From 491e9031e82afbfe0cf66ca8158b6b988b330878 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Grant Sanderson Date: Wed, 6 Mar 2024 07:41:08 -0800 Subject: [PATCH] Edit "eulers-number (italian)" by @Deye27 (#296) * Edit "eulers-number (italian)" by @Deye27 * Edit "eulers-number (italian)" by @Deye27 * Edit "eulers-number (italian)" by @Deye27 --- 2017/eulers-number/italian/description.json | 220 +-- .../italian/sentence_translations.json | 1456 ++++++++--------- 2017/eulers-number/italian/title.json | 6 +- 3 files changed, 841 insertions(+), 841 deletions(-) diff --git a/2017/eulers-number/italian/description.json b/2017/eulers-number/italian/description.json index 8fba1c75b..f1e176028 100644 --- a/2017/eulers-number/italian/description.json +++ b/2017/eulers-number/italian/description.json @@ -1,112 +1,112 @@ [ - { - "input": "What is e? And why are exponentials proportional to their own derivatives?", - "translatedText": "Cos'è e? E perché gli esponenziali sono proporzionali alle proprie derivate?", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown", - "translatedText": "Aiuta a finanziare progetti futuri: https://www.patreon.com/3blue1brown", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "An equally valuable form of support is to simply share some of the videos.", - "translatedText": "Una forma di supporto altrettanto preziosa è semplicemente condividere alcuni video.", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "Special thanks to these supporters: http://3b1b.co/lessons/eulers-number#thanks", - "translatedText": "Un ringraziamento speciale a questi sostenitori: http://3b1b.co/lessons/eulers-number#thanks", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "Home page: https://www.3blue1brown.com", - "translatedText": "Pagina iniziale: https://www.3blue1brown.com", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "Timestamps", - "translatedText": "Timestamp", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "0:00 - Motivating example", - "translatedText": "0:00 - Esempio motivante", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "3:57 - Deriving the key proportionality property", - "translatedText": "3:57 - Derivazione della proprietà chiave di proporzionalità", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "7:36 - What is e?", - "translatedText": "7:36​ - Cos'è e?", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "8:48 - Natural logs", - "translatedText": "8:48 - Logaritmi naturali", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "11:23 - Writing e^ct is a choice", - "translatedText": "11:23 - Scrivere e^ct è una scelta", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "Corrections:", - "translatedText": "Correzioni:", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "9:40 - I meant to say \"*the derivative of* e to the power of some constant...\"", - "translatedText": "9:40 - Volevo dire “*la derivata di* e elevata alla potenza di qualche costante...”", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "12:30 - What's written as \"(1 + r)\" should really just be r, by any usual convention for how to write an interest rate.", - "translatedText": "12:30 - Ciò che è scritto come “(1 + r)” dovrebbe in realtà essere solo r, secondo qualsiasi convenzione su come scrivere un tasso di interesse.", - "n_reviews": 1 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - }, - { - "input": "", - "translatedText": "", - "n_reviews": 0 - } + { + "input": "What is e? 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function 2 to the x.", - "translatedText": "Innanzitutto, per avere un'idea, concentriamoci sulla funzione 2^x.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 32.24, - "end": 36.12 - }, - { - "input": "Let's think of that input as a time, t, maybe in days, and the output, 2 to the t, as a population size, perhaps of a particularly fertile band of pie creatures which doubles every single day.", - "translatedText": "Pensiamo a quell'input come a un tempo, t, forse in giorni, e all'output, 2^t, come alla dimensione della popolazione, forse di una fascia particolarmente fertile di creature della torta che raddoppia ogni singolo giorno.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 36.92, - "end": 49.32 - }, - { - "input": "And actually, instead of population size, which grows in discrete little jumps with each new baby pie creature, maybe let's think of 2 to the t as the total mass of the population.", - "translatedText": "E in realtà, invece della dimensione della popolazione, che cresce a piccoli salti discreti con ogni nuova creatura della torta, pensiamo magari a 2^t come la massa totale della popolazione.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 50.56, - "end": 61.52 - }, - { - "input": "I think that better reflects the continuity of this function, don't you?", - "translatedText": "Penso che questo rifletta meglio la continuità di questa funzione, no?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 62.22, - "end": 65.32 - }, - { - "input": "So for example, at time t equals 0, the total mass is 2 to the 0 equals 1 for the mass of one creature.", - "translatedText": "Quindi, ad esempio, al tempo t uguale a 0, la massa totale è 2^0 uguale a 1 per la massa di una creatura.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 66.38, - "end": 73.68 - }, - { - "input": "At t equals 1 day, the population has grown to 2 to the 1 equals 2 creature masses.", - "translatedText": "A t uguale a 1 giorno, la popolazione è cresciuta fino a 2^1 uguale a 2 masse di creature.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 74.41, - "end": 80.2 - }, - { - "input": "At day t equals 2, it's t squared, or 4, and in general it just keeps doubling every day.", - "translatedText": "Al giorno t uguale a 2, è t al quadrato, o 4, e in generale continua a raddoppiare ogni giorno.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 81.16, - "end": 87.12 - }, - { - "input": "For the derivative, we want dm dt, the rate at which this population mass is growing, thought of as a tiny change in the mass divided by a tiny change in time.", - "translatedText": "Per la derivata, vogliamo dm dt, il tasso al quale questa massa di popolazione cresce, intesa come una piccola variazione nella massa divisa per una piccola variazione nel tempo.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 88.26, - "end": 98.92 - }, - { - "input": "And let's start by thinking of the rate of change over a full day, say between day 3 and day 4.", - "translatedText": "E cominciamo pensando al tasso di variazione nell'arco di una giornata intera, diciamo tra il giorno 3 e il giorno 4.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 99.84, - "end": 106.06 - }, - { - "input": "In this case, it grows from 8 to 16, so that's 8 new creature masses added over the course of 1 day.", - "translatedText": "In questo caso, cresce da 8 a 16, quindi si tratta di 8 nuove masse di creature aggiunte nel corso di 1 giorno.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 106.5, - "end": 114.22 - }, - { - "input": "And notice that rate of growth equals the population size at the start of the day.", - "translatedText": "E notate che il tasso di crescita è uguale alla dimensione della popolazione all’inizio della giornata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 115.06, - "end": 119.84 - }, - { - "input": "Between day 4 and day 5, it grows from 16 to 32, so that's a rate of 16 new creature masses per day, which again equals the population size at the start of the day.", - "translatedText": "Tra il giorno 4 e il giorno 5, cresce da 16 a 32, quindi si tratta di un tasso di 16 nuove masse di creature al giorno, che equivale ancora una volta alla dimensione della popolazione all'inizio della giornata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 121.48, - "end": 132.76 - }, - { - "input": "And in general, this rate of growth over a full day equals the population size at the start of that day.", - "translatedText": "E in generale, questo tasso di crescita nell’arco di un giorno intero equivale alla dimensione della popolazione all’inizio di quel giorno.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 133.52, - "end": 140.66 - }, - { - "input": "So it might be tempting to say that this means the derivative of 2 to the t equals itself, that the rate of change of this function at a given time t is equal to the value of that function.", - "translatedText": "Quindi si potrebbe essere tentati di dire che questo significa che la derivata di 2 di t è uguale a se stessa, che il tasso di variazione di questa funzione in un dato istante t è uguale al valore di quella funzione.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 141.68, - "end": 154.12 - }, - { - "input": "And this is definitely in the right direction, but it's not quite correct.", - "translatedText": "E questo è sicuramente nella giusta direzione, ma non è del tutto corretto.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 154.12, - "end": 158.88 - }, - { - "input": "What we're doing here is making comparisons over a full day, considering the difference between 2 to the t plus 1 and 2 to the t.", - "translatedText": "Quello che stiamo facendo qui è fare confronti nell'arco di un'intera giornata, considerando la differenza tra 2 alla t più 1 e 2 alla t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 159.46, - "end": 167.72 - }, - { - "input": "But for the derivative, we need to ask what happens for smaller and smaller changes.", - "translatedText": "Ma per la derivata, dobbiamo chiederci cosa succede per cambiamenti sempre più piccoli.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 168.56, - "end": 173.34 - }, - { - "input": "What's the growth over the course of a tenth of a day, a hundredth of a day, one one billionth of a day?", - "translatedText": "Qual è la crescita nel corso di un decimo di giorno, un centesimo di giorno, un miliardesimo di giorno?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 173.96, - "end": 179.22 - }, - { - "input": "This is why I had us think of the function as representing population mass, since it makes sense to ask about a tiny change in mass over a tiny fraction of a day, but it doesn't make as much sense to ask about the tiny change in a discrete population size per second.", - "translatedText": "Ecco perché ho presentato la funzione come rappresentazione della massa della popolazione, poiché ha senso chiedere informazioni su un piccolo cambiamento di massa in una piccola frazione di giorno, ma non ha altrettanto senso chiedere informazioni su un piccolo cambiamento in una dimensione di popolazione discreta al secondo.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 179.96, - "end": 194.96 - }, - { - "input": "More abstractly, for a tiny change in time, dt, we want to understand the difference between 2 to the t plus dt and 2 to the t, all divided by dt, the change in the function per unit time, but now we're looking very narrowly, around a given point in time, rather than over the course of a full day.", - "translatedText": "Più astrattamente, per una piccola variazione di tempo, dt, vogliamo capire la differenza tra 2^t più dt e 2^t, il tutto diviso per dt, la variazione della funzione per unità di tempo, ma ora siamo guardando in modo molto ristretto, attorno a un dato momento nel tempo, piuttosto che nel corso di un'intera giornata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 195.9, - "end": 216.4 - }, - { - "input": "And here's the thing, I would love if there was some very clear geometric picture that made everything that's about to follow just pop out, some diagram where you could point to one value and say, see, that part, that is the derivative of 2 to the t.", - "translatedText": "Ed ecco il punto, mi piacerebbe se ci fosse qualche immagine geometrica molto chiara che facesse emergere tutto ciò che seguirà, qualche diagramma in cui potresti indicare un valore e dire, vedi, quella parte, che è la derivata di 2^t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 219.58, - "end": 233.48 - }, - { - "input": "And if you know of one, please let me know.", - "translatedText": "E se ne conoscete uno, fatemelo sapere.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 234.38, - "end": 236.64 - }, - { - "input": "And while the goal here, as with the rest of the series, is to maintain a playful spirit of discovery, the type of play that follows will have more to do with finding numerical patterns rather than visual ones.", - "translatedText": "E mentre l'obiettivo qui, come nel resto della serie, è quello di mantenere uno spirito giocoso di scoperta, il tipo di gioco che segue avrà più a che fare con la ricerca di schemi numerici piuttosto che visivi.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 237.02, - "end": 247.66 - }, - { - "input": "So start by just taking a very close look at this term, 2 to the t plus dt.", - "translatedText": "Quindi inizia dando un'occhiata molto da vicino a questo termine, 2^t più dt.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 248.68, - "end": 253.56 - }, - { - "input": "A core property of exponentials is that you can break this up as 2 to the t times 2 to the dt.", - "translatedText": "Una proprietà fondamentale degli esponenziali è che puoi scomporlo come 2^t per 2^dt.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 254.36, - "end": 260.72 - }, - { - "input": "That really is the most important property of exponents.", - "translatedText": "Questa è davvero la proprietà più importante degli esponenti.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 261.26, - "end": 264.12 - }, - { - "input": "If you add two values in that exponent, you can break up the output as a product of some kind.", - "translatedText": "Se aggiungi due valori in quell'esponente, puoi suddividere l'output come un prodotto di qualche tipo.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 264.66, - "end": 270.14 - }, - { - "input": "This is what lets you relate additive ideas, things like tiny steps in time, to multiplicative ideas, things like rates and ratios.", - "translatedText": "Ciò ti consente di mettere in relazione idee aggiuntive, cose come piccoli passi nel tempo, con idee moltiplicative, cose come tassi e rapporti.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 270.82, - "end": 277.68 - }, - { - "input": "I mean, just look at what happens here.", - "translatedText": "Guarda cosa succede qui.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 278.42, - "end": 279.96 - }, - { - "input": "After that move, we can factor out the term 2 to the t, which is now multiplied by 2 to the dt minus 1, all divided by dt.", - "translatedText": "Dopo questa mossa, possiamo scomporre il termine 2^t, che ora viene moltiplicato per 2^dt meno 1, il tutto diviso per dt.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 280.84, - "end": 289.84 - }, - { - "input": "And remember, the derivative of 2 to the t is whatever this whole expression approaches as dt approaches 0.", - "translatedText": "E ricorda, la derivata di 2^t è qualunque cosa a cui l'intera espressione si avvicina quando dt si avvicina a 0.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 290.72, - "end": 297.46 - }, - { - "input": "At first glance, that might seem like an unimportant manipulation, but a tremendously important fact is that this term on the right, where all of the dt stuff lives, is completely separate from the t term itself.", - "translatedText": "A prima vista, questo potrebbe sembrare una manipolazione poco importante, ma un fatto tremendamente importante è che questo termine a destra, dove risiede tutta la roba dt, è completamente separato dal termine t stesso.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 298.54, - "end": 310.78 - }, - { - "input": "It doesn't depend on the actual time where we started.", - "translatedText": "Non dipende dall'ora effettiva da cui abbiamo iniziato.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 311.26, - "end": 313.92 - }, - { - "input": "You can go off to a calculator and plug in very small values for dt here, for example maybe typing in 2 to the 0.001 minus 1 divided by 0.001.", - "translatedText": "Puoi usare una calcolatrice e inserire qui valori molto piccoli per dt, ad esempio magari digitando 2^0,001 meno 1, diviso 0,001.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 314.62, - "end": 326.34 - }, - { - "input": "What you'll find is that for smaller and smaller choices of dt, this value approaches a very specific number, around 0.6931.", - "translatedText": "Quello che scoprirai è che per scelte di dt sempre più piccole, questo valore si avvicina a un numero molto specifico, intorno a 0,6931.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 327.76, - "end": 337.56 - }, - { - "input": "Don't worry if that number seems mysterious, the central point is that this is some kind of constant.", - "translatedText": "Non preoccuparti se ti sembra misterioso, il punto centrale è che si tratta di una sorta di costante.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 338.64, - "end": 343.58 - }, - { - "input": "Unlike derivatives of other functions, all of the stuff that depends on dt is separate from the value of t itself.", - "translatedText": "A differenza delle derivate di altre funzioni, tutto ciò che dipende da dt è separato dal valore di t stesso.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 344.5, - "end": 352.14 - }, - { - "input": "The derivative of 2 to the t is just itself, but multiplied by some constant.", - "translatedText": "La derivata di 2^t è semplicemente se stessa, ma moltiplicata per una costante.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 352.84, - "end": 358.12 - }, - { - "input": "That should make sense, because earlier it felt like the derivative for 2 to the t should be itself, at least when we were looking at changes over the course of a full day.", - "translatedText": "Questo dovrebbe avere senso, perché prima sembrava che la derivata di 2^t dovesse essere se stessa, almeno quando osservavamo i cambiamenti nel corso di un'intera giornata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 359.3, - "end": 368.44 - }, - { - "input": "And evidently, the rate of change for this function over much smaller timescales is not quite equal to itself, but it's proportional to itself, with this very peculiar proportionality constant of 0.6931.", - "translatedText": "Ed evidentemente, il tasso di cambiamento di questa funzione su scale temporali molto più piccole non è del tutto uguale a se stesso, ma proporzionale a se stesso, con questa peculiare costante di proporzionalità pari a 0,6931.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 369.03, - "end": 382.8 - }, - { - "input": "And there's not too much special about the number 2 here.", - "translatedText": "E non c'è molto di speciale nel numero 2 qui.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 389.04, - "end": 392.2 - }, - { - "input": "If instead we had dealt with the function 3 to the t, the exponential property would also have led us to the conclusion that the derivative of 3 to the t is proportional to itself.", - "translatedText": "Se invece ci fossimo occupati della funzione 3^t, anche la proprietà esponenziale ci avrebbe portato alla conclusione che la derivata di 3^t è proporzionale a se stessa.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 392.84, - "end": 403.06 - }, - { - "input": "But this time it would have had a proportionality constant 1.0986.", - "translatedText": "Ma questa volta avrebbe avuto una costante di proporzionalità 1,0986.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 403.6, - "end": 408.12 - }, - { - "input": "And for other bases to your exponent, you can have fun trying to see what the various proportionality constants are, maybe seeing if you can find a pattern in them.", - "translatedText": "E per altre basi rispetto all'esponente, puoi divertirti a provare a vedere quali sono le varie costanti di proporzionalità, magari vedendo se riesci a trovare uno schema.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 409.2, - "end": 417.52 - }, - { - "input": "For example, if you plug in 8 to the power of a very tiny number, minus 1, and divide by that same tiny number, what you'd find is that the relevant proportionality constant is around 2.079.", - "translatedText": "Ad esempio, se aggiungi 8 alla potenza di un numero molto piccolo, meno 1, e dividi per lo stesso numero piccolo, quello che scoprirai è che la costante di proporzionalità rilevante è circa 2,079.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 418.4, - "end": 432.14 - }, - { - "input": "And maybe, just maybe, you would notice that this number happens to be exactly 3 times the constant associated with the base for 2.", - "translatedText": "E forse, solo forse, noterai che questo numero è esattamente 3 volte la costante associata alla base di 2.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 432.66, - "end": 441.7 - }, - { - "input": "So these numbers certainly aren't random, there is some kind of pattern, but what is it?", - "translatedText": "Quindi questi numeri certamente non sono casuali, esiste una sorta di schema, ma di cosa si tratta?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 442.46, - "end": 447.96 - }, - { - "input": "What does 2 have to do with the number 0.6931?", - "translatedText": "Cosa c'entra il 2 con il numero 0,6931?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 448.18, - "end": 451.52 - }, - { - "input": "And what does 8 have to do with the number 2.079?", - "translatedText": "E cosa c'entra l'8 con il numero 2,079?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 452.02, - "end": 455.4 - }, - { - "input": "Well, a second question that is ultimately going to explain these mystery constants is whether there is some base where that proportionality constant is 1, where the derivative of a to the power t is not just proportional to itself, but actually equal to itself.", - "translatedText": "Beh, una seconda domanda che alla fine spiegherà queste costanti misteriose è se esiste una base in cui la costante di proporzionalità è 1, dove la derivata di a^t non è solo proporzionale a se stessa, ma effettivamente uguale a se stessa.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 456.78, - "end": 473.18 - }, - { - "input": "And there is!", - "translatedText": "Ed esiste!", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 473.72, - "end": 474.68 - }, - { - "input": "It's the special constant e, around 2.71828.", - "translatedText": "È la costante speciale e, intorno a 2,71828.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 475.08, - "end": 479.3 - }, - { - "input": "In fact, it's not just that the number e happens to show up here, this is in a sense what defines the number e.", - "translatedText": "Infatti, non è solo il fatto che il numero e appaia qui, questo è in un certo senso ciò che definisce il numero e.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 480.32, - "end": 487.22 - }, - { - "input": "If you ask why does e of all numbers have this property, it's a little like asking why does pi of all numbers happen to be the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", - "translatedText": "Se ti chiedi perché e tra tutti i numeri ha questa proprietà, è un po' come chiedere perché pi tra tutti i numeri è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 488.6, - "end": 498.12 - }, - { - "input": "This is at its heart what defines this value.", - "translatedText": "Questo è in sostanza ciò che definisce questo valore.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 498.67, - "end": 501.28 - }, - { - "input": "All exponential functions are proportional to their own derivative, but e alone is the special number so that that proportionality constant is 1, meaning e to the t actually equals its own derivative.", - "translatedText": "Tutte le funzioni esponenziali sono proporzionali alla propria derivata, ma solo e è il numero speciale che fa sì che la costante di proporzionalità sia 1, il che significa che e^t in realtà è uguale alla propria derivata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 502.06, - "end": 514.14 - }, - { - "input": "One way to think of that is that if you look at the graph of e to the t, it has the peculiar property that the slope of a tangent line to any point on this graph equals the height of that point above the horizontal axis.", - "translatedText": "Un modo per pensarci è che se guardi il grafico di e^t, esso ha la proprietà peculiare che la pendenza di una linea tangente a qualsiasi punto di questo grafico è uguale all'altezza di quel punto sopra l'asse orizzontale.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 515.44, - "end": 527.64 - }, - { - "input": "The existence of a function like this answers the question of the mystery constants, and it's because it gives a different way to think about functions that are proportional to their own derivative.", - "translatedText": "L'esistenza di una funzione come questa risponde alla domanda sulle costanti misteriose, ed è perché offre un modo diverso di pensare alle funzioni proporzionali alla propria derivata.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 528.76, - "end": 538.3 - }, - { - "input": "The key is to use the chain rule.", - "translatedText": "La chiave è usare la regola della catena.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 539.2, - "end": 541 - }, - { - "input": "For example, what is the derivative of e to the 3t?", - "translatedText": "Ad esempio, qual è la derivata di e^3t?", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 541.92, - "end": 545.3 - }, - { - "input": "Well you take the derivative of the outermost function, which due to this special nature of e is just itself, and then multiply by the derivative of that inner function 3t, which is the constant 3.", - "translatedText": "Beh, prendi la derivata della funzione più esterna, che a causa della natura speciale di e è semplicemente se stessa, e poi la moltiplichi per la derivata di quella funzione interna 3t, che è la costante 3.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 546.34, - "end": 558.42 - }, - { - "input": "Or rather than just applying a rule blindly, you could take this moment to practice the intuition for the chain rule that I talked through last video, thinking about how a slight nudge to t changes the value of 3t, and how that intermediate change nudges the final value of e to the 3t.", - "translatedText": "O, piuttosto che applicare una regola alla cieca, potresti sfruttare questo momento per mettere in pratica l'intuizione della regola della catena di cui ho parlato nell'ultimo video, pensando a come una leggera spinta a t cambi il valore di 3t, e come quel cambiamento intermedio sposti il valore finale di e^3t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 559.46, - "end": 575.72 - }, - { - "input": "Either way, the point is e to the power of some constant times t is equal to that same constant times itself.", - "translatedText": "In ogni caso, il punto è che e elevato a qualche tempo costante t è uguale a quella stessa costante moltiplicata per se stesso.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 578.42, - "end": 586.8 - }, - { - "input": "And from here, the question of those mystery constants really just comes down to a certain algebraic manipulation.", - "translatedText": "E da qui, la questione di quelle costanti misteriose si riduce in realtà solo a una certa manipolazione algebrica.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 587.96, - "end": 594.64 - }, - { - "input": "The number 2 can also be written as e to the natural log of 2.", - "translatedText": "Il numero 2 può anche essere scritto come e^logaritmo naturale di 2.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 596.3, - "end": 601.06 - }, - { - "input": "There's nothing fancy here, this is just the definition of the natural log.", - "translatedText": "Nulla di speciale qui, questa è solo la definizione di logaritmo naturale.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 601.06, - "end": 605.86 - }, - { - "input": "It asks the question e to the what equals 2.", - "translatedText": "Pone la domanda e a cosa è uguale a 2.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 606.34, - "end": 609.48 - }, - { - "input": "So the function 2 to the t is the same as the function e to the power of the natural log of 2 times t.", - "translatedText": "Quindi la funzione 2^t è la stessa cosa di funzione e^logaritmo naturale di 2 per t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 610.82, - "end": 618.38 - }, - { - "input": "And from what we just saw, combining the fact that e to the t is its own derivative with the chain rule, the derivative of this function is proportional to itself, with a proportionality constant equal to the natural log of 2.", - "translatedText": "E da quanto appena visto, combinando il fatto che e^t è la propria derivata con la regola della catena, la derivata di questa funzione è proporzionale a se stessa, con costante di proporzionalità pari al logaritmo naturale di 2.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 620.32, - "end": 633 - }, - { - "input": "And indeed, if you go plug in the natural log of 2 to a calculator, you'll find that it's 0.6931, the mystery constant we ran into earlier.", - "translatedText": "E in effetti, se calcoli il logaritmo naturale di 2 con una calcolatrice, scoprirai che è 0,6931, la costante misteriosa in cui ci siamo imbattuti in precedenza.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 634.08, - "end": 642.92 - }, - { - "input": "And the same goes for all the other bases.", - "translatedText": "E lo stesso vale per tutte le altre basi.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 643.98, - "end": 646.22 - }, - { - "input": "The mystery proportionality constant that pops up when taking derivatives is just the natural log of the base.", - "translatedText": "La misteriosa costante di proporzionalità che appare quando si prendono le derivate è semplicemente il logaritmo naturale della base.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 646.76, - "end": 653.42 - }, - { - "input": "The answer to the question e to the what equals that base.", - "translatedText": "La risposta a \"e a quale potenza dà quella base?\".", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 653.42, - "end": 653.42 - }, - { - "input": "In fact, throughout applications of calculus, you rarely see exponentials written as some base to a power t.", - "translatedText": "In effetti, in tutte le applicazioni del calcolo infinitesimale, raramente si vedono esponenziali scritti come base di una potenza alla t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 653.42, - "end": 667.38 - }, - { - "input": "Instead you almost always write the exponential as e to the power of some constant times t.", - "translatedText": "Invece scrivi quasi sempre l'esponenziale come e elevato a una potenza di alcune costanti moltiplicate per t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 668.06, - "end": 673.32 - }, - { - "input": "It's all equivalent, I mean any function like 2 to the t or 3 to the t can also be written as e to some constant times t.", - "translatedText": "È tutto equivalente, voglio dire, qualsiasi funzione come 2^t o 3^t può anche essere scritta come e^qualche costante per t.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 674.2, - "end": 682.44 - }, - { - "input": "At the risk of staying over-focused on the symbols here, I want to emphasize that there are many ways to write down any particular exponential function.", - "translatedText": "A rischio di rimanere troppo concentrato sui simboli, voglio sottolineare che esistono molti modi per scrivere qualsiasi particolare funzione esponenziale.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 684.52, - "end": 693.74 - }, - { - "input": "And when you see something written as e to some constant times t, that's a choice we make to write it that way, and the number e is not fundamental to that function itself.", - "translatedText": "E quando vedi qualcosa scritto come e^qualche costante t, è una scelta che facciamo di scriverlo in quel modo, e il numero e non è fondamentale per quella funzione in sé.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 694.5, - "end": 704.94 - }, - { - "input": "What is special about writing exponentials in terms of e like this is that it gives that constant in the exponent a nice readable meaning.", - "translatedText": "La particolarità di scrivere esponenziali in termini di e in questo modo è che conferisce a quella costante nell'esponente un significato gradevole e leggibile.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 705.56, - "end": 713.78 - }, - { - "input": "Here, let me show you what I mean.", - "translatedText": "Ecco, ti mostro cosa intendo.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 714.44, - "end": 715.54 - }, - { - "input": "All sorts of natural phenomena involve some rate of change that's proportional to the thing that's changing.", - "translatedText": "Tutti i tipi di fenomeni naturali implicano un tasso di cambiamento proporzionale alla cosa che sta cambiando.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 716.28, - "end": 722.26 - }, - { - "input": "For example, the rate of growth of a population actually does tend to be proportional to the size of the population itself, assuming there isn't some limited resource slowing things down.", - "translatedText": "Ad esempio, il tasso di crescita di una popolazione tende davvero a essere proporzionale alla dimensione della popolazione stessa, ammesso che non ci siano risorse limitate a rallentare il processo.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 723.26, - "end": 733.48 - }, - { - "input": "And if you put a cup of hot water in a cool room, the rate at which the water cools is proportional to the difference in temperature between the room and the water, or said a little differently, the rate at which that difference changes is proportional to itself.", - "translatedText": "E se metti un bicchiere di acqua calda in una stanza fresca, la velocità con cui l'acqua si raffredda è proporzionale alla differenza di temperatura tra la stanza e l'acqua, ovvero la velocità con cui tale differenza cambia è proporzionale a se stessa.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 734.1, - "end": 750.82 - }, - { - "input": "If you invest your money, the rate at which it grows is proportional to the amount of money there at any time.", - "translatedText": "Se investi i tuoi soldi, il tasso di crescita è proporzionale alla quantità di denaro presente in qualsiasi momento.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 751.96, - "end": 759.08 - }, - { - "input": "In all of these cases, where some variable's rate of change is proportional to itself, the function describing that variable over time is going to look like some kind of exponential.", - "translatedText": "In tutti questi casi, in cui il tasso di variazione di una variabile è proporzionale a se stesso, la funzione che descrive quella variabile nel tempo sembrerà una sorta di esponenziale.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 759.94, - "end": 770.64 - }, - { - "input": "And even though there are lots of ways to write any exponential function, it's very natural to choose to express these functions as e to the power of some constant times t, since that constant carries a very natural meaning.", - "translatedText": "E anche se ci sono molti modi per scrivere qualsiasi funzione esponenziale, è molto naturale scegliere di esprimere queste funzioni come e elevato a una certa costante moltiplicata per t, poiché quella costante ha un significato molto naturale.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 771.76, - "end": 784.9 - }, - { - "input": "It's the same as the proportionality constant between the size of the changing variable and the rate of change.", - "translatedText": "È uguale alla costante di proporzionalità tra la dimensione della variabile che cambia e il tasso di variazione.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 784.9, - "end": 791.72 - }, - { - "input": "And as always, I want to thank those who have made this series possible.", - "translatedText": "E come sempre, un ringraziamento a chi ha reso possibile questa serie.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 794.76, - "end": 797.86 - }, - { - "input": "Thank you.", - "translatedText": "Grazie.", - "model": "google_nmt", - "n_reviews": 1, - "start": 814.9, - "end": 829.5 - } + { + "input": "I've introduced a few derivative formulas, but a really important one that I left out was exponentials.", + "translatedText": "Ho introdotto alcune formule delle derivate, ma una cosa importante che ho tralasciato era quella degli esponenziali.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 14.76, + "end": 20.16 + }, + { + "input": "So here I want to talk about the derivatives of functions like 2 to the x, 7 to the x, and also to show why e to the x is arguably the most important of the exponentials.", + "translatedText": "Quindi qui voglio parlare delle derivate di funzioni come 2 alla x, 7 alla x, e anche mostrare perché e alla x è probabilmente il più importante degli esponenziali.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 20.84, + "end": 31.04 + }, + { + "input": "First of all, to get an intuition, let's just focus on the function 2 to the x.", + "translatedText": "Innanzitutto, per avere un'intuizione, concentriamoci sulla funzione 2 alla x.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 32.24, + "end": 36.12 + }, + { + "input": "Let's think of that input as a time, t, maybe in days, and the output, 2 to the t, as a population size, perhaps of a particularly fertile band of pi creatures which doubles every single day.", + "translatedText": "Pensiamo a quell'input come fosse un tempo, t, forse in giorni, e all'output, 2 alla t, come alla dimensione della popolazione, forse di una fascia particolarmente fertile di creature di pi greco che raddoppia ogni singolo giorno.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 36.92, + "end": 49.32 + }, + { + "input": "And actually, instead of population size, which grows in discrete little jumps with each new baby pi creature, maybe let's think of 2 to the t as the total mass of the population.", + "translatedText": "E in realtà, invece della dimensione della popolazione, che cresce a piccoli salti discreti con ogni nuova creatura di pi greco, potremmo pensare a 2 alla t come la massa totale della popolazione.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 50.56, + "end": 61.52 + }, + { + "input": "I think that better reflects the continuity of this function, don't you?", + "translatedText": "Penso che questo rifletta meglio la continuità di questa funzione, no?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 62.22, + "end": 65.32 + }, + { + "input": "So for example, at time t equals 0, the total mass is 2 to the 0 equals 1 for the mass of one creature.", + "translatedText": "Quindi, ad esempio, al tempo t uguale a 0, la massa totale è 2 alla 0 che è uguale a 1 cioè la massa di una creatura.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 66.38, + "end": 73.68 + }, + { + "input": "At t equals 1 day, the population has grown to 2 to the 1 equals 2 creature masses.", + "translatedText": "A t uguale a 1 giorno, la popolazione è cresciuta fino a 2 alla 1, che equivale a 2 masse di creature.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 74.41, + "end": 80.2 + }, + { + "input": "At day t equals 2, it's t squared, or 4, and in general it just keeps doubling every day.", + "translatedText": "Al giorno t uguale a 2, è t al quadrato, o 4, e in generale continua a raddoppiare ogni giorno.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 81.16, + "end": 87.12 + }, + { + "input": "For the derivative, we want dm dt, the rate at which this population mass is growing, thought of as a tiny change in the mass divided by a tiny change in time.", + "translatedText": "Per la derivata, vogliamo dm su dt, il tasso al quale questa massa di popolazione cresce, intesa come una piccola variazione nella massa divisa per una piccola variazione nel tempo.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 88.26, + "end": 98.92 + }, + { + "input": "And let's start by thinking of the rate of change over a full day, say between day 3 and day 4.", + "translatedText": "E cominciamo pensando al tasso di variazione nell'arco di una giornata intera, diciamo tra il giorno 3 e il giorno 4.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 99.84, + "end": 106.06 + }, + { + "input": "In this case, it grows from 8 to 16, so that's 8 new creature masses added over the course of 1 day.", + "translatedText": "In questo caso, cresce da 8 a 16, quindi si tratta di 8 nuove masse di creature aggiunte nel corso di 1 giorno.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 106.5, + "end": 114.22 + }, + { + "input": "And notice that rate of growth equals the population size at the start of the day.", + "translatedText": "E nota che il tasso di crescita è uguale alla dimensione della popolazione all’inizio della giornata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 115.06, + "end": 119.84 + }, + { + "input": "Between day 4 and day 5, it grows from 16 to 32, so that's a rate of 16 new creature masses per day, which again equals the population size at the start of the day.", + "translatedText": "Tra il giorno 4 e il giorno 5, cresce da 16 a 32, quindi si tratta di un tasso di 16 nuove masse di creature al giorno, che equivale ancora una volta alla dimensione della popolazione all'inizio della giornata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 121.48, + "end": 132.76 + }, + { + "input": "And in general, this rate of growth over a full day equals the population size at the start of that day.", + "translatedText": "E in generale, questo tasso di crescita nell’arco di un giorno intero equivale alla dimensione della popolazione all’inizio di quel giorno.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 133.52, + "end": 140.66 + }, + { + "input": "So it might be tempting to say that this means the derivative of 2 to the t equals itself, that the rate of change of this function at a given time t is equal to the value of that function.", + "translatedText": "Quindi si potrebbe essere tentati di dire che questo significa che la derivata di 2 alla t è uguale a se stessa, che il tasso di variazione di questa funzione in un dato istante t è uguale al valore di quella funzione.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 141.68, + "end": 154.12 + }, + { + "input": "And this is definitely in the right direction, but it's not quite correct.", + "translatedText": "E questo è sicuramente nella giusta direzione, ma non è del tutto corretto.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 154.12, + "end": 158.88 + }, + { + "input": "What we're doing here is making comparisons over a full day, considering the difference between 2 to the t plus 1 and 2 to the t.", + "translatedText": "Quello che stiamo facendo qui è fare confronti nell'arco di un'intera giornata, considerando la differenza tra 2 alla t più 1 e 2 alla t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 159.46, + "end": 167.72 + }, + { + "input": "But for the derivative, we need to ask what happens for smaller and smaller changes.", + "translatedText": "Ma per la derivata, dobbiamo chiederci cosa succede per cambiamenti sempre più piccoli.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 168.56, + "end": 173.34 + }, + { + "input": "What's the growth over the course of a tenth of a day, a hundredth of a day, one one billionth of a day?", + "translatedText": "Qual è la crescita nel corso di un decimo di giorno, un centesimo di giorno, un miliardesimo di giorno?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 173.96, + "end": 179.22 + }, + { + "input": "This is why I had us think of the function as representing population mass, since it makes sense to ask about a tiny change in mass over a tiny fraction of a day, but it doesn't make as much sense to ask about the tiny change in a discrete population size per second.", + "translatedText": "Abbiamo pensato alla funzione come alla massa della popolazione poiché ha senso chiedersi quale sia un piccolo cambiamento di massa in una piccola frazione di giorno, ma non ha altrettanto senso chiedersi quale sia un piccolo cambiamento nel numero discreto della popolazione al secondo.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 179.96, + "end": 194.96 + }, + { + "input": "More abstractly, for a tiny change in time, dt, we want to understand the difference between 2 to the t plus dt and 2 to the t, all divided by dt, the change in the function per unit time, but now we're looking very narrowly, around a given point in time, rather than over the course of a full day.", + "translatedText": "Più astrattamente, per una piccola variazione di tempo, dt, vogliamo capire la differenza tra 2 uguale a t più dt e 2 uguale a t, il tutto diviso per dt, la variazione della funzione per unità di tempo, ma ora siamo guardando in modo molto ristretto, attorno a un dato momento nel tempo, piuttosto che nel corso di un'intera giornata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 195.9, + "end": 216.4 + }, + { + "input": "And here's the thing, I would love if there was some very clear geometric picture that made everything that's about to follow just pop out, some diagram where you could point to one value and say, see, that part, that is the derivative of 2 to the t.", + "translatedText": "Ed ecco il punto, mi piacerebbe se ci fosse qualche immagine geometrica molto chiara che facesse emergere tutto ciò che seguirà, qualche diagramma in cui potresti indicare un valore e dire, vedi, quella parte, quella è la derivata di 2 alla t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 219.58, + "end": 233.48 + }, + { + "input": "And if you know of one, please let me know.", + "translatedText": "E se ne conoscete uno, fatemelo sapere.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 234.38, + "end": 236.64 + }, + { + "input": "And while the goal here, as with the rest of the series, is to maintain a playful spirit of discovery, the type of play that follows will have more to do with finding numerical patterns rather than visual ones.", + "translatedText": "E mentre l'obiettivo qui, come nel resto della serie, è quello di mantenere uno spirito giocoso di scoperta, il tipo di gioco che segue avrà più a che fare con la ricerca di schemi numerici piuttosto che visivi.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 237.02, + "end": 247.66 + }, + { + "input": "So start by just taking a very close look at this term, 2 to the t plus dt.", + "translatedText": "Quindi inizia dando un'occhiata molto da vicino a questo termine, 2 alla t più dt.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 248.68, + "end": 253.56 + }, + { + "input": "A core property of exponentials is that you can break this up as 2 to the t times 2 to the dt.", + "translatedText": "Una proprietà fondamentale degli esponenziali è che puoi scomporlo come 2 alla t per 2 alla dt.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 254.36, + "end": 260.72 + }, + { + "input": "That really is the most important property of exponents.", + "translatedText": "Questa è davvero la proprietà più importante degli esponenti.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 261.26, + "end": 264.12 + }, + { + "input": "If you add two values in that exponent, you can break up the output as a product of some kind.", + "translatedText": "Se aggiungi due valori in quell'esponente, puoi suddividere l'output come un qualche prodotto.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 264.66, + "end": 270.14 + }, + { + "input": "This is what lets you relate additive ideas, things like tiny steps in time, to multiplicative ideas, things like rates and ratios.", + "translatedText": "Questo è ciò che ti consente di mettere in relazione idee aggiuntive (piccoli passi nel tempo), con idee moltiplicative (tassi e rapporti).", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 270.82, + "end": 277.68 + }, + { + "input": "I mean, just look at what happens here.", + "translatedText": "Voglio dire, guarda cosa succede qui.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 278.42, + "end": 279.96 + }, + { + "input": "After that move, we can factor out the term 2 to the t, which is now multiplied by 2 to the dt minus 1, all divided by dt.", + "translatedText": "Dopo questa mossa, possiamo scomporre il termine 2 alla t, che ora viene moltiplicato per 2 alla dt meno 1, il tutto diviso per dt.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 280.84, + "end": 289.84 + }, + { + "input": "And remember, the derivative of 2 to the t is whatever this whole expression approaches as dt approaches 0.", + "translatedText": "E ricorda, la derivata di 2 rispetto a t è qualunque cosa l'intera espressione si avvicini quando dt si avvicina a 0.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 290.72, + "end": 297.46 + }, + { + "input": "At first glance, that might seem like an unimportant manipulation, but a tremendously important fact is that this term on the right, where all of the dt stuff lives, is completely separate from the t term itself.", + "translatedText": "A prima vista, potrebbe sembrare una manipolazione poco importante, ma un fatto tremendamente importante è che questo termine a destra, dove risiede tutta la roba dt, è completamente separato dal termine t stesso.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 298.54, + "end": 310.78 + }, + { + "input": "It doesn't depend on the actual time where we started.", + "translatedText": "Non dipende dal momento effettivo in cui abbiamo iniziato.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 311.26, + "end": 313.92 + }, + { + "input": "You can go off to a calculator and plug in very small values for dt here, for example maybe typing in 2 to the 0.001 minus 1 divided by 0.001.", + "translatedText": "Puoi usare una calcolatrice e inserire qui valori molto piccoli per dt, ad esempio digitando 2-0.001 meno 1 diviso 0.001.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 314.62, + "end": 326.34 + }, + { + "input": "What you'll find is that for smaller and smaller choices of dt, this value approaches a very specific number, around 0.6931.", + "translatedText": "Quello che scoprirai è che per scelte di dt sempre più piccole, questo valore si avvicina a un numero molto specifico, circa 0.6931.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 327.76, + "end": 337.56 + }, + { + "input": "Don't worry if that number seems mysterious, the central point is that this is some kind of constant.", + "translatedText": "Non preoccuparti se quel numero sembra misterioso, il punto è che si tratta di una sorta di costante.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 338.64, + "end": 343.58 + }, + { + "input": "Unlike derivatives of other functions, all of the stuff that depends on dt is separate from the value of t itself.", + "translatedText": "A differenza delle derivate di altre funzioni, tutto ciò che dipende da dt è separato dal valore di t stesso.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 344.5, + "end": 352.14 + }, + { + "input": "The derivative of 2 to the t is just itself, but multiplied by some constant.", + "translatedText": "La derivata di 2 rispetto a t è semplicemente se stessa, ma moltiplicata per una costante.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 352.84, + "end": 358.12 + }, + { + "input": "That should make sense, because earlier it felt like the derivative for 2 to the t should be itself, at least when we were looking at changes over the course of a full day.", + "translatedText": "Questo dovrebbe avere senso, perché prima sembrava che la derivata di 2 alla t dovesse essere se stessa, almeno quando osservavamo i cambiamenti nel corso di un'intera giornata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 359.3, + "end": 368.44 + }, + { + "input": "And evidently, the rate of change for this function over much smaller timescales is not quite equal to itself, but it's proportional to itself, with this very peculiar proportionality constant of 0.6931.", + "translatedText": "Ed evidentemente, il tasso di cambiamento di questa funzione su scale temporali molto più piccole non è del tutto uguale a se stesso, ma proporzionale a se stesso, con questa peculiare costante di proporzionalità pari a 0.6931.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 369.03, + "end": 382.8 + }, + { + "input": "And there's not too much special about the number 2 here.", + "translatedText": "E non c'è nulla di speciale nel numero 2 qui.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 389.04, + "end": 392.2 + }, + { + "input": "If instead we had dealt with the function 3 to the t, the exponential property would also have led us to the conclusion that the derivative of 3 to the t is proportional to itself.", + "translatedText": "Se invece ci fossimo occupati della funzione 3 alla t, anche la proprietà esponenziale ci avrebbe portato alla conclusione che la derivata di 3 alla t è proporzionale a se stessa.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 392.84, + "end": 403.06 + }, + { + "input": "But this time it would have had a proportionality constant 1.0986.", + "translatedText": "Ma questa volta avrebbe avuto una costante di proporzionalità uguale a 1.0986.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 403.6, + "end": 408.12 + }, + { + "input": "And for other bases to your exponent, you can have fun trying to see what the various proportionality constants are, maybe seeing if you can find a pattern in them.", + "translatedText": "E per altre basi dell'esponente, puoi divertirti a provare a vedere quali sono le varie costanti di proporzionalità, magari vedendo se riesci a trovarvi uno schema.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 409.2, + "end": 417.52 + }, + { + "input": "For example, if you plug in 8 to the power of a very tiny number, minus 1, and divide by that same tiny number, what you'd find is that the relevant proportionality constant is around 2.079.", + "translatedText": "Ad esempio, se aggiungi 8 alla potenza di un numero molto piccolo, meno 1, e dividi per lo stesso numero piccolo, quello che scoprirai è che la costante di proporzionalità è circa 2.079.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 418.4, + "end": 432.14 + }, + { + "input": "And maybe, just maybe, you would notice that this number happens to be exactly 3 times the constant associated with the base for 2.", + "translatedText": "E forse, solo forse, noterai che questo numero è esattamente 3 volte la costante associata alla base di 2.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 432.66, + "end": 441.7 + }, + { + "input": "So these numbers certainly aren't random, there is some kind of pattern, but what is it?", + "translatedText": "Quindi questi numeri certamente non sono casuali, esiste una sorta di schema, ma di cosa si tratta?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 442.46, + "end": 447.96 + }, + { + "input": "What does 2 have to do with the number 0.6931?", + "translatedText": "Cosa c'entra il 2 con il numero 0.6931?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 448.18, + "end": 451.52 + }, + { + "input": "And what does 8 have to do with the number 2.079?", + "translatedText": "E cosa c'entra l'8 con il numero 2.079?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 452.02, + "end": 455.4 + }, + { + "input": "Well, a second question that is ultimately going to explain these mystery constants is whether there is some base where that proportionality constant is 1, where the derivative of a to the power t is not just proportional to itself, but actually equal to itself.", + "translatedText": "Bene, una seconda domanda che alla fine spiegherà queste costanti misteriose è se esiste una base in cui quella costante di proporzionalità sia 1, dove la derivata di a alla t non è solo proporzionale a se stessa, ma effettivamente uguale a se stessa.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 456.78, + "end": 473.18 + }, + { + "input": "And there is!", + "translatedText": "E c'è!", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 473.72, + "end": 474.68 + }, + { + "input": "It's the special constant e, around 2.71828.", + "translatedText": "È la costante speciale e, circa 2.71828.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 475.08, + "end": 479.3 + }, + { + "input": "In fact, it's not just that the number e happens to show up here, this is in a sense what defines the number e.", + "translatedText": "In effetti, non è solo il fatto che il numero e appare qui, questo è in un certo senso ciò che definisce il numero e.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 480.32, + "end": 487.22 + }, + { + "input": "If you ask why does e of all numbers have this property, it's a little like asking why does pi of all numbers happen to be the ratio of the circumference of a circle to its diameter.", + "translatedText": "Se chiedi perché e tra tutti i numeri ha questa proprietà, è un po' come chiedere perché pi tra tutti i numeri è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 488.6, + "end": 498.12 + }, + { + "input": "This is at its heart what defines this value.", + "translatedText": "Questo è in sostanza ciò che definisce questo valore.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 498.67, + "end": 501.28 + }, + { + "input": "All exponential functions are proportional to their own derivative, but e alone is the special number so that that proportionality constant is 1, meaning e to the t actually equals its own derivative.", + "translatedText": "Tutte le funzioni esponenziali sono proporzionali alla propria derivata, ma solo e è il numero speciale in modo che la costante di proporzionalità sia 1, il che significa che e rispetto a t in realtà è uguale alla propria derivata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 502.06, + "end": 514.14 + }, + { + "input": "One way to think of that is that if you look at the graph of e to the t, it has the peculiar property that the slope of a tangent line to any point on this graph equals the height of that point above the horizontal axis.", + "translatedText": "Un modo per pensarci è che se guardi il grafico di e alla t, ha la proprietà peculiare che la pendenza di una linea tangente a qualsiasi punto di questo grafico è uguale all'altezza di quel punto sopra l'asse orizzontale.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 515.44, + "end": 527.64 + }, + { + "input": "The existence of a function like this answers the question of the mystery constants, and it's because it gives a different way to think about functions that are proportional to their own derivative.", + "translatedText": "L'esistenza di una funzione come questa risponde alla domanda sulle costanti misteriose, questo perché offre un modo diverso di pensare alle funzioni proporzionali alla propria derivata.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 528.76, + "end": 538.3 + }, + { + "input": "The key is to use the chain rule.", + "translatedText": "Il segreto è usare la regola della catena.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 539.2, + "end": 541 + }, + { + "input": "For example, what is the derivative of e to the 3t?", + "translatedText": "Ad esempio, qual è la derivata di e rispetto a 3t?", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 541.92, + "end": 545.3 + }, + { + "input": "Well you take the derivative of the outermost function, which due to this special nature of e is just itself, and then multiply by the derivative of that inner function 3t, which is the constant 3.", + "translatedText": "Bene, prendi la derivata della funzione più esterna, che a causa della natura speciale di e è semplicemente se stessa, e poi la moltiplichi per la derivata di quella funzione interna 3t, che è la costante 3.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 546.34, + "end": 558.42 + }, + { + "input": "Or rather than just applying a rule blindly, you could take this moment to practice the intuition for the chain rule that I talked through last video, thinking about how a slight nudge to t changes the value of 3t, and how that intermediate change nudges the final value of e to the 3t.", + "translatedText": "Oppure, piuttosto che applicare una regola alla cieca, potresti sfruttare questo momento per provare l'intuizione della regola della catena di cui ho parlato nello scorso video, pensando a come un leggero aumento di t cambia il valore di 3t, e come quel cambiamento intermedio sposta il valore finale di e al 3t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 559.46, + "end": 575.72 + }, + { + "input": "Either way, the point is e to the power of some constant times t is equal to that same constant times itself.", + "translatedText": "In ogni caso, il punto è che e elevato a qualche costante t è uguale alla stessa costante per se stesso.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 578.42, + "end": 586.8 + }, + { + "input": "And from here, the question of those mystery constants really just comes down to a certain algebraic manipulation.", + "translatedText": "E da qui, la questione di quelle costanti misteriose si riduce in realtà solamente ad una certa manipolazione algebrica.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 587.96, + "end": 594.64 + }, + { + "input": "The number 2 can also be written as e to the natural log of 2.", + "translatedText": "Il numero 2 può anche essere scritto come e elevato al logaritmo naturale di 2.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 596.3, + "end": 601.06 + }, + { + "input": "There's nothing fancy here, this is just the definition of the natural log.", + "translatedText": "Non c'è niente di speciale qui, questa è solo la definizione di logaritmo naturale.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 601.06, + "end": 605.86 + }, + { + "input": "It asks the question e to the what equals 2.", + "translatedText": "Pone la domanda e a cosa è uguale a 2.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 606.34, + "end": 609.48 + }, + { + "input": "So the function 2 to the t is the same as the function e to the power of the natural log of 2 times t.", + "translatedText": "Quindi la funzione 2 alla t è la stessa funzione di e alla potenza del logaritmo naturale di 2 per t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 610.82, + "end": 618.38 + }, + { + "input": "And from what we just saw, combining the fact that e to the t is its own derivative with the chain rule, the derivative of this function is proportional to itself, with a proportionality constant equal to the natural log of 2.", + "translatedText": "E da quanto appena visto, combinando il fatto che e alla t è la propria derivata con la regola della catena, la derivata di questa funzione è proporzionale a se stessa, con costante di proporzionalità pari al logaritmo naturale di 2.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 620.32, + "end": 633 + }, + { + "input": "And indeed, if you go plug in the natural log of 2 to a calculator, you'll find that it's 0.6931, the mystery constant we ran into earlier.", + "translatedText": "E in effetti, se calcoli il logaritmo naturale di 2 a una calcolatrice, scoprirai che è 0.6931, la costante misteriosa in cui ci siamo imbattuti in precedenza.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 634.08, + "end": 642.92 + }, + { + "input": "And the same goes for all the other bases.", + "translatedText": "E lo stesso vale per tutte le altre basi.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 643.98, + "end": 646.22 + }, + { + "input": "The mystery proportionality constant that pops up when taking derivatives is just the natural log of the base.", + "translatedText": "La misteriosa costante di proporzionalità che appare quando si prendono le derivate è proprio il logaritmo naturale della base.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 646.76, + "end": 653.42 + }, + { + "input": "The answer to the question e to the what equals that base.", + "translatedText": "", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 653.42, + "end": 653.42 + }, + { + "input": "In fact, throughout applications of calculus, you rarely see exponentials written as some base to a power t.", + "translatedText": "La risposta alla domanda e a cosa equivale a quella base. In effetti, in tutte le applicazioni dell'analisi, raramente si vedono esponenziali scritti come base di una potenza t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 653.42, + "end": 667.38 + }, + { + "input": "Instead you almost always write the exponential as e to the power of some constant times t.", + "translatedText": "Invece scrivi quasi sempre l'esponenziale come e elevato a qualche costante per t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 668.06, + "end": 673.32 + }, + { + "input": "It's all equivalent, I mean any function like 2 to the t or 3 to the t can also be written as e to some constant times t.", + "translatedText": "È del tutto equivalente, voglio dire, qualsiasi funzione come 2 alla t o 3 alla t può anche essere scritta come e elevato a qualche costante per t.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 674.2, + "end": 682.44 + }, + { + "input": "At the risk of staying over-focused on the symbols here, I want to emphasize that there are many ways to write down any particular exponential function.", + "translatedText": "Per non rimanere troppo concentrato sui simboli, voglio sottolineare che esistono molti modi per scrivere qualsiasi particolare funzione esponenziale.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 684.52, + "end": 693.74 + }, + { + "input": "And when you see something written as e to some constant times t, that's a choice we make to write it that way, and the number e is not fundamental to that function itself.", + "translatedText": "E quando vedi qualcosa scritto come e alla qualche costante per t, è una scelta che facciamo di scriverlo in quel modo, e il numero e non è fondamentale per quella funzione stessa.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 694.5, + "end": 704.94 + }, + { + "input": "What is special about writing exponentials in terms of e like this is that it gives that constant in the exponent a nice readable meaning.", + "translatedText": "La particolarità di scrivere gli esponenziali in termini di e in questo modo è che conferisce a quella costante nell'esponente un significato gradevole e leggibile.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 705.56, + "end": 713.78 + }, + { + "input": "Here, let me show you what I mean.", + "translatedText": "Lascia che ti mostri cosa intendo.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 714.44, + "end": 715.54 + }, + { + "input": "All sorts of natural phenomena involve some rate of change that's proportional to the thing that's changing.", + "translatedText": "Tutti i tipi di fenomeni naturali implicano un tasso di cambiamento proporzionale alla cosa che sta cambiando.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 716.28, + "end": 722.26 + }, + { + "input": "For example, the rate of growth of a population actually does tend to be proportional to the size of the population itself, assuming there isn't some limited resource slowing things down.", + "translatedText": "Ad esempio, il tasso di crescita di una popolazione tende ad essere proporzionale alla dimensione della popolazione stessa, supponendo che non ci siano risorse limitate a rallentare il processo.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 723.26, + "end": 733.48 + }, + { + "input": "And if you put a cup of hot water in a cool room, the rate at which the water cools is proportional to the difference in temperature between the room and the water, or said a little differently, the rate at which that difference changes is proportional to itself.", + "translatedText": "Se metti una tazza di acqua calda in una stanza fresca, la velocità con cui l'acqua si raffredda è proporzionale alla differenza di temperatura tra la stanza e l'acqua, oppure, detto in un altro modo, la velocità con cui tale differenza cambia è proporzionale a se stessa.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 734.1, + "end": 750.82 + }, + { + "input": "If you invest your money, the rate at which it grows is proportional to the amount of money there at any time.", + "translatedText": "Se investi i tuoi soldi, il tasso di crescita è proporzionale alla quantità di denaro presente in quel momento.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 751.96, + "end": 759.08 + }, + { + "input": "In all of these cases, where some variable's rate of change is proportional to itself, the function describing that variable over time is going to look like some kind of exponential.", + "translatedText": "In tutti questi casi, in cui il tasso di variazione di una variabile è proporzionale a se stesso, la funzione che descrive quella variabile nel tempo sarà una sorta di esponenziale.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 759.94, + "end": 770.64 + }, + { + "input": "And even though there are lots of ways to write any exponential function, it's very natural to choose to express these functions as e to the power of some constant times t, since that constant carries a very natural meaning.", + "translatedText": "E anche se ci sono molti modi per scrivere qualsiasi funzione esponenziale, è molto naturale scegliere di esprimere queste funzioni come e elevato a una certa costante moltiplicata per t, poiché quella costante ha un significato molto naturale.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 771.76, + "end": 784.9 + }, + { + "input": "It's the same as the proportionality constant between the size of the changing variable and the rate of change.", + "translatedText": "È uguale alla costante di proporzionalità tra la dimensione della variabile che cambia e il tasso di variazione.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 784.9, + "end": 791.72 + }, + { + "input": "And as always, I want to thank those who have made this series possible.", + "translatedText": "E come sempre, voglio ringraziare chi ha reso possibile questa serie.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 794.76, + "end": 797.86 + }, + { + "input": "Thank you.", + "translatedText": "Grazie.", + "model": "google_nmt", + "n_reviews": 1, + "start": 814.9, + "end": 829.5 + } ] \ No newline at end of file diff --git a/2017/eulers-number/italian/title.json b/2017/eulers-number/italian/title.json index 589d98708..6383e525d 100644 --- a/2017/eulers-number/italian/title.json +++ b/2017/eulers-number/italian/title.json @@ -1,5 +1,5 @@ { - "input": "What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus", - "translatedText": "Cosa c'è di così speciale nel numero e di Eulero? | Capitolo 5, Essenza dell'analisi matematica", - "n_reviews": 1 + "input": "What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus", + "translatedText": "Cosa c'è di così speciale nel numero e di Eulero? | Capitolo 5, Essenza dell'analisi matematica", + "n_reviews": 1 } \ No newline at end of file