 -melibatkan mempelajari fungsi yang dirancang khusus yang masukan dan keluarannya berupa +00:00:46,120 --> 00:00:49,360 +Mungkin kamu tahu bahwa ini inti dari hipotesis Riemann yang terkenal. 15 -00:00:44,880 --> 00:00:45,620 -bilangan kompleks. +00:00:49,680 --> 00:00:52,137 +Pada dasarnya, ada fungsi khusus, yang sekilas 16 -00:00:46,120 --> 00:00:49,360 -Beberapa dari Anda mungkin tahu bahwa inilah inti dari hipotesis Riemann yang terkenal. +00:00:52,137 --> 00:00:54,960 +kelihatan nggak ada hubungannya dengan bilangan prima. 17 -00:00:49,680 --> 00:00:51,404 -Pada dasarnya, ada fungsi yang dirancang khusus, +00:00:55,060 --> 00:00:57,000 +Fungsi yang halus dan kompleks. 18 -00:00:51,404 --> 00:00:53,939 -dan sekilas fungsi tersebut terlihat tidak ada hubungannya dengan dunia +00:00:57,000 --> 00:00:59,466 +Namun di dalamnya, ia mengkodekan semua informasi 19 -00:00:53,939 --> 00:00:54,960 -bilangan prima yang terpisah. +00:00:59,466 --> 00:01:02,180 +yang kamu mau tentang bilangan-bilangan prima tersebut. 20 -00:00:55,060 --> 00:00:57,000 -Itu halus, itu rumit dihargai. +00:01:02,600 --> 00:01:05,085 +Dan yang paling penting, pertanyaan-pertanyaan tertentu tentang 21 -00:00:57,000 --> 00:00:59,545 -Namun di balik terpalnya, ia mengkodekan semua informasi +00:01:05,085 --> 00:01:07,648 +bilangan prima lebih mudah dijawab dengan menganalisis fungsi ini 22 -00:00:59,545 --> 00:01:02,180 -yang Anda inginkan tentang bilangan prima diskrit tersebut. +00:01:07,648 --> 00:01:10,600 +dibandingkan dengan menganalisis bilangan prima itu sendiri secara langsung. 23 -00:01:02,600 --> 00:01:05,085 -Dan yang paling penting, pertanyaan-pertanyaan tertentu tentang +00:01:11,260 --> 00:01:14,086 +Tentunya, teka-teki kita, yang bakal aku bagiin sebentar lagi, 24 -00:01:05,085 --> 00:01:07,648 -bilangan prima lebih mudah dijawab dengan menganalisis fungsi ini +00:01:14,086 --> 00:01:16,060 +jauh lebih polos daripada hipotesis Riemann. 25 -00:01:07,648 --> 00:01:10,600 -dibandingkan dengan menganalisis bilangan prima itu sendiri secara langsung. +00:01:16,260 --> 00:01:17,420 +Ini cuma soal mainan. 26 -00:01:11,260 --> 00:01:14,314 -Tentu saja, teka-teki kita, yang saya janji akan saya bagikan sebentar lagi, +00:01:17,880 --> 00:01:21,269 +Namun di akhir video, aku bakal bagiin gimana teknik yang kita pake, 27 -00:01:14,314 --> 00:01:16,060 -jauh lebih murni daripada hipotesis Riemann. +00:01:21,269 --> 00:01:24,216 +alasan sebenarnya kami ada di sini, sebetulnya mirip banget 28 -00:01:16,260 --> 00:01:17,420 -Ini masalah mainan. +00:01:24,216 --> 00:01:26,820 +sama pengaturan yang mengarah pada hipotesis Riemann. 29 -00:01:17,880 --> 00:01:20,678 -Namun di akhir video, saya akan berbagi bagaimana teknik yang kami +00:01:27,000 --> 00:01:30,180 +Dan teorema bilangan prima dan seluruh pemikiran di sekitarnya. 30 -00:01:20,678 --> 00:01:23,519 -gunakan untuk menyelesaikannya, alasan sebenarnya kami ada di sini, +00:01:34,900 --> 00:01:39,380 +Teka-teki kita hari ini berasal dari buku ini, oleh Titu Andreescu dan Zuming Feng. 31 -00:01:23,519 --> 00:01:26,820 -sebenarnya sangat mirip dengan pengaturan yang mengarah pada hipotesis Riemann. +00:01:39,480 --> 00:01:42,042 +Intinya ini kumpulan soal yang digunakan buat latihan 32 -00:01:27,000 --> 00:01:30,180 -Dan teorema bilangan prima dan seluruh lingkaran pemikiran di sekitarnya. +00:01:42,042 --> 00:01:44,320 +tim AS untuk Olimpiade Matematika Internasional. 33 -00:01:34,900 --> 00:01:39,380 -Teka-teki kita hari ini berasal dari buku ini, oleh Titou dan Rescu dan Zoomingfeng. +00:01:44,940 --> 00:01:47,431 +Dan kalau kita buka bab 2, Soal Lanjutan, soal 34 -00:01:39,480 --> 00:01:41,983 -Ini pada dasarnya adalah kumpulan soal yang digunakan dalam +00:01:47,431 --> 00:01:50,240 +nomor 10 menanyakan pertanyaan yang tampak polos ini. 35 -00:01:41,983 --> 00:01:44,320 -melatih tim AS untuk Olimpiade Matematika Internasional. +00:01:50,920 --> 00:01:54,338 +Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan 1 sampai 36 -00:01:44,940 --> 00:01:47,069 -Dan jika kita beralih ke bab 2, Soal Lanjutan, +00:01:54,338 --> 00:01:57,640 +dengan 2000 yang jumlah semua anggotanya habis dibagi 5. 37 -00:01:47,069 --> 00:01:50,240 -soal nomor 10 menanyakan pertanyaan yang tampaknya tidak bersalah ini. +00:01:59,180 --> 00:02:01,420 +Oke, coba cerna dulu pertanyaannya. 38 -00:01:50,920 --> 00:01:54,400 -Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan 1 sampai +00:02:01,640 --> 00:02:05,320 +Misalnya, himpunan 3, 1, 4, ini termasuk himpunan bagian. 39 -00:01:54,400 --> 00:01:57,640 -dengan 2000 yang jumlah unsur-unsurnya habis dibagi 5. +00:02:05,660 --> 00:02:08,060 +Semua anggotanya juga merupakan anggota dari himpunan induknya. 40 -00:01:59,180 --> 00:02:01,420 -Oke, jadi mungkin perlu sedikit waktu untuk menguraikannya. +00:02:08,580 --> 00:02:12,500 +Dan jumlahnya, 3 ditambah 1 ditambah 4, adalah 8, gak habis dibagi 5. 41 -00:02:01,640 --> 00:02:05,320 -Misalnya, himpunan 3, 1, 4, yang merupakan subset. +00:02:12,600 --> 00:02:13,540 +Jadi nggak ada di hitungan kita. 42 -00:02:05,660 --> 00:02:08,060 -Semua elemennya juga merupakan elemen dalam himpunan besar. +00:02:13,840 --> 00:02:18,120 +Sedangkan himpunan 2, 3, 5, yang juga himpunan bagian, mempunyai jumlah 10. 43 -00:02:08,580 --> 00:02:12,500 -Dan jumlahnya, 3 ditambah 1 ditambah 4, adalah 8, jadi itu tidak dihitung. +00:02:18,440 --> 00:02:20,920 +10 habis dibagi 5, jadi termasuk hitungan kita. 44 -00:02:12,600 --> 00:02:13,540 -Itu tidak masuk hitungan kami. +00:02:21,400 --> 00:02:24,104 +Animasi pratinjau yang ada di awal pada dasarnya 45 -00:02:13,840 --> 00:02:18,120 -Sedangkan himpunan 2, 3, 5, yang juga merupakan himpunan bagian, mempunyai jumlah 10. +00:02:24,104 --> 00:02:27,140 +adalah program yang coba cari jawabannya dengan dikuli. 46 -00:02:18,440 --> 00:02:20,920 -Itu habis dibagi 5, jadi itulah yang ingin kita hitung. +00:02:27,720 --> 00:02:30,762 +Jadi dia melakukan iterasi melalui semua himpunan bagian, 47 -00:02:21,400 --> 00:02:24,103 -Animasi pratinjau yang saya miliki di awal pada dasarnya +00:02:30,762 --> 00:02:33,280 +jumlahin anggota masing-masing himpunan bagian, 48 -00:02:24,103 --> 00:02:27,140 -adalah program brute force yang mencoba menjawab pertanyaan ini. +00:02:33,280 --> 00:02:36,060 +lalu menaikkan nilai counter jika ketemu kelipatan 5. 49 -00:02:27,720 --> 00:02:30,981 -Ia akan melakukan iterasi melalui semua himpunan bagian yang berbeda, +00:02:36,760 --> 00:02:39,693 +Dan tahukah Anda, pertanyaan pemanasan yang bagus di sini adalah berhenti sejenak 50 -00:02:30,981 --> 00:02:33,217 -menemukan jumlah masing-masing himpunan bagian, +00:02:39,693 --> 00:02:42,520 +dan memikirkan berapa banyak total himpunan bagian yang ada secara keseluruhan? 51 -00:02:33,217 --> 00:02:36,060 -dan menambah penghitung setiap kali ia menemukan kelipatan 5. +00:02:42,820 --> 00:02:44,160 +Lupain dulu soal kelipatan 5. 52 -00:02:36,760 --> 00:02:39,693 -Dan tahukah Anda, pertanyaan pemanasan yang bagus di sini adalah berhenti sejenak +00:02:44,420 --> 00:02:46,560 +Berapa lama waktu untuk programnya selesai? 53 -00:02:39,693 --> 00:02:42,520 -dan memikirkan berapa banyak total himpunan bagian yang ada secara keseluruhan? +00:02:48,060 --> 00:02:51,500 +Mungin kamu tahu jawabannya 2 pangkat 2000. 54 -00:02:42,820 --> 00:02:44,160 -Lupakan kelipatan 5 ini. +00:02:52,120 --> 00:02:55,152 +Ide dasarnya adalah ketika kita membuat sebuah subhimpunan, 55 -00:02:44,420 --> 00:02:46,560 -Berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga program ini berakhir? +00:02:55,152 --> 00:02:57,780 +ada 2000 pilihan ya-atau-tidak yang bisa kita pilih. 56 -00:02:48,060 --> 00:02:51,500 -Banyak dari Anda mungkin tahu jawabannya adalah 2 pangkat 2000. +00:02:58,000 --> 00:02:59,480 +Apakah anggota ini masuk atau nggak? 57 -00:02:52,120 --> 00:02:54,589 -Ide dasarnya adalah ketika Anda membuat subset, +00:03:00,080 --> 00:03:04,651 +Dan semua pilihan di sini saling lepas, jadi jumlah total pilihan yang kita punya 58 -00:02:54,589 --> 00:02:57,780 -Anda memiliki 2000 pilihan biner berbeda yang dapat Anda buat. +00:03:04,651 --> 00:03:09,000 +dalam menyusun himpunan bagian adalah 2 kali 2 kali 2 kali 2 sampai 2000 kali. 59 -00:02:58,000 --> 00:02:59,480 -Apakah Anda memasukkan suatu unsur atau tidak? +00:03:09,800 --> 00:03:13,240 +Dan kalau dipikir-pikir tentang program ini, itu gede banget angkanya. 60 -00:03:00,080 --> 00:03:03,086 -Dan semua pilihan tersebut tidak bergantung satu sama lain, +00:03:13,620 --> 00:03:16,879 +Jadi walau kita nyoba cara nguli begini sepanjang waktu di alam semesta, 61 -00:03:03,086 --> 00:03:07,496 -jadi jumlah total pilihan yang Anda miliki dalam menyusun subset adalah 2 kali 2 kali 2 +00:03:16,879 --> 00:03:20,093 +dengan semua sumber daya fisik yang dapat disediakan oleh alam semesta, 62 -00:03:07,496 --> 00:03:09,000 -kali 2, seterusnya, 2000 kali. +00:03:20,093 --> 00:03:22,460 +kita bahkan nggak akan dapat secuilpun dari hasilnya. 63 -00:03:09,800 --> 00:03:13,240 -Dan jika dipikir-pikir tentang program kami, itu adalah angka yang sangat besar. +00:03:23,060 --> 00:03:25,180 +Jadi tentunya kita harus jadi lebih pandai lagi. 64 -00:03:13,620 --> 00:03:17,187 -Jadi meskipun kita menerapkan pendekatan brute force ini sepanjang waktu di alam semesta, +00:03:25,560 --> 00:03:28,457 +Dan jika kamu cuma menebak apa jawaban kira-kiranya, 65 -00:03:17,187 --> 00:03:20,041 -dengan semua sumber daya fisik yang dapat disediakan oleh alam semesta, +00:03:28,457 --> 00:03:32,340 +kamu mungkin bakal nebak, sekitar seperlima dari total himpunan bagian. 66 -00:03:20,041 --> 00:03:22,460 -hal ini tidak akan mendekati, tidak akan menggores permukaan. +00:03:32,540 --> 00:03:35,580 +Mungkin sisa semua jumlah ini dibagi 5 tersebar merata. 67 -00:03:23,060 --> 00:03:25,180 -Tentu saja kita harus lebih pintar dari itu. +00:03:36,000 --> 00:03:38,080 +Dan ya, betul, itu perkiraan yang bagus. 68 -00:03:25,560 --> 00:03:28,502 -Dan jika Anda hanya menebak apa jawabannya, membuat perkiraan kasar, +00:03:38,500 --> 00:03:42,220 +Namun inti pertanyaannya, tantangan sebenarnya di sini, adalah nemuin nilai tepatnya. 69 -00:03:28,502 --> 00:03:32,340 -Anda mungkin akan menebak, jawabannya adalah sekitar seperlima dari total himpunan bagian. +00:03:42,720 --> 00:03:45,394 +Ini pasti bukan jawaban aslinya karena bukan bilangan bulat, 70 -00:03:32,540 --> 00:03:35,580 -Mungkin ada distribusi yang merata dari semua jumlah mod 5 ini. +00:03:45,394 --> 00:03:48,200 +tetapi apa jawaban aslinya agak lebih banyak atau lebih sedikit? 71 -00:03:36,000 --> 00:03:38,080 -Dan ya, itu benar, itu perkiraan yang bagus. +00:03:48,520 --> 00:03:50,340 +Atau malah jauh lebih banyak atau lebih sedikit? 72 -00:03:38,500 --> 00:03:40,716 -Namun inti pertanyaannya, tantangan sebenarnya di sini, +00:03:50,600 --> 00:03:53,540 +Taktik apa yang bisa kamu pakai buat menghapus galat tersebut? 73 -00:03:40,716 --> 00:03:42,220 -adalah mendapatkan jawaban yang tepat. +00:03:55,680 --> 00:03:59,540 +Untuk lebih jelasnya, pelajaran ini lebih tentang perjalanannya daripada tujuannya. 74 -00:03:42,720 --> 00:03:45,236 -Ini bukan jawaban sebenarnya karena ini bukan bilangan bulat, +00:04:00,260 --> 00:04:02,820 +Apa kamu perlu menyaring dan menghitung subhimpunan kayak begini? 75 -00:03:45,236 --> 00:03:48,200 -tetapi apakah jawaban sebenarnya sedikit lebih banyak atau lebih sedikit? +00:04:03,300 --> 00:04:05,160 +Pastinya enggak, aku nggak mikir begitu. 76 -00:03:48,520 --> 00:03:50,340 -Atau mungkin lebih banyak atau lebih sedikit? +00:04:05,360 --> 00:04:08,439 +Tapi mau soal mainan atau bukan, ini pertanyaan yang menantang, 77 -00:03:50,600 --> 00:03:53,540 -Taktik apa yang mungkin Anda gunakan untuk mengatasi kesalahan tersebut? +00:04:08,439 --> 00:04:12,624 +dan menavigasi tantangan itu akan mengembangkan keterampilan yang relevan dengan jenis 78 -00:03:55,680 --> 00:03:59,540 -Untuk lebih jelasnya, pelajaran ini lebih banyak tentang perjalanan daripada tujuan. +00:04:12,624 --> 00:04:14,020 +pertanyaan menantang lainnya. 79 -00:04:00,260 --> 00:04:02,820 -Apakah Anda perlu memfilter dan menghitung subkumpulan dengan cara ini? +00:04:14,020 --> 00:04:17,686 +Setidaknya, ada dua plot twist yang sangat mengejutkan 80 -00:04:03,300 --> 00:04:05,160 -Hampir pasti tidak, saya tidak menyangka demikian. +00:04:17,686 --> 00:04:20,820 +dan indah yang solusinya akan kubagikan padamu. 81 -00:04:05,360 --> 00:04:08,530 -Tapi soal mainan atau bukan, ini adalah pertanyaan yang menantang, +00:04:21,300 --> 00:04:25,636 +Aku sudah ngasih tahu bahwa bilangan kompleks akan muncul dengan mengejutkan, 82 -00:04:08,530 --> 00:04:11,417 -dan menavigasi tantangan itu akan mengembangkan keterampilan +00:04:25,636 --> 00:04:30,640 +namun sebelum kita bahas, ada plot twist yang lain, yang malah lebih aneh dan tak terduga. 83 -00:04:11,417 --> 00:04:14,020 -yang relevan dengan jenis pertanyaan menantang lainnya. +00:04:31,300 --> 00:04:34,258 +Sebagai persiapan, mari kita pahami teka-teki tadi dan mulai 84 -00:04:14,020 --> 00:04:17,670 -Bagi Anda dan saya, setidaknya ada dua liku-liku yang sangat mengejutkan +00:04:34,258 --> 00:04:37,361 +dengan langkah awal untuk memecahkan masalah yaitu mulai dengan 85 -00:04:17,670 --> 00:04:20,820 -dan sangat indah yang solusinya ingin saya bagikan kepada Anda. +00:04:37,361 --> 00:04:40,320 +contoh yang lebih sederhana, misalnya himpunan 1, 2, 3, 4, 5. 86 -00:04:21,300 --> 00:04:24,927 -Saya sudah memberi tahu bahwa bilangan kompleks akan muncul secara mengejutkan, +00:04:40,980 --> 00:04:43,882 +Jika kamu memecahkan masalah ini dengan pensil dan kertas, 87 -00:04:24,927 --> 00:04:27,647 -namun sebelum kita membahasnya, ada perubahan aneh lainnya, +00:04:43,882 --> 00:04:47,769 +kayak anak-anak yang berlatih untuk IMO, bukan ide yang buruk untuk menuliskan 88 -00:04:27,647 --> 00:04:30,640 -yang bisa dibilang bahkan lebih aneh dan bahkan lebih tak terduga. +00:04:47,769 --> 00:04:49,000 +semua himpunan bagiannya. 89 -00:04:31,300 --> 00:04:34,381 -Untuk menyiapkan panggungnya, mari kita memahami teka-teki tersebut dan melakukan - -90 -00:04:34,381 --> 00:04:37,350 -apa yang harus dilakukan oleh semua pemecah masalah yang baik dan mulai dengan - -91 -00:04:37,350 --> 00:04:40,320 -contoh yang lebih sederhana, mungkin hanya mencobanya dengan set 1, 2, 3, 4, 5. - -92 -00:04:40,980 --> 00:04:43,718 -Jika Anda memecahkan masalah ini dengan pensil dan kertas, Anda tahu, - -93 -00:04:43,718 --> 00:04:46,183 -Anda adalah salah satu dari anak-anak yang berlatih untuk IMO, - -94 -00:04:46,183 --> 00:04:49,000 -bukan ide yang buruk untuk mencantumkan 2 hingga 5 himpunan bagian saja. - -95 00:04:49,340 --> 00:04:51,240 -Hanya 32, tidak banyak. +Nggak banyak kok, cuma 32 aja. -96 +90 00:04:55,680 --> 00:04:59,280 Ada berbagai cara yang mungkin Anda inginkan untuk mengatur semua ini dalam pikiran Anda, -97 +91 00:04:59,280 --> 00:05:01,640 namun karena hal yang kita pedulikan adalah jumlah mereka, -98 +92 00:05:01,640 --> 00:05:04,960 hal yang wajar untuk dilakukan adalah dengan menelusuri semuanya satu per satu dan -99 +93 00:05:04,960 --> 00:05:06,040 menghitung jumlah tersebut. -100 +94 00:05:06,520 --> 00:05:08,797 Di sini, saya hanya melakukannya di YouTube, saya punya komputer, -101 +95 00:05:08,797 --> 00:05:11,040 jadi saya akan menyontek sedikit dan menunjukkan jumlah semuanya. -102 +96 00:05:11,040 --> 00:05:13,837 Saya juga akan sedikit curang dan mengatur ulang semua ini, -103 +97 00:05:13,837 --> 00:05:17,800 mengaturnya secara sugestif ke dalam koleksi yang semuanya memiliki jumlah yang sama. -104 +98 00:05:18,500 --> 00:05:21,186 Misalnya, ada 3 himpunan bagian berbeda yang jumlahnya berjumlah 6, -105 +99 00:05:21,186 --> 00:05:23,201 dan semuanya akan berada di dalam kotak kecil ini, -106 +100 00:05:23,201 --> 00:05:26,600 dan 3 himpunan bagian yang berjumlah 10 semuanya akan berada di dalam kotak kecil ini. -107 +101 00:05:27,260 --> 00:05:30,090 Dan secara keseluruhan, himpunan bagian yang kita pedulikan, -108 +102 00:05:30,090 --> 00:05:33,848 himpunan bagian yang jumlahnya habis dibagi 5, telah diletakkan di sebelah kiri, -109 +103 00:05:33,848 --> 00:05:35,240 dan sepertinya totalnya ada 8. -110 +104 00:05:36,340 --> 00:05:39,612 Oh, dan omong-omong, menurut saya kita menghitung himpunan kosong, -111 +105 00:05:39,612 --> 00:05:43,520 kita menganggap jumlahnya sebagai 0, dan kita menganggapnya sebagai kelipatan 5. -112 +106 00:05:43,940 --> 00:05:45,748 Pada akhirnya, saya harap Anda setuju bahwa semua -113 +107 00:05:45,748 --> 00:05:47,340 itu adalah pilihan yang wajar untuk diambil. -114 +108 00:05:48,140 --> 00:05:49,700 Luangkan waktu sejenak untuk membandingkan jawaban -115 +109 00:05:49,700 --> 00:05:51,260 ini dengan apa yang Anda harapkan secara heuristik. -116 +110 00:05:51,800 --> 00:05:55,012 Dari total 32 himpunan bagian, seperlimanya adalah 6.4, -117 +111 00:05:55,012 --> 00:06:00,060 jadi setidaknya dalam contoh kecil ini, jawaban sebenarnya sedikit lebih besar dari itu. -118 +112 00:06:00,360 --> 00:06:02,540 Itu mungkin sesuatu yang ingin Anda simpan di benak Anda. -119 +113 00:06:03,720 --> 00:06:06,545 Oke, dan ini adalah bagian video di mana, jujur saja, -120 +114 00:06:06,545 --> 00:06:08,900 saya tidak tahu bagaimana cara memotivasinya. -121 +115 00:06:08,900 --> 00:06:11,853 Secara pribadi, saya suka jika matematika terasa seperti sesuatu yang bisa -122 +116 00:06:11,853 --> 00:06:15,358 Anda temukan sendiri, dan jika Anda dan saya duduk bersama untuk memecahkan masalah ini, -123 +117 00:06:15,358 --> 00:06:17,800 menurut saya ada berbagai langkah alami yang dapat Anda ambil. -124 +118 00:06:18,240 --> 00:06:21,779 Mungkin Anda mencoba memahami apakah ada semacam struktur pada himpunan bagian, -125 +119 00:06:21,779 --> 00:06:24,744 atau Anda bermain-main dengan bagaimana jumlah ini didistribusikan -126 +120 00:06:24,744 --> 00:06:27,488 mod 5 pada banyak iterasi berbeda untuk contoh kecil lainnya, -127 +121 00:06:27,488 --> 00:06:30,320 dan dari situ mungkin Anda mencoba mencari bukti dengan induksi. -128 +122 00:06:31,040 --> 00:06:33,265 Saat saya membagikan versi awal pelajaran ini kepada beberapa pengunjung, -129 +123 00:06:33,265 --> 00:06:35,400 orang-orang mengemukakan beberapa pendekatan aljabar linier yang bagus. -130 +124 00:06:35,720 --> 00:06:37,580 Semua itu baik dan bagus, tidak ada yang salah dengan itu. -131 +125 00:06:37,580 --> 00:06:41,258 Namun sebaliknya, tujuan saya di sini adalah mengajari Anda tentang sesuatu yang -132 +126 00:06:41,258 --> 00:06:45,254 disebut fungsi pembangkit, dan ini adalah salah satu taktik yang membuat Anda berpikir, -133 +127 00:06:45,254 --> 00:06:49,160 oke, ya, saya paham ini berhasil, tapi bagaimana mungkin Anda memikirkan hal ini? itu? -134 +128 00:06:49,920 --> 00:06:51,140 Sejujurnya, saya tidak tahu. -135 +129 00:06:51,420 --> 00:06:54,096 Ada saat dalam hidup Anda sebelum Anda memahami fungsi pembangkitan, -136 +130 00:06:54,096 --> 00:06:56,462 dan ada saat setelahnya, dan saya tidak dapat memikirkan apa -137 +131 00:06:56,462 --> 00:06:58,480 pun yang menghubungkannya selain lompatan keyakinan. -138 +132 00:06:59,380 --> 00:07:02,461 Saya akan meminta Anda untuk mempertimbangkan polinomial 1 ditambah -139 +133 00:07:02,461 --> 00:07:05,634 x dikali 1 ditambah x kuadrat dikali 1 ditambah x pangkat tiga dikali -140 +134 00:07:05,634 --> 00:07:08,580 1 ditambah x hingga keempat dikalikan 1 ditambah x hingga kelima. -141 +135 00:07:08,980 --> 00:07:11,540 Sekarang, saya tahu Anda berhak bertanya, dari mana asalnya? -142 +136 00:07:11,580 --> 00:07:13,160 Apa hubungannya polinomial dengan benda? -143 +137 00:07:13,520 --> 00:07:16,340 Apa yang seharusnya diwakili oleh variabel x saat ini? -144 +138 00:07:17,160 --> 00:07:19,120 Dan intinya, x adalah murni sebuah simbol. -145 +139 00:07:19,440 --> 00:07:24,133 Satu-satunya alasan kita menulis polinomial di sini adalah karena tindakan memperluasnya -146 +140 00:07:24,133 --> 00:07:28,300 secara aljabar akan sepenuhnya mencerminkan tindakan membangun himpunan bagian. -147 +141 00:07:28,300 --> 00:07:31,475 Dan, yang terpenting, pengelompokan yang kita inginkan ini, -148 +142 00:07:31,475 --> 00:07:34,439 ketika subkumpulan dengan jumlah yang sama digabungkan, -149 +143 00:07:34,439 --> 00:07:36,980 terjadi secara otomatis saat Anda melakukan ini. -150 +144 00:07:37,400 --> 00:07:38,440 Dan izinkan saya menunjukkan kepada Anda apa yang saya maksud. -151 +145 00:07:39,020 --> 00:07:43,520 Saat Anda memperluas ungkapan ini, pada dasarnya Anda membuat lima pilihan biner. -152 +146 00:07:43,800 --> 00:07:45,800 Istilah manakah dari setiap tanda kurung yang Anda pilih? -153 +147 00:07:46,600 --> 00:07:49,467 Jika Anda memilih 1 dari masing-masing tanda kurung tersebut, -154 +148 00:07:49,467 --> 00:07:53,260 itu akan sesuai dengan himpunan kosong, di mana kita tidak memilih elemen apa pun. -155 +149 00:07:53,980 --> 00:07:57,706 Sedangkan jika saya memilih x dari suku 1, lalu 1 dari suku lainnya, -156 +150 00:07:57,706 --> 00:08:01,540 maka itu akan sesuai dengan himpunan tunggal yang hanya berisi angka 1. -157 +151 00:08:02,200 --> 00:08:04,491 Demikian pula, jika saya memilih suku x kuadrat, -158 +152 00:08:04,491 --> 00:08:08,000 tetapi 1 dari yang lainnya, itu sesuai dengan himpunan yang hanya berisi 2. -159 +153 00:08:08,520 --> 00:08:12,320 Memilih suku x pangkat tiga saja sudah sesuai dengan himpunan yang hanya memuat angka 3. -160 +154 00:08:13,100 --> 00:08:17,407 Namun yang menarik, perhatikan apa yang terjadi jika saya memilih x dari suku 1, -161 +155 00:08:17,407 --> 00:08:19,800 dan suku x kuadrat, lalu 1 dari suku lainnya. -162 +156 00:08:20,280 --> 00:08:23,340 Hal ini sesuai dengan pilihan subset yang memiliki 1 dan 2, -163 +157 00:08:23,340 --> 00:08:25,380 dan tidak ada apa pun dari yang lainnya. -164 +158 00:08:25,380 --> 00:08:30,120 Namun dalam polinomial, cara pemuaiannya terlihat seperti x pangkat tiga. -165 +159 00:08:30,260 --> 00:08:32,664 Jadi kita mempunyai dua suku x pangkat tiga yang berbeda, -166 +160 00:08:32,664 --> 00:08:35,360 yang masing-masing berasal dari himpunan bagian yang jumlahnya 3. -167 +161 00:08:36,080 --> 00:08:38,801 Sejujurnya, pola yang saya gunakan di sini adalah salah satu yang mungkin -168 +162 00:08:38,801 --> 00:08:41,265 paling mudah jika Anda meluangkan waktu untuk berhenti sejenak dan -169 +163 00:08:41,265 --> 00:08:44,059 memikirkan sendiri apa yang terjadi ketika Anda memperluas semuanya di sini. -170 +164 00:08:44,660 --> 00:08:46,757 Pada dasarnya, setiap himpunan bagian yang mungkin -171 +165 00:08:46,757 --> 00:08:49,020 berhubungan dengan salah satu suku dalam perluasan ini. -172 +166 00:08:49,680 --> 00:08:53,367 Dan titik kritisnya adalah eksponen suku yang Anda peroleh dari -173 +167 00:08:53,367 --> 00:08:56,940 perluasan tersebut sama dengan jumlah subset yang bersesuaian. -174 +168 00:08:57,600 --> 00:09:00,016 Agak membingungkan saat Anda mengatakannya dengan lantang, tetapi sekali lagi, -175 +169 00:09:00,016 --> 00:09:02,280 jika Anda memikirkannya sendiri, saya rasa Anda bisa mengerti maksud saya. -176 +170 00:09:02,620 --> 00:09:06,733 Misalnya, jika semuanya sudah selesai dan kita mengumpulkan ke-32 suku di sini, -177 +171 00:09:06,733 --> 00:09:10,537 tiga suku tersebut adalah x hingga ke-10, dan masing-masing suku tersebut -178 +172 00:09:10,537 --> 00:09:13,520 berasal dari pilihan elemen yang jumlahnya sama dengan 10. -179 +173 00:09:14,540 --> 00:09:18,400 Biasanya, saat kita menulis polinomial, kita mengumpulkan semua suku yang sejenis. -180 +174 00:09:18,680 --> 00:09:21,228 Daripada memiliki tiga salinan x pada tanggal 10, -181 +175 00:09:21,228 --> 00:09:24,440 kita hanya akan melihat koefisien 3 di depan x pada tanggal 10. -182 +176 00:09:24,440 --> 00:09:26,922 Jadi masing-masing koefisien tersebut merupakan cara -183 +177 00:09:26,922 --> 00:09:29,640 mengkodekan jumlah himpunan bagian dengan jumlah tertentu. -184 +178 00:09:30,460 --> 00:09:33,510 Jadi ini, seperti yang saya katakan di awal, adalah contoh dari sesuatu yang -185 +179 00:09:33,510 --> 00:09:36,521 disebut fungsi pembangkit, yang idenya adalah jika Anda memiliki pertanyaan -186 +180 00:09:36,521 --> 00:09:40,047 dengan jawaban yang terkait dengan setiap bilangan bulat positif, jadi dalam kasus kita, -187 +181 00:09:40,047 --> 00:09:42,900 berapa banyak himpunan bagian yang dijumlahkan menjadi a nilai tertentu. -188 +182 00:09:43,480 --> 00:09:48,333 Saat Anda membuat polinomial yang koefisiennya sesuai dengan jawaban pertanyaan tersebut, -189 +183 00:09:48,333 --> 00:09:52,810 Anda bisa mendapatkan banyak wawasan dari pertanyaan awal Anda dengan memanipulasi -190 +184 00:09:52,810 --> 00:09:56,100 dan menganalisis sifat-sifat polinomial ini secara matematis. -191 +185 00:09:56,660 --> 00:09:59,493 Ada banyak sekali contoh fungsi pembangkitan, tetapi hanya untuk -192 +186 00:09:59,493 --> 00:10:01,673 memunculkan fungsi lain yang sangat menyenangkan, -193 +187 00:10:01,673 --> 00:10:04,900 Anda dapat menggunakan ide yang sama untuk mempelajari bilangan Fibonacci. -194 +188 00:10:05,340 --> 00:10:08,360 Jadi semua koefisien polinomial ini adalah bilangan Fibonacci, -195 +189 00:10:08,360 --> 00:10:10,806 dan dalam hal ini adalah polinomial tak terhingga, -196 +190 00:10:10,806 --> 00:10:12,820 jadi saya harus menyebutnya deret pangkat. -197 +191 00:10:13,520 --> 00:10:15,471 Saya tidak akan menjelaskan detailnya sepenuhnya di sini, -198 +192 00:10:15,471 --> 00:10:17,860 tetapi saya akan membiarkannya di layar bagi siapa saja yang penasaran. -199 +193 00:10:18,220 --> 00:10:21,830 Ide dasarnya adalah bahwa aturan yang digunakan untuk mendefinisikan bilangan Fibonacci, -200 +194 00:10:21,830 --> 00:10:24,710 yang masing-masing merupakan penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya, -201 +195 00:10:24,710 --> 00:10:26,820 dapat dinyatakan sebagai persamaan dalam fungsi ini. -202 +196 00:10:27,580 --> 00:10:31,200 Persamaan tersebut memungkinkan Anda menulis fungsi tersebut dalam bentuk alternatif. -203 +197 00:10:32,180 --> 00:10:35,261 Dan kemudian, dan inilah sebagian besar detail yang saya lewati, -204 +198 00:10:35,261 --> 00:10:38,817 jika Anda memanipulasinya, Anda tahu, masukkan sedikit dekomposisi pecahan -205 +199 00:10:38,817 --> 00:10:41,994 parsial di sini, sedikit perluasan pangkat deret geometri di sana, -206 +200 00:10:41,994 --> 00:10:46,166 Anda bisa mendapatkan bentuk tertutup yang tepat ekspresi untuk setiap angka Fibonacci, -207 +201 00:10:46,166 --> 00:10:47,020 yang sangat keren. -208 +202 00:10:47,580 --> 00:10:51,496 Saya menyebutkan hal ini hanya untuk menunjukkan puncak gunung es dari fakta -209 +203 00:10:51,496 --> 00:10:55,260 bahwa gagasan tentang fungsi pembangkit jauh melampaui contoh khusus kita. -210 +204 00:10:56,460 --> 00:11:00,651 Sekarang, dalam soal khusus kita, jika kita memperluas dari contoh sederhana -211 +205 00:11:00,651 --> 00:11:04,299 hanya dengan 12345 ke contoh besar dengan semua angka hingga 2000, -212 +206 00:11:04,299 --> 00:11:08,382 fungsi pembangkit terkait kita melibatkan 2000 suku binomial yang berbeda, -213 +207 00:11:08,382 --> 00:11:11,757 Anda tahu, 1 ditambah x, 1 ditambah x kuadrat, terus menerus, -214 +208 00:11:11,757 --> 00:11:13,500 hingga 1 ditambah x hingga 2000. -215 +209 00:11:13,500 --> 00:11:16,393 Dan idenya adalah jika Anda memperluasnya, koefisien -216 +210 00:11:16,393 --> 00:11:19,560 akan memberi tahu kita semua informasi yang kita inginkan. -217 +211 00:11:20,060 --> 00:11:22,514 Memang tidak masuk akal untuk benar-benar mengembangkannya, -218 +212 00:11:22,514 --> 00:11:25,500 tetapi akan sangat membantu jika Anda selalu mengingat, pada prinsipnya, -219 +213 00:11:25,500 --> 00:11:26,400 seperti apa bentuknya. -220 +214 00:11:26,800 --> 00:11:29,968 Misalnya, pada prinsipnya, jika Anda memperluasnya, -221 +215 00:11:29,968 --> 00:11:34,600 Anda akan menemukan bahwa koefisien di depan x hingga suku ke-25 adalah 142. -222 +216 00:11:35,520 --> 00:11:41,640 Dan ini sesuai dengan fakta bahwa ada 142 himpunan bagian berbeda yang jumlahnya 25. -223 +217 00:11:42,280 --> 00:11:46,548 Jadi seni menganalisis fungsi pembangkitan di sini adalah dengan menyimpulkan -224 +218 00:11:46,548 --> 00:11:51,200 fakta tentang koefisien-koefisien tersebut tanpa benar-benar memperluas persamaannya. -225 +219 00:11:55,880 --> 00:11:59,587 Jadi ke depan, saya hanya akan menulis perluasan ini secara lebih abstrak, -226 +220 00:11:59,587 --> 00:12:02,158 hanya jumlah dari n sama dengan 0 hingga kapital N, -227 +221 00:12:02,158 --> 00:12:05,520 di mana c sub n memberi tahu kita koefisien yang tidak kita ketahui. -228 +222 00:12:05,880 --> 00:12:08,060 Semua itu dimulai sebagai kotak hitam bagi kita. -229 +223 00:12:08,360 --> 00:12:11,495 Dan selanjutnya, kita akan mulai memperlakukan ini sebagai fungsi sebenarnya, -230 +224 00:12:11,495 --> 00:12:14,470 sesuatu yang kita masukkan x, kita lihat keluarannya, lalu kita bertanya, -231 +225 00:12:14,470 --> 00:12:16,440 apa yang dapat kita ketahui tentang koefisiennya? -232 +226 00:12:17,060 --> 00:12:18,973 Misalnya, masukan yang sangat mudah adalah dengan -233 +227 00:12:18,973 --> 00:12:20,620 memasukkan sesuatu seperti x sama dengan 0. -234 +228 00:12:21,120 --> 00:12:23,091 Dalam hal ini, yang terpenting adalah kita mengetahui -235 +229 00:12:23,091 --> 00:12:25,100 cara mengevaluasinya menggunakan bentuk faktor di atas. -236 +230 00:12:25,380 --> 00:12:27,575 Jika Anda memasukkan x sama dengan 0 untuk semuanya, -237 +231 00:12:27,575 --> 00:12:30,020 semua sukunya terlihat seperti 1, jadi jawabannya adalah 1. -238 +232 00:12:30,360 --> 00:12:34,112 Dan dalam bentuk yang diperluas, semua suku yang melibatkan x akan dihilangkan, -239 +233 00:12:34,112 --> 00:12:37,020 menjadi 0, sehingga kita hanya memiliki suku pertama, c sub 0. -240 +234 00:12:37,800 --> 00:12:40,600 Nah, dalam hal ini, hal itu tidak memberi tahu kita apa pun yang menarik. -241 +235 00:12:40,600 --> 00:12:43,426 Ini pada dasarnya berarti ada satu set yang kosong, -242 +236 00:12:43,426 --> 00:12:45,600 tapi kita hanya membuat kaki kita basah. -243 +237 00:12:46,040 --> 00:12:48,018 Sebagai contoh berikutnya, luangkan waktu sejenak -244 +238 00:12:48,018 --> 00:12:49,640 untuk berpikir tentang evaluasi f pada 1. -245 +239 00:12:50,460 --> 00:12:53,514 Ini adalah sesuatu yang bisa kita lakukan dengan ekspresi yang kita tahu, -246 +240 00:12:53,514 --> 00:12:56,650 ketika Anda memasukkan 1 untuk semua x ini, setiap suku terlihat seperti 2, -247 +241 00:12:56,650 --> 00:13:00,200 jadi totalnya kita mendapatkan 2 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 2.000 kali. -248 +242 00:13:00,720 --> 00:13:04,832 Sebaliknya, pada persamaan yang diperluas, jika Anda memasukkan x sama dengan 1, -249 +243 00:13:04,832 --> 00:13:09,300 semua pangkat x akan menjadi 1, jadi pada dasarnya kita menjumlahkan semua koefisiennya. -250 +244 00:13:09,300 --> 00:13:11,460 Itu cukup keren jika Anda memikirkannya. -251 +245 00:13:11,740 --> 00:13:14,304 Hanya dengan mengevaluasi fungsi pada satu bilangan, -252 +246 00:13:14,304 --> 00:13:17,160 kita dapat menyimpulkan berapa jumlah seluruh koefisiennya. -253 +247 00:13:17,680 --> 00:13:21,171 Sekali lagi, dalam contoh khusus kita, hal ini tidak terlalu menarik -254 +248 00:13:21,171 --> 00:13:24,460 karena kita sudah mengetahui jumlah dari koefisien-koefisien ini. -255 +249 00:13:24,960 --> 00:13:27,620 Ingat, setiap koefisien menghitung berapa banyak himpunan bagian yang -256 +250 00:13:27,620 --> 00:13:29,938 mempunyai jumlah tertentu, jadi ketika Anda menjumlahkannya, -257 +251 00:13:29,938 --> 00:13:33,320 kita hanya menghitung semua himpunan bagian, yang kita tahu berjumlah 2 berbanding 2.000. -258 +252 00:13:34,220 --> 00:13:36,706 Namun, saya dapat memberi Anda fakta yang benar-benar baru -259 +253 00:13:36,706 --> 00:13:39,320 jika saya meminta Anda mengevaluasi fungsi ini pada negatif 1. -260 +254 00:13:39,720 --> 00:13:41,220 Luangkan waktu sejenak untuk memikirkan apa maksudnya. -261 +255 00:13:43,340 --> 00:13:46,514 Jika Anda memasukkan negatif 1, sekali lagi kita mulai dengan hal yang kita ketahui, -262 +256 00:13:46,514 --> 00:13:48,643 ekspresi yang difaktorkan di atas, dan di sini yang Anda -263 +257 00:13:48,643 --> 00:13:50,100 perlukan hanyalah melihat suku pertama. -264 +258 00:13:50,440 --> 00:13:53,080 Saat Anda memasukkan x, tanda kurung pertama menjadi 0, -265 +259 00:13:53,080 --> 00:13:55,060 sehingga seluruh ekspresi harus menjadi 0. -266 +260 00:13:55,640 --> 00:13:59,114 Namun apa yang dapat Anda ketahui saat kita menerapkannya pada ekspresi yang diperluas, -267 +261 00:13:59,114 --> 00:14:00,220 menggunakan semua koefisien? -268 +262 00:14:00,720 --> 00:14:04,104 Dan dengan semangat untuk memberikan sugestif mungkin terhadap perubahan -269 +263 00:14:04,104 --> 00:14:07,859 aneh yang terjadi pada solusi ini, saya ingin Anda benar-benar memvisualisasikan -270 +264 00:14:07,859 --> 00:14:10,920 berbagai pangkat negatif 1 dalam ekspresi ini dalam bentuk rotasi. -271 +265 00:14:11,460 --> 00:14:13,730 Suku pertama, negatif 1 ke 0, hanyalah 1, yang -272 +266 00:14:13,730 --> 00:14:16,000 akan kita gambarkan sebagai vektor dari 0 ke 1. -273 +267 00:14:16,580 --> 00:14:20,060 Negatif 1 pangkat pertama hanyalah negatif 1 itu sendiri, -274 +268 00:14:20,060 --> 00:14:25,040 yang saya ingin Anda anggap sebagai rotasi 180 derajat dari suku terakhir tersebut. -275 +269 00:14:25,540 --> 00:14:28,973 Lalu ketika kita ambil negatif 1 kuadrat, hasilnya positif 1, -276 +270 00:14:28,973 --> 00:14:30,580 lagi-lagi rotasi 180 derajat. -277 +271 00:14:30,580 --> 00:14:35,820 Dan secara umum, setiap suku yang berurutan di sini tampak seperti rotasi 180 derajat. -278 +272 00:14:36,180 --> 00:14:39,028 Secara aljabar, hal ini berarti kita mempunyai jumlah yang -279 +273 00:14:39,028 --> 00:14:41,780 berfluktuasi antara koefisien genap dan koefisien ganjil. -280 +274 00:14:42,180 --> 00:14:43,860 Tapi ingatlah visualnya. -281 +275 00:14:44,260 --> 00:14:47,626 Ekspresi ini berlaku untuk semua fungsi pembangkit, tapi sekali lagi, -282 +276 00:14:47,626 --> 00:14:51,618 untuk fungsi pembangkit khusus, kita tahu bahwa nilai ini, jumlah bolak-balik ini, -283 +277 00:14:51,618 --> 00:14:52,580 harus sama dengan 0. -284 +278 00:14:53,040 --> 00:14:55,885 Dan cara Anda menafsirkannya adalah dengan memberi tahu Anda bahwa -285 +279 00:14:55,885 --> 00:14:58,900 ada keseimbangan yang sama antara koefisien genap dan koefisien ganjil. -286 +280 00:14:59,460 --> 00:15:02,859 Dan ingat, mungkin dalam konteks contoh kecil kita, -287 +281 00:15:02,859 --> 00:15:06,520 koefisien ini mengkodekan fakta tentang himpunan bagian. -288 +282 00:15:06,760 --> 00:15:09,836 Jadi, jika terdapat keseimbangan yang sama antara semua koefisien genap -289 +283 00:15:09,836 --> 00:15:12,827 dan koefisien ganjil, hal ini menunjukkan bahwa setengah dari seluruh -290 +284 00:15:12,827 --> 00:15:16,160 himpunan bagian memiliki jumlah genap, dan setengahnya memiliki jumlah ganjil. -291 +285 00:15:16,660 --> 00:15:18,750 Itu mungkin yang Anda harapkan, tetapi pada awalnya -292 +286 00:15:18,750 --> 00:15:20,640 tidak jelas bagaimana Anda akan menunjukkannya. -293 +287 00:15:20,820 --> 00:15:23,440 Dan dengan fungsi pembangkit, itu langsung muncul. -294 +288 00:15:24,480 --> 00:15:27,168 Dan sekali lagi, untuk memberi petunjuk ke mana kita akan pergi, -295 +289 00:15:27,168 --> 00:15:30,187 izinkan saya menulis ulang ini sedikit dengan mengambil dua hal terakhir -296 +290 00:15:30,187 --> 00:15:33,620 yang kita evaluasi, menjumlahkan keduanya, dan kemudian membaginya dengan 1 bagian. -297 +291 00:15:35,100 --> 00:15:38,048 Jika dipikir-pikir, ini adalah cara menyaring semua -298 +292 00:15:38,048 --> 00:15:41,280 koefisien genap dan menghilangkan semua koefisien ganjil. -299 +293 00:15:41,900 --> 00:15:45,228 Jadi ini merupakan cara yang sangat mudah untuk menuliskan fakta bahwa jumlah -300 +294 00:15:45,228 --> 00:15:48,513 semua koefisien genap, yang lagi-lagi terlintas di benak Anda berarti jumlah -301 +295 00:15:48,513 --> 00:15:52,140 total himpunan bagian dengan jumlah genap, akan terlihat seperti setengah dari total. -302 +296 00:15:52,620 --> 00:15:57,100 Tentu saja, ini sangat mendekati pertanyaan sebenarnya yang ingin kita jawab. -303 +297 00:15:57,100 --> 00:16:00,463 Apa yang ingin kita lakukan adalah menemukan beberapa hal pintar yang bisa -304 +298 00:16:00,463 --> 00:16:03,961 kita lakukan pada fungsi f, sejumlah bilangan terpilih untuk mengevaluasinya, -305 +299 00:16:03,961 --> 00:16:07,460 sehingga kita mendapatkan semua koefisien yang bersesuaian dengan kelipatan 5. -306 +300 00:16:08,000 --> 00:16:11,030 Sekali lagi, memikirkan kembali apa yang dikodekan oleh koefisien ini untuk kita, -307 +301 00:16:11,030 --> 00:16:12,620 itu akan menjawab pertanyaan terakhir kita. -308 +302 00:16:12,760 --> 00:16:16,860 Itu berarti menghitung jumlah himpunan bagian yang jumlahnya habis dibagi 5. -309 +303 00:16:18,900 --> 00:16:22,782 Trik untuk melakukan ini adalah dengan menggeneralisasi apa yang baru saja kita lakukan, -310 +304 00:16:22,782 --> 00:16:25,400 di mana pangkat masukan yang berurutan berputar bolak-balik. -311 +305 00:16:25,900 --> 00:16:29,102 Namun kali ini, kami tidak ingin mereka berotasi setiap waktu, -312 +306 00:16:29,102 --> 00:16:31,340 kami ingin mereka berotasi dengan periode 5. -313 +307 00:16:31,740 --> 00:16:34,220 Dan untuk melakukan itu, kita memperluas ke bidang yang kompleks. -314 +308 00:16:34,640 --> 00:16:37,730 Anda lihat, di atas sana, kita dapat menemukan sebuah nilai sehingga -315 +309 00:16:37,730 --> 00:16:40,999 saat kita mengambil pangkat yang berurutan, nilai tersebut akan berputar -316 +310 00:16:40,999 --> 00:16:44,000 seperlima putaran, sehingga menghasilkan proses dengan frekuensi 5. -317 +311 00:16:44,700 --> 00:16:47,145 Dan jika Anda mundur, saya tahu agak tidak masuk akal -318 +312 00:16:47,145 --> 00:16:49,500 jika saya meminta Anda memikirkan bilangan kompleks. -319 +313 00:16:49,860 --> 00:16:53,003 Maksudku, kita mulai dengan soal berhitung, ini soal matematika diskrit, -320 +314 00:16:53,003 --> 00:16:54,640 tapi mudah-mudahan tidak terlalu liar. -321 +315 00:16:55,400 --> 00:16:58,112 Dan lagi, alasan saya menggambar berbagai hal untuk mengatasi -322 +316 00:16:58,112 --> 00:17:00,781 berbagai keanehan dalam solusinya adalah karena hal tersebut -323 +317 00:17:00,781 --> 00:17:03,800 sebenarnya tidak terlalu aneh dalam skema matematika yang lebih luas. -324 +318 00:17:04,140 --> 00:17:08,064 Trik yang akan kita terapkan sangat mirip dengan banyak contoh penggunaan -325 +319 00:17:08,064 --> 00:17:12,359 bilangan kompleks lainnya untuk lebih memahami pertanyaan diskrit bilangan bulat. -326 +320 00:17:12,740 --> 00:17:16,008 Jadi semakin terasa seperti sesuatu yang bisa Anda temukan sendiri, -327 +321 00:17:16,008 --> 00:17:19,566 semakin besar kemungkinannya ketika Anda sedang mengerjakan suatu masalah -328 +322 00:17:19,566 --> 00:17:23,220 di masa depan dalam lingkaran pemikiran ini, Anda akan menemukannya sendiri. -329 +323 00:17:28,560 --> 00:17:31,166 Untuk lebih spesifiknya, bilangan kompleks yang saya pedulikan -330 +324 00:17:31,166 --> 00:17:33,152 adalah bilangan yang akan saya beri label zeta, -331 +325 00:17:33,152 --> 00:17:36,380 dan bilangan tersebut berada seperlima putaran di sekeliling lingkaran satuan. -332 +326 00:17:36,780 --> 00:17:41,340 Jadi sudutnya adalah 2 pi perlima radian, dan besarnya satu. -333 +327 00:17:42,060 --> 00:17:45,601 Artinya, dengan notasi rumus standar Euler, kita akan menuliskan -334 +328 00:17:45,601 --> 00:17:49,360 bilangan tersebut secara eksplisit sebagai e pangkat 2 pi i dibagi 5. -335 +329 00:17:49,640 --> 00:17:52,390 Jika Anda merasa tidak nyaman dengan notasi tersebut, -336 +330 00:17:52,390 --> 00:17:56,262 Anda dapat menganggapnya sebagai sesuatu yang bagian riilnya adalah kosinus -337 +331 00:17:56,262 --> 00:17:58,911 dari 72 derajat, 72 adalah seperlima putaran penuh, -338 +332 00:17:58,911 --> 00:18:01,560 dan bagian imajinernya adalah sinus dari 72 derajat. -339 +333 00:18:02,540 --> 00:18:05,940 Namun sejujurnya, Anda sebenarnya tidak perlu memikirkan nilai eksplisitnya. -340 +334 00:18:06,200 --> 00:18:08,350 Sebaliknya, hal penting yang harus diperhatikan adalah -341 +335 00:18:08,350 --> 00:18:10,580 properti yang dimiliki oleh pangkat-pangkat bilangan ini. -342 +336 00:18:11,100 --> 00:18:14,032 Contohnya, ketika kamu mengkuadratkannya, karena besarnya satu, -343 +337 00:18:14,032 --> 00:18:17,193 maka besar perseginya juga satu, namun ia berputar seperlima putaran -344 +338 00:18:17,193 --> 00:18:21,180 mengelilingi lingkaran satuan, sehingga ia sekarang berada pada dua perlima putarannya. -345 +339 00:18:22,280 --> 00:18:24,413 Demikian pula, saat Anda menaikkannya ke pangkat tiga, -346 +340 00:18:24,413 --> 00:18:27,322 Anda mendapatkan tiga perlima putaran, menaikkannya menjadi pangkat empat, -347 +341 00:18:27,322 --> 00:18:30,464 Anda menyelesaikan empat perlima putaran, dan menaikkannya menjadi pangkat lima, -348 +342 00:18:30,464 --> 00:18:32,520 dan Anda mendapatkan sepanjang jalan kembali ke satu. -349 +343 00:18:32,860 --> 00:18:35,488 Ini sama saja seperti jika Anda menaikkannya ke pangkat nol, -350 +344 00:18:35,488 --> 00:18:37,600 kita mendapatkan perputaran ini setiap lima suku. -351 +345 00:18:37,860 --> 00:18:39,200 Itulah hal yang kami pedulikan. -352 +346 00:18:39,760 --> 00:18:42,711 Bilangan-bilangan ini mempunyai nama khusus, disebut akar-akar kesatuan yang kelima, -353 +347 00:18:42,711 --> 00:18:45,211 pada dasarnya karena bilangan-bilangan tersebut menyelesaikan persamaan -354 +348 00:18:45,211 --> 00:18:47,642 z sampai bilangan kelima sama dengan satu, bilangan-bilangan tersebut -355 +349 00:18:47,642 --> 00:18:49,240 merupakan akar-akar kelima dari bilangan satu. -356 +350 00:18:49,460 --> 00:18:52,122 Jika Anda baru saja memberikan persamaan ini kepada seseorang, -357 +351 00:18:52,122 --> 00:18:54,912 mereka mungkin akan berkata, jawabannya jelas z sama dengan satu, -358 +352 00:18:54,912 --> 00:18:57,617 tetapi idenya adalah ada empat jawaban lain di bidang kompleks, -359 +353 00:18:57,617 --> 00:19:01,252 empat bilangan lain yang ketika Anda menaikkannya ke bilangan kelima Anda mendapatkan -360 +354 00:19:01,252 --> 00:19:04,380 satu, dan menganggapnya sebagai sebuah kolektif sering kali cukup berguna. -361 +355 00:19:04,880 --> 00:19:07,440 Ingat persamaan itu, itu akan kembali lagi nanti. -362 +356 00:19:08,700 --> 00:19:11,205 Jadi dalam analogi dengan apa yang kita lakukan sebelumnya, -363 +357 00:19:11,205 --> 00:19:14,547 di mana kita menjumlahkan f dari satu dan f dari satu negatif untuk mendapatkan -364 +358 00:19:14,547 --> 00:19:18,055 pembatalan di antara suku-suku ganjil, yang akan kita lakukan adalah mengevaluasi f -365 +359 00:19:18,055 --> 00:19:21,104 pada kelima bilangan tersebut, lalu menjumlahkannya mereka bersama-sama, -366 +360 00:19:21,104 --> 00:19:22,900 dan mudah-mudahan kita mendapat pembatalan. -367 +361 00:19:23,240 --> 00:19:27,307 Ini mungkin tampak agak rumit, tapi mari kita ambil contoh yang sangat sederhana, -368 +362 00:19:27,307 --> 00:19:29,540 seperti kasus di mana f dari x sama dengan x. -369 +363 00:19:30,000 --> 00:19:32,328 Dalam hal ini, ketika kita menjumlahkan kelima suku ini, -370 +364 00:19:32,328 --> 00:19:34,616 kita hanya menjumlahkan akar-akar kesatuan itu sendiri, -371 +365 00:19:34,616 --> 00:19:37,680 zeta ke nol ditambah zeta ke satu, seterusnya, hingga zeta ke suku keempat. -372 +366 00:19:38,240 --> 00:19:40,177 Saat Anda menjumlahkan bilangan kompleks, Anda dapat -373 +367 00:19:40,177 --> 00:19:42,480 menganggapnya seperti penjumlahan vektor, dengan ujung ke ekor. -374 +368 00:19:42,900 --> 00:19:45,956 Jadi zeta ke nol ditambah zeta akan terlihat seperti ini, -375 +369 00:19:45,956 --> 00:19:48,538 dan kemudian jika saya menambahkan zeta kuadrat, -376 +370 00:19:48,538 --> 00:19:52,280 membawa ekor vektor itu ke ujung vektor terakhir, kita mendapatkan ini. -377 +371 00:19:52,980 --> 00:19:56,675 Demikian pula, jika saya membawa ekor zeta yang dipotong dadu ke ujung yang satu itu, -378 +372 00:19:56,675 --> 00:19:59,468 dan kemudian melakukan hal yang sama untuk zeta ke yang keempat, -379 +373 00:19:59,468 --> 00:20:02,820 Anda akan melihat bagaimana jumlah keseluruhan sebenarnya kembali menjadi nol. -380 +374 00:20:03,360 --> 00:20:05,892 Cara lain untuk memikirkan hal ini adalah bahwa -381 +375 00:20:05,892 --> 00:20:08,320 kelima suku ini seimbang di sekitar angka nol. -382 +376 00:20:08,880 --> 00:20:10,620 Pusat massanya berada di titik asal. -383 +377 00:20:11,700 --> 00:20:14,938 Sekarang ada gunanya memikirkan contoh yang tidak terlalu sepele, -384 +378 00:20:14,938 --> 00:20:16,460 jika f dari x adalah x kuadrat. -385 +379 00:20:17,360 --> 00:20:20,020 Jadi ketika Anda mengkuadratkan zeta ke nol, zeta tetap ke nol. -386 +380 00:20:20,260 --> 00:20:21,980 Ini hanyalah cara yang bagus untuk mengatakan nomor satu. -387 +381 00:20:22,640 --> 00:20:24,980 Saat Anda mengkuadratkan zeta, Anda mendapatkan zeta kuadrat itu sendiri. -388 +382 00:20:25,440 --> 00:20:27,701 Jadi Anda mungkin membayangkan titik di atas ini -389 +383 00:20:27,701 --> 00:20:30,240 berpindah ke titik zeta kuadrat saat kita melakukannya. -390 +384 00:20:30,720 --> 00:20:32,680 Zeta kuadrat berpindah ke zeta ke yang keempat. -391 +385 00:20:33,200 --> 00:20:35,760 Anda mungkin membayangkan titik ini berpindah ke zeta ke titik keempat. -392 +386 00:20:36,580 --> 00:20:39,305 Zeta potong dadu berpindah ke zeta ke yang keenam, yang, -393 +387 00:20:39,305 --> 00:20:42,940 karena kita memutarnya setiap lima kali, sama saja dengan zeta ke yang satu. -394 +388 00:20:43,420 --> 00:20:44,880 Jadi titik ini akan bergerak ke atas sini. -395 +389 00:20:46,420 --> 00:20:50,251 Dan terakhir, zeta ke kotak keempat memberi kita zeta ke kotak kedelapan, -396 +390 00:20:50,251 --> 00:20:54,600 yang direduksi menjadi sama dengan zeta kubus, yang mungkin saya gambar seperti ini. -397 +391 00:20:55,560 --> 00:20:57,897 Hal ini mungkin tampak sedikit membingungkan untuk dipikirkan, -398 +392 00:20:57,897 --> 00:21:00,308 terutama dengan semua anak panah yang telah saya gambar di sini, -399 +393 00:21:00,308 --> 00:21:03,053 namun ada baiknya untuk memikirkannya setidaknya sekali dalam hidup Anda, -400 +394 00:21:03,053 --> 00:21:05,279 karena idenya di sini adalah ketika kita mengkuadratkannya, -401 +395 00:21:05,279 --> 00:21:08,321 seperti pergi ke semua hal yang berbeda ini. istilah dan saya memprogramnya untuk -402 +396 00:21:08,321 --> 00:21:11,660 menggandakan sudut yang dimilikinya, efek keseluruhannya adalah mengacak istilah tersebut. -403 +397 00:21:12,000 --> 00:21:15,092 Kita mendapatkan angka-angka yang sama tetapi ditulis dalam urutan yang berbeda, -404 +398 00:21:15,092 --> 00:21:16,200 sehingga jumlahnya tetap nol. -405 +399 00:21:16,960 --> 00:21:20,251 Demikian pula, jika Anda melakukan latihan ini dengan x pangkat tiga, -406 +400 00:21:20,251 --> 00:21:24,295 yang saya anjurkan untuk Anda lakukan, dan Anda mengikuti di mana masing-masing titik -407 +401 00:21:24,295 --> 00:21:28,386 ini akan berakhir, Anda akan dapat melihat bahwa ketika kita pangkatkan suku-suku ini, -408 +402 00:21:28,386 --> 00:21:31,443 kapan kita ambil masing-masing dan kalikan sudutnya dengan tiga, -409 +403 00:21:31,443 --> 00:21:32,760 sekali lagi kita kocok saja. -410 +404 00:21:33,140 --> 00:21:34,880 Istilah yang sama dicantumkan dalam urutan berbeda. -411 +405 00:21:34,880 --> 00:21:38,240 Tidak mengherankan, hal yang sama terjadi jika fungsi kita adalah x sampai keempat. -412 +406 00:21:41,780 --> 00:21:44,123 Namun, yang terpenting, perubahannya adalah jika -413 +407 00:21:44,123 --> 00:21:46,420 kita mempertimbangkan fungsi x ke fungsi kelima. -414 +408 00:21:47,060 --> 00:21:49,906 Dalam hal ini, ketika Anda menaikkan zeta ke pangkat kelima, -415 +409 00:21:49,906 --> 00:21:51,820 menurut definisi, zeta akan menjadi satu. -416 +410 00:21:52,540 --> 00:21:55,200 Demikian pula, zeta kuadrat yang dipangkatkan kelima menjadi satu. -417 +411 00:21:55,560 --> 00:21:57,960 Semua ini mengarah pada satu hal, yaitu akar persatuan. -418 +412 00:21:57,980 --> 00:21:59,940 Bagaimanapun, inilah tujuan hidup mereka. -419 +413 00:22:00,440 --> 00:22:04,156 Jadi dalam kasus ini, ketika kita menerapkan fungsi tersebut dan menjumlahkan semuanya, -420 +414 00:22:04,156 --> 00:22:06,268 alih-alih menjadi nol dan mendapatkan pembatalan, -421 +415 00:22:06,268 --> 00:22:08,380 kita mendapatkan semacam interferensi konstruktif. -422 +416 00:22:08,780 --> 00:22:11,440 Semuanya sama dengan satu, jadi jumlahnya sama dengan lima. -423 +417 00:22:12,060 --> 00:22:15,978 Jadi jika Anda melangkah mundur dan berpikir tentang arti semua contoh di atas, -424 +418 00:22:15,978 --> 00:22:19,945 pada dasarnya ekspresi ini adalah sesuatu yang akan menjadi nol untuk pangkat x, -425 +419 00:22:19,945 --> 00:22:24,108 yang tidak habis dibagi lima, tetapi menjadi sesuatu yang bukan nol untuk pangkat x, -426 +420 00:22:24,108 --> 00:22:25,480 yang mana habis dibagi lima. -427 +421 00:22:25,900 --> 00:22:28,380 Dan filter seperti itulah yang kami cari. -428 +422 00:22:29,020 --> 00:22:33,372 Jika Anda khawatir bahwa fungsi sebenarnya jauh lebih rumit daripada pangkat x sederhana, -429 +423 00:22:33,372 --> 00:22:37,000 pada dasarnya semuanya berjalan sangat baik di sini karena semuanya linier. -430 +424 00:22:37,700 --> 00:22:42,608 Jika f adalah suatu polinomial masif dan kita ingin mengevaluasi jumlah besar ini, -431 +425 00:22:42,608 --> 00:22:45,978 Anda dapat memikirkan untuk menelusuri kolom demi kolom, -432 +426 00:22:45,978 --> 00:22:50,000 di mana setiap kali Anda sebenarnya hanya menjumlahkan pangkat zeta. -433 +427 00:22:50,360 --> 00:22:52,291 Dan dalam kebanyakan kasus, semua kekuatan tersebut -434 +428 00:22:52,291 --> 00:22:54,000 saling menghilangkan dan Anda mendapatkan nol. -435 +429 00:22:54,380 --> 00:22:56,508 Namun ketika semua pangkat tersebut adalah kelipatan lima, -436 +430 00:22:56,508 --> 00:22:58,564 maka keduanya saling berinterferensi secara konstruktif, -437 +431 00:22:58,564 --> 00:23:00,909 dan sebagai gantinya Anda mendapatkan lima kali lipat berapa pun -438 +432 00:23:00,909 --> 00:23:01,920 koefisien yang bersangkutan. -439 +433 00:23:02,040 --> 00:23:05,100 Jauh di tengah hiruk pikuk, mudah untuk melupakan alasan kita berada di sini. -440 +434 00:23:05,360 --> 00:23:07,920 Namun ingat, masing-masing koefisien tersebut memberi tahu kita -441 +435 00:23:07,920 --> 00:23:10,440 berapa banyak himpunan bagian yang menghasilkan nilai tertentu. -442 +436 00:23:10,920 --> 00:23:14,980 Jadi yang kita inginkan adalah menjumlahkan semua koefisien yang ada di urutan pertama. -443 +437 00:23:15,380 --> 00:23:18,540 Dan yang kami miliki saat ini adalah cara untuk melakukan hal tersebut secara eksplisit. -444 +438 00:23:18,800 --> 00:23:21,855 Jika kita mengevaluasi fungsi ini berdasarkan lima akar kesatuan yang berbeda, -445 +439 00:23:21,855 --> 00:23:24,871 yang menurut saya agak aneh, maka yang harus kita lakukan hanyalah membaginya -446 +440 00:23:24,871 --> 00:23:27,540 dengan lima dan hasilnya akan menghasilkan jumlah yang kita inginkan. -447 +441 00:23:28,480 --> 00:23:30,220 Itu sangat keren jika Anda bertanya kepada saya. -448 +442 00:23:30,220 --> 00:23:33,420 Kita mempunyai pertanyaan yang hanya membahas tentang himpunan bagian, -449 +443 00:23:33,420 --> 00:23:36,937 ini adalah soal matematika diskrit, namun cara kita menjawabnya adalah dengan -450 +444 00:23:36,937 --> 00:23:40,589 mengevaluasi polinomial gila pada beberapa bilangan kompleks yang dipilih dengan -451 +445 00:23:40,589 --> 00:23:41,040 bijaksana. -452 +446 00:23:41,520 --> 00:23:44,232 Semakin banyak Anda mengerjakan matematika, semakin tidak gila hal tersebut, -453 +447 00:23:44,232 --> 00:23:47,049 karena bilangan kompleks memiliki hubungan yang aneh dengan matematika diskrit, -454 +448 00:23:47,049 --> 00:23:49,480 tetapi ini sungguh luar biasa, tidak ada dua cara untuk melakukannya. -455 +449 00:23:50,340 --> 00:23:54,128 Namun, beberapa dari Anda mungkin mengeluh, satu-satunya cara agar hal ini berguna -456 +450 00:23:54,128 --> 00:23:58,100 adalah jika kita benar-benar dapat mengevaluasi ekspresi liar ini pada polinomial kita. -457 +451 00:23:58,620 --> 00:24:02,431 Sekarang ingat, bentuk polinomial yang kita tahu, yang paling mudah kita gunakan, -458 +452 00:24:02,431 --> 00:24:05,266 adalah bentuk faktor, di mana kita mendapatkan 1 ditambah x, -459 +453 00:24:05,266 --> 00:24:08,520 1 ditambah x kuadrat, terus menerus, hingga 1 ditambah x hingga 2.000. -460 +454 00:24:09,220 --> 00:24:12,248 Segala sesuatu yang ada sampai saat ini hanyalah permainan simbolis yang tidak -461 +455 00:24:12,248 --> 00:24:14,510 ada artinya, mendorong satu masalah sulit ke masalah lain, -462 +456 00:24:14,510 --> 00:24:17,691 kecuali kita benar-benar bisa menyingsingkan lengan baju dan melakukan perhitungan -463 +457 00:24:17,691 --> 00:24:18,420 yang jujur di sini. -464 +458 00:24:18,900 --> 00:24:22,320 Ini adalah dorongan terakhir dalam argumen kita, jadi mundurlah, tarik napas dalam-dalam. -465 +459 00:24:22,700 --> 00:24:24,892 Hal ini sebenarnya tidak seburuk yang Anda bayangkan, -466 +460 00:24:24,892 --> 00:24:27,369 namun mari kita mulai dengan memikirkan bagaimana Anda dapat -467 +461 00:24:27,369 --> 00:24:30,780 mengevaluasi salah satu akar persatuan yang kita perlukan, mungkin zeta itu sendiri. -468 +462 00:24:31,780 --> 00:24:34,758 Jadi yang terlihat adalah 1 ditambah zeta, dikalikan 1 ditambah zeta kuadrat, -469 +463 00:24:34,758 --> 00:24:36,820 dikalikan 1 ditambah zeta potong dadu, dan seterusnya. -470 +464 00:24:37,060 --> 00:24:39,827 Kecuali, yang penting, setelah lima istilah pertama, -471 +465 00:24:39,827 --> 00:24:42,700 semuanya mulai terulang, karena kekuatan zeta berulang. -472 +466 00:24:43,220 --> 00:24:46,112 Seluruh ekspresi hingga 2.000 pada dasarnya hanya -473 +467 00:24:46,112 --> 00:24:49,120 akan menjadi salinan ekspresi ini sebanyak 400 kali. -474 +468 00:24:49,600 --> 00:24:52,053 Mungkin masih sulit untuk mengevaluasi persamaan ini, -475 +469 00:24:52,053 --> 00:24:55,280 namun ini jauh lebih mudah daripada mengalikan 2.000 suku yang berbeda. -476 +470 00:24:55,280 --> 00:24:57,791 Cara Anda memvisualisasikan hal ini adalah bahwa kita mengambil -477 +471 00:24:57,791 --> 00:25:01,244 masing-masing akar kesatuan tersebut, namun pada dasarnya dengan menambahkan satu akar, -478 +472 00:25:01,244 --> 00:25:02,540 kita menggeser semuanya ke kanan. -479 +473 00:25:03,060 --> 00:25:05,644 Gambaran ini sebenarnya cocok untuk intuisi geometris yang -480 +474 00:25:05,644 --> 00:25:08,360 sangat bagus untuk jawaban numerik yang mungkin kita harapkan. -481 +475 00:25:08,880 --> 00:25:13,132 Hal yang kita inginkan adalah hasil kali dari lima bilangan kompleks yang berbeda, -482 +476 00:25:13,132 --> 00:25:14,260 lima titik kuning ini. -483 +477 00:25:14,820 --> 00:25:17,857 Dan jika Anda mengetahui satu atau dua hal tentang bilangan kompleks, -484 +478 00:25:17,857 --> 00:25:20,546 karena bilangan ini berpasangan konjugasi, yang kita perlukan -485 +479 00:25:20,546 --> 00:25:23,020 hanyalah mengalikan panjang kelima garis kuning tersebut. -486 +480 00:25:23,680 --> 00:25:28,310 Misalnya, titik yang paling kanan adalah 1 ditambah zeta dengan yang kelima, -487 +481 00:25:28,310 --> 00:25:32,220 yang dalam diagram saya beri label zeta dengan nol ditambah satu. -488 +482 00:25:32,720 --> 00:25:34,560 Tapi tidak masalah, bagaimanapun juga, keduanya -489 +483 00:25:34,560 --> 00:25:36,440 hanyalah cara yang bagus untuk menulis angka dua. -490 +484 00:25:36,980 --> 00:25:40,127 Selain itu, kita mempunyai nilai satu ditambah zeta dan satu ditambah -491 +485 00:25:40,127 --> 00:25:42,960 zeta hingga keempat, yang keduanya mempunyai besaran yang sama. -492 +486 00:25:43,000 --> 00:25:44,600 Panjang garis-garis ini sama. -493 +487 00:25:44,940 --> 00:25:46,680 Dan beri nama saja, L1. -494 +488 00:25:47,080 --> 00:25:50,280 Jadi kita perlu mengalikan dua salinan berbeda dengan panjang L1 kuadrat. -495 +489 00:25:51,020 --> 00:25:54,590 Demikian pula dengan dua nilai lainnya, zeta kuadrat ditambah satu dan zeta pangkat tiga -496 +490 00:25:54,590 --> 00:25:58,160 ditambah satu, keduanya juga memiliki panjang yang sama dan merupakan pasangan konjugasi. -497 +491 00:25:58,580 --> 00:26:00,200 Jadi sebut saja panjangnya L2. -498 +492 00:26:00,880 --> 00:26:03,800 Jadi produk kita perlu menyertakan dua salinan L2 itu. -499 +493 00:26:04,340 --> 00:26:06,745 Jika kita hanya membuat tebakan heuristik longgar, -500 +494 00:26:06,745 --> 00:26:10,944 Anda mungkin memperhatikan bahwa L1 adalah panjang yang sedikit lebih panjang dari satu, -501 +495 00:26:10,944 --> 00:26:13,680 dan L2 adalah sesuatu yang sedikit lebih pendek dari satu. -502 +496 00:26:13,960 --> 00:26:17,700 Jadi jawaban terakhir di sini mungkin berkisar pada dua hal. -503 +497 00:26:17,960 --> 00:26:19,700 Kami tidak positif, tapi ada sesuatu yang kasar. -504 +498 00:26:19,700 --> 00:26:24,140 Untuk mengubahnya menjadi jawaban yang tepat, kita bisa memperluas ekspresi lengkapnya. -505 +499 00:26:24,520 --> 00:26:27,420 Sejujurnya tidak terlalu buruk, hanya ada 32 istilah yang berbeda. -506 +500 00:26:33,320 --> 00:26:37,020 Oke, kamu sudah lama bergaul denganku, dan aku tahu itu akan menjadi sangat sering. -507 +501 00:26:37,280 --> 00:26:39,943 Namun ada satu trik terakhir dalam keseluruhan argumen ini yang membuat -508 +502 00:26:39,943 --> 00:26:42,680 langkah terakhir kita jauh lebih sederhana dari yang Anda kira seharusnya. -509 +503 00:26:43,260 --> 00:26:45,620 Dan mari kita rekap untuk mengingatkan diri kita di mana kita berada. -510 +504 00:26:45,820 --> 00:26:48,646 Jadi kita mulai dengan pertanyaan yang menanyakan kepada kita, -511 +505 00:26:48,646 --> 00:26:52,280 hitung jumlah himpunan bagian dari 1 hingga 2.000, yang jumlahnya habis dibagi 5. -512 +506 00:26:52,740 --> 00:26:55,768 Kami kemudian membangun polinomial ini yang koefisiennya memberi tahu kami -513 +507 00:26:55,768 --> 00:26:59,040 berapa banyak himpunan bagian yang memiliki jumlah tertentu untuk setiap nilai n. -514 +508 00:26:59,960 --> 00:27:01,967 Jadi yang kita inginkan adalah menjumlahkan setiap -515 +509 00:27:01,967 --> 00:27:03,620 koefisien kelima dari polinomial tersebut. -516 +510 00:27:04,780 --> 00:27:07,511 Kemudian kita melihat bagaimana mengevaluasi polinomial ini -517 +511 00:27:07,511 --> 00:27:09,925 sebagai fungsi pada semua akar kelima dari kesatuan, -518 +512 00:27:09,925 --> 00:27:13,340 lalu menjumlahkannya, pada akhirnya menghasilkan filter yang kita inginkan. -519 +513 00:27:13,600 --> 00:27:16,897 Dan di sini kita hanya mengevaluasi salah satu suku tersebut, f dari zeta, -520 +514 00:27:16,897 --> 00:27:19,800 yang pada dasarnya menghasilkan hasil kali lima bilangan kompleks. -521 +515 00:27:20,540 --> 00:27:24,640 Sebagai cara super apik untuk mengevaluasi produk tersebut, inilah trik terakhirnya. -522 +516 00:27:25,320 --> 00:27:27,820 Ingat, saya menggambarkan angka-angka ini sebagai akar persatuan. -523 +517 00:27:28,200 --> 00:27:30,580 Mereka menyelesaikan persamaan z sampai persamaan kelima sama dengan satu. -524 +518 00:27:31,060 --> 00:27:33,762 Cara lain untuk memikirkannya adalah bahwa mereka adalah -525 +519 00:27:33,762 --> 00:27:36,180 akar dari polinomial z ke seperlima dikurangi satu. -526 +520 00:27:36,920 --> 00:27:39,605 Artinya, kita dapat memfaktorkan polinomial z ke bilangan -527 +521 00:27:39,605 --> 00:27:41,873 kelima dikurangi satu agar terlihat seperti ini, -528 +522 00:27:41,873 --> 00:27:45,300 dimana terdapat satu faktor yang bersesuaian dengan masing-masing akarnya. -529 +523 00:27:45,300 --> 00:27:47,160 Anda mengambil z dikurangi masing-masing akarnya. -530 +524 00:27:47,840 --> 00:27:50,469 Ungkapan ini sungguh ajaib ketika Anda memikirkan tentang semua -531 +525 00:27:50,469 --> 00:27:53,140 pembatalan gila yang harus terjadi saat Anda memperluas semuanya. -532 +526 00:27:53,160 --> 00:27:56,883 Tapi ini benar, dan ini sangat berguna bagi kita saat ini, -533 +527 00:27:56,883 --> 00:28:01,807 karena ekspresi di sisi kanan terlihat hampir sama dengan hal yang perlu kita -534 +528 00:28:01,807 --> 00:28:02,880 evaluasi di atas. -535 +529 00:28:03,300 --> 00:28:06,360 Pada dasarnya hanya ada tanda minus dimana kita berharap ada tanda plus. -536 +530 00:28:07,680 --> 00:28:10,240 Caranya adalah dengan memasukkan z sama dengan yang negatif. -537 +531 00:28:10,800 --> 00:28:12,553 Jika Anda melakukan itu, pada dasarnya Anda mendapatkan -538 +532 00:28:12,553 --> 00:28:13,900 dampak negatif dari apa yang kami inginkan. -539 +533 00:28:13,900 --> 00:28:18,688 Jadi jika Anda mengalikannya dengan negatif satu, perhatikan bagaimana ruas kiri di sini, -540 +534 00:28:18,688 --> 00:28:22,520 yang awalnya negatif satu dikurangi satu, atau negatif dua, menjadi dua. -541 +535 00:28:23,240 --> 00:28:26,320 Dan kemudian sisi kanan berubah menjadi hal yang ingin kita evaluasi. -542 +536 00:28:27,000 --> 00:28:31,008 Jadi, seperti yang mungkin telah disarankan oleh intuisi geometri kita sebelumnya, -543 +537 00:28:31,008 --> 00:28:35,306 jawabannya tidak hanya berkisar pada dua, tetapi secara ajaib jawabannya ternyata justru -544 +538 00:28:35,306 --> 00:28:35,500 dua. -545 +539 00:28:36,380 --> 00:28:40,073 Itu sebenarnya sangat bagus dan sangat indah, karena ini berarti ekspresi yang -546 +540 00:28:40,073 --> 00:28:43,579 lebih besar yang ingin kita evaluasi, di mana kita menjumlahkan semua akar -547 +541 00:28:43,579 --> 00:28:47,320 kesatuan yang berbeda, kita mengetahui nilainya pada akar kesatuan yang pertama. -548 +542 00:28:47,580 --> 00:28:49,220 Ini akan menjadi dua pangkat 400. -549 +543 00:28:49,820 --> 00:28:52,855 Penalaran yang pada dasarnya identik menunjukkan bahwa nilainya pada -550 +544 00:28:52,855 --> 00:28:55,142 tiga akar kesatuan berikutnya juga dua pangkat 400, -551 +545 00:28:55,142 --> 00:28:58,661 karena ingat ketika Anda mengambil pangkat zeta kuadrat atau zeta pangkat tiga, -552 +546 00:28:58,661 --> 00:29:02,180 Anda mendapatkan daftar angka yang sama yang hanya dikocok dalam urutan berbeda. -553 +547 00:29:02,880 --> 00:29:06,120 Satu-satunya yang berbeda adalah ketika kita mengevaluasinya sebagai zeta to the zero. -554 +548 00:29:06,840 --> 00:29:09,895 Tapi zeta to the zero adalah cara yang bagus untuk mengatakan nomor satu, -555 +549 00:29:09,895 --> 00:29:11,960 dan kita tahu bagaimana mengevaluasinya sekaligus. -556 +550 00:29:12,220 --> 00:29:13,080 Itu salah satu hal yang mudah. -557 +551 00:29:13,140 --> 00:29:13,900 Kami melakukan ini sebelumnya. -558 +552 00:29:14,200 --> 00:29:16,951 Semua tanda kurung ini berubah menjadi dua, sehingga terlihat -559 +553 00:29:16,951 --> 00:29:19,880 seperti mengalikan dua dengan dirinya sendiri sebanyak 2.000 kali. -560 +554 00:29:20,520 --> 00:29:23,047 Dan pada akhirnya, kami memiliki jawaban jujur yang -561 +555 00:29:23,047 --> 00:29:25,720 sangat eksplisit terhadap pertanyaan penghitungan kami. -562 +556 00:29:26,160 --> 00:29:29,313 Untuk menjumlahkan semua koefisien yang habis dibagi lima, -563 +557 00:29:29,313 --> 00:29:33,749 yang perlu diingat adalah cara menghitung berapa banyak total himpunan bagian yang -564 +558 00:29:33,749 --> 00:29:38,346 jumlahnya habis dibagi lima, jawabannya adalah seperlima dari persamaan kompleks yang -565 +559 00:29:38,346 --> 00:29:42,943 aneh ini, yang baru saja kita hitung menjadi dua banding 2.000 ditambah empat salinan -566 +560 00:29:42,943 --> 00:29:44,440 berbeda dari dua hingga 400. -567 +561 00:29:45,520 --> 00:29:47,535 Dan di sini Anda mungkin ingin melakukan pemeriksaan -568 +562 00:29:47,535 --> 00:29:49,360 kewarasan sekilas apakah jawaban ini masuk akal. -569 +563 00:29:50,040 --> 00:29:53,798 Misalnya, jika Anda melakukannya dalam kasus yang lebih kecil dengan himpunan satu, -570 +564 00:29:53,798 --> 00:29:57,377 dua, tiga, empat, lima, dan Anda menelusuri semua alasan yang sama seperti yang -571 +565 00:29:57,377 --> 00:30:01,403 baru saja kita lakukan, ini memberi tahu Anda bahwa jawabannya adalah seperlima dari dua. -572 +566 00:30:01,403 --> 00:30:04,982 kelima, jumlah total himpunan bagian, ditambah empat kali dua dengan satu dalam -573 +567 00:30:04,982 --> 00:30:07,980 kasus ini, yaitu seperlima dari 32 ditambah delapan, yaitu delapan. -574 +568 00:30:08,440 --> 00:30:12,420 Dan jika Anda ingat ketika kami secara eksplisit melihat semuanya, itulah jawabannya. -575 +569 00:30:17,500 --> 00:30:20,880 Begini, ini adalah teka-teki yang sulit, dan jika ada gunanya meluangkan waktu untuk -576 +570 00:30:20,880 --> 00:30:24,300 memecahkan masalah yang sulit, ada baiknya juga meluangkan waktu untuk merenungkannya. -577 +571 00:30:24,420 --> 00:30:25,200 Apa yang Anda dapatkan dari ini? -578 +572 00:30:25,400 --> 00:30:27,000 Apa kesimpulannya? -579 +573 00:30:27,800 --> 00:30:32,187 Sekarang Anda dapat merenungkan jawabannya sendiri, -580 +574 00:30:32,187 --> 00:30:38,009 bagaimana bagian dominan memang seperlima dari total himpunan bagian -581 +575 00:30:38,009 --> 00:30:44,168 seperti yang sudah kita duga, dan bagaimana istilah kesalahan ini muncul -582 +576 00:30:44,168 --> 00:30:50,496 dari interferensi yang tidak terlalu merusak dalam kombinasi besar-besaran -583 +577 00:30:50,496 --> 00:30:52,100 dari akar kesatuan. -584 +578 00:30:52,100 --> 00:30:55,428 Namun sekali lagi, yang menarik dari pertanyaan ini bukanlah jawabannya, -585 +579 00:30:55,428 --> 00:30:58,847 melainkan cara kita menyelesaikannya, yaitu mengambil barisan diskrit yang -586 +580 00:30:58,847 --> 00:31:02,539 ingin kita pahami, dan memperlakukannya sebagai koefisien pada suatu polinomial, -587 +581 00:31:02,539 --> 00:31:05,640 kemudian mengevaluasi polinomial tersebut pada nilai-nilai kompleks. -588 +582 00:31:05,640 --> 00:31:06,960 Kedua langkah tersebut mungkin sangat tidak terduga pada awalnya, -589 +583 00:31:06,960 --> 00:31:08,340 namun kedua langkah tersebut berhubungan dengan beberapa teknik yang -590 +584 00:31:08,340 --> 00:31:09,880 sangat umum dan kuat yang dapat Anda temukan di bagian lain dalam matematika. -591 +585 00:31:09,880 --> 00:31:11,942 Sebagai contoh, di bagian atas pelajaran saya berjanji bahwa teknik yang akan -592 +586 00:31:11,942 --> 00:31:14,269 kita gunakan akan memiliki semangat yang serupa dengan cara mempelajari bilangan prima, -593 +587 00:31:14,269 --> 00:31:16,120 dan rangkaian ide yang mengarah pada hipotesis Riemann dan sejenisnya. -594 +588 00:31:16,500 --> 00:31:19,645 Ini adalah topik yang sangat indah, sehingga menurut saya agak -595 +589 00:31:19,645 --> 00:31:23,040 kriminal jika memasukkan versi terburu-buru ke bagian akhir di sini. -596 +590 00:31:23,340 --> 00:31:26,738 Hal yang benar untuk dilakukan, menurut saya, adalah membuat video yang saya janjikan -597 +591 00:31:26,738 --> 00:31:29,820 beberapa waktu lalu tentang fungsi zeta, luangkan waktu, lakukan dengan benar. -598 +592 00:31:30,440 --> 00:31:33,177 Namun jika Anda penasaran, dan jika Anda mengizinkan saya menampilkan -599 +593 00:31:33,177 --> 00:31:35,719 beberapa hal di layar tanpa menjelaskannya, berikut adalah versi -600 +594 00:31:35,719 --> 00:31:38,300 dua atau tiga kalimat yang menjelaskan bagaimana keduanya paralel. -601 +595 00:31:39,020 --> 00:31:42,275 Sama seperti teka-teki himpunan bagian kita, cara Riemann mempelajari -602 +596 00:31:42,275 --> 00:31:45,344 bilangan prima melibatkan barisan diskrit yang ingin kita pahami, -603 +597 00:31:45,344 --> 00:31:47,902 sesuatu yang membawa informasi tentang bilangan prima, -604 +598 00:31:47,902 --> 00:31:51,250 dan kemudian mempertimbangkan fungsi yang koefisiennya adalah suku-suku -605 +599 00:31:51,250 --> 00:31:52,320 dalam barisan tersebut. -606 +600 00:31:53,120 --> 00:31:56,045 Dalam hal ini, ini bukan polinomial, melainkan struktur terkait -607 +601 00:31:56,045 --> 00:31:58,742 yang dikenal sebagai deret Dirichlet, atau deret Dirichlet -608 +602 00:31:58,742 --> 00:32:01,760 tergantung pada siapa Anda bertanya, tetapi gagasan dasarnya sama. -609 +603 00:32:02,160 --> 00:32:06,862 Maka cara untuk memilah informasi tentang koefisien tersebut berasal dari mempelajari -610 +604 00:32:06,862 --> 00:32:11,400 bagaimana fungsi ini berperilaku, Anda dapat menebaknya, masukan bernilai kompleks. -611 +605 00:32:12,360 --> 00:32:14,971 Teknik dalam kasusnya menjadi jauh lebih canggih, -612 +606 00:32:14,971 --> 00:32:19,044 lagipula Riemann adalah pionir dalam analisis kompleks, namun faktanya tetap, -613 +607 00:32:19,044 --> 00:32:22,856 memperluas domain Anda melampaui bilangan real seperti ini memberi Anda, -614 +608 00:32:22,856 --> 00:32:27,400 sebagai ahli matematika, lebih banyak kekuatan dalam membuat deduksi tentang koefisien. -615 +609 00:32:28,700 --> 00:32:32,554 Bagi sebagian pemirsa, semua ini mungkin menyisakan pertanyaan -616 +610 00:32:32,554 --> 00:32:35,920 mengapa bilangan kompleks sangat berguna dalam hal ini. -617 +611 00:32:36,660 --> 00:32:39,121 Ini adalah pertanyaan yang sulit untuk dijawab dengan tepat, -618 +612 00:32:39,121 --> 00:32:42,550 tetapi jika Anda berpikir tentang teka-teki kami, semua yang baru saja kami lakukan, -619 +613 00:32:42,550 --> 00:32:45,738 segera setelah kami berada dalam situasi di mana memasukkan input yang berbeda -620 +614 00:32:45,738 --> 00:32:48,482 mengungkapkan informasi tersembunyi tentang koefisien, itu seperti, -621 +615 00:32:48,482 --> 00:32:51,346 semakin banyak input yang Anda masukkan dapat digunakan, semakin baik, -622 +616 00:32:51,346 --> 00:32:54,211 jadi sebaiknya Anda membuka diri terhadap ruang angka yang lebih kaya, -623 +617 00:32:54,211 --> 00:32:55,180 seperti bidang kompleks. -624 +618 00:32:55,840 --> 00:32:59,560 Namun ada intuisi yang lebih spesifik yang saya ingin Anda sampaikan di sini. -625 +619 00:33:00,060 --> 00:33:02,890 Dalam teka-teki kita, fakta relevan yang kita inginkan, -626 +620 00:33:02,890 --> 00:33:06,580 jumlah dari setiap koefisien kelima, adalah semacam pertanyaan frekuensi. -627 +621 00:33:06,840 --> 00:33:10,821 Dan alasan sebenarnya mengapa bilangan kompleks, dibandingkan dengan struktur lainnya, -628 +622 00:33:10,821 --> 00:33:13,979 terbukti berguna bagi kita, adalah karena kita dapat menemukan nilai -629 +623 00:33:13,979 --> 00:33:16,680 agar produk yang berurutan memiliki perilaku bersepeda ini. -630 +624 00:33:17,000 --> 00:33:21,087 Penggunaan nilai-nilai pada lingkaran satuan, dan khususnya akar kesatuan, -631 +625 00:33:21,087 --> 00:33:24,140 untuk memilah informasi frekuensi, sangatlah bermanfaat. -632 +626 00:33:24,400 --> 00:33:28,300 Hampir tidak mungkin untuk melebih-lebihkan betapa bermanfaatnya gagasan itu. -633 +627 00:33:28,580 --> 00:33:31,855 Sekadar memberikan satu dari ribuan contoh, pada tahun 1990an -634 +628 00:33:31,855 --> 00:33:35,077 Peter Shor menemukan cara agar komputer kuantum memfaktorkan -635 +629 00:33:35,077 --> 00:33:38,300 bilangan besar jauh lebih cepat dibandingkan komputer klasik. -636 +630 00:33:38,620 --> 00:33:42,151 Dan jika Anda masuk dan melihat rincian bagaimana apa yang sekarang -637 +631 00:33:42,151 --> 00:33:45,268 kita sebut algoritma Shor bekerja, ide dasarnya adalah ini, -638 +632 00:33:45,268 --> 00:33:48,800 penggunaan akar kesatuan untuk mendeteksi jenis informasi frekuensi. -639 +633 00:33:49,320 --> 00:33:52,696 Secara umum, ini adalah gagasan inti yang mendasari transformasi Fourier -640 +634 00:33:52,696 --> 00:33:56,120 dan deret Fourier, serta topik-topik yang tak terhingga yang mengikutinya. -641 +635 00:33:56,980 --> 00:33:59,160 Mengenai topik pembangkitan fungsi itu sendiri, -642 +636 00:33:59,160 --> 00:34:01,295 kami baru menyentuh permukaannya saja di sini, -643 +637 00:34:01,295 --> 00:34:04,929 dan jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut, saya sangat merekomendasikan buku -644 +638 00:34:04,929 --> 00:34:08,199 yang diberi judul lucu ini, Generating Functionology, oleh Herbert Wilf. -645 +639 00:34:08,540 --> 00:34:10,815 Dan saya juga akan memberikan beberapa teka-teki menyenangkan di layar di sini -646 +640 00:34:10,815 --> 00:34:13,120 untuk siapa saja yang ingin sedikit melenturkan otot mereka dengan ide tersebut.